Miliona tona. Proizvodnja najvažnijih obojenih metala godine u svetu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Miliona tona. Proizvodnja najvažnijih obojenih metala godine u svetu"

Transcript

1 Metalurgija Uopšteno govoreći, metalurgija se može podeliti na primarnu (proizvodnju metala) i sekundarnu (metaloprerđivačku). Metalurgija je jedna od ljudskih aktivnosti koja se u istoriji čovečanstva najranije javila. Istraživanja pokazuju da ljudska civilizacija organizovano proizvodi metale oko 6 hiljada godina. Procenjuje se da je do sada proizvedeno ukupno oko milijardi tona svih metala, od čega 2/3 u poslednjih pedesetak godina Prema današnjim sagledavanjima, postojeće rezerve većine obojenih metala (Zn, Sn, Cu i dr.) ovakvim tempom eksploatacije, biće uscpljene u narednih pedesetak godina! (ovo ističe važnost reciklaže) 1

2 Miliona tona Proizvodnja najvažnijih obojenih metala godine u svetu

3 Proizvodnja bakra U pogledu uticaja na životnu sredinu, primarna metalurgija je neuporedivo značajnija od metaloprerađivačke a kao primer, biće posmatrana proizvodnja bakra, kao najvažnijeg teškog obojenog metala. Bakar spada u grupu metala sa veoma širokom primenom (provodnici, legure, hemikalije,..). Cena bakra je uvek visoka, a trenutno je oko 6.560$/t ( ; LME) Za bakar se zna oko 10 hiljada godina, i samo su zlato i gvožđe bili poznati čoveku pre bakra. Sva tri metala su bila poznata u najranijoj prošlosti isključivo u samorodnom stanju (u prirodi su nađeni komadi metala), i takvi su uz minimalnu obradu korišćeni. Čile, Peru i USA imaju najveće rezerve bakarne rude (Čile 1/3 svetskih zaliha) i proizvode najviše bakra. samorodni bakar 4cm 3

4 Najznačajnija nalazišta bakra u Srbiji su u okolini Bora i Majdanpeka. U okolini Bora ruda bakra se eksploatiše već više od 100 godina U blizini Majdanpeka nedavno ja otkriveno nalazište veoma bogate rude bakra Čoka Marin, za koje je Rep. Komisija za overu rudnih rezervi do sada je izdala dokument da nalazište raspolaže rezervama od tona rude koja sadrži 1,2t zlata, 8,5t srebra, 1.200t cinka, 2.000t olova i 4.500t bakra. Zbog visokog saržaja zlata (oko 5,5g/t), ova ruda se smatra rudom zlata! (zadatak) Cena zlata (London Metal Exchange) : $/kg Sadržaj arsena u rudi iz nalazišta Čoka Marin je, međutim, toliko visok da se ne može prerađivati trenutno raspoloživom tehnologijom u Borskoj topionici. Proizvodnja bakra se neposredno nadovezuje na već analizirano kopanje rude i pripremu rudnog koncentrata, koji se potom u okviru metalurgije bakra prerađuje do čistog metala. Ova prerada se sastoji od pet sukcesivnih faza 4

5 I Prženje II Topljenje III Konvertovanje IV Rafinacija u plamenim pećima V Elektrolitička rafinacija i pretapanje Šematski prikaz primarne prerade bakra od koncentrata do dobijanja anodnog bakra (I-IV faza) 5

6 Tokom faze prženja, bakarni koncentrat se u struji vazduha zagreva na C, pri čemu se oksidiše od 20 do 50% sumpora, koji se u kao gas SO 2 šalje u fabriku sumporne kiseline, jer je to jedan od načina da se veoma velike količine SO 2 ne ispuste u atmosferu #. (U Borskoj topionici se dnevno proizvede više desetina tona SO 2. Proces prženja je egzoterman, pa se spontano odvija uz oslobađanje toplote. U fazi topljenja, produkat nastao prženjem (preženac bakra) meša se sa kvarcom koji pomaže vezivanje i eliminaciju gvožđa koje prelazi u šljaku. I ovaj proces je egzoterman i oksidacioni jer se i dalje oksidišu prisutni sulfidi. Temperatura na kojoj se ova faza odvija dostiže C i održava se uz eventualno dogrevanje sagorevanjem prirodnog gasa. Dobijase bakarni mat koji sadrži 35 do 65% Cu (najčešće oko 45%), a sadrži veoma stabilne sulfide (Cu 2 S i FeS) -bakar ima veći afinitet prema sumporu, nego prema kiseoniku. # Proizvodnja H 2 SO 4 u svetu danas prevazilazi potrebe privrede, pa se iz SO 2 na nekim metalurškim postrojenjima dobija elementarni sumpor, ili se od kiseline i amonijaka dobija đubrivo (NH 4 ) 2 SO 4 6

7 Da bi se mat dalje preradio, pristupa se konvertovanju na oko C, kada se u rastopljenu masu uduvava vazduh, pri čemu nastaje oksid gvožđa (prelazi u šljaku), a potom i delimično bakar oksid, koji ostaje rastvoren u rastopljenom bakru. Tokom konvertovanja oslobađa se velika količina SO 2. Na kraju, oksidaciona atmosfera u konvertoru zamenjuje se redukcionom, pa se oksidi bakra redukuju do bakra i tako nastaje blister-bakar sa 98 do 99% Cu. Primese sadržane u blister bakru su dvojakog karaktera: I.) Au, Pt, Pd, Ir, Ag, Se su korisni metali koji se posebnim postupcima u daljoj preradi izdvajaju u čistom stanju II.) Bi, Fe, Pb, Te, Zn su štetne primese, dok su As i Sb, najštetnije primese U četvrtoj fazi, blister bakar se dalje rafiniše uklanjanjem većine štetnih primesa i lije u anode sa oko 99-99,5% bakra (razlika do 100% su i plemeniti metali). 7

8 U V fazi, bakarne anode se u podvrgavaju elektrolitičkoj rafinaciji: Suština ovog procesa je da se u elektrolitičkim ćelijama pod dejstvom jednosmerne struje bakar sa anoda rastvara u bakar-sulfatnom rastvoru oslobađajući se primesa, a čist bakar taloži na katodama (tankim pločama čistog bakra). Primese padaju na dno kao anodni mulj koji sadrži korisne (plemenite) metale. Ovako dobijen bakar se pretapa u finalni proizvod čistoće min. 99,995%. Plemeniti metali (Pt, Au, Pd, Ir, Ag,..), iz anodnog mulja, posebnim tehnologijama se izdvavaju, što ukupnu ekonomiju proizvodnje bakra veoma unapređuje. (Sa kvalitetnom rudom, plemeniti metali mogu da isplate sve troškove proizvodne bakra, pa cena bakra stvara čist profit!!) Opisani procesi i operacije kod dobijanja bakra su se vremenom usvršavle, ali se suštinski tehnologija nije menjala, pa je karakterišu veliki gubici energije (prebacivanje mase iz faze u fazu), velika potrošnja vode, i veliki problemi zagađenja radne, i svih medijuma životne sredine. 8

9 Postoje savremeniji prostupci proizvodnje bakra (npr. kontinualni Noranda proces), koji je daleko povoljniji u pogledu zaštite životne sredine (većina faza odvija se u istom metalurškom rekatoru), ali je nešto niže iskorišćenje bakra iz rude. Na skici je prikazana shema Noranda reaktora u kome se odvija proces prerade bakarnog koncentrata. Uvodi se koncentrat bakra i topitelj, a izvode šljaka, blister-bakar i gasoviti produkti (kroz dimnjak) 9

10 Kontrola zagađivanja u metalurgiji bakra Pirometaluršku proizvodnju bakra iz bakar-koncentrata dominantno karakteriše gasoviti i čvrst otpad: 1. Dimni gasovi bogati prašinom, i različitim zagađivačima kao što su SO 2,As, Sb, i u tragovima Cd, Hg, Pb i Zn i td. 2. Čvrst otpad iz pirometalurškog procesa - šljaka (u Boru je ima danas oko 21 milion tona) Ove vrste otpada predstavljaju značajne izvore zagađivanja. U tabeli na slajdu 56 dat je sastav šljake sa deponije Neuslovno odlaganje otpada iz proizvodnje bakra u RTB Bor (uključujući otpade iz faze proizvodnje bakarkoncentrata) uzrokuje veoma veliko lokalno zagađenje, kao i obližnje Borske reke i Timoka, u koji se ova uliva. 10

11 Zagađivanje vodotokova u okolini Bora posledica je kontinualnog oslobađanja deponijskih procednih voda, interakcije atmosferilija sa deponijama i nekontrolisanog oslobađanja otpadnih voda iz nekih faza tehnološkog procesa. Otpadne vode iz svih nabrojanih izvora zagađenja zbog prirode terena dospevaju u Borsku reku, tako da je ovaj vodotok visoko zagađen. (Devedestih godina XX veka, neko je duhovito primetio da je to najčistija reka na svetu, jer je sterilisana (u njoj nema ni jednog živog organizma!) Teško je proceniti koliko koji od aktuelnih izvora zagađivanja participira u ukupnom zagađenju Borske reke i Timoka. Ulivanjem u Timok, Borska reka prenosi zagađenje ovaj vodotok, koji se pedesetak kilometara dalje uliva u Dunav. Nastajanje i širenje zagađanja se može posmatrati na sledećoj šemi: 11

12 Deponija rudne jalovine Površinski kop Veliki Krivelj Deponija flotacione jalovine Kriveljska reka Prikaz lokacije površinskih kopova RTB Bor Borska reka 12

13 Rumunija Srbija Bugarska Geografska karta okoline Bora 13

14 g a b e c f d a b c d e Zasićenost kiseonikom, mg/dm 3 Hemijska potrošnja kiseonika, mg/dm 3 Biološka potrošnja kiseonika, mg/dm 3 Suspendovane matarije, mg/dm 3 Amonijum-jon, mg/dm g As, μg/dm 3 Mesta uzorkovanja i srednje vrednosti određivanih parametara 1 Timok pre ulivanja Borske reke 2 Borska reka 3 Timok, 14 km nizvodno od ušća Borske reke 4 Timok, 36km nizvodno od ušća Borske reke 14

15 Sa prikazane šeme zapaža da Borska reka (2), kao zagađenija, ulivanjem u Timok (1), zagađuje i ovaj vodotok. (obratiti pažnju da je apscisa na prikazanom dijagramu u logaritamskoj podeli!!) Timok se u daljem toku (nizvodno od ušća Borske reke) u izvesnoj meri spontano samoprečišćava (zapaža se opadanje koncentracija zagađujućih materija) (3), ali i na 36 km nizvodno od ušća (4), zagađenje se (u manjoj meri) i dalje može detektovati. Treba imati u vidu da se deo zagađujućih materija taloži u koritu reke što je takođe veoma rizično jer izaziva i zagađenje okolnog tla (npr. kada su poplave, bujice i td.) a omogućuje uključenje zagađenja (npr. teških metala) u lanac ishrane (biljke ribe čovek) Primer pokazuje kako na neodgovarajući način odložen opasan otpad, koji u ovom slučaju oslobađa otpadne vode, degradira životnu sredinu. 15

16 Industrijski izliv otpadnih voda 16

17 Princip kontinualnog prečišćavanja otpadnih voda hidrometalurgije bakra postupkom hidroksidne precipitacije katjona teških metala (iz BAT) Suspenzija Ca(OH) 2 phc Regulator phr - + Željena ph - vrednost Otpadna voda pht Izmerena ph - vrednost ph Merenje ph Prečišćena voda Flitriranje Talog Pri taloženju katjona teških metala iz otpadnih voda, izvodi se automatska regulacija ph-vrednosti reakcione smeše na ph-9,5 do 10,5 čime se ostvaruje potpuna kontrola procesa, a sadržaji katjona teških metala u prečišćenoj vodi je na dozvoljenim vrednostima. Pri tome automatika, (princip neg. pov. sprege) određuje potreban protok suspenzije kalcijum hidroksida koja se dozira u rekator. Ca(OH) 2 + MSO 4 = M(OH) 2 (s)+ CaSO 4 (s)

18 Pirometalurška prerada bakarnog koncentrata (prženje, topljenje, konvertovanje, rafinacija), oslobađa značajne količine otpadnih gasova koji sadrže prašinu, i SO 2 #, zadatak. SO 2 se koristi u proizvodnji sumporne kiseline, ali se mora prethodno osloboditi čvrste faze (prašine). Uklanjanje prašine iz gasova postiže se primenom suvih elektrostatičkih filtera (elektrofiltera) u kojim se pri DC naponu od 45 do 100KV u uslovima stvaranja električne korone, prašina naelektriše i lepi za suprotno naelektrisanu elektrodu. Ukoliko elektrostatički filteri rade na temperaturi od 200 do C, odstranjuju od 20 do 80% prašine, a ako se dimni gasovi prethodno ohlade do 120 0, elektro-filteri eliminišu i do 95% prašine. (tada, međutim, postoji veliki rizik dostizanja tačke rose i teških korozionih oštećenje kućišta filtera) Otprašivanje se nastavlja pranjem gasa u postrojenje za proizvodnju sumporne kiseline gde se prvo SO 2 oksidacijom prevodi u SO 3, a zatim rastvaranjem SO 3 gasa u vodi (zapravo razblaženoj sumpornoj kiselini), nastaje konc. H 2 SO 4, # Izračunati koliko se dnevno proizvede SO 2 gasa u Borskoj topionici za godišnji kapacitet od t bakra, ako se radi 330 dana godišnje, preredi t koncentrata sa 25%S. # Izračunati koliko se dobija H 2 SO 4 koncentracije 96% od tog SO 2 gasa, ako se 97% SO 2 preradi u kiselinu, a koliko se SO 2 ispusti u vazduh. 18

19 Presek suvog elektrostatičkog filtera 19

20 Električno pražnejnje u koroni 20

21 Faze elektrostatičkog prečišćavanja su: 1. + naelektrisavanje čestica u gasnoj fazi (jonizacija) 2. kretanje naelektrisanih čestica ka elektrodama 3. taloženje čestica na - elektrodama 4. uklanjanje čestica sa elektroda Zaprašen gas Predfilter Jonizacija Taložne elektrode Zadnji filter Prečišćeni gas Princip delovanja elektrostatičkog filtera 21

22 Proces oksidacije SO 2 u SO 3 izvodi se na temperaturi od oko C katalitičkim postupkom (na V 2 O 5 katalitičkoj masi), kroz koju se gasovi provode u najmanje dva ciklusa, kada je stepen konverzije 98 do 99%), a u savremenijim fabrikama, češća je četvorostrostruka katalitička oksidacija, kada je konverzija efikasnija (i do 99,8%). Širenje zagađenja putem dimnih gasova često je posledica neefikasnosti filtarskih postrojenja u topionicama, i redovna je pojava kod starijih tehnoloških rešenja, koja ne mogu da efikasno zaustave prašinu, što je naročito važno u periodima kad tehnološki proces nije pod kontrolom. 22

23 Mesto elektrostatičkog filtera u tehnološkim sistemima koji generišu zaprašen gas (tipično i za TE) 23

24 Proizvodnja sirovog gvožđa Gvožđe se proizvodi topljenjem ruda gvožđa u visokoj peći na visokim temperaturama u redukcionoj atmosferi (koks i ugljen-monoksid). Visoka peć je masivni metalurški agregat, visine više desetina metara karakterističnog oblika (dve zarubljene kupe nejednakih visina spojene osnovama) Peć obuhvata čelični omotač ispod koga je sloj izolacionih opeka, a izutra ozidana je vatrostalnim opekama. Na vrhu visoke peći su usta peći gde se nalazi složen mehanizovani sistem za hermetizovano doziranje sirovina i odvođenje gasovitih produkata procesa. U donjem delu, celim obimim, raspoređene su mlaznice za uvođenje vazduha (ili kiseonika). Na samom dnu peći su otvori za ispuštanje šljake i izlivanje sirovog gvožđa. 25

25 Doziranje sirovina Odvod gasova Duvnice Odvod sirovog gvožđa Usta peći Odvod gasova Čelični omotač Ozid od izolacione i vatrostalne opeke Dno peći Trbuh peći Dovod vazduha i/ili kiselonika Odvod troske Sirovine i pomoćni materijali Za proizvodnju 1t gvožđa potrebno je oko: 1,4t rude ili sintera, 0,5 do 0,6 t koksa, 0,25t topitelja i 1,8 do 2t vazduha Otpadne proizvode čine: 0,2 do 0,4 t šljake, 2,5 do 3,5 tone gasova sa oko 50kg prašine Presek visoke peći 26

26 Visoka peć radi kontinualno, a puni se odozgo (kroz usta peći) koncentratom gvozdene rude (sinterom#), reciklatima, karbonatnim topiteljima (CaCO 3 i (Ca,Mg)CO 3 i koksom (gorivom i reducentom). Oksidi gvožđa reaguju sa topiteljima na visokoj temperaturi koja se razvija sagorevanjem koksa u struju vazduha predgrejanog na oko 1200 o C koji se produvava kroz smešu, a istopljenoj masi se pri tome oksidi gvožđa redukuju do elementarnog Fe uz pomoć ugljen monoksida koji se pri nepotpunom sagorevanju prisutnog koksa u struju vazduha razvija u peći. U otpadnim gasovima iz peći sadržano je dosta neizreagovanog ugljen-monoksida, pa se ovaj gas ponovo koristi kao energent u pratećim postrojenjima tehnološkog sistema (visokopećni gas ima toplotnu moć od do 3.350KJ/m 3 ). # Sinter je komadast materijal u koji je posebnim postupkom (sinterovanjem) prevodi praškasta ruda gvožđa, da bi se bolje iskoristio u procesu, tj. da dobije potrebnu mehaničku nosivost i manje se gubi (kao prašina) sa gasovima visoke peći 27

27 Sirovine elektrofiltri Predgrejači vazduha (kauperi) Visoka peć Sirovo gvožđe Troska Visokopećni gas Prašina Prikaz dela tehnološkog sistema proizvodnje sirovog gvožđa 28

28 Postrojenje visoke peći i njegovi delovi: 1. rude gvožđa + krečnjak; 2. koks; 3. mehanizam za prevoz zasipa; 4. usta peći; 5. sloj koksa; 6. sloj gvozdene rude i krečnjaka; 7. cevi za dovod vazduha na oko 1200 o C; 8. ispust za trosku; 9. ispust za sirovo gvožđe; 10. prevoz troske; 11. prevoz sirovog gvožđa; 12. uklanjanje prašine iz gasa visoke peći; 13. predgrejači vazduha (kauperi); 14. dimnjak; 15. dovod svežeg vazduha; 16. dostava uglja; 17. peć za koks; 18. koks; 19. zasipni toranj sa odvodom visokopećnog gasa 29

29 Visoka peć Predgrejači vazduha (kauperi) Visoke peći sa predgrejačima vazduha (kuperima) 30

30 Odstranjivanje prašine iz visokopećnog gasa posebno je značajno jer samo čist gas može da se koristi kao gorivo u procesu predgrevanja vazduha. Nakon izvođenja iz visoke peći, gas se šalje u ciklone gde se odstranjuje oko 60% čvrstih čestica iz gasa. Posle ovoga, gas se dvostepeno ili trostepeno prečišćava, u prvom krugu vlažnim skruberom pri čemu se izdvaja ukupno oko 90% čvrstih čestica, a u drugom (ili trećem), elektrostatičkim filtrima, koji od zaostale prašine u gasu odstranjuju oko 90%. Prečišćeni gas sadrži prašine ne više od 0,05g/dm 3 31

31 Rafinacija gvožđa Gvožđe nastalo primarnim procesima u visokoj peći sadrži do 4% C, 2,5% Mn, 2,5% Si, 2% P i oko 1% S, pa zbog loših mehaničkih osobina, dok se ne prečisti od primesa, nema nikakvu primenu. Uklanjanje sumpora se postiže uduvavanjem azota u istopljeno gvožđe uz dodatak CaC 2 i CaCO 3. U zavisnosti od sadržaja sumpora, proces traje od 5 do 30 minuta. Kao rezultat prečišćavanja, na površinu istopljenog sirovog gvožđa isplivava šljaka u obliku CaS (oko 0,65t/t Fe). Proizvodnja čelika Čelik je legura Fe sa max 1,7% C koja se dobija preradom sirovog gvođa i starog gvožđa. Postoji veliki broj tipova čelika, što su legure gvožđa sa različitim elementima, a primena im zavisi od hem. sastava i strukture. Postoji više procesa po kojim se može dobiti čelik (cementacioni, konvertorski, SM postupak, proces u pećima sa električnim lukom), a sva se tehnološki nadovezuju na postrojenja visokih peći, i zajedno čine širi proizvodni sistem - železaru. Od jedne šarže koja se sastoji od 70% sirovog gvođa i 30% starog gvožđa, čelik se dobija za 1-1,5 časova, a legirani čelici za vreme od 5 do 10 časova. 32

32 Konvertorski proces proizvodnje čelika u železari 33

33 1 Dopremanje gvozdene rude (na slici, brodom) 2 Skladište rude 3 Sinterovanje 4 Skladište uglja za koksovanje 5 - Koksara 6 Visoka peć 7 Kompresorsko postrojenje za snabdevanje visoke peći vazduhom 8 Rekuperatori za predgrevanje vazduha (kauperi) 9 Gasovi koji se izvode na vrhu visoke peći, a koriste se u rekuperatoru za predgrevanje vazduha 10 Kiseonični konvertor 11 Dovod kiseonika u konvertor 12 Rezervoari za kiseonik 13 Izlaz gasova iz kiseoničnog konvertora 14 Pražnjenje čelika iz kiseonočnog konvertora 15 Ingoti izliveni od čelika i spremni za dalju preradu 16 Šljaka iz viske peći 17 Sirovo gvožđe iz visoke peći 34

34 Izvori zagađenja i sprečavanje zagađenja Visokopećni gas koji nastaje u radu visoke peći (1.100 do 1.200m 3 /t Fe) sadrži prašinu u kojoj se nalaze čestice oksida: gvožđa, silicijuma, kalcijuma, cinka, magnezijuma i dr. Od gasova, u visokopećnom gasu najviše ima ugljenmonoksida (koji se koristi kao gorivo) Sastav prašine iz visoke peći pokazuju da je reciklaža i ponovno korišćenje ove prašine ekonomski i ekološki opravdano 35

35 Emisioni faktor za ugljen-monoksid, tokom procesa u visokoj peći iznosi 69kg CO/t polaznog materijala Zbog visoke kalorične moći visokopećni gas se koristi kao gorivo za zagrevanje vazduha potrebnog za proces, (sagorevanje se odvija u rekuperatorima), čime se emisija CO kontroliše #, što je i ekonomski opravdano (iskorišćavanje otpadne energije u procesu). # Ugljen-monoksid je gas bez mirisa, opasan je krvni otrov i zato se ne sme ispuštati ni u radnu, ni životnu sredinu. Neophodno prečišćavanje visokopećnog gasa, da bi mogao biti korišćen kao energent (otprašivanje), vrši se u otprašivačkim komorama, ciklonima, mokrim skruberima i elektrostatičkim filtrima. 36

36 Čvrst otpadni materijal iz visoke peći (troska) odlaže se na deponije, a sadrži okside FeO, Fe 2 O 3, SiO 2, MgO i složena jedinjenja koja grade ovi oksidi (spada u neopasne otpade). Visokopećna troska se koristi za nasipanje puteva koji se ne asfaltiraju jer nema potrebnu nosivost, a više se koristi u proizvodnji cementa 37

37 Iz visokopećne prašine, gvožđe i neki drugi elementi (npr. Zn) se mogu, posebnim postupcima izdvojiti i iskoristiti (objasnjeno u BAT), što se u razvijenim zemljama i čini. Cink se valorizuje pirometalurški (Waelz postupak) ili hidrometalurški-ezinex postupak. U Smederevskoj železari visokopećna prašina (zapravo, mulj iz mokrih skrubera) se suši i vraća na sinterovanje, da bi se gvožđe potpunije iskoristilo u procesu, ali kruženje cinka, koji se ne izdvaja iz procesa koje na takav način ostvaruje, nije tehnološki opravdano (a ni ekonomično). Konvertorska troska iz proizvodnje čelika se podvrgava magnetnoj separaciji, pa se ovako izvučeno gvožđe vrađa u proces, a ostratak prepušta karbonizaciji, (CaO prevodi se u CaCO 3 ), a potom deponuje u formi kupastih veštačkih brežuljaka (to je neopasan inertan otpad), i odmah rekultiviše tehnički i biološki jer ima tendenciju prašenja. 38

38 Sastav šljake (konvertorske troske) 39

39 Opšte mere koje se mogu primeniti za smanjenje emisije štetnih materija u atmosferu u metaluriji gvožđa i čelika: Umesto u više manjih jedinica, proizvoditi na jednom postrojenju velikog kapaciteta Sve operacije pri kojim nastaje prašina obavljati u zatvorenom prostoru, uz otprašivanje Granulaciju šljake obavljati u zatvorenim objektima (uz otprašivanje) Zamena dela vazduha u visokopećnom procesu čistim kiseonikom što smanjuje utrošak koksa i prisustvo azotovih oksida u visokopećnom gasu i količinu gasova koje treba otprašivati 40

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Istorija i epizode zagaďenja (1)

Istorija i epizode zagaďenja (1) ZAGAĐIVANJE VAZDUHA ZagaĎivanje prirodnim izvorima staro koliko i planeta Samoprečišćavanje atmosfere: oksidacija, taloženje, ispiranje, apsorpcija u vodi, adsorpcija u poroznom tlu Sagorevanje najvažniji

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Industrijska hemija. Vojislav Baljak. [NEORGANSKA HEMIJSKA TEHNOLOGIJA] Koncept i pitanja sa odgovorima

Industrijska hemija. Vojislav Baljak. [NEORGANSKA HEMIJSKA TEHNOLOGIJA] Koncept i pitanja sa odgovorima maj 2011. Industrijska hemija Vojislav Baljak [NEORGANSKA HEMIJSKA TEHNOLOGIJA] Koncept i pitanja sa odgovorima Ispitna pitanja 1. Likvefakcija vazduha, Lindeov i Klodov postupak 2. Rektifikacija tečnog

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Mašinsko učenje. Regresija.

Mašinsko učenje. Regresija. Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Idealno gasno stanje-čisti gasovi

Idealno gasno stanje-čisti gasovi Idealno gasno stanje-čisti gasovi Parametri P, V, T i n nisu nezavisni. Odnos između njih eksperimentalno je utvrđeni izražava se kroz gasne zakone. Gasni zakoni: 1. ojl-maritov: PVconst. pri konstantnim

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Tip ureappleaja: ecovit Jedinice VKK 226 VKK 286 VKK 366 VKK 476 VKK 656

Tip ureappleaja: ecovit Jedinice VKK 226 VKK 286 VKK 366 VKK 476 VKK 656 TehniËki podaci Tip ureappeaja: ecovit Jedinice VKK 226 VKK 286 VKK 366 VKK 476 VKK 66 Nazivna topotna snaga (na /),122,,28, 7,436,,47,6 1,16,7 Nazivna topotna snaga (na 60/) 4,21,,621, 7,23,,246,4 14,663,2

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA. Elektronska konfiguracija ns 2 np 1 B 4

13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA. Elektronska konfiguracija ns 2 np 1 B 4 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA 13. GRUPA PERIODNOG SISTEMA Bor redak element, najčešće u obliku minerala boraksa, Na 2 B 4 O 7 10H 2 O. Aluminijum najrasprostranjeniji metal u Zemljinoj kori (8,3 mas.%) i

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50

INŽENJERSTVO NAFTE I GASA. 2. vežbe. 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 2. vežbe 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 1 of 50 Proračuni trajektorija koso-usmerenih bušotina 2. vežbe Tehnologija bušenja II Slide 2 of 50 Proračun

Διαβάστε περισσότερα

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K

C 273,15, T 273,15, 1 1 C 1 50 C 273,15 K 50K 323,15K 50K 373,15K C 40 C 40 K 1 Zadatak temperatura K- C Telo A se nalazi na temperaturi 50 C i zagreje se za 50 K. Telo B se nalazi na temperaturi 313 K.i zagreje se za 40 C. Koje je telo toplije posle zagravanja i kolika je razlika

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design

Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design Supplemental Material for Estimation of grain boundary segregation enthalpy and its role in stable nanocrystalline alloy design By H. A. Murdoch and C.A. Schuh Miedema model RKM model ΔH mix ΔH seg ΔH

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA

II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA II. ODREĐIVANJE POLOŽAJA TEŽIŠTA Poožaj težišta vozia predstavja jednu od bitnih konstruktivnih karakteristika vozia s obzirom da ova konstruktivna karakteristika ima veiki uticaj na vučne karakteristike

Διαβάστε περισσότερα