Granične vrednosti realnih nizova

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Granične vrednosti realnih nizova"

Transcript

1 Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se sam iz obeležava sa (f ), ili sa f = (f, f,..., f,... ). Niz se često obeležava sa (x ), (y ) ili (a ). Na primer x = je opšti čla iza x = (, 3, 5, 7,... ). Pojam graiče vredosti Defiicija. Reala broj x je graiča vredost ili graica iza (x ) ako za svako ɛ > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi x x < ɛ i pišemo x = x. Prema tome, x = x ( ɛ > 0)( 0 N)( 0 ) x x < ɛ. Ako iz (x ) ima graiču vredost x, oda kažemo da je iz (x ) kovergeta i da kovergira ka x. Ako iz (x ) ema graiču vredost, oda ćemo reći da taj iz divergira ili da je divergeta. Defiicija. Za iz (x ) kažemo da teži ka +, i pišemo x = +, ako za svako M > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svako 0 važi x > M. Prema tome, x = + ( M > 0)( 0 N)( 0 ) x > M. Defiicija 3. Za iz (x ) kažemo da teži ka, i pišemo x =, ako za svako M > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svako 0 važi x < M. Prema tome, x = ( M > 0)( 0 N)( 0 ) x < M.

2 Za izove koji teže + ili kažemo da odred eo divergiraju ili da su odred eo divergeti. Primer 4. Dokazati da iz čiji je opšti čla x = kovergira ka 0. Rešeje: Dokažimo da za svako ɛ > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi 0 < ɛ, tj. < ɛ. Na osovu Arhimedovog pricipa postoji priroda broj 0 takav da je 0 > [ ] ɛ, pri čemu je dovoljo uzeti 0 = +. Zaista, 0 > ɛ ɛ i za svako 0 takod e će važiti > ɛ, odakle < ɛ, tj. x 0 < ɛ. Primer 5. Dokazati da je =. Rešeje: Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Treba ači 0 N tako da je za svako 0 važi < ɛ. Iz = = < ɛ + 5 > 7 ɛ + 5 > 7 ɛ > 7 ɛ 5, {[ ] } 7 zaključujemo da za 0 = max ɛ 5 +, važi 0 N i 0 > 7 ɛ 5, pa i za svako 0 važi > 7 ɛ 5, i stoga < ɛ. Primer 6. Dokazati da iz čiji je opšti čla x = + ( ) kovergira ka. Rešeje: Dokažimo da za proizvoljo ɛ > 0 postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi + ( ) < ɛ, tj. < ɛ. Kako je < ɛ > ɛ > log ɛ,

3 {[ ] } zaključujemo da za 0 = max log +, važi 0 > log ɛ, i zato i za ɛ svako 0 važi > log ɛ. Sledi < ɛ i stoga, + ( ) < ɛ, tj. x < ɛ. Primer 7. Dokazati da iz x = teži ka +. Rešeje: Neka je M > 0 proizvoljo. Dokažimo da postoji priroda broj 0 tako da za svaki priroda broj 0 važi > M. Kako je > M > log M, zaključujemo da za 0 = max {[ log M ] +, } važi 0 > log M. Prema tome, ako je 0, tada je i > log M, tj. x = > M. Teorema 8. Ako postoji graiča vredost iza, oda je oa jedistvea. Dokaz. Pretostavimo da iz (x ) ima dve različite graiče vredosti x i x y y. Za ɛ = > 0 okolie (x ɛ, x + ε) i (y ɛ, y + ɛ) su disjukte. Kako je x = x, sledi postoji N tako da za svako važi x (x ɛ, x + ɛ). Takod e, iz x = y sledi da postoji N tako da za svako važi x (y ɛ, y + ɛ). Neka je 0 = max{, }. Tada za svako 0 važi x (x ɛ, x + ɛ) (y ɛ, y + ɛ), što protivureči čijeici da su okolie (x ɛ, x + ε) i (y ɛ, y + ɛ) disjukte. Defiicija 9. Za iz (x ) kažemo da je odozgo (odozdo) ograiče ako je odozgo (odozdo) ograiče skup {x : N}. Niz (x ) je ograiče ako je odozgo i odozdo ograiče. Teorema 0. Svaki kovergeta iz je ograiče. Dokaz. Neka je (x ) kovergeta iz i eka je x graiča vredost ovog iza. Tada postoji 0 N tako da za 0 važi x x <. Neka je M = max{, x x, x x,..., x 0 x }. Tada je x x M, tj. x [x M, x + M] za svako N. Prema tome, iz (x ) je ograiče. Primetimo da obrat tvrd eja Teoreme 0 e važi, tj. postoje izovi koji su ograičei ali isu kovergeti. Na primer iz čiji je opšti čla x = ( ) je ograiče ali ije kovergeta. Teorema. Neka su izovi (x ), (y ) i (z ) takvi da je x y z, N () 3

4 i x = z = a. () Tada je y = a. Dokaz. Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Iz () sledi da postoje, N tako da je a ɛ < x < a + ɛ za svako (3) i a ɛ < z < a + ɛ za svako. (4) Neka je 0 = max{, }. Sada a osovu (), (3) i (4) sledi da za svako 0 važi a ɛ < x y z < a + ɛ, tj. y (a ɛ, a + ɛ). Prema tome, y = a. Teorema. Neka su (x ) i (y ) izovi realih brojeva takvi da je Ako je x = +, oda je y = +. Ako je y =, oda je x =. x y, za svako N. (5) Dokaz. Neka je x = + i M > 0. Tada postoji 0 N tako da je x > M za svako 0. Iz (5) sledi da je y > M za svako 0. Prema tome, y = +. Drugi deo tvrd eja se dokazuje aalogo. Teorema 3. Neka je x = x. (6) Ako je x < b, tada postoji N tako da za svako važi x < b. Ako je x > c, tada postoji N tako da za svako važi x > c. Dokaz. Neka je x < b i eka je ɛ = b x. Tada iz (6) sledi da postoji N tako da je za svako, x (x ɛ, x + ɛ) = (x ɛ, b). Prema tome, x < b za. Ako je x > c, tada je ɛ = x c > 0. Iz (6) sledi da postoji N tako da je za svako, x (x ɛ, x + ɛ) = (c, x + ɛ). Prema tome, x > c za. 4

5 Teorema 4. Neka je Ako je x b za svako N, tada je x b. Ako je x c za svako N, tada je x c. x = x. (7) Dokaz. Neka je x b za svako N. Ako bi x < b, tada bi a osovu Teoreme 3 sledilo da postoji N tako da je x < b za svako, što je suproto pretpostavci. Aalogo, ako je x c za svako N, a osovu Teoreme 3, zaključujemo da je x c. Sledeća teorema je uopšteje Teoreme 3. Teorema 5. Ako je x = x, y = y i x < y, tada postoji 0 N tako da je x < y za svako 0. Dokaz. Za ɛ = y x > 0 važi (x ɛ, x+ɛ) (y ɛ, y+ɛ) =. Takod e za svako t (x ɛ, x+ɛ) i svako s (y ɛ, y+ɛ) važi ejedakost t < s. Iz x = x i y = y sledi da postoje, N tako da je x (x ɛ, x + ɛ) za i y (y ɛ, y + ɛ) za. Neka je 0 = max{, }. Za 0 imamo da x (x ɛ, x + ɛ) i y (y ɛ, y + ɛ), te je x < y. Nareda teorema je uopšteje Teoreme 4. Teorema 6. Neka je x = x, y = y i x y za svako N. Tada je x y. Dokaz. Pretpostavimo da je x < y. Na osovu Teoreme 5 sledi da postoji 0 N tako da je x < y za svako 0. Ovo protivureči pretpostavci da je x y za svako N. Dobijea protivurečost dokazuje da je x y. Teorema 7. Ako izovi (x ) i (y ) kovergiraju, tada kovergiraju i izovi (x + y ) i (x y ) i važi + y ) = +, y ) =. 5

6 Dokaz. Neka je je x = x i y = y i eka je ɛ > 0 poizvoljo. Tada postoje, N tako da je x x < ɛ za i y y < ɛ za. Neka je 0 = max{, }. Za 0 važi (x + y ) (x + y) = (x x) + (y y) x x + y y < ɛ + ɛ = ɛ i (x y ) (x y) = (x x) (y y) x x + y y < ɛ + ɛ = ɛ. Prema tome, (x + y ) = x + y = x + y i (x y ) = x y = x y. Ako izovi (x ) i (y ) isu kovergeti, jihov zbir odoso razlika e mora da bude divergeta iz. Na primer izovi x = + 5 i y = + 3 isu kovergeti, ali je jihov zbir x + y = 8 kovergeta iz. Defiicija 8. Za iz koji kovergira ka 0 kažemo da je ula-iz. Teorema 9. Proizvod ula-iza i ograičeog iza je ula-iz. Dokaz. Neka je je x = 0 i eka je (y ) ograiče iz. Sledi postoji M > 0 tako da je y M za svako N. Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Iz x = 0 sledi da postoji 0 N tako da je x < ɛ M za 0. Odatle za svako 0 važi Prema tome, (x y ) = 0. x y = x y < ɛ M M = ɛ. Posledica 0. Proizvod ula-iza i kovergetog iza je ula iz. Dokaz. Sledi iz Teoreme 9 i Teoreme 0. Teorema. Ako izovi (x ) i (y ) kovergiraju, tada kovergira i iz (x y ) i važi (x y ) = x y. (8) Dokaz. Neka je x = x i y = y. (9) 6

7 Ako je y = 0, tj. ako je (y ) ula-iz tvrd eje važi a osovu Posledice 0. Pretpostavimo da je y 0. Primetimo da je x y xy = x y x y + x y xy = x (y y) + y(x x) x y y + y x x. (0) Budući da je iz (x ) kovergeta, o je ograiče i postoji M > 0 tako da je x M za svako N. Neka je ɛ > 0. Iz (9) sledi da postoje, N tako da je x x < ɛ y za i y y < ɛ M za. Neka je 0 = max{, }. Za 0, a osovu (0) važi: x y xy x y y + y x x M y y + y x x < M ɛ M + y ɛ y = ɛ. Prema tome, (x y ) = xy = x y. Teorema. Ako je x = x 0, tada postoji 0 N tako da je x > x za svako 0. Dokaz. Neka je ɛ = x. Tada je ɛ > 0 i iz x = x sledi da postoji 0 N tako da je x x < ɛ = x za svako 0. Kako je x x x x x x, to je x x < x, tj. x > x za svako 0. Teorema 3. Ako je x = x 0 i x 0 za svako N, tada iz ( ) kovergira i važi x x = x. () Dokaz. Neka je ɛ > 0 proizvoljo. Na osovu Teoreme sledi da postoji N tako da je x > x za svako. Iz x = x sledi da postoji 7

8 N tako da je x x < ɛ x za svako. Neka je 0 = max{, }. Za 0 imamo = x x x x x x < ɛ x x x = ɛ. ( ) Prema tome, iz kovergira i važi (). x Teorema 4. Ako je x = x, y = y 0 i y 0 za svako N, ( ) x tada iz kovergira i važi y Dokaz. Kako je. ( x y ) = ( x x = x y y. () y ), tvrd eje sledi iz Teoreme 3 i Teoreme Teorema 5. (Košijev kriterijum kovergecije) Niz (x ) kovergira ako i samo ako ( ɛ > 0)( 0 N)(, m 0 ) x m x < ɛ. Defiicija 6. Za iz (x ) kažemo da je rastući (opadajući) ako je x x + (x x + ) za svako N. Za izove koji su rastući ili opadajući kaže se da su mootoi. Na primer, iz ) opada, dok iz ( ) raste. Niz (( ) ) ije moo- ). to, kao i iz ( ( ( ) Defiicija 7. Za iz (x ), supremum skupa {x : N} se zove supremum iza i obeležava sa sup x, dok se ifimum skupa {x : N} zove ifimum iza i obeležava sa if x. Na primer, sup =, sup( ) = +, if = 0, if ( ) =, sup( 3 + ) = +, if (3 + ) =. 8

9 Teorema 8. Svaki rastući iz (x ) koji je odozgo ograiče je kovergeta i x = sup x. Svaki rastući iz koji ije odozgo ograiče teži ka +. Dokaz. Neka je iz (x ) rastući i ograiče odozgo. Sledi supremum iza je reala broj. Neka je α = sup x i eka je ɛ > 0. Budući da je α ɛ < α i da je α ajmaja gorja graica skupa {x : N}, sledi da α ɛ ije gorja graica skupa {x : N}. Zato postoji 0 N tako da je x 0 > α ɛ. Kako je iz (x ) rasući, to je za svako 0 α ɛ < x 0 x α. Prema tome, za svako 0 je x α < ɛ, što zači da je iz (x ) kovergeta i da je x = α = sup x. Pretpostavimo da je (x ) rastući i eograiče odozgo. Neka je M > 0. Kako M ije gorja graica skupa {x : N}, postoji 0 N tako da je x 0 > M. Budući da je iz (x ) rastući, to je za svako 0, x x 0 > M. Prema tome, x = +. Teorema 9. Svaki opadajući iz (x ) koji je odozdo ograiče je kovergeta i x = if x. Svaki opadajući iz koji ije odozdo ograiče teži ka. Dokaz. Sličo dokazu Teoreme 8. Iz Teoreme 8 sledi da je rastući iz kovergeta ako i samo ako je ograiče odozgo. Iz Teoreme 9 sledi da je opadajući iz kovergeta ako i samo ako je ograiče odozdo. Takod e, iz Teorema 8 i 9 sledi da, bez obzira a to da li je iz ograiče odozgo (odozdo) ili e, ako je iz (x ) rastući (opadajući), oda možemo pisati x = sup x ( x = if x ). Primer 30. Dokazati da iz x =, x = +, x 3 = x = + + +, = + x kovergira i aći jegovu graiču vredost. 9

10 Rešeje: Dokažimo idukcijom da je iz (x ) rastući. Kako je f(x) = x strogo rastuća fukcija, to iz < + sledi x = < + = x. Pretpostavimo da je x < x +. Tada je i + x < + x +, te je x + = + x < + x + = x +. Da bi dokazali da je iz (x ) kovergeta dovoljo je sada dokazati da je ograiče odozgo. Dokazaćemo idukcijom da je gorja graica ovog iza: Imamo da je x = < i pretpostavimo da je x <. Tada je + x < + = 4 i zato je x + = + x < 4 =. Budući da je iz (x ) rastući i ograiče odozgo, o je kovergeta i ozačimo sa x jegovu graiču vredost. Iz jedakosti x = + x sledi jedakosti x = + x. Odavde i iz čijeice da je iz x = x sledi da je i x = x dobijamo x = + x, tj. x x = 0. Sledi x = + 9 = (odbacujemo drugo rešeje 9 = prethode kvadrate jeačie) jer je x 0 zbog x > 0. Prema tome, x =. Defiicija 3. Neka je (x ) iz realih brojeva i,,..., k,... iz prirodih brojeva takav da je < < 3 < < k < k+ <.... ) aziva podiz iza (x ) ili de- Tada se iz (x, x,..., x k, x k +,... iči iz iza (x ). Na primer, iz (, 4, 6,...,,... ) je podiz iza prirodih brojeva (,, 3,...,,... ). Med utim iz (4,, 6,...,,... ) ije podiz iza prirodih brojeva. Primetimo da ako je (x k ) podiz iza (x ), oda je k k za svako k N i a osovu Teoreme sledi k = +. k Teorema 3. (Bolzao-Weierstrass) Svaki ograiče iz ima kovergeta podiz. Svaki iz koji ije odozgo ograiče ima podiz koji teži ka +. Svaki iz koji ije odozdo ograiče ima podiz koji teži ka. Dokaz. Neka je iz (x ) ograiče. Tada postoji segmet [a, b], a, b R, takav da je x [a, b] za svako N. Podeo ovaj segmet a dva jedaka po dužii segmeta. U bar jedom od tako dobijeih segmeata 0

11 se alazi beskoačo mogo elemeata iza (x ). Ozačimo sa [a, b ] oaj u kome se alazi beskoačo mogo elemeata iza (x ) i izaberimo jeda elemeat x koji pripada ovom segmetu. Podeo opet segmet [a, b ] a dva jedaka po dužii segmeta i sa [a, b ] ozačimo oaj u kome se alazi beskoačo mogo elemeata iza (x ). Izaberimo sada x [a, b ] ali tako da je <. Nastavljajući tako postupak, dobijamo iz umetutih segmeata ([a k, b k ]) čija dužia b k a k = b a k teži 0 kad k. Takod e dobijamo i iz (x k ) takav da je x k [a k, b k ] i k < k za k < k. Prema tome, iz (x k ) je podiz iza (x ). Na osovu Katorovog pricipa o umetutim segmetima postoji jedistve broj ξ takav da je {ξ} = [a k, b k ]. Pritom je ξ = sup a k = if b k. Kako je k k= iz (a k ) rastući, a iz (b k ) opadajući, iz Teorema 8 i 9 sledi ξ = k a k = k b k. (3) Kako je a k x k b k za svako k N, iz (3), a a osovu Teoreme, sledi k x k = ξ. Ovim smo dokazali da iz (x ) ima kovergeta podiz. Pretpostavimo da iz (x ) ije ograiče odozgo. Tada postoji N takav da je x >. Niz (x +, x +, x +3,... ) takod e ije ograiče odozgo jer je dobije od iza (x ) odbacivajem koačo mogo elemeata. Zato postoji N takav da je > i x >. Nastavljajući postupak dobijamo iz ( k ) takav da je i < < < k <... x >, x >,..., x k > k,.... Iz Teoreme sledi k x k = +. Ako iz (x ) ije ograiče odozdo, aalogo se dokazuje da postoji podiz (x k ) iza (x ) koji teži ka. Neki važi reali izovi Primer 33. Dokazati da je a! k = 0, a > 0. (4)

12 Rešeje: Neka je x = a!. Sledi x > 0 za svako N i x + x = a + (+)! a! = a +. (5) a Kako je + < za + > a, tj. > a, to je x + < x za > a. Neka je 0 = max{[a ]+, } = max{[a], }. Niz (x 0, x 0 +, x 0 +,... ) je opadajući i ograiče odozdo ulom, te je a osovu Teoreme 9 kovergeta. Kako kovergezija iza e zavisi od koačo mogo člaova iza, sledi da je iz (x ) kovergeta. Neka je x = x. Tada je i x a + = x. Na osovu (5) imamo x + = x + = x a, tj. x = x 0 = 0, što dokazuje jedakost (4). +, te je x + = Primer 34. Neka je x = ( + ). Dokazati da je iz (x ) kovergeta. Rešeje: Primeom biome formule dobijamo: x = ( + ) = ( = + = + ( ) ( ) + ( ) ) ( ) ( ) + + k k + + = ( )( ) ( )... ( (k )) ( ) k k = = + + ( )! + ( )( ) 3! ( )... ( (k )) k! k + + ( )... ( ( ))! = = + + ( ) + ( ) ( ) +...! 3! + ( ) ( ) (... k ) +... k!... + ( ) ( ) (... ),!

13 i takod e x + = + + ( ) + ( ) ( ) +...! + 3! ( ) ( ) (... k ) +... k! ( ) ( ) (... ) +! ( ) ( ) (... ). ( + )! Kako je to je k < k, za k =,,...,, + x < x +, za svako N, pa je iz (x ) rastući. Sada dokazujemo da je iz (x ) odozgo ograiče. Primetimo da je za svako N i stoga je,! <, ( ) ( ) <,... ( ) ( ) ( )... k <,... ( ) ( ) ( )... <, ( ) < (! Odavde zaključujemo da je!, 3! ) ( ( ) ( ) < ) ( ) 3!, <!. x < +! +! + 3! +...!. Kako je k! = 3 k > k, to je k! <, k = 3,.... k 3

14 Zato je x < +! +! + 3! +...! < = + ( = + ) < + = 3. Primetimo još da je = x x za svako N. Prema tome x < 3, za svako N. (6) Kako je iz (x ) rastući i odozgo ograiče, o je kovergeta. Njegovu graiču vredost ozačavamo sa e. Dokazuje se da je broj e iracioala. Iz (6), a osovu Teoreme 4, sledi e 3. Precizijim proceama alazi se da je e =, U sledećem primeru biće am potreba Berulijeva ejedakost: Ako je h > i N, tada je Primer 35. Dokazati da je ( + h) + h. a =, a > 0. (7) Rešeje: Pretostavimo ajpre da je a >. Tada je a >, tj. a > 0 i a osovu Berulijeve ejedakosti dobijamo a = ( + ( a )) + ( a ). Sledi 0 < a a, za svako N. (8) a ( Kako je = 0, iz (8) a osovu Teoreme sledi ) a = 0, odoso a =. Ako je a =, jedakost (7) očigledo važi. 4

15 Pretpostavimo sada da je 0 < a <. Tada je b = > i prema već a dokazaom delu tvd eja imamo da je b =. Prema tome, a = b = = = b b =. Primer 36. Dokazati da je Rešeje: Primeom biome formule dobijamo =. (9) = ( + ( )) ( = + ) ( ) ( + ) +... ( ) ( > ), i prema tome, 0 < <. (0) ( Kako je = 0, iz (0) a osovu Teoreme sledi ) = 0, odakle sledi (9). Primer 37. Dokazati da je a = +, a >, k R. () k Rešeje: Dokažimo ajpre jedakost () za slučaj k =. Iz a = ( + (a )) = +(a )+ sledi Kako je a > ( ) (a ) +... > ( ) (a ) (a ) () (a ) = +, a osovu Teoreme iz () sledi a 5 = +. (3)

16 Dokažimo jedakost () za slučaj k >. Primetimo da je a k = [ ( k a) ] k, a zbog a > imamo k ( k a) a > i a osovu već dokazaog je = +. Stoga je ( k a) > za dovoljo veliko N. Za b R, b >, fukcija f(x) = b x, x R, je rastuća, te iz k > sledi b k > b = b. Ako za b uzmemo ( k a) gde je N dovoljo veliko, dobijamo a k = [ ( k a) ] k > ( k a) a Na osovu Teoreme iz (4) sledi k = +. Ako je k <, tada je k <, pa je a. (4) k a, za svako N. (5) a Iz (3) i (5), a osovu Teoreme, sledi k = +. 6

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ

Zadatak 1. Rešenje: Imamo sistem sa ekvivalentnim paralelnim serverima: λp 5. X=λ(1-p 5 ) X μ Zadatak U račuarskom etru ostoi soba sa 3 račuara. Soba e mala i u o, ored oih koi treuto rade, može da čeka oš dva korisika. Korisii dolaze ezaviso i slučao, u roseku 4 korisika a sat. Svaki korisik radi

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1

Rje²enje doma e zada e 2. Inºenjerska matematika 1 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehi ki fakultet Rje²eje doma e zada e Iºejerska matematika Haru iljak Decembar 009. Zad. U sljede em izrazu izvr²ite sve aza ee operacije u skupu kompleksih brojeva: cis π

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

1. Slučajni dogad aji

1. Slučajni dogad aji VEROVATNOĆA Teorija verovatoće je matematička disciplia koja se bavi izučavajem slučajih pojava, tj. takvih empirijskih feomea čiji ishodi isu uvek strogo defiisai. Osovi model u teoriji verovatoće je

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI RALNA, KOMPLKSNA ANALIZA I HILBRTOVI PROSTORI M. MATLJVIĆ Abstract. R R M M Uvod Radna verzija, 26 septembar 2007, 29 maj 2008. Kurs iz Teorije Realnih i Kompleksnih funkcija (TR-KF, popularno TRiK) sastoji

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

( i,j 1,n) = b ij = a ji,

( i,j 1,n) = b ij = a ji, - 34-0 Kvadrate matrice 0 Za kvadratu matricu A reda, tj za matrica A M uvodimo defiicije: Defiicija Ako za kvadratu matricu A važi A T =A, tada se A aziva simetriča matrica Defiicija 2 Ako za kvadratu

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi

STATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi STATISTIKA. Osovi pojmovi Matematička statistika se bavi proučavajem skupova sa velikim brojem elemeata, koji su jedorodi u odosu a jedo ili više zajedičkih kvalitatitvih ili kvatitativih svojstava. Kako

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.

dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Str. 454;139;91.

Str. 454;139;91. Str. 454;39;9 Metod uzorka Predavač: Dr Mirko Savić avicmirko@eccf.u.ac.yu www.eccf.u.ac.yu Statitička maa može da e pomatra a jeda od ledeća dva ačia: potpuo pomatraje, delimičo pomatraje (metod uzorka).

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića

Verovatnoća i Statistika. II deo. Osnovi Statistike. Beleške Prof. Aleksandra Ivića Verovatoća i Statistika II deo. Osovi Statistike Beleške Prof. Aleksadra Ivića 0.1 Osove statističke veličie Osovi zadatak matematičke statistike sastoji se u tome da se iz jedog dela eke geerale kolekcije

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA Doktorska disertacija Kragujevac 2007 Sadr`aj Predgovor 2 1 Harmonijski grafovi 5 1.1 Definicija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zadatak predikatske logike Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zbog toga se pomoću iskaznih formula ne može

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT

Dekompozicija DFT. Brzi algoritmi na bazi radix-2. Brza Furijeova transofrmacija. Tačnost izračunavanja. Kompleksna FFT OASDSP 1: 7 FFT OASDSP : 7 FFT Dkompozicija DFT Brzi algoritmi a bazi radix- Brza Furijova trasofrmacija Tačost izračuavaja Komplksa FFT ovi Sad, Oktobar 5 straa OASDSP : 7 FFT Brza trasformacija : itrativa dkompozicija

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

3. Matrice Operacije s matricama. Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje

3. Matrice Operacije s matricama. Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje 3 Matrice 31 Operacije s matricama Podsjetimo se definicije matrice: Za prirodne brojeve m i n, preslikavanje A : {1, 2,, m} {1, 2,, n} F se naziva matrica tipa (m, n) s koeficijentima iz polja F Običaj

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου. Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου. Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 5: Tα Άκλιτα µέρη του λόγου Μπορόβας Γεώργιος Τµήµα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XX (1)(2014), 5-14 Osnove matematike JEDNA NOVA KLASA RELACIJA Daniel A. Romano 1 Sažak: U ovom tekstu, slijedeći koncepte izložene u radovima

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα