Granične vrednosti realnih nizova

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Granične vrednosti realnih nizova"

Transcript

1 Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se sam iz obeležava sa (f ), ili sa f = (f, f,..., f,... ). Niz se često obeležava sa (x ), (y ) ili (a ). Na primer x = je opšti čla iza x = (, 3, 5, 7,... ). Pojam graiče vredosti Defiicija. Reala broj x je graiča vredost ili graica iza (x ) ako za svako ɛ > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi x x < ɛ i pišemo x = x. Prema tome, x = x ( ɛ > 0)( 0 N)( 0 ) x x < ɛ. Ako iz (x ) ima graiču vredost x, oda kažemo da je iz (x ) kovergeta i da kovergira ka x. Ako iz (x ) ema graiču vredost, oda ćemo reći da taj iz divergira ili da je divergeta. Defiicija. Za iz (x ) kažemo da teži ka +, i pišemo x = +, ako za svako M > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svako 0 važi x > M. Prema tome, x = + ( M > 0)( 0 N)( 0 ) x > M. Defiicija 3. Za iz (x ) kažemo da teži ka, i pišemo x =, ako za svako M > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svako 0 važi x < M. Prema tome, x = ( M > 0)( 0 N)( 0 ) x < M.

2 Za izove koji teže + ili kažemo da odred eo divergiraju ili da su odred eo divergeti. Primer 4. Dokazati da iz čiji je opšti čla x = kovergira ka 0. Rešeje: Dokažimo da za svako ɛ > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi 0 < ɛ, tj. < ɛ. Na osovu Arhimedovog pricipa postoji priroda broj 0 takav da je 0 > [ ] ɛ, pri čemu je dovoljo uzeti 0 = +. Zaista, 0 > ɛ ɛ i za svako 0 takod e će važiti > ɛ, odakle < ɛ, tj. x 0 < ɛ. Primer 5. Dokazati da je =. Rešeje: Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Treba ači 0 N tako da je za svako 0 važi < ɛ. Iz = = < ɛ + 5 > 7 ɛ + 5 > 7 ɛ > 7 ɛ 5, {[ ] } 7 zaključujemo da za 0 = max ɛ 5 +, važi 0 N i 0 > 7 ɛ 5, pa i za svako 0 važi > 7 ɛ 5, i stoga < ɛ. Primer 6. Dokazati da iz čiji je opšti čla x = + ( ) kovergira ka. Rešeje: Dokažimo da za proizvoljo ɛ > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi + ( ) < ɛ, tj. < ɛ. Kako je < ɛ > ɛ > log ɛ,

3 {[ ] } zaključujemo da za 0 = max log +, važi 0 > log ɛ, i zato i za ɛ svako 0 važi > log ɛ. Sledi < ɛ i stoga, + ( ) < ɛ, tj. x < ɛ. Primer 7. Dokazati da iz x = teži ka +. Rešeje: Neka je M > 0 proizvoljo. Dokažimo da postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi > M. Kako je > M > log M, zaključujemo da za 0 = max {[ log M ] +, } važi 0 > log M. Prema tome, ako je 0, tada je i > log M, tj. x = > M. Teorema 8. Ako postoji graiča vredost iza, oda je oa jedistvea. Dokaz. Pretostavimo da iz (x ) ima dve različite graiče vredosti x i x y y. Za ɛ = > 0 okolie (x ɛ, x + ε) i (y ɛ, y + ɛ) su disjukte. Kako je x = x, sledi postoji N tako da za svako važi x (x ɛ, x + ɛ). Takod e, iz x = y sledi da postoji N tako da za svako važi x (y ɛ, y + ɛ). Neka je 0 = max{, }. Tada za svako 0 važi x (x ɛ, x + ɛ) (y ɛ, y + ɛ), što protivureči čijeici da su okolie (x ɛ, x + ε) i (y ɛ, y + ɛ) disjukte. Defiicija 9. Za iz (x ) kažemo da je odozgo (odozdo) ograiče ako je odozgo (odozdo) ograiče skup {x : N}. Niz (x ) je ograiče ako je odozgo i odozdo ograiče. Teorema 0. Svaki kovergeta iz je ograiče. Dokaz. Neka je (x ) kovergeta iz i eka je x graiča vredost ovog iza. Tada postoji 0 N tako da za 0 važi x x <. Neka je M = max{, x x, x x,..., x 0 x }. Tada je x x M, tj. x [x M, x + M] za svako N. Prema tome, iz (x ) je ograiče. Primetimo da obrat tvrd eja Teoreme 0 e važi, tj. postoje izovi koji su ograičei ali isu kovergeti. Na primer iz čiji je opšti čla x = ( ) je ograiče ali ije kovergeta. Teorema. Neka su izovi (x ), (y ) i (z ) takvi da je x y z, N () 3

4 i x = z = a. () Tada je y = a. Dokaz. Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Iz () sledi da postoje, N tako da je a ɛ < x < a + ɛ za svako (3) i a ɛ < z < a + ɛ za svako. (4) Neka je 0 = max{, }. Sada a osovu (), (3) i (4) sledi da za svako 0 važi a ɛ < x y z < a + ɛ, tj. y (a ɛ, a + ɛ). Prema tome, y = a. Teorema. Neka su (x ) i (y ) izovi realih brojeva takvi da je Ako je x = +, oda je y = +. Ako je y =, oda je x =. x y, za svako N. (5) Dokaz. Neka je x = + i M > 0. Tada postoji 0 N tako da je x > M za svako 0. Iz (5) sledi da je y > M za svako 0. Prema tome, y = +. Drugi deo tvrd eja se dokazuje aalogo. Teorema 3. Neka je x = x. (6) Ako je x < b, tada postoji N tako da za svako važi x < b. Ako je x > c, tada postoji N tako da za svako važi x > c. Dokaz. Neka je x < b i eka je ɛ = b x. Tada iz (6) sledi da postoji N tako da je za svako, x (x ɛ, x + ɛ) = (x ɛ, b). Prema tome, x < b za. Ako je x > c, tada je ɛ = x c > 0. Iz (6) sledi da postoji N tako da je za svako, x (x ɛ, x + ɛ) = (c, x + ɛ). Prema tome, x > c za. 4

5 Teorema 4. Neka je Ako je x b za svako N, tada je x b. Ako je x c za svako N, tada je x c. x = x. (7) Dokaz. Neka je x b za svako N. Ako bi x < b, tada bi a osovu Teoreme 3 sledilo da postoji N tako da je x < b za svako, što je suproto pretpostavci. Aalogo, ako je x c za svako N, a osovu Teoreme 3, zaključujemo da je x c. Sledeća teorema je uopšteje Teoreme 3. Teorema 5. Ako je x = x, y = y i x < y, tada postoji 0 N tako da je x < y za svako 0. Dokaz. Za ɛ = y x > 0 važi (x ɛ, x+ɛ) (y ɛ, y+ɛ) =. Takod e za svako t (x ɛ, x+ɛ) i svako s (y ɛ, y+ɛ) važi ejedakost t < s. Iz x = x i y = y sledi da postoje, N tako da je x (x ɛ, x + ɛ) za i y (y ɛ, y + ɛ) za. Neka je 0 = max{, }. Za 0 imamo da x (x ɛ, x + ɛ) i y (y ɛ, y + ɛ), te je x < y. Nareda teorema je uopšteje Teoreme 4. Teorema 6. Neka je x = x, y = y i x y za svako N. Tada je x y. Dokaz. Pretpostavimo da je x < y. Na osovu Teoreme 5 sledi da postoji 0 N tako da je x < y za svako 0. Ovo protivureči pretpostavci da je x y za svako N. Dobijea protivurečost dokazuje da je x y. Teorema 7. Ako izovi (x ) i (y ) kovergiraju, tada kovergiraju i izovi (x + y ) i (x y ) i važi + y ) = +, y ) =. 5

6 Dokaz. Neka je je x = x i y = y i eka je ɛ > 0 poizvoljo. Tada postoje, N tako da je x x < ɛ za i y y < ɛ za. Neka je 0 = max{, }. Za 0 važi (x + y ) (x + y) = (x x) + (y y) x x + y y < ɛ + ɛ = ɛ i (x y ) (x y) = (x x) (y y) x x + y y < ɛ + ɛ = ɛ. Prema tome, (x + y ) = x + y = x + y i (x y ) = x y = x y. Ako izovi (x ) i (y ) isu kovergeti, jihov zbir odoso razlika e mora da bude divergeta iz. Na primer izovi x = + 5 i y = + 3 isu kovergeti, ali je jihov zbir x + y = 8 kovergeta iz. Defiicija 8. Za iz koji kovergira ka 0 kažemo da je ula-iz. Teorema 9. Proizvod ula-iza i ograičeog iza je ula-iz. Dokaz. Neka je je x = 0 i eka je (y ) ograiče iz. Sledi postoji M > 0 tako da je y M za svako N. Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Iz x = 0 sledi da postoji 0 N tako da je x < ɛ M za 0. Odatle za svako 0 važi Prema tome, (x y ) = 0. x y = x y < ɛ M M = ɛ. Posledica 0. Proizvod ula-iza i kovergetog iza je ula iz. Dokaz. Sledi iz Teoreme 9 i Teoreme 0. Teorema. Ako izovi (x ) i (y ) kovergiraju, tada kovergira i iz (x y ) i važi (x y ) = x y. (8) Dokaz. Neka je x = x i y = y. (9) 6

7 Ako je y = 0, tj. ako je (y ) ula-iz tvrd eje važi a osovu Posledice 0. Pretpostavimo da je y 0. Primetimo da je x y xy = x y x y + x y xy = x (y y) + y(x x) x y y + y x x. (0) Budući da je iz (x ) kovergeta, o je ograiče i postoji M > 0 tako da je x M za svako N. Neka je ɛ > 0. Iz (9) sledi da postoje, N tako da je x x < ɛ y za i y y < ɛ M za. Neka je 0 = max{, }. Za 0, a osovu (0) važi: x y xy x y y + y x x M y y + y x x < M ɛ M + y ɛ y = ɛ. Prema tome, (x y ) = xy = x y. Teorema. Ako je x = x 0, tada postoji 0 N tako da je x > x za svako 0. Dokaz. Neka je ɛ = x. Tada je ɛ > 0 i iz x = x sledi da postoji 0 N tako da je x x < ɛ = x za svako 0. Kako je x x x x x x, to je x x < x, tj. x > x za svako 0. Teorema 3. Ako je x = x 0 i x 0 za svako N, tada iz ( ) kovergira i važi x x = x. () Dokaz. Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Na osovu Teoreme sledi da postoji N tako da je x > x za svako. Iz x = x sledi da postoji 7

8 N tako da je x x < ɛ x za svako. Neka je 0 = max{, }. Za 0 imamo = x x x x x x < ɛ x x x = ɛ. ( ) Prema tome, iz kovergira i važi (). x Teorema 4. Ako je x = x, y = y 0 i y 0 za svako N, ( ) x tada iz kovergira i važi y Dokaz. Kako je. ( x y ) = ( x x = x y y. () y ), tvrd eje sledi iz Teoreme 3 i Teoreme Teorema 5. (Košijev kriterijum kovergecije) Niz (x ) kovergira ako i samo ako ( ɛ > 0)( 0 N)(, m 0 ) x m x < ɛ. Defiicija 6. Za iz (x ) kažemo da je rastući (opadajući) ako je x x + (x x + ) za svako N. Za izove koji su rastući ili opadajući kaže se da su mootoi. Na primer, iz ) opada, dok iz ( ) raste. Niz (( ) ) ije moo- ). to, kao i iz ( ( ( ) Defiicija 7. Za iz (x ), supremum skupa {x : N} se zove supremum iza i obeležava sa sup x, dok se ifimum skupa {x : N} zove ifimum iza i obeležava sa if x. Na primer, sup =, sup( ) = +, if = 0, if ( ) =, sup( 3 + ) = +, if (3 + ) =. 8

9 Teorema 8. Svaki rastući iz (x ) koji je odozgo ograiče je kovergeta i x = sup x. Svaki rastući iz koji ije odozgo ograiče teži ka +. Dokaz. Neka je iz (x ) rastući i ograiče odozgo. Sledi supremum iza je reala broj. Neka je α = sup x i eka je ɛ > 0. Budući da je α ɛ < α i da je α ajmaja gorja graica skupa {x : N}, sledi da α ɛ ije gorja graica skupa {x : N}. Zato postoji 0 N tako da je x 0 > α ɛ. Kako je iz (x ) rasući, to je za svako 0 α ɛ < x 0 x α. Prema tome, za svako 0 je x α < ɛ, što zači da je iz (x ) kovergeta i da je x = α = sup x. Pretpostavimo da je (x ) rastući i eograiče odozgo. Neka je M > 0. Kako M ije gorja graica skupa {x : N}, postoji 0 N tako da je x 0 > M. Budući da je iz (x ) rastući, to je za svako 0, x x 0 > M. Prema tome, x = +. Teorema 9. Svaki opadajući iz (x ) koji je odozdo ograiče je kovergeta i x = if x. Svaki opadajući iz koji ije odozdo ograiče teži ka. Dokaz. Sličo dokazu Teoreme 8. Iz Teoreme 8 sledi da je rastući iz kovergeta ako i samo ako je ograiče odozgo. Iz Teoreme 9 sledi da je opadajući iz kovergeta ako i samo ako je ograiče odozdo. Takod e, iz Teorema 8 i 9 sledi da, bez obzira a to da li je iz ograiče odozgo (odozdo) ili e, ako je iz (x ) rastući (opadajući), oda možemo pisati x = sup x ( x = if x ). Primer 30. Dokazati da iz x =, x = +, x 3 = x = + + +, = + x kovergira i aći jegovu graiču vredost. 9

10 Rešeje: Dokažimo idukcijom da je iz (x ) rastući. Kako je f(x) = x strogo rastuća fukcija, to iz < + sledi x = < + = x. Pretpostavimo da je x < x +. Tada je i + x < + x +, te je x + = + x < + x + = x +. Da bi dokazali da je iz (x ) kovergeta dovoljo je sada dokazati da je ograiče odozgo. Dokazaćemo idukcijom da je gorja graica ovog iza: Imamo da je x = < i pretpostavimo da je x <. Tada je + x < + = 4 i zato je x + = + x < 4 =. Budući da je iz (x ) rastući i ograiče odozgo, o je kovergeta i ozačimo sa x jegovu graiču vredost. Iz jedakosti x = + x sledi jedakosti x = + x. Odavde i iz čijeice da je iz x = x sledi da je i x = x dobijamo x = + x, tj. x x = 0. Sledi x = + 9 = (odbacujemo drugo rešeje 9 = prethode kvadrate jeačie) jer je x 0 zbog x > 0. Prema tome, x =. Defiicija 3. Neka je (x ) iz realih brojeva i,,..., k,... iz prirodih brojeva takav da je < < 3 < < k < k+ <.... ) aziva podiz iza (x ) ili de- Tada se iz (x, x,..., x k, x k +,... iči iz iza (x ). Na primer, iz (, 4, 6,...,,... ) je podiz iza prirodih brojeva (,, 3,...,,... ). Med utim iz (4,, 6,...,,... ) ije podiz iza prirodih brojeva. Primetimo da ako je (x k ) podiz iza (x ), oda je k k za svako k N i a osovu Teoreme sledi k = +. k Teorema 3. (Bolzao-Weierstrass) Svaki ograiče iz ima kovergeta podiz. Svaki iz koji ije odozgo ograiče ima podiz koji teži ka +. Svaki iz koji ije odozdo ograiče ima podiz koji teži ka. Dokaz. Neka je iz (x ) ograiče. Tada postoji segmet [a, b], a, b R, takav da je x [a, b] za svako N. Podeo ovaj segmet a dva jedaka po dužii segmeta. U bar jedom od tako dobijeih segmeata 0

11 se alazi beskoačo mogo elemeata iza (x ). Ozačimo sa [a, b ] oaj u kome se alazi beskoačo mogo elemeata iza (x ) i izaberimo jeda elemeat x koji pripada ovom segmetu. Podeo opet segmet [a, b ] a dva jedaka po dužii segmeta i sa [a, b ] ozačimo oaj u kome se alazi beskoačo mogo elemeata iza (x ). Izaberimo sada x [a, b ] ali tako da je <. Nastavljajući tako postupak, dobijamo iz umetutih segmeata ([a k, b k ]) čija dužia b k a k = b a k teži 0 kad k. Takod e dobijamo i iz (x k ) takav da je x k [a k, b k ] i k < k za k < k. Prema tome, iz (x k ) je podiz iza (x ). Na osovu Katorovog pricipa o umetutim segmetima postoji jedistve broj ξ takav da je {ξ} = [a k, b k ]. Pritom je ξ = sup a k = if b k. Kako je k k= iz (a k ) rastući, a iz (b k ) opadajući, iz Teorema 8 i 9 sledi ξ = k a k = k b k. (3) Kako je a k x k b k za svako k N, iz (3), a a osovu Teoreme, sledi k x k = ξ. Ovim smo dokazali da iz (x ) ima kovergeta podiz. Pretpostavimo da iz (x ) ije ograiče odozgo. Tada postoji N takav da je x >. Niz (x +, x +, x +3,... ) takod e ije ograiče odozgo jer je dobije od iza (x ) odbacivajem koačo mogo elemeata. Zato postoji N takav da je > i x >. Nastavljajući postupak dobijamo iz ( k ) takav da je i < < < k <... x >, x >,..., x k > k,.... Iz Teoreme sledi k x k = +. Ako iz (x ) ije ograiče odozdo, aalogo se dokazuje da postoji podiz (x k ) iza (x ) koji teži ka. Neki važi reali izovi Primer 33. Dokazati da je a! k = 0, a > 0. (4)

12 Rešeje: Neka je x = a!. Sledi x > 0 za svako N i x + x = a + (+)! a! = a +. (5) a Kako je + < za + > a, tj. > a, to je x + < x za > a. Neka je 0 = max{[a ]+, } = max{[a], }. Niz (x 0, x 0 +, x 0 +,... ) je opadajući i ograiče odozdo ulom, te je a osovu Teoreme 9 kovergeta. Kako kovergezija iza e zavisi od koačo mogo člaova iza, sledi da je iz (x ) kovergeta. Neka je x = x. Tada je i x a + = x. Na osovu (5) imamo x + = x + = x a, tj. x = x 0 = 0, što dokazuje jedakost (4). +, te je x + = Primer 34. Neka je x = ( + ). Dokazati da je iz (x ) kovergeta. Rešeje: Primeom biome formule dobijamo: x = ( + ) = ( = + = + ( ) ( ) + ( ) ) ( ) ( ) + + k k + + = ( )( ) ( )... ( (k )) ( ) k k = = + + ( )! + ( )( ) 3! ( )... ( (k )) k! k + + ( )... ( ( ))! = = + + ( ) + ( ) ( ) +...! 3! + ( ) ( ) (... k ) +... k!... + ( ) ( ) (... ),!

13 i takod e x + = + + ( ) + ( ) ( ) +...! + 3! ( ) ( ) (... k ) +... k! ( ) ( ) (... ) +! ( ) ( ) (... ). ( + )! Kako je to je k < k, za k =,,...,, + x < x +, za svako N, pa je iz (x ) rastući. Sada dokazujemo da je iz (x ) odozgo ograiče. Primetimo da je za svako N i stoga je,! <, ( ) ( ) <,... ( ) ( ) ( )... k <,... ( ) ( ) ( )... <, ( ) < (! Odavde zaključujemo da je!, 3! ) ( ( ) ( ) < ) ( ) 3!, <!. x < +! +! + 3! +...!. Kako je k! = 3 k > k, to je k! <, k = 3,.... k 3

14 Zato je x < +! +! + 3! +...! < = + ( = + ) < + = 3. Primetimo još da je = x x za svako N. Prema tome x < 3, za svako N. (6) Kako je iz (x ) rastući i odozgo ograiče, o je kovergeta. Njegovu graiču vredost ozačavamo sa e. Dokazuje se da je broj e iracioala. Iz (6), a osovu Teoreme 4, sledi e 3. Precizijim proceama alazi se da je e =, U sledećem primeru biće am potreba Berulijeva ejedakost: Ako je h > i N, tada je Primer 35. Dokazati da je ( + h) + h. a =, a > 0. (7) Rešeje: Pretostavimo ajpre da je a >. Tada je a >, tj. a > 0 i a osovu Berulijeve ejedakosti dobijamo a = ( + ( a )) + ( a ). Sledi 0 < a a, za svako N. (8) a ( Kako je = 0, iz (8) a osovu Teoreme sledi ) a = 0, odoso a =. Ako je a =, jedakost (7) očigledo važi. 4

15 Pretpostavimo sada da je 0 < a <. Tada je b = > i prema već a dokazaom delu tvd eja imamo da je b =. Prema tome, a = b = = = b b =. Primer 36. Dokazati da je Rešeje: Primeom biome formule dobijamo =. (9) = ( + ( )) ( = + ) ( ) ( + ) +... ( ) ( > ), i prema tome, 0 < <. (0) ( Kako je = 0, iz (0) a osovu Teoreme sledi ) = 0, odakle sledi (9). Primer 37. Dokazati da je a = +, a >, k R. () k Rešeje: Dokažimo ajpre jedakost () za slučaj k =. Iz a = ( + (a )) = +(a )+ sledi Kako je a > ( ) (a ) +... > ( ) (a ) (a ) () (a ) = +, a osovu Teoreme iz () sledi a 5 = +. (3)

16 Dokažimo jedakost () za slučaj k >. Primetimo da je a k = [ ( k a) ] k, a zbog a > imamo k ( k a) a > i a osovu već dokazaog je = +. Stoga je ( k a) > za dovoljo veliko N. Za b R, b >, fukcija f(x) = b x, x R, je rastuća, te iz k > sledi b k > b = b. Ako za b uzmemo ( k a) gde je N dovoljo veliko, dobijamo a k = [ ( k a) ] k > ( k a) a Na osovu Teoreme iz (4) sledi k = +. Ako je k <, tada je k <, pa je a. (4) k a, za svako N. (5) a Iz (3) i (5), a osovu Teoreme, sledi k = +. 6

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006

Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006 Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007. Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem

8 Predikatski račun kao deduktivni sistem 26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Ago O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva - Master rad- Mentor: dr Bojan Bašić

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA

RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA RAČUNANJE SA PRIBLIŽNIM VREDNOSTIMA BROJEVA PRIBLIŽNI BROJ I GREŠKA tača vredost ekog broja X prblža vredost ekog broja X apsoluta greška Δ = X X graca apsolute greške (gorja graca) relatva greška X X

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike

MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike MATEMATIKA 1 skripta za studete fizike Nebojša Č. Dičić, Departma za Matematiku, Prirodo-matematički fakultet, Uiverzitet u Nišu, e-mail: dicic@hotmail.com Novembar 2013. ii Sadržaj 1 Uvodi pojmovi 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehi ki fakultet Rje²eje doma e zada e Iºejerska matematika Haru iljak Decembar 009. Zad. U sljede em izrazu izvr²ite sve aza ee operacije u skupu kompleksih brojeva: cis π

Διαβάστε περισσότερα

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator...

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator... Sadržaj 3 Linearani operatori 68 3.1 Ograničenost i neprekidnost................... 68 3.2 Inverzni operator......................... 79 3.3 O još dva principa........................ 83 3.4 Zatvoreni

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje:

U okviru prvog dijela predavanja predviđeno je da studenti savladaju slijedeće programske sadržaje: Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: I dio U okviru prvog dela predavaja predviđeo je da studeti savladaju sledeće programske sadržaje: Pojam matrice i operace s matricama Jediiča matrica raspoovaa

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI RALNA, KOMPLKSNA ANALIZA I HILBRTOVI PROSTORI M. MATLJVIĆ Abstract. R R M M Uvod Radna verzija, 26 septembar 2007, 29 maj 2008. Kurs iz Teorije Realnih i Kompleksnih funkcija (TR-KF, popularno TRiK) sastoji

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Prilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase

Prilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Jelena Gajić Prilozi teoriji operatora- Banahove algebre i Šatenove klase -master rad- Novi Sad, 2009 Predgovor

Διαβάστε περισσότερα