Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

2 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Έχουμε έναν πυκνωτή συνδεδεμένο σε σειρά με μία αντίσταση. Τη χρονική στιγμή μηδέν ο πυκνωτής δεν έχει τάση στα άκρα του. Τη χρονική στιγμή μηδέν εφαρμόζουμε μία σταθερή τάση V στο κύκλωμα. Ποιο θα είναι το ρεύμα του κυκλώματος και οι τάσεις αφού εφαρμόσουμε την πηγή τάσης; V ± i(t) R V R V Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι θα υπάρχει ένα μεταβατικό φαινόμενο εκθετικής μορφής:

3 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Σε άπειρο χρόνο ο πυκνωτής θα μπορεί να θεωρηθεί σαν ανοικτοκύκλωμα και το ρεύμα του κυκλώματος θα έχει μηδενιστεί, άρα η τάση στα άκρα του πυκνωτή θα ισούται με την τάση της πηγής: V ± i(t) R V R V Η τάση του πυκνωτή σε κάθε χρονική στιγμή θα ισούται με το άθροισμα της τάσης της μεταβατικής κατάστασης και της μόνιμης κατάστασης:

4 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Η άγνωστη σταθερά με βάση την αρχική τάση του πυκνωτή και το γεγονός ότι δεν μπορεί να αλλάξει απότομα: V ± i(t) R V R V Τελικά η τάση του πυκνωτή είναι:

5 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Η τάση της αντίστασης μπορεί να βρεθεί από το νόμο τάσεων του Kirchhoff: i(t) R V R V ± V Το ρεύμα του κυκλώματος είναι: Σε κάθε χρονική στιγμή το άθροισμα της τάσης της αντίστασης και της τάσης του πυκνωτή μας δίνει την τάση της πηγής.

6 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Εναλλακτικά, μπορούσαμε να καταλήξουμε στα ίδια αποτελέσματα εφαρμόζοντας εξ αρχής το νόμο τάσεων του Kirchhoff:

7 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Η αντίσταση πρακτικά διαρρέεται από ρεύμα για λίγες σταθερές χρόνου. Η ισχύς που καταναλώνει είναι: Η συνολική ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση είναι: Η ενέργεια που θα καταναλώσει η αντίσταση ισούται με την ενέργεια που θα αποθηκεύσει ο πυκνωτής.

8 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Έστω τώρα ότι έχουμε έναν πυκνωτή παράλληλα με μία αντίσταση που τροφοδοτείται από μία βηματική πηγή ρεύματος. Όταν το κύκλωμα βρεθεί σε μόνιμη κατάσταση όλο το ρεύμα της πηγής ρεύματος θα περνάει από την αντίσταση, καθώς στο συνεχές ο πυκνωτής είναι ανοικτοκύκλωμα, και το ρεύμα του θα είναι μηδέν. I u(t) V(t) i R (t) R i (t) Η τάση του κυκλώματος θα είναι της μορφής:

9 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Η σταθερά Α θα προκύψει από τις αρχικές συνθήκες: i R (t) i (t) I u(t) Τελικά η τάση του κυκλώματος είναι: V(t) R Το ρεύμα της αντίστασης προκύπτει από το νόμο του Ωμ: Το ρεύμα του πυκνωτή μπορεί να βρεθεί από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff:

10 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Εναλλακτικά, το ρεύμα του πυκνωτή μπορεί να βρεθεί από τη σχέση τάσης ρεύματος του πυκνωτή: I u(t) V(t) i R (t) R i (t) Το άθροισμα των ρευμάτων της αντίστασης και του πυκνωτή σε κάθε χρονική στιγμή ισούται με το ρεύμα της πηγής. Η τάση του κυκλώματος έχει την ίδια μορφή με το ρεύμα της αντίστασης.

11 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Αν θέλουμε να επιλύσουμε το κύκλωμα αγνοώντας τη μέθοδο της επαλληλίας της φυσικής και της εξαναγκασμένης απόκρισης, θα ξεκινήσουμε από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: I u(t) V(t) i R (t) R i (t) Στη συνέχεια θα αντικαταστήσουμε τα ρεύματα εκφράζοντάς τα συναρτήσει της κοινής τάσης των δύο στοιχείων και θα ολοκληρώσουμε:

12 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Το αποτέλεσμα που έδωσε η εφαρμογή του νόμου τάσεων του Kirchhoff μετά από αρκετές του κυκλώματος.

13 R 2 =3 kω R 2 =3 kω =10 μf 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Παράδειγμα 84: Το κύκλωμα έχει παραμείνει πολύ χρόνο σε αυτή την κατάσταση όταν τη χρονική στιγμή ο διακόπτης κλείνει. Να βρεθούν τα ρεύματα και οι τάσεις στα στοιχεία του κυκλώματος. Η αντίσταση που βλέπει ο πυκνωτής είναι: ± i 1 V s =100 V R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 R 1 =1 kω R 3 =2 kω Η σταθερά χρόνου του κυκλώματος είναι: V R1 R ΙΣ

14 R 2 =3 kω =10 μf 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Η τάση του πυκνωτή (όπως και τα υπόλοιπα μεγέθη του κυκλώματος) είναι της μορφής: ± i 1 V s =100 V R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 Οι σταθερές και θα υπολογιστούν από τις οριακές συνθήκες. Σε άπειρο χρόνο η τάση στα άκρα του πυκνωτή προσδιορίζεται από το διαιρέτη τάσης που σχηματίζουν οι αντιστάσεις R 1 και R 2 : Άρα η σταθερά Α της παραπάνω εξίσωσης ισούται με 75.

15 R 2 =3 kω =10 μf 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Τη χρονική στιγμή πριν κλείσει ο διακόπτης η τάση του πυκνωτή είναι μηδέν και δεν μπορεί να αλλάξει ακαριαία, οπότε έχουμε: ± i 1 V s =100 V R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 Τελικά η τάση του πυκνωτή είναι: Το ρεύμα του πυκνωτή υπολογίζεται από τη διαφορική σχέση τάσης ρεύματος του πυκνωτή:

16 R 2 =3 kω =10 μf 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Το ρεύμα του πυκνωτή διαρρέει και την αντίσταση R 3 και αναπτύσσει τάση στα άκρα της: ± i 1 V s =100 V R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 Η τάση στα άκρα της αντίστασης R 2 υπολογίζεται από το νόμο τάσεων του Kirchhoff: Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R 2 είναι:

17 R 2 =3 kω =10 μf 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Το ρεύμα i 1 που διαρρέει την πηγή τάσης και την αντίσταση R 1 υπολογίζεται από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff: ± i 1 V s =100 V R 1 =1 kω R 3 =2 kω V i 2 V i R1 R3 3 V V R2 Η τάση στα άκρα της αντίστασης R 1 είναι:

18 R 2 =3 kω =10 μf 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R i 1 R 1 =1 kω R 3 =2 kω ± V s =100 V V i 2 V i R1 R3 3 V V R2

19 R 3 =6 kω =10 μf I s =10 ma 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Παράδειγμα 85: Ο διακόπτης του κυκλώματος ανοίγει τη χρονική στιγμή, αφού είχε μείνει κλειστός για πολλή ώρα. Να βρεθεί η τάση στα άκρα του πυκνωτή μετά τη χρονική στιγμή που ανοίγει ο διακόπτης. R 1 =1 kω i 1 R 2 =3 kω i 2 i 3 v Η ισοδύναμη αντίσταση του κυκλώματος που βλέπει ο πυκνωτής είναι μόνο η αντίσταση R 3, οπότε η σταθερά χρόνου του κυκλώματος για τη φόρτιση του πυκνωτή θα είναι: Η τάση στα άκρα του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου θα είναι:

20 R 3 =6 kω =10 μf I s =10 ma 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Δεδομένου ότι πριν ανοίξει ο διακόπτης ( ) η τάση του πυκνωτή είναι μηδέν και δεν μπορεί να αλλάξει απότομα: R 1 =1 kω i 1 R 2 =3 kω i 2 i 3 v Σε άπειρο χρόνο ο πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν ανοικτοκύκλωμα και όλο το ρεύμα της πηγής περνά μέσα από την αντίσταση R 3 : Η σταθερά Β θα είναι:

21 R 3 =6 kω =10 μf I s =10 ma 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Τελικά η τάση του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου είναι: R 1 =1 kω R 2 =3 kω i 1 i 2 i 3 v Το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση R 3 είναι: Εναλλακτικά:

22 R 3 =6 kω =10 μf I s =10 ma 8 Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και R Εάν κλείσει ο διακόπτης αφού έχει φορτιστεί πλήρως ο πυκνωτής (στα 60 V που είναι η τελική του τάση) θα έχουμε εκφόρτιση του πυκνωτή, αλλά η σταθερά χρόνου θα είναι διαφορετική. Όταν ο διακόπτης είναι κλειστός η αντίσταση R 2 συνδέεται παράλληλα με την αντίσταση R 3 και η αντίσταση που βλέπει ο πυκνωτής είναι ο παράλληλος συνδυασμός των δύο αντιστάσεων, που έχει τιμή 2 kω. Η σταθερά χρόνου τώρα θα είναι 20 ms. R 1 =1 kω i 1 R 2 =3 kω i 2 i 3 v