1% = 1/100 = 0,01; 6% = 6 1/100 = 6/100 = 0,06; 1 o / oo = 1/1.000 = 0,001; 6 o / oo = 6 1/1.000 = 6/1.000 = 0, : =

Transcript

1 raga Vugdeija Otiija Sedak FIASIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA - osovi kocet za astavu - Subotica 008.

2 I EO FIASIJSKA MATEMATIKA

3 3 SARŽAJ I ELA. PROCETI I PROMILI RAČU. ITERESI (KAMATI) RAČU.. Poja iteresa i kaitaisaja.. Prost iteres.3. Sože iteres 3. ESKOTOVAJE MEICA 4. KAMAĆEJE I ISKOTOVAJE VIŠEKRATIH PERIOIČIH PLAĆAJA (Uozi i rete) 5. AMORTIZACIJA ZAJMOVA 5..Auiteti jedaki 5.. Auiteti razičiti 5... Otate jedake 5... Auiteti se ejaju o aritetičkoj rogresiji Auiteti se ejaju o geoetrijskoj rogresiji Auiteti heterogeo (eravio) razičiti ii roizvojo određei 5.3. Koverzija zajova

4 4. Proceti i roii raču Srazeri raču ooću koga direkta odos dve veičie (tekuće i baze, dea i ceie) izražavao tako što jedu od veičia (bazu, odoso ceiu) uziao kao 00 odoso.000 jediica azivao roceti odoso roii raču. Pođio do sedećih dogovora: % /00 0,0; 6% 6 /00 6/00 0,06; o / oo /.000 0,00; 6 o / oo 6 /.000 6/.000 0,006. Prea ovi dogovoria odos broja 80 i ožeo rikazati ovako: :00 0,0 : %:00% 80 : :.000 0,00 : 0 0 :.000 Uoštio ovaj rier i aišio sedeću roorciju: P : G : G : P : P G () G je ozaka za bazu veičiu, ceiu ii tzv. čistu gavicu; P je ozaka za tekuću veičiu, deo ii tzv. roceti (roii) rios; je ozaka za tzv. rocetu (roiu) stou, i redstavja tekuću veičiu a jediicu baze veičie (gavice), se o žeji i otrebi ože rikazati u obiku s/00 ii s/.000, a tada s redstavja rios (tekuću veičiu) a 00 odoso 000 jediica gavice (baze veičie). Iz ove čijeice i doazi aziv "roceti" odoso "roii" raču. Proorcija () suži za tzv. roceti (roii), raču od sto, (hijadu) jer retostavja rad sa tzv. čisto gavico. Međuti, u raksi se javjaju i sučajevi kada je data ii se retostavja gavica zajedo sa rioso ii gavica o odbitku riosa. Za takve sučajeve jedostavo forirao izvedee roorcije (oazeći od ()) ozate od azivo roorcije za roceti (roii) raču više i iže sto (hijadu). G : (G ± P) : ( ± ) P : () Iz () se o otrebi ogu dobiti: P G (G ± P) ± G ± P ± (3) (4). Iteresi (kaati) raču.. Poja iteresa i kaitaisaja Iteresi ii kaati raču je srazeri raču zasova a roceto račuu, a od jega se

5 5 razikuje o toe što ukjučuje i vree kao faktor. Iteresi raču se koristi u osovia reguisaja kreditih odosa koji astaju izeđu dužika i overioca. Iteres ii kaata je akada koju dužik aća overiocu za korišćeje ozajjeog ovca a određeo vree. Iteres se ože obračuavati dekurzivo i aticiativo. ekurzivo obračuavaje iteresa se obavja kraje erioda, za roteki eriod (uazad), a raiju (diskotovau) vredost, kao čistu gavicu, a je stoga kasija (ukaaćea) vredost uvećaa gavica. Odos raije i kasije vredosti ri dekurzivo obračuavaju iteresa ožeo, u svrhu bojeg razuevaja, šeatski rikazati a tzv. vreeskoj iiji kojo redstavjao sao jeda obračuski eriod (Sika ). Sika Proces kaaćeja Raču "od sto" Raču "više sto" Proces diskotovaja G I G I je ozaka za čistu gavicu; je ozaka za iteres ii kaatu; je ozaka za uvećau gavicu (gavicu uvećau za iteres). Aticiativo obračuavaje iteresa se obavja očetko erioda, za eriod uared, a kasiju vredost kao čistu gavicu, a je stoga raija vredost uajea gavica (Sika ). Sika Proces kaaćeja Raču "iže sto" Raču "od sto" Proces diskotovaja Kada je reč o dužičko overiački odosia izeđu rivredih i drugih subjekata treba reći da se

6 6 kaata obračuava u određei vreeski itervaia (r. godišje) ii o isteku erioda kaaćeja koji je ugovore. Kaata se, zaviso od roisa ii dogovora, o obračuu ii isaćuje osebo u dogovoreo roku ii se riisuje gavici radi dajeg kaaćeja. Postuak obračua kaate i jeog riisivaja gavici aziva se kaitaisaje. Poja kaitaisaja se u raksi koikuje zbog razičitih varijati zadatih (roisaih, ugovoreih ii dogovoreih) kaatih stoa o čeu će u astavku biti reči detajije. Obraču kaata, bez obzira da i se vrši dekurzivo ii aticiativo, ora biti zasova a sedeći riciia: ) Prici zajedičkog roka, što zači da ovčai izosi, ii druge veičie koje se koriste uesto jih, radi uoredivosti oraju biti svedei (kaaćeje ii diskotovaje) a isti rok. ) Prici ekvivaecije odoso jedakosti uata i isata svedeih a isti rok. Obast ateatike koja za redet izučavaja ia iteresi raču i odaitete jegove riee azivao fiasijska ateatika. Prietio da zadatak fiasijske ateatike ije određivaje usova usostavjaja dužičko overiačkih odosa, već korekto ateatičko rešavaje robea astaih u dogovoreo (ugovoreo) ii zakoski usostavjei dužičko overiački odosia... Prost iteres Iteres koji se svakog erioda račua a istu gavicu je kostata veičia i aziva se rost iteres. U svrhu foriraja odgovarajućih obrazaca za obraču kaate, uvodio sedeće ozake: je ozaka za iteresu (kaatu) stou i redstavja iteres (kaatu) a ovčau jediicu (r. diar) gavice, za eriod (ajčešće za godiu); g je ozaka za vree izražeo u godiaa. Tako r. ako je otrebo izračuati kaatu za 3 godie oda je g 3, za 5 eseci g 5, a za 78 daa g 78 (za rostu godiu) ii g 366 (za restuu godiu); K je ozaka za raiju (očetu) ii diskotovau vredost; Kg je ozaka za kasiju (krajju) ii ukaaćeu vredost (vredost K ose g godia); I je ozaka za ukuu kaatu ostvareu u eriodu od g godia, ri čeu je I Kg - K, a g I je kaata u jedo eriodu (godii), iače kostata veičia zbog obračua roste kaate, tj. važi: I I... g I. Prea uvedei ozakaa i roorciji G : P :, za dekurzivo obračuavaje iteresa biće: G K, P g I, a će daje biti: K : g I : g I K, tj. I Kg Kg K ( g) Kg K I K Kg (5) (6)

7 7 Može i ovako: I K, I K,..., Ig K g I I j g K Kg j Prier. Obračuati 0% iteresa a izos od 8000 di. za vree od: a) 7 godia; b) 5 eseci; c) 73 daa; d) 7 godia i 73 daa. Rešeje: c) 73 g I , 360 di. 365 Kaata za da je 365-ti ii 366-ti deo godišje kaate. Kg K I 8360 di. Kaata u jedoj godii izosi: I g d) 73 g di I , (7 ) 960 di. 365 Kg K I di. I g di Ako je obračuavaje kaate aticiativo, jedostavije je koristiti izvedeu roorciju za G : P :, tj. roorciju: (G - P) : ( - ) P : ri čeu je, s obziro a defiiciju aticiativog obračuavaja iteresa i uvedeih ozaka: G - P K; P g I a je daje: K : ( - ) g I : g I ( - ) K I K g (7) Kg K I K K g

8 8 g Kg K (8) Može i ovako: a ože i ovako: I K ; I K g I I j gk j K,..., I g K g I, zbog I I... g I (K g I ), I (K g I ),..., Ig (K g I ) g I I I j g (K ) Kg I j g g I (-) Kg I K I K je vredost K kraje erioda, tj. izos a koji se (rea defiiciji aticiativog g obračuavaja iteresa) račua kaata u jedo eriodu, a se je K uajea gavica..3. Sože iteres I K tretira kao čista gavica, dok g Iteres koji se svakog erioda račua a uožeu suu (gavicu) i a dosei iteres iz raijih erioda aziva se iteres a iteres ii sože iteres. Poazeći od raije usvojeih ozaka, za dekurzivo obračuavaje sožeog iteresa važi: K K I K K K () je ukaaćea vredost K ovčaih jediica (r. di) a kraju rve godie, dok je I, iteres u rvoj godii. K K I K K K () K() je ukaaćea vredost K di a kraju druge godie, dok je I iteres u drugoj godii. aje će o aaogiji biti: Zakjučujeo da važi: K 3 K() 3 itd. K g K() g, g (9) je ukaaćea vredost jedog diara za jedu godiu uz kaatu stou. aje zakjučujeo da K,K,...,K redstavjaju čaove geoetrijskog iza sa koičiko. Za aticiativo obračuavaje iteresa važi: K K I K K K K I K K K( ) K( ) K g K( ) g, < 00% (0)

9 9 (9) i (0) bi se ogo rikazati objedijeo ovako: K g K(±) ±g, ri čeu bi se zak koristio za dekurzivo, a zak za aticiativo obrčuavaje iteresa. Koristeći savreee tehike (račuare) račuaju ueričke vredosti izraza (±) ±g, odoso g (± ), za žejee vredosti i g ožeo brzo i ako izračuati. U raksi se ogu aći sada već zastaree tabice izračuatih vredosti za ove izraze za određee vredosti i g. Prea ovi tabicaa je K g K I g g, K K g II ( I g i II g ozačavaju broj tabice u kojoj se aazi žejei broj). Prikazai ostuak kostrukcije forue (9) odrazueva broj godia izraže cei broje i godišje kaitaisaje. Međuti, kaata se u raksi retko obračuava za ceo broj godia, već ajčešće za vreeski eriod koji je kobiacija određeog broja godia i određeog broja daa. adaje, sožeost odosa u savreeo osovaju i soboda ugovaraja usova kaaćeja iskoikovai su oja kaitaisaja, oiae stoe i godie kao osovog erioda za obraču kaate. U raksi se aeće otreba rešavaja robea češćeg kaitaisaja od godišjeg i obračua kaate za vreeski eriod koji je aji od erioda u koe se obavja jedo kaitaisaje. Ako je ozaka za oiau (datu, ugavo godišju) kaatu stou i ako je ozaka za broj kaitaisaja u jedoj godii, oda se ostuko koji važi za foriraje forue (9) doazi do jedačie (forue): K g K(/) g, g () Izraz / se aziva reativa kaata stoa. / je ukaaćea vredost jedog diara za eriod kaitaisaja, uz stou /. Odgovarajuća forua za aticiativo obračuavaje iteresa je: K g K( /) g, / < 00% () Prier.. Pozajje je izos od.000 di. a 5 godia, uz 8% kaate godišje i kaitaisaje: a) godišje, b) ougodišje (seestrao), c) troesečo (kvartao), d) esečo. e) devo. Koiko dužik treba da vrati overiocu? Rešeje: K.000; g 5; 8% 0,8. a), K g.000 (0,8/) 5.000,8 5.87,76 di;

10 0 b), K g.000 (0,8/) 5.000, ,36 di; c) 4, K g.000 (0,8/4) , ,7 di; d), K g.000 (0,8/) 5.000, , di; e) 365, K g.000 (0,8/365) ,06 di; Ovo je iustrativi rier, a u raksi je eriod kaaćeja određe datuia. a je to učijeo u ovo rieru oda bi jeda ii dve godie bie restue, a bi rezutati bii ešto drugačiji. Uočio da sa češći kaitaisaje zbog uotrebe reative kaate stoe, ukaaćea vredost, za isto vree, biva sve veća, zati da je to ovećaje sve aje i da ije teško retostaviti da ukaaćea vredost ia graiču vredost za sučaj da broj kaitaisaja u jedoj godii teži u beskoačo. Reč je tada o tzv. kotiueo kaitaisaju, ri koje vreeski iterva izeđu dva kaitaisaja teži ui, za raziku od kaitaisaja kao što su oa u. rieru od a) do e) koje tretirao kao diskotiuea. U sčaju da je obračuavaje iteresa aticiativo ukaaćea vredost za Prier. bi bia: a).697,3; b).567,95; c).5,50; d).460,5. aje zakjučujeo da, ako je kaitaisaje kotiueo, oda broj kaitaisaja teži u beskoačo u bio ko koačo dato vreesko itervau, a e sao u jedoj godii (ovo ia veze sa čijeico da odejeo sa koači broje daje za rezutat ). eka je ozaka za datu, oiau kaatu stou (oa ože biti i godišja ) i eka je ozaka za odgovarajući broj erioda a koje se odosi, tada će biti: K K g K ± i (±/) ± / (( ± / ) g K i ) / P K g K e (3) Secijao za, biće g i: K g K e g (3a) Kotiueo kaitaisaje ože i ia sisa da se riei u aaizi kretaja ogih rirodih i društveih rocesa, a ožda bi ga trebao i iao sisa rieiti i u sučaju obračua kaata. Koristeći odatke iz. riera za sučaj kotiueog kaitaisaja dobije se: K g.000 e 5 0,8.459,60 di, dok bi se (radi oređeja) za sučaj obračua rostog iteresa dobio: K g.000 ( 0,8 5).900 di. Kaatu stou c kojo se sa obračua kaate u jedoj godii ostiže isti efekat (ista ukaaćea

11 vredost) kao sa jedi obračuo kaate sa godišjo stoo, azivao kofora kaata stoa, a dobijao je iz jedačie: ( c ) c ( ) / (4) a za sučaj kotiueog kaitaisaja važi: c e c () (4a) ri čeu, u ovo obrascu c zači godišju stou kojo bi se kotiuei kaitaisaje za isto vree ostvario isti efekat koji bi se ostigao godišji kaitaisaje sa stoo. U sučaju koji redstavja. rier biće: a), 0,8 8%; c,8 / 0,8 8% b), c,8 / 8,678% < / 9% je stoa kojo za 5 godia ougodišji obračuo kaate.000 di. oraste a 87,76 di tj. a izos koji bi se dobio godišji obračuo kaate sa 8% godišje. c) 4, c,8 /4 4,46636% < /4 4,5% d), c,8 /,388843% < /,5% e) 365, c,8 /365 0,04567% < /365 f), c,8 6,554438% < 8% Ova osedja stoa okazuje koiko bi trebao da bude godišja stoa da bi se kaata obračuavaa kotiueo, a krajji efekat žeeo isti kao jedi obračuo kaate godišje uz 8%. U vezi sa koforo kaato stoo u raksi astaje i ova situacija: U dato eriodu (koačo) kaitaisaja (koje e ora biti godišje) sa reativo stoo /, iz određeih razoga, žei se više uta (r. s uta) obračuati kaata, ai tako da se u to eriodu ostvari isti efekat koji bi se ostigao jedi obračuo kaate sa stoo /. Ovo se e ože ostvariti stoo / odejeo sa s, već sa odgovarajućo koforo kaato stoo c, koja se dobije iz jedačie: ( c) s / c ( /) /s (5) a za sučaj kotiueog kaitaisaja važi: e c / c ( / ) (5a) ri čeu u ovo obrascu, c zači kaatu stou kojo se uz kotiueo kaitaisaje ostige isti efekat kao jedi obračuo kaate sa reativo stoo / u dato koačo eriodu kaitaisaja. a ovaj ači su rešei i robei obračua kaate za vreeski eriod kraći od jedog uog erioda datog kaitaisaja, tj. aji od tog dea godie, izuzev za određe broj daa, zbog toga što i dve uzastoe godie, i dva uzastoa ougodišta, i dva uzastoa troesečja, a i dva uzastoa eseca e oraju sadržati isti broj daa. Ovaj robe ožeo rešiti a sedeći ači: ) Ako je izeđu dužika i overioca dogovorea, ugovorea ii zakoski roisaa uotreba kofore kaate stoe, oda će biti:

12 d / s g d / s Kg K( / ) (6) ri čeu je 0 d < s ; 0 d < s ; zati d je ozaka za broj daa, koji rethodi rvo ceo eriodu datog kaitaisaja, za koji treba obračuati kaatu; s je ozaka za ukua broj daa u eriodu kaitaisaja koe riada d. d je ozaka za broj daa, koji sedi ose osedjeg ceog erioda datog kaitaisaja, za koji treba obračuati kaatu; s je ozaka za ukua broj daa u eriodu kaitaisaja koe riada d. ) Ako je dogovorea, ugovorea ii roisaa uotreba rostog iteresa za vreeske eriode koji su kraći od uog erioda datog kaitaisaja, oda važi: K g K( d )( /) g ( dg d dg ) (7) ri čeu je 0 d < dg ; 0 d < dg. dg je ozaka za broj daa u godii kojoj riada d, dg je broj daa u godii kojoj riada d (dg i dg ogu biti 365 ii 366). 3) Ako je dogovoreo, ugovoreo ii roisao kotiueo kaitaisaje, oda važi: (d / dg g d / dg) K g K e (8) Prietio da za d d 0, obrasci (6) i (7) ostaju (), a (8) ostaje (3a). Prier godie dato je a kaaćeje di uz 6% kaate godišje. Sa koji izoso će se rasoagati a da godie ako je kaitaisaje: a) godišje, b) ougodišje, c) troesečo, d) esečo, e) devo i f) kotiueo, i ako se ) uotrebjava kofora kaata stoa, ) uotrebjava kobiacija rostog i sožeog iteresa. Rešeje: a) ) K g 8.000,6 39/36660/ ,64 di. ) K g (0,6 (39/366)),6 (0,6 (60/365)) 3.663,98 di. b) ) K g 8.000,08 /8679/ ,34 di. ) K g 8.000(0,6 (/366)),08 6 (0,6 (79/365)) 3.909,78 di. c) ) K g 8.000,04 44/9379/ ,60 di. ) K g (0,6 (44/336)),04 3 (0,6 (79/365)) 4.046,98 di. d) ) K g (0,6/) 3/947/30 4.4,50 di. ) K g (0,6 3/366)) (0,6/) 4 (0,6 (7/365)) 4.37,5 di. e) K g (0,6/366) 39 (0,6/365) ,90 di. f) K g e 0,6 (39/36660/365) 4.94,69 di.

13 3 5. Aortizacija zajova Zadatak fiasijske ateatike je kvatitativa aaiza otate (aortizacije) zajova, uz aoeu da se zajovi koji iaju secifiča karakter (kao r. zajovi odejei a obvezice) obrađuju osebo. Zaja ože biti vraće jedokrato u ceosti, a se u to sučaju riejuje obraču rikaza u ogavju o kaaćeju i diskotovaju jedokratih aćaja. U ovo ogavju ćeo razatrati sučaj aortizacije (otate) osteeo, višekrati izosia koji se azivaju rate ii auiteti, a ogu biti jedaki ii razičiti. Ako su razičiti, oda auiteti ogu da se ejaju rea eko od ateatičkih zakoa (r. rea aritetičkoj ii geoetrijskoj rogresiji), a ogu biti razičiti bez određee raviosti eđu jia. Poazeći od retostavke da ozajjivaje i vraćaje duga odrazueva i aćaje kaate od strae dužika, auitet treba da sadrži i kaatu a dug koji restaje ako aćaja rethodog auiteta i deo za koji se sajuje dug u osatrao eriodu (ovaj deo se običo aziva otata). Prea toe važi: A j I j B j (9) A j je ozaka za auitet u j to eriodu; I j je ozaka za kaatu u j to eriodu; B j je ozaka za otatu u j to eriodu. Pored ovih ozaka koristiće se i sedeće: Z je ozaka za zaja, O je ozaka zaotaćei deo duga, je ozaka za dug (ostatak duga). 5.. Auiteti jedaki Pretostavio da se aćaje auiteta vrši u oetu obračua kaate reativo ii koforo stoo a kraju erioda kao a sedećoj vreeskoj iiji (Sika 3): Sika 3 sg- sg Z A A A A s je ozaka za broj auiteta u jedo eriodu datog kaitaisaja i istovreeo broj erioda u kojia se vrši obraču kaate koforo kaato stoo. Poštujući osove ricie fiasijske ateatike zaja Z ora biti sua diskotovaih vredosti budućih auiteta, tj. odoso: g ( / ) Z A / s ( /) odoso: Z A(/) /s A(/) /s... A(/) sg/s, (0)

14 4 Z A g ( / ) c A sg ( c ) c (0') ri čeu je: Za s, važi: c (/) /s c (/) /s Z A g ( / ) / () Za i s važi: Z (A/)( () g ) () Ako je data kaata stoa (koja e ora biti godišja) i odgovarajući broj erioda, a ije eksicito rečeo kakvo je kaitaisaje, oda važi: Z A ( ) (3) Ako se u jedo eriodu za koji važi aća s auiteta, oda važi: Z A ( ) / s ( ) (4) Za s od (6) se dobije (5). Sada rasoažeo sa dovojo eeeata da ostavio sedeći zadatak: Zaja od Z di treba otatiti za g godia uz kaatu stou i kaitaisaja godišje sa s auiteta u jedo eriodu kaitaisaja. Izraditi a aortizacije, kotroisati ga i utvrditi veze izeđu veičia u au aortizacije. Rešeje: I Izrada aa aortizacije Ošti zadatak odrazueva da su veičie Z, g,, i s date, a da bi se ristuio izradi aa aortizacije treba izračuati A. Ovo se ože uraditi trasforacijo (), (3) i (4) iz kojih se dobije: ii / s ( / ) A Z g ( / ) Z c Z c A A g sg ( / ) ( c ) odoso: / A Z g ( / ) odoso: A Z (/( () g )) Ošti a aortizacije rikazujeo u Tabei. (0a) (0'a) (a) (a)

15 5 Tabea j j I j c j c(/) /s B j A I j 0Z I c 0 c Z B A I 0 B Z O I c B A I 3 B Z O I 3 c B 3 A I k I k P c k B k A I k k k k B k Z O k sg sg sg B sg Z O sg I sg c sg B sg A I sg sg sg sg sg j I j c j B j Z j j j j Prier Zaja od di. treba otatiti za 5 eseci jedaki eseči auitetia, uz ougodišje kaitaisaje i 8% kaate godišje. Rešeje: (Tabea ) Z ; g 5/; ; s6; 0,8 / 6,09 A ,89 5 /,09 Tabea Prier 5. j j I j c j B j A I j 30000,00 434,00 588,89 47, 349,67 593, 3 857,89 64,3 5998, ,3 77, 6085, ,58 89,3 673, ,7 34, ,00 c,09 /6 0, ; A 6.8,89 5. Zaja od di. treba otatiti za 5 eseci jedaki eseči auitetia, uz 8% kaate esečo. Rešeje: (Tabea 3) Pošto učestaost kaitaisaja ije defiisaa, robe ožeo rešiti ooću jedačie (5) ovako: Z ; M 0,08; M 5; M 0,08 A Z M 5 ( M), ,69 ii ooću (6) ovako: Z ; M 0,08; M 5; s. a ože i ooću (a) ako se retostavi esečo kaitaisaje, ovako: Z ; g5/; ; s; / M 0,08 / 0,08 A /,08

16 6 Tabea 3 j j I j0,08 j B j A I j ,00.400,00 5.3, ,3.990,90 5.5, ,5.549, , ,90.07,9 6.44, , 556, , , , ,00 c 0,08; A 7.53,69 U raksi se zbog jedostavijeg rikaza često ostua i ovako: objedii se zaja i ukua kaata, a se od tako objedijeog duga oduze auitet da bi se dobio staje duga (zajedo sa kaato). Ovo se oavja iz erioda u eriod dok se e dobije da je staje duga ua. Prier 6. eka je u 5. rieru određeo da auiteti dosevaju svakog 0. u esecu očev od Tada a otaćivaja ože izgedati ovako (Tabea 4): Tabea 4 Redi broj a doseća auiteta auiteta Auitet Staje duga , , ,69.54, , , , , ,69 0 Z I 5 A ,46; A 7.53,69 Probei u ovo sučaju astaju ako dužik izrazi žeju da reostai dug isati u ceosti re roka doseća osedjeg auiteta. Pretostavio da u ovo rieru dužik hoće da isati reostai dug a da godie. Zači dužik a da treba da ati, treći, četvrti i eti auitet diskotovao a da.9. tj. (7.53, ,69, ,70,08 ),08 9/ ,5 di dužik treba da ati a da da bi reostai dug atio u ceosti. o istog rezutata ožeo doći ako ostatak duga ose drugog aćeog auiteta (Tabea 3) u izosu od 9363,5 di ukaatio i svedeo a da (sa ), tj. biće: 9.363,5,08 / ,5 di. Prietio da je u rvo ačiu uotrebjeo 9/3 iako se radi o 9 daa iz setebra, koji ia 30 daa. Ovako je urađeo zbog toga što so za obračuski esec, u koe važi eseča stoa, uzei eriod od do a u to eriodu ia 3 da. a je uzeto da je obračuski esec eriod od rvog do zadjeg daa u esecu oda se e bi dobio isti rezutat a oba ačia. Ako dužik žei reostai dug atiti a da oda treba da ati dosei auitet za taj da u izosu od 753,69 us dug koji roističe iz osedja dva auiteta koji dosevaju za aćaje 0.0. i

17 7 0.. (azi to ije jedako staju duga u osedjoj kooi koja gasi a izos od 5.07,39 di.) tj. 7.53, ,69, ,70,08 0.9,60 di. Za sučaj da je eozat broj auiteta ii kaata stoa važi oo što je rečeo da važi za eriodiča aćaja uošte, uz aoeu da ojovi vree aortizacije i broj auiteta isu isto, ai se broj auiteta određuje iz rethodo određeog vreea aortizacije. Pri određivaju broja auiteta dat je zaja i dat je auitet, a ogu astuiti sedeća dva sučaja: ) izračuao vree aortizacije (sg) t i za rezutat dobijeo ceo, rirodi broj. Ovaj broj je ujedo i broj auiteta a se radi o već rikazao sučaju jedakih auiteta. ) Izračuao vree aortizacije (sg) t i za rezutat dobijeo broj koji ije ceo, tj. sg <(sg) t<sg, ri čeu je sg [(sg) t], dok je sg [(sg) t]. U ovo sučaju kažeo da će dužik atiti sg datih auiteta A dok će osedji sg ti ut atiti tzv. auiteti ostatak A o<a. Auiteti ostatak A o ože biti i osedica izvršeog zaokrugjivaja auiteta. Zaokrugjivaje auiteta ože da se vrši u okviru datog broja auiteta ii roizvojo a se broj auiteta određuje kao osedica roizvojo određeih auiteta. Prier 7.. Zaja od di. treba otatiti sa 6 esečih auiteta uz 8% kaate esečo. obijei auitet zaokružiti a: a) ajaju oguću ceu hijadu; b) ajveću oguću ceu hijadu; c) ajaju ceu stotiu; d) ajveću ceu stotiu; e) ajveću ceu desetiu hijada. Rešeje: U robeia ove vrste zaokrugjei auitet se određuje ovako: A i A < A a ri čeu je: A i Z(sg) Z / s ( / ) g ( / ) (5) (6) / s ( / ) A a Z(sg ) Z (sg )/ s ( / ) (7) U dato rieru će biti: Z ; g/; ; s 0,8 A i ,8 8.59,0 je eseči auitet koji se dati zaja ože otatiti za šest eseci. 0,8 A a , ,78 di je eseči auitet koji se dati zaja ože otatiti za et eseci. a) A di, što zači da će se dati zaja otatiti sa et auiteta od o di. i šesti koji će biti aji od 9.000, tj. A o < b) A di; c) A di;

18 8 d) A di; e) A di. užik i overiac se ogu dogovoriti da se auitet zaokruži r. a di, ai tada šesti auitet ije otreba; ii da se zaokruži a di a će osedji auitet biti veći od di, tj. biće A 0 > A. Ove varijate su više za tačku Prier 8.. Zaja od di treba otaćivati eseči auitetia koji izosi 30% od zaja uz 8% kaate esečo. Izračuati koiko auiteta treba atiti? Rešeje: Iz (') dobijeo: z c A (sg) t ( c ) (8) Kokreto će biti: , (sg) t 5,536 eseci,8 odoso: 5 < (sg) t < 6, što zači da treba atiti 5 auiteta o di, a jeda (šesti) će biti A o < Za sučaj ostojaja auitetog ostatka važi: odoso: ii Z A(/) /s A(/) /s... a(/) (sg )/s A o(/) sg/s (sg ) / s ( / ) Z A A / s o(/) sg/s (9) ( / ) (sg) ( / ) Z A A o( c) sg (9') c aje važi: (sg ) / s A o ( / ) Z A (/) sg/s / s ( / ) odoso (sg ) A o ( c ) Z A ( c) sg (9'a) c (9a) Prier 9.. Za rier 8. sačiiti a aortizacije. Rešeje: Z , sg 6, sg 5,, s, / 0,8, a se ooću (9a) dobije: 5 A o, , ,39 di. 0,8

19 9 Pa aortizacije rikazuje Tabea 5. Tabea 5 j j I j c j B ja I j; j,,3,4,5 B 6A 0 I , ,00.000, , , , ,00 3.9, , ,0 0.83,6 9.76, , , , ,48.546,9 4.49, , ,00 c 0,8; A ; A ,39 Važije kotroe aa aortizacije u sučaju ovakve vrste, tzv. zaokružeih auiteta: ) B sg sg ; ) sg B j Z; j sg 3) j j sg B j (sg ) A A o j I Iz ) i ) se ože dobiti obrazac za izračuavaje ukue kaate: sg j j I (sg ) A A o Z (30) U rešeo rieru (Tabea 5) važi: sg I j , ,39 j 5.. Auiteti razičiti ared je rečeo da se zaja ože otatiti odjedo (jedokrato) o isteku dogovoreog erioda ii višekrato auitetia koji ogu biti jedaki ii razičiti, aćati se u jedaki ii razičiti vreeski razacia. Ako su auiteti razičiti oda ogu biti: a) heterogeo eravio razičiti bez određee ateatičke zakoitosti, u jedaki ii razičiti vreeski razacia, b) takvi da se ejaju eriodičo o ekoj od ateatičkih zakoa (auiteti rastu ii oadaju o aritetičkoj ii geoetrijskoj rogresiji, otate jedake ii se ejaju rea aritetičkoj ii geoetrijskoj rogresiji i dr.) Otate jedake U ovo sučaju oazio od retostavke: a važi: B B... B sg B,

20 0 Z sgb B Z/sg (3) O k kb k/sg Z (3) k Z O k (sg k) B sg k Z (33) sg I k c k c Z sg k c B(sg k ) (34) sg A k B I k A k Z c (sg k ) sg () A k B ( c(sg k)) (36) sg Z I j I I I 3I 4...I sg c Z c Z 3Z (sg )Z Z c j sg Z c sg Z... c sg Z sg cz 3 sg... sg sg sg sg c Z sg ( 3... sg sg (sg ) sg c Z sg sg sg I j c Z j sg sg(sg ) c B (37) sg sg sg A j Z I j Z c (38) j j Prier 0. Zaja od di treba otatiti za šest eseci eseči auitetia i jedaki otataa uz 8% kaate esečo. Izraditi a aortizacije. Rešeje: (Tabea 6) Tabea 6 j j I j c j A jbi j , , , , , , , , , , , , , , , ,00.700, , , ,00 Z90.000; B5.000; c0,8

21 Kotroa: 6 6 Z A j Z I j j j 5... Auiteti se ejaju o aritetičkoj rogresiji Za ovu riiku ćeo okazati sučaj da se eriodika aćaja auiteta okaa sa eriodiko obračua kaate. Bez izvođeja dajeo forue za zaja i auitet: odoso: Z A g g ( / ) d( / ) g ( /) sg / s / s ( / ) ( /) / s ( / ) (39) g g / s d( /) ( /) ( / ) A Z sg (40) / s / s g ( / ) ( /) ( /) ri čeu je: A k A (k )da k d (4) d je ozaka za difereciju, tj. raziku bio kog i rethodog auiteta. Prier. Zaja od di treba otatiti za 5 eseci, eseči auitetia koji sukcesivo rastu za.000 di, uz % kaate esečo. Izraditi a otaćivaja. Rešeje: Tabea 7 Z ; g5/; ; s; /0,0; d ,0,0 0,0 Z ,0 0,0 5,0 Tabea 7 j j I j c j A ja j d B j A j I j ,00.000, , , ,96.694,0 9.95, , ,03.34,08.95, , ,07 943,0 3.95,04., ,06 495, , , , , ,00 c0,0 A 7.95,04 d Auiteti se ejaju o geoetrijskoj rogresiji. sučaj: q c (/) /s

22 q je ozaka za koičikk bio kog i rethodog auiteta s g (q /( / )) Z A ; (4) / s ( / ) q / s ( / ) q A Z s g (q /( / )) ; (43) A k A q k A k q (44) Prier. Zaja od di treba otatiti za 5 eseci, eseči auitetia koji sukcesivo rastu za 0% u odosu a rethodi, uz % kaate esečo. Izraditi a otaćivaja. Rešeje: (Tabea 8) Z ; q5/; ; s; 0,0; q,,0, A ,03 5 (,:,0) Tabea 8 j j I j c j A jq A j B j A j I j ,00.000, , , ,97.69,8 9.85, , ,0.34,30.03, , ,67 946,05 3.4,0.67, ,7 500,69 5.5, , , , ,00 c0,0; q,; A 7.44,03. sučaj: q c (/) /s Z sga (/) /s (45) A (/) /s Z/sg (46) Prier 3. Zaja od di treba otatiti 5 eseci, eseči auitetia koji sukcesivo rastu za % u odosu a rethodi, uz % kaate esečo. Izraditi a otaćivaja. Rešeje: (Tabea 9) Z ; q5/; ; s; /0,0; q,0; A, / Tabea 9 j j I j c j A j A j,0 B j A j I j ,00.000, , , ,00.63, , , ,00.48,48.4, , ,3 848,97.648, , ,64 43,97.08,6.648,64 6.6,4 06.6, ,00 c0,0; q,0; A 0.400

23 Auiteti heterogeo (eravio) razičiti ii roizvojo određei Pošto u ovo sučaju e ostoji jedistvea ateatička veza izeđu auiteta, a aortizacije se radi rea ošte važeći raviia. I j c j ; B j A j I j; j j B j Prier 4. Zaja od di treba otatiti za ajviše 5 eseci, eseči auitetia koji su ajaje 0% od ostatka duga, uz 8% kaate esečo. Izraditi a otaćivaja. Rešeje: (Tabea 0) Pretostavio da dužik, u okviru datih ograičeja, ože birati veičiu auiteta. Ovo eđuti ije oguće u sučaju osedjeg auiteta koji ora obuhvatiti kaatu a ostatak duga i ostatak duga. Tabea 0 j j I j c j A j B j A j I j , , , , , , ,00.000, ,00.70,00.70, , ,00.90, , , ,00 880,00.880,00.000,00 3.0, , ,00 c 0,08; U osedje eriodu otata ora biti jedaka ostatku duga bez obzira a veičiu toga ostatka. U robeia ove vrste treba voditi račua da o raviu ora biti A j>i j, jer će se u rotivo dug ovećati. Poveriac kao izuzetak ože dozvoiti i ovaj sučaj ai to kasije ora biti adokađeo. Pretostavio da je u obrađeo rieru dozvojeo da dužik e ati auitet u drugo esecu, a da u treće ati sao kaatu, oda bi a aortizacije izgedao ovako (Tabea ). Tabea j j I j c j A j B j A j I j , , , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , , ,00.688, , , , , , Koverzija zajova U toku otaćivaja duga, a redog dužika ii overioca ože doći do dogovora dužika i overioca da se izvrši izea rvobito utvrđeih usova aortizacije. r. dužik redaže sajeje veičie auiteta uz ovećaje broja auiteta; dužik traži sajeje kaate stoe ii overiac traži ovećaje kaate stoe; dužik traži irovaje duga; dužik žei odjedo atiti izos veći od jedog auiteta; dužik traži oroštaj dea duga i drugo. Sve ove i druge roee se u terioogiji fiasijske ateatike azivaju koverzija zaja, ii koverzija duga. Ako se koverzija srovodi tako što se dva ii više dugova sajaju u jeda, oda je reč o tzv. kosoidaciji dugova.

24 4 Mateatički osatrao robe se sastoji u određivaju ostatka duga a da koverzije i jegovo svođeje a jeda eriod re doseća rvog ovog auiteta, koji se izračuava iz ostatka duga kao ovog zaja. Prier 5. Zaja od 5 i. di aortizuje se za 6 godia, ougodišji jedaki auitetia, uz 5% kaate godišje i kaitaisaje ougodišje, a zaja od 0 i. di. se aortizuje za 8 godia godišji jedaki auitetia uz 6% kaate godišjeg kaitaisaja. Oba zaja su uredo otaćivaa rvih 5 godia. Tada je dogovoreo da se izvrši izea usova tako da se dugovi objedie i otaćuju ougodišji jedaki auitetia uz 4% kaate godišje i ougodišje kaitaisaje, i : a) da se sajaje dugova izvrši odah ako osedjeg uredo aćeog auiteta, da auitet bude 0% ostatka duga zaokružeo a bižu ceu stotiu hijada i da rvi ovi auitet doseva za aćaje 6 eseci od daa koverzije, b) da se sajaje dugova izvrši eseca ako osedjeg uredo aćeog auiteta, tj. da od tada važe ovi usovi, da se auitet aća 5 godia i da rvi doseva za aćaje godie od daa sajaja dugova, tj. od daa kosoidacije. Izračuati ovi auitet. Rešeje: a) Obraču ostatka duga rvog zaja a da kosoidacije: 0,05 A 5,05,05,05 0 A 5,88486 i. di je ostatak duga rvog zaja a da sajaja dugova. 0,05,05 Obraču ostatka duga drugog zaja a da kosoidacije: 0,06 A 0 8,06 5 A dugova.,06 0,06 3 0,06, , i. di je ostatak duga drugog zaja a da sajaja Objedijavaje ovih dugova dobije se ovi dug: Z 47505,6 di. ovi auitet će biti: A 00000di. Treba još izračuati koiko uta će se aćati ovakav auitet. Prea (8) će biti: 47505,6 ( 0,0) (g) t,76 ougodišta, što zači da treba atiti uta auitet o ,0 di, a. ut auiteti ostatak A o < di. A o (47505, ,0 ), ,53 di. 0,0 b) Ostatak duga rvog zaja a da kosoidacije će biti: I,88486,05 34/6 3, i. di.

25 5 Ostatak duga drugog zaja a da kosoidacije će biti: II ,98,06 0/ ,4 di. Objedijei dug a da kosoidacije izosi: I II 66588,38 di. Osovica za obraču ovog auiteta će biti: Z, ,3 di. ovi auitet će biti: 0,0 A Z 4967,98 di. 0,0

26 II EO AKTUARSKA MATEMATIKA 6

27 7 SARŽAJ II ELA. MATEMATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poja i redet aktuarske ateatike.. Zako veikih brojeva.3. Raču verovatoće.4. Tabice srtosti.5. Verovatoća života i srti jedog ica.6. Verovato i sredje trajaje života.7. Koutativi brojevi. OBRAČU TARIFA U ŽIVOTOM OSIGURAJU.. Osiguraje iče rete... Uato ize... eosreda doživota reta... Odožea doživota reta...3. eosreda rivreea reta...4. Odožea rivreea reta... Uato reije... Preija se aća doživoto (A) Reta se ria eosredo i doživoto (B) Reta se ria doživoto, očev od k god.... Preija se aća rivreeo (ajviše uta) (A) Reta se ria eosredo i doživoto (B) Reta se ria doživoto, očev od k godia života (C) Reta se ria rvih godia () Reta se ria očev od k godia života, a ajviše uta (do k god.)..osiguraje kaitaa...uato ize... Osiguraje kaitaa za sučaj srti (A) oživoto (B) Odožeo (C) Privreeo () Odožeo i rivreeo... Osiguraje kaitaa za sučaj doživjeja...3. Mešovito osiguraje kaitaa... Uato reije... Preija se aća doživoto (A) eosredo osiguraje kaitaa (B) Odožeo osiguraje kaitaa... Preija se aća rivreeo (A) oživoto osiguraje kaitaa za sučaj srti (B) Privreeo osiguraje kaitaa za sučaj srti (C) Privreeo osiguraje kaitaa za sučaj doživjeja () Mešovito osiguraje kaitaa

28 8. MATEMATIČKE OSOVE OSIGURAJA.. Poja i redet aktuarske ateatike Aktuarska ateatika je obast ateatike kojo se rešavaju račuski (ateatičko-statistički) robei osiguraja (re svega robei obračua reija). Aktuarska ateatika uvažava iste ricie koje uvažava i fiasijska ateatika (re svega rici ekvivaecije svih isata i svih uata svedeih a isti vreeski rok). Od fiasijske ateatike se razikuje o čijeici da su račui fiasijske ateatike beziči, tj. e zavise od starosti ica, dok su račui aktuarske ateatike životog osiguraja vezai za starost ica koje se osigurava. Teškoće u redviđaju astuaja osiguraih događaja su robei koje aktuarska ateatika usešo rešava koristeći se Zakoo veikih brojeva i račuo verovatoće, koji su oogućii da se kao ooćo sredstvo foriraju tzv. Tabice srtosti i Koutativi brojevi... Zako veikih brojeva Sozaja o deovaju ovoga zakoa oogućava uočavaje raviosti i zakoitosti u astuaju osatraog događaja. Karakteristika deovaja zakoa veikih brojeva je u osatraju astuaja događaja u veiko broju sučajeva, jer se sao u asi isojavaju raviosti i zakoitosti. astuaje događaja ojediačo i u ao broju redstavja sučaj, a astuaje istog događaja u asi se isojava kao zakoitost. Tako r. ako u osatraoj godii od kokrete grue judi od 8 ica iste starosti ure šestoro (75%), e treba izvući zakjučak da je verovatoća srti za jude osatrae starosti 75%. Međuti osatraje grue od r judi iste starosti ože rezutirati u foriraju verovatoće srti ica osatrae starosti. eovaje Zakoa veikih brojeva ajboje iustruju rieri iz ekserieata koji su vršei u svrhu roučavaja vezaih za ovaj zako.. rier Vršei su ekserieti bacaja ovčića i raćea ojava grba a gorjoj strai, ri svako bacaju. Rezutate ekserieata rikazuje sedeća tabea: Istraživač Broj bacaja Pojava grba Reativa učestaost (ogađaj A) W(A) Bifo ,50690,693% K. Pirso ,505850,58% K.Pirso ,500550,05%

29 9. rier Prati se ojava broja a gorjoj ovršii ri bacaju uerisae kocke (brojevia do 6). Rezutate rikazuje sedeća tabea: Broj bacaja Broj ojav. (ogađaj B) Reativa učestaost W(B) , 0% ,3 3% ,76 7,6% ,59 5,9% ,644 6,44% Prietio da broj ojavjivaja grba teži ka 50%, a ojavjivaje broja teži ka 6 0,6 6,67%..3. Raču verovatoće Izračuavaje verovatoće astuaja štetih događaja u osiguraju je osova za određivaje reija osiguraja. Ove verovatoće se određuju a osovu iskustva, a za ove sučajeve a osovu rocee ekserata. Razikujeo oja kasiče defiicije verovatoće od oja eirijske (a osteriori) defiicije verovatoće. Vršio eki ekseriet E. Među ishodia ekserieta javjaju se događaji A, B, C,.... eka je ozaka za broj svih jedako ogućih ishoda ekserieta E, a ozaka za broj ishoda ekserieta E koji dovode do reaizacije (astuaja) događaja A (tzv. broj ovojih ishoda za astuaje događaja A). Kasiča defiicija verovatoće: Verovatoća reaizacije (astuaja) događaja A, u ozaci P(A), je odos broja ovojih ogućosti za astuaje događaja A i svih jedako ogućih ishoda ekog ekserieta E, tj. P(A) S obziro a veičie i odos brojeva i ogući su ovi sučajevi: (), oda je P(A), a je tada reč o tzv. siguro događaju. () 0, oda je P(A) 0, a je reč o tzv. eoguće događaju. (3) 0 < <, tj. 0 < <, odoso 0 < P(A) <, a je tada reč o tzv. sučajo ii verovato događaju. ejedakost 0 P(A) obuhvata sva tri sučaja.

30 30 P(A) je ateatičko očekivaje astuaje događaja A u budućosti. Za raziku od oja kasiče defiicije verovatoće, koja odrazueva izračuavaje verovatoće re ekserieta i ezaviso od toga da i će se ekseriet vršiti, a osteriori (eirijska) verovatoća ii reativa učestaost događaja A, u ozaci W(A), se izračuava ose ekserieta i odos je broja ishoda u ekserietu u kojia se reaizovao (astuio) događaj A i broja svih ishoda (ukuo izvršeih okušaja), tj. W(A) M Priećujeo da ri veiko broju okušaja bude W(A) P(A), tj. ako, oda W(A) P(A). U rieria koje so iskoristii za objašjeje zakoa veikih brojeva: W(A) P(A) 0,5 W(B) P(B) 6 0,6 Ako je P(A) verovatoća da će se reaizovati događaj A, oda je P(A C ) verovatoća reaizacije surotog događaja, tj. verovatoća da se eće reaizovati događaj A, ri čeu je P(A C ) - P(A).4. Tabice srtosti Pozavaje račua verovatoće je oogućio da se foriraju tzv. Tabice srtosti koje suže kao tehička osova za foriraje tarifa u osiguraju života. Osovi (oazi) okazatej tabice srtosti su tzv. izravate verovatoće srtosti. Iz ovih okazateja se daje foriraju ostae bioetrijske fukcije, eđu kojia su: verovatoća doživjeja i kretaja broja živih i urih ica u osatrao skuu. Ovi odaci, uz uotrebu određee kaate stoe oogućuju da se izračuaju tzv. Koutativi brojevi koji se eosredo koriste za izračuavaje eto reija životog osiguraja. Tabice srtosti se foriraju direkto ii idirekto. irekti etod odrazueva raćeje života i srti određeog skua ovorođeih, tako što se kostatuje koiko ica iz toga skua je ostao u životu o isteku rve godie života, zati o isteku druge godie života itd. sve do srti osedjeg ica iz osatraog skua. Iz ogo razoga, ovaj etod je raktičo eizvodjiv a se uotrebjava idirekti etod. Idirekti etod odrazueva raćeje života i srti istovreeo (r. u jedoj godii) za više geeracija, tj. za skuove ica starosti od ekog aog broja godia do ajdubje starosti. obijei odaci se riee a fiktivu gruu za sve godie starosti. Pokazaćeo kako to raktičo izgeda: eka je ozaka za broj živih ica starih godia.

31 eka se daje osatraju, u istoj godii, sedeće grue:. grua od ica starih 0 godia. grua od ica starih godia 3. grua od ica starih godia 4. grua od ica starih 3 godia itd. 46. grua od ica starih 55 godia itd. 89. grua od ica starih 98 godia 90. grua od ica starih 99 godia 9. grua od ica starih 00 godia 9. grua od ica starih 0 godia, itd. sve do ajstarije grue ica. aoea: kod ovih osedjih grua se uzia u sku toiko ica koiko je oguće, s obziro a ai broj živih ica duboke starosti. U toku jede (iste) godie je kostatovao da je uro: 6,76 ica iz. grue 6,786 ica iz. grue 6,8 ica iz 3. grue 6,848 ica iz 4. grue itd.,66 % ica iz 46. grue itd. 75 % ica iz 89. grue 00% ica iz 90. grue 9 i ostae grue isu i forirae. Ovi okazateji (roii i roceti) urih ica o gruaa, riejei r. a. gruu kao ode, tj. kao fiktivu gruu, daju odatke siče oia koji bi se dobii raćeje ove grue toko 90 godia. obijei odaci čie oguću tabicu iz koje se daje izvode drugi odaci otrebi za izračuavaje tarifa u osiguraju života (broj živih kraje 0. odoso očetko. godie) - u toku. god. ure 6, ica (broj živih kraje. odoso očetko. godie) - u toku. godie ure 6, ica (broj živih kraje. odoso očetko 3. godie) - u toku 3. godie ure 6,8 67 ica (broj živih kraje 3. odoso očetko 4. godie) - u toku 4. godie ure 6, ice (broj živih kraje 4. odoso očetko 5. godie itd (broj živih kraje 55. odoso očetko 56. godie) - u toku 56. godie ure,66% 375 ica

32 3 itd (broj živih kraje 98. odoso očetko 99. god. - u toku 99. godie ure 75% 3 ica u toku 00. godie ure 00% ice (očetko 0. godie ea živih ica osatrae grue) obijei odaci za 0,,,... ogu se aći u Tabicaa srtosti 7 egeskih društava (iteres 4%)..5. Verovatoća života i srti za jedo ice eka su,,,..., ozake za broj živih ica starih,,,..., godia. Priroda je čijeica, a vidi se u Tabicaa srtosti, da važi: > > >... >. eka je daje d ozaka za broj ica koja uru u toku () -ve godie, tj: izeđu uih i godia. Lako se uočava da je: () d - - d Koristeći raču verovatoće, daje zakjučujeo: Verovatoća da će ice staro godia doživeti ()-u godiu izosi: () Verovatoća da će ice staro ()-u godiu doživeti godie izosi: (3) Po aaogiji zakjučujeo da važi: 3 (4) itd. k (5) k- (6) k itd. (7) - k k k (8) - (9) 0

33 33 Možeje () sa (3) dobijeo: (0), što redstavja verovatoću da će ice staro godia doživeti godie. Možeje (), (3) i (4) dobijeo: () 3 3, što redstavja verovatoću da će ice staro godia doživeti 3 godie. Proizvod... k- daje: () k k, što redstavja verovatoću da će ice staro godia doživeti k godie. Proizvod... k- k... - daje: (3), što redstavja verovatoću da će ice staro godia doživeti godia. eka je q ozaka za verovatoću da ice staro godia eće doživeti godiu, tj. da će ureti u toku ()-ve godie (4) d q Verovatoća da ice staro godia eće doživeti godie izosi: (5) q / itd. Verovatoća da ice staro godia eće doživeti k godia, biće: (6) k k k k q / itd. Verovatoća da ice staro godia eće doživeti godia, biće: (7) q / Prietio da važe reacije:,...,,, / / q q q

34 34 3. rier Za ice staro godia izračuati verovatoću: a) da će doživeti 36. godiu b) da eće doživeti 36. godiu, tj. da će ureti u toku 36. godie života c) da će doživeti 50 godia života d) da eće doživeti 50 godia života, tj. da će ureti re ego što avrši 50 godia života. Rešeje: a) a osovu (), uz uotrebu Tabica srtosti, biće: , ,07% 858 b) Prea (4) biće: q 0, ,93% 9,3 c) rea (), biće: , ,8% d) Prea (6), biće: / 5 q 5 0,5896 5,8% Ako je G ozaka za broj čaova eke grue ica starosti godia, oda će broj čaova ove grue koji će verovato živeti ose k godia biti: k (8) Gk G k G 4. rier U jedoj firi ia 4 radika sa o 0 godia života, 0 radika sa o 8 godia, 8 radika sa o 34 godie, 5 radika sa o 4 godie i radika sa o 56 godia. Koiko od ovih radika će verovato živeti ose 5 godia? Rešeje G Pose 5 godia će verovato biti u životu 33 od 39 radika osatrae fire.

35 .6. Verovato i sredje trajaje života Ako rihvatio da verovatoća da će ice staro godia živeti u roseku još k godia izosi 50%, tj. /, oda se iz reacije: k (9) k dobije k kao broj koji ožeo rihvatiti kao verovato trajaje života osobe stare godia. 5. rier Koiko izosi verovato trajaje života osobe stare godia? Rešeje: 858 k 490,5 Uvido u Tabice srtosti zakjučujeo da je: 4565 > , k > tj. da je 67 < k < 68 Po dogovoru zaokružujeo a aji broj godia tj. uziao da je: k 67 k 3. Verovato trajaje života ica starog godia izosi ribižo još 3 godie. Za određivaje sredjeg trajaja života ođio od sedećih varijati: I varijata Uzio da sve osobe koje uru u toku jede godie uru očetko godie. Po ovoj varijati od grue koja čii ica starih godia sedeću ()-vu godiu doživeće ica. Svako od ovih ica u osatraoj godii živi o godiu, a ukua broj roživeih godia za osatrau gruu. rugu godiu roživeće osobe, itd je ukua broj godia koje rožive sve osobe grue od ica. Sredje trajaje života ica iz ove grue biće: 3... (0) e II varijata Uzio da sve osobe koje uru u toku jede godie, uru kraje godie, a će biti: () e ' e... Rešeje robea ribižog određivaja sredjeg trajaja života bi ogo da se ađe u aritetičkoj sredii I i II varijate jer se uiraje rasoređuje toko cee godie, a

36 36 će biti: e e' e o () e e e 6. rier: Koiko izosi sredje trajaje života osobe stare godia? Rešeje: e o 0,5 o e 30, Očekivao sredje trajaje života ica starosti godia je još 30,88 godia..7. Koutativi brojevi ared objašjei okazateji i d vezai za broj živih odoso urih ica čie gruu tzv. osovih brojeva tabica srtosti, ri čeu je: k - ozaka za broj živih ica starih k godia d k - ozaka za broj urih ica u toku (k)-ve godie, a je d k k - k Uotrebo ovih osovih brojeva i obračuske kaate stoe izračuavaju se sedeći izvedei brojevi, od azivo koutativi brojevi: A) Koutativi brojevi za živa ica: (3) ( ) r, r r je ozaka za broj diskotovaih živih ica starih godia Sičo objašjavao,, 3,... (4)... ω je ozaka za koutativi broj koji redstavja zbir brojeva diskotovaih živih ica, očev od starosti do ajdubje starosti ω. Po aaogiji zakjučujeo da važi: (5)... ω Oduziaje (5) od (4) dobije se: (6) - -

37 37 (7) S... ω S je ozaka za koutativi broj koji redstavja zbir zbirova diskotovaih živih ica, očev od starosti do ajdubje starosti ω, koju rea tabicaa doživi osatraa grua. Po aaogiji zakjučujeo da važi: (8) S... ω Oduziaje (8) od (7) dobije se: (9) S - S S S S S - B) Koutativi brojevi za ura ica: (30) C d () -() d r -() C je ozaka za broj diskotovaih urih ica u toku ()ve godie Sičo objašjavao C, C, C 3... (3) M C C C... C ω- M je ozaka za koutativi broj koji redstavja zbir brojeva diskotovaih urih ica, očev od oih koja su ura u toku ()-ve godie. Po aaogiji zakjučujeo da važi: (3) M C C... C ω- Oduziaje (3) od (3) dobije se: (33) M - M C M C M M M -C (34) R M M M... M ω - R je ozaka za koutativi broj koji redstavja zbir zbirova brojeva diskotovaih urih ica, očev sa oia koji su uri u toku ()-ve godie starosti. Po aaogiji zakjučujeo da važi: () R M M... M ω - Oduziaje () od (34) dobije se: (36) R - R M R M R R R - M

38 38 Rezie:,,, i S su okazateji vezai za broj živih ica. d, q, C, M i R su okazateji vezai za broj urih ica. Veze izeđu koutativih brojeva, C, i M : C r r r r r (37) C r - - Po aaogiji će biti: (37a) C r - - (37b) C r itd. Zaeo (37), (37a), (37b)... u (3) dobije se: M r - - r - - r (38) M (...) r - - ( 3...) Prea (4) i (5), (38) ostaje: (39) M r - - r - - ( - ) (r - -) - (-r - )

39 39. OBRAČU TARIFA U ŽIVOTOM OSIGURAJU Osigurava se: Uato: MIZE (Jedokrati izos) PREMIJE (Višekrati izos) LIČA RETA (Višekrati izos) a) eosreda doživota reta b) Odožea doživota reta c) eosreda rivreea reta d) Odožea rivreea reta a) Preija se aća doživoto - Reta se ria eosredo i doživoto - Reta se ria odožeo i doživoto b) Preija se aća rivreeo - Reta se ria eosredo i doživoto - Reta se ria rivreeo - Reta se ria odožeo i rivreeo KAPITAL (Jedokrati izos) a) Osiguraje kaitaa za sučaj srti: - oživoto - Odožeo - Privreeo - Odožeo i rivreeo b) Osiguraje kaitaa za sučaj doživjeja c) Mešovito osiguraje kaitaa a) Preija se aća doživoto - eosredo osiguraje kaitaa - Odožeo osiguraje kaitaa b) Preija se aća rivreeo - oživoto osiguraje kaitaa za sučaj srti - Privreeo osiguraje kaitaa za sučaj srti - Privreeo osiguraje kaitaa za sučaj doživjeja - Mešovito osiguraje kaitaa

40 40.. OSIGURAJE LIČE RETE... Uato ize Miza je jedokrata reija koju osiguraik treba da uati osiguravajuće društvu, da bi u budućosti, o osovu tako uaćee ize, riao retu kao višekrati izos ii kaita, kao jedokrati izos.... eosreda doživota reta a) Aticiativa reta (reta očetko godie - erioda) Ošti zadatak: Koiko izosi eto iza koju treba da uati ice staro godia, da bi o osovu uate riao godišju retu od R diara očetko svake godie, eosredo od daa osiguraja, do kraja života? eka je a ozaka za eto izu za di. ovakve rete. Pretostavio daje da će ica starih godia osigurati retu od o diara. Osiguravajuće društvo će, u to sučaju, od ica riiti a diara, a isatiti: - očetko. godie di di. - očetko. godie di di. - očetko 3. godie di di. itd. Poštujući ricie fiasijske ateatike koji važe i u aktuarskoj ateatici, biće: zbir uata zbir isata (svedeih a "daas") a.../ r r r a r r r r a... (40) a a (4) M R a b) ekurziva reta (reta kraje godie) Ošti zadatak: Koiko izosi eto iza koju treba da uati ice staro godia, da bi o osovu uate riao godišju retu od R diara, kraje svake godie, eosredo od godie osiguraja do kraja života? eka je a' ozaka za eto izu za di. ovakve rete.

41 4 Uate Isate : a' a' r a' a' r r ( ) r r ( ) / r... (4) a' a (43) M R a' 7. rier Lice staro godia, 5 godia i 65 godia, osigurava retu od 000 diara, koju će riati od daa osiguraja do kraja života, godišje: a) aticiativo, b) dekurzivo. Koiko izosi iza za ovo osiguraje? Rešeje: a)za 8785,45 a 7, ,30 M 000 a 000 7, ,37 di. Za ,65 M 000 a , 75di ,6 Za ,4 M 000 a , 55di. 3653,07 b) Za a' 6,4437 M 000 a' 644,37 di.... Odožea doživota iča reta 65 Ošti zadatak: Lice staro godia osigurava retu od R diara koju treba da ria doživoto, očev od isteka k godia od daa osiguraja. Izračuati eto izu za ovo osiguraje. aoea: Ako osiguraik ure re ego što oče da ria retu, uaćeu izu zadržava

42 4 osiguravajuće društvo, a ako ure ose rijee rve rete, reostai deo ize se koristi za isatu živi osiguraicia. a) Aticiativa reta Ako je a k / ozaka za eto izu za diar ove rete, oda se dobije: (44) a k / k (45) M R k / a a / a ako 0, tj. ako ω odoso ω, ω je ajdubja starost za koju ostoje odaci u Tabici srtosti. Kraće: i / ( ω ) a a b) ekurziva reta Ako je a' k / ozaka za eto izu za diar ove rete, oda se dobije: (46) k a' / k (47) M R k / a' 8. rier: Lice staro godia osigurava retu, od 000 diara koju će riati doživoto godišje a) aticiativo, b) dekurzivo, o isteku 5 godia od daa osiguraja. Koiko izosi eto iza za ovo osiguraje? Rešeje: ,69 a) 5 / a 6, ,30 M / a 696, diara 5 983,7 b) 5 / a' 5, ,30 M / a ' 588,93 diara eosreda rivreea reta Ošti zadatak: Lice staro godia osigurava retu od R diara, da je ria doživoto, ai ajviše godia. Koiko izosi eto iza za ovo osiguraje?

43 43 a) Aticiativa reta Ako je / a ozaka za eto izu za diar ove rete, oda se dobije: (48) / a (49) M R / a b) ekurziva reta Ako je a' / ozaka za eto izu za diar ove rete, oda se dobije: (50) / a' (5) M R a' / 9. rier Lice staro godia osigurava retu od 000 diara, da je ria doživoto, ai ajviše 0 godia, očev eosredo o osiguraju: a) aticiativo, b) dekurzivo: Koiko izosi iza za ovo osiguraje? a) M 000 b) M / 0 a ,96 di / 0 a' ,73 di Odožea rivreea reta Ošti zadatak: Lice staro godia osigurava retu od R diara, da je ria o isteku k godia u toku godia. Koiko izosi eto iza za ovo osiguraje? a) Aticiativa reta Ako je k / a ozaka za eto izu za di. ove rete, oda se dobije: (5) k a / k k (53) M R / a k b) ekurziva reta Ako je / a' ozaka za eto izu za diar ove rete, oda se dobije: k k k k / a' (54)

44 44 (55) M R k / a' 0. rier Lice staro godia osigurava retu od 000 diara, da je ria o isteku 5 godia, ai ajviše 0 godia. Koiko izosi eto iza za ovo osiguraje, ako je reta: a) aticiativa, b) dekurziva? Rešeje: a) M / 0 a ,66di b) M / 0 a ' ,di.... Uato reije Preija je višekrati izos koji se uaćuje u jedaki vreeski razacia (godišje) i jedaki ii roejivi izosia, u svrhu osiguraja riaja jedokratog izosa (kaitaa) ii višekratog izosa (rete).... Preija se aća doživoto (godišje, aticiativo) (A) Reta se ria eosredo i doživoto Ošti zadatak: Lice staro godia osigurava retu od R diara, da je ria eosredo i doživoto. Koiko izosi reija P za ovo osiguraje? Rešeje: a) Aticiativa reta Ako je P(a ) ozaka za reiju koja obezbeđuje retu od diar, oda se dobije: Uate Isate : P( a ) P( a ) r P( a ) r ( r r...) P( a ) P(a ) P R P(a ) R Ovaj sučaj ea raktičog sisa! b) ekurziva reta... r r r... r Ako je P(a' ) ozaka za reiju koja obezbeđuje retu od diar, oda se dobije:...