Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Transcript

1 Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (, ). (9 μονάδες) Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Fermat και τη γεωμετρική του ερμηνεία. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος. α) Tο f()d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα ' μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα '. β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. γ) Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα Δ, τότε f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. δ) Οι ρητές συναρτήσεις P() Q(), με βαθμό του αριθμητή P() μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες. ε) Η εικόναf( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα. ( μονάδες) Θέμα Β Έστω f και g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο με f() g() για τις οποίες ισχύουν: f () f() e g () f() ά B. Να αποδείξετε ότι f() e g() (8 μονάδες) Β. α) Να υπολογίσετε την κλίση της C g στο β) Να αποδείξετε ότι: lim g (9 μονάδες) (8 μονάδες) Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός, MSc.) Σελίδα

2 Θέμα Γ Δίνεται συνάρτηση f : δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει f() f( ) f() ά Γ. Να δείξετε ότι ισχύει: f()-=+f(-) ( μονάδες) Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο ώστε f( ) f( ) ( μονάδες) Γ3. Να δείξετε ότι υπάρχουν, (,) ώf ( ) f ( ) ( μονάδες) Γ. Να αποδείξετε ότι η C f έχει δύο τουλάχιστον πιθανά σημεία καμπής. Γ. Αν η πορεία που ακολουθεί ένα πλοίο δίνεται από τη γραφική παράσταση της f για την οποία ισχύει f() f( ) f() για κάθε (, ), να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του πλοίου τη χρονική στιγμή που αυτό διέρχεται από το σημείο (,f()), αν η τεταγμένη του ελαττώνεται με ρυθμό f() / s ( μονάδες) Θέμα Δ Δίνεται η συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση g: για την οποία ισχύει: g() dt ά g () g(t) g() Δ. Να αποδείξετε ότι η g είναι - και να βρείτε τον τύπο της Δ. Να υπολογίσετε το g (t) g (8 μονάδες) lim dt Δ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο καμπής της C g το οποίο και να προσδιορίσετε. ( μονάδες) Δ. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης g( ) Εύχομαι Επιτυχία! Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός, MSc.) Σελίδα

3 Απαντήσεις Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ:6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ:6 Α3. α) Σ Σχολικό βιβλίο σελ:36 β) Σ Σχολικό βιβλίο σελ:9 γ) Λ Σχολικό βιβλίο σελ:7 δ) Σ Σχολικό βιβλίο σελ:8 ε) Λ Σχολικό βιβλίο σελ:9 Θέμα Β Β. B. Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός, MSc.) Σελίδα 3

4 Θέμα Γ Γ. f() f( ) ί f() ά ό f() f( ) f() f() f() f( ) f() fώ f() f( ) f( ) f( ) f() f( ) f( ) f Τελικά ισχύει f() f () Γ. Έστω g() f() f( ). Τότε g συνεχής στο [-,] ως πράξεις συνεχών και ισχύει g( ) f ( ) f ( ) g() f () f ( ) f ( ) f ( ) Ά ίg( )g() Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έ ώg( ) f( ) f( ). Γ3. Η συνάρτηση f ως δύο φορές παραγωγίσιμη στο, είναι συνεχής με συνεχή πρώτη παράγωγο στα [-,] και [,]. Επομένως ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ σε καθένα από αυτά. Άρα θα υπάρχουν f() f( ) f() f() (,) (,) έ ώf ( ) f ( ) ( ) έ f ( ) f ( ) f() f( ) () Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός, MSc.) Σελίδα

5 Γ. Εφαρμόζοντας ΘΜΤ για την f στο [-,] έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ f() f( ) στο (-,) ώστε f( ) () ( ) () f() f( ) (f() ) (f( ) ( )) ί έ f() f() f() f() f( ) ( ) (3) έ h() f(),, (3) ί :h() h() h( ) Δηλαδή παρουσιάζει ακρότατο για =- και =άρα σύμφωνα με το Θεώρημα Fermat θα είναι h ( ) h () f ( ) f () f ( ) f () Τελικά η f() έχει τρεις τουλάχιστον ρίζες, οπότε αν εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle για την f στα [-,ξ] και [ξ,] διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον ένα (, ) και τουλάχιστον ένα (,) τέτοια ώστε f( ) f( ) άρα έχει τουλάχιστον δύο υποψήφια σημεία καμπής. Γ. Αν θέσουμε g() f() f( ) y f() ό έ y(t) (t) Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε y (t) (t) οπότε τη χρονική στιγμή t που περνά από το (,f()) έχουμε y(t) (t) (f()) (t) (t) f() Θέμα Δ Δ. g() () άρα η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και -. Από τη g() σχέση () έχουμε g ()g () g () g ()g () g () g() () g() () g() c (3) Όμως από () για = έχουμε ότι c=. Τελικά g() dt άρα από τη σχέση (3) προκύπτει g(t) (3) g () g() ά () Αν θέσουμε f()=y γίνεται. Επομένως είναι y y y y y g () Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός, MSc.) Σελίδα

6 Δ. Αν θέσουμε f() g () γνησίως φθίνουσα. τότε f() άρα f Επομένως για κάθε > ισχύει t f() f(t) f( ) f()dt f(t)dt f( )dt f() dt f(t)dtf() dtf()() f(t)dtf()( ) f() f(t)dtf() f(t)dt () () Όμως lim και lim άρα από κριτήριο παρεμβολής θα ( ) ( ) είναι Δ3. lim f (t)dt ί όg () g() ά ό ί άέ έ ά g() g() 3 g ()g() g ()g () g () g () g () g() g() μοναδική ρίζα αφού g γνησίως αύξουσα. Επίσης για g() g() ό g () και για g() g() ό g () άρα η g παρουσιάζει καμπή στο (,) Δ. g( ) g () Αν θέσουμε h() h () και h() Άρα προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας μονοτονίας - h() h() h(-)=- h()=-9 Παρατηρούμε ότι η h()= δεν είναι δυνατόν να έχει ρίζες στα (, ] [,] Όμως h [, ) [h(), lim h()) [ 9, ) και [ 9, ) άρα από Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών υπάρχει μοναδικό (λόγω μονοτονίας) (, ):h( ) Επομένως η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός, MSc.) Σελίδα 6