2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Β Λυκει(ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκείου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου Β Λυκει(ου Β Λυκει(ου [Πληκτρολογήστε κείμενο] Σελίδα

2 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Πολυώνυμα Ορισμοί : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ν Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx, όπου α R: συντελεστής x : μεταβλητή v N : εκθέτης του x Μονώνυμο του x καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. Παράδειγμα : x, x, x, 7,, Πολυώνυμο του x λέμε κάθε παράσταση της μορφής : v v α x + α x α x+ α, όπου v v α,α,...,α R: συντελεστές v x : μεταβλητή v N : εκθέτης του x v v Τα μονώνυμα αvx,αv x,...,α x,α λέγονται όροι του πολυωνύμου, ειδικότερα α λέγεται σταθερός όρος. ο Τα πολυώνυμα της μορφής α λέγονται σταθερά πολυώνυμα. Το σταθερό πολυώνυμο λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με : P(x), Q(x), A(x), B(x),f(x),... Βαθμός του πολυωνύμου P(x) α x α x... α x α v v = v + v με v α, ονομάζεται ο μεγαλύτερος εκθέτης του x εφόσον ο συντελεστής του x είναι διάφορος του μηδέν. Άρα ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) είναι ο θετικός ακέραιος v. Τα σταθερά πολυώνυμα α έχουν βαθμό. Το μηδενικό πολυώνυμο, δεν έχει βαθμό. Δυο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν είναι του ιδίου βαθμού και οι συντελεστές όλων των ομοβάθμιων όρων τους είναι ίσοι. Έστω δυο πολυώνυμα µ µ v P(x) = α x + α x +...α x α x+ α και µ µ v Q(x) = β x + β x β x+ β, με µ v, θα λέμε ότι είναι ίσα όταν : v v v v α = β,α = β,...,α v = βv και α = α =... = α = v+ v+ µ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

3 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P(x) = α x + α x α x+ α, για v v v v v v x= ρ, λέγεται ο αριθμός P(ρ) = αρ + α ρ αρ+ α. v v Αν P(ρ) = τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου P(x). Πρόταση : Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x και αντίστροφα. Πρόταση : Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x και αντίστροφα. Πράξεις με πολυώνυμα Πρόσθεση - Αφαίρεση Προσθέτουμε ή αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Αν το άθροισμα ή η διαφορά δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο τότε ο βαθμός του είναι μικρότερος ή ίσος από το μέγιστο βαθμό των δυο πολυωνύμων. Πολλαπλασιασμός Πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. Λυμένα παραδείγματα: Για τις διάφορες τιμές του m R, να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) = m 9m x + m m x + m x+ 9 m. Διακρίνω περιπτώσεις για τον συντελεστή της μεγαλύτερης δύναμης του x. m I) m 9m m( m 9) m( m )( m+ ) m m Τότε το P(x) είναι ου βαθμού. II) ου m= P(x) = 8x 6x, βαθµουɺ ɺ m= P(x), εν οριζεται ɺ βαθµος ɺ ου m 9m=... m= P(x) = x+ 9, βαθµου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

4 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Για ποια τιμή του α R, τα πολυώνυμα Q(x) = α + 4 x + α x + α α x+ είναι ίσα. P(x) = 5αx x+ α και Θα πρέπει οι συντελεστές των ομοβάθμιων όρων να είναι ένας προς έναν ίσοι. α + 4= 5α α 5α + 4= α= ηɺ α= 4 α = α = α= ηɺ α= Άρα α α = α α + = α= ηɺ α= α= α= Επομένως η κοινή λύση είναι α = P(x) = α 6α+ 8 x + β x + 4 α x+ + β. Για Δίνεται το πολυώνυμο ποιες τιμές των α, β R το πολυώνυμο είναι το μηδενικό. Για να είναι το P(x) το μηδενικό πολυώνυμο θα πρέπει όλοι οι συντελεστές του να είναι ένας προς έναν ίσοι με. α 6α + 8= α= ηɺ α= 4 4 α = α= 4 Επομένως β = β = ηɺ β = β + = β= Τελικά η κοινή λύση είναι α= 4,β= 4 Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το x = και για κάθε x R ισχύει P(x+ ) = P(x) 5 () Να βρεθεί η αριθμητική τιμή P(). Αφού το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το x = έχουμε ότι P() = Από τη σχέση () για x = έχουμε: P(5) = P() 5 P(5) = 5 Από τη σχέση () για x = 5 έχουμε: P() = P(5) 5 P() = ( 5) 5= 5 Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το x = να βρεθεί μια ρίζα του πολυωνύμου Q(x) P(5x 8) = + () Αφού το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το x = έχουμε ότι P() = Παρατηρούμε ότι για x = - στη σχέση () έχουμε: Q( ) = P 5( ) + 8 Q( ) = P() = Άρα το x = - είναι ρίζα του Q(x) ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

5 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 6 Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) ου βαθμού με ρίζες το - και το και αριθμητική τιμή - για x =. Έστω P(x) = αx + βx+ γ, α,β,γ R η μορφή του ζητούμενου πολυωνύμου. Αφού το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το x = - έχουμε ότι: P( ) = α( ) + β( ) + γ= α β+ γ= () Αφού το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το x = έχουμε ότι: P() = α + β + γ= 4α+ β+ γ= () Αφού η αριθμητική του τιμή για x = είναι - έχουμε ότι: P() = α + β + γ= α+ β+ γ= () Από τις σχέσεις (),(),() λύνοντας το σύστημα έχουμε ότι: α=, β=, γ= Άρα το ζητούμενο πολυώνυμο είναι 7 P(x) = x x 5 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = ( x + ) + ( x + x ) Ποιος ο βαθμός του πολυωνύμου; Να βρεθεί ο σταθερός του όρος και το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου. Ο βαθμός του πολυωνύμου μετά από την ανάπτυξη των ταυτοτήτων είναι deg P(x) = Ο σταθερός όρος του πολυωνύμου ισούται με την αριθμητική τιμή P() 5 Άρα έχουμε: α = P() = = 8 + ( ) = 4 Το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου ισούται με την αριθμητική τιμή P() 5 Άρα έχουμε: 9 α + α α = P() = = 7 ΣΧΟΛΙΟ : Όταν ένα πολυώνυμο βρίσκεται σε πεπλεγμένη μορφή για να βρούμε : Το σταθερό του όρο θέτουμε όπου x = και έχουμε : α = P(). Το άθροισμα των συντελεστών του θέτουμε όπου x= και έχουμε : α +α α +α = P() ν ν 8 Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x + x Να βρεθεί το πολυώνυμο Q(x) = P(x) P(x ) Ποιες είναι οι ρίζες του Q(x); Έχουμε Q(x) = (x) + x (x ) + (x ) ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4

6 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Q(x) = 4x + x (x x+ ) + (x ) Q(x) = 4x + x x + x x+ + Q(x) = x + x Οι ρίζες του Q(x) βρίσκονται από τη λύση της εξίσωσης: x= x= Q(x) = x + x= x(x+ ) = x + = x = 9 Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) ου βαθμού τέτοιο ώστε να ισχύουν: P() και P(x ) P(x) x = + =. ν ν+ Έπειτα να δειχθεί ότι: ν =, ν N Έστω P(x) = αx + βx+ γ, α,β,γ R, α Αφού P(x) = αx + βx+ γ, α,β,γ R, α P() = α + β + γ= γ= Άρα P(x) = αx + βx Επειδή P(x+ ) P(x) = x α(x+ ) + β(x+ ) αx + βx = x αx + αx+ α+ βx+ β αx βx= x αx+ α+ β= x Από την ισότητα πολυωνύμων έχουμε : α = α= και α+ β= β= Άρα P(x) = x x= x( x ) Αν στη σχέση P(x+ ) P(x) = x θέσουμε όπου x διαδοχικά τους αριθμούς,,,.,ν-,ν έχουμε : Για x = P() P() = Για x = P() P() = Για x = P(4) P() = Για x = ν- P(ν) P(ν ) = ν Για x = ν P(ν+ ) P(ν) = ν Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχουμε: P(ν+ ) P() = ν ν(ν+ ) Όμως P() = και P(ν+ ) = ν( ν+ ) Άρα ν= ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5

7 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει : [ ] 4 P(x) = x x + 5x 4x+ 4. Να γραφεί το πολυώνυμο P(x) = x 7x+ 5 στη μορφή : P(x) = α(x )(x+ ) + βx(x ) + γ(x )(x+ ) 4. Για τις διάφορες τιμές του m R, να βρεθεί ο βαθμός του πολυωνύμου P(x) = (m 7m + m)x (m )x+. 5. Για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών α, β και γ τα πολυώνυμα P(x) = α+β x + β γ x+ 4 και Q(x) = α+β γ x + x α+γ x+ α+β είναι ίσα; 6. α) Να βρεθεί πολυώνυμο P(x), ου βαθμού, τέτοιο ώστε να ισχύει P() = και P(x) P(x ) = x. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα : S(v) = v, v N. 7. α) Να βρείτε τα α,β R για τα οποία ισχύει : = α + β x x+ x x+. β) Να υπολογίσετε το άθροισμα : v v+. Να βρεθεί ο σταθερός όρος και το άθροισμα των συντελεστών του 7 6 πολυωνύμου P(x) ( x x ) ( x x ). Δίνεται το πολυώνυμο πολυωνύμου P( P(x) ) = P(x) = x + x+. Να βρεθεί ο βαθμός του 4 x.. Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) αν για κάθε x R ισχύει : P(x ) = x x+. Αν το πολυώνυμο P(x) έχει ρίζα το, να βρεθεί μια ρίζα του πολυωνύμου Q(x) = P(x ). 4. Το πολυώνυμο P(x) = α x + α x α x+ α έχει ρίζα τον αριθμό v v v v ρ R. Αν ισχύει P(α ) =, να δείξετε ότι ο ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου ( ) Q(x) = P P P(x). ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 6

8 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 5. Για το πολυώνυμο P(x) ισχύει P()= και P( x ) = P(x ) + 4, για κάθε x R. Να βρεθεί το P(4). 6. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α το πολυώνυμο P(x) = α x + α α+ x + α 5α+ 4 x+ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο; 7. Να βρεθεί πολυώνυμο P(x) τέτοιο ώστε: [ ] P(x) + P(x) + x= 9x Διαίρεση πολυωνύμων Θεώρημα (ταυτότητα της διαίρεσης): Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων (x) και δ(x), υπάρχει μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων ð( x ) και υ(x), Τέτοια ώστε : (x) = δ(x) π(x) + υ(x) όπου το υ(x)ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Το (x) λέγεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το ð( x ) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο. Αν το υπόλοιπο υ(x) =, τότε η διαίρεση είναι τέλεια και λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το (x) ή το δ(x) είναι παράγοντας ή διαιρέτης του (x). Θεώρημα : Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x ρ είναι ίσο με την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x= ρ, είναι δηλαδή υ= P(ρ) και η ταυτότητα της διαίρεσης γίνεται : P(x) = x ρ π(x) + P(ρ) Θεώρημα : Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή αν και μόνο αν P(ρ) =. Μέθοδοι υπολογισμού του πηλίκου και του υπόλοιπου Με τον αλγόριθμο της διαίρεσης Λυμένο παράδειγμα: Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύμου πολυώνυμο 4 (x) = 4x + x + x x+ με το δ(x) = x +. Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 7

9 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 4x 4 +x +x - x+ x + - 4x 4-8x 4x +x - 7 x - 7x - x+ -x - 6x - 7x - 9x + 7x +4-9x+5 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι : 4x 4 + x + x x+ = x + 4x + x 7 + 9x+ 5 Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Από την διαίρεση (x) = δ(x) π(x) + υ(x) και τον ορισμό της ισότητας δυο πολυωνύμων προκύπτει ότι ο βαθμός του πηλίκου ð( x ) είναι ίσος με την διαφορά των βαθμών του διαιρέτη δ(x) από τον διαιρετέο (x) και ότι ο βαθμός του υπολοίπου υ(x) είναι μικρότερος από το βαθμό του διαιρέτη δ(x) ή το υπόλοιπο είναι υ(x) =. Επομένως * βαθμόςπ(x)=βαθμό (x) - βαθμόδ(x) * βαθμός υ(x) <βαθμό δ(x) ή υ(x) = Λυμένο παράδειγμα: Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 4 (x) = 4x + x + x x+ με το πολυώνυμο δ(x) = x +. βαθμόςπ(x)=βαθμό (x) - βαθμόδ(x)=4 - =. Άρα το πηλίκο είναι της μορφής π(x) = αx + βx+ γ. βαθμόςυ(x)<βαθμόδ(x)=. Άρα το υπόλοιπο είναι ου βαθμού το πολύ. Άρα το υπόλοιπο είναι της μορφής υ(x) = kx+ λ. όπου α,β,γ, k,λ R. Από την ταυτότητα της διαίρεσης : (x) = δ(x) π(x) + υ(x) προκύπτει ότι : 4 4x + x + x x+ = x + αx + βx+ γ + kx+ λ = x x x x αx βx γ α x β k x γ λ α= 4 α = 4 β= β= γ+ α = γ= 7 β+ k = k = 9 γ+ λ= λ= 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 8

10 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Επομένως π ( x) = 4x + x 7 και υ(x) = 9x+ 5. Σχήμα Horner : Το χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να κάνουμε διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) μ ένα πολυώνυμο ου βαθμού της μορφής x ρ. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x ρ είναι υ= P(ρ). Λυμένα παραδείγματα: 4 Αν P(x) = x + 4x + x x+ 9, να βρεθεί η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x=. Θεωρώ την διαίρεση του P(x) με το x+. Το υπόλοιπο είναι το υ= P( ). P(x) x ρ 4-9 ρ= π(x) υ= P(ρ) Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με ( x ) δίνει υπόλοιπο 7 και διαιρούμενο με ( x+ ) δίνει υπόλοιπο. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο ( x )( x+ ). Η διαίρεση P(x): ( x ) δίνει υπόλοιπο υ= P() = 7 και αντίστοιχα η διαίρεση P(x): ( x+ ) δίνει υπόλοιπο υ= P( ) =. Θεωρώ τη διαίρεση x x+ P(x): η οποία δίνει υπόλοιπο υ(x), με βαθμ.υ(x) ή αν η διαίρεση είναι τέλεια το υπόλοιπο δεν έχει βαθμό. Σε κάθε περίπτωση η μορφή του υπολοίπου θα είναι : υ(x) = kx+ λ, k,λ R. Άρα η εξίσωση της παραπάνω διαίρεσης είναι : P(x) = x x+ π(x) + kx+ λ ( ) Για x= η () γίνεται : P() = ( ) ( + ) π() + k + λ 7= k + λ () Για x= η () γίνεται : P( ) = ( ) ( + ) π() k+ λ = k+ λ () ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9

11 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Λύνουμε το σύστημα των () και () κι έχουμε : k + λ = 7 k =... k+ λ = λ= Επομένως το υπόλοιπο είναι : υ(x) = x+. 4 Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντες τα x α και x β, με α β, να δείξετε x α x β είναι παράγοντας του P(x). ότι και το Εφόσον τα πολυώνυμα x α και x β είναι παράγοντες του P(x) άρα θα έχουμε : P(α) = και P(β) =. Θεωρούμε τη διαίρεση P(x) : x α x β η οποία θα έχει πηλίκο π(x) και υπόλοιπο της μορφής υ(x) = kx+ λ, με k,λ R διότι ο διαιρέτης είναι ου βαθμού και η ταυτότητα της διαίρεσης θα είναι : P(x) = x α x β π(x) + k x+ λ () Για x = α η () γίνεται : P(α) = α α α β π(α) + kα+ λ = kα+ λ () Για x= β η () γίνεται : P(β) = ( β α)( β β) π(α) + kβ+ λ = kβ+ λ () Λύνοντας το σύστημα των () και () έχουμε με αφαίρεση κατά μέλη : α β = + και επομένως η διαίρεση P(x) :( x α)( x β) kα kβ= k α β = k= και λ= Άρα υ(x) x είναι τέλεια. 5 Αν το πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με το f (x) = x x δίνει υπόλοιπο x, να βρεθούν τα υπόλοιπα της διαίρεσης του P(x) με το x+ και το x. Παρατηρούμε ότι f (x) = x x = ( x+ )( x ) Από την ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) με το f(x) έχουμε P(x) = x+ x π(x) + x () Για x = - από την () έχουμε: P( ) = + π( ) + P( ) = 4 Άρα ( ) υ P(x) : x+ = P( ) = 4 Για x = από την () έχουμε: P() = + π() + P() = 8 Άρα υ P(x) : x = P() = 8 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

12 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 6 ν Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο (τέλεια ) με το f (x) = x x+. ν P(x) = x + x, ν N διαιρείται Παρατηρούμε ότι f (x) = x x+ = ( x )( x ) ν ν ν Επειδή P() = + = = το είναι ρίζα του P(x), άρα το x- είναι παράγοντας του P(x). ν ν ν Επειδή P() = + = = το είναι ρίζα του P(x), άρα το x- είναι παράγοντας του P(x). Αφού x- και x- είναι παράγοντες του P(x) άρα και το γινόμενό τους θα είναι παράγοντας του (βλέπε παράδειγμα 4). f (x) = x x+ = x x. Άρα το P(x) διαιρείται (τέλεια) με το 7 Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο μορφής x ρ όπου ρ R. 8 6 P(x) = x + 5x + 7 δεν έχει παράγοντες της Έστω ότι υπάρχει ρ Rτέτοιο ώστε το x ρ να είναι παράγοντας του P(x). Τότε θα ήταν το ρ ρίζα του P(x) δηλαδή P(ρ) =. 8 6 Όμως P(ρ) = ρ + 5ρ + 7 > για κάθε ρ R Άρα καταλήξαμε σε άτοπο, άρα το πολυώνυμο δε μπορεί να έχει παράγοντες της μορφής x ρ. ΣΧΟΛΙΟ: Όταν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου είναι μη αρνητικοί αριθμοί και ο σταθερός του όρος καθαρά θετικός αριθμός ( δηλαδή για κάθε τιμή της μεταβλητής το πολυώνυμο είναι καθαρά θετικός αριθμός ) τότε το πολυώνυμο δε μπορεί να έχει πραγματικές ρίζες, άρα και παράγοντες της μορφής x ρ. Όμοια και για τα πολυώνυμα τα οποία για κάθε τιμή της μεταβλητής x η 6 τιμή του είναι καθαρά θετικός αριθμός, π.χ το P(x) = x x 8 Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντες όλους του παράγοντες του P(x) = x+ + 4 x+ x 5 Q(x) = x + x+. Επειδή Q(x) = x + x+ = (x+ )(x+ ) οι παράγοντες του Q(x) είναι το x + και το x +. Για να είναι αυτοί και παράγοντες του P(x) πρέπει το και το να είναι ρίζες του P(x). Πράγματι P( ) = ( ) 5= 4 4= και P( ) = = = ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

13 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΣΧΟΛΙΟ: Αν όλοι οι παράγοντες ενός πολυωνύμου Q(x) είναι της μορφής x ρ (πρώτου βαθμού) διαφορετικοί όλοι μεταξύ τους, τότε για να δείξω ότι είναι και παράγοντες ενός άλλου πολυωνύμου P(x) αρκεί να δείξω ότι οι ρίζες όλων αυτών των παραγόντων είναι και ρίζες του P(x). Να βρεθούν οι α,β R αν το πολυώνυμο P(x) = x + αx + x+ β έχει παράγοντα το πολυώνυμο ( x ). Ποιο το πηλίκο της διαίρεσης του P(x) με το ( x ). Εφόσον ( x ) παράγοντας του P(x), τότε P(x) = x π(x) P(x) = x x π(x). () Άρα η διαίρεση x P(x): Q( x) = = και ισχύει δίνει πηλίκο Q(x), υπόλοιπο υ P() P(x) = x Q(x) () Λόγω της () όμως ισχύει ότι : Q(x) = (x )π(x) (). Άρα Q() =. (4) Θεωρώ τη διαίρεση P(x): ( x ) (σχήμα Horner). P(x) x ρ α β ρ= 6 α+8 9α+9 α+6 α+ 9α+β+9 Επομένως Q(x) = x + (α+ 6)x+ α +. Από την (4) έχουμε : Q() = + (α+ 6) + α+ = Q(x) υ= P() = 9α+ β+ 9= (5) 8+ α+ 8+ α+ = 6α = 66 α= Από τη (5) έχουμε : α= 9α + β+ 9= 99+ β+ 9= β= 9 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

14 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Επομένως Άρα Q(x) x 5x =. Η διαίρεση Q(x): ( x ) δίνει πηλίκο το π(x). Q(x) = x 5x x x + 6x x+ x x+ Άρα π(x) = x+ Να βρεθούν οι α,β R αν το πολυώνυμο 4 P(x) = x +α x + β x x+ έχει παράγοντα το πολυώνυμο x και η διαίρεση του P(x) με το x+ δίνει υπόλοιπο ίσο με. Εφόσον το x είναι παράγοντας του P(x) άρα P() = 4 +α + β + = +α+β + = α+β= () Εφόσον η διαίρεση του P(x) με x+ δίνει υπόλοιπο άρα P( ) = 4 ( ) +α( ) + β ( ) ( ) + = α+β + + = α+β= 7 () Λύνουμε το σύστημα των () και () και έχουμε : α+β= α= α+β= 7 β= 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης : α) ( x 4 x + 5x 7x+ ) : ( x x+ ) β) ( x 6 x) :( x + ) γ) ( x + x + x + x+ ) :( x+ ) 6 4. Δίνονται τα πολυώνυμα α) Να γίνει η διαίρεση P(x) : Q( x) 4 P(x) = x x 7x + αx+ β και Q( x)= x x+ 5 β) Να βρεθούν τα α,β R ώστε το Q( x) παράγοντας του P(x). 4. Να βρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : α) ( x 4 x + 5x + 6x ) : ( x+ ) β) ( x 99 4x x 9 6x 9 + ) : ( x ) 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x x v ) = ( ) + x, v N + με το πολυώνυμο δ(x) = x. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

15 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 7. Να βρεθεί το λ R, ώστε το πολυώνυμο 4 P(x) = λ x λx+, να έχει παράγοντα το x. Να βρεθεί έπειτα και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x ) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P(x)= x 9x + 8x 8x + 8x έχει παράγοντα το ( x ).. Αν το πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντες τα x και x+, να δείξετε ότι και το πολυώνυμο x + x 6 είναι παράγοντας του P(x).. Να βρείτε τα λ,µ R, ώστε το τριώνυμο x 5x+ 4 να διαιρεί το πολυώνυμο 4 P(x) = x x + µx+ λ.. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β αν το πολυώνυμο P(x) x αx 4x β = έχει παράγοντα το πολυώνυμο ( x ). 4. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με ( x ) δίνει υπόλοιπο 8 και διαιρούμενο με ( x+ ) δίνει υπόλοιπο 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο ( x )( x+ ). 5. Οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου P(x) με τα διώνυμα ( x+ ) και ( x ) δίνουν υπόλοιπα και 4 αντίστοιχα. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : ( x x ). 7. Έστω το πολυώνυμο P(x) με P() =, P() = και P( ) =. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : ( x x x) +.. Να βρεθούν οι α,β R, ώστε το ( x+ ) να είναι παράγοντας του πολυωνύμου P(x) = x αx + (α+ β)x. 6. Για το πολυώνυμο P(x) ισχύει P() = και P(x+ ) = P(x) +, για κάθε x R. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το ( x 7). P(x) = x x x Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο έχει παράγοντες όλους του παράγοντες του Q(x) = x 5x Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε το πολυώνυμο 7 5 P(x) = α x+ + β x+ 4 + x να έχει παράγοντες όλους του παράγοντες του Q(x) = x + 7x+. 9. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε το πολυώνυμο να έχει παράγοντα το πολυώνυμο x +. P(x) = x + αx + βx 6 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4

16 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Ορισμοί : Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής : v v α x + α x α x+ α =,α v v v Ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζεται κάθε ρίζα του πολυωνύμου v v P(x) = αvx + αv x αx+ α, δηλαδή κάθε αριθμός ρ για τον οποίο ισχύει P(ρ) =. Επίλυση πολυωνυμικής εξίσωσης Η επίλυση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης P(x) =, γίνεται με παραγοντοποίηση και αναγόμαστε στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού από την αρχική. P(x) = P (x) P (x)... P (x) = k P (x) = P (x) = P k(x) = Λυμένα παραδείγματα Να λυθεί η εξίσωση : x 7x+ 6=. x 7x 6 x x 6x 6 + = + = x x 6 x = x x x+ 6 x = x = x= x x + x 6 = ηɺ ηɺ x + x 6= x = ηx ɺ = Θεώρημα ακεραίων ριζών: Έστω η πολυωνυμική εξίσωση v v αvx+ αv x αx+ α= με ακέραιους συντελεστές α i Z, i =,,...,v. Αν ο ακέραιος ρ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5

17 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Παρατήρηση : Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Όποιος ακέραιος διαιρεί τον α δεν είναι υποχρεωτικά και ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης. Παρατήρηση : Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) =, με ακέραιους συντελεστές βρίσκουμε όλους τους διαιρέτες του σταθερού όρου α και ελέγχουμε αν για κάποιους από αυτούς ισχύει P(ρ) =. Να λυθεί η εξίσωση : x 7x+ 6=. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ±, ±, ±, ± 6 Παρατηρούμε ότι το P()=. P(x) x -7 6 ρ= 6-6 π(x) υ= P() = Επομένως η εξίσωση γίνεται : x 7x+ 6= x x + x 6 = = ɺ x η x x 6 + = x= ηɺ x= ηɺ x= 4 Να δειχθεί ότι η εξίσωση 5 x αx+ =,α Z δεν έχει ακέραιες ρίζες. Οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι ±, ± Αν το ήταν ρίζα της τότε θα έπρεπε να την επαληθεύει άρα: 5 4 α + = α = 4 α= Z που είναι άτοπο αφού α Z Αν το - ήταν ρίζα της τότε θα έπρεπε να την επαληθεύει άρα: 5 4 ( ) α ( ) + = α = 4 α= Z που είναι άτοπο. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 6

18 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Αν το ήταν ρίζα της τότε θα έπρεπε να την επαληθεύει άρα: ( + ) + α + = 9α = + α= = = Z 9 9 που είναι άτοπο αφού α Z Αν το - ήταν ρίζα της τότε θα έπρεπε να την επαληθεύει άρα: ( ) 5 5 α + = 9α = α= = = Z που είναι άτοπο αφού α Z. 9 9 Επίλυση πολυωνυμικών ανισώσεων Όταν θέλουμε να επιλύσουμε μια πολυωνυμική ανίσωση P(x) > ή P(x) <, τότε : Λύνουμε με παραγοντοποίηση την πολυωνυμική εξίσωση P(x) =. Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου. Παρατήρηση : Όταν δίνεται μια πολυωνυμική συνάρτηση f (x) =α x +α x α x+α και ν v v ν ζητούνται : Το σημείο τομής της γραφικής της παράστασης με τον y y άξονα έχω : x = δηλαδή το σημείο (,α ) y = f () =α. Τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τον x x άξονα έχω : y= f (x) f (x) = () και οι ρίζες της εξίσωσης () αν υπάρχουν είναι οι y = τετμημένες των σημείων που θέλουμε. Που η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον x x άξονα λύνω την ανίσωση f (x) > (αντίστοιχα f (x) < ). Παρατήρηση : Όταν δίνονται δυο πολυωνυμικές συναρτήσεις f (x) και g(x) και ζητούνται : Τα κοινά τους σημεία λύνω την εξίσωση f (x) = g(x) f (x) g(x) =. Που η γραφική παράσταση της f είναι πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τη γραφική παράσταση της g λύνω την ανίσωση f (x) g(x) > (αντίστοιχα f (x) g(x) < ). Λυμένα παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 7

19 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 5 Να λυθεί η ανίσωση : 4 x 5x + 5x + 5x 6. 4 Λύνουμε πρώτα την εξίσωση : x 5x + 5x + 5x 6= Παρατηρούμε ότι έχουμε μια πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Άρα πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 6, δηλαδή οι ακέραιοι αριθμοί : ±, ±, ±, ± 6 Παρατηρούμε ότι P()=. Άρα εκτελούμε σχήμα Horner με το ρ=. P(x) x ρ= π(x) υ= P() = Η εξίσωση γίνεται : 4 x 5x + 5x + 5x 6= x x 4x + x+ 6 =. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για το π(x) ( x 4x x 6) παρατηρούμε ότι : π( ) =. π(x) x ρ=- = + + και υ= π( ) = Άρα το π(x) γράφεται : π(x) ( x 4x x 6) ( x )( x 5x 6) εξίσωση γίνεται : = + + = + + και η αρχική ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 8

20 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ( x )( x )( x 5x 6) 4 x 5x + 5x + 5x 6= x x 4x + x+ 6 = + + = Το πολυώνυμο ου βαθμού x 5x+ 6 έχει διακρίνουσα = 5 4= >, ρίζες 5± x, = = και παραγοντοποιούμενο γράφεται : x 5x+ 6= ( x )( x ). Επομένως η αρχική εξίσωση γράφεται : 4 x 5x + 5x + 5x 6= x x 4x + x+ 6 = x x+ x 5x+ 6 = x x+ x x = x= ηɺ x= ηɺ x= ηɺ x= Για την λύση της ανίσωσης κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμου : x + x x x x P(x) Εφόσον θέλουμε P(x) η λύση της ανίσωσης είναι το σύνολο : (, ] [, ] [, + ) ΣΧΟΛΙΟ ΜΕΘΟΔΟΣ : Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα ενός πολυωνύμου P(x) τότε λέμε ότι το ρ είναι ρίζα πολλαπλότητας µ * N όταν µ P(x) = x ρ π(x) και το πολυώνυμο π(x) δεν έχει ρίζα το ρ. Έτσι έχουμε τις απλές, διπλές, τριπλές κ.τ.λ. ρίζες ενός πολυωνύμου. Για να βρούμε το πρόσημο ενός πολυωνύμου P(x) βρίσκουμε αρχικά όλες τις ρίζες του και έπειτα κατασκευάζουμε έναν άξονα πάνω στον οποίο και τις τοποθετούμε. Στο πρώτο δεξιά διάστημα θέτουμε το πρόσημο του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του P(x). Αν η ρίζα που χωρίζει το διάστημα αυτό από το προηγούμενό του είναι περιττής πολλαπλότητας τότε το πρόσημο αλλάζει ενώ αν η ρίζα είναι άρτιας πολλαπλότητας τότε το πρόσημο δεν αλλάζει. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε το πρόσημο του πολυωνύμου σε όλα τα διαστήματα στα οποία χωρίστηκε ο άξονας. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9

21 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 6 Για τις διάφορες τιμές του x R να βρεθεί το πρόσημο του πολυωνύμου P(x) = x x + x x+. Επειδή το πολυώνυμο είναι σε παραγοντοποιημένη μορφή για να βρούμε τις ρίζες του μηδενίζουμε χωριστά κάθε όρο του γινομένου και έχουμε: x = x= (απλή ρίζα) x + = (αδύνατη) ( x ) = x= (διπλή ρίζα) ( x+ ) = x= (τριπλή ρίζα) Θα ξεκινήσουμε με το πρόσημο του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου που είναι ίσο με το πρόσημο του γινομένου των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων κάθε παράγοντα του γινομένου το οποίο και είναι (+) Στο επόμενο προς τα αριστερά διάστημα το πρόσημο δεν θα αλλάξει διότι η ρίζα () είναι άρτιας πολλαπλότητας, έπειτα θα αλλάξει διότι η ρίζα (/) είναι περιττής πολλαπλότητας και τέλος πάλι θα αλλάξει διότι η ρίζα ( - ) είναι περιττής πολλαπλότητας. Έτσι έχουμε: x - + P(x) ΒΑΣΙΚΗ ΓΝΩΣΗ Για την επίλυση της εξίσωσης περιπτώσεις: ν x = α,ν N*,α * R διακρίνουμε τις εξής Αν ν άρτιος και α θετικός τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες οι οποίες είναι: ν x=± α Αν ν άρτιος και α αρνητικός τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο R. Αν ν περιττός και α θετικός τότε η εξίσωση έχει μια πραγματική ρίζα η οποία είναι: ν x= α Αν ν περιττός και α αρνητικός τότε η εξίσωση έχει μια πραγματική ρίζα η οποία είναι: ν ν x= α = α ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

22 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. 4 4 x+ = 8 x+ =± 8 x+ =± x+ = x= x+ = x=. x = 64 x = 64 x = 4 x=. 7 7 x+ 5 = x+ 5= x+ 5= x=. Να λυθούν οι εξισώσεις : ΑΣΚΗΣΕΙΣ α) x 4x + x+ 6= β) 4x x =. Να βρεθεί ο ακέραιος k ώστε η εξίσωση 4 k + x 6k+ 4 x + 7k + 8 x 9k = να έχει ρίζα τον αριθμό. Για την τιμή του k που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση.. Να βρείτε τα σημεία τομής του x x άξονα και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο = f(x) x x x x x Δίνεται η συνάρτηση f(x) x x x x x ( x ) = Να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον άξονα x x. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : 4 α) 6x 7x 7x+ 6= β) x + x 4x + x+ = γ) x + x x = δ) x 5 x 4 5x + 5x + x = 6. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζες. 7. Να λύσετε τις ανισώσεις : x + αx+ =, με α Z, δεν έχει ακέραιες 4 α) 6x + 5x 8x + 5x+ 6 β) x 9x + 7x+ 6 4 γ) 4x 8x + x + x+ < δ) x x x 8. Έστω το πολυώνυμο. Να προσδιοριστούν τα α, β ώστε το 4 P(x) = x + x 7x + αx+ β, με α,β R. x + x να είναι παράγοντας του P(x). ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

23 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ. Για τις τιμές των α, β που βρήκατε να λυθεί η ανισότητα P(x) <.. Δίνονται τα πολυώνυμα : P(x) x x x α β Q(x) = α x β+ 6 x + x 6 = + και. Να βρείτε τις τιμές των α,β R αν η γραφική παράσταση του P(x) διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. Αν α= β= να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση του Q( x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x.. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = x + αx + βx+ και Q(x) = x + βx + x+, με α,β R. Αν τα δυο πολυώνυμα έχουν κοινό παράγοντα το x +, τότε : α. Να βρεθούν τα α, β. β. Να λυθούν οι εξισώσεις P(x)= και Q( x)=. 4. Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε το πολυώνυμο παίρνει τη μορφή P(x) ( αx β)( x ) = +. Έπειτα να λυθεί η ανίσωση: P(x) 5. Να βρεθούν οι τιμές των α,β ώστε το πολυώνυμο έχει το μέγιστο δυνατό πλήθος ακεραίων ριζών. Έπειτα να λυθεί η ανίσωση: P(x) >. P(x) = x x 4x+ 6να P(x) = x + αx + βx να 6. Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g όπου f(x) = x + x + και g(x) = x + 7x Να λυθεί η εξίσωση x + 5x 6= Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = x 4x + αx + βx+. Αν είναι γνωστό ότι η γραφική της παράσταση τέμνει τον θετικό ημιάξονα Οx σε δύο σημεία με ακέραιες τετμημένες να βρεθούν οι τιμές των α,β. Σε ποιο διάστημα του x η C f βρίσκεται κάτω από τον x x ; ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

24 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Εξισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Ρητές (κλασματικές) εξισώσεις Η διαδικασία για την επίλυσή τους είναι :. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και έχουμε τους αρχικούς περιορισμούς.. Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών.. Εκτελούμε τις πράξεις μεταφέροντας όλους τους όρους της εξίσωσης στο ο μέλος. 4. Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει και ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε έρχονται σε αντίθεση με τους περιορισμούς μας. Λυμένα παραδείγματα 7 Να λύσετε την εξίσωση : 4x x 9 x + 4x + 9 = x x +. Πρέπει : E.K.Π. ( x )( x + ) x + x R Άρα η εξίσωση γίνεται : + + 4x x 9 x 4x 9 = x x + 4x x 9 x + 4x + 9 ( x )( x ) ( x )( x ) x x + + = + ( x )( 4x x 9) ( x )( x 4x 9) + = x x 9x 8x x 8 x 4x 9x x 8x 8 + = + + x= + = ( + ) = ɺ x = 5 x x x x η Ρητές ανισώσεις x x ± Σε κλασματικές ανισώσεις δεν κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών εκτός κι αν γνωρίζουμε ότι το Ε.Κ.Π των παρονομαστών είναι καθαρά θετικός ή καθαρά αρνητικός αριθμός. Αν δε γνωρίζουμε το πρόσημο του Ε.Κ.Π τρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα, τα μεταφέρουμε στο ένα μέλος και η ανίσωση έτσι παίρνει τη μορφή P(x) P(x) > ηɺ < η οποία είναι ισοδύναμη με την Q(x) Q(x) P(x)Q(x) > ηɺ P(x)Q(x) < η οποία και λύνεται κατά τα γνωστά. 8 Να λύσετε την ανίσωση : x x x+ x x x x (). ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

25 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Το Ε.Κ.Π των παρονομαστών είναι x(x ) x και x Η ανίσωση () γράφεται: x x x x x+ x x x x x x ( ) ( ) x x x x x+ x x ( ) x x x + x x+ x x+ x x ( ) ( ) ( ) x + 4x 6x x x + x x + x x x x x x ( ) x + x x (x )(x + )(x ) (x ) (x+ ) x - + (x ) (x + ) Γινόμενο Οι λύσεις της ανίσωσης είναι: x µε x και x Δηλαδή x [, + ) {,} Άρρητες εξισώσεις (εξισώσεις με ριζικά) Η διαδικασία για την επίλυσή τους είναι :. Βρίσκουμε τους αρχικούς περιορισμούς απαιτώντας οι υπόρριζες ποσότητες να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός.. Σε τετραγωνικές ρίζες κάνουμε ανάλογα με την περίπτωση κάτι από τα παρακάτω: * Αν το ριζικό είναι ένα το απομονώνουμε και υψώνουμε και τα δυο μέλη στο τετράγωνο. * Αν τα ριζικά είναι δυο τα κρατάμε και τα δυο στο ίδιο μέλος και θα χρειαστεί να υψώσουμε στο τετράγωνο δυο φορές. * Αν τα ριζικά είναι τρία κρατάμε στο ένα μέλος τα δυο και υψώνουμε διαδοχικά. * Σε κάθε περίπτωση όταν υψώνουμε στο τετράγωνο βγάζουμε κατάλληλους περιορισμούς. Λυμένα παραδείγματα 9 Να λύσετε την εξίσωση : x 8= x. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 4

26 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ x 8 x 8 Πρέπει να ισχύει : x x Επομένως η εξίσωση γίνεται : x 8= x x, ( x 8) ( x ) = x 8 x x = + x x 8, 9 + = = ± x= δεκτηɺ = x = 9 απορρ. x Να λύσετε την εξίσωση : x + 5 x = (). Πρέπει x x 5 5 x x 5 Η εξίσωση () ισοδύναμα γράφεται: 5 x x ( 5 x) ( x) = = 5 x = 9 6 x + x 6 x = x+ 4 x = x+ x+ x= δεκτηɺ ( x) = ( x+ ) 9x= x + 4x+ 4 x 5x+ 4= x = 4 δεκτηɺ Άρρητες ανισώσεις Παρατήρηση : Σε ανισώσεις της μορφής P(x) Q(x) οι περιορισμοί είναι : P (x ) Q (x ) Όμοια εργάζομαι και για ανισώσεις της μορφής P(x) ή της μορφής P(x) Q(x). Q(x) Να λύσετε την ανίσωση : x+ 7 x (). x+ x Πρέπει x 7 7 x x 7 Η ανίσωση () ισοδύναμα γράφεται x+ 7 x x+ 49 4x+ x x 6x+ 48 Οι ρίζες του τριωνύμου είναι x= 4 και x= ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 5

27 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Το πρόσημο του τριωνύμου είναι : x 4 + x 6x Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι x 4 ηɺ x Συναληθεύοντας τις λύσεις με τους περιορισμούς έχουμε: x 4 Παρατήρηση: Σε ανισώσεις της μορφής P(x) περιπτώσεις Q(x) διακρίνουμε τις εξής η περίπτωση: Αν Q(x)< τότε οι λύσεις είναι όλα τα x για τα οποία P (x ) Q (x ) < η περίπτωση: Αν Q(x) τότε υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει και συναλυθεύουμε με τους περιορισμούς. Οι λύσεις της αρχικής ανίσωσης είναι η ένωση των λύσεων των δύο περιπτώσεων. Να λύσετε την ανίσωση : x x 4 (). Σε κάθε περίπτωση πρέπει x x η περίπτωση: Αν είναι x 4< x < 4 τότε η ανίσωση αληθεύει διότι το πρώτο μέλος είναι αριθμός θετικός ενώ το δεύτερο μέλος αρνητικός. Άρα οι πραγματικοί αριθμοί του διαστήματος [,4) είναι λύσεις της ανίσωσης. η περίπτωση: Αν είναι x 4 x 4τότε υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο έχουμε x x 4 x x 8x+ 6 x 9x+ 8 Το πρόσημο του τριωνύμου είναι : x 6 + x 9x Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι x 6 Επειδή όμως είναι x 4 έχουμε τελικά ότι 4 x 6 Οι λύσεις της αρχικής ανίσωσης είναι η ένωση των λύσεων των δύο περιπτώσεων x, 6. Άρα η ανίσωση τελικά αληθεύει για κάθε [ ] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 6

28 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Εξισώσεις που λύνονται με αντικατάσταση Να λύσετε την εξίσωση : ( x+ )( x+ )( x+ )( x+ 4) =. ( x+ )( x+ )( x+ )( x+ 4) = ( + )( + ) ( + )( + ) = x x 4 x x x + 5x+ 4 x + 5x+ 6 = () Θέτουμε x + 5x+ 4= y () οπότε Άρα η εξίσωση () γίνεται : y y+ = x + 5x+ 6= y+ () y + y = βρίσκουμε τη διακρίνουσα = = 484 ± y= και υπολογίζουμε τις ρίζες y, = y = άρα από τη () έχουμε : α) x + 5x+ 4= β) x + 5x+ 4= x + 5x 6= x + 5x+ 6= = 5+ 4= 49 = 5 64= 9< 5± 7 x= 6 x, = αδύνατη στο R x = 4 Να λύσετε την εξίσωση : x + x = x + x. Θέτουμε x + x= y () Άρα η εξίσωση γίνεται : x + x = x + x y= y, με y y υψώνουμε κατά μέλη στο τετράγωνο και έχουμε : y = y y y+ = Βρίσκουμε τη διακρίνουσα Δ= και έχουμε : ± y= y, = που είναι και οι δυο δεκτές. y = Άρα από την () έχουμε : Α) y= Β) y= x + x = x + x = x + x= x + x = ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 7

29 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Βρίσκουμε τις διακρίνουσες Δ=5 Δ=9 Προκύπτουν οι λύσεις x ± 5, = x,4 5 Να λύσετε την εξίσωση : 6 4 x 4x x + 4=. ± x= = x = Παρατηρούμε ότι οι εκθέτες του x στο πολυώνυμο είναι όλοι άρτιοι. Θέτουμε x = y> (). Άρα προκύπτει η εξίσωση y 4y y+ 4= η οποία λύνεται είτε με τη βοήθεια του Θ. Ακεραίων ριζών είτε με παραγοντοποίηση. y y 4 y 4 = y 4 y = y 4= ή y = y= 4 ή y= ή y= (απορρίπτεται) Από την () έχουμε : x = 4 ή x = και τελικά x= ή x= ή x= ή x= 6 Να λύσετε την εξίσωση : x x =. Πρέπει x Θέτουμε x = y οπότε η () γράφεται: Για y = 4 έχουμε x = 4 x = 4 x= 64 δεκτηɺ y= απορ. y y = y= 4 δεκτηɺ 7 Να λύσετε την εξίσωση : x + 6 x =. Πρέπει x Θέτουμε 6 x y 6 = οπότε y= απορ. y + y = y= δεκτη 6 6 Για y = έχουμε 6 6 x = y y = x άρα η () γράφεται: x = x = x= δεκτηɺ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 8

30 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ 8 Να λύσετε την εξίσωση : 4 5ηµx συν x ηµ x = ηµx +. Πρέπει ηµx x κπ, κ Z Η εξίσωση () πολλαπλασιάζοντας όλους τους όρους με ημ x ισοδύναμα γράφεται: 5ηµ x= 4ηµx+ συν x ηµ x 5ηµ x= 4ηµx+ ηµ x ηµ x 4 5ηµ x= 4ηµx+ ηµ x ηµ x 4 ηµ x 5ηµ x ηµ x 4ηµx+ = () Θέτουμε ηµx = y, y 4 Άρα η () γράφεται y 5y y 4y+ = () Πιθανές ακέραιες ρίζες: ±, ± Παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα της οπότε με σχήμα Horner έχουμε : Το πηλίκο της διαίρεσης με το (y - ) είναι: Άρα η () γράφεται: Άρα ή y = y= απορ. ή y y + y + y = (5) y + y + y y y + y + y = (4) όμως y + y = y ( y+ ) = ( y )( y+ ) y + y + y = y + y y+ y = (παραγοντοποίηση τριωνύμου) Άρα η () γράφεται: y y y+ + y = y y + y+ = Άρα ή y = y= (δεκτή) ή y + y+ =, = < (αδύνατη) π x= κπ+ π 6 Για y= ηµx= ηµx = ηµ κ Z 6 5π x = κπ Να λύσετε την εξίσωση : x = x. x + Πρέπει x και x + που ισχύει για κάθε x. Θέτουμε x y = άρα x = y x= y ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα 9

31 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Επομένως η () γράφεται: = + = = y y y y y y y y () y+ Πιθανές ακέραιες ρίζες: ±, ± Παρατηρούμε ότι το - είναι ρίζα της οπότε με σχήμα Horner έχουμε : Το πηλίκο της διαίρεσης με το (y + ) είναι: Άρα η () γράφεται: y+ y y = (4) Άρα ή y+ = y= (απορ.) ή Για y = έχουμε: x = x= 4 (δεκτη) y y y= απορ. y y = y = δεκτη Αντίστροφες πολυωνυμικές εξισώσεις Αντίστροφες εξισώσεις ου βαθμού Μορφή: αx + βx + βx+ α=,α Ισοδύναμα έχουμε : α(x + ) + βx(x+ ) = α(x+ )(x x+ ) + βx(x+ ) = (x+ )[α(x x+ ) + βx] = ή x+ = x= ή α(x x+ ) + βx= η οποία λύνεται ως εξίσωση ου βαθμού. Αντίστροφες εξισώσεις 4 ου βαθμού Μορφή: 4 αx + βx + γx + βx+ α=,α Διαιρώ όλους τους όρους με 4 αx βx γx βx α = x x x x x β α αx + βx + γ + x + x = α(x + ) + β(x + ) + γ= () x x θέτουμε x+ = y () άρα x x (x ) και έχουμε: ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

32 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ( x + ) = y x + x + = y x + + = y x + = y () x x x x x οπότε η () με τη βοήθεια των (), () γράφεται: α (y ) + β y+ γ= (4) Η εξίσωση (4) μπορεί εύκολα να λυθεί αφού είναι ου ως προς y. Οι λύσεις που βρίσκουμε για το y αν τοποθετηθούν στη σχέση () μας δίνουν τις λύσεις της αρχικής εξίσωσης. Μορφή: 4 αx + βx + γx βx+ α=,α Διαιρώ όλους τους όρους με x (x ) και εργαζόμενοι ομοίως έχουμε: α(x + ) + β(x ) + γ= () x x θέτουμε x = y () άρα x ( x ) = y x x + = y x + = y x + = y + () x x x x x οπότε η () με τη βοήθεια των (), () γράφεται: α (y + ) + β y+ γ= (4) Λύνουμε την (4) και έπειτα με τη βοήθεια της () βρίσκουμε τις λύσεις της αρχικής εξίσωσης. Αντίστροφες εξισώσεις 5 ου βαθμού Μορφή: 5 4 αx + βx + γx + γx + βx+ α=,α Ισοδύναμα έχουμε : 5 α(x + ) + βx(x + ) + γx (x+ ) = 4 α(x+ )(x x + x x+ ) + βx(x+ )(x x+ ) + γx (x+ ) = 4 (x+ )[α(x x + x x+ ) + βx(x x+ ) + γx ] = ή x+ = x= 4 ή α(x x + x x+ ) + βx(x x+ ) + γx = 4 αx αx + αx αx+ α+ βx βx + βx+ γx = 4 αx + (β α)x + (α β+ γ)x + (β α)x+ α= οποία λύνεται ως αντίστροφη εξίσωση 4 ου βαθμού. Αντίστροφες εξισώσεις 6 ου βαθμού Μορφή: αx + βx + γx + δx + γx + βx+ α=,α Διαιρώ όλους τους όρους με x (x ) και έχουμε: αx βx γx δx γx βx α = x x x x x x x ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

33 Ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ γ β α αx + βx + γx+ δ+ + + = x x x α(x + ) + β(x + ) + γ(x + ) + δ= () x x x θέτουμε x+ = y () άρα x ( x + ) = y x + x + = y x + + = y x + = y () x x x x x (x + ) = y x + x + x + = y x x x x x + x+ + = y x + = y ( x + ) x x x x x + = y y () x οπότε η () με τη βοήθεια των (), () γράφεται: α (y y) + β (y ) + γ y+ δ= (4) Λύνουμε την (4) και έπειτα με τη βοήθεια της () βρίσκουμε τις λύσεις της αρχικής εξίσωσης.. Να λυθεί η εξίσωση :. Να λυθούν οι εξισώσεις : Ασκήσεις x + x x + = x x( x ) α) 9x = x β) x+ = x+ γ) 5x 4 x+ = x 6 4. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) x+ x+ = β) x+ + x 9 = 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x+ < x β) x x + x x + γ) x 8 x + 5< x + δ) x x+ 6 x ε) x 8+ x 5< 9. Να λύσετε την εξίσωση :. Να λύσετε τις εξισώσεις : ηµ x 9ηµ x+ 4ηµ x 9ηµ x+ = 6 x x α) ( x + x ) 9( x + x ) + 8= β) 5 + 6= x x 8 4 x x γ) ( x+ ) ( x+ ) 4= δ) x + + x+ = x. Να λύσετε τις εξισώσεις (αντίστροφες): 4 α) x 4x + 6x 4x+ = β) 6x 4 + 5x + x 5x + 6= ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)

β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5) ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0 4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

(x) = δ(x) π(x) + υ(x)

(x) = δ(x) π(x) + υ(x) Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος. Πως ορίζεται η έννοια. Το όριο. To f() f() ; f() εφόσον υπάρχει είναι μονοσήμαντα ορισμένο; εξαρτιέται από τα άκρα α, β των ( α, ) και (, β ) ;. Πως ορίζονται τα πλευρικά

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Γενικής Παιδείας. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Β' Γενικού Λυκείου Γενικής Παιδείας Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Α1. Στο επόμενο σχήμα βλέπετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τους άξονες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων,

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α.1. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 175 του σχολικού βιβλίου. Α.. Η διατύπωση του ορισμού βρίσκεται στη σελίδα 163 του σχολικού βιβλίου «εκθετική συνάρτηση». Α.3. i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 1 0 / 1 2 /

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 1 0 / 1 2 / Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 1 0 / 1 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.

2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi. .1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα