ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων. 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων

Transcript

1 1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων i) f ( ) ii)f()= iii)f()= i)αρκεί 1 0 και -1. Έτσι A 1,. ii)αρκεί και -. Έτσι A, iii)αρκεί 0 και και χ-1 0 χ 1 έτσι Α= -,1 1,. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων i) f ( ) 5 ii) f ( ) iii f ) ( ) i)αρκεί Έτσι,5 0 και και 5-χ 0 χ 5 ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 7

2 ί και 1 Έτσι Α= 1, ii) iii)αρκεί ή 4 Έτσι Α= -,1 4,.Να υπολογίσετε τα όρια: lim lim i ) 5 ii) 1 1 i )lim ii )lim Να υπολογίσετε τα όρια: lim 1 8 ii i) )lim i)επειδή lim θα παραγοντοποιήσουμε, οπότε: ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 8

3 ii)επειδή lim έχουμε: 8 4 Για το χ -7χ+6 από το σχήμα Horner έχουμε: 7 6 Άρα: lim lim lim lim lim lim Να υπολογίσετε τα όρια: i)lim ii)lim 1 1 i)lim lim lim lim ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 9

4 1 1 1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ( ) ii)lim lim lim lim lim 4 6.Δίνεται η συνάρτηση, 4 f( ),= i)να βρείτε το lim f( ) ii)να βρείτε το α ώστε η f να είναι συνεχής στο χ ο =. i)είναι lim 1 lim f( ) lim lim 4 ( ) 1 1 ii)πρέπει a a 1 ή. lim f ( ) f () a a a 0 7.Nα βρείτε τις παραγώγους i) f ( ) ii) f ( ) iii) f ( ) 1 ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 10

5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ i) f '( ) ' ii) f '( ) ' ' iii) f '( ) ' ' ' Να βρείτε τις παραγώγους i) f ( ) e e 5 4 ) ( ) ln ii f i) f '( ) e ' ' ' ' e ' 1 1 = 0 4 e ii) f '( ) ' ' ' ln ' e Να υπολογίσετε τις παραγώγους i) f ( ) ii) f ( ) ln e ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 11

6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ' ' e e e e i) f '( ) ' e e e e. e e 1 ii) f '( ) ( ln )' ' ln ln ' 1ln ln 1 10.Να υπολογιστεί η παράγωγος 10 i) f ( ) 5 ii) f ( ) e 10 9 i) f '( ) 5 ' ' e ' e ii) f '( ) e ' e e 11.Να υπολογιστεί η παράγωγος i f ) ( ) ii)f()=ημχ i) f '( ) ' ' ii) f '( ) ' '. ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 1

7 v v 1.Αν f ( ) e e τότε να δείξετε ότι f ''( ) v f ( ) v f ( ) e e v f '( ) e e ' e v ' e v ' ve ve v v v v v v f ''( ) ve ve ' ve v ' ve v ' v e v e Επομένως v v v v v v f v e e v f v v ''( ) ( ). 1.Δίνεται η συνάρτηση f () t e t.να βρείτε τις τιμές του α ώστε f ''( t) f '( t) 4 f ( t) t t at f '( t) e ' e at ' ae f ''( t) ae ' a e ' a ae a e at at at at f t f t f t a e ae e at at at ''( ) '( ) 4 ( ) 4 at at e a a e a a 4 4 a a a ή Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f()=χ -5χ+4 στο σημείο A(,f()). f () f '( ) 5 f '() Άρα η εφαπτομένη είναι: y f () f '()( ) y ( ) ( 1)( ) y y ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 1

8 15.Να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης της συνάρτησης f()= -+1 που είναι παράλληλη στην ευθεία y=+ Είναι f ()=-. Έστω Α(χ ο,f( o )) το σημείο επαφής. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι ίσος με f ( o ). Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y=+ πρέπει f '( 0 ) Έχουμε f()=4-6+1=-1 και f ()=1 άρα η εφαπτομένη είναι y f () f '()( ) y ( 1) 1( ) y 16.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της καμπύλης της συνάρτησης f()= +1 που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Είναι f ()=. Έστω Μ(χ ο,f( o )) ή Μ( o, o +1) το σημείο επαφής. Η εφαπτομένη έχει εξίσωση y=f ( o ) ή y= o. Επειδή το Μ ανήκει στην εφαπτομένη έχουμε: ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 14

9 Για χ 0 =1 και χ 0 =-1 οι εφαπτόμενες έχουν εξισώσεις y 1 y και αντίστοιχα y 1 y 17.Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο =(t)=-t +1t -6t όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το χ σε μέτρα. i)να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου για t=1 s. ii)πότε το σημείο είναι (στιγμιαία ) ακίνητο; iii)να βρείτε πότε το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση και πότε στην αρνητική κατεύθυνση. iv)να βρείτε το υλικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των πρώτων 7 s. i)η ταχύτητα και η επιτάχυνση σε χρόνο t αντίστοιχα υ(t)= (t)=-t +4t-6 α(t)=υ (t)=-6t+4 Για t=1 έχουμε υ(1)=-+4-6=-15 m/sec α(1)=-6+4=18m/sec ii) Το σημείο είναι ακίνητο,όταν: ( t) 0 t 4t 6 0 t 8t 1 0 t t t ή t=6 ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 15

10 Άρα το σημείο είναι ακίνητο ύστερα από s και ύστερα από 6 s. iii)to σημείο κινείται στην θετική κατεύθυνση όταν ( t) 0 t 6 και στην αρνητική κατεύθυνση όταν ( t) 0 0 t ή t>6 iv)η απόσταση που διανύθηκε είναι: Στην διάρκεια των πρώτων δευτερολέπτων S1 0 0 m Από t= μέχρι t=6 S 6 0 m Από t=6 μέχρι t=7 S m Άρα το ολικό διάστημα είναι S=++7=71m 18.Να εξετάσετε την μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f()= f '( ) 1 9 f '( ) ή. 1 f f ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 16

11 Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα,1 και, ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο 1, Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ 0 =1,το f(1)= και τοπικό ελάχιστο στο χ 0 = το f()= Ένας αγρότης έχει συρματόπλεγμα μήκους 00m για να περιφράξει από τις τρείς πλευρές ένα χώρο σχήματος ορθογώνιου. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου ώστε το ορθογώνιο να έχει μέγιστο εμβαδό; Έστω και y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε +y=00 ή y=00-. Το εμβαδό Ε του ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο Ε(χ)=y=(00-)=00- με 0,100 Έχουμε Ε (χ)=(00χ-χ ) =00-4χ. '( ) Ε + - Ε Οπότε το εμβαδό γίνεται μέγιστο για χ=50 και y=00-=00-100=100. ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΠΕΤΡΟΣ Σελίδα 17