Loop (Mesh) Analysis

Transcript

1 Loop (Mesh) Analysis Νικ. Α. Τσολίγκας Χρήστος Μανασής 1

2 Ανάλυση βρόγχων - Κυκλική Kirchhoff's Voltage Law (KVL) Νόμος τάσεων του Kirchhoff (KVL) Για οποιοδήποτε συγκεντρωμένο* κύκλωμα, για οποιονδήποτε από τους βρόχους του, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων κλάδου σε ένα βρόχο είναι μηδέν Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff (KCL) Για οποιοδήποτε συγκεντρωμένο κύκλωμα, για οποιονδήποτε από τους κόμβους του, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων κλάδου σε ένα κόμβο είναι μηδέν Το άθροισμα όλων των ρευμάτων των κλάδων που εισέρχονται σε ένα κόμβο ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων που εξέρχονται από τον κόμβο. 2

3 Ανάλυση βρόγχων - Κυκλική Συγκεντρωμένα κυκλώματα: Οι διαστάσεις τους είναι πολύ μικρές σε σχέση με το μήκος κύματος που τα διαρρέει. Η στιγμιαία τιμή του ρεύματος στο τέλος τους είναι ίδια με τη στιγμιαία τιμή του ρεύματος στην αρχή τους. Η ενέργεια που μεταφέρουν περιορίζεται στο εσωτερικό τους Κατανεμημένα κυκλώματα: Οι διαστάσεις τους είναι συγκρίσιμες με το μήκος κύματος του ρεύματος που τα διαρρέει. Ένα ποσοστό της ενέργειας που μεταφέρουν ακτινοβολείται στο περιβάλλον γύρω τους. 3

4 Στοιχεία κυκλωμάτων Πραγματικά στοιχεία Ιδανικά στοιχεία Αντιστάτες Πυκνωτές Επαγωγοί Πηγές τάσης Πηγές ρεύματος Μοντελοποίηση 4

5 Αντίσταση v(t) = R(t) i(t) v(t) = R i(t) Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος i(t) = G(t) v(t) αγωγιμότητα i + - v v R i κλίση R 5

6 Πυκνωτής q(t) = C(t) v(t) q(t) = C v(t) Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος i C (t) = C dv(t) /dt t 1 v( t) v(0) i( ) d C 0 συνεχής!! C i(t) + - v(t) q v v(0)=v 0 v(0)=0 V 0 + 6

7 Επαγωγός - Πηνίο φ(t) = L(t) i(t) φ(t) = L i(t) Γραμμικός, χρονικά αμετάβλητος v L (t) = L di(t) /dt συνεχής!! 1 i( t) i(0) v( ) d L L + - i(0)=i 0 t 0 i(0)=0 + L - I 0 i(t) + - v(t) φ L i 7

8 Κυματομορφές Σταθερή Ημιτονοειδής Μοναδιαία βηματική Παλμός Μοναδιαία κρουστική 8

9 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Μέθοδος κομβικών τάσεων Μέθοδος βροχικών (διανοιγματικών) εντάσεων Προσεκτική προετοιμασία επανασχεδιασμός του κυκλώματος, αν χρειάζεται εκτίμηση αριθμού απαραίτητων εξισώσεων για την επίλυση επιλογή μεθόδου 9

10 Νόμος του Kirchhoff για τις τάσεις (KVL) Ο νόμος του Kirchhoff για τις τάσεις (KVL) αναφέρει ότι το άθροισμα της τάσης σε ένα βρόχο σε οποιοδήποτε κύκλωμα πρέπει να είναι 0. Σε μαθηματική μορφή, IR emf 0 10

11 KCL Νόμος του Kirchhoff για το ρεύμα (KCL) Σε κάθε ηλεκτρικό κύκλωμα σε κάθε κόμβο, σε κάθε χρονική στιγμή, το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων όλων των διακλαδώσεων του κόμβου είναι ισο με μηδέν. Lect5 EEE

12 Κυκλωμα πρόσθεσης τάσεων Η τάση εξόδου V του κυκλώματος είναι ανάλογη του αθροίσματος των δυο τάσεων εισόδου V1 και V2 1kW 1kW + + V 1 V out 1kW V

13 Βήματα Υπολογισμού (KVL) για ανάλυση Βρόχου Αναγνώριση Βρόχων Μία διαδρομή που ο αρχικός και ο τελικός της κόμβος ταυτίζονται, δηλαδή καταλήγει στον κόμβο από τον οποίο ξεκινά. Κόμβος: Το σημείο στο οποίο συνδέονται δύο ή περισσότερα στοιχεία 1. Σημείωσε τα ρεύματα σε κάθε Βρόχο 2. Εφαρμογή του νόμου KVL σε κάθε βρόχο και δημιουργία εξισώσεων με τα ρεύματα του βρόχου. Εξισώσεις όσοι και οι βρόχοι 3. Επίλυση του γραμμικού συστήματος συστήματος των βροχικων ρευμάτων 13

14 Βήματα Υπολογισμού (KVL) για ανάλυση Βρόχου Ορισμός Βροχου 14

15 Βήματα Υπολογισμού (KVL) για ανάλυση Βρόχου - Ορισμοί Βασικός κλάδος: Διαδρομή μεταξύ δυο βασικών κόμβων Βασικός κόμβος: Το σημείο στο όποιο ενώνονται τρία η περισσότερα στοιχεία ηλεκτρικού κυκλώματος Διαδρομή: Μια σειρά από στοιχεία τα οποία προσμετρούνται μια φορά Βρόχος: Μία κλειστή διαδρομή όπου ένα κόμβος προσμετρείται μια φορά. Βασικοί Κόμβοι: b,c,e,g Βασικοί κλάδοι: V 1 -R 1, R 2 -R 3, R 5, R 6, R 7, I, V 2 -R 4 Βρόχοι: V 1 -R 1 -R 5 -R 3 -R 2 V 2 -R 2 -R 3 -R 6 -R 4 R 5 -R 6 -R 7 R 7 -I 15

16 Βήματα Υπολογισμού (KVL) για ανάλυση Βρόχου - Βήμα 1: Επιλογή Be-(Ne-1) Βρόχων (Βασικοί Κόμβοι: N e,βασικοί Κλάδοι B e ) Βήμα 2: Βροχικα ρεύματα σε κάθε βρόχο. Βήμα 3: Εφαρμογή KVL σε κάθε βρόχο με τα βροχικα ρεύματα και μόνο Βήμα 4: Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τα άγνωστα βροχικα ρεύματα Lect5 EEE

17 1. Αναγνώριση Βασικών Βροχων R 1 1kW Χ R 3 1kW V Βρόχος 1 Βρόχος 2 V 2 R 2 1kW YΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΒΡΟΧΙΚΩΝ ΡΕΥΜΑΤΩΝ Βασικοί Κόμβοι: N e = 2 = Χ,Υ Βασικοί Κλάδοι B e = 3 = V 1 - R 1, R 2, R 3 -V 2 Αριθμός Βροχικων ρευμάτων: Μ= B e -(N e -1) = 2 Υ 17

18 2. Σημείωση Βροχικών ρευμάτων 1kW 1kW 1kW V I 1 I 2 V 2 Εφαρμογή KCL σε Νe-1 Κόμβους Εφαρμογή KVL σε Be-(Ne-1) Βρόχους 18

19 Τάσεις από Βροχικά ρευματα V R + R + V R R I 2 I 1 I 1 V R = I 1 R V R = (I 1 I 2 ) R 19

20 3. Εφαρμογη KVL Γυρω από τον Βροχο 1 R 1 1kW R 3 1kW R 2 V I 1kW 1 I 2 V 2 V 1 - I 1 R 1 - I 1 R 2 + I 2 R 2 = 0 -V 2 + I 1 R 2 - I 2 R 2 - I 2 R 3 = 0 20

21 3. KVL Γυρω από τον Βροχο 2 1kW 1kW 1kW V I 1 I 2 V 2 I 1 (R 1 +R 2 ) I 2 R 2 = V 1 I 1 R 1 I 2 (R 2 +R 3 ) = V 2 21

22 22 Δημιουργία Πίνακα 3 Οι δυο εξισώσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μια εξίσωση Πίνακα /Ανύσματος ) 2 ( V V I I R R R R R R

23 Επίλυση με χρήση MatLab Για πηγές Τάσεων: V 1 = 7V και V 2 = 4V A 1000 I I 2 X 7 4 B I I 1 2 X A X inv( A)* B 3.3mA 0.3mA 1 * B Αρνητική τιμή ρεύματος = Αλλαγή φοράς 23

24 Επίλυση με χρήση MatLab Υπολογισμός των ρευμάτων σε κάθε βροχο : I 1, I 2-7I 1 + 6I 2 = 5 6I 1 8I 2 = -10 A*X = B Χ = inv(α)*β >> A=[-7,6;6,-8]; >> B=[5;-10]; >> X=linsolve(A,B) ans =

25 Άσκηση 1 Με χρήση του προγράμματος MATLAB υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα : 25

26 Άσκηση 2 Με χρήση του προγράμματος MATLAB υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα : 4 W 2 W 10V + _ 6 W I 1 I 2 2V W 20V 26

27 Άσκηση 3 Με χρήση του προγράμματος MATLAB υπολογίσατε τα βροχικά ρεύματα : 9 W 12V _ W I 3 11 W 8V + _ 6 W 4 W 20V + _ I 1 _ I 2 10V + 3 W 27

28 Κυκλώματα με πηγές Ρεύματος Ανάμεσα σε Βροχους 2kW 2mA 1kW 12V + 2kW 4mA I 0 28

29 1. Αναγνώριση Βροχων 2kW 2mA Mesh 3 1kW 12V + Mesh 1 2kW Mesh 2 4mA I 0 29

30 2. Κυκλικά Ρεύματα η Ρεύματα Βροχων 2kW 2mA I 3 1kW 12V + 2kW I 1 I 2 4mA I 0 30

31 Πηγές Ρεύματος Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον Νόμο KVL γύρω από ένα βροχο γιατί είναι άγνωστη η τάση που παράγεται από την πηγή ρεύματος. ΤΙ ΚΑΝΟΥΜΕ????? Όταν ένας κλάδος περιλαμβάνει πηγή ρεύματος τότε ο αριθμός των άγνωστων βροχικων ρευμάτων ελαττώνεται κατά ένα 31

32 1. Χρήση ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH Supermesh: Δημιουργία ενός κλειστού βρόχου συνδυάζοντας βρόχους και αγνοώντας πηγές ρεύματος και στοιχείων που είναι εν σειρά συνδεδεμένα. Άθροισμα όλων των τάσεων γύρω από τον υπερ-βροχο. Χρήση βροχικων ρευμάτων. Ενας υπερ-βροχος δημιουργείται από δυο βρόχους που έχουν μια κοινή πηγή ρεύματος π.χ. 32

33 Supermesh: Χρήση ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH Όταν ο βροχοςέχει πηγές ρεύματος τότε: 1. Εάν η πηγή ρεύματος είναι σε ένα βρόχο τότε το βροχικό ρεύμα είναι το ρεύμα βρόχου 2. Εάν η πηγή ρεύματος είναι μεταξύ δυο βρόχων, τότε ενώνουμε τους δυο βρόχους σε ένα super βροχο και παραλείπουμε την πηγή ρεύματος και κάθε στοιχείο που συνδέεται σε σειρά με αυτή ο KVL εφαρμόζεται στον super βρόχο π.χ 33

34 Ο υπέρβροχος γυρω από αυτή την πηγή 12V a + 2mA 2kW I 3 b 2kW I 1 I 2 I 0 1kW c Ο υπερβροχος δεν περικλείει αυτή την πηγή ρεύματος. 4mA d N e =a, b, c, d B e = 2mA,12v, 2KΩ, 2KΩ, 1KΩ, 4mA Μ= Be-(Ne-1) = 6-3 = 3 34

35 R 3 I 3 ι 4m R 2 12V + R 1 I 1 I 2 I 0 35

36 2. KVL Γύρω από τον Υπερ - Βροχο V 1 -I 3 R 3 -I 3 R 2 +I 2 R 2 -I 1 R 1 +I 2 R 1 =0 V 1 -I 1 R 1 +I 2 (R 1 +R 2 )-I 3 (R 2 +R 3 )=0 36

37 KCL σε Κόμβους Κόμβος a: ι 1 -ι 3-2 = 0 Ι 1 -Ι 3 = 2 ma Κόμβος c: Ι 2 = -4 ma I 1 R 1 -I 2 (R 1 +R 2 ) +I 3 (R 2 +R 3 ) = V 1 I 2 = -4mA I 1 -I 3 = 2mA 37

38 38 Matrix Notation Οι τρεις εξισώσεις συνδυάζονται σε μια εξίσωση Πίνακα / Άνυσμα I I I

39 ΧΡΗΣΗ ΥΠΕΡ- ΒΡΟΧΩΝ SUPERMESH Εφαρμογή του KCL σε κόμβους που συνδέουν την πηγή/πηγες ρευματος και βροχικα ρεύματα στον ΥΠΕΡ_ΒΡΟΧΟ (κόμβο a) ι 1 -ι 3-2 = 0 Ι 1 -Ι 3 = 2 ma Ι 2 = -4 Η πηγή ρεύματος των 4mA αποτελεί και το ρεύμα βρόχου I 2 : I 2 = 4 ma Για την δεύτερη πηγή ρεύματος, στην ένωση των δυο αντιστάσεων (κομβος) των 2Κ και1κ, ισχύει: Το άθροισμα των ρευμάτων στον κόμβο είναι ισο με μηδέν. 2 mα - (Ι 1 -Ι 2 ) - (ι 2 -Ι 3 ) = 0 I 1 -I 3 = 2mA 39

40 3. Λύση με χρήση MATLAB >> A = [ ; 0 1-0; 1 0-1] Β = [ ] η Β = [12; 4e-3; 2e-3] >> i = inv(a)*b I = linsolve(a,b) i =

41 Λύση I 1 = 1.2 ma I 2 = 4 ma I 3 = 0.8 ma I 0 = I 1 I 2 = 5.2 ma 41

42 Λύση I 1 = 1.2 ma I 2 = 4 ma I 3 = 0.8 ma I 0 = I 1 I 2 = 5.2 ma 42

43 R 3 I 3 ι 4m i 2 -i 3 R 2 12V + R 1 I 1 I 2 I 0 i 1 -i 2 43

44 Άσκηση 1 Άσκηση για matlab 2 W 20V _ + 10 W I 3 20 W 10V + _ I 1 5 W I 2 4A 15 W 44

45 Άσκηση 2 Άσκηση για matlab I 1 -I 2 = I s ΓΙΑΤΙ??? i1 = A i2 = A i3 = A 45

46 Άσκηση 2 Άσκηση για matlab 46

47 Άσκηση 3 Άσκηση για matlab I 2 -I s =I 3 I 1 = 3A I 2 = 1A 47

48 Άσκηση 4 Άσκηση για matlab 1. Αναγνώριση SuperMesh 2. Να γράφουν οι εξισώσεις Βροχων/Υπερ-βροχων 3. Επίλυση Ι 1 Ι 2 48