Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
|
|
- Παρθενορή Ρέντης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55
2 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται οι τιµές µιας συνάρτησης f(x) στα n+1σηµεία, έστω τα x i, i = 0(1)n και Ϲητούµε να κατασκευάσουµε ένα πολυώνυµο p n (x), ϐαθµού το πολύ n, τέτοιο ώστε p n (x i ) = f(x i ) Το p n (x) είναι µονοσήµαντα ορισµένο γιατί αν δύο πολυώνυµα ϐαθµού το πολύ n λαµβάνουν τις ίδιες τιµές για n+1 διαφορετικές τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής τους τότε αυτά ταυτίζονται. Η εύρεση του πολυωνύµου παρεµβολής p n (x) µας επιτρέπει να ϐρίσκουµε προσεγγιστική τιµή της συνάρτησης f(x) στο οποιοδήποτε σηµείο x. Οι απλούστεροι τύποι παρεµβολής είναι εκείνοι στους οποίους τα σηµεία παρεµβολής ισαπέχουν. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 2 / 55
3 Σχήµα 1 y y=f(x) y=p 4 (x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x Σχήµα: Πολυωνυµική Παρεµβολή Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 3 / 55
4 Πεπερασµένες διαφορές Προς τα εµπρός διαφορές Εστω ότι έχουµε ένα πίνακα τιµών (x i, f(x i )) µιας συνάρτησης f(x). Οι πρώτης τάξης προς τα εµπρός διαφορές στο σηµείο x n, ορίζονται από τις σχέσεις f n = f(x n+1 ) f(x n ) = f n+1 f n (1) και γενικά οι προς τα εµπρός διαφορές k τάξης ορίζονται από τις k f n = ( k 1 f n ) = k 1 f n+1 k 1 f n. (2) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 4 / 55
5 Προς τα πίσω διαφορές Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι πρώτης τάξης προς τα πίσω διαφορές ή f n = f(x n ) f(x n 1 ) = f n f n 1 (3) k f n = ( k 1 f n ) = k 1 f n k 1 f n 1. (4) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 5 / 55
6 Κεντρικές διαφορές Τέλος οι πρώτης τάξης κεντρικές διαφορές, στο σηµείο x n+1/2 ορίζονται από τη σχέση δf n+1/2 = f(x n+1 ) f(x n ) = f n+1 f n. (5) Εύκολα τώρα ϐλέπουµε ότι f n = f n+1 = δf n+1/2 (6) και επαγωγικά k f n = k f n+k = δ k f n+k/2. (7) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 6 / 55
7 Κατασκευή των πινάκων διαφορών 1. Πίνακας προς τα εµπρός διαφορών x 0 f 0 f 0 2 f 0 f 1 x 1 f 1 3 f 0 2 f 1 4 f 0 f 2 x 2 f 2 3 f 1 2 f 2 x 3 f 3 f 3 x 4 f 4 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 7 / 55
8 2. Πίνακας προς τα πίσω διαφορών x 4 f 4 f 3 x 3 f 3 2 f 2 f 2 3 f 1 x 2 f 2 2 f 1 4 f 0 f 1 3 f 0 x 1 f 1 2 f 0 f 0 x 0 f 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 8 / 55
9 3. Πίνακας κεντρικών διαφορών x n 2 f n 2 δf n 3/2 x n 1 f n 1 δ 2 f n 1 δf n 1/2 δ 3 f n 1/2 x n f n δ 2 f n δ 4 f n δf n+1/2 x n+1 f n+1 δ 2 f n+1 δ 3 f n+1/2 x n+2 f n+2 δf n+3/2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 9 / 55
10 Παράδειγµα ίνονται οι τιµές της f(x) = x 3 στα σηµεία 1, 2, 3 και 4. Να σχηµατιστεί ο πίνακας των προς τα εµπρός (και προς τα πίσω) διαφορών. i x f(x) f/ f 2 f/ 2 f 3 f/ 3 f Στο σηµείο αυτό ϑα πρέπει να τονιστεί ότι τα σηµεία x i, i = 0(1)n ισαπέχουν µεταξύ τους. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 10 / 55
11 Θεώρηµα Οι πεπερασµένες διαφορές n τάξης ενός πολυωνύµου ϐαθµού n είναι σταθερές. Πόρισµα Οι πεπερασµένες διαφορές n+1 και ανώτερης τάξης ενός πολυωνύµου ϐαθµού n είναι µηδέν. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 11 / 55
12 Τελεστές Τα σύµβολα, και δ καλούνται τελεστές διαφορών. Οι τελεστές αυτοί είναι γραµµικοί γιατί ικανοποιούν τη σχέση T (αf(x)+βg(x)) = αtf(x)+βtg(x) όπου T =, καιδ. Στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιηθεί και άλλος ένας γραµµικός τελεστής, ο οποίος καλείται τελεστής µετατόπισης και ορίζεται από τη σχέση Ef(x) = f(x + h). (8) Είναι δυνατόν να αποδειχτεί ότι µε τους ανωτέρω τελεστές µπορούµε να εκτελέσουµε σχεδόν όλες τις πράξεις της Αλγεβρας (λογισµός τελεστών). Επίσης ο τελεστής µετατόπισης µπορεί να εκφραστεί µε τη µορφή του ή του. Εχουµε f(x) = f(x + h) f(x) = Ef(x) f(x) = (E 1)f(x) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 12 / 55
13 Σχέσεις µεταξύ Τελεστών Είναι = E 1. (9) Επιπλέον, αλλά άρα ή ή f(x + h) = f(x + h) f(x) = (E 1)f(x) f(x + h) = Ef(x) E = E 1 (1 )E = 1 E = (1 ) 1. (10) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 13 / 55
14 Πολυώνυµο παρεµβολής για ισαπέχοντα σηµεία Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα εµπρός διαφορές του Newton Εστω ότι x i = x 0 + ih, i = 0(1)n είναι n+1 γνωστά σηµεία παρεµβολής και f(x) η Ϲητούµενη τιµή της συνάρτησης στο τυχόν σηµείο x, τότε είναι x = x 0 +θh ή θ = (x x 0 )/h (11) τότε f(x) = f(x 0 +θh) = E θ f(x 0 ) = (1+ ) θ f 0 (12) [ ( ) ( ) ] θ θ = f 0 (13) 1 2 ή ( θ f(x) = f ) ( θ f ) 2 f (14) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 14 / 55
15 όπου ή ( θ s ) = θ! θ(θ 1)...(θ s + 1) = s!(θ s)! s! f(x) = p n (x)+ R n+1 (x), (15) όπου p n (x) το πολυώνυµο παρεµβολής που δίνεται από την έκφραση ( θ p n (x) = f ) ( θ f ) ( θ 2 f n και R n+1 το σφάλµα. Ο τύπος που ϐρήκαµε είναι τελικά ο Για το τυχόν x i, i = 0(1)n έχουµε ότι ( i p n (x i ) = f ( i ) ) n f 0 (16) f(x) p n (x). (17) ) ( i f i ) i f 0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 15 / 55
16 p n (x i ) = [ ( i 1+ 1 ) ( i + 2 ) ( i i = (1+ ) i f 0 = E i f 0 = f(x 0 + ih) = f(x i ), ) i ] f 0 δηλαδή p n (x i ) = f(x i ), i = 0(1)n. (18) Αρα το p n (x) είναι το πολυώνυµο παρεµβολής. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 16 / 55
17 Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα πίσω διαφορές του Newton Εστω x i = x 0 + ih, i = n(1)0 τα n+1ισαπέχοντα σηµεία της συνάρτησης f(x) (µε x 0 συµβολίζουµε τώρα το τελευταίο σηµείο). Τότε είναι x = x 0 θh ή θ = (x 0 x)/h (19) τότε f(x) = f(x 0 θh) = E θ f(x 0 ) = (1 ) θ f(x 0 ) [ ( ) ( ) ( θ θ θ = ( 1) n 1 2 n Το πολυώνυµο παρεµβολής των προς τα πίσω διαφορών είναι το p n (x) = f 0 θ f 0 + θ(θ 1) ( θ 2 f ( 1) n 2! n ) ] n +... f 0 ) n f 0. (20) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 17 / 55
18 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας τιµών της f(x) = 1+x 3 Να ϐρεθεί η προσεγγιστική τιµή f(1.5). x f(x) Λύση Ας υποθέσουµε καταρχήν ότι χρησιµοποιούµε όλα τα σηµεία του πίνακα, τότε το πολυώνυµο παρεµβολής ϑα είναι το πολύ 3ου ϐαθµού και ϑα συµπίπτει µε την f(x), αφού και η f(x) είναι πολυώνυµο 3ου ϐαθµού. Πράγµατι, x 0 = 0, h = 1, θ = x x 0 h = x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 18 / 55
19 Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα εµπρός διαφορές του Newton ( θ p 3 (x) = f ) ( θ f = f 0 +θ f 0 + θ(θ 1) 2 f 0 + 2! ) ( θ 2 f ) 3 f 0 θ(θ 1)(θ 2) 3 f 0. 3! Για τον υπολογισµό των f 0, 2 f 0 και 3 f 0 κατασκευάζουµε τον πίνακα των προς τα εµπρός διαφορών για τα δεδοµένα σηµεία. Εχουµε x f(x) f 2 f 3 f Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 19 / 55
20 όπου f 0 = 1, f 0 = 1, 2 f 0 = 6 και 3 f 0 = 6. Αρα x(x 1) x(x 1)(x 2) p 3 (x) = 1+x = 1+x 3 συνεπώς f(1.5) = p 3 (1.5) = Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 20 / 55
21 Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα πίσω διαφορές του Newton Τότε το πολυώνυµο παρεµβολής ϑα συµπίπτει µε αυτό που ϐρέθηκε αφού (το πολυώνυµο παρεµβολής) είναι µοναδικό. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας τον τύπο των προς τα πίσω διαφορών έχουµε p 3 (x) = f 0 θ f 0 + θ(θ 1) 2 f 0 2 θ(θ 1)(θ 2) 3 f 0 6 όπου τώρα f 0 = 28, f 0 = 19, 2 f 0 = 12 και 3 f 0 = 6. Επίσης είναι x 0 = 3 καιθ = 3 x συνεπώς p 3 (x) = 28 (3 x) 19+ (3 x)(2 x) 2 = 1+x 3 (3 x)(2 x)(1 x) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 21 / 55
22 Αν τώρα χρησιµοποιήσουµε µόνον τα τρία πρώτα σηµεία, τότε έχουµε x(x 1) p 2 (x) = 1+x ή p 2 (1.5) = Επίσης, αν χρησιµοποιήσουµε τα τρία τελευταία σηµεία, τότε x 0 = 1,θ = 0.5 έχουµε ˆp 2 (1.5) = (0.5 1) 12 = Παρατηρούµε ότι το απόλυτο σφάλµα f(1.5) p 2 (1.5) = f(1.5) ˆp 2 (1.5) = είναι το ίδιο στις δύο τελευταίες περιπτώσεις. Συνεπώς η προσέγγιση της f(x) δεν εξαρτάται από το πόσο πλησίον του x ϑα επιλεγεί το x 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 22 / 55
23 Πολυώνυµο παρεµβολής για µη ισαπέχοντα σηµεία Τύπος παρεµβολής του Lagrange Ας υποθέσουµε τώρα ότι τα σηµεία παρεµβολής δεν ισαπέχουν. Για να ϐρούµε το πολυώνυµο παρεµβολής του Lagrange ξεκινάµε από τις σχέσεις Επίσης το p n(x) µπορεί να εκφρασθεί σαν p n(x j) = f j, j = 0(1)n. (21) p n(x) = n L i(x)f i (22) i=0 όπου L i(x), i = 0(1)n πολυώνυµα ϐαθµού n τα οποία καλούνται συντελεστές του Lagrange και ικανοποιούν τις σχέσεις { 1, i = j L i(x j) = i, j = 0(1)n. (23) 0, i j Το p n(x) είναι το Ϲητούµενο πολυώνυµο παρεµβολής, αφού ισχύει p n(x i) = n L j(x i)f j = L i(x i)f i = f i, i = 0(1)n. j=0 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 23 / 55
24 Πολυώνυµο παρεµβολής για µη ισαπέχοντα σηµεία Πολυώνυµο παρεµβολής του Lagrange L i (x) 1 x 0 x 1 x i-1 x i x i+1 x n-1 x n x Σχήµα: Γραφική παράσταση Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 24 / 55
25 Τα x j, j = 0(1)n, j i είναι οι ϱίζες του L i (x) άρα L i (x) = A i (x x 0 )...(x x i 1 )(x x i+1 )...(x x n ). Ο προσδιορισµός της A i γίνεται µε τη ϐοήθεια της πρώτης από τις σχέσεις { 1, i = j L i (x j ) = i, j = 0(1)n. (24) 0, i j έτσι ή L i (x) = (x x 0)...(x x i 1 )(x x i+1 )...(x x n ) (x i x 0 )...(x i x i 1 )(x i x i+1 )...(x i x n ) L i (x) = n j=0 j i (25) x x j x i x j, i = 0(1)n. (26) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 25 / 55
26 Ετσι ο τύπος παρεµβολής του Lagrange είναι ο f(x) = p n (x)+ R n+1 (x), (27) όπου το και R n+1 (x) το σφάλµα, συνεπώς p n (x) = n L i (x)f i i=0 f(x) p n (x). (28) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 26 / 55
27 Παράδειγµα Να ϐρεθεί το πολυώνυµο του Lagrange p 2 (x) για το οποίο f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4. Είναι 2 p 2 (x) = L i (x)f i = L 0 (x) 1+L 1 (x) 2+L 2 (x) 4 i=0 όπου οι συντελεστές του Lagrange είναι L 0 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 1)(x 2) = (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) (0 1)(0 2) L 1 (x) = (x x 0)(x x 2 ) (x 0)(x 2) = (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) (1 0)(1 2) L 2 (x) = (x x 0)(x x 1 ) (x 0)(x 1) = (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) (2 0)(2 1) (x 1)(x 2) =, 2 x(x 2) =, 1 x(x 1) =, 2 Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 27 / 55
28 άρα p 2 (x) = 1 2 (x 1)(x 2) 2x(x 2)+ 1 4x(x 1) 2 = 1 2 x x + 1. Παρατήρηση Οι ανωτέρω υπολογισµοί ϑα αυξηθούν σηµαντικά αν ϑέλουµε να υπολογίσουµε και άλλες τιµές x. Επίσης, η πρόσθεση και άλλων σηµείων παρεµβολής, σε µια προσπάθεια να αυξηθεί η ακρίβεια, ϑα αλλάξει όλους τους συντελεστές του Lagrange και έτσι όλοι οι προηγούµενοι υπολογισµοί χάνονται. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 28 / 55
29 Το σφάλµα στην πολυωνυµική παρεµβολή Μετά την εύρεση του πολυωνύµου παρεµβολής p n(x), που διέρχεται από τα n+1 σηµεία x i, i = 0(1)n, το ερώτηµα που τίθεται είναι το εξής:ποιό είναι το σφάλµα e(x) = f(x) p n(x) για ένα οποιοδήποτε σηµείο x x i, i = 0(1)n, x [a, b]; Θεώρηµα Αν p n(x) είναι το πολυώνυµο το πολύ n ϐαθµού που παρεµβάλει την f(x) C n+1 [a, b] στα n+1 διακεκριµένα σηµεία x i, i = 0(1)n στο [a, b], τότε για κάθε σηµείο x [a, b] όπουξ (a, b). f(x) = p n(x)+ (x x0)(x x1)...(x xn) f (n+1) (ξ) (29) (n+1)! Απόδειξη Επειδή f(x i) = p n(x i), i = 0(1)n, τα σηµεία x i, i = 0(1)n είναι ϱίζες της f(x) p n(x) άρα f(x) p n(x) = (x x 0)(x x 1)...(x x n)a(x). (30) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 29 / 55
30 Εστω x [a, b] οποιοδήποτε σταθερό σηµείο διάφορο των x i, i = 0(1)n. Ορίζουµε τη συνάρτηση Φ(t) = f(t) p n (t) (t x 0 )(t x 1 )...(t x n )A(x). Οι ϱίζες της Φ(t) είναι τα n+2 σηµεία x 0, x 1, x 2,..., x n και x. Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Rolle ηφ έχει τουλάχιστον n+1ϱίζες, ηφ (x) έχει τουλάχιστον n ϱίζες κ.ο.κ. Τέλος, ηφ (n+1) (x) πρέπει να έχει τουλάχιστον µια ϱίζαξ [a, b]. Τότε Φ (n+1) (t) = f (n+1) (t) p (n+1) (t) ( t n+1 + όροι µικρότερων δυνάµεων ) (n+1) A(x) = f (n+1) (t) 0 (n+1)!a(x). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 30 / 55
31 Για t = ξ λαµβάνουµε ή Φ (n+1) (ξ) = 0 = f (n+1) (ξ) (n+ 1)!A(x) A(x) = f(n+1) (ξ) (n+1)!, οπότε αντικαθιστώντας ολοκληρώνεται η απόδειξη του ανωτέρω ϑεωρήµατος. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 31 / 55
32 Το σφάλµα στην πολυωνυµική παρεµβολή f(x) = p n (x)+ R n+1 (x), (31) ή f(x) p n (x) (32) και R n+1 (x) το σφάλµα µε τύπο R n+1 (x) = f(x) p n (x) = (x x 0)(x x 1 )...(x x n ) f (n+1) (ξ) (33) (n+1)! όπουξ (a, b). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 32 / 55
33 Παράδειγµα 1 ίνεται η f(x) = e x για x [0, 1]. Να υπολογιστεί η απόσταση h των σηµείων έτσι ώστε να προσεγγίζεται η f(x) µε γραµµική παρεµβολή (δηλ. µε πολυώνυµο παρεµβολής 1ου βαθµού) και µε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων. Λύση Το σφάλµα στη γραµµική παρεµβολή της f(x) στα x 0 και x 1 δίνεται από την e x p 1 (x) = (x x 0)(x x 1 ) e ξ 2 για κάποιοξ µεταξύ του ελάχιστου και του µέγιστου των x 0, x 1 και x. Υποθέτουµε ότι x 0 < x < x 1 και παρατηρούµε ότι Επίσης (x 1 x)(x x 0 ) 2 e x0 e x p 1 (x) (x 1 x)(x x 0 ) e x1. 2 (x 1 x)(x x 0 )) max = h2 x 0 x x 1 2 8, h = x 1 x 0. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 33 / 55
34 Επιπλέον, e x1 e στο[0, 1] και e x p 1 (x) h2 e 8, 0 x 1 το οποίο είναι ανεξάρτητο των x 0, x 1 και x. Αν επιθυµούµε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων τότε το h ϑα επιλεγεί έτσι ώστε ή h 2 e d h 2 10 d e. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 34 / 55
35 Παράδειγµα 2 ίνεται η f(x) = e x για x [0, 1]. Να υπολογιστεί η απόσταση h των σηµείων έτσι ώστε να προσεγγίζεται η f(x) µε τετραγωνική παρεµβολή (δηλ. µε πολυώνυµο παρεµβολής 2ου βαθµού) και µε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων. Λύση Το σφάλµα στη τετραγωνική παρεµβολή της f(x) στα x 0, x 1, x 2 δίνεται από τόν τύπο e x p 2 (x) = (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) e ξ. 3! Για την παρεµβολή υποθέτουµε h = x 1 x 0 = x 2 x 1 και x 0 < x < x 2. Εχουµε e x p 2 (x) (x x 0)(x x 1 )(x x 2 ) e 1. 6 Ας υποθέσουµε x 1 = 0, τότε x 0 = h και x 2 = h, στην ειδική αυτή περίπτωση έχουµε (x + h)x(x h) w 2 (x) = = x3 xh Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 35 / 55
36 Σχήµα 2. w 2 (x) = x3 xh 2. 6 y -h h x y=w 2 (x) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 36 / 55
37 Για την εύρεση του µέγιστου της w 2 (x)(ϐλ. σχήµα 2), έχουµε w 2 (x) = 3x2 h 2 6 = 0 οπότε x = ±h/ 3 και Συνεπώς w 2 (± 3 h ) = h e x p 2 (x) h3 9 3 e 0.174h3, το οποίο είναι µικρότερο από το σφάλµα που ϐρέθηκε στη γραµµική παρεµβολή. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 37 / 55
38 Αν επιθυµούµε ακρίβεια d δεκαδικών ψηφίων, τότε το h ϑα επιλεγεί έτσι ώστε h 3 e d ή h e10 3 d 10. d Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 38 / 55
39 Πολυώνυµο παρεµβολής του Newton για µη ισαπέχοντα σηµεία ιηρηµένες διαφορές Για τα µη ισαπέχοντα σηµεία (x i, f i ), i = 0(1)n, ορίζονται ως εξής: 0 τάξης f[x i ] = f i (34) 1ης τάξης n τάξης f [x 0, x 1 ] = f[x 1] f[x 0 ] x 1 x 0 (35) f [x 0, x 1, x 2,...,x n ] = f[x 1, x 2,..., x n ] f[x 0, x 1,...,x n 1 ] x n x 0 (36) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 39 / 55
40 Ο πίνακας των διηρηµένων διαφορών για τα (x i, f i ), i = 0(1)3 είναι ο ακόλουθος : x f(x) 1ης τάξης 2ης τάξης 3ης τάξης x 0 f[x 0 ] f [x 0, x 1 ] = f[x 1 ] f[x 0 ] x 1 x 0 x 1 f[x 1 ] f [x 0, x 1, x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] = f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 0,x 1,x 2 ] x 3 x 0 f [x 1, x 2 ] = f[x 2 ] f[x 1 ] x 2 x 1 x 2 f[x 2 ] f [x 1, x 2, x 3 ] = f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 f [x 2, x 3 ] = f[x 3 ] f[x 2 ] x 3 x 2 x 3 f[x 3 ] Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 40 / 55
41 Παράδειγµα Να κατασκευαστεί ο πίνακας των διηρηµένων διαφορών των σηµείων (0,0), (2,4), (3,9) και (5,25). Λύση x f(x) 1ης τάξης 2ης τάξης 3ης τάξης Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 41 / 55
42 Πολυώνυµο παρεµβολής του Newton µε διηρηµένες διαφορές Το ερώτηµα που τίθεται είναι το εξής: Μπορεί να µετασχηµατιστεί το πολυώνυµο παρεµβολής έτσι ώστε, αν προστεθεί ένα επιπλέον σηµείο παρεµβολής, οι υπολογισµοί να µην χρειάζεται να ξεκινήσουν από την αρχή, αλλά να χρησιµοποιούνται οι προηγούµενοι υπολογισµοί; Ας υποθέσουµε ότι έχουµε το πολυώνυµο παρεµβολής P k (x) ϐαθµού k που παρεµβάλει στα σηµεία x i, i = 0(1)k και ϑέλουµε να σχηµατίσουµε το πολυώνυµο P k+1 (x) προσθέτοντας ένα επί πλέον σηµείο παρεµβολής x k+1. Επειδή ϑέλουµε επίσης να µην αλλάξουµε και τους προηγούµενους υπολογισµούς µας, απαιτούµε το νέο πολυώνυµο να έχει τη µορφή όπου p k+1 (x) είναι ϐαθµού k + 1. P k+1 (x) = P k (x)+ p k+1 (x), k = 0(1)n (37) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 42 / 55
43 Επειδή τα P k+1 (x) και P k (x) παρεµβάλλουν στα σηµεία x i, i = 0(1)k έχουµε P k+1 (x i ) = P k (x i ), i = 0(1)k (38) άρα p k+1 (x i ) = 0, i = 0(1)k, (39) το οποίο σηµαίνει ότι τα x i, i = 0(1)k είναι ϱίζες του p k+1 (x) συνεπώς το πολυώνυµο αυτό έχει την ακόλουθη µορφή p k+1 (x) = a k+1 (x x 0 )(x x 1 )...(x x k ). (40) Εφαρµόζοντας αναγωγικά την προηγούµενη ισότητα για k = 0(1)n 1, προκύπτει το ακόλουθο πολυώνυµο των διηρηµένων διαφορών του Newton P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 )+...+a n (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 ). (41) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 43 / 55
44 Το P n(x) δύναται να τροποποιηθεί στο ακόλουθο φωλιασµένο σχήµα κατάλληλο για υπολογισµό π.χ. για n = 3 P 3(x) = [[a 3(x x 2)+a 2](x x 0)+a 0]. (42) Για τον υπολογισµό των a i, i = 0(1)n εργαζόµαστε ως εξής. Αφού για x i, i = 0(1)n έχουµε ότι P n(x i) = f i, i = 0(1)n. Συνεπώς για x = x i, i = 0(1)n παράγονται οι ακόλουθες σχέσεις (i = 0) f 0 = a 0 (i = 1) f 1 = a 0 + a 1(x 1 x 0) (i = 2) f 2 = a 0 + a 1(x 2 x 0)+a 2(x 2 x 0)(x 2 x 1) (43).. (i = n) f n = a 0 + a 1(x n x 0)+a 2(x n x 0)(x n x 1)+...+a n(x n x 0)...(x n x n 1) το οποίο είναι ένα τριγωνικό σύστηµα, όπου ο πίνακας των συντελεστών των αγνώστων X είναι µη ιδιάζων καθόσον η ορίζουσα του είναι ίση µε n 1 det(x) = (x i x j), i = 0(1)n. j=0 j i Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 44 / 55
45 Ετσι τα a i, i = 0(1)n ορίζονται µονοσήµαντα, η δε λύση του είναι η a 0 = f 0 a 1 = f 0 f 1 x 0 x 1 = f[x 0, x 1 ] a 2 = f[x 0, x 1 ] (f 0 f 2 )/(x 0 x 2 ) = f[x 0, x 1, x 2 ] (44) x 0 x 2. a n = f[x 0, x 1,..., x n ]. Το πολυώνυµο παρεµβολής των διηρηµένων διαφορών του Newton p n (x) = f[x 0 ]+(x x 0 )f[x 0, x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+...+ (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f[x 0, x 1, x 2,..., x n ]. (45) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 45 / 55
46 Το πολυώνυµο παρεµβολής των διηρηµένων διαφορών του Newton p n (x) = f[x 0 ]+(x x 0 )f[x 0, x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+...+ (x x 0 )(x x 1 )...(x x n 1 )f[x 0, x 1, x 2,..., x n ]. (46) Αλλαγή της σειράς των x i δεν αλλάζει την τιµή µιας διηρηµένης διαφοράς και το σφάλµα στην παρεµβολή χρησιµοποιώντας το p n (x) σε ένα σηµείο x είναι (γιατί;) R n+1 (x) = (x x 0 )(x x 1 )...(x x n )f[x 0, x 1,..., x n, x]. (47) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 46 / 55
47 Θεώρηµα Αν I είναι το µικρότερο διάστηµα που περιέχει όλα τα σηµεία παρεµβολής x i, i = 0(1)n και το τυχόν σηµείο x και η συνάρτηση f(x) C n+1 (I), τότε f[x, x 0,...,x n ] = f(n+1) (ξ) (n+1)! (48) όπουξ I. Απόδειξη Γνωρίζουµε ότι το σφάλµα στην παρεµβολή είναι R n+1 (x) = n (x x i ) f(n+1) (ξ) (n+1)!, ξ I (49) i=0 ενώ για την παρεµβολή του Newton µε διηρηµένες διαφορές δίνεται από την (47), άρα από την εξίσωση των δύο αυτών σχέσεων προκύπτει η (48). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 47 / 55
48 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας τιµών της f(x) x i f i Να ϐρεθεί το πολυώνυµο παρεµβολής του Newton Λύση Το Ϲητούµενο πολυώνυµο ϑα είναι το πολύ ϐαθµού 3 και λόγω της (46) για n = 3 είναι το p 3 (x) = f[x 0 ]+(x x 0 )f[x 0, x 1 ]+(x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]+ (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 )f[x 0, x 1, x 2, x 3 ]. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 48 / 55
49 Πίνακας των διηρηµένων διαφορών x 1 0 f(x) f[,] f[,,] f[,,,] p 3(x) = 0+(x 1) 2+(x 1)(x 2) 1+(x 1)(x 2)(x 4) 0 ή p 3(x) = (x 1)x Παρατήρηση Αν είχαν δοθεί µόνο τα τρία πρώτα σηµεία και στη συνέχεια εισαγόταν το τελευταίο, τότε στο πολυώνυµο παρεµβολής απλά προστίθεται ένας επιπλέον όρος (που στην προκειµένη περίπτωση είναι µηδέν). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 49 / 55
50 Μελέτη του σφάλµατος Το σφάλµα παρεµβολής δίνεται από το τύπο όπου Σχήµα Ψ n(x) = f(x) p n(x) = (x x0)(x x1)...(x xn) f (n+1) (ξ) (n+1)! min(x 0, x 1,...,x n) < ξ < max(x 0, x 1,...,x n). y y=r n+1 (x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 50 / 55
51 Σχήµα y y=r n+1 (x) x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Παρατήρηση Η γραφική παράσταση του σφάλµατοςψ n (x) παρουσιάζεται στο ανωτέρω σχήµα από το οποίο παρατηρούµε ότι το σφάλµα γίνεται µικρότερο όταν το x είναι πλησίον τον µέσου. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 51 / 55
52 Παρεµβολή µε κυβικές splines Εστω το σύνολο των σηµείων X n = {x j }, j = 0, 1,..., n όπου a = x 0 < x 1 <... < x n = b και το σύνολο των τιµών{f(x j )}, j = 0, 1,..., n. Ζητείται να ϐρεθεί η συνάρτηση η οποία διέρχεται από τα σηµεία P j = (x j, f(x j )), 0 j n. Εστω το σύνολο όλων των συναρτήσεων Sp(X n ) τέτοιες ώστε αν S(x) Sp(X n ) τότε η S(x) ικανοποιεί τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: 1 S(x) C 2 [a, b] δηλαδή οι S(x), S (x) και S (x) είναι συνεχείς στο [a, b]. 2 S(x j ) = f(x j ) f j, 0 j n, δηλαδή η S(x) παρεµβάλλει την f(x) στο[a, b]. 3 S(x) είναι ένα πολυώνυµο 3ου ϐαθµού σε κάθε υποδιάστηµα [x j, x j+1 ], 0 j n 1. Η συνάρτηση S(x) που ικανοποιεί τις (1), (2) και (3) λέγεται µία κυβική spline. Οµοια µπορούµε να ορίσουµε splines µεγαλύτερης τάξης. Παρατηρούµε ότι η S(x) µπορεί να είναι διαφορετική σε κάθε υποδιάστηµα, έτσι συµβολίζουµε µε S j (x) το κυβικό πολυώνυµο τέτοιο ώστε S(x) = S j (x) για x [x j, x j+1 ], 0 j n 1. Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 52 / 55
53 ...Παρεµβολή µε κυβικές splines Επειδή κάθε S j(x) είναι πολυώνυµο τρίτου ϐαθµού και όλες οι παράγωγοί του είναι συνεχείς για κάθε x (x j, x j+1) στο αντίστοιχο ανοικτό διάστηµα, έτσι τα σηµεία που µας ενδιαφέρουν στο [x 0, x 3] είναι τα εσωτερικά x 1 και x 2 όπου τα κυβικά πολυώνυµα πρέπει να συµπίπτουν µε δευτέρου ϐαθµού συνέχεια. Εχοντας αυτό υπόψη ας εργαστούµε από τα αριστερά προς τα δεξιά στο [a, b] [x 0, x 3] και ας προσδιορίσουµε τον αριθµό των εξισώσεων οι οποίες πρέπει να ικανοποιούνται. Επειδή η S(x) πρέπει να παρεµβάλει σε κάθε x j και να είναι συνεχής στα x 1 και x 2 έχουµε ότι πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω έξι εξισώσεις S 0(x 0) = f 0, S 1(x 1) = f 1, S 0(x 1) = S 1(x 1) S 2(x 2) = f 2, S 1(x 2) = S 2(x 2) και S 2(x 3) = f 3. (50) Τέλος, επειδή οι S (x) και S (x) πρέπει επίσης να είναι συνεχείς στα x 1 και x 2 έχουµε S 0(x 1) = S 1(x 1) S 0 (x 1) = S 1 (x 1) S 1(x 2) = S 2(x 2) S 1 (x 2) = S 2 (x 2). (51) Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 53 / 55
54 ...Παρεµβολή µε κυβικές splines Αρα έχουµε ένα σύνολο δέκα εξισώσεων µε δώδεκα αγνώστους. ιαισθητικά λοιπόν αναµένουµε ότι το σύνολο S p (X n ) είναι µια διπαραµετρική οικογένεια συναρτήσεων. ύο λογικοί τρόποι για να αποκτήσουµε µία καλή προσέγγιση της f(x) είναι να προσδιορίσουµε αυθαίρετα είτε τα S 0 (x 0) και S (x 3 ) ή τα S (x 0 ) και S (x 3 ). Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 54 / 55
55 ' Κατά τµήµατα πολυωνυµική παρεµβολή y 16 y=p(x) ( x j, y ' j) '' ( x j+ 1, yj+ 1) y=q(x) x Σχήµα: Κατά τµήµατα πολυωνυµική παρεµβολή Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 55 / 55
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 19 εκεµβρίου 2015 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 36 Αριθµητική Παραγώγιση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότερα15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64
15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Εστω f πραγµατική συνάρτηση, της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x i ) σε n+1 σηµεία xi
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 5 Πολυωνυµική παρεµβολή Εστω f πραγµατική συνάρτηση της οποίας είναι γνωστές µόνον οι τιµές f(x ) σε + σηµεία x = του πεδίου ορισµού της Το πρόβληµα εύρεσης µιας συνάρτησης φ (από
Διαβάστε περισσότερα1 Πολυωνυµική Παρεµβολή
1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β
Διαβάστε περισσότεραΠαρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 6 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 6 1 / 96 Αριθµητική Ολοκλήρωση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 21Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 1 εκεµβρίου 15 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 1Υπολογισµοί) εκεµβρίου
Διαβάστε περισσότερατη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n
Διαβάστε περισσότεραL = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε
ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:
ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 4 Νοεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) 4
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010
Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι
Διαβάστε περισσότεραx(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 2 1 / 115 ΕΝΟΤΗΤΑ 2
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών
Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΗ ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Διαβάστε περισσότεραAριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου
Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή
Κεφάλαιο 6. Αριθμητική παρεμβολή Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η μέθοδος της Αριθμητικής Παρεμβολής, δηλαδή η εύρεση της τιμής y k μιας συνάρτησης για ένα δεδομένο x k, όταν δεν γνωρίζουμε την
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΟρια Συναρτησεων - Ορισµοι
Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο:
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΣΥΝΗΘΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Έστω [ α, b], f :[ α, b], y. Το τυπικό πρόβληµα αρχικών τιµών που θα µας απασχολήσει, είναι το ακόλουθο: Ζητείται µια συνάρτηση y :[
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8// Γ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαθηµατικά για την Πληροφορική Ι (ΘΕ ΠΛΗ Η ύλη της εργασίας είναι παράγραφοι 6 και 6 από τη Γραµµική Άλγεβρα και Ενότητες,,, από τον Λογισµό
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.
Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία
Διαβάστε περισσότερα.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887
Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Γραφική Απεικόνιση Μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης για την Προσέγγιση κάποιων τιμών ή κάποιας Συνάρτησης με Πολυωνυμική Παρεμβολή Του φοιτητή Κωνσταντίνου Αδαμίδη Αρ. Μητρώου: 0466 Επιβλέπων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2ο. Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson
ΘΕΜΑ 2ο Άσκηση εφαρµογής της µεθόδου Newton Raphson Θέµα 2: Η ακόλουθη αντίδραση πραγµατοποιείται σε έναν αντιδραστήρα αέριας φάσης: H 2 S+O 2 H 2 +SO 2 Όταν το σύστηµα φτάσει σε ισορροπία στους 600Κ και
Διαβάστε περισσότεραx,f με j 012,,,...,n x,x S x f S x είναι 3 ης τάξης οι δεύτερες παράγωγοί τους S x S x y y Μέθοδος κυβικών splines: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα
Μέθοδος κυβικών sples: Έστω ότι έχουμε τα δεδομένα,f με,,,...,,. Για κάθε διάστημα βρίσκουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής 3 ης τάξης S,,..., έτσι ώστε να ισχύουν τα παρακάτω: Συνθήκη Α: S f, S f S Συνθήκη
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)
Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης
Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραf x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 8. , δέχεται εφαπτοµένη στο σηµείο της ( k, f ( k)), k D
Μάθηµα 8 Κεφάλαιο : ιαφορικός Λογισµός Θεµατικές Ενότητες: Εξίσωση Εφαπτοµένης Η προϋπόθεση ύπαρξης εφαπτοµένης (ένα κατά συνθήκη ψεύδος) και η εξίσωσή της Η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης µε πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΤελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραc(2x + y)dxdy = 1 c 10x )dx = 1 210c = 1 c = x + y 1 (2xy + y2 2x + y dx == yx = 1 (32 + 4y) (2x + y)dxdy = 23 28
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. (α) Εχουµε ότι : 6 5 x= y= 6 x= 6 x= c(x + y)dxdy = ) c
Διαβάστε περισσότερααx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x
A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός
Διαβάστε περισσότεραµηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;
ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Έστω µια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος του Rolle στο διάστηµα [α, β]. Τότε θα υπάρχει ξ (α, β), ώστε η εφαπτοµένη της C f στο (ξ, f (ξ))
Διαβάστε περισσότεραP(Ο Χρήστος κερδίζει) = 1 P(Ο Χρήστος χάνει) = 1 P(X > Y ) = 1 2. P(Ο Χρήστος νικά σε 7 από τους 10 αγώνες) = 7
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 28 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης: 3/2/28 Ηµεροµηνία Παράδοσης: 7/2/28
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72
Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας
Διαβάστε περισσότεραf x και τέσσερα ζευγάρια σημείων
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΣυµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί
Διαβάστε περισσότερα1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1
1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΚεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Διαβάστε περισσότεραA2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
Διαβάστε περισσότερα