Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον"

Δημήτριος Θεοδοσίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

2 Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Έκτη Σειρά Διαφανειών 1 Πεπερασμένες Διαφορές Προς τα εμπρός Διαφορές Προς τα πίσω Διαφορές Κεντρικές Διαφορές 2 Ιδιότητες των Διαφορών 3 Σφάλμα στις Διαφορές Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

3 Πεπερασμένες Διαφορές Ορισμός Έστω τα σημεία (x i, f(x i )) με i = 0, 1,..., n. Διαφορές πρώτης τάξης είναι οι διάφορες των τιμών της συνάρτησης. Διαφορές δεύτερης τάξης είναι οι διάφορες των τιμών των διαφορών της πρώτης τάξης. Γενικά, Διαφορές n τάξης είναι οι διαφορές των τιμών των διαφορών n 1 τάξης. Οι πεπερασμένες διαφορές διακρίνονται σε τρεις κατηγορίες: Προς τα εμπρός Διαφορές Προς τα πίσω Διαφορές Κεντρικές Διαφορές Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

4 Πεπερασμένες Διαφορές Οι πεπερασμένες διαφορές διακρίνονται μπορούν να παρασταθούν εύκολα σε ένα πίνακα διαφορών. Η μέγιστη τάξη των διαφορών εξαρτάται από το πλήθος των σημείων. Δηλαδή, για n + 1 σημεία θα υπολογίσουμε διαφορές έως n τάξης. Εφαρμογή σε παρεμβολή, διαφορικές εξισώσεις, εξισώσεις διαφορών κ.α.. Εναλλαγή από τα διακριτά σε συνεχή συστήματα και το αντίστροφο. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

5 Προς τα εμπρός Διαφορές Έστω τα σημεία (x i, f i ) με i = 0, 1, 2,... n. Η προς τα εμπρός διαφορά της n θέσης ορίζεται ως η διαφορά της n θέσης από την n + 1 θέση και συμβολίζεται με. Επομένως, έχουμε f n = f n+1 f n 2 f n = f n+1 f n. k f n = k 1 f n+1 k 1 f n Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

6 Προς τα εμπρός Διαφορές Μπορούμε να εκφράσουμε τις προς τα εμπρός διαφορές με τις τιμές της συνάρτησης, δηλαδή, 2 f n = f n+1 f n = f n+2 f n+1 (f n+1 f n ) 2 f n = f n+2 2f n+1 + f n και 3 f n = 2 f n+1 2 f n = f n+2 f n+1 ( f n+1 f n ) 3 f n = f n+3 f n+2 (f n+2 f n+1 ) ( f n+2 f n+1 (f n+1 f n ) ) 3 f n = f n+3 3f n+2 + 3f n+1 f n Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

7 Προς τα εμπρός Διαφορές ή ισοδύναμα δημιουργούμε πίνακα τιμών των διαφορών x i f i 1 ης τάξης 2 ης τάξης 3 ης τάξης 4 ης τάξης x k 2 f k 2 f k 2 x k 1 f k 1 2 f k 2 f k 1 3 f k 2 x k f k 2 f k 1 4 f k 2 f k 3 f k 1 x k+1 f k+1 2 f k f k+1 x k+2 f k+2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

8 Προς τα πίσω Διαφορές Έστω τα σημεία (x i, f i ) με i = 0, 1, 2,... n. Η προς τα πίσω διαφορά της n θέσης ορίζεται ως η διαφορά της n 1 θέσης από την n θέση και συμβολίζεται με. Επομένως, έχουμε f n = f n f n 1 2 f n = f n f n 1. k f n = k 1 f n k 1 f n 1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

9 Προς τα πίσω Διαφορές Μπορούμε να εκφράσουμε τις προς τα πίσω διαφορές με τις τιμές της συνάρτησης, δηλαδή, 2 f n = f n f n 1 = f n f n 1 (f n 1 f n 2 ) 2 f n = f n 2f n 1 + f n 2 και 3 f n = 2 f n 2 f n 1 = f n f n 1 ( f n 1 f n 2 ) 3 f n = f n f n 1 (f n 1 f n 2 ) ( f n 1 f n 2 (f n 2 f n 3 ) ) 3 f n = f n 3f n 1 + 3f n 2 f n 3 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

10 Προς τα πίσω Διαφορές ή ισοδύναμα δημιουργούμε πίνακα τιμών των διαφορών x i f i 1 ης τάξης 2 ης τάξης 3 ης τάξης 4 ης τάξης x k 2 f k 2 f k 1 x k 1 f k 1 2 f k f k 3 f k+1 x k f k 2 f k+1 4 f k+2 f k+1 3 f k+2 x k+1 f k+1 2 f k+2 f k+2 x k+2 f k+2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

11 Κεντρικές Διαφορές Έστω τα σημεία (x i, f i ) με i = 0, 1, 2,... n. Οι κεντρικές διαφορές ορίζονται ως εξής: για τις κεντρικές διαφορές περιττής τάξης, ως η διαφορά της n θέσης από την n + 1 θέση και συμβολίζεται με δ στη θέση n ενώ, για τις κεντρικές διαφορές άρτιας τάξης, ως η διαφορά της n 1 2 θέσης από την n θέση και συμβολίζεται με δ στη θέση n Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

12 Κεντρικές Διαφορές Επομένως, έχουμε δf n+ 1 2 = f n+1 f n δ 2 f n = δf n δf n 1 2 δ 2k+1 f n+ 1 2 = δ 2k f n+1 δ 2k f n δ 2k+2 f n = δ 2k+1 f n+ 1 2 δ 2k+1 f n 1 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

13 Κεντρικές Διαφορές ή ισοδύναμα δημιουργούμε πίνακα τιμών των διαφορών x i f i 1 ης τάξης 2 ης τάξης 3 ης τάξης 4 ης τάξης x k 2 f k 2 δf k 3 2 x k 1 f k 1 δ 2 f k 1 δf k 1 δ 3 f 2 k 1 2 x k f k δ 2 f k δ 4 f k δf k+ 1 2 x k+1 f k+1 δ 2 f k+1 x k+2 f k+2 δf k+ 3 2 δ 3 f k+ 1 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

14 Διαφορές - Παράδειγμα Έστω τα σημεία A(1, 2), B(2, 3), Γ (3, 6) και (4, 17). Να υπολογιστούν οι προς τα εμπρός διαφορές, οι προς τα πίσω διαφορές και οι κεντρικές διαφορές των σημείων. Ο πίνακας τιμών των παραπάνω σημείων είναι i x y Έχουμε 4 σημεία αρά θα υπολογίσουμε διαφορές μέχρι τρίτης τάξης. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

15 Ιδιότητες των Διαφορών - Παράδειγμα Οι προς τα εμπρός διαφορές θα είναι x i f i f 0 = f 0 = 2 f 1 = 3 3 f 0 = f 1 = 8 f 2 = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

16 Ιδιότητες των Διαφορών - Παράδειγμα Οι προς τα πίσω διαφορές θα είναι x i f i f 1 = f 2 = 2 f 2 = 3 3 f 3 = f 3 = 8 f 3 = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

17 Ιδιότητες των Διαφορών - Παράδειγμα Οι κεντρικές διαφορές θα είναι x i f i δ δ 2 δ δf 1 = δ 2 f 1 = 2 δf 3 = 3 δ 3 f 3 = δ 2 f 2 = 8 δf 5 = Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

18 Σχέσεις μεταξύ των Διαφορών Ορισμός (Σχέσεις μεταξύ των Διαφορών) Η σχέση που συνδέει τα 3 είδη των διαφορών k τάξης είναι: k f n = k f n+k = δ k f n+ k 2 Ορισμός (Τύπος Υπολογισμού Διαφορών) k f n = k ( ) k ( 1) j f k+i j, k = 1, 2,... j j=0 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

19 Ιδιότητες των Διαφορών Theorem Έστω ότι τα σημεία x i με i = 0, 1, 2,..., n είναι ισαπέχοντα με βήμα h, δηλαδή, x i+1 x i = h i = 0, 1, 2,..., n 1 Για τις διαφορές n τάξης ενός πολυωνύμου βαθμού n ισχύει: οι οποίες είναι σταθερές. n P(x) = p n n! h n Theorem Οι διαφορές (n + 1) και ανώτερης τάξης ενός πολυωνύμου βαθμού n είναι ίσες με μηδέν. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

20 Ιδιότητες των Διαφορών - Παράδειγμα Να κατασκευαστεί ο πίνακας διαφορών για το πολυώνυμο x 3 2x + 2 όταν δίνονται οι τιμές του για x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ο πίνακας τιμών των παραπάνω σημείων είναι x y Έχουμε 6 σημεία αρά θα υπολογίσουμε διαφορές μέχρι πέμπτης τάξης. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

21 Ιδιότητες των Διαφορών - Παράδειγμα x i f i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

22 Ιδιότητες των Διαφορών - Παράδειγμα Από τον τύπο έχουμε n P(x) = p n n! h n p n = n P(x) n! h n = 6 3! 1 3 = 1 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

23 Μετάδοση Σφάλματος Μετάδοση σφάλματός στις προς τα εμπρός διαφορές Έστω ε ένα μεμονωμένο σφάλμα σε κάποια τιμή της f. x i f i 1 ης τάξης 2 ης τάξης 3 ης τάξης 4 ης τάξης x k 2 f k 2 2 f k 3 4 f k 4 + ε f k 2 3 f k 3 + ε x k 1 f k 1 2 f k 2 + ε 4 f k 3 4ε f k 1 + ε 3 f k 2 3ε x k f k + ε 2 f k 1 2ε 4 f k 2 + 6ε f k ε 3 f k 1 + 3ε x k+1 f k+1 2 f k + ε 4 f k 1 4ε f k+1 3 f k ε x k+2 f k+2 2 f k+1 4 f k + ε Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

24 Μετάδοση Σφάλματος ή πιο συνοπτικά αν X η σωστή τιμή κάθε διαφοράς και ε το μεμονωμένο σφάλμα x i f i 1 ης τάξης 2 ης τάξης 3 ης τάξης 4 ης τάξης x k 2 X X X + ε X X + ε x k 1 X X + ε X 4ε X + ε X 3ε x k X + ε X 2ε X + 6ε X ε X + 3ε x k+1 X X + ε X 4ε X X ε x k+2 X X X + ε Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

25 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 1 Δίνεται ο πίνακας τιμών της f(x) x f(x) Να υπολογιστεί το μεμονωμένο σφάλμα ε το οποίο υπάρχει στην τιμή f(1) εάν γνωρίζουμε ότι η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού. Εφόσον η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, οι διαφορές δεύτερης τάξης θα είναι ίσες μεταξύ τους και οι διαφορές τρίτης τάξης και μεγαλύτερες θα μηδενικές. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

26 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 1 Υπολογίζουμε τις προς τα εμπρός διαφορές και την μετάδοση του σφάλματος (κόκκινο) x i f i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

27 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 1 Γνωρίζουμε ότι σε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού 2 f i = c επομένως, από την διαφορά 2 f 2 = 2 που δεν έχει σφάλμα έχουμε c = 2. Ενώ, για τις άλλες διαφορές έχουμε 2 f 1 = c + ε 4 = 2 + ε ε = 2 και 2 f 0 = c 2ε 2 = 2 2ε ε = 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

28 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 1 Επίσης, γνωρίζουμε ότι σε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού 3 f i = 0 επομένως, για τις άλλες διαφορές έχουμε 3 f 0 = 0 + 3ε 6 = 0 + 3ε ε = 2 και 3 f 1 = 0 ε 2 = 0 ε ε = 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

29 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 2 Δίνεται ο πίνακας τιμών της f(x) x f(x) Να υπολογιστεί το μεμονωμένο σφάλμα ε, εάν γνωρίζουμε ότι η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού. Εφόσον η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, οι διαφορές δεύτερης τάξης θα είναι ίσες μεταξύ τους και οι διαφορές τρίτης τάξης και μεγαλύτερες θα μηδενικές. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

30 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 2 Υπολογίζουμε τις προς τα εμπρός διαφορές x i f i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

31 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 2 Γνωρίζουμε ότι σε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού 3 f i = 0 επομένως, για τις άλλες διαφορές έχουμε 3 f 2 = 0 ε 4 = 0 ε ε = 4 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

32 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 3 Δίνεται ο πίνακας τιμών της f(x) x f(x) Να υπολογιστούν τα σφάλματα ε 1 και ε 2, τα οποία υπάρχουν στις τιμές f(0) και f(1) αντίστοιχα, εάν γνωρίζουμε ότι η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού. Εφόσον η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, οι διαφορές δεύτερης τάξης θα είναι ίσες μεταξύ τους και οι διαφορές τρίτης τάξης και μεγαλύτερες θα μηδενικές. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

33 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 3 Υπολογίζουμε τις προς τα εμπρός διαφορές x i f i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

34 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 3 Γνωρίζουμε ότι σε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού 2 f i = c επομένως, άρα, και 3 f 4 = 2 c = 2 3 f 0 = c + ε 1 1 = 2 + ε 1 ε 1 = 1 3 f 3 = c + ε 2 5 = 2 + ε 2 ε 2 = 3 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

35 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 4 Δίνεται ο πίνακας τιμών της f(x) x f(x) Να υπολογιστούν τα σφάλματα ε 1 και ε 2, τα οποία υπάρχουν στις τιμές f(0) και f(2) αντίστοιχα, εάν γνωρίζουμε ότι η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού. Εφόσον η f(x) είναι ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, οι διαφορές δεύτερης τάξης θα είναι ίσες μεταξύ τους και οι διαφορές τρίτης τάξης και μεγαλύτερες θα μηδενικές. Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

36 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 4 Υπολογίζουμε τις προς τα εμπρός διαφορές x i f i Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

37 Μετάδοση Σφάλματος - Παράδειγμα 4 Γνωρίζουμε ότι σε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού επομένως, 3 f i = 0 3 f 0 = 0 + 3ε 1 + ε 2 1 = 3ε 1 + ε 2 και 3 f 1 = 0 ε 1 3ε 2 5 = ε 1 3ε 2 από τα οποία θα έχουμε ε 1 = 1 και ε 2 = 2 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος / 37

Σχετικά έγγραφα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8)

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 8) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 8) Δεκέμβριος 2017 1