ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ 4-5 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της? Απάντηση: Mια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει f ( ) f ( ) <. Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίο ορισμού της Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίο ορισμού της, ονομάζεται το όριο lim h ( + ) ( ) f h f h αν i) υπάρχει και ii) είναι πραγματικός αριθμός Συμβολίζεται με f ( ) και διαβάζεται «έφ τονούμενο του Εχουμε λοιπόν: ( ) f = lim h ( + ) ( ) f h f h

2 Για την συνάρτηση f ( ) = ( 3)( 7) α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασής της με τον άξονα β) Nα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασής της με τον άξονα των y y γ) Για ποιά η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτω από τον άξονα των Απάντηση: Θέτουμε αρχικά για διευκόλυνση f ( ) = y οπότε έχουμε y ( 3)( 7) =. α) Αφού τα σημεία του άξονα έχουν τεταγμένη, θέτουμε y= και λύνουμε ως προς : ( )( ) ( )( ) = = 3 = ή - 7 = = 3 ή = 7 Αρα υπάρχουν δύο σημεία τομής που έχουν συντεταγμένες (3,) και (7,) β) Γνωρίζουμε ότι τα σημεία του άξονα y y έχουν τετμημένη.αρα βάζοντας όπου = βρίσκουμε y = ( 3)( 7) = ( 3)( 7) = Επομένως το σημείο τομής με τον άξονα y y είναι το (, ). Σημείωση: Από τον ορισμό της συνάρτησης μπορεί να υπάρχει το πολύ ένα σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα των y. γ) Κάτω από τον άξονα των βρίσκονται τα αρνητικά y=f().επομένως πρέπει να βρούμε τα για τα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές δηλαδή να λύσουμε την ανίσωση: ( ) ( )( ) f < 3 7 < 3< < 7

3 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( ) = + ln( ) 3 Απάντηση: 3 3 > > Πρέπει [, 3) ( 3, ) Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: ( ) + = + = + = + = = lim lim 3 3. Αν εδώ πάμε να αντικαταστήσουμε όπως προηγουμένως όπου =3 βρίσκουμε οπότε προχωρούμε ως εξής: ( 3)( + 3) 9 lim = lim = lim( + 3) = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim = lim = lim = lim = lim = =

4 Nα γίνουν οι παρακάτω παραγωγίσεις: Για κάθε σταθερό αριθμό c, ( c ) =.Για παράδειγμα ( ) 5 = ( ) = ( ) ( ) = 3 3 = ηµ = συν ( ) συν = ηµ ( ) ( e ) ( ln ) = H παράγωγος της εκθετικής συνάρτησης ( ) e = > f = e είναι ο εαυτός της! Κανόνες παραγώγισης ( cf ( ) ) = cf ( ) ( f ( ) + g( ) ) = f ( ) + g ( ) 3 ( f ( ) g( ) ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) Να γίνουν οι παρακάτω παραγωγίσεις με την βοήθεια των πιο πάνω κανόνων παραγώγισης: ( ) ( ) 5 = 5 = 5 = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + = 3 + = 3 + = 3 + ln = ln + ln = ln + = ln + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + ηµ ηµ ηµ ηµ συν

5 f = Να υπολογίσετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) στο σημείο (, f()). Λύση: f ( ) = = = Υπολογίζουμε την παράγωγο της f. f ( ) = ( = ) = = δηλαδή f ( ) = () Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y=λ+β όπoυ λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης. Από την θεωρία γνωρίζουμε ότι ο λ είναι ίσος με την παράγωγο της f στο, οπότε αντικαθιστώντας στην () έχουμε f ( ) = Αρα η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται y = + β y = + β και απομένει πλέον να υπολογίσουμε το β. Επειδή το σημείο επαφής (,f())=(, ) είναι σημείο της εφαπτομένης, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης Αρα = + β + β = β = β = β = Αρα η ζητούμενη εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο (,f()) είναι: y =

6 ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση f() = χ 3-3χ -χ + 6 α) Να βρεθεί η παράγωγος της f. (Μονάδες 5) β) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. (Μονάδες 5) γ) Να βρεθούν τα ακρότατα της f. (Μονάδες 5) δ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο (,f()) ΛΥΣΗ: 3 α) f ( ) = ( ) = = 6 6 = 6( ) Bρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου: ( ) ( ) = = = f 6 α=, β=- γ=- ( ) ( ) = β αγ = = + =, ( ) 9 3 = = = β ± ± ± = = = = α 3 = = = Σχηματίζουμε πινακάκι όπου φαίνεται το πρόσημο της παραγώγου.επειδή 6> το πρόσημο της παραγώγου είναι ίδιο με το πρόσημο του τριωνύμου που από την Α Λυκείου γνωρίζουμε ότι έξω από τις ρίζες γίνεται ομόσημο του α=, δηλαδή θετικό και ανάμεσα στις ρίζες ετερόσημο του α=, δηλαδή αρνητικό. - - ( ) 6( ) f = f ( ) = 3 + 6

7 Παρατηρούμε ότι η f είναι: Γνησίως αύξουσα στο (, -] Γνησίως φθίνουσα στο [, ] Γνησίως αύξουσα στο [, + ) γ) Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για =- το οποίο είναι ίσο με: 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f = = = 3 Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για = το οποίο είναι ίσο με: 3 f ( ) = = = = 4 3 δ) Ξαναγράφω για εύκολη αναφορά τους τύπους των f ( ) 3 6 = + και f ( ) = 6( ) Αρχικά βρίσκουμε: ( ) 3 f = = = 8 5 = 7 Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής y=λ+β όπoυ λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης που είναι ίσος με ( ) ( ) ( ) f = 6 = 6 = Αρα η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται y=-+β και απομένει να υπολογίσουμε το β. Επειδή το σημείο επαφής (,f())=(, -7) είναι σημείο της εφαπτομένης, οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης Αρα 7 = + β 7 = + β + β = 7 β = 7 β = 5 Αρα y=-+5 η ζητούμενη εξίσωση της εφαπτομένης.

8