4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού

Transcript

1 4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού

2 Η έννοια της παραγώγου Η έννοια της παραγώγου είναι η επόμενη, μετά την έννοια του ορίου, σημαντική έννοια που συναντούμε κατά τη μελέτη της θεωρίας συναρτήσεων. Ας θεωρήσουμε έναν αριθμό χ 0, ο οποίος περιέχεται στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f. Λέγοντας παράγωγο της f στο χ 0 εννοούμε έναν αριθμό ο οποίος εξαρτάται: (α) από τον τύπο της f και (β) από το συγκεκριμένο αριθμό χ 0 (δηλαδή, για την ίδια συνάρτηση, οι παράγωγοι σε διαφορετικούς αριθμούς, δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα). Ορισμός Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη στο χ 0 όταν υπάρχει το όριο f ( 0 ) f ( 0) lim. 0 Στην περίπτωση αυτή, το παραπάνω όριο συμβολίζεται με f ( 0 ) και λέγεται παράγωγος f ( 0 ) f ( 0) της f στο χ 0, δηλαδή f ( 0 ) = lim. 0 Παράδειγμα () Θεωρούμε τη συνάρτηση f()=. Η f ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό χ. Επιλέγουμε το χ 0 = και υπολογίζουμε διαδοχικά τα: f ( ) f () f ( 0 ) f ( ) ( ) ( 0 ) ( 0) ( ) () ( 4 ) 4 ( 4) f f f f 4 f ( ) f () οπότε το όριο γίνεται: f () = lim lim( 4) Παρατηρήσεις Όταν δοθεί ο τύπος της συνάρτησης f και επιλεγεί ένας αριθμός χ 0, υπολογίζουμε την παράγωγο f ( 0 ) για ευκολία, υπολογίζοντας διαδοχικά: Τις τιμές f( 0 ), f( 0 +) από τον τύπο της f f ( 0 ) f ( 0 ) Το κλάσμα, το οποίο απλοποιούμε πάντα, με κοινό παράγοντα το f ( 0 ) f ( 0) Το όριο lim, δηλαδή το f ( 0 ), στο οποίο μεταβλητή (που 0 τείνει στο 0) είναι το, και όχι το χ (όπως έχουμε συνηθίσει στα όρια) Μια συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0, όταν δεν υπάρχει το όριο f ( 0 ) f ( 0) lim. Δηλαδή, όταν τα πλευρικά όρια δεν συμπίπτουν 0

3 f ( 0 ) f ( 0) f ( 0 ) f ( 0 ) lim lim 0 0 Αυτό μπορεί να συμβεί σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου. Παράδειγμα (),... 0 Για τη συνάρτηση f() =,... 0 f (0) 0 στο χ 0 = 0, έχουμε: f (0 ) f (0) f ( ) ( ) f ( ) f (0 ) f (0) ( ) Για <0: f() = - άρα lim = lim = lim, ενώ Για >0: f() = f (0 ) f (0) ( ) - άρα lim = lim = 0 0 lim = 0 lim 0 0 Επειδή τα πλευρικά όρια προέκυψαν διαφορετικά, το όριο υπάρχει, οπότε η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =0 Παράγωγος και συνέχεια f f lim 0 (0 ) (0) Η ύπαρξη της παραγώγου μιας συνάρτησης f σε κάποιο σημείο χ 0, συνδέεται με τη συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο εκείνο, σύμφωνα με το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ 0, τότε είναι και συνεχής στο χ 0. Δηλαδή, αν υπάρχει ο αριθμός f ( 0 ) τότε: lim f ( ) f ( ). 0 Έτσι, η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της, έχει ομαλή κλίση στο σημείο αυτό. Δηλαδή, η γραμμή της δεν παρουσιάζει απότομη αλλαγή πορείας. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο χ 0, αυτό δε σημαίνει ότι είναι και παραγωγίσιμη. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής, αλλά όχι παραγωγίσιμη στο 0. Από το θεώρημα, όμως, προκύπτει το ακόλουθο συμπέρασμα: Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο χ 0, τότε δεν είναι ούτε παραγωγίσιμη. 0 δεν

4 4 Επομένως, για τον έλεγχο της παραγωγισιμότητας μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο χ 0, πρέπει πρώτα να ελέγχουμε τη συνέχεια στο σημείο αυτό. Παράγωγος συνάρτηση Η παραγωγισιμότητα, όπως η συνέχεια, είναι μια ιδιότητα που μπορεί να έχει μια συνάρτηση σε ορισμένα σημεία του πεδίου ορισμού της. Τι γίνεται όμως, όταν θέλουμε να μελετήσουμε την παραγωγισιμότητα σε οποιοδήποτε σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της; Ορισμός Για μια συνάρτηση f : ( a, b) ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση f ( ) : ( a, b), αν και μόνο αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της ( a, b). Για μια συνάρτηση f :[ a, b] ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση f :[ a, b], αν και μόνο αν: Η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε χ 0 є ( a, b) f ( a ) f ( a) f ( b ) f ( b) Υπάρχουν τα πλευρικά όρια lim, lim 0 0 και είναι πραγματικοί αριθμοί Παράδειγμα () Να μελετηθεί αν η συνάρτηση f : με τύπο f ( ) είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Έχουμε: f ( ) 0 f ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) (0 ) 0 f ( 0 ) f ( 0) Επομένως, f ( 0 )= lim =lim ( 0 ) = χ 0. 0 Η νέα αυτή συνάρτηση που ορίζεται, ονομάζεται παράγωγος συνάρτηση της f. 0 0 Παράδειγμα (4) Να εξεταστεί αν για τη συνάρτηση f :[0,] με τύπο παράγωγος συνάρτηση και να βρεθεί ο τύπος της f ( ) ορίζεται η

5 5 Έστω τυχαίο σημείο 0 0,. Τότε είναι 0 0 f 0 f f 0 f 0 5 Και lim 0 0 Στη συνέχεια, εργαζόμαστε ανάλογα για χ 0 =0 (με χ>0) και χ 0 = (με χ<), οπότε προκύπτει: f f f f 5 lim και lim Συνεπώς, ορίζεται η η παράγωγος συνάρτηση f στο [0,]. Επειδή για τυχαίο 0 0, 5 f f 0 f f είναι f και τα όρια lim, lim είναι πραγματικοί αριθμοί, η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε [0, ] με παράγωγο 5 συνάρτηση f. 0 Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 0 Αποδεικνύεται εύκολα, με τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου, ότι οι παράγωγοι των βασικών συναρτήσεων είναι οι ακόλουθοι: Συνάρτηση f Παράγωγος f c (σταθερά) 0 χ, χ 0, χ>0 χ α, α 0 αχ α- ημχ συνχ συνχ -ημχ e ln, >0 e.

6 6 Παράδειγμα (5) Να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση για τις παρακάτω συναρτήσεις: 5 a. f ( ) c. f ( ) 5 b. f ( ) d. f ( ) 5 e. f ( ) f. f ( ) ln Έχουμε: 5 a. Η συνάρτηση f ( ) είναι της μορφής χ α για α=5, που είναι φυσικός αριθμός, άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο συνάρτηση f ( ) b. Η συνάρτηση f ( ) 5 είναι της μορφής χ α για α=-5, που είναι φυσικός 5 αριθμός, άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο * με παράγωγο συνάρτηση f ( ) c. Η συνάρτηση f είναι της μορφής χ α για a, που είναι φυσικός αριθμός, άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο συνάρτηση f ( ) 5 5 d. Η συνάρτηση f ( ) είναι της μορφής χ α για a, που είναι 5 φυσικός αριθμός, άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο συνάρτηση f ( ) e. Η συνάρτηση f ( ) είναι της μορφής χ α για a, που είναι φυσικός αριθμός, άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο συνάρτηση f ( ) f. Η συνάρτηση f ( ) ln είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με παράγωγο συνάρτηση f ( ) Κανόνες Παραγώγισης Σε περίπτωση που θέλουμε να βρούμε την παράγωγο συνάρτησης που προκύπτει από πράξεις μεταξύ των συναρτήσεων, ακολουθούμε τους κανόνες παραγώγισης:

7 7 ( f g)( ) f ( ) g ( ) ( cf )( ) cf ( ) ( fg)( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( ), g( ) 0 g g ( ) Παράδειγμα (6) Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: a. f ( ), 0 b. f ( ) 005 c. f ( ) 4 ln d. f ( ) 4 Έχουμε: a. Οι συναρτήσεις ημχ και είναι παραγωγίσιμες στο (0, ), άρα και η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f ( ) b. Η συνάρτηση συνχ είναι παραγωγίσιμη στο, άρα και η συνάρτηση 005συνχ είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) c. Οι συναρτήσεις (χ -4χ) και ln είναι παραγωγίσιμες στο (0, ) και η παράγωγος συνάρτηση είναι η f ( ) 4 ln 4 ln 4 ln ln 4 4 ln 4 ln 4 ln 4 d. Οι συναρτήσεις χ -4 και χ + (με στο, άρα και η συνάρτηση f ( ) παράγωγος συνάρτηση είναι η f ( ) 0 για κάθε ) είναι παραγωγίσιμες 4 είναι παραγωγίσιμη στο και η

8 8 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Θεωρούμε δυο συναρτήσεις f() και g(). Αν στον τύπο της f() θέσουμε όπου χ το g(), προκύπτει μια νέα συνάρτηση y=f(g()) που λέγεται σύνθεση της g με την f. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y (4 7) είναι σύνθεση της y 4 7 με την y. Η σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει f ( g( )) f ( g( )) g ( ). Άμεσες συνέπειες του τύπου αυτού είναι οι εξής:. g( ) g( ) g ( ) Για παράδειγμα. g( ) g( ) g ( ) g( ) g ( ) g( ) Για παράδειγμα. Για παράδειγμα g( ) g ( ) g( ) Για παράδειγμα ( ) ( ) ( ) ( ) g( ) g ( ) g( ) Για παράδειγμα g 6. ( ) g ( ) e e g ( ) Για παράδειγμα e e 4 5 e 8 8 e ln g( ) g ( ) g( ) Για παράδειγμα ln( ) ( )

9 9 Παράγωγοι ανώτερης τάξης Ορισμός Αν μια συνάρτηση f : A είναι παραγωγίσιμη στο Α και η παράγωγος συνάρτηση f : A είναι και αυτή παραγωγίσιμη στο Α, τότε ορίζεται η δεύτερη παράγωγος f : A της συνάρτησης f ώστε f ( ) ( f ( )) Ανάλογα ορίζονται και μεγαλύτερης τάξης παράγωγοι, τις οποίες συμβολίζουμε () (4) f ( ), f ( )... Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής Αν δυο μεταβλητά μεγέθη και y συνδέονται με τον τύπο y f ( ), όπου f είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο 0, τότε η παράγωγος f ( 0) λέγεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς στο σημείο χ 0. Στιγμιαία ταχύτητα Θεωρούμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα χ χ και έστω S(t) η συνάρτηση θέσης του κινητού, δηλ. η συνάρτηση που δίνει τη θέση του κινητού κάθε χρονική στιγμή. Ως στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης τη χρονική S( t0 ) S( t0) στιγμή t 0, δηλαδή: ( t0) S ( t0) lim 0 Ως επιτάχυνση ορίζεται ο ρυθμός μεταβολής (αύξησης ή ελάττωσης) της ( t0 ) ( t0) ταχύτητας του κινητού, δηλαδή: a( t0) S ( t0) ( t0) lim 0 Παράδειγμα (7) Το διάστημα S (σε μέτρα) που διανύει ένα κινητό σε χρόνο t sec δίνεται από τον τύπο: 5 S( t) t 0t t,0 t 6. Ο ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης S(t) δηλ. η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού είναι 5 ( t) S ( t) t 0t t 5t 0t και τη χρονική στιγμή t=sec είναι () 5 0 m sec Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ( t), δηλ. η επιτάχυνση του κινητού είναι: ( ) ( ) a t t t t t και τη χρονική στιγμή t=sec είναι a( t) 0 0 0

10 0 Κόστος Παραγωγής Κατά την παραγωγή χ μονάδων ενός προϊόντος, το κόστος παραγωγής Κ, η τιμή πώλησης Ε και το κέρδος Τ=Ε-Κ εκφράζονται ως συνάρτηση του χ. Σε μια μεταβολή K( ) 0 μονάδων προϊόντος, το πηλίκο εκφράζει το μέσο κόστος ενώ το K( 0 ) K ( 0 ) lim είναι το οριακό κόστος στο χ 0. Επομένως, το οριακό κόστος στο 0 χ 0 είναι η παράγωγος Κ (χ 0 ), δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης Κ(χ) στο σημείο χ 0. Παράδειγμα (8) Κατά την παραγωγή χ μονάδων ενός προϊόντος, το κόστος παραγωγής Κ(χ) και η τιμή πώλησης Π(χ) είναι αντίστοιχα K( ) και ( ) 45. Η συνάρτηση κέρδους είναι η T ( ) ( ) K( ) = ενώ ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι T ( ) Μονοτονία συνάρτησης Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων f, g, και. Μια πρόχειρη ματιά στα τρία σχήματα φανερώνει ότι: Στο σχήμα () η γραφική παράσταση ανεβαίνει προς τα πάνω, καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά. Η συνάρτηση f λέμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της Στο σχήμα () η γραφική παράσταση κατεβαίνει προς τα κάτω, καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά. Η συνάρτηση g λέγεται γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της Στο σχήμα (), καθώς κινούμαστε προς τα δεξιά, η γραφική παράσταση πρώτα ανεβαίνει, μετά κατεβαίνει και τελικά ανεβαίνει συνεχώς. Η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη κατά διαστήματα. Συγκεκριμένα, η είναι:

11 Γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-, -4] Γνησίως φθίνουσα στο [-4, ] Γνησίως αύξουσα στο [, + ) Ορισμοί. Μια συνάρτηση f είναι αύξουσα στο πεδίο ορισμού Ε, αν και μόνο αν: για κάθε χ ι, χ є Ε με χ <χ f( ) f( ).. Μια συνάρτηση f είναι φθίνουσα στο πεδίο ορισμού Ε, αν και μόνο αν: για κάθε χ ι, χ є Ε με χ <χ f( ) f( ).. Μια συνάρτηση f είναι μονότονη στο πεδίο ορισμού Ε, αν και μόνο αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο Ε. Ακρότατα συνάρτησης Στο σχήμα () παρατηρούμε ότι έχουμε ένα «όρος» με κορυφή το Α και μια «κοιλάδα» στο Β. Το Α είναι, στην περιοχή του, το υψηλότερο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, ενώ το Β το χαμηλότερο. Λέμε ότι: Στο χ =-4 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Η τιμή του τοπικού μεγίστου είναι (-4)=- Στο χ = η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Η τιμή του τοπικού ελαχίστου είναι ()=- Το τοπικό μέγιστο και το τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης, όταν υπάρχουν τέτοια, λέγονται τοπικά ακρότατα της συνάρτησης. Ορισμοί. Η f:a R παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ 0, το f( 0 ), αν και μόνο αν f( 0 ) f() για κάθε που ανήκει σε μια περιοχή του Α, γύρω από το χ 0.. Η f:a R παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ 0, το f( 0 ), αν και μόνο αν f( 0 ) f() για κάθε που ανήκει σε μια περιοχή του Α, γύρω από το χ 0.. Η f:a R παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο χ 0, το f( 0 ), αν και μόνο αν παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο. Παρατηρήσεις. Μια συνάρτηση f είναι δυνατόν να παρουσιάζει ακρότατο σε περισσότερα από ένα σημείο ( πχ. Η συνάρτηση ημιτόνου και συνημιτόνου). Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f, μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστό της. Αν η συνάρτηση f:[ α, β] R είναι μονότονη, τότε έχει ακρότατα τα f(α) και f(β). Πράγματι, αν α<χ<β και f αύξουσα, τότε f(α)<f(χ)<f(β), δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο στο α, το f(α), και μέγιστο στο β, το f(β). 4. Έστω f:a R μια συνάρτηση. Η αναζήτηση των πιθανών ακροτάτων μιας συνάρτησης γίνεται συνήθως με έναν από τους ακόλουθους τρόπους: a) Με τον ορισμό, προσδιορίζοντας το πεδίο τιμών της συνάρτησης b) Με τη βοήθεια της μονοτονίας της συνάρτησης. Εδώ, θα πρέπει να έχουμε υπ όψη μας πως τα πιθανά σημεία στα οποία η f παρουσιάζει ακρότατα, είναι τα : Σημεία στα οποία ορίζεται η f και αλλάζει μονοτονία σε αυτά

12 Ακραία σημεία του πεδίου ορισμού της Α c) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Λέγοντας μελέτη μονοτονίας μιας συνάρτησης f, εννοούμε τον καθορισμό των διαστημάτων στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Λέγοντας μελέτη ακροτάτων εννοούμε τον εντοπισμό των ακροτάτων της f, του είδους τους και της τιμής τους. Μελέτη Μονοτονίας Ακροτάτων ì ε τη βοήθεια της Παραγώγου Η εύρεση της μονοτονίας και των ακροτάτων μιας συνάρτησης συνδέεται με την παράγωγο με το ακόλουθο θεώρημα: Κριτήριο της ης παραγώγου Έστω η συνάρτηση f:(α, β) R η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν f ()>0 για κάθε χ(α,β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) Αν f ()<0 για κάθε χ(α,β), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β) Αν f ()=0 για κάθε χ(α,β), τότε η f είναι σταθερή στο (α,β) Αν f ()>0 για κάθε χ(α,χ 0 ), και f ()<0 για κάθε χ(χ 0,β), τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ 0 Αν f ()<0 για κάθε χ(α,χ 0 ), και f ()>0 για κάθε χ(χ 0,β), τότε η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ 0 Κριτήριο ακροτάτων Αν 0 A είναι ένα κρίσιμο σημείο της f, τότε το f( 0 ) είναι: τοπικό μέγιστο της f όταν f ( 0) 0 σε διάστημα ( a, 0 ) A και διάστημα ( 0, ) τοπικό ελάχιστο της f όταν f ( 0) 0 σε διάστημα ( a, 0 ) A και διάστημα ( 0, ) f ( 0) 0 σε f ( 0) 0 σε Μεθοδολογία εύρεσης Μονοτονίας- Ακροτάτων Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία και τα ακρότατα συνάρτησης f ακολουθούμε τα βήματα:. Υπολογίζουμε την παράγωγο f (). Προσέχουμε μήπως f ()>0 ή f ()<0 για κάθε χ, οπότε προκύπτει η μονοτονία της συνάρτησης άμεσα. Σε διαφορετική περίπτωση λύνουμε την εξίσωση f ()=0, οπότε βρίσκουμε τις λύσεις της. Κατασκευάζουμε πίνακα με τις λύσεις της f ()=0 και τα άκρα των διαστημάτων που φτιάχνουν το πεδίο ορισμού της f 4. Συμπληρώνουμε τα πρόσημα της f () 5. Η μονοτονία της f συμπληρώνεται στην τελευταία γραμμή, σύμφωνα με το κριτήριο της ης παραγώγου. Από τη μονοτονία προκύπτουν και τα τοπικά ακρότατα (αν υπάρχουν)

13 Παράδειγμα (9) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ( ) 4 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Η f είναι παραγωγίσιμη στο f ( ) 4 4 με Λύνουμε την εξίσωση f ( ) Ο πίνακας μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης είναι: f () + - f() τ.μ Από τον πίνακα, φαίνεται ότι η f είναι γν. αύξουσα στο διάστημα (, ] και γν. φθίνουσα στο διάστημα [, ). Επιπλέον, παρουσιάζει τοπ. μέγιστο στο χ 0 =, το f () Η συνάρτηση f έχει, επομένως, μέγιστη τιμή το f () 4. Το θεώρημα του Fermat Αν παρατηρήσουμε τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζονται τα ακρότατα, βλέπουμε ότι ισχύει: f ( 0 )=0. Συγκεκριμένα, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό τότε f ( 0 )=0. Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων Για μια συνεχή συνάρτηση f, ως πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων μπορούν να θεωρηθούν: Τα άκρα των διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού της f Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος. Τα σημεία αυτά λέγονται γωνιακά σημεία της f Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία υπάρχει η παράγωγος και είναι ίση με μηδέν. Τα σημεία αυτά λέγονται στάσιμα σημεία της f Τα γωνιακά και τα στάσιμα σημεία της f λέγονται κρίσιμα σημεία Παράδειγμα (0) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a. Να βρεθούν οι τιμές των a, αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f έχει στο χ 0 = τοπικό ελάχιστο ίσο με 8. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο (ελάχιστο) στο χ 0 =, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει f 0.

14 4 f ( ) a, οπότε Είναι f () 0 a 0 6 a 0 a 6 Επιπλέον, στο χ 0 = το τοπικό ελάχιστο είναι ίσο με 8, επομένως: f Τελικά α=-6 και β=7. Κριτήριο της ης παραγώγου Το κριτήριο αυτό χρησιμοποιείται για συναρτήσεις που είναι τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσιμες και δεν είναι εύκολο να προσδιορίσουμε το είδος των τοπικών ακροτάτων από το προηγούμενο κριτήριο Κριτήριο της ης παραγώγου Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : (α, β) R και χ 0 ένα στάσιμο σημείο της. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο χ 0, τότε παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο χ 0 όταν f ( 0 )<0, ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ 0 όταν f ( 0 )>0 Παράγουσα συνάρτηση Ορισμός Αν για τη συνάρτηση f: Δ R, όπου Δ διάστημα του R, υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση F: Δ R τέτοια ώστε F ()= f() για κάθε χδ. Τότε η F ονομάζεται παράγουσα συνάρτηση της f στο διάστημα Δ. Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα Δίνεται η συνάρτηση f: Δ R, με Δ διάστημα του R, και F μια παράγουσα της f στο διάστημα Δ. Τότε οποιαδήποτε άλλη παράγουσα της f είναι της μορφής F+c, όπου c μια σταθερά Πίνακας Παραγουσών Βασικών Συναρτήσεων Συνάρτηση f Παράγουσα F 0 c + c α αχ χ α, α, χ>0 a c a, χ>0 ln + c e e + c

15 5 α χ a c, c ln a συν χ ημ χ + c ημ χ -συν χ + c εφ χ + c,, -σφ χ + c,, Πίνακας Παραγουσών Σύνθετων Συναρτήσεων Συνάρτηση f g ( ), g ( ) 0 g ( ) g ( ), g ( ) 0 g( ) g ( ), g ( ) 0 g( ) Παράγουσα F c g( ) g( ) c ln (g()) + c a a g ( ) g ( ), a R, a, g( ) 0 ( g( )) c a g ( ) g ( ) e g ( ) e c Παράδειγμα (0) Να βρεθούν οι παράγουσες των συναρτήσεων: a. f ( ) 5 c. f ( ) b. f ( ) e 4 d. f ( ) ( ) e Έχουμε: a. 5 F( ) 5 c c, c b. 4 F( ) e c, c ln 4 c. F( ) ln c ln c, c

16 6 d. Η αρχική συνάρτηση της ημ(αχ+β) είναι η e a+β 0 ( ) a, ενώ η αρχική της a είναι η e c. Επομένως, η αρχική συνάρτηση της f είναι η a F( ) e c, c Λυμένες Ασκήσεις. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 5. Να γραφτεί ο τύπος της f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής Να εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο o 5 Λύση Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν 5 0, 5 τότε f ( ) 5 5, () 5 5, οπότε η f γράφεται: Αν 5 0, τότε 5 5, οπότε η f γράφεται: 5 f ( ) 5 5, () Από τις σχέσεις () και () έχουμε ότι Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν είναι 0 και 5 f ( ) 5 5 5, 5,

17 7 f f 5 5 lim lim lim lim 9 9 lim () Αν είναι 0 και 5 f f 5 5 lim lim lim lim lim (4) Από τις σχέσεις () και (4), έχουμε ότι f f f f 5 5 lim 5 5 lim. 0 0 Επομένως, η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 5. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =- a,... f ( ) ( a ),... Λύση Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =-, θα είναι και συνεχής στο χ 0 =-. Είναι lim f ( ) lim a a lim f ( ) lim a a

18 8 f ( ) a Η f είναι συνεχής στο χ 0 =- όταν lim f ( ) lim f ( ) f ( ) a a () Επίσης: Για χ<- είναι <0, οπότε a f f lim 0 a lim a () 0 Για χ>- είναι >0, οπότε lim 0 a f f lim lim 0 0 lim {από τη σχέση ()} 0 a a a lim 0 a lim a a 0 Η f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =- όταν f f f lim f lim a a a 0 0 Για a, από την () έχουμε ότι 6. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει αποδείξετε ότι f (0). f ( ) lim, να 0 Λύση Αν θέσουμε f ( ) g( ) τότε έχουμε f ( ) g( ) και lim ( ) lim ( ) 0 0. f g 0 0 Η f, ως παραγωγίσιμη συνάρτηση, είναι και συνεχής στο χ=0, και επομένως f (0) lim f ( ) 0. 0

19 9 Έτσι, έχουμε: f ( ) f (0) f ( ) f (0) lim lim Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: i. ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) 8 6 v. f ( ) Λύση i. Είναι ln ln f ( ) e e και επομένως = ln == ln ln f ( ) e e ln ln ii. Είναι ln ln f ( ) e e και έχουμε ln ln f ( ) e e ln = ln == == ln ln == ln == ln iii. Είναι f ( ) =

20 0 = {γιατί iv. Είναι } ( ) f == v. Είναι ( 8) f ( ) 6 ln = 6 6 ln = 5. Αν f ( ) ae e f ( ) f ( ) f ( ) 0 (α,β σταθεροί αριθμοί), να αποδείξετε ότι Λύση Έχουμε: f ( ) ae e ae e ae e = ae e ae e f ( ) ae e ae e ae e = ae e ae 4e Άρα έχουμε: f ( ) f ( ) f ( ) ae 4 e ae e ae e = ae ae ae e e e e e

21 6. Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει και η ακτίνα της ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο R 9 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec και το ρυθμό μείωσης του όγκου και της επιφάνειας της μπάλας, όταν 9 0 t. Να βρείτε 4 t sec. Λύση Ο όγκος V και η επιφάνεια Ε της μπάλας εκφράζονται ως συνάρτηση του χρόνου t από τους τύπους: 4 4 V V t R t ( ) 9 4 και E E( t) 4 R 4 9 4t. Ο ρυθμός μεταβολής των V(t) και E(t) ως προς το χρόνο t είναι αντίστοιχα: V ( t) 9 4t 9 4t 9 4t 9 4t 4 9 4t t και E ( t ) t t t 9 4 t t t Επομένως, για t sec έχουμε: V () και E () = = 7. Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα μήκους 0m του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Ο και Oy αντίστοιχα. Το σημείο Β κινείται με ταχύτητα m και η θέση του πάνω στον άξονα O δίνεται sec από τη συνάρτηση S( t) t, t 0,5, όπου t ο χρόνος σε sec. i. Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(t) του τριγώνου ΟΑΒ ως συνάρτηση του t ii. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του Ε(t) τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του ΟΑ είναι 6m;

22 Λύση i. Είναι (ΟΒ)= t t και στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε: ( OA) 0 t 00 4t = 4(5 t ) 5 t. E( t) OA OB 5 t t t 5 t Άρα ii. Όταν είναι ΟΑ=6m, τότε έχουμε t 4sec. Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου είναι E ( t) t 5 t 5 t 5 t t 5 t t t t 5 t έχουμε t t t 5 t 6 5 t 5 t 9 =, και για t 4sec 6 4 E (4) m 5 6 sec 8. Να μελετήσετε τη συνάρτηση τα ακρότατα f ( ) 6 9 ως προς τη μονοτονία και Λύση Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης είναι: f () f() τ.μ τ.ε Από τον πίνακα, φαίνεται ότι η f είναι γν. αύξουσα στα διαστήματα (,] [, ) και γν. φθίνουσα στο διάστημα [,]. Επιπλέον, παρουσιάζει τοπ. μέγιστο στο χ =, το f () και τοπ, ελάχιστο στο χ =, το f () Δίνεται η συνάρτηση f ( ). i. Υπολογίστε την παράγωγο f ( ) και τους αριθμούς f f (), ( )

23 ii. Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα iii. Αποδείξτε ότι για κάθε χ Λύση i. Έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) = ( ) 4. ( ) Και f () ενώ ( ) 4 ii. Λύνουμε την εξίσωση Επειδή ( ) ( ) ( ) f ( ) [( ) ] 4 4 ( ) f 0 για κάθε χ, το πρόσημο της f () εξαρτάται μόνο από το πρόσημο του αριθμητή, δηλαδή: 0 f () - + f() τ.ελ Η f είναι γν. φθίνουσα στο (,0] και γν. αύξουσα στο [0, ). Η f παρουσιάζει στο 0 0 τοπικό ελάχιστο, το 0 0 f (0) iii. Αφού η f παρουσιάζει στο 0 0 τοπικό ελάχιστο, συμπεραίνουμε ότι f ( ) f (0) για κάθε. Επομένως, για κάθε χ. = 0. Να δείξετε ότι για κάθε 6 Λύση Θα αποδείξουμε ότι 0 για κάθε 6 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( ) που είναι παραγωγίσιμη στο με 6 f ( ). 6 Επίσης είναι f ( ) και f ( ) 0 {αφού }

24 4 και 0 f (0) 0 0 0, f (0) 0 0 0, f (0) Από την τελευταία ισότητα προκύπτει ότι η f () είναι γνησίως αύξουσα στο, και επομένως για κάθε 0 είναι f ( ) f (0) f ( ) 0. Άρα και η f είναι γν. αύξουσα στο, και επομένως για κάθε 0 είναι f f f ( ) (0) ( ) 0. Άρα και η f είναι γν. αύξουσα στο, και επομένως για κάθε 0 έχουμε f ( ) f (0) f ( ) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( ) όπου,, και a 0. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ έτσι ώστε η συνάρτηση f να παρουσιάζει, για την τιμή, ελάχιστο ίσο με - και η γραφική της 4 παράσταση να διέρχεται από το σημείο (0, ) Λύση Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο χ 0 = 4, σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat θα ισχύει f f ( ) a, οπότε Είναι f 0 a 0 0 a 4 4 Επιπλέον, στο χ 0 = () το τοπικό ελάχιστο είναι ίσο με -, επομένως: f a () 6 4 Τέλος, η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (0,), δηλαδή f (0) a 0 0 () Έτσι, έχουμε:

25 5. Ένα κυλινδρικό δοχείο είναι ανοικτό στο πάνω μέρος και έχει χωρητικότητα 6dm. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του δοχείου, ώστε να είναι ελάχιστη η ποσότητα μετάλλου που θα χρειαστεί για το βάψιμο των τοιχωμάτων του; Λύση Η χωρητικότητα του κυλινδρικού δοχείου δίνεται από τον τύπο Ζητούμε τις διαστάσεις ρ και υ του δοχείου, για τις οποίες το εμβαδόν της επιφάνειας γίνεται ελάχιστο. Η επιφάνεια του δοχείου έχει εμβαδόν Vk, άρα 6 4 E. 4 Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (0, ) με ( ) f Και 4 6 f ( ) Ο πίνακας μονοτονίας της συνάρτησης είναι ο: 0 6 f () - + f() τ.ελ 6 6 Άρα, οι ζητούμενες διαστάσεις είναι dm και dm 6 6 6

26 6. Να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f ( ) f ( ), 0 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων Λύση Μια αρχική συνάρτηση της ( ) ( ) είναι η f f f ( ) και επομένως, έχουμε: f ( ) f ( ) c () Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το (0,0) επομένως 0 f (0) 0 f (0) 0 c c 0 Έτσι, η () γράφεται: f ( ) f ( ) Για 0 είναι 0 και f ( )

27 7 Ασκήσεις Α. Ερωτήσεις «Σωστού-Λάθους». Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο (0, ). Η συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] όταν αυτή είναι παραγωγίσιμη για κάθε 0 ( a, ) και τα πλευρικά όρια f ( a ) f ( a) f ( ) f ( ) lim lim υπάρχουν και είναι πραγματικοί 0 0 αριθμοί f ( 0 ) f ( 0). Αν υπάρχει το lim lim, τότε η συνάρτηση f είναι συνεχής 0 4. Η έννοια «παράγωγος της f» δηλώνει συνάρτηση, ενώ η έννοια «παράγωγος της f στο χ 0» δηλώνει αριθμό 5. Κάθε πολυωνυμική και κάθε ρητή συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της 6. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο A, τότε και η συνάρτηση =f+g είναι παραγωγίσιμη στο Α και μάλιστα ισχύει f g ( ) f ( ) g ( ) 7. Αν η συνάρτηση f=g+ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α, τότε και οι συναρτήσεις g και είναι παραγωγίσιμες στο Α 8. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο A, τότε και η συνάρτηση (5f)() είναι παραγωγίσιμη στο Α και μάλιστα ισχύει 5 f 5 f 9. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο A, τότε και η συνάρτηση f g f g ( ) f ( ) g ( ) είναι παραγωγίσιμη στο Α και μάλιστα ισχύει 0. Αν η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α, και η συνάρτηση g ( ) 0 είναι παραγωγίσιμη στο Α, τότε και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο A, τότε και η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο Α και μάλιστα ισχύει g f ( ) f g g f g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Αν f ( ), τότε f ( ) 0. Αν η παράγωγος f () μιας συνάρτησης f() είναι ίση με το μηδέν για κάθε χ που ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η συνάρτηση f() είναι σταθερή 4. Η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f σε ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της, εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της y=f() ως προς, όταν = 0 5. Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0 =0

28 8 6. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της, τότε f ( 0 ) f ( 0) το όριο lim lim, με 0, ισούται με το συντελεστή διεύθυνσης 0 της εφαπτόμενης της καμπύλης, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο ( 0, f( 0 )) 7. Αν η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης g είναι η σταθερή συνάρτηση,τότε η g είναι της μορφής g()=c, cє -{} 8. Αν η πρώτη παράγωγος μιας πολυωνιμικής συνάρτησης είναι 4 ου βαθμού, τότε η συνάρτηση είναι 5 ου βαθμού 9. Αν η δεύτερη παράγωγος μιας πολυωνιμικής συνάρτησης είναι σταθερή, τότε η συνάρτηση είναι το πολύ ου βαθμού 0. Η παράγωγος της f()=5 είναι f ()=5. Αν η συνάρτηση f : A είναι παραγωγίσιμη σε κάθε A και η g : B f A B είναι παραγωγίσιμη σε κάθε f ( ) f ( A), τότε η σύνθεσή της g f A είναι παραγωγίσιμη στο Α και μάλιστα 0 : ισχύειg0 f g f f. Ισχύει:. Λέμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) όταν για κάθε, ( a, ) με χ <χ ισχύει f ( ) f 4. Λέμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β) όταν για κάθε, ( a, ) με χ <χ ισχύει f ( ) f 5. Αν f ()>0 για κάθε ( a, ) τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα 6. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (,5) με f ()<0 για κάθε (,5) και συνεχής στα σημεία χ= και χ=5, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [,5] 7. Αν για τη παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f ισχύει f ( ), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο * 8. Η συνάρτηση f ( ), 0 είναι γνησίως αύξουσα στο 9. Η συνάρτηση f με τύπο f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο f ( ), τότε η f 0. Αν για τη παραγωγίσιμη στο [,] συνάρτηση f ισχύει είναι γνησίως φθίνουσα στο [,]. Η συνάρτηση f που έχει τη γραφική παράσταση του σχήματος, είναι γνησίως αύξουσα στο. Η συνάρτηση f της οποίας η παράγωγος f έχει τη γραφική παράσταση του σχήματος, είναι γνησίως αύξουσα στο

29 9. Λέμε ότι η f έχει τοπικό μέγισταο στο σημείο χ=χ 0 αν υπάρχει διάστημα (α,β) που να περιέχει το χ 0 έτσι ώστε να ισχύει f ( ) f ( 0) για κάθε ( a, ) 4. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της (α, β) και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, τότε f ( 0 )=0 5. Αν μια συνάρτηση f έχει κρίσιμα σημεία, τότε έχει και τοπικά ακρότατα 6. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το [α, β] είναι μονότονη και παραγωγίσιμη, τότε έχει ακρότατα 7. Θέσεις πιθανών ακροτάτων μιας συνάρτησης f, ορισμένης και συνεχούς σε ένα διάστημα Δ, είναι μόνο τα σημεία στα οποία η f παραγωγίζεται 8. Αν για τη συνάρτηση f, ορισμένη και συνεχή σε ένα διάστημα Δ, υπάρχει η f ( 0 ) και είναι f ( 0 ) 0, με χ 0 εσωτερικό σημείο του Δ, τότε το χ 0 είναι σημείο τοπικού ακροτάτου της f 9. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [, ) και έχει τοπικό ακρότατο στο χ 0 =, τότε είναι σίγουρα f () Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το (,], είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και έχει τοπικό μέγιστο στο χ 0 =-, τότε είναι σίγουρα 4. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα (,5) και ισχύει f ( ) 0 f ( ) 0 για κάθε, και f ( ) 0 για κάθε (,5), τότε η f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο χ 0 = 4. Αν για μια συνεχή συνάρτηση στο σύνολο Α ισχύει f () 0 και f () τότε η f έχει τοπικό μέγιστο στο που ανήκει στο Α 5 4. Η συνάρτηση f ( ) έχει τοπικό μέγιστο στο χ 0 =0 44. Αν ( ) f τότε το χ 0 =- είναι θέση τοπικού ελαχίστου 45. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και η γραφική παράσταση της f είναι αυτή του σχήματος, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο 46. Αν στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της f μιας συνάρτησης f, τότε η f έχει δυο ακριβώς θέσεις τοπικών ακροτάτων 47. Αν f ( ) 6 F( ) τότε οι παράγουσες της f είναι οι συναρτήσεις 48. Η παράγουσα της συνάρτηση f ( ) 5 6 F( ) και 6 είναι η F( ) 5 c, 5

30 0 Β. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής f ( 0 ) f ( 0). Αν υπάρχει το lim, τότε η συνάρτηση f() είναι 0 παραγωγίσιμη συνεχής μονότονη κανένα από τα προηγούμενα. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν: f ( 0 ) f ( ) υπάρχει το lim,, 0 0 f ( 0 ) f ( 0 ) υπάρχει το lim,, 0 και είναι πραγματικός αριθμός 0 f ( 0 ) f ( 0) το lim,, 0 0 f ( 0 ) f ( 0) το lim,, 0 0. Η παράγωγος μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο χ 0 του πεδίου ορισμού της, εκφράζει: την τιμή της συνάρτησης στη θέση χ 0 f ( 0 ) f ( 0 ) την τιμή του κλάσματος,, 0 το ρυθμό μεταβολής της f() ως προς, όταν = 0 το ρυθμό μεταβολής της f() ως προς - 0 f ( ) f () 4. Αν lim, τότε 0 f (0) f () f () η f δεν είναι συνεχής στο χ 0 = f ( ) f ( ) 5. Αν lim, τότε 0 Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =- Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =0 Η f δεν είναι συνεχής στο χ 0 =0 f ( ) 0

31 6. Αν lim f ( ) 5, τότε Η f είναι σίγουρα παραγωγίσιμη στο χ 0 =- Η f δεν είναι σίγουρα παραγωγίσιμη στο χ 0 =- Η f είναι σίγουρα παραγωγίσιμη στο χ 0 =5 Δεν ισχύει με βεβαιότητα κανένα από τα προηγούμενα 7. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 τότε lim f ( ) f ( ) 0 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) lim ή 0 lim f ( ) ή lim lim Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι αυτή του διπλανού σχήματος. Τότε λάθος είναι ότι Η f είναι παραγωγίσιμη στο χ Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ Η f είναι παραγωγίσιμη στο χ Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο χ 4 9. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η f g είναι ίση με: f f f f g g g g f g f g f g 0. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η f g f g f f g g f g f g f g g f g είναι ίση με:

32 . Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()=συν χ. Ο αριθμός f (π/4) είναι ίσος με: - 0. Η παράγωγος της συνάρτησης f()=ημ χ είναι ίση με: 4ημχ συνχ 4ημχ συνχ 4συν χ. Δίνεται η συνάρτηση με χ 4χ 0 4 f ( ) Η τρίτη παράγωγος της f είναι ίση 4. Η παράγωγος της συνάρτησης 5. Η παράγωγος της συνάρτησης f ( ), 0 είναι ίση με f ( ) είναι ίση με

33 a b, Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= c,... χ 0 =. Τότε: a=c c=a c=a b+c που είναι παραγωγίσιμη στο 7. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= ημχ+συνχ. Τότε ισχύει: f () + f() = ημχ f () + f() = συνχ f () + f() = -συνχ f () + f() = -ημχ 8. Δίνονται οι συναρτήσεις f()=e + e - και g() = e - e -. Τότε: f() = -g () f () = g() f () = g () f () g () = 0 9. Αν ο μεγιστοβάθμιος όρος μιας πολυωνυμικής συνάρτησης είναι αχ α, όπου a 0, a τότε η παράγωγός της είναι: σταθερή συνάρτηση τριγωνομετρική συνάρτηση πολυωνυμική συνάρτηση με μεγιστοβάθμιο όρο α χ α- πολυωνυμική συνάρτηση με μεγιστοβάθμιο όρο αχ α- 0. Αν L()=f(g()) όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε L ()=f (g()) L ()=f ()g () L ()=f (g())g () L ()=f (g())g(). Αν S(t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, που κινείται ευθύγραμμα, τότε s( t0 ) s( t0 ) το κλάσμα,, 0 εκφράζει τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t=t 0 τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [t 0, t 0 + ] τη μέση τιμή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστημα [t 0, t 0 + ] τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t=t 0

34 4. Αν S(t) είναι η θέση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, που κινείται ευθύγραμμα, τότε s( t0 ) s( t0) η τιμή Α= lim,, 0 εκφράζει 0 τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t=t 0 τη μέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστημα [t 0, t 0 + ] τη μέση τιμή της επιτάχυνσης στο χρονικό διάστημα [t 0, t 0 + ] τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t=t 0 t. Αν s( t) e, t 0 είναι η συνάρτηση της θέσης ενός κινητού οποιαδήποτε χρονική στιγμή t sec, τότε η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t sec είναι ίση με: 4 e 6 e 6 4e 4 8e 4. Αν το κόστος κατασκευής χ μονάδων ενός προϊόντος περιγράφεται από τη συνάρτηση K( ) 4, 0 τότε ο ρυθμός μεταβολής του κόστους για 5 την παραγωγή 4 προϊόντων είναι ίσος με: Η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα Δ, είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, αν ισχύει: f () = 0, για κάθε σημείο χ του Δ f() = 0, για κάθε σημείο χ του Δ f () > 0, για κάθε σημείο χ του Δ f () < 0, για κάθε σημείο χ του Δ 6. Η συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της είναι η 5 f ( ) f ( ) f ( ) e 6 4 f ( ) ln

35 5 7. Η συνάρτηση που είναι γνησίως φθίνουσα στο, είναι η f ( ) f ( ) f ( ) e f ( ) ln 8. Αν η f έχει τη διπλανή γραφική παράσταση, τότε μια πιθανή γραφική παράσταση της f είναι η 9. Η γραφική παράσταση C f της παραγώγου μιας συνάρτησης f, φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε ισχύει ότι: Η f είναι γνησίως αύξουσα μόνο στο (,] Η f είναι γνησίως φθίνουσα μόνο στο [, ) Η f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο χ 0 = Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0. Η γραφική παράσταση C f της παραγώγου μιας συνάρτησης f, φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τότε δεν ισχύει ότι: Η f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο χ 0 = Η f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο χ 0 = Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,] Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,]. Αν f ( ) f ( ) για κάθε, τότε: η f έχει τοπικό μέγιστο η f έχει τοπικό ελάχιστο η f είναι γνησίως αύξουσα

36 6 η f είναι γνησίως φθίνουσα. Οι πιθανές θέσεις ακροτάτων μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης στο [α,β] είναι: Μόνο τα άκρα του διαστήματος Μόνο τα εσωτερικά σημεία στα οποία μηδενίζεται η f Μόνο τα εσωτερικά σημεία στα οποία δεν ορίζεται η f Όλα τα προηγούμενα. Οι πιθανές θέσεις ακροτάτων μιας γνησίως αύξουσας και συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης στο [α,β] είναι: Μόνο τα άκρα του διαστήματος Μόνο τα εσωτερικά σημεία στα οποία μηδενίζεται η f Μόνο τα εσωτερικά σημεία στα οποία δεν ορίζεται η f Όλα τα προηγούμενα 4. Οι πιθανές θέσεις ακροτάτων μιας γνησίως φθίνουσας και συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης στο (α,β) είναι: Μόνο τα άκρα του διαστήματος Μόνο τα εσωτερικά σημεία στα οποία μηδενίζεται η f Μόνο τα εσωτερικά σημεία στα οποία δεν ορίζεται η f Ανύπαρκτες 5. Αν η παράγωγος f μιας συνάρτησης είναι πολυώνυμο ου βαθμού, τότε η f έχει πάντα ένα ακριβώς ακρότατο δυο ακριβώς ακρότατα δυο τουλάχιστον ακρότατα δυο το πολύ ακρότατα 6. Η συνάρτηση που δεν έχει κανένα ακρότατο στο πεδίο ορισμού της είναι η: f ( ) e 6, f ( ) ln 4, 0 f ( ), f ( ), 0 7. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= 5. Οι τιμές του χ για τις οποίες ισχύει f ()=0 είναι: χ= ή χ=4 χ=0 ή χ=-4 χ=- ή χ=4 χ=0 ή χ=4

37 7 8. Η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο (ε) στο σημείο χ 0. Τότε: χ 0 =, ε = 4 χ 0 =, ε = 4 χ 0 =, ε = 4 χ 0 =, ε = 4 9. Η συνάρτηση f ( ) 004 με πεδίο ορισμού το [, ] έχει ακρότατα: 000, , , 0 00, Αν για τη συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύουν f ( 0 ) 0 και f ( 0) 0 με χ 0 εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση f: παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για 0 είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για 0 δεν παρουσιάζει ακρότατο για 0 4. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και χ 0 εσωτερικό σημείο του Δ για το οποίο υπάρχει f ( 0 ). Το εσωτερικό σημείο χ 0 είναι σημείο ακροτάτου της f, αν ισχύει: f( 0 ) = 0 f () 0 f () = 0 f () = 0 και f () 0 4. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει f ( 0) f ( 0) 0, για κάποιο χ 0 που ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε Η f έχει τοπικό ελάχιστο στο χ 0 Η f έχει τοπικό μέγιστο στο χ 0 Η f δεν έχει ακρότατο στο χ 0 Δεν μπορούμε να αποφανθούμε για το είδος του ακρότατου της f στο χ 0

38 8 4. Η συνάρτηση f ( ) είναι: άλλη μορφή της συνάρτησης f ( ) η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) σύνθεση των συναρτήσεων f ( ) και g( ) η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) 44. Από τις παρακάτω συναρτήσεις, έχει παράγωγο τη συνάρτηση συνάρτηση: g( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) η 45. Η παράγουσα της συνάρτησης g( ) g ( ) ln g( ) ln g ( ) 46. Η παράγουσα της συνάρτησης g 4 ( ) g 6 ( ) 6 g 4 ( ) 4 g 5 g ( ) f ( ) είναι η : g( ) 5 f ( ) g ( ) g ( ) είναι η Γ. Ερωτήσεις Ανάπτυξης. Για την f ( ) 5 υπολογίστε, με τη βοήθεια του ορισμού Το f () Το f (5)

39 9 Το f ( ) για κάθε χ 0 0. Για την f ( ) 5 υπολογίστε, με τη βοήθεια του ορισμού Το f (0) Το f () Το f ( ) για κάθε χ 0 0. Για την f ( ) υπολογίστε, με τη βοήθεια του ορισμού Το f () Το f (4) Το f ( ) για κάθε χ 0 > 0 0, Εξετάστε αν η συνάρτηση f() =,... είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 = 0, Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()=. Εξετάστε αν είναι 5,... παραγωγίσιμη στο χ 0 =, Εξετάστε αν η συνάρτηση f() =,... είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =, Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()=. Εξετάστε αν είναι 5 4,... παραγωγίσιμη στο χ 0 = 5 6, Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()=. Εξετάστε αν είναι,... παραγωγίσιμη στο χ 0 = 9. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση χ 0 = f ( ) 9, 5, είναι παραγωγίσιμη στο 0. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f ( ) 0, 0 είναι παραγωγίσιμη στο: i. 0 ii. 0, 0 0

40 40. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με τύπο αλλά όχι παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0 =- f ( ) είναι συνεχής στο,. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). i. Να γράψετε τον τύπο της f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής ii. Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο χ 0 = iii. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =. Πώς δικαιολογούνται τα αποτελέσματα των (ii) και (iii);,.... Έστω η f() =. Εξετάστε αν η f είναι:,... Συνεχής στο χ 0 = Παραγωγίσιμη στο χ 0 = 4, Δίνεται η συνάρτηση f ( ). a,... Να βρείτε τις τιμές του a για τις οποίες η f είναι συνεχής στο χ 0 = Για τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση είναι συνεχής, να εξετάσετε αν είναι και παραγωγίσιμη a, Έστω f() = b,... 0 Υπολογίστε τις τιμές των Συνεχής στο χ 0 = 0 παραγωγίσιμη στο χ 0 = 0 όπου a, b πραγματικοί αριθμοί. a, b για τις οποίες η συνάρτηση είναι: 6. Να προσδιορίσετε τα a, R ώστε η συνάρτηση, f ( ) a, να είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο., Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() =. Να βρείτε τις τιμές των a b,... a, b για τις οποίες η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =, 8. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τις τιμές των α,β, για τις οποίες η f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =-

41 4, Έστω f() = a b,... Υπολογίστε τις τιμές των χ 0 = όπου a, b πραγματικοί αριθμοί. a, b για τις οποίες η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0. Να βρείτε τα α,β ώστε η συνάρτηση f με τύπο είναι παραγωγίσιμη στο σημείο χ 0 = f ( ),... να,...,.... Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f ( ),... ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο χ=ξ.να βρείτε τα α, β. Δίνεται η συνάρτηση, f ( ), a, Να βρείτε τα a,, R ώστε η f να είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την f (). Υπολογίστε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f ( ) g( ) ln e ( ) f ( ) g ( ) e 6 ( ) 5 5 f ( ) 4 ln g( ) 5 ( ) 4 a

42 4 4. Υπολογίστε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f ( ) g( ) e 7 8 ( ) 4 f ( ) g( ) ( ) 6 4 f ( ) ln g( ) ln ln 6 ( ) 5 8 Στη συνέχεια, υπολογίστε και τις δεύτερες παραγώγους τους 5. Υπολογίστε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f ( ) e g( ) 5 ln ( ) f ( ) ( ) g( ) ( ) e ( ) ( ) f ( ) g( ) ( ) ( ) ln f ( )

43 4 6. Ομοίως, υπολογίστε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( ) e ( ) e ln f ( ) g( ) ( ) e f ( ) e

44 44 7. Υπολογίστε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f ( ) ( ) 5 g( ) ( ) ln ( ) f ( ) (5e ) g( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) g( ) e ( ) e 5 f ( ) g( ) e ( ) ln f ( ) g( ) ( ) 8. Υπολογίστε, για κάθε συνάρτηση, την παράγωγο στο σημείο χ 0 f ( ),... 5 g( ) e ( ) ( k( ) 5,... ) ln,... 5,

45 45 9. Να γράψετε στο γραπτό σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Συνάρτηση Πρώτη παράγωγος Α). ln Β) 4. 7 Γ) ln 4 7 Δ) 4. 6, ln Έστω η συνάρτηση f ( ) 5 4. Υπολογίστε: Την παράγωγο συνάρτηση f (χ) Τους αριθμούς f (0), f (). Έστω η συνάρτηση f ( ). Υπολογίστε: Την παράγωγο συνάρτηση f (χ) Τους αριθμούς f (0), f (). Έστω η συνάρτηση f ( ),. Υπολογίστε: Την παράγωγο συνάρτηση f (χ) Τους αριθμούς f (0), f (). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln Υπολογίστε τους τύπους των f ( ), f ( ), f ( ) Βρείτε τους αριθμούς f (), f (), f (0) 4. Δίνεται η συνάρτηση 5 f ( ) 4 Υπολογίστε την παράγωγο της f στο σημείο χ 0 = Υπολογίστε τη δεύτερη παράγωγο της f στο σημείο χ 0 = 5. Έστω f ( ) ln a, όπου α σταθερός αριθμός και χ>0. Βρείτε τους τύπους της πρώτης, της δεύτερης και της τρίτης παραγώγου της συνάρτησης

46 46 Υπολογίστε τους αριθμούς f (), f, f 4 6. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e Υπολογίστε τους τύπους των f ( ), f ( ), f ( ) Βρείτε τους αριθμούς f (0), f (0), f (0) 7. Αν f ( ), να βρεθεί ο αριθμός f ( 8) 8. Να προσδιορίσετε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ), f,,, ii) f ( ) e ln iii) f ( ) ( ) 4 iv) f ( ) vi) f ( ) Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f ( ) 4e f 5 ( ) ln 7, 0 f ( ) e f ( ) 5 e f ( ),... ln e 4 00 f ( ) ( 5 ) f 5 ( ) 4,... 0 f ( ) e 6 f ( ) ( ) ln( 5) f ( ) f ( ) e f ( ) ln

47 Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) a f ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) 4 f ( ) e f ( ) ln( ) f ( ) f ( ) ln 5 f ( ) 4 ln, 0 f ( ) ln 4. Να εξετάσετε αν καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, και στη συνέχεια να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση, όπου αυτή ορίζεται 00,... 0,... f ( ) f ( ) 0,... 0,,... f ( ) 4 7, 4, Θεωρούμε τη συνάρτηση f() =,... 0 Υπολογίστε την f () για 0 Υπολογίστε τους αριθμούς f ( ), f (5) Είναι η f παραγωγίσιμη στο χ 0 = 0;

48 48, Θεωρούμε τη συνάρτηση f() =,... Υπολογίστε την f () για Υπολογίστε τους αριθμούς f (0), f (4) Είναι η f παραγωγίσιμη στο χ 0 = ;, Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = 4 ln,... Εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο χ 0 = Εξετάστε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 = Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης στα σημεία χ 0 =0 και χ 0 =4 e, Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = e,... 0 Εξετάστε αν η f είναι συνεχής στο χ 0 =0 Εξετάστε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0 =0 Υπολογίστε την παράγωγο της συνάρτησης στα σημεία χ 0 =- και χ 0 = 46. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και αποδείξετε ότι f (0)=α lim 0 f ( ) a ( a ), να Αν f ( ) ( ), να αποδειχθεί η ισότητα ( ) f ( ) f ( ) 00 f ( ) 48. Για τη συνάρτηση f ( ), να δείξετε ότι f ( ) f ( ) f ( ) Αν f ( ) e να δείξετε ότι (4) f f 4 ( ) Δίνεται η συνάρτηση f() = ημ χ Υπολογίστε τους τύπους των f ( ), f ( ) Αποδείξτε ότι ισχύει f ( ) 4 f ( ) για κάθε χ 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = ημχ - χσυνχ Υπολογίστε τον τύπο της f ( ) Αποδείξτε ότι ισχύει f ( ) f ( ) ημχ, για κάθε χ

49 49 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e. Να βρείτε το σύνολο, στο οποίο η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη Να βρείτε τις παραγώγους f, f και να δείξετε ότι f ( ) f ( ) f ( ) 0 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln, 0. i.να βρείτε την f ( ) ii.να εξετάσετε αν υπάρχουν χ 0 >0 για τα οποία να ισχύει f ( 0 ) Δίνεται η συνάρτηση ( ) f e i. Να βρείτε τις f ( ), f ( ) ii. Να λύσετε την εξίσωση f (χ)=0 iii. Αν ρ είναι η ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να δείξετε ότι f (ρ)>0 55. Αν f ( ) ae e, να αποδειχθεί ότι 4 f f ( ) 56. Αν f ( ) e, να δείξετε ότι f f f ( ) ( ) ( ) Αν f ( ) e e να δείξετε ότι f ( ) f ( ) f ( ) Αν f ( ) να δείξετε ότι f f Αν f ( ) και g( ) f ( ), να δείξετε ότι g () Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με g(5) και ισχύει f ( ) ( 5) g( ), τότε Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο Να υπολογίσετε την f (5) 6. Για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο 0 = 0 και ότι είναι f(0)=. Έστω g η συνάρτηση με τύπο g() = f() + e. Υπολογίστε την παράγωγο της g στο 0 = Να προσδιορίσετε τα a, R ώστε η συνάρτηση, f ( ) 5, να είναι παραγωγισιμη στο R και να προσδιορίσετε f.

50 50 6. Έστω η συνάρτηση f με τύπο f. ( ),(, ) Να δείξετε ότι f ( ) f ( ) Να βρείτε τα α,β ώστε να είναι f () και f () 64. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a, 0. i. Να δείξετε ότι f ( ) f ( ), για κάθε 0 6 ii. Να βρείτε τα α,β αν είναι γνωστό ότι ισχύει f ()=0 και f 98 a 65. Έστω η συνάρτηση f ( ), όπου a, R, με f () και Να υπολογίσετε τα α,β. 5 f (0) 66. Να βρείτε την πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού για την οποία ισχύει: f (), f ( ), f () 0, f (8) Να βρείτε πολυώνυμο P() τετάρτου βαθμού τέτοιο ώστε να είναι P(0), P() 6, P (0), P () 7 και P () 68. Ένα σώμα αφήνεται να πέσει τη χρονική στιγμή t=0 από ύψος 5m. Αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα, σε χρόνο t (σε sec), το σώμα διανύει απόσταση S(t)=5t (σε μέτρα)να βρείτε: Τι διάστημα έχει διανύσει σε sec και πόσο απέχει από το έδαφος Σε πόσα sec το σώμα θα φτάσει στο έδαφος Τι ταχύτητα θα έχει τη στιγμή της επαφής του με το έδαφος 69. Η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τον 9 τύπο S ( t) t t 5t 4,...0 t 5 Να βρείτε: Την αρχική ταχύτητα του κινητού Τη χρονική στιγμή που η ταχύτητά του είναι 9 μονάδες ανά sec Την επιτάχυνση ου σώματος sec μετά την εκκίνησή του 70. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) είναι ^ A 0 0 και ΒΓ=α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του Ε(α) ως συνάρτηση του α Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του Ε(α) για α=

51 5 7. Αν α η πλευρά, υ το ύψος και Ε το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώνου και είναι γνωστό ότι, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε ως προς το ύψος υ. Να βρείτε το εμβαδόν Ε ενός τετραγώνου ως προς τη διαγώνιό του δ 7. Αν ο ρυθμός μεταβολής της ακμής α ενός κύβου συναρτήσει του χρόνου t είναι ίσος με 4cm. Να βρείτε sec ii. Το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειάς του, όταν η ακμή του είναι ίση με cm. iii. Το ρυθμό μεταβολής του όγκου του ως προς την ακμή του, όταν αυτή είναι ίση με 4 cm. 7. Διαθέτουμε μια κυλινδρική δεξαμενή πετρελαίου με διάμετρο m την οποία γεμίζουμε με ρυθμό 00π cm. Να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο: min i. Ανέρχεται η ελεύθερη επιφάνεια του πετρελαίου στη δεξαμενή ii. Βρέχονται από πετρέλαιο τα πλάγια εσωτερικά τοιχώματα της δεξαμενής 74. Η ακτίνα r ενός αερόστατου που φουσκώνει μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (σε sec) σύμφωνα με τον τύπο r( t) e t cm. Να βρείτε i. Το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας του μπαλονιού, τη χρονική στιγμή t= sec ii. Το ρυθμό μεταβολής του όγκου του μπαλονιού τη χρονική στιγμή t=4 sec 75. Φουσκώνουμε μια σφαιρική μπάλα και ο όγκος της αυξάνεται με ρυθμό 500 cm. Να βρείτε: Το ρυθμό μεταβολής της ακτίνας της μπάλας, όταν αυτή είναι cm Την ακτίνα της μπάλας τη χρονική στιγμή που η επιφάνειά της αυξάνεται με ρυθμό 00cm. sec 76. Κάτω από ένα ύφασμα βρίσκεται ένα κερί και η φλόγα του προκαλεί μια κυκλική τρύπα στο ύφασμα της οποίας το εμβαδόν αυξάνεται με ρυθμό ο,π cm. Να βρείτε: sec i. Το ρυθμό μεταβολής της ακτίνας της κυκλικής τρύπας τη χρονική στιγμή που η ακτίνα είναι ίση με cm. ii. Το ρυθμό μεταβολής του μήκους της κυκλικής περιφέρειας της τρύπας τη χρονική στιγμή που η ακτίνα είναι ίση με cm 77. Η αξία ενός Η.Υ t χρόνια μετά από την αγορά του δίνεται, κατά προσέγγιση, από τη συνάρτηση f ( t) 0 t (σε χιλιάδες ευρώ) όπου t. Ποια είναι η αξία του υπολογιστή χρόνο, 8 μήνες και 5 χρόνια μετά από το έτος αγοράς; sec

52 5 Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της αξίας του υπολογιστή μετά από 5 χρόνια; 78. Μια βιομηχανία ξοδεύει για την παραγωγή ενός προϊόντος K( ) 0,5 000, με 0 000, και τα έσοδα από την πώληση του προϊόντος είναι E( ) 00 με i. Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους από την πώληση χ προϊόντων ii. Να βρείτε το κέρδος από την παραγωγή 00 προϊόντων iii. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους όταν πουληθούν 0 προϊόντα 79. Το ημερήσιο κόστος παραγωγής χ μονάδων Ηλ. Υπολογιστών είναι από ένα εργοστάσιο είναι K( ) , ενώ τα έσοδα από την πώλησή τους είναι ( ) 60 Υπολογίστε τη συνάρτηση του κέρδους f ( ) K( ) ( ) Τι εκφράζει ο αριθμός f(0); Ποια συνάρτηση εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του κέρδους; Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους για χ=50; 80. Αν Κ(χ), Ε(χ), Ρ(χ) και Κ ì (χ) είναι για χ μονάδες ενός προϊόντος το κόστος, η είσπραξη, το κόστος και το μέσο κόστος αντίστοιχα, να δειχθεί ότι: Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι μηδέν όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους ισούνται με το μέσο κόστος Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι μηδέν, όταν οι ρυθμοί μεταβολής είσπραξης και κόστους γίνουν ίσοι 8. Δυο αυτοκίνητα κινούνται κατά μήκος των δρόμων ΑΓ και ΓΒ με ταχύτητες 50 km και 80 km αντίστοιχα. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης ΑΒ, ως προς το χρόνο t, τη χρονική στιγμή t 0 κατά την οποία το πρώτο αυτοκίνητο απέχει από τη διασταύρωση km και το δεύτερο 4km. 8. Δίνεται η συνάρτηση f : με f ( ). Να υπολογίσετε την παράγωγο της f Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης

53 5 8. Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: f ( ) 5 g ( ) ( ) 7 f g( ) 5 e 4 ( ) 0 6 f ( ) ( ) g ( ) f ( ), 0 g( ), ( ) e f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( ) ( ) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: f ( ) 0 5 g( ) 5 7 ( ) 6 7 f ( ), g( ) 5