Διαπεράσεις Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διαπεράσεις Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων"

Transcript

1 Διαπεράσεις Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων Κάθε διαδικασία συστηματικής και εξαντλητικής εξερευνήσεως ενός γραφήματος, με την εξέταση των κορυφών και ακμών του Παρ όλη την απλότητά τους, οι διαπεράσεις είναι ισχυρές και ικανές να ανακαλύψουν τις ιδιότητες των γραφημάτων Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

2 Γενικός Αλγόριθμος Διαπεράσεως Algorithm GRAPHsearch(graph G) Input: Γράφημα G Output: Διαπέραση βάσει graphsearch. int v, order=;. for (v = ; v < G.V; v++). G.pre[v] = -;. for (v = ; v < G.V; v++). if (G.pre[v] == -). graphsearch(g, v); Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

3 Αναζήτηση σε Βάθος Αρχικά όλες οι κορυφές θεωρούνται ως ανεξέταστες Μέχρι να εξερευνήσουμε όλες τις κορυφές, επαναληπτικά, κάνουμε τα ακόλουθα: Επιλέγουμε μία ανεξερεύνητη και την κηρύσσουμε εξερευνημένη Εάν υπάρχει γειτονική της ανεξέταστη, την επιλέγουμε ως επόμενη προς θεώρηση κορυφή Η επιλογή γίνεται βάσει ονόματος (συνήθως επιλέγεται το μικρότερο διαθέσιμο) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

4 Παράδειγμα Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

5 Παράδειγμα (συν.) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

6 Algorithm dfslist(graph G, vertex v) Υλοποίηση. G.pre[v] = order++;. for (x = G.List[v]; x!= null; x = x.getnext()). if (pre[x.v] == -). dfslist(g, x.v); Algorithm dfsmatrix(graph G, vertex v). G.pre[v] = order++;. for (w = ; w < G.V; w++). if (G.A[v][w]!= ). if (pre[w] == -). dfsmatrix(g, w); Χρόνος: Γραμμικός στο μέγεθος του G (κάθε ακμή εξετάζεται το πολύ δύο φορές και κάθε κορυφή ακριβώς μία φορά) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

7 Δένδρο ΑσΒ Κατηγορίες ακμών Ακμές δένδρου (ακμές της εξερεύνησης) 9 Οπισθοακμές (ήδη εξερευνημένες) Αριθμοί προδιατάξεως και μεταδιατάξεως (περατώσεως) v απόγονος της w εάν έχει μεγαλύτερο αριθμό προδιατάξεως και μικρότερο αριθμό μεταδιατάξεως v πρόγονος της w εάν έχει μικρότερο αριθμό προδιατάξεως και μεγαλύτερο αριθμό μεταδιατάξεως σε κάθε άλλη περίπτωση δεν σχετίζονται... Κατασκευή ανάστροφου δένδρου ΑσΒ μέσω βοηθητικού πίνακα, όπου θα σημειώνεται ο πατέρας κάθε ανακαλυφθείσας κορυφής (γιατί συμφέρει;) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

8 Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι - Παράδειγμα μη Συνεκτικού μη Κατευθυνόμενου Γραφήματος

9 Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι

10 Εφαρμογές ΑσΒ Εντοπισμός Κύκλου: Αφ ης στιγμής ανακαλυφθεί οπισθοακμή Εύρεση Απλού Μονοπατιού μεταξύ v και w: Εκκίνηση ΑσΒ από την v (απόδειξη με επαγωγή στο μήκος του μονοπατιού) Επικαλύπτον Δένδρο ή Δάσος (απλή συνεκτικότητα): Εάν το γράφημα είναι συνεκτικό, τότε το δένδρο ΑσΒ είναι επικαλύπτον. Διαφορετικά, κάθε επανεκκίνηση της ΑσΒ ανακαλύπτει και μία συνεκτική συνιστώσα (ελάχιστες οι τροποποιήσεις των αλγορίθμων- μόνο ένας πίνακας και μία βοηθητική μεταβλητή) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

11 Εφαρμογές ΑσΒ (συν.),,,, Σημεία Αρθρώσεως:, Προϋποθέσεις για μία κορυφή v: Είτε είναι ρίζα του ΑσΒ με παιδιά Είτε δεν υπάρχει απόγονός της w που να συνδέεται, μέσω οπισθοακμής, με απόγονό της u και, άρα, όλα τα μονοπάτια μεταξύ των u,w περνούν από την v Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -,,

12 Algorithm articpoint(graph g, vertex v). g.low[v] = g.pre[v] = g.order++;. for (x = g.list[v]; x!= null; x = x.getnext()). if (g.pre[w = x.v] == -){ // δεν έχει εξερευνηθεί. g.t[w] = v;. articpoint(g, w); // αναδρομική επίσκεψη στον w. if (g.low[v] > g.low[w]) // ο w «βλέπει» απόγονο του v, επομένως τον βλέπει και ο v. g.low[v] = low[w];. if (g.low[w] >= g.pre[v]) // ο w δεν «βλέπει» ψηλότερα από τον v 9. g.artpoint.inslast(v);. }. else if ((w!= g.t[v]) && (g.low[v] > g.pre[w])) // ο w πρόγονος και όχι πατέρας. g.low[v] = g.pre[w]; O g.low[v] περιέχει τον μικρότερο από: α) τον αριθμό προδιατάξεως της v, και β) από τον μικρότερο αριθμό προδιατάξεως κορυφής που μπορεί να ανακαλυφθεί από απλό μονοπάτι ακμών δένδρου ακολουθούμενο από μία οπισθοακμή Χρόνος: Γραμμικός λόγω ΑσΒ Μπορεί να εντοπίσει και τις γέφυρες (εξάσκηση) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

13 Εφαρμογές ΑσΒ (συν.) Δισυνεκτικές Συνιστώσες: Πρώτη Αντιμετώπιση Σχέση ισοδυναμίας L επί του συνόλου ακμών Ε: elo, e,oe ανν υπάρχει απλός κύκλος που τις περιέχει Οι κλάσεις ισοδυναμίας της L εξ ορισμού είναι και δισυνεκτικές συνιστώσες! Μία κορυφή είναι σημείο αρθρώσεως εάν συνδέεται με ακμές διαφορετικών κλάσεων ισοδυναμίας! Μία ακμή είναι γέφυρα εάν η κλάση ισοδυναμίας της περιέχει μόνον αυτήν! Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

14 Εφαρμογές ΑσΒ (συν.) Εκτελούμε μία ΑσΒ, προσπαθώντας να κτίσουμε βοηθητικό γράφημα, το οποίο έχει τις κορυφές του - αντίστοιχες με το σύνολο των ακμών του. Για κάθε οπισθοακμή που ανακαλύπτουμε, ενώνουμε όλες τις κορυφές ακμές του κύκλου με την κορυφή-οπισθοακμή Με αποτέλεσμα, όλοι οι κύκλοι μίας δισυνεκτικής συνιστώσας να διασυνδέονται σε συνεκτική συνιστώσα στο βοηθητικό γράφημα, καθώς διαμοιράζονται ακμές μονοπατιού από ακμές δένδρου ΑσΒ Κόστος Ο(VE) καθώς ένας κύκλος μπορεί να έχει Ο(V) ακμές. Βελτίωση σε Ο(V+E), εάν παραχθεί ένα επικαλύπτον δάσος του βοηθητικού γραφήματος Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

15 Εφαρμογές ΑσΒ (συν.) Εναλλακτικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθμος εντοπισμού των σημείων αρθρώσεως: Αρκεί κάθε φορά που πρωτοανακαλύπτουμε είτε ακμή δένδρου είτε οπισθοακμή να την τοποθετούμε σε στοίβα και μετά, με διαδοχικά ποπ, μόλις ανακαλυφθεί το σημείο αρθρώσεως, να ανακτούμε όλη την συνιστώσα!!! Τυπική απόδειξη με επαγωγή Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

16 Αναζήτηση κατά Πλάτος (ΑκΠ) Εναλλακτική της ΑσΒ Πετυχαίνει διαπέραση των κορυφών κατά αύξοντα μήκη ελαχίστων μονοπατιών Επίσκεψη των κορυφών με χρήση FiFo, ώστε να μεταβαίνουμε σε όλες τις γειτονικές ανεξέταστες κορυφές κάθε εξετασμένης κορυφής Η ΔΙΑΠΕΡΑΣΗ ΓΙΝΕΤΑΙ ΚΑΤΑ ΚΥΜΑΤΑ: Στο πρώτο, ανακαλύπτονται όλες οι κορυφές αποστάσεως, στο δεύτερο, όλες οι αποστάσεως κοκ. Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

17 Παράδειγμα ΑκΠ Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

18 Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι Παράδειγμα ΑκΠ (συν.)

19 Algorithm bfsmatrix(graph G, vertex v). fifo.enqueue(v);. G.pre[v] = order++;. while (!fifo.isempty()){. w = fifo.dequeue();. for (x = ; x < G.V; x++). if ((G.A[w][x] == ) && (G.pre[x] == -)){. fifo.enqueue(x);. G.pre[x] = order++; 9. }. } ΧΡΟΝΟΣ: O(V+E) καθώς κάθε κορυφή εισάγεται και εξάγεται από την ουρά μία φορά και κάθε ακμή εξετάζεται μία φορά από κάθε κατεύθυνση Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι - 9

20 Δένδρο ΑκΠ 9 9 Κατηγορίες ακμών Ακμές δένδρου Διασταυρώσεως (μεταξύ επιπέδων που διαφέρουν κατά ένα) ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΟΠΙΣΘΟΑΚΜΕΣ (γιατί;) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

21 Εφαρμογές Εντοπισμός Κύκλου: Αφ ης στιγμής ανακαλυφθεί ακμή διασταυρώσεως Εύρεση Απλού Μονοπατιού μεταξύ v και w: Εκκίνηση ΑκΠ από την v (απόδειξη με επαγωγή στο μήκος του μονοπατιού) Επικαλύπτον Δένδρο ή Δάσος (απλή συνεκτικότητα): Εάν το γράφημα είναι συνεκτικό, τότε το δένδρο ΑκΠ είναι επικαλύπτον. Διαφορετικά, κάθε επανεκκίνηση της ΑκΠ ανακαλύπτει και μία συνεκτική συνιστώσα (ελάχιστες οι τροποποιήσεις των αλγορίθμων- μόνο ένας πίνακας και μία βοηθητική μεταβλητή) Συντομότερα, σε # ακμών, μονοπάτια από μία κορυφήπηγή: Εκκίνηση ΑκΠ από την v Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

22 Γενίκευση Algorithm pqsearchlist(graph G, vertex v). pqueue.enqueue(v);. G.pre[v] = order++;. while (!pqueue.isempty()){. w = pqueue.dequeue();. G.T[w] = v;. for (x = G.List[w]; x!= null; x = x.getnext()). if (G.pre[x.v] == -){. pqueue.enqueue(x); 9. G.pre[x.v] = order++;. }. } Το πώς γίνεται η επιλογή της επόμενης κορυφής καθορίζει και το είδος του ψαξίματος... Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

23 Κατευθυνόμενα Γραφήματα Αποτελούν πλούσια σε ιδιότητες συνδυαστικά αντικείμενα: Διαπεράσεις Άκυκλα κατευθυνόμενα γραφήματα Αλγόριθμους για ζητήματα διασυνδέσεως Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

24 ΑσΒ Εμπροσθοακμές Διασταυρώσεως Οπισθοακμές Είδη Ακμών: Ακμές Δένδρου Εμπροστοακμές Οπισθοακμές Ακμές Διασταυρώσεως (πάντοτε από δεξιά προς αριστερά-γιατί;) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

25 Εφαρμογές ΑσΒ Προσπελάσιμες από κορυφή v κορυφές του γραφήματος: Με επαγωγή στο μέγεθος του γραφήματος Εντοπισμός κύκλου: Μόλις βρεθεί η οπισθοακμή Ισχυρά συνεκτικότητα Μεταβατική κλειστότητα: Θα δούμε πώς... Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

26 ΑκΠ Εμπροσθοακμές Διασταυρώσεως Οπισθοακμές Είδη Ακμών Ακμές Δένδρου Ακμές Διασταυρώσεως Οπισθοακμές ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΕΜΠΡΟΣΤΟΑΚΜΕΣ Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

27 ΚΑΓ Ιδιαίτερη κατηγορία γραφημάτων, τα οποία δύνανται να θεωρηθούν και ένα είδος δένδρου. Εφαρμογές Προγραμματισμός εργασιών έργου Περιορισμοί στο πρόγραμμα σπουδών Προγ. Ι Αλγόριθμοι Διακριτά Προγ. ΙΙ Προγ. ΙΙΙ Δ. Δεδομένων Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

28 Τοπολογική Διάταξη Επιβολή διατάξεως στις κορυφές του γραφήματος, ώστε μία κορυφή v να προηγείται όλων των κορυφών w, με (v,w)e Πχ, στο ΚΑΓ- διάγραμμα έργων, η εκτέλεση των υποεργασιών κατά τοπολογική διάταξη εγγυάται την ορθή εκτέλεση του έργου Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

29 η Λύση Συστηματική αφαίρεση πηγών Εντοπίζει, μάλιστα, και όσα κατευθυνόμενα γραφήματα δεν είναι άκυκλα και, επομένως, λανθασμένα δόθηκαν ως είσοδος στον αλγόριθμο Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι - 9

30 Στιγμιότυπο Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

31 Στιγμιότυπο με Κύκλο Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

32 Αλγόριθμος Algorithm topolsortlist(graph g, int[] sort). int[] aux;. for (v = ; v < G.V; v++){ // αρχικοποίηση. aux[v] = ;. sort[v] = -;. }. for (v = ; v < g.v; v++) // υπολογισμός βαθμού εισόδου κορυφών. for (x = G.List[v]; x!= null; x = x.getnext()). aux[x.v]++; 9. FiFo pq = new FiFo();. for (v = ; v < g.v; v++). if (aux[v] == ) pq.enqueue(v); // έγινε πηγή. for (i = ;!pq.isempty(); i++){. order[i] = (v = pq.dequeue()); // αφαίρεση της επόμενης πηγής. for (x = g.list[v]; x!= null; x = x.getnext()). if (--aux[x.v] == ) // ενημέρωση των βαθμών εισόδου των γειτονικών κορυφών. pq.enqueue(x.v);. } Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

33 η Λύση Η μεταδιάταξη αποτελεί μία αντίστροφη τοπολογική διάταξη σε ένα ΚΑΓ: μία κορυφή περατώνει πιο γρήγορα όσο περισσότερo εξαρτημένη είναι Οπότε: είτε χρήση στοίβας για την αντιστροφή της είτε διενέργεια ΑσΒ στο ανάστροφο ΚΑΓ Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

34 Χρήση Στοίβας Κατά φθίνουσα σειρά περάτωσης (postorder) (α) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

35 Χρήση Ανάστροφου Γραφήματος Κατά αύξουσα σειρά περάτωσης (postorder) στο ανάστροφο (β) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

36 Μεταβατική Κλειστότητα Απλούστατη Λύση: V ΑσΒ, μία από κάθε κορυφή v, ώστε να ανακαλυφθούν όλες οι προσπελάσιμες, από την v, κορυφές Κόστος Ο(V(E+V)) Καλό για αραιά γραφήματα Όμως, Ο(V ) για πυκνά γραφήματα Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

37 Μεταβατική Κλειστότητα για Πυκνά Παρατήρηση: Γραφήματα Εάν Α είναι ο πίνακας γειτνιάσεως και σχηματίσουμε το ΑΑ=Α, ερμηνεύοντας τα {, +} ως {,}, αντίστοιχα, τότε ανακαλύπτουμε όλα τα μονοπάτια μήκους ακριβώς, καθώς: Α [i][j]= ανν { k i,j: Α[i][k] Α[k][j]=}, ( A [ i][ j] k ( A[ i][ k] A[ k][ j]) ) ενώ τα μήκους ένα (απευθείας συνδέσεις) διαγράφονται. A A A =Α Α, δίδει τα μονοπάτια μήκους ακριβώς AA A =Α Α, δίδει τα μονοπάτια μήκους ακριβώς, κ.o.κ. Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

38 Προσθέτουμε στις διαγωνίους (δηλ., βρόχους στο γράφημα) Τότε κάθε δύναμη Α i, i V, μάς δίδει όλα τα μονοπάτια με μήκος το πολύ i (οι βρόχοι που προσθέσαμε, μάς επιτρέπουν να κρατούμε τα του Α i- ) Μεγαλύτερες δυνάμεις δεν παρέχουν καμμία επιπρόσθετη πληροφορία A A A A Μεταβατική Κλειστότητα (συν.) Λύση κόστους Ο(V V)=O(V ) A AA A A Μειώνεται σε Ο(V logv) με διαδοχικούς τετραγωνισμούς: Α, Α =Α Α, Α =Α Α,... A Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

39 Ακόμη καλύτερη λύση: Αλγόριθμος Warshall Δίδεται τυχαία διάταξη στις κορυφές Σχηματίζεται μία ακολουθία γραφημάτων G,G,,G V, ώστε: G i = G i- {(v k,v j ) (v k,v i )(v i,v j )G i- } G * = G V. Με επαγωγή στο i: Έστω ότι τo G i- έχει συνδέσεις για όλα τα μονοπάτια v k v j, αποτελούμενα αποκλειστικά από ενδιάμεσες κορυφές v,v,,v i-. Για i =, είναι αληθές. Τότε, εκ κατασκευής, το G i έχει συνδέσεις για όλα τα μονοπάτια v k v j, αποτελούμενα αποκλειστικά από τις ενδιάμεσες κορυφές v,v,,v i, καθώς παίρνει όλα του G i- συν τα καινούρια με ενδιάμεση κορυφή την v i k i {v,v,...,v i-,v i } j Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι - 9

40 Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι - Παράδειγμα G G G G (,,) (,,) (,,) (,,) (,,,) (,,,) (,,,)

41 Algorithm warshalltc(graph g). for (v = ; v < g.v; v++). for (w = ; w < g.v; w++). g.trclosure[v][w] = g.α[v][w];. for (v = ; v < g.v; v++). g.trclosure[v][v] = ;. for (i = ; i < g.v; i++) // i-στός γύρος. for (v = ; v < g.v; v++). if (g.trclosure[v][i] == ) // έχει νόημα η δοκιμή 9. for (w = ; w < g.v; w++). if (g. TrClosure[i][w] == ). g.tctrclosure [v][w] = ; Χρόνος Ο(V ) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

42 Ισχυρά Συνεκτικές Συνιστώσες Λύση Kosaraju: Πολύ απλή στην περιγραφή και υλοποίηση! Μια ΑσΒ στο G R Βάσει της φθίνουσας προκύπτουσας postorder διάταξης, μια δεύτερη ΑσΒ στο G Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

43 Παράδειγμα (α) (β) (γ) (δ) (ε) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

44 Διαίσθηση... Φανταστείτε ότι οι συνιστώσες ήταν γνωστές. Συμπίεση τους σε υπερκόμβους και αναστροφή του ΚΑΓ που προκύπτει. Η ΑσΒ τις διαπερνά, από τις περισσότερο προς λιγότερο εξαρτημένες, δίχως να τις εγκαταλείψει...,,,,,, (α) (β) (γ) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

45 Τυπικότερη Απόδειξη Δύο κορυφές v,w ανήκουν στην ίδια ισχυρά συνιστώσα ανν ανήκουν στο ίδιο δένδρο ΑσΒ () Προφανές, από την λειτουργία της ΑσΒ () Θ.δ.ο. v ρ w (ρ ρίζα δένδρου ΑσΒ στο G) v ρ, καθώς: ρ v στο G v ρ στο G R v ρ στο G R καθώς post(ρ) > post(v), άρα δεν είναι δυνατόν να ανήκουν σε διαφορετικά υποδένδρα v ρ (στο G) ρ w: αποδεικνύεται παρομοίως Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

46 Λύση Tarjan Μειονεκτήματα Kosaraju: Υπολογισμός του G R ΑσΒ Πρόταση Tarjan ΑσΒ Βοηθητική Stack Βοηθητικός Πίνακας Low (όπως στον υπολογισμό των Δισυνεκτικών Συνιστωσών) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

47 Παράδειγμα,,,,,,, Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

48 Algorithm tarjansc(graph g, int w). g.pre[w] = g.order++;. g.low[w] = g.pre[w];. min = low[w];. g.stack.push(w);. for (x = g.list[w]; x!= null; x = x.getnext()){. if (pre[x.v] == -). tarjansc(g, x.v);. if (g.low[x.v] < min) // οπισθοακμή 9. min = g.low[x.v];. }. if (min < g.low[w]){ // δεν είναι αρχή συνιστώσας. g.low[w] = min; // ενημέρωση και. return; // επιστροφή. }. do { // αρχή συνιστώσας. g.sc[(v = g.stack.pop()] = g.strcompnum;. g.low[v] = g.v; // γείωσή τους ώστε να μην επηρεάζουν τους υπολογισμούς!. } 9. while (v!= w);. g.strcompnum++; // νέος αριθμός συνιστώσας Χρόνος O(V+E) αφού αποτελεί επέκταση της ΑσΒ!!! Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

49 Ορθότητα (σχεδιάγραμμα) p v Εάν για κάθε απόγονο w της v δεν υπάρχει οπισθοακμή που να ξεπερνά την v, τότε μπορεί κανείς να σχηματίσει κατευθυνόμενο κύκλο που να περιλαμβάνει την w και την v: x w v w (με ακμές δένδρου) x (απόγονο της w με οπισθοακμή προς y που ξεπερνά την w) y z (απόγονο της y με οπισθοακμή προς q που ξεπερνά την y) q p v Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι - 9

50 Λύση Gabow ΑσΒ και stack, ώστε να αποφεύγεται η χρήση του low: η stack για την καταχώρηση των κορυφών κατά σειρά ανακαλύψεως η stack για εξομοίωση του low Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

51 Παράδειγμα Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

52 Algorithm gabowsc(graph g, vertex w). g.pre[w] = g.order++;. g.stack.push(w);. g.pstack.push(w);. for (x = g.list[w]; x!= null; x = x.getnext()). if (g.pre[x.v] == -) // ανεξερεύνητος απόγονος. gabowsc(g, x.v);. else if (g.sc[x.v] == -) // οπισθοακμή προς x.v εντός ανεξερεύνητης συνιστώσας. while (g.pre[g.pstack.top()] > g.pre[x.v]) // ποπ ώστε να μείνει η ψηλότερη 9. g.pstack.pop(); // από αυτές που είδαμε. if (g.pstack.top()!= w) // δεν αποτελεί σημείο εισόδου. return;. else. g.pstack.pop(); // αποτελεί κορυφή εισόδου που. do // «φράσσει» τα περιεχόμενα της πρώτης stack. g.sc[(t=g.stack.pop())] = g.strcompnum;. while (t!= w);. g.strcompnum++; // νέος επόμενος αριθμός συνιστώσας Χρόνος O(V+E) Παναγιώτης Μποζάνης ΤΜΗΜΜΥ - Αλγόριθμοι -

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης διαφάνειες για SCC: A. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων

1 Διάσχιση κατευθυνόμενων γραφημάτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 5ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 10 η Διάλεξη Κατευθυνόμενοι Γράφοι Βασικά χαρακτηριστικά Αλγόριθμοι διάσχισης κατευθυνόμενων γράφων Λίγα Λόγια για Αλυσίδες Markov Βασικά Χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

Δένδρα. Μαθηματικά (συνδυαστικά) αντικείμενα. Έχουν κεντρικό ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών :

Δένδρα. Μαθηματικά (συνδυαστικά) αντικείμενα. Έχουν κεντρικό ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών : Δένδρα Μαθηματικά (συνδυαστικά) αντικείμενα. Έχουν κεντρικό ρόλο στην επιστήμη των υπολογιστών : Ανάλυση αλγορίθμων (π.χ. δένδρα αναδρομής) Δομές δεδομένων (π.χ. δένδρα αναζήτησης) ακμή Κατηγορίες (αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 3 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) :

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος και Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Ακμή που περιέχεται σε κάθε μονοπάτι από το στο s a b c d e f g h i j k l Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS) 2. Τοπολογική Ταξινόμηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Depth-First Search Πρώτα σε Βάθος διερεύνηση (Depth-First Search) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΤΡΕΞΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΔΙΑΤΡΕΞΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4 ΔΙΑΤΡΕΞΗ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 40 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ: εισαγωγικά θέματα και παραδείγματα 4. Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό, τα γραφήματα αποτελούν μοντέλα σχέσεων για πολλές και σημαντικές εφαρμογές. Ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 21: Γράφοι II - Τοπολογική Ταξινόμηση

Διάλεξη 21: Γράφοι II - Τοπολογική Ταξινόμηση ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 21: Γράφοι II - Τοπολογική Ταξινόμηση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Τοπολογική Ταξινόμηση - Εφαρμογές, Παραδείγματα, Αλγόριθμοι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Μεταγλωττιστών

Θέματα Μεταγλωττιστών Γιώργος Δημητρίου Ενότητα 7 η : Περιοχές: Εναλλακτική Μέθοδος Ανάλυσης Ροής Δεδομένων Περιοχές (Regions) Σε κάποιες περιπτώσεις βρόχων η ανάλυση ροής δεδομένων με τον επαναληπτικό αλγόριθμο συγκλίνει αργά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 10 ο Γράφοι Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Γράφοι Ορισµός Αφηρηµένος τύπος δεδοµένων Υλοποίηση Αναζήτηση έντρο

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα)

Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2016-17 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (IΙ) (γράφοι και δένδρα) http://mixstef.github.io/courses/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Αφηρημένες

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10γ: Αλγόριθμοι Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS)- Τοπολογική Ταξινόμηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Δένδρα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Δένδρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Δένδρα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

Σχέσεις Μερικής ιάταξης Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Outline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3

Outline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Ιανουάριος 2019 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3η σειρά ασκήσεων Ιανουάριος 2019 1 / 54 Outline 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Γραφήματα Βασικές Έννοιες και Εφαρμογές Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 19: ΓράφοιII -ΤοπολογικήΤαξινόμηση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Τοπολογική Ταξινόμηση - Εφαρμογές, Παραδείγματα, Αλγόριθμοι Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ231 Δομές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο

Σχεδιαση Αλγοριθμων -Τμημα Πληροφορικης ΑΠΘ - Κεφαλαιο 9ο Σχεδίαση Αλγορίθμων Άπληστοι Αλγόριθμοι http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad 1 Άπληστοι αλγόριθμοι Προβλήματα βελτιστοποίησης ηςλύνονται με μια σειρά επιλογών που είναι: εφικτές τοπικά βέλτιστες

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικότητα Γραφήματος

Συνεκτικότητα Γραφήματος Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity)

Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Συνδετικότητα γραφήματος (graph connectivity) Υπάρχει μονοπάτι μεταξύ α και β; α Παραδείγματα: υπολογιστές ενός δικτύου ιστοσελίδες ισοδύναμες μεταβλητές ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ

Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής ιάταξης (ή µερική διάταξη): ανακλαστική, αντισυµµετρική, και µεταβατική. Αριθµοί: α β (αλλά όχι α < β), α β, Σύνολ Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ -Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Δυαδικά Δένδρα - Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης(ΔΔΑ) - Εύρεση Τυχαίου, Μέγιστου, Μικρότερου στοιχείου - Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Αναδροµή. Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής

Αναδροµή. Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής Αναδροµή Σε αυτήν την (βοηθητική) ενότητα θα µελετηθούν τα εξής : Η έννοια της αναδροµής Υλοποίηση και αποδοτικότητα Αφαίρεση της αναδροµής 1 Αναδροµή Βασική έννοια στα Μαθηµατικά και στην Πληροφορική.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Συντομότατα μονοπάτια 2. Αλγόριθμος Bellman-Ford 3. Αλγόριθμος Dijkstra 4. Floyd-Warshall Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Single-Source Shortest Path Πρόβλημα:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 30 Απριλίου 2015 1 / 48 Εύρεση Ελάχιστου

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 5 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 5 Σκελετοί Λύσεων Κατ οίκον Εργασία 5 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 (α) Ο αλγόριθµος χρησιµοποιεί τη διαδικασία DFS(v) η οποία, ως γνωστό, επισκέπτεται όλους τους κόµβους που είναι συνδεδεµένοι µε τον κόµβο v. Για να µετρήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1

Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad auth gounaris/courses/ad Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Μείωσε και Βασίλευε 1. Μειώνουμε

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο

Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η σειρά γραπτών και προγραμματιστικών ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Ιανουάριος 2017 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος 2017 1 / 53 Outline 1 Άσκηση 1:

Διαβάστε περισσότερα

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων 1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση γραφήματος

Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Ένας αλγόριθμος διερεύνησης γραφήματος επισκέπτεται τους κόμβους του γραφήματος με μια καθορισμένη στρατηγική, π.χ. κατά εύρος ή κατά βάθος. Καθοδική διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η διαδικασία PercolateDown, Δημιουργία Σωρού O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Υλοποίηση, Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Μερικής ιάταξης

Σχέσεις Μερικής ιάταξης Σχέσεις Μερικής ιάταξης ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχέση Μερικής ιάταξης Σχέση Μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST)

Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Γεννητικό δέντρο (Spanning Tree) Ένα γεννητικό δέντρο για ένα γράφημα G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο (δηλ., είναι συνεκτικό και δεν

Διαβάστε περισσότερα

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων

3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων 1/55 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/55 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ

Διδάσκων: Κωνσταντίνος Κώστα Διαφάνειες: Δημήτρης Ζεϊναλιπούρ Διάλεξη 20: Τοπολογική Ταξινόμηση Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ολοκλήρωση Αλγορίθμων Διάσχισης Γράφων (Από Διάλεξη 19) Τοπολογική Ταξινόμηση Εφαρμογές, Παραδείγματα, Αλγόριθμοι

Διαβάστε περισσότερα