Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων"

Transcript

1 Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να αναλύσουμε τις σχέσεις που υφίστανται μεταξύ των διαφόρων μεταβλητών του συστήματος και να καταλήξουμε σε κάποιο μαθηματικό μοντέλο. Τα περισσότερα από τα συστήματα που εξετάζουμε είναι δυναμικά συστήματα, δηλαδή συστήματα των οποίων τα μεγέθη (οι μεταβλητές) είναι συναρτήσεις του χρόνου και οι εξισώσεις που τα περιγράφουν περιλαμβάνουν μεταβολές αυτών των μεγεθών (παραγώγους ως προς το χρόνο). Επομένως τα συστήματα αυτά περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις. Συνήθως τα συστήματα αυτά παρουσιάζουν πολυπλοκότητα και συχνά δεν γνωρίζουμε διάφορους σημαντικούς παράγοντας. Αυτό μας αναγκάζει να κάνουμε υποθέσεις σχετικά με τη λειτουργία τους. Στις περιπτώσεις αυτές μελετούμε αρχικά το φυσικό σύστημα, στη συνέχεια εισάγουμε μερικές αναγκαίες υποθέσεις ή παραδοχές και τέλος κάνουμε γραμμικοποίηση του συστήματος. Γραμμικοποίηση είναι η διαδικασία προσέγγισης ενός μη γραμμικού συστήματος με ένα γραμμικό σύστημα. Έτσι, χρησιμοποιώντας τους διάφορους φυσικούς νόμους με τη βοήθεια των οποίων περιγράφεται το αντίστοιχο γραμμικό ισοδύναμο του συστήματος που εξετάζουμε, λαμβάνομε ένα σύνολο από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ο λόγος που κάνουμε αυτή τη διαδικασία είναι ότι οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις επιλύονται εύκολα με τη βοήθεια διαφόρων μαθηματικών εργαλείων, όπως ο μετασχηματισμός Laplace. Σε πολλές περιπτώσεις η πολυπλοκότητα του συστήματος δεν επιτρέπει τη γραμμικοποίηση ή οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία τους δεν έχουν αναλυτική λύση. Για τη μελέτη τέτοιων συστημάτων προσφεύγουμε στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων και την επίλυσή τους με αριθμητικές προσεγγιστικές μεθόδους με τη χρήση Η/Υ. Κατά τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων ακολουθούμε συνήθως τα ακόλουθα βήματα: 1. Ορίζουμε το σύστημα και τα στοιχεία που το αποτελούν. 2. Διατυπώνουμε το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο και τις οποιεσδήποτε υποθέσεις ή παραδοχές κρίνονται απαραίτητες. 3. Γράφουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του συστήματος και, εάν είναι απαραίτητο, τις γραμμικοποιούμε. 4. Επιλύουμε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τις μεταβλητές εξόδου. 5. Εξετάζουμε και επαληθεύουμε τις λύσεις που προκύπτουν και τις παραδοχές που έχουμε κάνει. 6. Εάν τα αποτελέσματα δεν είναι ικανοποιητικά, αναλύουμε και σχεδιάζουμε το σύστημα από την αρχή. 1

2 Γενικά, μαθηματικό μοντέλο ενός φυσικού συστήματος είναι η μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη ενός συστήματος και εκφράζει κατά προσέγγιση τη συμπεριφορά ή την εσωτερική κατάσταση του συστήματος. x n () φυσική είσοδος Φυσικό σύστημα y m () φυσική έξοδος x() Μαθηματικό μέγεθος εισόδου g Μαθηματική σχέση y() Μαθηματικό μέγεθος εξόδου Εάν η μαθηματική σχέση που χαρακτηρίζει το σύστημα είναι αλγεβρική, τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια αλγεβρική εξίσωση της μορφής: f(x, y) = ή μια αλγεβρική σχέση, που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης, της μορφής: y = g(x) Αν τα μεγέθη που εξετάζουμε είναι συναρτήσεις του χρόνου (x = x(), y = y()) και στη μαθηματική σχέση που χαρακτηρίζει το σύστημα εμφανίζονται οι μεταβολές των μεγεθών αυτών (δηλαδή οι παράγωγοί τους ως προς το χρόνο), τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια διαφορική εξίσωση. x() g Διαφορική εξίσωση y() Το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής: f(x(), x (), x (),, x (m) (), y(), y (), y (),,y (n) ()) = Για παράδειγμα, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αντίστασης R, με τάση εισόδου v() και ένταση ρεύματος i(), έχει μαθηματικό μοντέλο: και ένα σώμα μάζας Μ που δέχεται μια εξωτερική δύναμη f() και κινείται με επιτάχυνση γ(), έχει μαθηματικό μοντέλο: 2

3 Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό όταν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή: εάν η είσοδος x 1 () προκαλεί έξοδο y 1 () και η είσοδος x 2 () προκαλεί έξοδο y 2 (), τότε η είσοδος c 1 x 1 () + c 2 x 2 () θα προκαλεί έξοδο c 1 y 1 () + c 2 y 2 () για όλες τις εισόδους x 1, x 2 και όλους τους συντελεστές c 1, c 2. Ένα γραμμικό σύστημα έχει ως μαθηματικό μοντέλο μια γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής: Τάξη της διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ο βαθμός n της μεγαλύτερης παραγώγου της εξόδου y() του συστήματος που περιέχεται στην εξίσωση. Στα φυσικά συστήματα είναι συνήθως n m. Η διαφορική εξίσωση αποτελεί μια μαθηματική παράσταση της εξωτερικής συμπεριφοράς του συστήματος, δηλαδή της σχέσης εισόδου εξόδου του συστήματος και ονομάζεται σχέση μεταφοράς του συστήματος. Οι συντελεστές a, a 1,, a n χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά του ίδιου του συστήματος και ονομάζονται συντελεστές του συστήματος. Οι συντελεστές b, b 1,, b m χαρακτηρίζουν την επίδραση της εισόδου στο σύστημα και ονομάζονται συντελεστές εισόδου. Τα σταθερά γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα χρονικά αμετάβλητα συστήματα, έχουν μαθηματικό μοντέλο γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές a, a 1,, a n, b, b 1,, b m (ανεξάρτητους του χρόνου). Για παράδειγμα, το μαθηματικό μοντέλο ενός αεροπλάνου κατά την πτήση του σε σταθερό ύψος και με χαμηλές ταχύτητες είναι μια διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές: Τα μεταβλητά γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα συστήματα που μεταβάλλονται χρονικά, έχουν μαθηματικό μοντέλο γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές a (), a 1 (),, a n (), b (), b 1 (),, b m () (δηλαδή τα a i (), b j () είναι συναρτήσεις του χρόνου). Για παράδειγμα, οι συντελεστές συστήματος a i του αεροπλάνου μεταβάλλονται ανάλογα με το ύψος και την ταχύτητα πτήσης, έτσι ώστε το αεροπλάνο να θεωρείται γενικά χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα, με χρονικά μεταβαλλόμενο μαθηματικό μοντέλο: Τα μη γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα συστήματα στα οποία δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, έχουν μαθηματικό μοντέλο μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή 3

4 εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές a i, b j είναι συναρτήσεις των ίδιων των μεγεθών x(), y() ή των παραγώγων τους, για παράδειγμα: Γραμμική προσέγγιση ή γραμμικοποίηση ονομάζεται η διαδικασία προσέγγισης ενός μη γραμμικού συστήματος με ένα γραμμικό σύστημα σε μια ορισμένη περιοχή λειτουργίας του συστήματος. Ένα μη γραμμικό σύστημα μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί γραμμικό μέσα στα όρια μικρών μεταβολών των μεγεθών του, όπως, για παράδειγμα, μια μη γραμμική καμπύλη y = g(x) μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί ευθεία y = ax + b μέσα στα μικρά όρια μεταβολών Δx και Δy. y y=ax+b y=g(x) y Δy Δx x x 2. Μαθηματικό υπόβαθρο 2.1 Βασικά σήματα Τα βασικά σήματα (συναρτήσεις) που έχουν ευρεία εφαρμογή στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου είναι τα παρακάτω: i. Μοναδιαία βηματική συνάρτηση u() 1 ή, στη γενικότερη μορφή της, u(-t) u() =, για < u() = 1, για > u() = απροσδιόριστη για = 1 T u(-t) =, για <T u(-t) = 1, για >T u(-t) = απροσδιόριστη για =T Για παράδειγμα, με τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση μπορούμε να περιγράψουμε τη λειτουργία του διακόπτη σε ένα κύκλωμα (ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή =T): v() DC i() =T + v R () - v R () =, για <T v R () = v(), για >T v R () = απροσδιόριστη για =T Επομένως, v R () = v()u(-t) 4

5 ii. Μοναδιαία συνάρτηση πύλης g π () 1 T 1 T 2 g π () = 1, για ϵ(τ 1, Τ 2 ) g π () = 1, για ɇ(τ 1, Τ 2 ) g π () = απροσδιόριστη για = Τ 1 και = Τ 2 Η μοναδιαία συνάρτηση πύλης μπορεί να εκφραστεί ως η διαφορά δύο μοναδιαίων βηματικών συναρτήσεων, g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ), με T 1 < T 2 : u(-t 1 ) 1 u(-t 2 ) 1 T 1 g π () 1 T 2 T 1 T 2 Όταν <T 1 (άρα και <T 2 ), τότε u(- T 1 ) =, u(- T 2 ) =, και g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ) = 1 = 1. Όταν T 1 < < T 2, τότε u(- T 1 ) = 1, u(- T 2 ) =, και g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ) = 1 = 1. Όταν >T 2 (άρα και >T 1 ), τότε u(- T 1 ) = 1, u(- T 2 ) = 1, και g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ) = 1 1 =. Για παράδειγμα, η μοναδιαία συνάρτηση πύλης χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να απομονώσουμε και στη συνέχεια να μελετήσουμε ένα μόνο τμήμα μιας συνάρτησης: Έστω η συνάρτηση f() και y() το τμήμα της για ϵ(τ 1, Τ 2 ). Τότε η συνάρτηση y() = f() g π () θα είναι y() = για <T 1 και >T 2, αφού στα διαστήματα αυτά η συνάρτηση g π () =, και θα είναι y() = f() στο διάστημα T 1 < < T 2 όπου η συνάρτηση g π () = 1. iii. Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση ή συνάρτηση δέλτα ή συνάρτηση Dirac Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() είναι ένα σήμα μοναδιαίου εμβαδού, η οποία μηδενίζεται οπουδήποτε αλλού εκτός από την αρχή των αξόνων: δ() 1 δ() =, για για = 5

6 Για καλύτερη κατανόηση, προσεγγίζουμε τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση με έναν παλμό e(), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. e() 1/a a e() =, για < e() = 1/a, για <<a e() =, για >a Το ολοκλήρωμα της e() ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου(1/a)a. H μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() είναι το όριο της e() όταν η βάση του παραλληλογράμμου a μηδενίζεται, ενώ ταυτόχρονα το ύψος του 1/a απειρίζεται: Στη γενικότερη μορφή της, η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() ορίζεται ως εξής: δ(-t) 1 δ(-τ) =, για Τ T για =Τ Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() είναι η παράγωγος της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης u(): και επομένως, Τέλος, μια αξιοσημείωτη ιδιότητα της κρουστικής συνάρτησης είναι η ακόλουθη: Το εμβαδόν (δηλαδή το ολοκλήρωμα) του γινομένου μιας συνάρτησης x() με τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση, x()δ(), ισούται με x(), για κάθε συνάρτηση x() που είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων: iv. Συνάρτηση αναρρίχησης r() 45 o r() =, για u() =, για > ή, στη γενικότερη μορφή της, 6

7 r(-t) T 45 o r(-t) =, για T r(-t) =, για > T Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(-τ) είναι η παράγωγος της συνάρτησης αναρρίχησης r(-τ): και επομένως: v. Εκθετική συνάρτηση f()=ae a a> A a= a< vi. Ημιτονοειδής συνάρτηση f()=aημ(ω+θ) A Aημθ ω/2π Παρατήρηση: Όλες οι συναρτήσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω μπορούν να παραχθούν από την εκθετική συνάρτηση. Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός δύο εκθετικών συναρτήσεων: Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση για Τ= είναι η εκθετική συνάρτηση για Α=1 και a=. Οι συναρτήσεις δ() και r() παράγονται από την u(), η οποία όπως είπαμε παράγεται από την εκθετική συνάρτηση. 7

8 2.2 Μετασχηματισμός Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρύτατα κατά τη μελέτη και σχεδίαση των συστημάτων αυτόματου ελέγχου και ιδιαίτερα στη μελέτη γραμμικών (μη χρονικά μεταβαλλόμενων) συστημάτων, τα οποία και θα μελετηθούν στη συνέχεια. Ένα από τα σημαντικά πλεονεκτήματα του μετασχηματισμού Laplace είναι η χρήση του στη λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές, αφού την ανάγει σε μία αλγεβρική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί ευκολότερα. Κλασσικό παράδειγμα αποτελεί η εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος εισόδου-εξόδου, το οποίο αρχικά περιγράφεται από μια n-τάξεως διαφορική εξίσωση, ενώ με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace μετατρέπεται σε ένα πηλίκο αθροισμάτων παραγόντων στο πεδίο των συχνοτήτων. Διαφορική εξίσωση L Αλγεβρική εξίσωση Απευθείας επίλυση διαφορικής εξίσωσης με κλασσικές μεθόδους Επίλυση αλγεβρικής εξίσωσης Λύση διαφορικής εξίσωσης L -1 Λύση αλγεβρικής εξίσωσης Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός με πυρήνα k(s,) = e -s, και διάστημα ολοκλήρωσης (a,b) = (, ): όπου L το σύμβολο του μετασχηματισμού Laplace, και s = σ + jω είναι η μιγαδική μεταβλητή (j 2 = -1), και F(s) η συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας Βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace i. Γραμμικότητα: ii. Μετασχηματισμός παραγώγου συνάρτησης: όπου f() = f(=) iii. Αλλαγή κλίμακας χρόνου: iv. Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου: 8

9 v. Πολλαπλασιασμός συνάρτησης επί n : vi. Διαίρεση συνάρτησης διά n : vii. Περιοδικές συναρτήσεις: Δηλαδή f i () είναι η f() στην πρώτη περίοδο. viii. Μετασχηματισμός ολοκλήρωσης συνάρτησης: Μετασχηματισμός Laplace βασικών συναρτήσεων i. Συνάρτηση μοναδιαίας βαθμίδας: ii. Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση (Dirac): iii. Συνάρτηση αναρρίχησης: iv. Εκθετική συνάρτηση: 9

10 Επίσης, για έχουμε Ακόμα ισχύει: L[e a f ()] = F(s + a), με L[ f ()] = F(s) v. Ημιτονική συνάρτηση: vi. Συνημιτονική συνάρτηση: Θεωρήματα Μετασχηματισμού Laplace i. Θεώρημα αρχικής τιμής: ii. Θεώρημα τελικής τιμής: Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι επίσης ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που ορίζεται ως εξής: όπου L -1 συμβολίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και c είναι μία μιγαδική σταθερά. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος είναι αρκετά δύσκολος και γι αυτό συνηθίζεται η χρήση πινάκων, οι οποίοι δίνουν τις χρονικές συναρτήσεις βασικών μιγαδικών συναρτήσεων. 1

11 Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f() F(s) δ() 1 u() 1 / s 1 / s 2 n n! / s n+1 e -α, α> 1 / (s + α) e -α, α> 1 / (s + α) 2 ημω ω / (s 2 + ω 2 ) συνω s / (s 2 + ω 2 ) (/2ω)sinω s/( s 2 + ω 2 ) 2 e -α ημω, α> ω / [(s + α) 2 + ω 2 ] e -α συνω, α> (s + α) / [(s + α) 2 + ω 2 ] Στην περίπτωση που για κάποια συνάρτηση ο μετασχηματισμός δεν είναι διαθέσιμος σε πίνακες, επιδιώκεται να εκφραστεί η μιγαδική συνάρτηση F(s) ως άθροισμα κλασματικών συναρτήσεων των οποίων οι παρονομαστές να είναι βασικές μιγαδικές συναρτήσεις οι οποίες υπάρχουν σε πίνακες. Έστω λοιπόν η μιγαδική συνάρτηση: Οι ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή είναι και ρίζες της συνάρτησης F(s), ενώ οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή ονομάζονται πόλοι της F(s). Έστω λ 1,..., λ n οι ρίζες του πολυωνύμου A(s), δηλαδή οι πόλοι της F(s). Τότε η συνάρτηση F(s) μπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισμα απλών κλασμάτων (ανάπτυξη σε απλά κλάσματα): Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης, θα έχουμε: οπότε το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό των συντελεστών c 1, c 2,, c n, αφού: Ανάλογα με τη μορφή των πόλων της F(s), διακρίνουμε τρεις διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού των συντελεστών c i : 11

12 i. Διακεκριμένες πραγματικές ρίζες: Αλγεβρική μέθοδος Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης για την F(s) με τον παρανομαστή του πρώτου κλάσματος: Μετά την εκτέλεση των πράξεων, το πολυώνυμο που θα προκύψει στο δεύτερο μέλος θα είναι n-βαθμού και θα πρέπει να είναι κατά ταυτότητα ίσο με το πολυώνυμο B(s). Έτσι προκύπτουν και οι ζητούμενοι συντελεστές c 1, c 2,, c n. Μέθοδος των ορίων κ.ο.κ. ii. Πραγματικές ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας: Έστω, για παράδειγμα, ότι ο παρανομαστής της συνάρτησης F(s) έχει βαθμό πολλαπλότητας τρία: Τότε ισχύει: Οι υπόλοιποι συντελεστές υπολογίζονται με τη μέθοδο των ορίων της προηγούμενης περίπτωσης. iii. Μιγαδικές ρίζες: Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται σύμφωνα με κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους (συνήθως τη μέθοδος των ορίων) ο συντελεστής που είναι αριθμητής στη μία από τις μιγαδικές ρίζες. Άρα ο συντελεστής που είναι αριθμητής στον όρο που έχει παρονομαστή τη συζυγή ρίζα της προηγούμενης, θα είναι συζυγής του πρώτου συντελεστή. 12

13 3. Ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις Η περιγραφή συστημάτων με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις είναι η παλιότερη μέθοδος. Είναι μια περιγραφή στο πεδίο του χρόνου και έχει εφαρμογή σε πολλές κατηγορίες συστημάτων, όπως για παράδειγμα τα γραμμικά, τη μη γραμμικά, τα χρονικά μεταβαλλόμενα, με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες κλπ. Η περιγραφή αυτή αποτελείται από το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων περιοριστικών εξισώσεων ενός συστήματος, καθώς και των απαραίτητων αρχικών συνθηκών για τον προσδιορισμό μιας ειδικής λύσης των εξισώσεων. Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου περιγραφής συστημάτων με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις είναι τα γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα (σταθερά) ηλεκτρικά κυκλώματα. Στην περίπτωση αυτή, τα φυσικά μεγέθη τάση v() και ρεύμα i() ενός στοιχείου σχετίζονται με ένα γραμμικό τελεστή T (αντίσταση R, επαγωγή L ή χωρητικότητα C). Έτσι έχουμε τις σχέσεις: Η συμπεριφορά των v() και i() των στοιχείων περιορίζεται από τους νόμους τάσεων και ρευμάτων του Kirchoff. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του σχήματος. v() DC = i() + vc () - Από τον νόμο τάσεων του Kirchoff προκύπτει ότι το κύκλωμα περιγράφεται από την ολοκληρωδιαφορική εξίσωση: i L () L R C και οι αρχικές συνθήκες τη στιγμή = που κλείνει ο διακόπτης Δ είναι i L () = I και v C () = V. Η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση και οι αρχικές συνθήκες συνθέτουν μια περιγραφή του κυκλώματος. Αντίστοιχα, στα γραμμικά μηχανικά συστήματα τα φυσικά μεγέθη ενός στοιχείου είναι η δύναμη f() και η ταχύτητα v(), που σχετίζονται με ένα γραμμικό τελεστή T (μάζα m, αντίσταση B και σταθερά ελατηρίου K) και προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: 13

14 Ο περιοριστικός νόμος στην περίπτωση αυτή είναι ο νόμος D Alember, σύμφωνα με τον οποίο το αλγεβρικό άθροισμα των δυνάμεων που επενεργούν πάνω σε μια σημειακή μάζα είναι ίσο με το μηδέν. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το μηχανικό σύστημα του σχήματος, όπου m η μάζα, y η μετατόπιση (απόσταση), Κ η σταθερά του ελατηρίου και B ο συντελεστής τριβής. K B f() y() Σύμφωνα με τον νόμο του D Alember προκύπτει η διαφορική εξίσωση του συστήματος: με αρχικές συνθήκες: 14

15 4. Συνάρτηση Μεταφοράς σταθερού γραμμικού συστήματος Ως συνάρτηση μεταφοράς G(s) ενός σταθερού (χρονικά αμετάβλητου) γραμμικού συστήματος ορίζεται ο λόγος (το πηλίκο) του μετασχηματισμού Laplace του σήματος (της μεταβλητής) εξόδου Y(s) προς το μετασχηματισμό Laplace του σήματος (της μεταβλητής) εισόδου X(s), θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες: Η συνάρτηση μεταφοράς ορίζεται μόνο στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί από τη διαφορική εξίσωση που το περιγράφει, λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace και παραλείποντας όλους τους όρους που αφορούν στις αρχικές συνθήκες. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης, δηλαδή της απόκρισης του συστήματος όταν η είσοδός του είναι η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(), αφού στην περίπτωση αυτή X(s) = L[δ()] = 1. Ο παρανομαστής της συνάρτησης μεταφοράς είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, ενώ το πολυώνυμο του αριθμητή είναι το πολυώνυμο εισόδου. Οι ρίζες του παρονομαστή είναι οι πόλοι του συστήματος και η φυσική τους σημασία είναι ότι εκφράζουν τις συχνότητες συντονισμού. Αν δηλαδή το σήμα εισόδου περιέχει συχνότητες ίδιες με τους πόλους, τότε η έξοδος του συστήματος απειρίζεται με την πάροδο του χρόνου. Οι ρίζες του αριθμητή είναι τα μηδενικά του συστήματος και η φυσική τους σημασία είναι ότι περιγράφουν τις νεκρές ή αποκόπτουσες συχνότητες. Αν δηλαδή το σήμα εισόδου περιέχει συχνότητες ίδιες με τα μηδενικά, τότε οι συχνότητες αυτές αποκόπτονται και δεν υπάρχουν στο σήμα εξόδου. Για τον προσδιορισμό της χρονικής απόκρισης ενός συστήματος αρκεί να πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξόδου του, που είναι το γινόμενο της συνάρτησης μεταφοράς με το μετασχηματισμό Laplace της εισόδου του συστήματος. Απολαβή συνεχούς ενός συστήματος είναι η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς για s= και η φυσική σημασία της είναι ότι για σύστημα του οποίου δεν απειρίζεται η μόνιμη τιμή της απόκρισης σε μοναδιαία βηματική συνάρτηση (απόκριση βαθμίδας) εκφράζεται από την απολαβή συνεχούς. Αρμονική απόκριση ενός συστήματος είναι η μόνιμη τιμή της απόκρισης αυτού σε μια ημιτονοειδή είσοδο. Χαρακτηριστικές παράμετροι της αρμονικής απόκρισης σε ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας ω είναι το μέτρο και η φάση του συστήματος στην εν λόγω συχνότητα, με την προϋπόθεση ότι η έξοδος δεν απειρίζεται. 15

16 Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι η έννοια της συνάρτησης μεταφοράς περιορίζεται μόνο στη μελέτη των σταθερών γραμμικών δυναμικών συστημάτων που περιγράφονται με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και ισχύουν τα παρακάτω: Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που σχετίζεται άμεσα με τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος και δίνει πλήρη περιγραφή των δυναμικών χαρακτηριστικών του. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι στην ουσία ιδιότητα του συστήματος και είναι ανεξάρτητη από το μέτρο και τη φάση της εισόδου που εφαρμόζεται στο σύστημα. Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζει τη σχέση εισόδου εξόδου του συστήματος, περιγράφει την εξωτερική συμπεριφορά του και δεν περιέχει καμία πληροφορία για την εσωτερική δομή του συστήματος. Είναι δυνατόν πολλά συστήματα να έχουν την ίδια συνάρτηση μεταφοράς, που σημαίνει ότι έχουν την ίδια συμπεριφορά για είσοδο ίδιας μορφής, αλλά προφανώς δεν είναι ίδια συστήματα. Τέτοια συστήματα ονομάζονται ανάλογα συστήματα. Αν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι γνωστή, η απόκριση του συστήματος μπορεί να μελετηθεί για διαφορετικές κατηγορίες εισόδων και να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα για τη φύση του συστήματος. Αν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι άγνωστη, μπορούμε να την υπολογίσουμε πειραματικά για δεδομένη συχνότητα εφαρμόζοντας γνωστά σήματα εισόδου και μελετώντας τα αντίστοιχα σήματα εξόδου. Όταν είναι γνωστή η διαφορική εξίσωση ενός συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες, μπορούμε να βρούμε της συνάρτηση μεταφοράς αντικαθιστώντας τον τελεστή παραγώγισης D=d/d με τη μιγαδική συχνότητα s και τις χρονικές συναρτήσεις με τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς Laplace. Παράδειγμα 1: Να προσδιοριστεί η κρουστική απόκριση h() ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: όπου v() η είσοδος του συστήματος και, y () = και y() =. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης και δεδομένου ότι οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές, έχουμε: ή Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: 16

17 Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): Το πολυώνυμο του παρανομαστή έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες και μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της ανάπτυξης σε δύο απλά κλάσματα προκειμένου να προσδιορίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace. Όμως παρατηρούμε ότι που είναι της μορφής με ω = 1 και α = 1. Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace: Παράδειγμα 2: Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: όπου v() και y() η είσοδος και η έξοδος αντίστοιχα του συστήματος. Να προσδιοριστούν: i. Η συνάρτηση μεταφοράς και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος. ii. Η κρουστική απόκριση του συστήματος. iii. Η βηματική απόκριση του συστήματος με αρχικές συνθήκες y () = 1 και y() =. i. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ή 17

18 Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ii. Επιλύοντας το τριώνυμο, προκύπτουν οι πόλοι του συστήματος: Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε: Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα ακόλουθα: Επομένως: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: 18

19 iii. Η διαφορική εξίσωση του συστήματος για βηματική είσοδο είναι η εξής: και οι αρχικές συνθήκες που δίνονται είναι: Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace θα έχουμε: και αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές: ή Άρα η Y(s) θα είναι: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα θα έχουμε: όπου: Επομένως: και εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, η βηματική απόκριση είναι: 19

20 Πηγές: Για τη σύνθεση αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήθηκε υλικό από την παρακάτω βιβλιογραφία: Θεωρία και Προβλήματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Αναλογικών και Ψηφιακών Συστημάτων, Joshef J. Disefano III, Allen R. Subberud, Ivan J. Williams Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου - Θεωρία και προβλήματα, Πακτίτης Σπύρος Α. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τρ. Ποιμενίδης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Δ. Καλλιγερόπουλος Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Π. Ν. Παρασκευόπουλος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Θεωρία, Κ. Λουκάς Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Richard C. Dorf, Rober H. Bishop Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου - Θεωρία και Εφαρμογές με το MATLAB, Ogaa K. 2

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια συστημάτων

Ευστάθεια συστημάτων 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια συστημάτων Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό να έχουμε ευσταθή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Μετασχηματισμός Ζ (Ζ Transform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 5: Θεωρήματα κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις. Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ θεωρία και ασκήσεις Σπύρος Νικολαΐδης Αναπληρωτής Καθηγητής Τομέας Ηλεκτρονικής & ΗΥ Τμήμα Φυσικής ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αποτελείται από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικς περιόδου χειμερινού εξαμνου 201314 (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (2,0 μονάδες) Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του για τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σχματος. Είσοδος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 2015 Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιανουαρίου Φεβρουαρίου 20 ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες). Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστήματος που περιγράφεται από το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα. (2,0

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 3: Ολοκληρωτικός Λογισμός Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο.

(είσοδος) (έξοδος) καθώς το τείνει στο. Υπενθυμίζουμε ότι αν ένα σύστημα είναι ευσταθές, τότε η απόκριση είναι άθροισμα μίας μεταβατικής και μίας μόνιμης. Δηλαδή, αν το σύστημα είναι ευσταθές όπου και Είθισται, σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Συναρτήσεις Μεταφοράς, Δομικά Διαγράμματα, Διαγράμματα Ροής Σημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού

Γραμμική Διαφορική Εξίσωση 2 ου βαθμού //04 Γραμμική Διαφορική Εξίσωση ου βαθμού, με τη βοήθεια του αορίστου ολοκληρώματος, της χρήσιμης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού af ( ) f ( ) cf ( ) g( ), ac,, σταθεροί πραγματικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

περιεχομενα Πρόλογος vii

περιεχομενα Πρόλογος vii Πρόλογος vii περιεχομενα ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: Κυκλώματα Συνεχούς Ρεύματος... 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 3 1.1 Εισαγωγή...4 1.2 Συστήματα και Μονάδες...5 1.3 Φορτίο και Ρεύμα...6 1.4 Δυναμικό...9 1.5 Ισχύς

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 16: Απόκριση συχνότητας Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8: Βηματική απόκριση κυκλωμάτων RL και RC Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC

1. Μεταβατικά φαινόμενα Κύκλωμα RC . Μεταβατικά φαινόμενα.. Κύκλωμα RC Το κύκλωμα του Σχήματος είναι το απλούστερο κύκλωμα Α τάξης και αποτελείται από μια πηγή συνεχούς τάσης, που είναι η διέγερσή του, εν σειρά με μια αντίσταση και έναν

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 11: Η ημιτονοειδής διέγερση Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης

Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Τυπική µορφή συστήµατος 2 ας τάξης Έστω το γενικό σύστηµα 2 ας τάξεως µε σταθερό αριθµητή (1) Είθισται αυτό να γράφεται σε συγκεκριµένη µορφή, την εξής: θέτουµε ±, επιλέγοντας το πρόσηµο ούτως ώστε το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1.5 1 Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff 11 1.5 2 Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff 12 1.5 3 Το θεώρημα του Tellegen 13

1.5 1 Ο νόμος των ρευμάτων του Kirchhoff 11 1.5 2 Ο νόμος των τάσεων του Kirchhoff 12 1.5 3 Το θεώρημα του Tellegen 13 Μέρος Α 1. Εισαγωγικές Έννοιες 3 1.1 Το αντικείμενο της θεωρίας των ηλεκτρικών κυκλωμάτων 4 1.2 Φυσικά και μαθηματικά μοντέλα 5 1.3 Συγκεντρωμένα και κατανεμημένα κυκλώματα 6 1.4 Ορισμοί Φορές αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα