Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,"

Transcript

1 Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55

2 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται οι τιµές µιας συνάρτησης f(x) στα n+1σηµεία, έστω τα x i, i = 0(1)n και Ϲητούµε να κατασκευάσουµε ένα πολυώνυµο p n (x), ϐαθµού το πολύ n, τέτοιο ώστε p n (x i ) = f(x i ) Το p n (x) είναι µονοσήµαντα ορισµένο γιατί αν δύο πολυώνυµα ϐαθµού το πολύ n λαµβάνουν τις ίδιες τιµές για n+1 διαφορετικές τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής τους τότε αυτά ταυτίζονται. Η εύρεση του πολυωνύµου παρεµβολής p n (x) µας επιτρέπει να ϐρίσκουµε προσεγγιστική τιµή της συνάρτησης f(x) στο οποιοδήποτε σηµείο x. Οι απλούστεροι τύποι παρεµβολής είναι εκείνοι στους οποίους τα σηµεία παρεµβολής ισαπέχουν. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 2 / 55

3 Σχήµα 1 y y=f(x) y=p 4 (x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x Σχήµα: Πολυωνυµική Παρεµβολή Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 3 / 55

4 Πεπερασµένες διαφορές Προς τα εµπρός διαφορές Εστω ότι έχουµε ένα πίνακα τιµών (x i, f(x i )) µιας συνάρτησης f(x). Οι πρώτης τάξης προς τα εµπρός διαφορές στο σηµείο x n, ορίζονται από τις σχέσεις f n = f(x n+1 ) f(x n ) = f n+1 f n (1) και γενικά οι προς τα εµπρός διαφορές k τάξης ορίζονται από τις k f n = ( k 1 f n ) = k 1 f n+1 k 1 f n. (2) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 4 / 55

5 Προς τα πίσω διαφορές Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι πρώτης τάξης προς τα πίσω διαφορές ή f n = f(x n ) f(x n 1 ) = f n f n 1 (3) k f n = ( k 1 f n ) = k 1 f n k 1 f n 1. (4) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 5 / 55

6 Κεντρικές διαφορές Τέλος οι πρώτης τάξης κεντρικές διαφορές, στο σηµείο x n+1/2 ορίζονται από τη σχέση δf n+1/2 = f(x n+1 ) f(x n ) = f n+1 f n. (5) Εύκολα τώρα ϐλέπουµε ότι f n = f n+1 = δf n+1/2 (6) και επαγωγικά k f n = k f n+k = δ k f n+k/2. (7) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 6 / 55

7 Κατασκευή των πινάκων διαφορών 1. Πίνακας προς τα εµπρός διαφορών x 0 f 0 f 0 2 f 0 f 1 x 1 f 1 3 f 0 2 f 1 4 f 0 f 2 x 2 f 2 3 f 1 2 f 2 x 3 f 3 f 3 x 4 f 4 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 7 / 55

8 2. Πίνακας προς τα πίσω διαφορών x 4 f 4 f 3 x 3 f 3 2 f 2 f 2 3 f 1 x 2 f 2 2 f 1 4 f 0 f 1 3 f 0 x 1 f 1 2 f 0 f 0 x 0 f 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 8 / 55

9 3. Πίνακας κεντρικών διαφορών x n 2 f n 2 δf n 3/2 x n 1 f n 1 δ 2 f n 1 δf n 1/2 δ 3 f n 1/2 x n f n δ 2 f n δ 4 f n δf n+1/2 x n+1 f n+1 δ 2 f n+1 δ 3 f n+1/2 x n+2 f n+2 δf n+3/2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 9 / 55

10 Παράδειγµα ίνονται οι τιµές της f(x) = x 3 στα σηµεία 1, 2, 3 και 4. Να σχηµατιστεί ο πίνακας των προς τα εµπρός (και προς τα πίσω) διαφορών. i x f(x) f/ f 2 f/ 2 f 3 f/ 3 f Στο σηµείο αυτό ϑα πρέπει να τονιστεί ότι τα σηµεία x i, i = 0(1)n ισαπέχουν µεταξύ τους. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 10 / 55

11 Θεώρηµα Οι πεπερασµένες διαφορές n τάξης ενός πολυωνύµου ϐαθµού n είναι σταθερές. Πόρισµα Οι πεπερασµένες διαφορές n+1 και ανώτερης τάξης ενός πολυωνύµου ϐαθµού n είναι µηδέν. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 11 / 55

12 Τελεστές Τα σύµβολα, και δ καλούνται τελεστές διαφορών. Οι τελεστές αυτοί είναι γραµµικοί γιατί ικανοποιούν τη σχέση T (αf(x)+βg(x)) = αtf(x)+βtg(x) όπου T =, καιδ. Στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιηθεί και άλλος ένας γραµµικός τελεστής, ο οποίος καλείται τελεστής µετατόπισης και ορίζεται από τη σχέση Ef(x) = f(x + h). (8) Είναι δυνατόν να αποδειχτεί ότι µε τους ανωτέρω τελεστές µπορούµε να εκτελέσουµε σχεδόν όλες τις πράξεις της Αλγεβρας (λογισµός τελεστών). Επίσης ο τελεστής µετατόπισης µπορεί να εκφραστεί µε τη µορφή του ή του. Εχουµε f(x) = f(x + h) f(x) = Ef(x) f(x) = (E 1)f(x) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 12 / 55

13 Σχέσεις µεταξύ Τελεστών Είναι = E 1. (9) Επιπλέον, αλλά άρα ή ή f(x + h) = f(x + h) f(x) = (E 1)f(x) f(x + h) = Ef(x) E = E 1 (1 )E = 1 E = (1 ) 1. (10) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 13 / 55

14 Πολυώνυµο παρεµβολής για ισαπέχοντα σηµεία Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα εµπρός διαφορές του Newton Εστω ότι x i = x 0 + ih, i = 0(1)n είναι n+1 γνωστά σηµεία παρεµβολής και f(x) η Ϲητούµενη τιµή της συνάρτησης στο τυχόν σηµείο x, τότε είναι x = x 0 +θh ή θ = (x x 0 )/h (11) τότε f(x) = f(x 0 +θh) = E θ f(x 0 ) = (1+ ) θ f 0 (12) [ ( ) ( ) ] θ θ = f 0 (13) 1 2 ή ( θ f(x) = f ) ( θ f ) 2 f (14) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 14 / 55

15 όπου ή ( θ s ) = θ! θ(θ 1)...(θ s + 1) = s!(θ s)! s! f(x) = p n (x)+ R n+1 (x), (15) όπου p n (x) το πολυώνυµο παρεµβολής που δίνεται από την έκφραση ( θ p n (x) = f ) ( θ f ) ( θ 2 f n και R n+1 το σφάλµα. Ο τύπος που ϐρήκαµε είναι τελικά ο Για το τυχόν x i, i = 0(1)n έχουµε ότι ( i p n (x i ) = f ( i ) ) n f 0 (16) f(x) p n (x). (17) ) ( i f i ) i f 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 15 / 55

16 p n (x i ) = [ ( i 1+ 1 ) ( i + 2 ) ( i i = (1+ ) i f 0 = E i f 0 = f(x 0 + ih) = f(x i ), ) i ] f 0 δηλαδή p n (x i ) = f(x i ), i = 0(1)n. (18) Αρα το p n (x) είναι το πολυώνυµο παρεµβολής. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 16 / 55

17 Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα πίσω διαφορές του Newton Εστω x i = x 0 + ih, i = n(1)0 τα n+1ισαπέχοντα σηµεία της συνάρτησης f(x) (µε x 0 συµβολίζουµε τώρα το τελευταίο σηµείο). Τότε είναι x = x 0 θh ή θ = (x 0 x)/h (19) τότε f(x) = f(x 0 θh) = E θ f(x 0 ) = (1 ) θ f(x 0 ) [ ( ) ( ) ( θ θ θ = ( 1) n 1 2 n Το πολυώνυµο παρεµβολής των προς τα πίσω διαφορών είναι το p n (x) = f 0 θ f 0 + θ(θ 1) ( θ 2 f ( 1) n 2! n ) ] n +... f 0 ) n f 0. (20) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 17 / 55

18 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας τιµών της f(x) = 1+x 3 Να ϐρεθεί η προσεγγιστική τιµή f(1.5). x f(x) Λύση Ας υποθέσουµε καταρχήν ότι χρησιµοποιούµε όλα τα σηµεία του πίνακα, τότε το πολυώνυµο παρεµβολής ϑα είναι το πολύ 3ου ϐαθµού και ϑα συµπίπτει µε την f(x), αφού και η f(x) είναι πολυώνυµο 3ου ϐαθµού. Πράγµατι, x 0 = 0, h = 1, θ = x x 0 h = x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 18 / 55

19 Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα εµπρός διαφορές του Newton ( θ p 3 (x) = f ) ( θ f = f 0 +θ f 0 + θ(θ 1) 2 f 0 + 2! ) ( θ 2 f ) 3 f 0 θ(θ 1)(θ 2) 3 f 0. 3! Για τον υπολογισµό των f 0, 2 f 0 και 3 f 0 κατασκευάζουµε τον πίνακα των προς τα εµπρός διαφορών για τα δεδοµένα σηµεία. Εχουµε x f(x) f 2 f 3 f Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 19 / 55

20 όπου f 0 = 1, f 0 = 1, 2 f 0 = 6 και 3 f 0 = 6. Αρα x(x 1) x(x 1)(x 2) p 3 (x) = 1+x = 1+x 3 συνεπώς f(1.5) = p 3 (1.5) = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 20 / 55

21 Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα πίσω διαφορές του Newton Τότε το πολυώνυµο παρεµβολής ϑα συµπίπτει µε αυτό που ϐρέθηκε αφού (το πολυώνυµο παρεµβολής) είναι µοναδικό. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας τον τύπο των προς τα πίσω διαφορών έχουµε p 3 (x) = f 0 θ f 0 + θ(θ 1) 2 f 0 2 θ(θ 1)(θ 2) 3 f 0 6 όπου τώρα f 0 = 28, f 0 = 19, 2 f 0 = 12 και 3 f 0 = 6. Επίσης είναι x 0 = 3 καιθ = 3 x συνεπώς p 3 (x) = 28 (3 x) 19+ (3 x)(2 x) 2 = 1+x 3 (3 x)(2 x)(1 x) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 21 / 55

22 Αν τώρα χρησιµοποιήσουµε µόνον τα τρία πρώτα σηµεία, τότε έχουµε x(x 1) p 2 (x) = 1+x ή p 2 (1.5) = Επίσης, αν χρησιµοποιήσουµε τα τρία τελευταία σηµεία, τότε x 0 = 1,θ = 0.5 έχουµε ˆp 2 (1.5) = (0.5 1) 12 = Παρατηρούµε ότι το απόλυτο σφάλµα f(1.5) p 2 (1.5) = f(1.5) ˆp 2 (1.5) = είναι το ίδιο στις δύο τελευταίες περιπτώσεις. Συνεπώς η προσέγγιση της f(x) δεν εξαρτάται από το πόσο πλησίον του x ϑα επιλεγεί το x 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 22 / 55

23 Πολυώνυµο παρεµβολής για µη ισαπέχοντα σηµεία Τύπος παρεµβολής του Lagrange Ας υποθέσουµε τώρα ότι τα σηµεία παρεµβολής δεν ισαπέχουν. Για να ϐρούµε το πολυώνυµο παρεµβολής του Lagrange ξεκινάµε από τις σχέσεις Επίσης το p n(x) µπορεί να εκφρασθεί σαν p n(x j) = f j, j = 0(1)n. (21) p n(x) = n L i(x)f i (22) i=0 όπου L i(x), i = 0(1)n πολυώνυµα ϐαθµού n τα οποία καλούνται συντελεστές του Lagrange και ικανοποιούν τις σχέσεις { 1, i = j L i(x j) = i, j = 0(1)n. (23) 0, i j Το p n(x) είναι το Ϲητούµενο πολυώνυµο παρεµβολής, αφού ισχύει p n(x i) = n L j(x i)f j = L i(x i)f i = f i, i = 0(1)n. j=0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 23 / 55

24 Πολυώνυµο παρεµβολής για µη ισαπέχοντα σηµεία Πολυώνυµο παρεµβολής του Lagrange L i (x) 1 x 0 x 1 x i-1 x i x i+1 x n-1 x n x Σχήµα: Γραφική παράσταση Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 24 / 55

25 Τα x j, j = 0(1)n, j i είναι οι ϱίζες του L i (x) άρα L i (x) = A i (x x 0 )...(x x i 1 )(x x i+1 )...(x x n ). Ο προσδιορισµός της A i γίνεται µε τη ϐοήθεια της πρώτης από τις σχέσεις { 1, i = j L i (x j ) = i, j = 0(1)n. (24) 0, i j έτσι ή L i (x) = (x x 0)...(x x i 1 )(x x i+1 )...(x x n ) (x i x 0 )...(x i x i 1 )(x i x i+1 )...(x i x n ) L i (x) = n j=0 j i (25) x x j x i x j, i = 0(1)n. (26) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 25 / 55

26 Ετσι ο τύπος παρεµβολής του Lagrange είναι ο f(x) = p n (x)+ R n+1 (x), (27) όπου το και R n+1 (x) το σφάλµα, συνεπώς p n (x) = n L i (x)f i i=0 f(x) p n (x). (28) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 26 / 55

27 Παράδειγµα Να ϐρεθεί το πολυώνυµο του Lagrange p 2 (x) για το οποίο f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4. Είναι 2 p 2 (x) = L i (x)f i = L 0 (x) 1+L 1 (x) 2+L 2 (x) 4 i=0 όπου οι συντελεστές του Lagrange είναι L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 1)(x 2) = (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) (0 1)(0 2) L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 0)(x 2) = (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) (1 0)(1 2) L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 0)(x 1) = (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) (2 0)(2 1) (x 1)(x 2) =, 2 x(x 2) =, 1 x(x 1) =, 2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 27 / 55

28 άρα p 2 (x) = 1 2 (x 1)(x 2) 2x(x 2)+ 1 4x(x 1) 2 = 1 2 x x + 1. Παρατήρηση Οι ανωτέρω υπολογισµοί ϑα αυξηθούν σηµαντικά αν ϑέλουµε να υπολογίσουµε και άλλες τιµές x. Επίσης, η πρόσθεση και άλλων σηµείων παρεµβολής, σε µια προσπάθεια να αυξηθεί η ακρίβεια, ϑα αλλάξει όλους τους συντελεστές του Lagrange και έτσι όλοι οι προηγούµενοι υπολογισµοί χάνονται. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 28 / 55

29 Το σφάλµα στην πολυωνυµική παρεµβολή Μετά την εύρεση του πολυωνύµου παρεµβολής p n(x), που διέρχεται από τα n+1 σηµεία x i, i = 0(1)n, το ερώτηµα που τίθεται είναι το εξής:ποιό είναι το σφάλµα e(x) = f(x) p n(x) για ένα οποιοδήποτε σηµείο x x i, i = 0(1)n, x [a, b]; Θεώρηµα Αν p n(x) είναι το πολυώνυµο το πολύ n ϐαθµού που παρεµβάλει την f(x) C n+1 [a, b] στα n+1 διακεκριµένα σηµεία x i, i = 0(1)n στο [a, b], τότε για κάθε σηµείο x [a, b] όπουξ (a, b). f(x) = p n(x)+ (x x0)(x x1)...(x xn) f (n+1) (ξ) (29) (n+1)! Απόδειξη Επειδή f(x i) = p n(x i), i = 0(1)n, τα σηµεία x i, i = 0(1)n είναι ϱίζες της f(x) p n(x) άρα f(x) p n(x) = (x x 0)(x x 1)...(x x n)a(x). (30) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 29 / 55

30 Εστω x [a, b] οποιοδήποτε σταθερό σηµείο διάφορο των x i, i = 0(1)n. Ορίζουµε τη συνάρτηση Φ(t) = f(t) p n (t) (t x 0 )(t x 1 )...(t x n )A(x). Οι ϱίζες της Φ(t) είναι τα n+2 σηµεία x 0, x 1, x 2,..., x n και x. Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle ηφ έχει τουλάχιστον n+1ϱίζες, ηφ (x) έχει τουλάχιστον n ϱίζες κ.ο.κ. Τέλος, ηφ (n+1) (x) πρέπει να έχει τουλάχιστον µια ϱίζαξ [a, b]. Τότε Φ (n+1) (t) = f (n+1) (t) p (n+1) (t) ( t n+1 + όροι µικρότερων δυνάµεων ) (n+1) A(x) = f (n+1) (t) 0 (n+1)!a(x). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 30 / 55

31 Για t = ξ λαµβάνουµε ή Φ (n+1) (ξ) = 0 = f (n+1) (ξ) (n+ 1)!A(x) A(x) = f(n+1) (ξ) (n+1)!, οπότε αντικαθιστώντας ολοκληρώνεται η απόδειξη του ανωτέρω ϑεωρήµατος. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 31 / 55

32 Το σφάλµα στην πολυωνυµική παρεµβολή f(x) = p n (x)+ R n+1 (x), (31) ή f(x) p n (x) (32) και R n+1 (x) το σφάλµα µε τύπο R n+1 (x) = f(x) p n (x) = (x x 0)(x x 1 )...(x x n ) f (n+1) (ξ) (33) (n+1)! όπουξ (a, b). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 32 / 55

33 Παράδειγµα 1 ίνεται η f(x) = e x για x [0, 1]. Να υπολογιστεί η απόσταση h των σηµείων έτσι ώστε να προσεγγίζεται η f(x) µε γραµµική παρεµβολή (δηλ. µε πολυώνυµο παρεµβολής 1ου βαθµού) και µε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων. Λύση Το σφάλµα στη γραµµική παρεµβολή της f(x) στα x 0 και x 1 δίνεται από την e x p 1 (x) = (x x 0)(x x 1 ) e ξ 2 για κάποιοξ µεταξύ του ελάχιστου και του µέγιστου των x 0, x 1 και x. Υποθέτουµε ότι x 0 < x < x 1 και παρατηρούµε ότι Επίσης (x 1 x)(x x 0 ) 2 e x0 e x p 1 (x) (x 1 x)(x x 0 ) e x1. 2 (x 1 x)(x x 0 )) max = h2 x 0 x x 1 2 8, h = x 1 x 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 33 / 55

34 Επιπλέον, e x1 e στο[0, 1] και e x p 1 (x) h2 e 8, 0 x 1 το οποίο είναι ανεξάρτητο των x 0, x 1 και x. Αν επιθυµούµε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων τότε το h ϑα επιλεγεί έτσι ώστε ή h 2 e d h 2 10 d e. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 34 / 55

35 Παράδειγµα 2 ίνεται η f(x) = e x για x [0, 1]. Να υπολογιστεί η απόσταση h των σηµείων έτσι ώστε να προσεγγίζεται η f(x) µε τετραγωνική παρεµβολή (δηλ. µε πολυώνυµο παρεµβολής 2ου βαθµού) και µε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων. Λύση Το σφάλµα στη τετραγωνική παρεµβολή της f(x) στα x 0, x 1, x 2 δίνεται από τόν τύπο e x p 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) e ξ. 3! Για την παρεµβολή υποθέτουµε h = x 1 x 0 = x 2 x 1 και x 0 < x < x 2. Εχουµε e x p 2 (x) (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) e 1. 6 Ας υποθέσουµε x 1 = 0, τότε x 0 = h και x 2 = h, στην ειδική αυτή περίπτωση έχουµε (x + h)x(x h) w 2 (x) = = x3 xh Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 35 / 55

36 Σχήµα 2. w 2 (x) = x3 xh 2. 6 y -h h x y=w 2 (x) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 36 / 55

37 Για την εύρεση του µέγιστου της w 2 (x)(ϐλ. σχήµα 2), έχουµε w 2 (x) = 3x2 h 2 6 = 0 οπότε x = ±h/ 3 και Συνεπώς w 2 (± 3 h ) = h e x p 2 (x) h3 9 3 e 0.174h3, το οποίο είναι µικρότερο από το σφάλµα που ϐρέθηκε στη γραµµική παρεµβολή. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 37 / 55

38 Αν επιθυµούµε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων, τότε το h ϑα επιλεγεί έτσι ώστε h 3 e d ή h e10 3 d 10. d Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 38 / 55

39 Πολυώνυµο παρεµβολής του Newton για µη ισαπέχοντα σηµεία ιηρηµένες διαφορές Για τα µη ισαπέχοντα σηµεία (x i, f i ), i = 0(1)n, ορίζονται ως εξής: 0 τάξης f[x i ] = f i (34) 1ης τάξης n τάξης f [x 0, x 1 ] = f[x 1] f[x 0 ] x 1 x 0 (35) f [x 0, x 1, x 2,...,x n ] = f[x 1, x 2,..., x n ] f[x 0, x 1,...,x n 1 ] x n x 0 (36) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 39 / 55

40 Ο πίνακας των διηρηµένων διαφορών για τα (x i, f i ), i = 0(1)3 είναι ο ακόλουθος : x f(x) 1ης τάξης 2ης τάξης 3ης τάξης x 0 f[x 0 ] f [x 0, x 1 ] = f[x 1 ] f[x 0 ] x 1 x 0 x 1 f[x 1 ] f [x 0, x 1, x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] = f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 0,x 1,x 2 ] x 3 x 0 f [x 1, x 2 ] = f[x 2 ] f[x 1 ] x 2 x 1 x 2 f[x 2 ] f [x 1, x 2, x 3 ] = f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 f [x 2, x 3 ] = f[x 3 ] f[x 2 ] x 3 x 2 x 3 f[x 3 ] Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 40 / 55

41 Παράδειγµα Να κατασκευαστεί ο πίνακας των διηρηµένων διαφορών των σηµείων (0,0), (2,4), (3,9) και (5,25). Λύση x f(x) 1ης τάξης 2ης τάξης 3ης τάξης Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 41 / 55

42 Πολυώνυµο παρεµβολής του Newton µε διηρηµένες διαφορές Το ερώτηµα που τίθεται είναι το εξής: Μπορεί να µετασχηµατιστεί το πολυώνυµο παρεµβολής έτσι ώστε, αν προστεθεί ένα επιπλέον σηµείο παρεµβολής, οι υπολογισµοί να µην χρειάζεται να ξεκινήσουν από την αρχή, αλλά να χρησιµοποιούνται οι προηγούµενοι υπολογισµοί; Ας υποθέσουµε ότι έχουµε το πολυώνυµο παρεµβολής P k (x) ϐαθµού k που παρεµβάλει στα σηµεία x i, i = 0(1)k και ϑέλουµε να σχηµατίσουµε το πολυώνυµο P k+1 (x) προσθέτοντας ένα επί πλέον σηµείο παρεµβολής x k+1. Επειδή ϑέλουµε επίσης να µην αλλάξουµε και τους προηγούµενους υπολογισµούς µας, απαιτούµε το νέο πολυώνυµο να έχει τη µορφή όπου p k+1 (x) είναι ϐαθµού k + 1. P k+1 (x) = P k (x)+ p k+1 (x), k = 0(1)n (37) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 42 / 55

43 Επειδή τα P k+1 (x) και P k (x) παρεµβάλλουν στα σηµεία x i, i = 0(1)k έχουµε P k+1 (x i ) = P k (x i ), i = 0(1)k (38) άρα p k+1 (x i ) = 0, i = 0(1)k, (39) το οποίο σηµαίνει ότι τα x i, i = 0(1)k είναι ϱίζες του p k+1 (x) συνεπώς το πολυώνυµο αυτό έχει την ακόλουθη µορφή p k+1 (x) = a k+1 (x x 0 )(x x 1 )...(x x k ). (40) Εφαρµόζοντας αναγωγικά την προηγούµενη ισότητα για k = 0(1)n 1, προκύπτει το ακόλουθο πολυώνυµο των διηρηµένων διαφορών του Newton P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 )+...+a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ). (41) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 43 / 55

44 Το P n(x) δύναται να τροποποιηθεί στο ακόλουθο φωλιασµένο σχήµα κατάλληλο για υπολογισµό π.χ. για n = 3 P 3(x) = [[a 3(x x 2)+a 2](x x 0)+a 0]. (42) Για τον υπολογισµό των a i, i = 0(1)n εργαζόµαστε ως εξής. Αφού για x i, i = 0(1)n έχουµε ότι P n(x i) = f i, i = 0(1)n. Συνεπώς για x = x i, i = 0(1)n παράγονται οι ακόλουθες σχέσεις (i = 0) f 0 = a 0 (i = 1) f 1 = a 0 + a 1(x 1 x 0) (i = 2) f 2 = a 0 + a 1(x 2 x 0)+a 2(x 2 x 0)(x 2 x 1) (43).. (i = n) f n = a 0 + a 1(x n x 0)+a 2(x n x 0)(x n x 1)+...+a n(x n x 0)...(x n x n 1) το οποίο είναι ένα τριγωνικό σύστηµα, όπου ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων X είναι µη ιδιάζων καθόσον η ορίζουσα του είναι ίση µε n 1 det(x) = (x i x j), i = 0(1)n. j=0 j i Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 44 / 55

45 Ετσι τα a i, i = 0(1)n ορίζονται µονοσήµαντα, η δε λύση του είναι η a 0 = f 0 a 1 = f 0 f 1 x 0 x 1 = f[x 0, x 1 ] a 2 = f[x 0, x 1 ] (f 0 f 2 )/(x 0 x 2 ) = f[x 0, x 1, x 2 ] (44) x 0 x 2. a n = f[x 0, x 1,..., x n ]. Το πολυώνυµο παρεµβολής των διηρηµένων διαφορών του Newton p n (x) = f[x 0 ]+(x x 0 )f[x 0, x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+...+ (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f[x 0, x 1, x 2,..., x n ]. (45) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 45 / 55

46 Το πολυώνυµο παρεµβολής των διηρηµένων διαφορών του Newton p n (x) = f[x 0 ]+(x x 0 )f[x 0, x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+...+ (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f[x 0, x 1, x 2,..., x n ]. (46) Αλλαγή της σειράς των x i δεν αλλάζει την τιµή µιας διηρηµένης διαφοράς και το σφάλµα στην παρεµβολή χρησιµοποιώντας το p n (x) σε ένα σηµείο x είναι (γιατί;) R n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )...(x x n )f[x 0, x 1,..., x n, x]. (47) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 46 / 55

47 Θεώρηµα Αν I είναι το µικρότερο διάστηµα που περιέχει όλα τα σηµεία παρεµβολής x i, i = 0(1)n και το τυχόν σηµείο x και η συνάρτηση f(x) C n+1 (I), τότε f[x, x 0,...,x n ] = f(n+1) (ξ) (n+1)! (48) όπουξ I. Απόδειξη Γνωρίζουµε ότι το σφάλµα στην παρεµβολή είναι R n+1 (x) = n (x x i ) f(n+1) (ξ) (n+1)!, ξ I (49) i=0 ενώ για την παρεµβολή του Newton µε διηρηµένες διαφορές δίνεται από την (47), άρα από την εξίσωση των δύο αυτών σχέσεων προκύπτει η (48). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 47 / 55

48 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας τιµών της f(x) x i f i Να ϐρεθεί το πολυώνυµο παρεµβολής του Newton Λύση Το Ϲητούµενο πολυώνυµο ϑα είναι το πολύ ϐαθµού 3 και λόγω της (46) για n = 3 είναι το p 3 (x) = f[x 0 ]+(x x 0 )f[x 0, x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+ (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )f[x 0, x 1, x 2, x 3 ]. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 48 / 55

49 Πίνακας των διηρηµένων διαφορών x 1 0 f(x) f[,] f[,,] f[,,,] p 3(x) = 0+(x 1) 2+(x 1)(x 2) 1+(x 1)(x 2)(x 4) 0 ή p 3(x) = (x 1)x Παρατήρηση Αν είχαν δοθεί µόνο τα τρία πρώτα σηµεία και στη συνέχεια εισαγόταν το τελευταίο, τότε στο πολυώνυµο παρεµβολής απλά προστίθεται ένας επιπλέον όρος (που στην προκειµένη περίπτωση είναι µηδέν). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 49 / 55

50 Μελέτη του σφάλµατος Το σφάλµα παρεµβολής δίνεται από το τύπο όπου Σχήµα Ψ n(x) = f(x) p n(x) = (x x0)(x x1)...(x xn) f (n+1) (ξ) (n+1)! min(x 0, x 1,...,x n) < ξ < max(x 0, x 1,...,x n). y y=r n+1 (x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 50 / 55

51 Σχήµα y y=r n+1 (x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Παρατήρηση Η γραφική παράσταση του σφάλµατοςψ n (x) παρουσιάζεται στο ανωτέρω σχήµα από το οποίο παρατηρούµε ότι το σφάλµα γίνεται µικρότερο όταν το x είναι πλησίον τον µέσου. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 51 / 55

52 Παρεµβολή µε κυβικές splines Εστω το σύνολο των σηµείων X n = {x j }, j = 0, 1,..., n όπου a = x 0 < x 1 <... < x n = b και το σύνολο των τιµών{f(x j )}, j = 0, 1,..., n. Ζητείται να ϐρεθεί η συνάρτηση η οποία διέρχεται από τα σηµεία P j = (x j, f(x j )), 0 j n. Εστω το σύνολο όλων των συναρτήσεων Sp(X n ) τέτοιες ώστε αν S(x) Sp(X n ) τότε η S(x) ικανοποιεί τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: 1 S(x) C 2 [a, b] δηλαδή οι S(x), S (x) και S (x) είναι συνεχείς στο [a, b]. 2 S(x j ) = f(x j ) f j, 0 j n, δηλαδή η S(x) παρεµβάλλει την f(x) στο[a, b]. 3 S(x) είναι ένα πολυώνυµο 3ου ϐαθµού σε κάθε υποδιάστηµα [x j, x j+1 ], 0 j n 1. Η συνάρτηση S(x) που ικανοποιεί τις (1), (2) και (3) λέγεται µία κυβική spline. Οµοια µπορούµε να ορίσουµε splines µεγαλύτερης τάξης. Παρατηρούµε ότι η S(x) µπορεί να είναι διαφορετική σε κάθε υποδιάστηµα, έτσι συµβολίζουµε µε S j (x) το κυβικό πολυώνυµο τέτοιο ώστε S(x) = S j (x) για x [x j, x j+1 ], 0 j n 1. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 52 / 55

53 ...Παρεµβολή µε κυβικές splines Επειδή κάθε S j(x) είναι πολυώνυµο τρίτου ϐαθµού και όλες οι παράγωγοί του είναι συνεχείς για κάθε x (x j, x j+1) στο αντίστοιχο ανοικτό διάστηµα, έτσι τα σηµεία που µας ενδιαφέρουν στο [x 0, x 3] είναι τα εσωτερικά x 1 και x 2 όπου τα κυβικά πολυώνυµα πρέπει να συµπίπτουν µε δευτέρου ϐαθµού συνέχεια. Εχοντας αυτό υπόψη ας εργαστούµε από τα αριστερά προς τα δεξιά στο [a, b] [x 0, x 3] και ας προσδιορίσουµε τον αριθµό των εξισώσεων οι οποίες πρέπει να ικανοποιούνται. Επειδή η S(x) πρέπει να παρεµβάλει σε κάθε x j και να είναι συνεχής στα x 1 και x 2 έχουµε ότι πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω έξι εξισώσεις S 0(x 0) = f 0, S 1(x 1) = f 1, S 0(x 1) = S 1(x 1) S 2(x 2) = f 2, S 1(x 2) = S 2(x 2) και S 2(x 3) = f 3. (50) Τέλος, επειδή οι S (x) και S (x) πρέπει επίσης να είναι συνεχείς στα x 1 και x 2 έχουµε S 0(x 1) = S 1(x 1) S 0 (x 1) = S 1 (x 1) S 1(x 2) = S 2(x 2) S 1 (x 2) = S 2 (x 2). (51) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 53 / 55

54 ...Παρεµβολή µε κυβικές splines Αρα έχουµε ένα σύνολο δέκα εξισώσεων µε δώδεκα αγνώστους. ιαισθητικά λοιπόν αναµένουµε ότι το σύνολο S p (X n ) είναι µια διπαραµετρική οικογένεια συναρτήσεων. ύο λογικοί τρόποι για να αποκτήσουµε µία καλή προσέγγιση της f(x) είναι να προσδιορίσουµε αυθαίρετα είτε τα S 0 (x 0) και S (x 3 ) ή τα S (x 0 ) και S (x 3 ). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 54 / 55

55 ' Κατά τµήµατα πολυωνυµική παρεµβολή y 16 y=p(x) ( x j, y ' j) '' ( x j+ 1, yj+ 1) y=q(x) x Σχήµα: Κατά τµήµατα πολυωνυµική παρεµβολή Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 55 / 55

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί)

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί) Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 19 εκεµβρίου 2015 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 36 Αριθµητική Παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή

1 Πολυωνυµική Παρεµβολή 1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20

ιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 96 Αριθµητική Ολοκλήρωση

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,

Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 2 1 / 115 ΕΝΟΤΗΤΑ 2

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή Του φοιτητή Κωνσταντίνου Αδαμίδη Αρ. Μητρώου: 0466 Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:

KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή

Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της Αριθμητικής Παρεμβολής, δηλαδή η εύρεση της τιμής y k μιας συνάρτησης για ένα δεδομένο x k, όταν δεν γνωρίζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson

ΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson ΘΕΜΑ 2ο Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson Θέµα 2: Η ακόλουθη αντίδραση πραγµατοποιείται σε έναν αντιδραστήρα αέριας φάσης: H 2 S+O 2 H 2 +SO 2 Όταν το σύστηµα φτάσει σε ισορροπία στους 600Κ και

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines

Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)

Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

x,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα

x,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα Μέθοδος κυβικών sples: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με,,,...,,. Για κάθε διάστημα βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S,,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S f, S f S Συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση :

2 3 4 v. Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : ίνεται η εξίσωση : ν v 1... = 0, v Να εξεταστεί υπό ποίες προϋποθέσεις η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες και πόσες. Απάντηση : Με την βοήθεια του λογισµικού mathcad, κατασκευάζω τις συναρτήσεις f ν ()=

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11

Πρόλογος Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Εισαγωγή στη δεύτερη έκδοση... 0 Εισαγωγή... Ε. Εισαγωγή στην έννοια της Αριθμητικής Ανάλυσης... Ε. Ταξινόμηση των θεμάτων που απασχολούν την αριθμητική ανάλυση.. Ε.3 Μορφές σφαλμάτων...

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης

Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου

Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72

Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική επίλυση εξισώσεων και παρεµβολή µέσω υπολογιστή για την εκπαιδευτική διαδικασία

Αριθµητική επίλυση εξισώσεων και παρεµβολή µέσω υπολογιστή για την εκπαιδευτική διαδικασία Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών "Υπολογιστικά Μαθηµατικά και Πληροφορική" Κατεύθυνση: Τεχνολογίες Πληροφορικής και Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση Αριθµητική επίλυση εξισώσεων και παρεµβολή µέσω υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7

P(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης

Αριθµοί Liouville. Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Αριθµοί Liouville Ιωάννης Μπαρµπαγιάννης Εισαγωγή Η ϑεωρία των υπερβατικών αριθµών έχει ως αφετηρία µια ϕηµισµένη εργασία του Liouville, το 844, ο οποίος περιέγραψε µια κλάση πραγµατικών αριθµών οι οποίοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα