Greške merenja i statistička obrada podataka

Transcript

1 Vežbe iz Električih mereja Greške mereja i statistička obrada podataka. Greške mereja Osovi zadatak mere tehike je da odredi pravu vredost meree veličie, imajući u vidu okolosti pod kojima se vrši mereje. I pored primee savremeih tehika mereja, mere opreme visokih performasi i uz svu moguću pažju dolazi do određeih odstupaja između stvare i izmeree vredosti. Greške mereja astaju zbog esavršeosti mere opreme, postupka (procedure) mereja, objekta mereja i zaja i veštie osobe koja vrši mereje. Što je greška mereja maja, mereje je tačije. Zbog avedeog mereje ije potpuo, tj. rezultat mereja ema pravu vredost, ako se pored izmeree vredosti a eki ači e defiišu i graice u kojima se alazi stvara vredost u odosu a izmereu... Grube greške Grube greške astaju epažjom osobe koja vrši mereje, izborom eodgovarajuće metode (postupka) mereja ili zbog euočavaja uzroka greške. Primer je da se kod istrumeta sa više skala pročita vredost a pogrešoj skali. Uopšte uzev, grube greške mereja izbegavaju se većom pažjom prilikom mereja. Najčešće rezultati sa grubom greškom začajo odstupaju od sredje vredosti većeg broja mereja, pa ih je lako uočiti tokom aalize i odstraiti iz skupa merih podataka... Sistematske greške Sistematske greške astaju zbog esavršeosti mere opreme, procedure mereja ili merog postupka, merog objekta, kao i zbog uticaja okolie i ličih uticaja osobe koja vrši mereje koji su obuhvatljivi. Ove greške imaju određeu vredost i predzak, pa mogu da se uzu u obzir prilikom korekcije. Postoje i sistematske greške čija vredost ije pozata, pa ije moguća jihova korekcija. I ovakve sistematske greške imaju epozatu fiksu (stalu) vredost i epozati (ali uvek isti) predzak.

2 Čest je slučaj da priključivaje mere opreme izaziva sistematsku grešku mereja. Primer je priključivaje voltmetra koji ima koaču ulazu otporost zbog čega dolazi do promee apoa u tačkama gde se o priključuje. Zbog avedeog uvek moramo da imamo u vidu ograičeja mere opreme koju koristimo. Nikada e treba posmatrati meru opremu kao idealu, već treba uvidom u dokumetaciju i određeim proverama odrediti karakteristike koje mogu da dovedu do greške u mereju..3. Slučaje greške Slučaje greške astaju usled eobuhvatljivih promea koje astaju u merim istrumetima i merom objektu (pr. efekti stareja kompoeti) i usled eobuhvatljivih uticaja okolie i osobe koja vrši mereje. Ove greške su rezultat velikog broja faktora koji različito deluju a svako pojediačo mereje. Zbog toga se meja i apsoluti izos i predzak slučaje greške. Ove greške dovode do rasipaja rezultata i do esigurosti u određivaju stvare vredosti mereja. Pojediači meri rezultati sa slučajim greškama su podjedako začaji za mereje, i jeda od jih ije u predosti. Gaus (795. godie) je pokazao da je u ovom slučaju prema metodi ajmajih kvadrata sredja vredost (aritmetička sredia) pojediačih rezultata ajverovatija vredost meree veličie.. Sredja vredost (aritmetička sredia) Ako je izvršeo mereja čiji su pojediači rezultati x, x,..., x, oda je aritmetička sredia x data sa: x+ x x x = = xi i = Na ovaj ači račua se sredja vredost (aritmetička sredia) samo za mali broj pojediačih rezultata. U ostalim slučajevima koristi se ešto izmeje algoritam, gde se pojediači rezultati umaje za eku prikladu veličiu x 0, tako da je: x = x + ( x x ) 0 i 0 i = Što je eki postupak mereja preciziji, to je maja razlika između pojediačih rezultata mereja. Za račusku oceu precizosti ekog merog postupka procejuje se sredja kvadrata greška pojediačog mereja.

3 3. Sredja kvadrata greška (stadarda devijacija) Sredja kvadrata geška pojediačog mereja ili stadarda devijacija defiisaa je kao: s = ( xi x) i= Prema ovom izrazu se sredja kvadrata greška određuje a osovu razlika ( xi x) između pojediačih rezultata i sredje vredosti (aritmetičke sredie), umesto a osovu razlike pojediačih vredosti i stvare (prave) vredosti, kako bi to bilo pravilo a osovu defiicije iz teorije grešaka. Razlog za ovakvu korekciju je očigleda: e zamo kolika je stvara (prava) vredost. Pri dovoljo velikom broju mereja sredje kvadrato odstupaje defiisao a ovakav ači se ezato razlikuje od veličie σ koja je u statističkoj teoriji pozata kao stadarda devijacija osovog skupa. Uz više podataka ( - ) procea sredje kvadrate greške lakša je pomoću izraza: s x x x x = ( i 0) ( 0) i = 4. Grupisaje vredosti; račuaje sa grupisaim vredostima Ako imamo mogo pojediačih rezultata, često grupišemo približe rezultate mereja. Tako dobijamo preglediju sliku rezultata bez ezatih varijacija. Ujedo se pojedostavljuje račuski postupak određivaja aritmetičke sredie i stadarde devijacije. Grupisaje se vrši tako što se područje u kome se rasipaju rezultati mereja podeli a više jedakih delova. Podela e sme da bude pregruba, jer se tako smajuje pregledost i dovodi do pogreših rezultata. Ako je podela prefia, otežava se račuaje, a e dobija se mogo tačiji rezultat. Običo se bira epara broj grupa. Graice grupa defiišu se tako da e postoji dvoumljeje prilikom sortiraja rezultata u grupe. Na osovu broja rezultata mereja u pojediim grupama može da se acrta histogram, kod koga su a jedoj osi aete grupe, a a drugoj broj elemeata u određeoj grupi, čime može da se steke vizuali utisak o raspodeli rezultata. 3

4 5. Gausova (ormala) raspodela Ako greške astaju delovajem velikog broja slučajih i međusobo ezavisih uzroka, od kojih svaki izaziva različite, ali veoma male greške, meri rezultati će se rasipati prema ormaloj ili Gausovoj raspodeli. Iako su uslovi za ormalu raspodelu veoma strogi po defiiciji, praktičo su dovoljo ispujei u većii slučajeva a koje ailazimo u meroj tehici. Normala raspodela je defiisaa fukcijom verovatoće: y = e σ π x x0 σ gde je x 0 aritmetička sredia beskoačog skupa, a σ stadarda devijacija beskoačog skupa. Za jeda iz podataka ušestaost vredosti sredjeg kvadratog odstupaja predstavlje je a sledećem grafiku. Iterpolacioa kriva je data Gausovom fukcijom verovatoće. Vidi se da učestaost sredjeg kvadratog odstupaja može da se aproksimira gausovom raspodelom. Za veći broj podataka pojediači rezultati će se agomilavati u blizii gausove krive: Kriva ormale raspodele je zvoolikog oblika, jedozačo određea stadardom devijacijom i sredjom vredošću (aritmetičkom srediom). Teme krive je a osi x = x 0 i asimptotski se približava osi x. 4

5 Verovatoća P < < da će promeljiva x imati eku vredost između x i x ( x x x) dobija se itegraljejem fukcije verovatoće u graicama od x do x : x x x x0 σ P( x< x< x) = e dx σ π Ovaj itegral predstavlja površiu ispod krive verovatoće ad itervalom od x do x. Rešavaje ovog itegrala pripada kursu matematičke aalize. Treba zapamtiti da se uutar graica ± σ alazi 68.3% rezultata mereja, uutar graica ± σ alazi se 95.5% rezultata, a uutar graica ± 3σ alazi se 99.73%, tj. va graica ± 3σ alazi se samo 0.7% rezultata mereja. 5