ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ..."

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται στον κάθε όρο της προόδου για να δημιουργηθεί ο επόμενος, ονομάζεται διαφορά της προόδου και συμβολίζεται με ω. Έτσι λοιπόν, έχουμε ότι ο αναδρομικός τύπος της αριθμητικής προόδου, είναι : ή Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον και διαφορά ω, έχουμε :... Προσθέτοντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη, προκύπτει : Αριθμητικός μέσος Αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου, παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες : () Επομένως αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί αριθμοί αριθμητικής προόδου, ο β ονομάζεται αριθμητικός μέσος. Συγχρόνως η σχέση (), αποτελεί

2 ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε τρεις αριθμοί α, β, γ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Άθροισμα ν διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τους ν πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου : Παρατηρούμε ότι ισχύουν :,,,...,,, () Από τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτει η ιδιότητα: Οι ισαπέχοντες από τα άκρα όροι μιας αριθμητικής προόδου, έχουν άθροισμα ίσο με το άθροισμα των άκρων όρων. Με την βοήθεια της παραπάνω εμπειρίας, προκειμένου να βρούμε το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου, εργαζόμαστε ως εξής : S... S... Προσθέτοντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη, έχουμε : S... Λαμβάνοντας υπόψη την ιδιότητα που προκύπτει από τις ισότητες (), γράφουμε : S... S S Επειδή, μπορούμε να έχουμε και τον τύπο : S

3 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε μία αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 94. Να βρείτε τη διαφορά ω και τον 0 ο όρο της προόδου. Αν υποθέσουμε ότι ω είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου τότε : Τότε : Έστω η αριθμητική πρόοδος 7,4,.Να βρείτε τον 8 ο όρο της. 47 και Έστω η αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το 0 και πέμπτο όρο το. i) Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου. ii) Να βρείτε τον. i) Είναι 0 και ii) Ο τέταρτος όρος της αριθμητικής προόδου είναι 5 και ο 5 ος όρος της είναι 59. Να βρεθεί η πρόοδος

4 Αν σε μία αριθμητική πρόοδο είναι 8 και τότε να βρείτε : i) Τον όρο που ισούται με ii) Τους θετικούς όρους iii) Τους όρους που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών και 4. i) Έστω ότι είναι ο όρος. Αρκεί να βρούμε τον ν. Έχουμε : 8 ii) Έχουμε: Άρα οι θετικοί όροι είναι οι :,,..., iii) Είναι: ή.. Άρα Οπότε είναι ο και ο 6. Να υπολογίσετε το άθροισμα : Παρατηρούμε ότι οι όροι του αθροίσματος είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με 5 και 5. Έστω ν το πλήθος των όρων του αθροίσματος Οπότε το άθροισμα είναι : 0 S

5 7. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της αριθμητικής προόδου 5,, 7,... που βρίσκονται μεταξύ του 5 ου και του ου όρου της. Είναι 5 και 5 6. Το άθροισμα των όρων μεταξύ του 5 ου και του ου είναι : 5 S S Να βρείτε πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου : 58,55,5,..έχουν άθροισμα ίσο με 578. Είναι 58, και S 578. S Εξάλλου : ή 7. Επειδή ο ν είναι θετικός και ακέραιος παίρνουμε 7 9. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και 7. i) Να βρείτε το πλήθος ν των πρώτων όρων της προόδου που δίνουν άθροισμα ίσο με 679. ii) Ποιος θα είναι ο τελευταίος όρος σ αυτή την περίπτωση; i) Θέλουμε να είναιsv 679, για κάποιο φυσικό αριθμό ν. Άρα: 7 Sv () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : Οι ρίζες της εξίσωσης () είναι :

6 (απορρίπτεται) 4 4 Επομένως 4. ii) Ο τελευταίος όρος του αθροίσματος είναι ο: Σε μια αριθμητική πρόοδο το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι S0 60 και το άθροισμα των πρώτων όρων της S. Να βρείτε τη διαφορά ω και τον ο όρο της. Από την σχέση : Από την σχέση : 9 S () S 7 () Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων () και () Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία i) Το άθροισμα του ου και του 5 ου όρου είναι -, ενώ το άθροισμα του ου και του 6 ου είναι. ii) Το άθροισμα του ου και του 4 ου όρου είναι 7, ενώ το γινόμενο των ίδιων όρων είναι 0. i) Είναι: Επομένως η αριθμητική πρόοδος είναι : 5,,,,, 5, 7,

7 ii) Είναι: 4 7 και 4 0. Προφανώς τα, 4αποτελούν ρίζες της εξίσωσης : x 7x 0 0 (). Η διακρίνουσα της () είναι : , και οι ρίζες της είναι x 5 x Αν 5, τότε 4. Όμως : 4 5 και 5 5 ή Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 7, 5,,,,,... Αν, τότε 4 5. Όμως : 4 5 και Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 7,,, 5,, 8,.... Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο αν ο ος και ο 7 ος όρος έχουν γινόμενο 00 και οι μεταξύ τους όροι έχουν άθροισμα 50. Από την υπόθεση είναι : 7 00 () και Προφανώς όμως : S 50 (). 5 S S6 S () Από την σχέση () παίρνουμε : (4) 7 Λύνουμε το σύστημα των σχέσεων () και (4)

8 Αν τότε η () δίνει : Τότε η αριθμητική πρόοδος είναι η :, 5, 8,, 4, 7,.. Αν τότε η () δίνει : Τότε η αριθμητική πρόοδος είναι η :, 0, 7, 4,, 8,... Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο στην οποία ο 4 ος και ο 8 ος όρος της έχουν άθροισμα 8, ενώ το άθροισμα των κύβων των όρων αυτών είναι.40. Θέλουμε να είναι: () και Από την σχέση () παίρνουμε : () () () Επειδή λοιπόν και οι αριθμοί 4, 8 θα είναι ρίζες της εξίσωσης : x 8x 45 0 (4). Η (4) έχει διακρίνουσα και ρίζες : x και 8 ή 4 και 8 5 οπότε :, και επομένως : - 0 -

9 Για 4 5 και 8 έχουμε : Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 4,, 8, 5,,. Για 4 και 8 5 έχουμε : Η αριθμητική πρόοδος στην περίπτωση αυτή είναι : 6,, 0,, 6, 9,, 4. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχουν άθροισμα και γινόμενο 440. Έστω,, οι ζητούμενοι αριθμοί. Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε : () και () Για και 9, οι αριθμοί είναι οι :,, 0 Για και 9, οι αριθμοί είναι οι : 0,, 5. Να βρείτε τέσσερις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, οι οποίοι έχουν άθροισμα 6 και γινόμενο άκρων όρων 7. Έστω,,, οι ζητούμενοι αριθμοί. Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε : () και () Για 4 και, οι αριθμοί είναι οι :,, 5, 7 Για 4 και, οι αριθμοί είναι οι : 7, 5,, - 0 -

10 6. Να βρείτε πόσα πολλαπλάσια του 7 περιέχονται μεταξύ του 5 και του 00. Τα πολλαπλάσια του 7 έχουν την μορφή 7ν,. Έστω 7 () Επειδή είναι : θα είναι : 7, και επομένως η ακολουθία * θα είναι αριθμητική πρόοδος με 7 και διαφορά 7. Θέλουμε τώρα να ισχύει :, , 4, 5, 6,...,4. και επειδή ο ν είναι φυσικός αριθμός, θα πρέπει : Όμως τα στοιχεία του συνόλου Α είναι 40. Άρα μεταξύ των αριθμών 5 και 00 βρίσκονται 40 πολλαπλάσια του 7. Αυτά είναι τα : 7, ,..., Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) 7... x 80 με x 0 x x 5 x 8... x 9 65 i) Οι αριθμοί x, x 5, x 8,... αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το x και διαφορά Βρίσκουμε την τάξη του όρου x+9. Υποθέτουμε ότι ο x+9 κατέχει την κ θέση στην παρακάτω ακολουθία, οπότε: x 9 x 9 x x Το πλήθος, συνεπώς, των όρων του αθροίσματος είναι 0. 9 x 9 Άρα : S0 0 0 x 5 0x

11 ii) Οι αριθμοί, 7,,..αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο το και διαφορά 6. Βρίσκουμε την τάξη του όρου x Υποθέτουμε ότι ο x κατέχει την κ θέση στην παρακάτω ακολουθία, οπότε : x x 6 x 6 5 x () Το πλήθος, συνεπώς, των όρων του αθροίσματος είναι κ, και x 6 5 Θέλουμε να ισχύει : S 80 Άρα : S () Για κ = 0 η () δίνει : x Ένα κολιέ αξίας δρχ. αποτελείται από διαμάντια. Το μεσαίο διαμάντι είναι και το ακριβότερο. Τα υπόλοιπα διαμάντια είναι τοποθετημένα κατά σειρά αξίας, ώστε κάθε διαμάντι μέχρι το μεσαίο να αξίζει.000 δρχ. λιγότερο από το επόμενό του και στη συνέχεια, από το μεσαίο και πέρα, κάθε διαμάντι να αξίζει.500 δρχ. λιγότερο από το προηγούμενο του. Α. i) Πόσες δρχ. φθηνότερο από το μεσαίο διαμάντι είναι το πρώτο; ii) Πόσες δρχ. φθηνότερο από το μεσαίο διαμάντι είναι το τελευταίο; Β. Πόσες δρχ. είναι η αξία του μεσαίου διαμαντιού; Έστω,,..., 6, x,,,..., 6 οι τιμές των διαμαντιών. Το ακριβότερο διαμάντι είναι το μεσαίο, δηλαδή το x. Η ακολουθία,,..., 6 είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω =.000 () Η ακολουθία,,..., 6 είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά.500 ()

12 Α. i) Η διαφορά (σε δρχ.) του μεσαίου διαμαντιού από το πρώτο είναι: x δρχ. () ii) Το τελευταίο διαμάντι κοστίζει 6 δρχ, όπου: Επομένως το μεσαίο διαμάντι κοστίζει : x.500 (4) Η διαφορά (σε δρχ.) τελευταίου μεσαίου είναι : 6 x δρχ. Επομένως το τελευταίο διαμάντι κοστίζει λιγότερο. (5) Β. Η αξία του κολιέ είναι σύμφωνα με την υπόθεση δρχ., και άρα :... x x (),(5) 6 0 x x x 6 x x x 6x x x x x δρχ. Το μεσαίο λοιπόν διαμάντι κοστίζει δρχ. 9. Α. Σε μια αμφιθεατρική αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7 η 8 καθίσματα. i) Πόσα καθίσματα έχει η 0 η σειρά; ii) Πόσα καθίσματα υπάρχουν από την 4 η έως και την 0 η σειρά; Β. Αν στην η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσματα, στη η υπάρχουν 9 κενά καθίσματα, στην η κ.τ.λ. i) Από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν μόνο κενά καθίσματα; ii) Πόσοι θα είναι οι θεατές; Α. Από την υπόθεση είναι : 6 και 7 8. Αν υποθέσουμε ότι ω είναι η διαφορά της αριθμητικής προόδου, τότε:

13 i) Η 0 η σειρά έχει 0 καθίσματα, όπου: καθίσματα. ii) Τα καθίσματα που υπάρχουν από την 4 η έως και την 0 η σειρά είναι: S () Όμως : S S0 S καθίσματα. Β. Η η σειρά έχει 6 κενά καθίσματα, η η σειρά έχει 9 κενά καθίσματα, η η σειρά έχει κενά καθίσματα κ.τ.λ. Προφανώς η ακολουθία των κενών καθισμάτων είναι αριθμητική πρόοδος με 6, και διαφορά. i) Η πρώτη σειρά έχει γεμάτα καθίσματα. Η δεύτερη σειρά έχει γεμάτα καθίσματα. Η τρίτη σειρά έχει 0 8 γεμάτα καθίσματα κ.ο.κ. Η ακολουθία 0, 9, 8,.είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 0 και διαφορά. Ζητάμε τον φυσικό αριθμό ν, για τον οποίο : ii) Οι θεατές είναι τόσοι, όσα τα γεμάτα καθίσματα των 0 πρώτων σειρών. Όμως τα γεμάτα καθίσματα των 0 πρώτων σειρών είναι: S θεατές Να υπολογιστεί το άθροισμα : S.... Από την ταυτότητα, για,,... έχουμε :

14 προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: S S 6 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τον ζητούμενο όρο σε κάθε μια από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους. i) Τον 9 της :, 5, 7,.. ii) Τον 0 της : 6,,, 6,. iii) Τον της 5 7,,,, 4,.... Σε μια αριθμητική πρόοδο ο 0 ος όρος της είναι 45 και η διαφορά 4, να βρείτε τον πρώτο όρο της.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι και 7 να βρείτε τη διαφορά ω. 4. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι : 0 και 0 70 να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου

15 5. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι : 8 και 8 8, να βρείτε τον Σε μια αριθμητική πρόοδο ο 4 ος όρος είναι και ο ος όρος είναι 5. Να βρείτε τον ος όρος της. 7. Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 5 και 6, τότε να βρείτε τον όρο της που ισούται με Να βρεθεί ο όρος της αριθμητικής προόδου με 7 και 4 ο οποίος ισούται με Να βρείτε το x ώστε οι αριθμοί : x, x, x 4 να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. 0. Αν οι αριθμοί, α, β, 7 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να βρείτε τα α, β.. Αν δύο αριθμοί διαφέρουν κατά και ο αριθμητικός τους μέσος είναι 5 να βρείτε τους δύο αριθμούς.. i) Να βρεθεί ο αριθμητικός μέσος των 5, 5 ii) Να προσδιοριστεί ο x ώστε ο αριθμός να είναι αριθμητικός μέσος των αριθμών x και x +5.. Να βρείτε δύο αριθμούς των οποίων ο αριθμητικός μέσος είναι και διαφέρουν κατά Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 0 όρων των αριθμητικών προόδων : i) 4,,,.. ii),,,

16 5. Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: i) ii) Να βρείτε πόσοι πρώτοι όροι της αριθμητικής προόδου 8, 44, 50,.έχουν άθροισμα ίσο με Πόσους πρώτους όρους πρέπει να πάρουμε από καθεμιά από τις παρακάτω αριθμητικές προόδους για να έχουν άθροισμα 54 i) 6,, 0,.. ii) 4, 6, 8,.. 8. Να λυθεί η εξίσωση: x x 4 x 5... x Έστω η αριθμητική πρόοδος : 0,, 4,.. Να βρείτε το άθροισμα των όρων της προόδου που βρίσκονται μεταξύ των αριθμών και Να βρείτε το άθροισμα i) Των πρώτων 60 θετικών άρτιων ii) Όλων των περιττών αριθμών μεταξύ του 0 και 5.. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δείξτε ότι είναι επίσης διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου οι αριθμοί : i),, ii),,. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x = 45 ii) x x 5 x... x Να λύσετε την εξίσωση: x x x... x

17 * 4. Δίνεται η ακολουθία με και για κάθε i) Να δείξετε ότι η είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε της διαφορά της. o ii) Να βρείτε τον όρο της iii) Να υπολογίσετε το άθροισμα S Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους μιας αριθμητικής προόδου αν έχουν άθροισμα 6 και γινόμενο Να βρείτε πέντε διαδοχικούς όρους σε μια αριθμητική πρόοδο ώστε το άθροισμα των άκρων να είναι 4 και το άθροισμα των τετραγώνων του ου και του 4 ου όρου Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος στην οποία το άθροισμα του ου και 7 ου όρου της είναι 50, ενώ ο 4 ος και ο 8 ος διαφέρουν κατά Να βρεθούν αριθμοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι και το γινόμενο τους Να βρεθούν 5 αριθμοί οι οποίοι αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμα τους είναι 0 και το γινόμενο μηδέν. 0. Να βρεθούν 4 αριθμοί που είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου όταν το άθροισμά τους είναι και το άθροισμα των τετραγώνων τους 6.. Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί που σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο αν το γινόμενο των άκρων όρων είναι 70 και το γινόμενο των μέσων όρων είναι 88.. Αν S, S, S είναι αντίστοιχα τα αθροίσματα των ν πρώτων όρων προόδων, που έχουν πρώτο όρο τον και διαφορές αντίστοιχα,, να αποδειχτεί ότι S S S

18 . Αν οι αριθμοί :,, με, δείξτε ότι. είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου 4. Να προσδιοριστεί ο x ώστε να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου οι αριθμοί : 5x, x, x. 5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των πολλαπλασίων του μεταξύ 7 και Να βρείτε το άθροισμα των άρτιων από έως 400, που δεν είναι πολλαπλάσια του 4 ή του Να βρείτε το άθροισμα των 60 πρώτων όρων της ακολουθίας με. 8. Να βρείτε ποιους αριθμούς πρέπει να τοποθετήσουμε μεταξύ του 9 και 4 ώστε να προκύψουν διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 9. Αν το άθροισμα των 0 πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι 00 και το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της είναι 900, να βρείτε τους :., 40. Έστω ότι οι αριθμοί : x, x, x είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. i) Να βρείτε το x. ii) Αν ο α είναι ο ος όρος: α) να υπολογίσετε το άθροισμα β) να βρείτε το πλήθος των όρων που πρέπει να πάρουμε από τον 5 ο όρο και μετά ώστε να έχουν άθροισμα

19 4. Ένας υπάλληλος σε μια εταιρεία παίρνει αύξηση κάθε χρόνο 0 στο μηνιαίο μισθό. Αν το 4 ο χρόνο εργασίας του ο μηνιαίος μισθός του ήταν 800 να βρείτε : i) Τον αρχικό του μηνιαίο μισθό. ii) Σε ποια χρονιά ο μηνιαίος μισθός του θα είναι περισσότερος από.000. iii) Πόσα εισέπραξε τα πρώτα χρόνια. 4. Κάποιος αγόρασε ένα αυτοκίνητο αξίας Έδωσε προκαταβολή και συμφώνησε το υπόλοιπο ποσό να το εξοφλήσει σε μηνιαίες δόσεις όπου κάθε επόμενη δόση θα αυξάνει σε σχέση με την προηγούμενη κατά 50. Να βρείτε το ποσό της ης και της 6 ης δόσης. 4. Ένα θέατρο έχει σειρές καθισμάτων. Η πρώτη σειρά έχει 0 καθίσματα και κάθε επόμενη έχει καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της. i) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά; ii) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο; iii) Σε μια παράσταση τα εισιτήρια της 7 ης σειράς διανεμήθηκαν δωρεάν και όλα τα υπόλοιπα πουλήθηκαν προς 9 το ένα. Πόσα χρήματα εισέπραξε το θέατρο; Π.44. Σε μια αριθμητική πρόοδο ισχύει: α α4 8 και α α6 0. i) Να βρείτε την αριθμητική πρόοδο ii) Υπολογίστε το S 00 Π.45. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι S0 S6 60. Αν ο πρώτος όρος ισούται με το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης : βρεθεί ο α 50. x 5x 5x 0 να Π.46. Σε μια αμφιθεατρική αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο. Η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7 η έχει 8 καθίσματα. i) Πόσα καθίσματα έχει η 0 η σειρά; ii) Πόσα καθίσματα υπάρχουν από την 4 η έως και την 0 η σειρά - -

20 Π.47. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι α log8 και ω log i) Να βρεθεί ο α ii) Να βρεθεί το άθροισμα S α9 α0 α... α όπου α 9, α 0,...,α διαδοχικοί όροι της (α ν ). x x x Π.48. Οι αριθμοί α 7e, α e, α e αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου x i) Να αποδείξετε ότι e 7 ii) Να βρείτε τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου iii) Να αποδείξετε ότι α5 5α iv) Να υπολογίσετε το άθροισμα των πέντε πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου ως συνάρτηση του α. Π.49. Ο πέμπτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 7 και ο ένατος είναι 9. i) Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της προόδου ii) Να βρείτε τον δέκατο πέμπτο όρο της iii) Ποιος όρος της προόδου ισούται με 67 iv) Να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της προόδου. Π.50 Αν σε μια αριθμητική πρόοδο είναι : α βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με : εφα και ω 5, να π ημ α, συνα 0 συνα. Π.5 Αν α, β, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και P α 0 4 να βρείτε τις ρίζες του Px αx α β x αβx 4α α. Π.5 Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α, α ln x e και 4 i) Να βρείτε την τιμή του x. ii) Να υπολογίσετε τον iii) Να αποδείξετε ότι α, α, α,...της οποίας α ln 4x, x. α. α. - -

21 Π.5. Δίνεται η ακολουθία α ν με θετικούς όρους και η ακολουθία β ln α. ν ν Α. Να αποδειχτεί ότι αν α ν είναι γεωμετρική πρόοδος τότε η β ν είναι αριθμητική. Β. Αν το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της β ν είναι S0 0 να βρείτε το γινόμενο των 0 πρώτων όρων της α ν. Γ. Αν αν ν να βρείτε για ποιόν όρο της ισχύει βν ln

22 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος, όταν κάθε όρος της δημιουργείται από τον προηγούμενο του, με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό. Ο σταθερός αριθμός με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε τον κάθε όρο της γεωμετρικής προόδου για να δημιουργήσουμε τον επόμενο όρος της, ονομάζεται λόγος της προόδου, συμβολίζεται με λ και είναι πάντα διάφορος του μηδενός 0. Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο πρέπει να * είναι 0, με συνέπεια να έχουμε και 0 για κάθε. Από τα πιο πάνω, προκύπτει ότι ο αναδρομικός τύπος της γεωμετρικής προόδου είναι : ή Για μια γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο και λόγο λ, έχουμε διαδοχικά:... Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις αυτές κατά μέλη, έχουμε: Γεωμετρικός μέσος Αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες : () - 5 -

23 Η σχέση () αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε τρεις αριθμοί α, β, γ να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. Ο θετικός αριθμός : ονομάζεται γεωμετρικός μέσος των α, γ. Άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου. Ας υποθέσουμε ότι,,,...,. Αναζητούμε το άθροισμα : S... Αν ο λόγος της προόδου είναι λ, το παραπάνω άθροισμα μπορούμε να το γράψουμε με τη μορφή : S... () Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της προηγούμενης σχέσης με λ, έχουμε : S... () Αφαιρώντας κατά μέλη από τη σχέση () την (), προκύπτει: S S S Εφ όσον, από την προηγούμενη σχέση έχουμε: S ή S Αν τότε ισχύει:, * επομένως από τη σχέση (), προκύπτει: S - 6 -

24 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. i) Αν α και λ να βρεθεί ο α 6. ii) Αν α6 448 και λ να βρεθεί ο α. iii) Αν α 9 και α5 44 να βρεθεί ο λ. iv) Αν α και λ και αν 6 να βρεθεί ο ν. i) Είναι: 5 5 α6 α λ α6 α λ 448 α 448 α α α 4 ii) Είναι: α5 α λ 44 9 λ λ λ 6 λ λ 9 iii) Είναι: iv) Είναι: ν ν ν 4 ν αν α λ ν ν 5. Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι α και α8 84, να βρεθεί ο λ. 84 α8 α λ 84 λ λ λ λ λ Είναι : Στην γεωμετρική πρόοδο α) με α, αν 64 και λ β) με α, α5 να βρείτε το πλήθος ν να βρείτε τον λόγο λ

25 α) Είναι : β) Είναι : ν ν 6 ν ν αν α λ ν α5 α λ λ λ λ λ Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος, όταν : α) με α4 α 4, α α 6 α α β) με α) Έχουμε : και α α8 4 4 α α 4 α λ α λ 4 α λ λ 4 () α α 6 α λ α λ 6 α λ λ 6 () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () παίρνουμε : α α 0 λ λ λ 4 λ 4 α λ λ 6 λ 6 λ 4 λ 5 Για λ 5 η () δίνει : α α α 5 α Στην περίπτωση αυτή η πρόοδος είναι :,, 5, 5, Σημείωση Αν είναι λ τότε η () δίνει : α 6 α 0 6 (αδύνατη) β) Έχουμε : α4 α λ λ λ 5 α6 α λ λ α α8 α λ α λ α λ α α α 64 α () (4) - 8 -

26 Διακρίνουμε συνεπώς τις παρακάτω περιπτώσεις: Για α Για α Για α Για α 8 και 8 και λ λ 8 και 8 και λ λ, η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,.., η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,.,η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,, η γεωμετρική πρόοδος είναι : 8, 4,,,. 5. α) Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι α4, α6 7 και αν 9.477, να βρεθεί ο ν. β) Να βρεθεί το πλήθος ν των όρων μιας γεωμετρικής προόδου α ν,αν έχουμε: α 4, αν 97 και Sν.456. α) Έχουμε: 6 4 α α λ 7 λ 9 λ () ν 4 ν 4 ν 4 ν 4 ν 4 α α λ λ ν 4 ν 4 6 ν 0 ν ν ν β) Εκ της αν α λ 97 4 λ λ 4 () Εκ της ν ν α () λ 4 λ λ 4 λ S λ λ λ 64 λ 64 4 λ 64 λ 4 λ 64 λ 6 λ Για λ η σχέση () δίνει : ν ν 5 λ 4 ν 5 ν 6 () 6. Να προσδιοριστεί ο x ώστε οι αριθμοί : x, x, x 4 να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου

27 Οι x, x, x 4 είναι μη μηδενικοί αφού δεν υπάρχει τιμή του x για την οποία ισχύει x 0 και x 0 και x 4 0. Πρέπει : x x x 4 5x 5x 0 5x x 0 x 0 ή x 7. Μεταξύ των αριθμών και.87 να τοποθετήσετε άλλους αριθμούς έτσι ώστε να προκύψουν 7 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Πρέπει να τοποθετήσουμε 5 αριθμούς. 7 6 Άρα α λ λ 79 λ ή λ και επομένως Αν λ τότε x 9, x 7, x 8, x4 4, x5 79 Αν λ τότε x 9, x 7, x 8, x4 4, x Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο 64. Έστω α, α, α λ λ Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε : οι ζητούμενοι αριθμοί ( λ 0 και α 0). α α α λ 64 α 64 α 4 α λ 4 () α 4 α α λ 4 4 4λ 4 λ 5 λ λ λ λ 5λ 0 () () - 0 -

28 Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : και οι ρίζες της εξίσωσης είναι : λ , και επομένως : Αν α 4 και λ, τότε οι αριθμοί είναι :, 4, 8 Αν α 4 και λ, τότε οι αριθμοί είναι : 8, 4, 9. Να βρεθούν τέσσερις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, οι οποίοι να έχουν γινόμενο 6 και άθροισμα μεσαίων όρων 5. α λ Έστω,, α λ, α λ α λ Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε: οι ζητούμενοι αριθμοί ( λ 0 και α 0). α α α λ α λ 6 α 6 α α λ λ α λ α λ 5 α λ 5 α 5 α λ 5λ λ λ λ Αν α, τότε η σχέση () δίνει : λ 5λ λ 5λ 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : και οι ρίζες της εξίσωσης είναι : λ , και επομένως: Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι :,, 4, 6 4 Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι : 6, 4,, 4 () () - -

29 Αν α, τότε η σχέση () δίνει : λ 5λ λ 5λ 0 (4) Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (4) είναι : και οι ρίζες της εξίσωσης είναι : 5 λ , και επομένως: Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι :,, 4, 6 4 Αν α και λ, τότε οι αριθμοί είναι : 6, 4,, 4 0. α) Ποιο είναι το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της :,, 4, 8.; β) Πόσους διαδοχικούς πρώτους όρους πρέπει να προσθέσουμε, για να πάρουμε άθροισμα 85; α) Οι αριθμοί,, 4, 8.αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο το α και λόγο το λ, οπότε το άθροισμα των 6 πρώτων όρων της είναι : 6 6 α λ 64 6 S6 λ β) Έστω ότι πρέπει να προσθέσουμε ν όρους για να πάρουμε άθροισμα 85. Τότε : ν α λ Sν λ ν ν ν 8 ν ν 8 ν - -

30 . Να βρείτε την γεωμετρική πρόοδο α ν S S α) 0 5, α β) S 6 και η διαφορά 4 α α 5, εάν α) Είναι : α λ 0 α 0 0,λ S0 λ λ λ λ λ 5 5 S5 α λ λ λ λ α Για λ και η γεωμετρική πρόοδος είναι :, 4, 8, 6,,. β) Είναι : α λ () S 6 6 λ α α 5 α λ α 5 α λ 5 () 4 Η σχέση () λόγω της () γράφεται : 5 6 λ λ λ λ Για λ η σχέση () δίνει : α λ 5 α 5 6 α 5 α Επομένως η γεωμετρική πρόοδος είναι :, 6, 8, 54,... Σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι S6 8 S και S4 πρόοδος. 80. Να βρεθεί η Έχουμε : 6 α λ α λ 6 S6 8 S 8 λ 8 λ 7 0 λ λ λ λ 7 0 λ (απορρίπτεται ), λ - -

31 4 4 α λ α Επίσης είναι : Άρα η πρόοδος είναι :, 6, 8, 54,. S α 4. Να βρείτε το θ 0, π, αν οι αριθμοί ημθ, συνθ και εφθ να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 6 Θα πρέπει να ισχύει : ημθ ημθ ημθ συν θ εφθ συν θ 6συν θ ημ θ 6 6 συνθ 6συν θ συν θ 6συν θ συν θ 0 () Θέτουμε συνθ x, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : 6x x 0 () Πιθανές ρητές ρίζες της () είναι οι αριθμοί του συνόλου :,,, 6 x η () δίνει : Παρατηρούμε ότι για Με το σχήμα Horner, παίρνουμε : Το πηλίκο της διαίρεσης είναι το π x 6x 4x, το οποίο δεν έχει ρίζες αφού η διακρίνουσά του είναι αρνητική. Έτσι, π π x συνθ συνθ συν θ κπ π θ (αφού θ 0, π ). Δεκτή γίνεται η τιμή - 4 -

32 4. α) Σε μια γεωμετρική πρόοδο έχουμε α α4 α α. Να βρεθεί ο λόγος της. β) Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να απλοποιήσετε την παράσταση : α γ β γ β δ α δ. α) Είναι : α α α α α α λ α λ α λ α λ α λ λ 4 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 0 λ λ 0 λ 0 λ λ 0 λ α 0 β) Επειδή οι αριθμοί α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πάρουμε : β αγ () γ βδ () αδ βγ () Τότε η παράσταση Π, δίνει : α γ β γ β δ α δ α γ αγ β γ βγ β δ βδ α δ αδ (),() β γ αγ βγ βδ αδ αγ βδ αγ βγ βδ αδ () βγ αδ 0 5. Αν α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου τότε να αποδείξετε ότι οι αριθμητικής προόδου.,, α β α γ α β αποτελούν διαδοχικούς όρους Αφού οι αριθμοί α, β, γ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου θα ισχύει β α γ () - 5 -

33 Θα αποδείξουμε ότι οι αριθμοί,, α β α γ α β όρους αριθμητικής προόδου, θα αποδείξουμε δηλαδή ότι : α β α α γ α β α α γ β α γ αποτελούν διαδοχικούς α β α β α α α γ α β α β α γ α β α γ α β α γ α β Η σχέση όμως β α γ είναι αληθής. 6. Να λυθεί η εξίσωση : x *... 0, x. Το πρώτο μέλος είναι άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου με α, λ και πλήθος x, οπότε : x x x x x 4 7. Αν α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, δείξτε ότι: α δ β γ α γ β δ β γ. Είναι : α δ β γ α γ β δ αβ αγ βδ γδ αβ βγ αδ γδ αγ βδ βγ αδ () Αφού οι α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου ισχύουν : β αγ, γ βδ και β δ βγ αδ α γ οπότε () α δ β γ α γ β δ β γ βγ βγ β γ. 8. Να βρείτε τρεις ακέραιους αριθμούς, για τους οποίους ισχύουν τα εξής : i) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ii) αν αυξηθεί ο δεύτερος κατά 8, η πρόοδος γίνεται αριθμητική iii) αν αυξηθεί ο τρίτος κατά 64, γίνεται πάλι γεωμετρική - 6 -

34 Έστω α, β, γ οι ζητούμενοι αριθμοί. Τότε: Οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, άρα : β αγ () Οι αριθμοί α, β 8, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, άρα : β 8 α γ () Οι αριθμοί α, β 8, γ 64 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, άρα : β 8 α γ 64 () Η () λόγω της () γράφεται : β 8 α γ 64 β 6β 64 αγ 64α 6β 64 64α β 4α 4 (4) Η () λόγω της (4) γράφεται : β 8 α γ 4α 4 8 α γ 4α 4 α γ 7α 8 γ (5) Τέλος η () λόγω των σχέσεων (4) και (5) γράφεται : β αγ 4α 4 α 7α 8 6α α 6 7α 8α 9α 40α 6 0 Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι : και οι ρίζες του α () Για α 4 η (4) δίνει : β και η (5) δίνει : γ Οι αριθμοί λοιπόν είναι οι : 4,, 6 9. Να βρείτε τρεις αριθμούς για τους οποίους να ισχύουν τα εξής : i) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ii) έχουν άθροισμα 5 iii) αν σ αυτούς προσθέσουμε τους αριθμούς, 4, 9 αντίστοιχα θα γίνουν διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

35 Έστω α ω, α, α ω οι ζητούμενοι αριθμοί. Σύμφωνα με την υπόθεση, έχουμε : α ω α α ω 5 α 5 α 5 Οι αριθμοί 6 ω, 9, 4 + ω είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, άρα : 9 6 ω 4 ω ω 6ω ω ω 8ω 6 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () δίνει : Οι ρίζες είναι : ω Για α 5 και ω, οι αριθμοί είναι :, 5, 8 Για α 5 και ω, οι αριθμοί είναι : 6, 5, Ο Πέτρος γιορτάζοντας τα α γενέθλιά του, ζήτησε από τους γονείς του για δώρο δρχ και κάθε επόμενα γενέθλια να του αυξάνουν το ποσό κατά.000 δρχ μέχρι να γιορτάσει τα χρόνια του. Ο πατέρας του αντιπρότεινε τα εξής : «Θα σου δώσω τώρα 500 δρχ. και κάθε επόμενα γενέθλιά σου θα σου διπλασιάζω το προηγούμενο ποσό». Ο Πέτρος σκέφτηκε λίγο και απέρριψε την πρόταση του πατέρα του πιστεύοντας ότι όταν θα γιορτάζει τα 8 α γενέθλιά του με τη δική του πρόταση θα πάρει περισσότερα χρήματα. i) Δικαιολογήσετε γιατί συμφωνείτε ή διαφωνείτε με την άποψη του Πέτρου. ii) Πόσα χρήματα θα πάρει με τη δική του πρόταση στα α γενέθλιά του και πόσα θα έπαιρνε με την πρόταση του πατέρα του; i) Η πρόταση του πατέρα αποτελεί γεωμετρική πρόοδο με πρώτο όρο α 500 και λ. Άρα στα 8 α γενέθλια ο Πέτρος θα έπαιρνε : 6 6 α8 α λ δρχ. Η πρόταση του Πέτρου αποτελεί αριθμητική πρόοδο με β ω.000. Άρα στα 8 α γενέθλια ο Πέτρος θα έπαιρνε : και - 8 -

36 β8 β 6ω δρχ. Επομένως, ο Πέτρος θα πάρει περισσότερα χρήματα, σύμφωνα με την πρόταση του. ii) Στα α γενέθλιά του, τα χρήματα που θα πάρει συνολικά ο Πέτρος, σύμφωνα: Με την πρότασή του, είναι : β 9ω S Με την πρότασή του πατέρα, είναι : 0 0 α λ 500 S δρχ. λ δρχ

37 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε το ζητούμενο όρο σε κάθε μια από τις γεωμετρικές προόδους : i) του α 0 της:, 4, ,.. ii) του α 5 της:,, 4,.. Να βρείτε τον ο όρο της γεωμετρικής προόδου της οποίας ο 6 ος όρος είναι 448 και ο λόγος.. Να προσδιοριστεί ο όρος της προόδου: 6,, 4,.ο οποίος ισούται με Να υπολογίσετε το λόγο λ μιας γεωμετρικής α ν όταν α α 4 7. και 5. Να βρεθεί η γεωμετρική πρόοδος (α ν ) όταν : α και α 84. Να υπολογιστεί ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου, αν ο λόγος της είναι και ο α Έστω η γεωμετρική πρόοδος : 6, 8, 4,..Να βρείτε τον όρο της προόδου που ισούται με Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο ο ος όρος είναι είναι 6 να βρείτε τον 0ο όρο της. και ο 6ος όρος - 0 -

38 8. Να βρείτε τον όρο της γεωμετρικής προόδου, 6, 8, που είναι ίσος με Σε μια γεωμετρική πρόοδο δίνεται α 5, ν και αν βρεθεί ο λόγος και το άθροισμα S ν. 5.0.Να 0. Σε μια γεωμετρική πρόοδο δίνεται α 5, λ και Sν βρεθεί το πλήθος ν. 5. Να. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου :, 5, 75, 75,.που : i) Υπερβαίνει το.600 ii) Είναι μικρότερος του.800. Να προσδιοριστεί ο x ώστε οι αριθμοί :, x, x+ να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.. Να βρείτε το x ώστε οι αριθμοί : 5x 9, x +, x να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. 4. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου να δείξετε ότι: α β α β γ γ 5. Αν οι αριθμοί,, δείξετε ότι οι αριθμοί προόδου.. α β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου να β β β α,, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής 6. Αν οι μη μηδενικοί όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής α β γ προόδου, δείξτε ότι : α β γ α β γ. - -

39 7. Αν οι α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, δείξτε ότι: αβ γ β γ α β β γ. 8. Να προσδιοριστεί ο x ώστε να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής 4 προόδου οι αριθμοί : x, x, x Να υπολογίσετε τα αθροίσματα : i) ii) Στη γεωμετρική πρόοδο, 6, 8,.να βρείτε το πλήθος των πρώτων όρων που έχουν άθροισμα.. Αν σε μια γεωμετρική πρόοδο είναι : λ, αν 54 και Sν 40 να βρείτε τους α και ν.. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 9 όρων της γεωμετρικής προόδου (α ν ) στην οποία είναι: α α4 56 και α α Αν το άθροισμα τριών διαδοχικών όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι και το γινόμενό τους είναι 6 να βρείτε τους όρους αυτούς. 4. Να βρείτε τρεις αριθμούς ώστε να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να έχουν γινόμενο 8 και άθροισμα. 5. Να βρεθούν τρεις διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου όταν το γινόμενό τους είναι 5 και ο τρίτος είναι εξαπλάσιος του πρώτου. 6. Μεταξύ των αριθμών και 56 να παρεμβάλλετε άλλους τρεις αριθμούς ώστε όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. - -

40 7. Να λύσετε την εξίσωση : 0 ημx 4 ημ x 7 ημ x... 8 ημ x Να βρεθούν τρεις αριθμοί που αποτελούν γεωμετρική πρόοδο, αν το άθροισμά τους είναι 56 και το άθροισμα των αντίστροφών τους είναι Να βρεθούν ο πρώτος όρος και ο λόγος μιας γεωμετρικής προόδου, αν το άθροισμα των 4 πρώτων όρων είναι 40 και το άθροισμα των 8 πρώτων όρων είναι Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου 4 Px αγx β x γx με το x + είναι να δείξετε ότι οι αριθμοί: α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Π.. i) Να λυθεί η εξίσωση x x 5x ii) Να βρεθεί μια γεωμετρική πρόοδος με πέμπτο όρο την μικρότερη ρίζα και λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (i). iii) Να βρεθεί το άθροισμα Sν των ν πρώτων όρων της παραπάνω γεωμετρικής προόδου αν ως ν πάρω το τριπλάσιο της τρίτης ρίζας του ερωτήματος (i). Π.. Βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού x ώστε: συνx, ημx, εφx να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Π.. Να βρεθεί ο x αν οι αριθμοί όροι γεωμετρικής προόδου. x x, log, log είναι διαδοχικοί Π.4. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος με α, α ημx, α4 ημx 0 x π. i) Να δείξετε ότι x π. - -

41 ii) Να δείξετε ότι ο λόγος είναι λ = και ο πρώτος όρος είναι α iii) Να βρείτε το άθροισμα των έξι πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου.. Π. 5.Η μελέτη βακτηριδίων έδειξε τα εξής : i) ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν 400 ii) 4 ώρες μετά την έναρξη της παρατήρησης τα βακτηρίδια ήταν.00 Ο τύπος που δίνει τον αριθμό των βακτηριδίων σε χρόνο t είναι kt P t P0 όπου P 0 ο αρχικός αριθμός και k σταθερά. Να βρείτε την σταθερά k. Να βρείτε τον αρχικό αριθμό P 0 των βακτηριδίων

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ Ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών 1,,3,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της.

σ αυτή την περίπτωση; = 610 και το άθροισμα των 12 πρώτων όρων της S 12 = 222. Να βρείτε τη διαφορά και τον 1 ο όρο της. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΑΡΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 6 και 9. Να βρείτε α) τη διαφορά και β) τον 0 ο όρο της προόδου.. Σε μια αριθμητική πρόοδο είναι 3 και 7.

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω Ρ(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν

( ) Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + + + L + 2 ν Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών: α) α ν = 4ν + 3 β) α = + ( 1) ν ν γ) α ν = 1 1 1 1 + + + L + 1 3 34 ν ν + 1 δ) α1 = 0, αν+ 1 = 3α + 1 ν ( ). ** Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,..

Θέματα για Λύση. 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 72 Θέματα για Λύση 1. Να βρείτε τον 15 ο όρο της αριθμητικής προόδου: 7, 15, 23, 31,.. 2. Σε μια αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι: α 8 = 22 και α 14 = 40. Να προσδιορισθεί ο εικοστός όρος της προόδου. 3.

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr.

Πρόοδοι. Κώστας Γλυκός. Αριθμητική & Γεωμετρική ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 91 Ασκήσεις. σε 5 σελίδες. Ιδιαίτερα μαθήματα. εκδόσεις. Kglykos.gr. Πρόοδοι Κώστας Γλυκός Αριθμητική & Γεωμετρική 9 Ασκήσεις σε 5 σελίδες Ιδιαίτερα μαθήματα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 6 / / 0 7 εκδόσεις Καλόπήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-300.88.88 Ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι

1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι _ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β»

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α-β>0 τότε α>β «Αν η διαφορά είναι θετικός αριθμός τότε ο πρώτος αριθμός δηλαδή το α είναι μεγαλύτερος από τον δεύτερο δηλαδή το β» ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται πιο δεξιά στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο αριθμούς α και β βρίσκουμε τη διαφορά τους

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου 0 στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πέμπτη 0 Μαΐου 0 (Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα) Όνομα:.. Θέμα Α ν ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ. 1. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. ) κάθε όρος Γ Δ. Β. 10 Γ. 2 Δ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Η ακολουθία είναι μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν Δ. Ν* Ε. R. * Σε μια ακολουθία ( ) κάθε όρος είναι Α. θετικός Β. 0 Γ. ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα