7. Μέθοδοι επίλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων

Transcript

1 7.Μέθοδοιεπίλυσηςηλεκτρικών κυκλωμάτων Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα συμπεριλαμβάνει μία ή περισσότερες πηγές συνδεδεμένεςμεδιάφοραεξαρτήματαόπωςαντιστάσεις,πυκνωτές,κ.α. Σεένακύκλωμαδιακρίνουμεκόμβους,κλάδουςκαιβρόχους. Κόμβοςείναιτοσημείοσύνδεσηςτριώνήπερισσοτέρωναγωγών. Κλάδος είναι μια ακολουθία εξαρτημάτων συνδεδεμένων με αγωγό, η οποίαξεκινάαπόένακόμβοκαικαταλήγεισεάλλο. Βρόχοςείναιοποιαδήποτεκλειστήακολουθίαεξαρτημάτων. Γραμμικάανεξάρτητοςβρόχοςείναιοβρόχοςπουδενμπορείνααναλυθεί σεαπλούστερους. Για παράδειγμα, το «κύκλωμα» του επομένου Σχήματος έχει 6 κόμβους, 9 κλάδουςκαι4γραμμικάανεξάρτητουςβρόχους. Μετονόρο επίλυσηκυκλώματος εννοούμετονπροσδιορισμότουρεύματοςσε κάθεκλάδοκαιπτώσητάσηςσεόλαταστοιχείατουκυκλώματος. 7.1Αναγωγήσεαπλόκύκλωμα Έστω ότι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα περιλαμβάνει μία πηγή και αντιστάσεις συνδεδεμένες με διάφορους τρόπους. Εάν υπολογίσουμε την ισοδύναμη αντίσταση καταλήγουμε σε ένα απλό κύκλωμα όπου μία αντίσταση συνδέεται μεμίαπηγή.τότε,τοσυνολικόρεύμαυπολογίζεταιάμεσαμετοννόμοτουohm. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τα ρεύματα και τάσεις σε όλα τα ισοδύναμα κύκλώματα ξεκινώντας από το απλούστερο προς το περισσότερο σύνθετο μέχριςότουφτάσουμεστοαρχικό. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015) 85

2 Παράδειγμα Να προσδιορίσετε το ηλεκτρικό ρεύμα σε κάθε κλάδο του κυκλώματος.δίδεται 1 = 50kΩ, =100 kω, = 0kΩκαι = 50V. ΤοαρχικόκύκλωμαμετασχηματίζεταισταισοδύναμακυκλώματαΚ1,ΚκαιΚ. Έχουμε = = kω =16.67kΩ = 1 + = 50kΩ kΩ = 66.67kΩ I 1 = = 50V =.75 m kΩ V B =.75 m kω = 6.5V I = V B = 6.5V 100kΩ = 0.65m I = V B = 6.5V 0 kω =.15 m Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015) 86

3 7.ΗμέθοδοςτωνκανόνωντουKirchhoff ΣύμφωναμετηνμέθοδοτωνκανόνωντουKirchhoff,ταηλεκτρικάρεύματαπου διαρρέουν τους κλάδους ενός κυκλώματος προσδιορίζονται από την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων με αγνώστους τις εντάσεις των ρευμάτων.τοσύστηματωνεξισώσεωνπροκύπτειαπόδύοκανόνες. 1 ος Κανόνας: Σε κάθε κόμβο του κυκλώματος, το αλγεβρικό άθροισμα των εντάσεωντωνρευμάτωνείναιμηδέν.δηλαδή I = 0 Ο πρώτος κανόνας του Kirchhoff είναι αποτέλεσμα της αρχής διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Για την εφαρμογή του 1 ου κανόνα, ορίζουμε συνήθως ως θετική την ένταση του εισερχομένου ρεύματος και αρνητική την ένταση του εξερχομένου. Γιαπαράδειγμα,έστωότιπέντεκλάδοιενόςκυκλώματοςσυνδέονταισεκόμβο όπωςστοεπόμενοσχήμακαιδιαρρέονταιαπόρεύματα I 1 =1, I = 4, I = και I 4 =.Πόσηείναιηέντασητουρεύματος I 5 ; Εφαρμόζονταςτον1 ο κανόνατουkirchhoff, I = 0 I 1 I + I I 4 I 5 = 0 I 5 I + I I 4 I 5 = Άρα,το I 5 στηνπραγματικότηταεισέρχεταιστονκόμβο. ος Κανόνας: Σε κάθε βρόχο, το αλγεβρικό άθροισμα των ηλεκτρεγερτικών δυνάμεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των πτώσεων τάσης στις αντιστάσειςτωνκλάδωντουβρόχου.δηλαδή E = I Ο ος κανόνας του Kirchhoff είναι αποτέλεσμα της διατήρησης της ηλεκτρικής ενέργειαςστονβρόχο. Γιατηνεφαρμογήτου ου κανόνατουkirchhoff 1. Ορίζουμεμίααυθαίρετηθετικήφοράδιαγραφήςτουβρόχου. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015) 87

4 . Στοάθροισμα E,εάνμιαπηγήπροκαλείρεύμακατάτηνθετικήφορά διαγραφής γράφεται με θετικό πρόσημο. Σε αντίθετη περίπτωση το πρόσημοείναιαρνητικό.. Στο άθροισμα I, μία πτώση τάσης που προκαλείται από ρεύμα ομόρροπομετηνθετικήφοράδιαγραφήςλαμβάνεταιμεθετικόπρόσημο. Σεαντίθετηπερίπτωσητοπρόσημοείναιαρνητικό. Για παράδειγμα, έστω ο βρόχος του Σχήματος, μέρος ενός μεγαλύτερου κυκλώματος. Εφαρμόζονταςτον ο κανόνατουkirchhoff E = Iβρίσκουμε + E E 0 + I 0 I 1 I 4 0 I 5 ή + E E = I 1 I 5 Γιατηνεπίλυσηκυκλωμάτωνακολουθούμετηνεξήςπορεία: 1. Αναγνωρίζουμετουςκλάδους,κόμβουςκαιβρόχουςτουκυκλώματος.. Σημειώνουμεαυθαίρετατηνφοράτουρεύματοςσεκάθεκλάδο.. Εάν το κύκλωμα έχει Κ κόμβους, εφαρμόζουμε τον 1 ο κανόνα του KirchhoffσεΚ 1κόμβους. 4. Σχεδιάζουμε μία θετική φορά διαγραφής σε κάθε γραμικά ανεξάρτητο βρόχο του κυκλώματος. Θυμηθήτε ότι γραμμικά ανεξάρτητοι είναι οι βρόχοιπουδενεπικαλύπτονται. 5. Εφαρμόζουμετον ο κανόνατουkirchhoffσεκάθεγραμμικάανεξάρτητο βρόχο. 6. Απόταβήματακαι5,προκύπτειέναγραμμικόσύστημαΚ+1εξισώσεων με αγνώστους τις εντάσεις των ρευμάτων. Επιλύουμε το σύστημα των γραμμικώνεξισώσεων. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015) 88

5 7. Εάν έχουμε προσδιορίσει όλα τα ρεύματα, η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων Α και Β, κατά μήκος μίας αγώγιμης διαδρομής του B B κυκλώματος,δίδεταιαπότηνσχέση:v B = I E. Άσκηση:ΝαδείξετεότιηδιαφοράδυναμικούμεταξύδύοσημείωνΑκαιΒ,κατά μήκος μίας αγώγιμης διαδρομής ενός κυκλώματος, δίδεται από την σχέση: B V B = I E. (Υπόδειξη: Εφαρμόσατε κατάλληλα τον ο κανόνα του Kirchhoff) Παράδειγμα1: B Παράδειγμα : Στο κύκλωμα του Σχήματος, να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματοςσεκάθεκλάδο,καθώςκαιτηντάση V B μεταξύτωνκόμβωνακαιβ. Δίδεται: = 6V, E = V, 1 = 4Ω, = Ωκαι = Ω. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015) 89

6 Το κύκλωμα αυτό έχει μόνο τους δύο κόμβους Α και Β. Εφαρμόζουμε τον 1 ο κανόνατουkirchhoffστονκόμβοα: I = 0 I I 1 I = 0 (1) Γραμμικάανεξάρτητοιβρόχοιείναιοι(ΑΓΒΑ)και(ΑΒΔΑ).Εφαρμόζουμετον ο κανόνατουkirchhoff: E = I Βρόχος(ΑΓΒΑ): 1 I () Βρόχος(ΑΒΔΑ): E = I + I () Προκύπτει το ακόλουθο γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους: I 1 + I I = 0 I I 0 I = I I + I = E (S) Έχουμε Δ = 1 0 = = 0 0 Δ 1 = = 1 ( + ) = ( ) = 0Ω = E E 1 + E = 0 = ( + ) E = 8V Ω E Δ = 1 = E 0 E = E = E E 1 = 4V Ω Επομένως, I 1 = Δ 1 Δ = 8V Ω 0Ω =1.4 I 1 =1.4 και I = Δ Δ = 4V Ω 0Ω I =1. Απότην(1), I = I I 1 I = 0. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015) 90

7 Λόγωτουαρνητικούπροσήμου,το I έχειαντίθετηφοράαπόεκείνηπουέχει σημειωθείστοσχήμα. Η τάση μεταξύ των σημείων Α και Β βρίσκεται εφαρμόζοντας την σχέση B B V B = I E στονκλάδοαβ.έχουμεv B = I = 0. Ω = 0.4V. Ο αναγνώστης μπορεί να διαπιστώσει ότι το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει εάν εφαρμόσουμετηνσχέσηαυτήχρησιμοποιώνταςγιαδιαδρομήτονκλάδοαγβή τοναδβ. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(015) 91