Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva"

Transcript

1 Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu sredje vrijedosti za svaki x [0, 1] svaki x [ 1/, 0] postoji θ [0, x] θ [x, 0] takav da Kako je fx = fx f0 = f θx. f θ = θ, θ [ 1/, 1], θ + 1 zaključujemo da je f epozitiva te f eopadajuća a [0, 1] i erastuća a [ 1/, 0]. Sada za x [0, 1] imamo fx = f θ x max θ [0,x] f θ x = x x + 1 x, 139

2 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 140 dok je za x [ 1/, 0], fx = f θ x max θ [x,0]] f θ x = x x + 1 x. Lema 8. Neka je a R te eka je {a } N iz realih brojeva takav da lim a = 0. Tada vrijedi 1 + a + a = e a. lim Dokaz: Pokazujemo da lim log 1 + a + a = a. Budući je lim a = 0, postoji 0 N takav da je 1/4 < a < 1/4 i 1/4 < a/ < 1/4 za sve 0. Slijedi da je 1/ < a/ + a < 1/ za sve 0. Po Lemi 8.1, uz x = a/ + a, za sve 0 imamo log 1 + a + a a a + a + a, tj. Zato je Dakle, log 1 + a + a 0 lim sup lim sup lim sup = lim sup = 0. a a + a + a. log 1 + a + a a log 1 + a + a a + a + lim sup a a + a a + aa + a lim log 1 + a + a = a.

3 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 141 Teorem 8.3 Cetrali graiči teorem Neka je {X } N iz ezavisih jedako distribuiraih slučajih varijabli sa zajedičkim očekivajem µ i zajedičkom varijacom σ. Za N, defiirajmo S := X X. Tada za sve x R vrijedi lim P S µ σ x = Φx. Drugim riječima, iz {S µ/σ } N kovergira po distribuciji ka N0, 1. Dokaz: Za N defiirajmo Y := X µ. Dakle, S µ σ = 1 σ Y i. Dokaz teorema ćemo provesti uz pretpostavku da je fukcija izvodica momeata Mt = Ee ty 1 dobro defiiraa tj. koača za t < δ, za eki δ > 0. Uočite da je ta pretpostavka ekvivaleta pretpostavci da je a δ, δ dobro defiiraa fukcija izvodica momeata slučaje varijable X 1. Budući da su slučaje varijable {Y } N jedako distribuirae, vrijedi da je Mt = Ee ty za sve N. Nadalje, eka su {M } N fukcije izvodice momeata od {S µ/σ } N. Sada, po Teoremu 7.14, za t < δσ imamo M t = E e t S µ σ = E e t σ i=1 Y i = E e t σ Y i t = M σ. Budući da je za t < δσ vrijedi M Stavimo sada t σ = i=1 i=1 EY 1 = 0 i EY 1 = VarY 1 = σ, k=0 a t := k 1 t k! σ EY1 k = 1 + t + t k EY1 k k!σ k. k/ k=3 k=3 t k EY k 1 k!σ k k/ 3/, t < δσ.

4 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 14 Dakle, Budući da je M t = M t σ = 1 + t + a t. 3/ lim a t = 0, t < δ, 3/ po Lemi 8. zaključujemo lim M t = e t, t < δ, što po Teoremu 7.17 dokazuje tvrdju. Kao izravu posljedicu Teorema 8.3 imamo tzv. de Moivre-Laplaceov teorem aproksimacija biome slučaje varijable ormalom. Za N eka je X B, p, 0 < p < 1. Vrijedi EX = p, VarX = pq i σx = pq. Nadalje, defiirajmo Y := X EX σx = X p pq, N. Teorem 8.4 de Moivre-Laplaceov teorem Za svaki x R imamo lim PY x = Φx. Dokaz: Neka je {Z } N iz ezavisih Beroullijevih slučajih varijabli s parametrom p 0, 1. Tada je X d = Z Z pa tvrdja slijedi izravo iz Teorema 8.3. Primjer 8.5 Neka su a, b R, a < b. Želimo približo odrediti Pa < X b, gdje je X B, p za N velik i 0 < p < 1. Zamo da je toča vrijedost Pa < X b = p k q k. k a<k b

5 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 143 Odredimo približu vrijedost primjeom de Moivre-Laplaceovog teorema. Imamo, a p Pa < X b = P < X p b p pq pq pq a p = P < Y b p pq pq = P Y b p P Y a p pq pq b p a p Φ Φ. pq pq 8. Zakoi velikih brojeva Defiicija 8.6 Za iz slučajih vrijabli {X } N kažemo da kovergira po vjerojatosti slučajoj varijabli X ako za svako ε > 0 vrijedi lim P X X > ε = 0. Ozaka je X P X. Niz slučajih vrijabli {X } N kovergira gotovo siguro slučajoj varijabli X ako Ozaka je X X. P lim X = X = 1. Teorem 8.7 Slabi zako velikih brojeva Neka je {X } N iz ezavisih slučajih varijabli takvih da je EX = µ i VarX = σ za svaki N. Tada X X P µ. Dokaz: Za N stavimo S := X X. Vrijedi ES = µ i, zbog ezavisosti, VarS = σ. Sada, primjeom Čebiševljeve ejedakosti, imamo S P µ > ε VarS / = VarS = σ ε ε ε, što teži u 0 kada teži u.

6 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 144 Napomea 8.8 Tvrdja gorjeg teorema vrijedi i uz sljedeću pretpostavku: eka je {X } N iz ezavisih jedako distribuiraih slučajih varijabli sa koačim zajedičkim očekivajem EX = µ. Tada S / P µ. Taj rezultat pozat je pod imeom Hičiov slabi zako velikih brojeva. Lema 8.9 Neka je X slučaja varijabla takva da je E X m < za eki m N. Tada je E X < za sve m, N. Dokaz: Uočimo prvo da je E1 X >1 X m E X m <. Slijedi da je za m, E X = E1 X 1 X + E1 X >1 X 1 + E1 X >1 X m <. Teorem 8.10 Jaki zako velikih brojeva Neka je {X } N iz ezavisih jedako distribuiraih slučajih vrijabli takvih da je EX = µ. Tada X X µ. Dokaz: Dokaz provodimo samo za slučaj kada je EX1 4 = K <. Pretpostavimo prvo da je µ = 0. Za N stavimo S := X X. Račuamo ES 4 = EX X X X X X X X. Kada razvjemo desu strau dobit ćemo člaove sljedećeg tipa: X 4 i, X 3 i X j, X i X j, X i X j X k i X i X j X k X l. Zbog ezavisosti imamo EX 3 i X j = EX 3 i EX j = 0 EX i X j X k = EX i EX j EX k = 0 EX i X j X k X l = EX i EX j EX k EX l = 0. Nadalje, za dai i imat ćemo 4 4 = 1 člaova oblika X 4 i te za dai par i j imat ćemo 4 = 6 člaova oblika X i Xj. Dakle, ES 4 = EXi EXi Xj = K + 6 EXi EXj = K + 6 EX 1.

7 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 145 Iz zaključujemo da je Dakle, tj. =1 0 VarX 1 = EX 4 1 EX 1 E Sada zaključujemo S 4 E = 4 Specijalo, imamo iz čega zaključujemo da je P lim EX 1 K. ES 4 K + 3 1K, S 4 K 4 + 3K 3, N. S 4 E 4 =1 P =1 S 4 4 = 0 S 4 4 < =1 K + 3K <. 3 = 1, S = P lim = 0 = 1. Neka je sada µ R. Za N stavimo Y := X µ. Tada je {Y } N iz ezavisih jedako distribuiraih slučajih varijabli takav da EY = 0. Primjeom gorjeg dokaza zaključujemo P lim X X X 1 µ + + X µ = µ = P lim Y Y = P lim = 0 = 1. = 0

8 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva Kovergecije u vjerojatosti U ovom odjeljku diskutiramo vrste kovergecije slučajih varijabli i jihov odos. U sljedećem teoremu opravdavamo azive jaki i slabi zako velikih brojeva. Teorem 8.11 Kovergecija gotovo siguro povlači kovergeciju po vjerojatosti. Dokaz: Neka iz slučajih varijabli {X } N kovergira gotovo siguro prema slučajoj varijabli X, koje su defiirae a vjerojatosom prostoru Ω, F, P. Fiksirajmo ε > 0 i, za N, defiirajmo A ε := { X X > ε}. Očito, A ε F za N. Nadalje, za N stavimo B ε := k A k ε i Bε := lim sup B ε = N B ε. Sada, budući da X X, zaključujemo da PBε = 0 za svaki ε > 0. Specijalo, zbog eprekidosti vjerojatosti s obzirom a erastuće izove događaja, imamo lim PB ε = 0 za svaki ε > 0. Međutim, kako je A ε B ε za N, imamo lim PA ε = 0 za svaki ε > 0, tj. X P X. Napomeimo da općeito kovergecija gotovo siguro i po vjerojatosti isu ekvivalete. Naime, eka je {X } 1 iz ezavisih slučajih varijabli a vjerojatosom prostoru Ω, F, P. Pretpostavimo, adalje, da je X 0 1, N, 1 1/ 1/ Uzmimo proizvolja ε > 0. Imamo, P X > ε = PX > ε, X = 1 = 1, ε 1 0, ε > 1, što pokazuje da X P 0. Kada bi iz {X } N kovergirao gotovo siguro, tada bi zbog Teorema 8.11 kovergirao g.s prema uli. Pokažimo da je to emoguće. Za N stavimo A := {X > 1/}. Tada imamo PA = =1 =1 1 =.

9 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 147 Sada Lema.15 implicira da P lim sup A = 1, tj. X > 1/ za beskoačo mogo N a događaju vjerojatosti 1. To pokazuje da {X } N e kovergira prema 0 gotovo siguro, Također, apomeimo da je kovergecija po distribuciji ajslabija od tri kovergecije koje smo spomeuli u ovom kolegiju. Teorem 8.1 Kovergecija po vjerojatosti povlači kovergeciju po distribuciji. Dokaz: Neka iz slučajih varijabli {X } N kovergira po vjerojatosti prema slučajoj varijabli X, koje su defiirae a vjerojatosom prostoru Ω, F, P. Ozačimo s {F } N i F, redom, fukcije distribucije od {X } N i X. Neka je x C F. Tada, za svaki N i ε > 0 vrijedi F x = PX x = PX x, X x + ε + PX x, X > x + ε PX x + ε + PX X > ε PX x + ε + P X X > ε. Dakle, S druge strae, lim sup F x F x + ε. F x ε = PX x ε = PX x ε, X x + PX x ε, X > x PX x + PX X > ε PX x + P X X > ε. Sada imamo, Koačo, kako je F x ε lim if F x. F x ε lim if F x lim sup F x F x + ε,

10 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 148 puštajući ε u 0 i uzimajući u obzir da je F eprekida u x slijedi tvrdja. Kao i u slučaju kovergecija gotovo siguro i po vjerojatosti, kovergecije po vjerojatosti i po distribuciji isu ekvivalete. Neka je X 0 1 1/ 1/ te eka je X = X za N. Nadalje, stavimo Y = 1 X. Očito {X } N kovergira po distribuciji ka Y. S druge strae za N i 0 < ε < 1 imamo P X Y > ε = P X 1 > ε = 1. Teorem 8.13 Neka iz slučajih varijabli {X } N, defiiraih a vjerojatosom prostoru Ω, F, P, kovergira po distribuciji ka c R. Tada, X P c. Dokaz: Ozačimo s {F } N i F, redom, fukcije distribucije od {X } N i c. Neka je ε > 0 proizvolja. Za N imamo P X c > ε = PX > c + ε + PX < c ε 1 P X c + ε + P X c ε = 1 F c + ε + F c ε. Sada, kako su c + ε i c ε/ točke eprekidosti od F i lim F c + ε = F c + ε = 1 te lim F c ε/ = F c ε/ = 0 slijedi tvrdja. Koačo, kometirajmo vezu zakoa velikih brojeva i cetralog graičog teorema. Neka je {X } N iz ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli sa zajedičkim očekivajem µ R i varijacom σ > 0. Za N stavimo S := X X. Tada, po Teoremu 8.10, imamo S µ 0. Želimo bolje razumijeti asimptotsko poašaje iza {S µ} N, tj. želimo odrediti iz {a } N 0, za koji iz {S µ/a } N kovergira ka

11 8. Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 149 ečemu što ije 0 ili ±. Takozvai Marcikiewicz Zygmudov jaki zako velikih brojeva kaže da u daoj situaciji za svaki α 0, vrijedi S µ 1/α 0. Također, takozvai zako poovljeog logaritma kaže da P S µ S σ = lim if µ lim sup = σ log log log log Iz gorjih rezultata zaključujemo dvije stvari: = 1. i ako uzmemo iz {a } N takav da lim a / log log =, oda S µ/a 0. S druge strae, ako je lim a / log log = 0, oda S µ S µ P = lim if lim sup = = 1. a a To sugerira da kovergecija gotovo siguro ije priklada za karakteriziraje asimptotskog poašaja iza {S µ} N. Također, takozvai Lévyev teorem o kovergeciji redova slučajih varijabli koji kaže da red ezavisih slučajih varijabli kovergira gotovo siguro ako, i samo ako, kovergira po vjerojatosti sugerira da iti kovergecija po vjerojatosti ije priklada tip kovergecije u promatraom problemu. ii dobar izbor iza bi mogao biti a =, N. Ituitivo, VarS µ = σ, N. Dakle, dijeljejem S µ s imamo VarS µ/ = σ, N, što zači da dijeljejem s možemo očekivati eku relevatu iformaciju. Na osovu gorje diskusije kao priklada kovergecija ameće se kovergecija po distribuciji ajslabija od spomeute tri kovergecije i kao priklada iz ameće se a =, N, što i potvrđuje cetrali graiči teorem Teorem 8.3.

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza. 2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom: Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)

Διαβάστε περισσότερα

Teorem o prostim brojevima

Teorem o prostim brojevima Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.) DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA STATISTIKA

MATEMATIČKA STATISTIKA MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015. Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević

Mjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Centralni granični teorem. Završni rad

Centralni granični teorem. Završni rad Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Sveučiliši preddiplomsi studij matematie Daria Solić Cetrali graiči teorem Završi rad Osije, 2017. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeu Odjel

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },

1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... }, FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA

TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Matematički kolokvijum (Baja Luka) MAT-KOL (Baja Luka) XIV()(2008), 59-83 TAČNE I ASIMPTOTSKE RASPODJELE NEKIH UZORAČKIH STATISTIKA Uvod Aleksadra Vasilić Prirodo-matematički fakultet Baja Luka, Mladea

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

1. Numerički nizovi i redovi

1. Numerički nizovi i redovi . Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Patljak PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA Dilomski rad Voditelj rada: rof. dr. sc. Fili Najma Zagreb, veljača 2016.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5 INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.

REKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA

Sadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA Sadrˇzaj Sadrˇzaj 2 TEORIJA PROCJENA 3 2. TOČKASTE PROCJENE......................... 5 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA........................ 2.3 ML-PROCJENITELJI tko želi zati više................. 5 2.4 Poovimo.................................

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.

VJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017. Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA

GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA GRANIČNE VREDNOSTI NIZOVA Maria Nikolić 095/0 Aa Neadić 67/0 Dragaa Grubić 7/0 Damjaa Stojičić /007 Ivaa Bogićević 4/00 Aleksadra Neradžić 0/0 Kako je sve počelo Oko 5. veka p..e. grčki filozof Zeo je

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

2. Konvergencija nizova

2. Konvergencija nizova 6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA

IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA IZRAČUNAVANJE KONAČNIH SUMA METODIMA DIFERENTNOG RAČUNA Izlaganje - Seminar za matematičare, Fojnica 2017.g. Prof. dr. MEHMED NURKANOVIĆ Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli 13.01.2015. godine

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA II

MATEMATIČKA ANALIZA II MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα