Κεφάλαιο 12 Εκτίμηση των Παραμέτρων ενός Πληθυσμού

Transcript

1 Κεφάλαιο 12 Εκτίμηση των Παραμέτρων ενός Πληθυσμού Copyright 2009 Cengage Learning 12.1

2 Εκτίμηση των Παραμέτρων ενός Πληθυσμού Population Sample Inference Parameter Statistic Θα αναπτύξουμε τεχνικές για τον υπολογισμό και τον έλεγχο τριών παραμέτρων πληθυσμού: Μέσος πληθυσμού, τυπική απόκλιση πληθυσμού, αναλογία πληθυσμού Copyright 2009 Cengage Learning 12.2

3 Μέσος Πληθυσμού όταν η Τυπική Απόκλιση είναι Άγνωστη Προηγουμένως εξετάσαμε την εκτίμηση και τον έλεγχο του μέσου ενός πληθυσμού όταν η τυπική απόκλιση ( ) είναι γνωστή ή δεδομένη: Πόσο συχνά όμως γνωρίζουμε την πραγματική διασπορά του πληθυσμού; Αντιθέτως χρησιμοποιούμε την κατανομή Student t, που δίδεται από τον τύπο: Copyright 2009 Cengage Learning 12.3

4 Μέσος Πληθυσμού όταν η Τυπική Απόκλιση είναι Άγνωστη Όταν είναι άγνωστη, χρησιμοποιούμε τον εκτιμητή s και ο έλεγχος z αντικαθίσταται από τον έλεγχο t, όπου ο αριθμός των «βαθμών ελευθερίας», είναι n 1. Copyright 2009 Cengage Learning 12.4

5 Έλεγχος όταν η είναι άγνωστη Όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη και ο πληθυσμός έχει κανονική κατανομή, ο έλεγχος υποθέσεων για τον μέσο μ του πληθυσμού υπολογίζεται από τον τύπο: που είναι η κατανομή Student t με = n 1 βαθμούς ελευθερίας. Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου δίδεται από τον τύπο: Copyright 2009 Cengage Learning 12.5

6 Παράδειγμα 12.1 Είναι πιθανό ότι στο κοντινό μέλλον οι χώρες θα πρέπει να κάνουν περισσότερα για να σώσουν το περιβάλλον. Μεταξύ των πιθανών δράσεων είναι η μείωση της κατανάλωσης ενέργειας και η ανακύκλωση. Σήμερα τα περισσότερα προϊόντα που παράγονται από ανακυκλωμένα υλικά είναι σημαντικά ακριβότερα από τα αντίστοιχα που παράγονται από πρώτες ύλες που βρίσκονται στη φύση. Copyright 2009 Cengage Learning 12.6

7 Παράδειγμα 12.1 Οι εφημερίδες αποτελούν μια εξαίρεση. Αυτές μπορούν να ανακυκλωθούν έχοντας οικονομικό όφελος. Η σημαντικότερη πηγή κόστους είναι η συλλογή τους από τα νοικοκυριά. Τα τελευταία χρόνια αρκετές εταιρείες δραστηριοποιούνται στη συλλογή χρησιμοποιημένων εφημερίδων από τα νοικοκυριά και την ανακύκλωσή τους. Ένας οικονομικός αναλυτής μιας τέτοιας εταιρείας υπολόγισε πρόσφατα ότι για να είναι η εταιρεία κερδοφόρα θα πρέπει η μέση εβδομαδιαία ποσότητα συλλογής εφημερίδων από κάθε νοικοκυριό να είναι μεγαλύτερη από 2.0 λίβρες. Copyright 2009 Cengage Learning 12.7

8 Παράδειγμα 12.1 Στα πλαίσια μιας μελέτης σκοπιμότητας για την κατασκευή ενός νέου εργοστασίου ανακύκλωσης, η εταιρία επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 148 νοικοκυριών της περιοχής και κατέγραψε το βάρος των εφημερίδων που πέταξε κάθε νοικοκυριό του δείγματος στη διάρκεια της εβδομάδας (αρχείο Xm12-01). Μπορούμε από τα δεδομένα αυτά να συμπεράνουμε ότι το σχεδιαζόμενο νέο εργοστάσιο ανακύκλωσης θα είναι κερδοφόρο; Copyright 2009 Cengage Learning 12.8

9 Παράδειγμα 12.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Στόχος μας είναι να περιγράψουμε τον πληθυσμό της ποσότητας απορριπτόμενων εφημερίδων ανά νοικοκυριό, που είναι μια συνεχής μεταβλητή. Επομένως η παράμετρος που πρέπει να ελεγχθεί είναι ο μέσος του πληθυσμού μ. Θέλουμε να ξέρουμε εάν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι ο μέσος είναι μεγαλύτερος από 2. Άρα H 1 : µ > 2 Ως εκ τούτου ορίζουμε τη συνήθη μηδενική μας υπόθεση ως: H 0 : µ = 2 Copyright 2009 Cengage Learning 12.9

10 Παράδειγμα 12.1 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Ο έλεγχος είναι: t x s / n ν = n 1 Επειδή η εναλλακτική υπόθεση είναι: H 1 : µ > 2 η περιοχή απόρριψης γίνεται: t t t.01,148 t.01, 150, Copyright 2009 Cengage Learning 12.10

11 Παράδειγμα 12.1 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Η τιμή του ελέγχου είναι t = 2.24 και η τιμή-p του είναι Δεν υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία για να καταλήξουμε ότι το μέσο βάρος των απορριπτόμενων εφημερίδων είναι μεγαλύτερο από 2.0. Σημειώστε ότι υπάρχουν κάποια στοιχεία. Η τιμή- p είναι 0,0134. Ωστόσο, επειδή θέλαμε το σφάλμα Τύπου Ι να είναι μικρό, επιμέναμε σε μια στάθμη σημαντικότητας 1%. Επομένως δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το εργοστάσιο ανακύκλωσης θα είναι κερδοφόρο. Copyright 2009 Cengage Learning 12.11

12 Παράδειγμα 12.2 Το 2004 υποβλήθηκαν στις Ηνωμένες Πολιτείες 130,134,000 φορολογικές δηλώσεις. Η Υπηρεσία Φορολογικών Ελέγχων[ Internal Revenue Service (IRS)] πραγματοποίησε έλεγχο στο 0.77% ή σε 1,008,000 δηλώσεις για να διαπιστώσει εάν έχουν συμπληρωθεί σωστά. Για να καθορίσει πόσο καλά κάνουν τη δουλειά τους οι ελεγκτές επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα από τις δηλώσεις αυτές και κατέγραψε το ποσό του πρόσθετου φόρου (αρχείο Xm12-02). Να εκτιμήσετε με στάθμη εμπιστοσύνης 95% τον μέσο πρόσθετο φόρο των 1,008,000 ελεγμένων δηλώσεων. Copyright 2009 Cengage Learning 12.12

13 Παράδειγμα 12.2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Στόχος είναι η στατιστική περιγραφή του πληθυσμού του βεβαιωμένου πρόσθετου φόρου. Τα δεδομένα είναι συνεχή. Η παράμετρος που θα πρέπει να εκτιμηθεί είναι ο μέσος πρόσθετος φόρος. Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης είναι Copyright 2009 Cengage Learning 12.13

14 Παράδειγμα 12.2 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Υπολογίζουμε ότι ο μέσος πρόσθετος φόρος που βεβαιώνεται είναι μεταξύ $5,611 και $6,392. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την εκτίμηση για να βοηθήσουμε στην απόφαση εάν θα έπρεπε η IRS να είχε επιλέξει κάποιες άλλες κατηγορίες φορολογικών δηλώσεων για αναλυτικό έλεγχο. Copyright 2009 Cengage Learning 12.14

15 Έλεγχος Απαιτούμενων Συνθηκών Η κατανομή Student t είναι εύρωστη, που σημαίνει ότι εάν η κατανομή του πληθυσμού δεν είναι κανονική, τα αποτελέσματα του ελέγχου t και η εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης παραμένουν έγκυρα, με την προϋπόθεση ότι η κατανομή του πληθυσμού «δεν παρουσιάζει ακραίες αποκλίσεις». Για να εξετάσουμε αυτή την προϋπόθεση, κάνουμε ένα ιστόγραμμα των δεδομένων για να δούμε εάν η προκύπτουσα απεικόνιση έχει «σχήμα καμπάνας». Εάν ένα ιστόγραμμα είναι εξαιρετικά ασύμμετρο (όπως στην περίπτωση μιας εκθετικής κατανομής), θα μπορούσε να θεωρηθεί ως «ακραίων αποκλίσεων» και επομένως οι έλεγχοι t δεν θα ήταν έγκυροι στην περίπτωση αυτή. Copyright 2009 Cengage Learning 12.15

16 Frequency Ιστόγραμμα για το Παράδειγμα 12.1 Histogram: Example Newspaper Copyright 2009 Cengage Learning 12.16

17 Frequency Ιστόγραμμα για το Παράδειγμα Taxes Copyright 2009 Cengage Learning 12.17

18 Άθροισμα Πεπερασμένου Πληθυσμού Οι επαγωγικές τεχνικές που έχουμε γνωρίσει μέχρι τώρα ισχύουν για πληθυσμούς που έχουν άπειρο μέγεθος. Στην πραγματικότητα όμως οι πληθυσμοί είναι πεπερασμένοι. Όταν ο πληθυσμός είναι μικρός πρέπει να προσαρμόσουμε τον έλεγχο και τον εκτιμητή διαστήματος χρησιμοποιώντας τον διορθωτικό παράγοντα πεπερασμένου πληθυσμού που συναντήσαμε στο Κεφάλαιο 9. Ωστόσο, σε πληθυσμούς σχετικά μεγάλους συγκριτικά με το μέγεθος δείγματος μπορούμε να αγνοήσουμε τον διορθωτικό παράγοντα. Ένας πληθυσμός θεωρείται μεγάλος όταν είναι τουλάχιστον 20πλάσιος από το μέγεθος του δείγματος. Copyright 2009 Cengage Learning 12.18

19 Άθροισμα Πεπερασμένου Πληθυσμού Οι πεπερασμένοι πληθυσμοί μας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης ενός μέσου για να υπολογίσουμε έναν εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης όλων των τιμών του πληθυσμού. Για να υπολογίσουμε το άθροισμα πολλαπλασιάζουμε το κατώτερο και το ανώτερο όριο εμπιστοσύνης της εκτίμησης του μέσου με το μέγεθος του πληθυσμού. Επομένως, ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης του αθροίσματος είναι s N x t / 2 n Copyright 2009 Cengage Learning 12.19

20 Άθροισμα Πεπερασμένου Πληθυσμού Για παράδειγμα, ένα δείγμα 500 νοικοκυριών (σε μια πόλη 1 εκατομμυρίου νοικοκυριών) αποκαλύπτει με μια εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης 95% ότι ο μέσος των νοικοκυριών που δαπανήθηκε για καραμέλες στις Αποκριές είναι μεταξύ 20 & 30 ευρώ. Μπορούμε να υπολογίσουμε το συνολικό ποσό που δαπανήθηκε στην πόλη πολλαπλασιάζοντας αυτό το κατώτερο και ανώτερο όριο εμπιστοσύνης με το σύνολο του πληθυσμού. Επομένως υπολογίζουμε ότι το συνολικό ποσό που δαπανήθηκε στις Απόκριες στην πόλη είναι μεταξύ 20 εκατομμυρίων και 30 εκατομμυρίων ευρώ. Copyright 2009 Cengage Learning 12.20

21 Κατανόηση των Στατιστικών Εννοιών Ο έλεγχος t και ο έλεγχος z μετρούν τη διαφορά μεταξύ του δειγματικού μέσου και τον υποθετικό μέσο του πληθυσμού με όρους αριθμού τυπικών σφαλμάτων. Ωστόσο, όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι άγνωστη υπολογίζουμε το τυπικό σφάλμα ως s / n Copyright 2009 Cengage Learning 12.21

22 Κατανόηση των Στατιστικών Εννοιών Όταν εισάγαμε την κατανομή Student t στην Ενότητα 8.4 επισημάναμε ότι η καμπύλη της κατανομής έχει μεγαλύτερο εύρος από αυτήν την κανονικής κατανομής. Η εξήγηση είναι απλή. Η μόνη μεταβλητή στον έλεγχο z είναι ο δειγματικός μέσος, ο οποίος ποικίλει από δείγμα σε δείγμα. Copyright 2009 Cengage Learning 12.22

23 Κατανόηση των Στατιστικών Εννοιών Ο έλεγχος t έχει δύο μεταβλητές, τον δειγματικό μέσο και την τυπική απόκλιση δείγματος s, και οι δύο εκ των οποίων ποικίλουν από δείγμα σε δείγμα. Λόγω αυτού του στοιχείου ο έλεγχος t θα εμφανίζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα. Copyright 2009 Cengage Learning 12.23

24 Διασπορά ενός Πληθυσμού Εάν μας ενδιαφέρει να βγάλουμε συμπεράσματα για την μεταβλητότητα του πληθυσμού, η παράμετρος που θα πρέπει να εκτιμήσουμε είναι η διασπορά σ 2 του πληθυσμού Η διασπορά του δείγματος (s 2 ) είναι ένας αμερόληπτος, συνεπής και αποτελεσματικός εκτιμητής της διασποράς πληθυσμού σ 2. Επιπλέον, ο στατιστικός δείκτης χ 2, με n 1 βαθμούς ελευθερίας., ακολουθεί κατανομή Copyright 2009 Cengage Learning 12.24

25 Έλεγχος & Εκτίμηση Διασποράς Πληθυσμού Συνδυάζοντας αυτό το στατιστικό στοιχείο: Με την έκφραση πιθανοτήτων: Έχουμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης για την κατώτερο όριο εμπιστοσύνης ανώτερο όριο εμπιστοσύνης Copyright 2009 Cengage Learning 12.25

26 Παράδειγμα 12.3 Αυτόματες μηχανές πλήρωσης κυτίων χρησιμοποιούνται στη συσκευασία διαφόρων υγρών, συμπεριλαμβανομένου γάλακτος, αναψυκτικών και βαφών. Στην ιδανική περίπτωση, η ποσότητα του υγρού σε κάθε συσκευασία θα πρέπει να παρουσιάζει μόνο πολύ μικρές αποκλίσεις, αφού σε περιπτώσεις μεγάλων αποκλίσεων κάποια δοχεία θα έχουν μικρότερη ποσότητα (εξαπάτηση του πελάτη) και κάποια θα έχουν υπερβολική ποσότητα (σπατάλη για τον παραγωγό). Ο πρόεδρος μιας εταιρείας που ανέπτυξε μια μηχανή νέου τύπου υπερηφανεύεται ότι η μηχανή αυτή μπορεί να γεμίσει κυτία 1 λίτρου (1,000 κυβικών εκατοστών) με τέτοια συνέπεια, ώστε η διασπορά των ποσοτήτων να είναι μικρότερη από 1 (κυβ. εκατοστό). Copyright 2009 Cengage Learning 12.26

27 Παράδειγμα 12.3 Για τον έλεγχο του ισχυρισμού η εταιρεία επέλεξε ένα τυχαίο δείγμα 25 συσκευασιών του 1 λίτρου και τα αποτελέσματα (σε κυβικά εκατοστά) καταγράφονται στο αρχείο Xm Μπορούμε από τα δεδομένα αυτά να συμπεράνουμε με στάθμη σημαντικότητα 5% ότι ο ισχυρισμός του προέδρου είναι σωστός; Copyright 2009 Cengage Learning 12.27

28 Παράδειγμα 12.3 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η περιγραφή του πληθυσμού των συσκευασιών 1 λίτρου που γεμίζονται από τη μηχανή αυτή. Τα δεδομένα είναι συνεχή, και ενδιαφερόμαστε για την μεταβλητότητα των γεμισμάτων. Δηλαδή, η παράμετρος που μας ενδιαφέρει είναι η διασπορά σ 2 του πληθυσμού. Copyright 2009 Cengage Learning 12.28

29 Παράδειγμα 12.3 Επειδή θέλουμε να προσδιορίσουμε εάν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να υποστηριχθεί ο ισχυρισμός, η εναλλακτική υπόθεση είναι H1 : 1 Η μηδενική υπόθεση είναι 2 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ 2 H0 : 1 και ο έλεγχος που θα χρησιμοποιήσουμε είναι 2 2 (n 1) s 2 Copyright 2009 Cengage Learning 12.29

30 Παράδειγμα 12.3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ A B C D Chi Squared Test: Variance Fills Sample Variance Hypothesized Variance 1 df 24 chi-squared Stat P (CHI<=chi) one-tail chi-squared Critical one tail Left-tail Right-tail P (CHI<=chi) two-tail chi-squared Critical two tail Left-tail Right-tail Copyright 2009 Cengage Learning 12.30

31 Παράδειγμα 12.3 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Δεν υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να μας κάνουν να συμπεράνουμε ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής. Όπως έχουμε εξετάσει σε προηγούμενα παραδείγματα, το αποτέλεσμα δεν σημαίνει απαραίτητα ότι η διασπορά είναι ίση με 1, παρά μόνο ότι δεν μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι η διασπορά είναι μικρότερη του 1. Copyright 2009 Cengage Learning 12.31

32 Παράδειγμα 12.4 Υπολογίστε με στάθμη εμπιστοσύνης 99% τη διασπορά της ποσότητας του υγρού ανά συσκευασία από τα δεδομένα του Παραδείγματος Copyright 2009 Cengage Learning 12.32

33 Παράδειγμα A Chi Squared Estimate: Variance ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Fills Sample Variance df 24 LCL UCL B Copyright 2009 Cengage Learning 12.33

34 Παράδειγμα 12.4 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Στο Παράδειγμα 12.3 είδαμε ότι τα δεδομένα δεν μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι η διασπορά του πληθυσμού είναι μικρότερη από 1. Εδώ βλέπουμε ότι εκτιμάται πως βρίσκεται μεταξύ και Ένα μέρος αυτού του διαστήματος είναι πάνω από 1, κάτι που σημαίνει ότι η διασπορά μπορεί να είναι μεγαλύτερη του 1, επιβεβαιώνοντας το συμπέρασμα που βγάλαμε στο Παράδειγμα Copyright 2009 Cengage Learning 12.34

35 Παράδειγμα 12.4 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Είμαστε σε θέση να χρησιμοποιήσουμε την εκτίμηση αυτή για να προβλέψουμε το ποσοστό των φιαλών που έχουν περισσότερο ή λιγότερο περιεχόμενο. Αυτό μπορεί να μας επιτρέψει να συγκρίνουμε την απόδοση συγκεκριμένων μηχανών συσκευασίας. Copyright 2009 Cengage Learning 12.35

36 Αναλογία ενός Πληθυσμού Όταν τα δεδομένα είναι ονομαστικά, μετράμε τον αριθμό των εμφανίσεων κάθε τιμής και υπολογίζουμε τις αναλογίες. Επομένως, η παράμετρος που ενδιαφέρει στην περιγραφή ενός πληθυσμού ονομαστικών δεδομένων είναι η αναλογία πληθυσμού p. Η παράμετρος αυτή βασίζεται στο διωνυμικό πείραμα. Θυμηθείτε τη χρήση αυτού του στατιστικού στοιχείου: όπου p «καπελάκι» ( ) είναι η αναλογία δείγματος: x αριθμός επιτυχιών σε ένα μέγεθος δείγματος n. Copyright 2009 Cengage Learning 12.36

37 Αναλογία ενός Πληθυσμού Όταν το np και το n(1 p) είναι και τα δύο μεγαλύτερα από 5, η κατανομή δειγματοληψίας του είναι περίπου κανονική με μέσο: τυπική απόκλιση Επομένως: Copyright 2009 Cengage Learning 12.37

38 Αναλογία ενός Πληθυσμού. Ο έλεγχος υπόθεσης για μια p: Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης για την p δίδεται από τον τύπο: (και οι δύο τύποι απαιτούν np>5 και n(1 p)>5) Copyright 2009 Cengage Learning 12.38

39 Παράδειγμα 12.5 Την ημέρα των εκλογών, αμέσως μετά το κλείσιμο της κάλπης, οι τηλεοπτικοί σταθμοί ανταγωνίζονται για την ταχύτερη και ακριβέστερη πρόβλεψη των αποτελεσμάτων. Οι προβλέψεις βασίζονται σε μετρήσεις σε συγκεκριμένα [αντιπροσωπευτικά] εκλογικά τμήματα και σε δημοσκοπήσεις εξόδου. Οι δημοσκοπήσεις εξόδου διεξάγονται έξω από τα εκλογικά τμήματα και καλούνται τυχαία δείγματα ψηφοφόρων που μόλις έχουν εξέλθει να επαναλάβουν την ψήφο τους στην κάλπη της εταιρείας δημοσκοπήσεων. Copyright 2009 Cengage Learning 12.39

40 Παράδειγμα 12.5 Στις Αμερικανικές προεδρικές εκλογές, ο υποψήφιος που κερδίζει την πλειοψηφία των ψήφων σε μια πολιτεία κερδίζει και το σύνολο του Εκλεκτορικού Σώματος στην πολιτεία αυτή. Στη πράξη αυτό σημαίνει ότι θα κερδίσει είτε ο Δημοκρατικός είτε ο Ρεπουμπλικάνος υποψήφιος. Έστω ότι τα αποτελέσματα σε μια δημοσκόπηση εξόδου σε μια πολιτεία καταγράφηκαν όπου 1 = Δημοκρατικός και 2 = Ρεπουμπλικάνος. Τα δεδομένα περιέχονται στο αρχείο (Xm12-05) Copyright 2009 Cengage Learning 12.40

41 Παράδειγμα 12.5 Οι κάλπες κλείνουν στις 8:00 το βράδυ. Μπορούν τα τηλεοπτικά δίκτυα να συμπεράνουν από αυτά τα δεδομένα ότι εκλέγεται ο Ρεπουμπλικάνος υποψήφιος; Θα πρέπει το δίκτυο να αναγγείλει στις 8:01 μ.μ. ότι κέρδισε ο Ρεπουμπλικάνος υποψήφιος; Copyright 2009 Cengage Learning 12.41

42 Παράδειγμα 12.5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η περιγραφή του πληθυσμού των ψήφων στην πολιτεία. Τα δεδομένα είναι ονομαστικά καθώς οι τιμές είναι «Δημοκρατικός» και «Ρεπουμπλικάνος». Επομένως, η παράμετρος που πρέπει να εξεταστεί είναι η αναλογία ψήφων σε όλη την πολιτεία που είναι υπέρ του Ρεπουμπλικάνου υποψηφίου. Επειδή θέλουμε να καθορίσουμε εάν το δίκτυο μπορεί να ανακηρύξει νικητή τον Ρεπουμπλικάνο στις 8:01 μ.μ., η εναλλακτική υπόθεση είναι H 1 : p > 0.50 Και επομένως η μηδενική μας υπόθεση γίνεται: H 0 : p = 0.50 Copyright 2009 Cengage Learning 12.42

43 Παράδειγμα 12.5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Ο έλεγχος είναι z pˆ p p(1 p) / n Copyright 2009 Cengage Learning 12.43

44 Παράδειγμα 12.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ A B C D z-test: Proportion Votes Sample Proportion Observations 765 Hypothesized Proportion 0.5 z Stat 1.77 P(Z<=z) one-tail z Critical one-tail P(Z<=z) two-tail z Critical two-tail 1.96 Copyright 2009 Cengage Learning 12.44

45 Παράδειγμα 12.5 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Με στάθμη σημαντικότητας 5% απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση και καταλήγουμε ότι υπάρχουν επαρκή στοιχεία για να συμπεράνουμε ότι ο Ρεπουμπλικάνος υποψήφιος θα κερδίσει την πολιτεία. Ωστόσο, είναι αυτή η απόφαση ορθή; Copyright 2009 Cengage Learning 12.45

46 Παράδειγμα 12.5 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ένα από τα βασικά ζητήματα προς εξέταση είναι το κόστος του σφάλματος Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ. Ένα σφάλμα Τύπου Ι προκύπτει εάν συμπεράνουμε ότι ο Ρεπουμπλικάνος υποψήφιος θα κερδίσει όταν στην πραγματικότητα έχει χάσει. Copyright 2009 Cengage Learning 12.46

47 Παράδειγμα 12.5 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Ένα τέτοιο σφάλμα θα σήμαινε ότι ένα τηλεοπτικό δίκτυο θα ανακοίνωνε στις 8:01 μ.μ. ότι ο Ρεπουμπλικάνος έχει κερδίσει και στη συνέχεια αργότερα το βράδυ θα παραδεχόταν το λάθος. Εάν ένα συγκεκριμένο δίκτυο ήταν το μόνο που έκανε αυτό το σφάλμα τότε αυτό θα είχε επιπτώσεις στην αξιοπιστία του και πιθανώς θα επηρέαζε και την τηλεθέασή του. Copyright 2009 Cengage Learning 12.47

48 Παράδειγμα 12.5 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Αυτό ακριβώς συνέβη το βράδυ των προεδρικών εκλογών στις ΗΠΑ το Νοέμβριο του Λίγο μετά το κλείσιμο της κάλπης στις 8:00 μ.μ. όλα τα τηλεοπτικά δίκτυα ανακοίνωσαν ότι ο Δημοκρατικός υποψήφιος Albert Gore θα κέρδιζε την πολιτεία της Φλόριντα. Δύο ώρες αργότερα, τα δίκτυα παραδέχθηκαν ότι έγινε λάθος και ότι είχε κερδίσει ο Ρεπουμπλικάνος υποψήφιος George W. Bush. Copyright 2009 Cengage Learning 12.48

49 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Παράδειγμα 12.5 Αρκετές ώρες αργότερα παραδέχθηκαν και πάλι ότι κάνουν λάθος και τελικώς ανακοίνωσαν ότι η μάχη ήταν «στήθος με στήθος». Ευτυχώς για το κάθε δίκτυο ξεχωριστά, όλα τα δίκτυα έκαναν το ίδιο λάθος. Ωστόσο, εάν ένα δίκτυο δεν είχε κάνει αυτό το λάθος θα είχε να επιδείξει καλύτερες επιδόσεις, κάτι που θα μπορούσε στο μέλλον να μεταφραστεί σε περισσότερες διαφημίσεις και πιθανώς σε προσέλκυση περισσότερων τηλεθεατών. Εξετάζοντας το κόστος του σφάλματος Τύπου Ι και Τύπου ΙΙ θα ήταν καλύτερα να χρησιμοποιηθεί μια στάθμη σημαντικότητας 1%. Copyright 2009 Cengage Learning 12.49

50 Εκτίμηση Συνολικού Αριθμού Επιτυχιών σε Μεγάλους Πεπερασμένους Πληθυσμούς Με σχεδόν τον ίδιο τρόπο που είδαμε ενωρίτερα, όταν ένας πληθυσμός είναι μεγάλος και πεπερασμένος μπορούμε να εκτιμήσουμε τον συνολικό αριθμό επιτυχιών στον πληθυσμό λαμβάνοντας το προϊόν του μεγέθους του πληθυσμού (N) και του εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης: Η εταιρεία Nielsen (που μετρά τις τηλεθεάσεις) χρησιμοποιεί αυτή την τεχνική. Τα αποτελέσματα ενός μικρού δείγματος τηλεθέασης (5.000 τηλεθεατές) χρησιμοποιούνται στην εξαγωγή του συνολικού αριθμού νοικοκυριών με τηλεόραση (110 εκατομμύρια). Copyright 2009 Cengage Learning 12.50

51 Αξιολογήσεις Nielsen Οι στατιστικές τεχνικές παίζουν ζωτικό ρόλο παρέχοντας βοήθεια στους διαφημιστές να προσδιορίσουν πόσοι τηλεθεατές παρακολουθούν τα προγράμματα στα οποία είναι χορηγοί. Αν και αρκετές εταιρείες εξάγουν δείγμα τηλεθεατών για να καθορίσουν ποια προγράμματα βλέπουν, η πιο γνωστή είναι η εταιρεία A. C. Nielsen. Οι αξιολογήσεις της Nielsen βασίζονται σε ένα τυχαίο δείγμα περίπου νοικοκυριών από 110 εκατομμύρια νοικοκυριά των ΗΠΑ που διαθέτουν τουλάχιστον μία τηλεόραση (το 2007). Copyright 2009 Cengage Learning 12.51

52 Αξιολογήσεις Nielsen Ένας μετρητής που προσαρμόζεται στις συσκευές τηλεόρασης στα επιλεγμένα νοικοκυριά καταγράφει πότε οι συσκευές ανοίγουν και ποια κανάλια παρακολουθούν. Τα δεδομένα αποστέλλονται στον υπολογιστή της Nielsen κάθε βράδυ, από τα οποία η Nielsen υπολογίζει την τηλεθέαση και οι χορηγοί μπορούν να καθορίσουν τον αριθμό των τηλεθεατών και την δυνητική αξία όλων των διαφημιστικών μηνυμάτων. Copyright 2009 Cengage Learning 12.52

53 Αξιολογήσεις Nielsen Τα αποτελέσματα της Κυριακής 1 Απριλίου 2007 για το χρονικό διάστημα 9:00 έως 9:30 μ.μ. έχουν καταγραφεί με τη χρήση των παρακάτω κωδικών: Δίκτυο Πρόγραμμα Κωδικός ABC Desperate Housewives 1 CBS The Amazing Race 11 2 NBC Deal or No Deal 3 Fox Family Guy 4 Η τηλεόραση έκλεισε ή ήταν σε άλλο κανάλι 5 Copyright 2009 Cengage Learning 12.53

54 Αξιολογήσεις Nielsen ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η περιγραφή του πληθυσμού των τηλεοπτικών προγραμμάτων που παρακολουθούνται από τηλεθεατές σε όλη τη χώρα. Τα δεδομένα είναι ονομαστικά. Ο συνδυασμός του σκοπού του προβλήματος και του τύπου των δεδομένων απαιτούν την εκτίμηση της παραμέτρου της αναλογίας του συνολικού πληθυσμού που παρακολουθεί το πρόγραμμα «Deal or No Deal». Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης της αναλογίας είναι pˆ z / 2 pˆ(1 n pˆ) Copyright 2009 Cengage Learning 12.54

55 Παράδειγμα ΑξιολογήσεωνNielsen ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ A B z-estimate: Proportion Program Sample Proportion Observations 5000 LCL UCL Copyright 2009 Cengage Learning 12.55

56 Αξιολογήσεις Nielsen ΕΡΜΗΝΕΙΑ Υπολογίζουμε ότι μεταξύ του 7.59% και 9.13% όλων των τηλεοράσεων παρακολουθούσαν το πρόγραμμα «Deal or No Deal». Εάν πολλαπλασιάσουμε αυτά τα νούμερα με το συνολικό αριθμό των τηλεοράσεων, δηλαδή 110 εκατομμύρια, έχουμε μια εκτίμηση διαστήματος του αριθμού των τηλεοράσεων που παρακολουθούσαν το πρόγραμμα «Deal or No Deal». Copyright 2009 Cengage Learning 12.56

57 Αξιολογήσεις Nielsen ΕΡΜΗΝΕΙΑ Επομένως, με εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης 95% ο αριθμός των τηλεοράσεων που ήταν συντονισμένες στο πρόγραμμα «Deal or No Deal» βρίσκεται μεταξύ LCL = (110 εκατομμύρια) = εκατομμύρια και UCL = (110 εκατομμύρια) = εκατομμύρια Οι εταιρείες-χορηγοί μπορούν στη συνέχεια να καθορίσουν την αξία κάθε διαφημιστικού μηνύματος που εμφανίζεται στο πρόγραμμα. Copyright 2009 Cengage Learning 12.57

58 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Όταν ασχοληθήκαμε με την μέθοδο επιλογής του μεγέθους του δείγματος για να υπολογίσουμε ένα μέσο στην Ενότητα 10.3, επισημάναμε ότι το μέγεθος του δείγματος εξαρτάται από τη στάθμη εμπιστοσύνης και το στατιστικό σφάλμα που μπορεί να θεωρηθεί αποδεκτό. Αν η παράμετρος που θα πρέπει να εκτιμηθεί είναι μια αναλογία, το όριο του σφάλματος εκτίμησης δίδεται από τον τύπο B z / 2 pˆ(1 n pˆ) Copyright 2009 Cengage Learning 12.58

59 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Επιλύοντας ως προς n βρίσκουμε το επιθυμητό μέγεθος του δείγματος για να εκτιμήσουμε το p και όπου Β είναι το όριο του σφάλματος εκτίμησης n z / 2 pˆ(1 pˆ) B Δυστυχώς δεν γνωρίζουμε την τιμή του 2 pˆ. Copyright 2009 Cengage Learning 12.59

60 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Δύο μέθοδοι σε κάθε μια των περιπτώσεων επιλέγουμε μια τιμή για το και στη συνέχεια επιλύουμε ως προς n. Μέθοδος 1 : δεν έχουμε καμία γνώση, ούτε κατά προσέγγιση του. Αυτό είναι το «χειρότερο σενάριο», κι έτσι θέτουμε = 0,50 Μέθοδος 2 : έχουμε κάποια ιδέα σχετικά με την τιμή του h. Αυτό είναι ένα καλύτερο σενάριο και θέτουμε την εκτιμούμενη τιμή. Copyright 2009 Cengage Learning 12.60

61 Επιλογή του Μεγέθους του Δείγματος Μέθοδος 1 : καμία γνώση της τιμής του 50%:, χρησιμοποιούμε Μέθοδος 2 : κάποια ιδέα μιας πιθανής τιμή του 20%:, ας πούμε Επομένως μπορούμε να λάβουμε δείγμα από λιγότερους ανθρώπους εάν έχουμε ήδη μια λογική εκτίμηση της αναλογίας του πληθυσμού πριν αρχίσουμε. Copyright 2009 Cengage Learning 12.61

62 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ: Κατάτμηση της Αγοράς Ο όρος μαζικό μάρκετινγκ αναφέρεται στην μαζική παραγωγή και προώθηση από μια εταιρεία ενός ενιαίου προϊόντος για το σύνολο της αγοράς. Το μαζικό μάρκετινγκ είναι ιδιαιτέρως αποτελεσματικό για είδη πρώτης ανάγκης, όπως η βενζίνη, που είναι δύσκολο να διαφοροποιηθούν από τον ανταγωνισμό. Έδωσε τη θέση του στο στοχευμένο μάρκετινγκ, το οποίο εστιάζει στην ικανοποίηση των αναγκών ενός συγκεκριμένου τμήματος του συνόλου της αγοράς. Copyright 2009 Cengage Learning 12.62

63 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ: Κατάτμηση της Αγοράς Επειδή υπάρχουν πολλοί τρόποι κατάτμησης της αγοράς, οι μάνατζερ πρέπει να εξετάζουν διάφορες μεταβλητές (ή χαρακτηριστικά) που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στον εντοπισμό τμημάτων της αγοράς. Οι έρευνες αγοράς συγκεντρώνουν δεδομένα για τις μεταβλητές αυτές και στη συνέχεια εφαρμόζονται στατιστικές τεχνικές για τον καθορισμό των τμημάτων. Η κατάτμηση της αγοράς διαχωρίζει τους καταναλωτές ενός προϊόντος σε διαφορετικές ομάδες, με τέτοιο τρόπο ώστε τα μέλη κάθε ομάδας να είναι παρόμοια μεταξύ τους και να υπάρχουν διαφορές μεταξύ ομάδων. Copyright 2009 Cengage Learning 12.63

64 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ: Κατάτμηση της Αγοράς Υπάρχουν πολλοί τρόποι κατάτμησης μιας αγοράς. Ο Πίνακας 12.1 απαριθμεί αρκετές διαφορετικές μεταβλητές κατάτμησης και περιγράφει τα τμήματά τους στην αγορά. Copyright 2009 Cengage Learning 12.64

65 Πίνακας 12.1 Κατάτμηση Αγοράς Μεταβλητή Κατάτμησης Γεωγραφική Χώρες Επαρχίες Τμήματα Βραζιλία, Καναδάς, Κίνα, Γαλλία, ΗΠΑ Μεσοδυτικές, βορειοανατολικές, νοτιοδυτικές, νοτιοανατολικές Δημογραφική Ηλικία Κάτω των 5, 5-12, 13-19, 20-29, 30-50, πάνω από 50 Εκπαίδευση Κάποιες τάξεις γυμνασίου, απόφοιτος γυμνασίου, κάποια χρόνια στο κολλέγιο, απόφοιτος κολλεγίου ή πανεπιστημίου Εισόδημα Κάτω από $30.000, $ , $ , πάνω από $ Οικογενειακή κατάσταση Άγαμος, έγγαμος, διαζευγμένος, χήρος Copyright 2009 Cengage Learning 12.65

66 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ: Κατάτμηση της Αγοράς Είναι σημαντικό για τους διευθυντές μάρκετινγκ να γνωρίζουν το μέγεθος του τμήματος επειδή το μέγεθος (μεταξύ άλλων παραμέτρων) καθορίζει την κερδοφορία. Δεν αξίζουν όλα τα τμήματα τον κόπο. Σε κάποιες περιπτώσεις το μέγεθος του τμήματος είναι υπερβολικά μικρό ή το κόστος ικανοποίησης των αναγκών του μπορεί να είναι υπερβολικά υψηλό. Copyright 2009 Cengage Learning 12.66

67 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ: Κατάτμηση της Αγοράς Το μέγεθος μπορεί να είναι καθοριστικό με διάφορους τρόπους. Η απογραφή του πληθυσμού παρέχει χρήσιμες πληροφορίες. Για παράδειγμα, μπορούμε να καθορίσουμε τον αριθμό πολιτών σε διάφορες ηλικιακές κατηγορίες ή το μέγεθος γεωγραφικών περιοχών [από άποψη πληθυσμού]. Για άλλα τμήματα μπορεί να χρειαστούμε έρευνα αγοράς και τη χρήση επαγωγικών τεχνικών για την εκτίμηση του συνολικού αριθμού ατόμων που έχουν ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό. Copyright 2009 Cengage Learning 12.67

68 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ: Κατάτμηση της Αγοράς Μπορούμε να ερευνήσουμε μεγάλους πληθυσμούς για να εκτιμήσουμε την αναλογία του πληθυσμού που εμπίπτει σε κάθε τμήμα. Από τις εκτιμήσεις αυτές μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγεθος των αγορών χρησιμοποιώντας τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης. pˆ N z / 2 pˆ(1 pˆ n Copyright 2009 Cengage Learning 12.68

69 Παράδειγμα 12.6 Στην κατάτμηση της αγοράς δημητριακών για πρωινό, ένας παραγωγός δημητριακών χρησιμοποιεί ως μεταβλητή τον βαθμό ευαισθητοποίησης των καταναλωτών σε θέματα υγείας και δίαιτας. Δημιουργούνται τέσσερα τμήματα: 1. Ενδιαφερόμενοι για υγιεινή διατροφή 2. Ενδιαφερόμενοι για απώλεια βάρους 3. Ενδιαφερόμενοι για τη διατροφή τους λόγω προβλήματος υγείας 4. Αδιάφοροι Copyright 2009 Cengage Learning 12.69

70 Παράδειγμα 12.6 Για να εκτιμήσει το μέγεθος των ομάδων ο παραγωγός διενεργεί έρευνες. Με βάση ένα ερωτηματολόγιο οι άνθρωποι κατηγοριοποιούνται σε μια από τις ομάδες αυτές. Μια πρόσφατη έρευνα ζήτησε από ένα τυχαίο δείγμα 1,250 ενηλίκων Ευρωπαίων (20 ετών και άνω) να συμπληρώσουν ένα ερωτηματολόγιο. Οι κατηγορίες καταγράφηκαν με τη χρήση κωδικών στο αρχείο Xm12-06 Η τελευταία απογραφή αποκαλύπτει ότι υπάρχουν 207,347,000 Ευρωπαίοι 20 ετών και άνω. Υπολογίστε με 95% εμπιστοσύνη τον αριθμό των ενήλικων Ευρωπαίων που ενδιαφέρονται για υγιεινή διατροφή. Copyright 2009 Cengage Learning 12.70

71 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Παράδειγμα 12.6 Σκοπός του προβλήματος είναι η περιγραφή του πληθυσμού του ενδιαφέροντος των Ευρωπαίων ενηλίκων για την υγεία και τη δίαιτα. Τα δεδομένα είναι ονομαστικά, κατά συνέπεια η παράμετρος που πρέπει να υπολογιστεί είναι η αναλογία p των ενηλίκων Ευρωπαίων που ενδιαφέρονται για την υγιεινή διατροφή (κωδικός = 1). Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης που πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είναι pˆ z / 2 pˆ(1 n pˆ) από τον οποίο θα εκτιμήσουμε το μέγεθος του τμήματος της αγοράς. Copyright 2009 Cengage Learning 12.71

72 Παράδειγμα 12.6 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ A B z-estimate: Proportion Group Sample Proportion Observations 1250 LCL UCL Copyright 2009 Cengage Learning 12.72

73 Παράδειγμα 12.6 Πολλαπλασιάζουμε το κατώτερο και το ανώτερο όριο με το μέγεθος του πληθυσμού. LCL= pˆ(1 pˆ = 207,347,000 (0.1924) N pˆ z / 2 n = 39,893,563 και pˆ UCL = = 207,347,000 (0.2380) N z / 2 pˆ(1 pˆ n = 49,348,586 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Copyright 2009 Cengage Learning 12.73

74 Παράδειγμα 12.6 ΕΡΜΗΝΕΙΑ Εκτιμούμε ότι το μέγεθος αυτού του τμήματος της αγοράς είναι μεταξύ 39,893,563 και 49,348,586. Copyright 2009 Cengage Learning 12.74

75 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ: Οικονομικοί Έλεγχοι Οι Ορκωτοί Λογιστές στις Ηνωμένες Πολιτείες και στον Καναδά διενεργούν συχνά οικονομικούς ελέγχους σε εταιρείες. Επειδή ο αριθμός των συναλλαγών σε πολλές εταιρείες είναι απαγορευτικά μεγάλος χρησιμοποιείται δειγματοληπτικός έλεγχος και στατιστικές τεχνικές. Κάποιοι έλεγχοι παράγουν εκτιμήσεις των ετήσιων δαπανών ενώ άλλοι παράγουν εκτιμήσεις του συνόλου των διαφόρων σφαλμάτων. Copyright 2009 Cengage Learning 12.75

76 Εκτίμηση του Συνόλου ενός Πληθυσμού Μερικές από τις στατιστικές πληροφορίες που χρησιμοποιούν οι οικονομικοί ελεγκτές για τη σύνταξη των εκθέσεών τους παράγονται από εκτίμηση του συνόλου μιας συνεχούς μεταβλητής. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης ενός συνόλου που εισήχθηκε ενωρίτερα. x t N / 2 s n Copyright 2009 Cengage Learning 12.76

77 Εκτίμηση του Μέσου και του Συνόλου σε Μικρούς Πληθυσμούς Όταν ο πληθυσμός είναι μικρός σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος πρέπει να συμπεριλάβουμε στον υπολογισμό του τυπικού σφάλματος για την εκτίμηση του μέσου τον διορθωτικό συντελεστή πεπερασμένου πληθυσμού (FPCF). N n FPCF N 1 Copyright 2009 Cengage Learning 12.77

78 Εκτίμηση του Μέσου και του Συνόλου σε Μικρούς Πληθυσμούς Όταν υπολογίζουμε τον μέσο στην περίπτωση ενός μικρού πληθυσμού πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον FPCF με το τυπικό σφάλμα του μέσου, οπότε έχουμε τον παρακάτω τύπο. x t / 2 s n N n N 1 Copyright 2009 Cengage Learning 12.78

79 Εκτίμηση του Μέσου και του Συνόλου σε Μικρούς Πληθυσμούς Εκτιμούμε το άθροισμα πολλαπλασιάζοντας το κατώτερο και το ανώτερο όριο του εκτιμητή διαστήματος με το μέγεθος του πληθυσμού. x s N n t / n N 1 N 2 Copyright 2009 Cengage Learning 12.79

80 Παράδειγμα 12.7 Το Γενικό Λογιστήριο του Κράτους των Η.Π.Α (GAO) έχει την ευθύνη για τον λογιστικό έλεγχο της εκτέλεσης του προϋπολογισμού όλων των δημοσίων υπηρεσιών και οργανισμών (η αντίστοιχη υπηρεσία του Καναδά ονομάζεται Auditor General). Από το 1999, το GAO έχει χαρακτηρίσει την οικονομική διαχείριση της Δασικής Υπηρεσίας ως υψηλού κινδύνου εξαιτίας εσωτερικών διοικητικών και λογιστικών αδυναμιών που έχουν εντοπιστεί. Copyright 2009 Cengage Learning 12.80

81 Παράδειγμα 12.7 Το 2001 η Δασική Υπηρεσία χρησιμοποίησε ειδικές κάρτες και επιταγές προμηθειών για την πραγματοποίηση 1.1 εκατομμυρίου αγορών συνολικής αξίας $320 εκατομμυρίων. Το GAO διενήργησε οικονομικό έλεγχο αυτών των αγορών για να καθορίσει (μεταξύ άλλων πραγμάτων) το χρηματικό ποσό διπλών συναλλαγών. Μια ανάλυση αποκάλυψε ότι υπήρχαν 8,659 διπλές συναλλαγές. Copyright 2009 Cengage Learning 12.81

82 Παράδειγμα 12.7 Ένα τυχαίο δείγμα 125 τέτοιων συναλλαγών επιλέχθηκε και καταγράφηκε στο αρχείο (Xm12-07) Το GAO θα ήθελε μια εκτίμηση διαστήματος εμπιστοσύνης 95% του συνολικού ποσού των διπλών συναλλαγών. Copyright 2009 Cengage Learning 12.82

83 Παράδειγμα 12.8 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η περιγραφή του πληθυσμού των ποσών διπλών συναλλαγών (συνεχή δεδομένα). Επομένως, η παράμετρος που πρέπει να υπολογιστεί είναι ο μέσος του πληθυσμού. Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης του μέσου θα χρησιμοποιηθεί στην εκτίμηση της συνολικής δαπάνης. Επειδή ο πληθυσμός είναι μεγαλύτερος από 20πλάσιος του μεγέθους του δείγματος θα χρησιμοποιήσουμε την τεχνική μεγάλου πληθυσμού. Copyright 2009 Cengage Learning 12.83

84 Παράδειγμα 12.7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ A B C D t-estimate: Mean Duplicates Mean Standard Deviation LCL UCL Copyright 2009 Cengage Learning 12.84

85 Παράδειγμα 12.7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Το συνολικό ποσό διπλών συναλλαγών εκτιμάται ότι είναι μεταξύ LCL = 8,659[857.45] = $7,424,666 και UCL = 8,659[1,001.89] =$8,675,394 Copyright 2009 Cengage Learning 12.85

86 Παράδειγμα 12.8 Ένας έμπορος αυτοκινήτων προσέλαβε έναν εξωτερικό λογιστή για να κάνει έλεγχο στην αντιπροσωπεία του. Εξετάζοντας τις καταγραφές πωλήσεων στο τμήμα ανταλλακτικών, ο λογιστής διαπίστωσε ότι κατά τον μήνα Αύγουστο, λόγω του μεγάλου αριθμού αδειών του τακτικού προσωπικού, οι παραγγελίες εκτελέστηκαν από προσωρινούς υπαλλήλους. Αποφάσισε να επιλέξει ένα τυχαίο δείγμα 96 παραγγελιών από τις συνολικά 866 του Αυγούστου. Οι διαφορές μεταξύ των παραγγελιών αγορών και των αντίστοιχων καταχωρήσεων στον υπολογιστή της επιχείρησης καταγράφηκαν στο αρχείο (Xm12-08 ) Ο οικονομικός ελεγκτής θέλει να εκτιμήσει το συνολικό σφάλμα. Copyright 2009 Cengage Learning 12.86

87 Παράδειγμα 12.8 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός είναι η περιγραφή του πληθυσμού εσφαλμένων καταχωρήσεων, που είναι συνεχή δεδομένα. Η παράμετρος που πρέπει να υπολογιστεί είναι ο μέσος του πληθυσμού, από τον οποίο θα εκτιμηθεί το σύνολο. Επειδή ο πληθυσμός είναι μικρότερος από το 20πλάσιο του μεγέθους του δείγματος θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μικρού πληθυσμού. Copyright 2009 Cengage Learning 12.87

88 Παράδειγμα 12.8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο μέσος και η τυπική απόκλιση υπολογίστηκαν σε 6.46 και αντίστοιχα. Copyright 2009 Cengage Learning 12.88

89 Παράδειγμα 12.8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ A B C D E t-estimate of a Total Sample mean 6.46 Confidence Interval Estimate Sample standard deviation ± Sample size 96 Lower confidence limit Population size 866 Upper confidence limit Confidence level 0.95 Εκτιμούμε ότι το χρηματικό σύνολο των εσφαλμένων καταχωρήσεων κατά το μήνα Αύγουστο είναι μεταξύ $2, και $8, Copyright 2009 Cengage Learning 12.89

90 Εκτίμηση του Συνολικού Αριθμού Επιτυχιών σε ένα Πληθυσμό Ένας άλλος τρόπος για την εφαρμογή στατιστικών μεθόδων στον οικονομικό έλεγχο είναι η εκτίμηση του συνολικού αριθμού των στοιχείων που εμφανίζουν σφάλμα. Στην προηγούμενη ενότητα χρησιμοποιήσαμε τον εκτιμητή διαστήματος εμπιστοσύνης μιας αναλογίας για να εκτιμήσουμε τον συνολικό αριθμό επιτυχιών σε ένα μεγάλο πεπερασμένο πληθυσμό. Εάν ο πληθυσμός είναι μικρός (είναι μικρότερος από το 20πλάσιο του μεγέθους του δείγματος) συμπεριλαμβάνουμε στον εκτιμητή μιας αναλογίας τον διορθωτικό συντελεστή πεπερασμένου πληθυσμού. Copyright 2009 Cengage Learning 12.90

91 Εκτίμηση του Συνολικού Αριθμού Επιτυχιών σε ένα Πληθυσμό Ο Εκτιμητής Διαστήματος Εμπιστοσύνης του p σε ένα Μικρό Πληθυσμό pˆ z / 2 pˆ(1 pˆ) n N N Μπορούμε τώρα να εκτιμήσουμε τον συνολικό αριθμό επιτυχιών σε ένα μικρό πληθυσμό πολλαπλασιάζοντας την αναλογία με το μέγεθος του πληθυσμού. n 1 pˆ pˆ(1 pˆ) N n z / n N 1 N 2 Copyright 2009 Cengage Learning 12.91

92 Παράδειγμα 12.9 Ο οικονομικός ελεγκτής στο Παράδειγμα 12.8 επανεξέτασε επίσης τις εντολές εργασίας για να καθορίσει εάν υπήρχαν οποιεσδήποτε αποκλίσεις από την τυπική διαδικασία λειτουργίας. Σε αυτές περιλαμβάνονται επισκευές που έγιναν χωρίς την έγκριση του πελάτη, λανθασμένοι κωδικοί ανταλλακτικών, και άλλα. Copyright 2009 Cengage Learning 12.92

93 Παράδειγμα 12.9 Τα αρχεία δείχνουν ότι ο αριθμός των εντολών εργασιών για το έτος ανήλθαν σε 11,054. Ελέγχθηκε ένα τυχαίο δείγμα 750 εντολών εργασιών και βρέθηκαν 87 που παρουσίαζαν κάποιες παρατυπίες. Εκτιμήστε με 95% εμπιστοσύνη τον συνολικό αριθμό εντολών εργασιών με παρατυπίες. Copyright 2009 Cengage Learning 12.93

94 Παράδειγμα 12.9 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Σκοπός του προβλήματος είναι η περιγραφή του πληθυσμού εντολών εργασιών. Τα δεδομένα είναι ονομαστικά. Επομένως, η παράμετρος που πρέπει να εκτιμηθεί είναι η αναλογία πληθυσμού εντολών εργασιών με παρατυπίες. Ο εκτιμητής διαστήματος εμπιστοσύνης της αναλογίας θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του συνολικού αριθμού εντολών εργασιών για το έτος που εμφάνισαν παρατυπίες. Ο πληθυσμός είναι μικρότερος από το 20πλάσιο του μεγέθους του δείγματος, επομένως θα χρησιμοποιήσουμε την τεχνική μικρού πληθυσμού. Copyright 2009 Cengage Learning 12.94

95 Παράδειγμα 12.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Η αναλογία του δείγματος είναι pˆ Copyright 2009 Cengage Learning 12.95

96 Παράδειγμα 12.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ A B C D E z-estimate of a Total Sample proportion Confidence Interval Estimate Sample size ± 245 Population size Lower confidence limit 1038 Confidence level 0.95 Upper confidence limit 1527 Ο συνολικός αριθμός εντολών εργασιών με παρατυπίες εκτιμάται ότι είναι μεταξύ 1,038 και 1,527. Copyright 2009 Cengage Learning 12.96

97 Διάγραμμα Ροής Στατιστικών Τεχνικών Περιγραφή ενός Πληθυσμού Τύπος δεδομένων; Συνεχή/Ποσοτικά Ονομαστικά Περιγραφικό μέτρο έλεγχος z & εκτιμητής της p Κεντρική Θέση Έλεγχος t & εκτιμητής του u. Μεταβλητότητα 2 έλεγχος Χ 2 & εκτιμητής της Copyright 2009 Cengage Learning 12.97