Broj e. Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelena Tomanović December 14, 2006

Transcript

1 Broj e Nadja Radović, Maja Roslavcev, Jelea Tomaović December 4, 2006 Uvod Broj e je jeda od ajzačajijih matematičkih kostati, pozata još i kao Ojlerov broj ili Nejpirova kostata Njegova vredost, zaokružea a dvadeset decimala izosi e 2, Broj e se prvi put pojavio 68 godie u logaritamskim tablicama ako Nejpirovog otkrića logaritama), ali mu tada ije pridava aročit začaj Njegov smisao, kako u matematici, tako i u drugim aučim oblastima biće otkrive zato kasije 2 Defiicija broja e Postoji više defiicija broja e Da bismo ga defiisali preko esa posmatraćemo sledeće izove: a + ), b + ) + a + ) pri čemu N Ako dokažemo da postoji es iza b biće: a b + ) b, pa će postojati i es iza a sa istom vredošću kao i es iza b Dokažimo ajpre da je iz b opadajući Imamo da je: ) b + ) 2+ 2 ) ) b ) + ) + ) ) 2 + Primeom Berulijeve ejedakosti dobijamo da važi: + ) > + 2 2,

2 odakle sledi da je: b > + ) b 2 + > + ) 2 + ) Dakle, b > b, za N, 2 Dokažimo još i da je iz b ograiče odozdo Još jedom primeom Berulijeve ejedakosti dobijamo: b + ) + + > ) 2 + > 2 Dakle, iz b je opadajući i ograiče odozdo, što zači da je kovergeta Treba još pokazati da je iz a rastući i ograiče odozgo Ako dokažemo da je a + ) < + ) + + }{{} a ) + + možemo tvrditi da je a rastući iz Iskoristimo ejedakost aritmetičke i geometrijske sredie: + + ) + < ) ) + 2 ) + < a < a + + Prema tome, iz a je rastući Pošto je a + ) < + + ) b, a iz b opadajući i ograiče odozdo, sledi da je iz a ograiče odozgo Dakle, iz a je kovergeta Sada možemo uvesti sledeću defiiciju: Defiicija e + ) 3 Neka začaja svojstva broja e Sada ćemo avesti eka od osovih svojstava broja e Teorema e! 0! +! + 2! + 3! + 0 Dokaz Pokažimo da teorema sledi iz defiicije Očigledo je da važi za N i 2) a + ) 0! 0 +! ) + 2! 2+ 2! ) + 3! ) 2 ) k + ) k! ) 2 +! ) + + k! 2 > ) 2 ) k + k )

3 Kada dobijamo ejedakost: e 2 + 2! + + k! b k, koja je zadovoljea za proizvoljo k Kako u skupu b k e postoji ajveći elemet, to je za k : b 2 + 2! + +! < e, tj zak jedakosti je emoguć S druge strae je: a + ) < 2 + 2! + +! < b Zači, a < b < e i a e Odatle sledi da je b e Napomea Sledeća začaja svojstva broja e avodimo bez dokaza Broj e se može prikazati u obliku e Pozato je da broj e jeste iracioala, pa čak i trascedeta broj 4 Primee broja e u matematici 4 Ekspoecijale fukcije i prirodi logaritmi Broj e proalazi primee u različitim oblastima matematike Koristi se, izmedju ostalog, i za defiisaje ekspoecijalih fukcija Ovde ćemo prikazati dve defiicije ekspoecijalih fukcija preko broja e: Defiicija 2 e x + x ) Defiicija 3 e x 0 x! U praksi je često pogodije koristiti broj e kao osovu u ekspoecija i logaritamskim fukcijama Zato se logaritam sa osovom e zove prirodi logaritam 42 Ojlerova formula Ojlerova formula, koja glasi e ix cos x + i si x spada u ajzačajije formule u matematici Ako se x zamei sa π dobija se Ojlerov idetitet: e iπ + 0, koji je začaja po tome što daje vezu izmedju pet izuzeto važih matematičkih kostati: e, i, π, i 0 3

4 43 Graiče vredosti izova Postoji veliki broj izova koji kovergiraju ka broju e Primer Striligova formula) Dokaz Primetimo da je Pošto je x x i kako važi jedakost sledi da je! ) )! što je i trebalo dokazati! e!! Neka je x! ) + ) e x x x! e, 44 Zbir člaova beskoačog iza Broj e može se prikazati i kao zbir člaova mogih izova: Primer 2 [ ) k ] e k! k0 45 Broj e kao beskoači proizvod Jeda od beskoačih proizvoda čija je vredost jedaka broju e jeste sledeći: Primer 3 k ) k + ) )k+ e k0 5 Primee broja e u drugim oblastima 5 Ekoomija Vredost broja e u početku je račuata u bakarske svrhe Koliki je jegov začaj za ekoomiju ilustruju primeri koji slede Pretpostavimo da ulažemo u baku sumu ovca x Ako bi baka davala 00%- tu kamatu a godišjem ivou, ako godiu daa suma ovca koju bismo mogli da podigemo izosila bi 2x Ovde se radi o prostom kamatom račuu) Ukoliko bismo a pola godie podigli ovac i poovo ga uložili, ako jede godie imali bismo + 2) 2 x Ako bismo svaki da podizali ovac i poovo ga 4

5 ulagali, aša suma bi se ako godiu daa povećala + 365) 365 puta Postavlja se pitaje: Koliko ovca možemo zaraditi ukoliko bi baka račuala slože iteres a beskoačo ma vremeskim itervaa? tzv eprekido kapitalisaje ) Odgovor je: + e ) Može se postaviti i pitaje: Šta ako kamata e izosi 00% a odredjeom periodu, ego pr 200%? Odgovor je sledeći: taj vremeski period možemo podeliti a dva jedaka dela Na osovu prethodo izložeog možemo zaključiti da će a kraju prve polovie i početku druge polovie) posredstvom eprekidog kapitalisaja suma biti e puta veća od uložee Sličo, a kraju druge polovie suma će biti e puta veća ego a jeom početku, što zači da će a kraju vremeskog perioda koji posmatramo suma biti e e e 2 puta veća od uložee Sada možemo izvesti uopšte zaključak: Ako će se, račuato prostim kamatim račuom, uložea suma ako odredjeog vremeskog perioda, uvećati r puta, oda će se eprekidim kapitalisajem ta ista suma, ako istog vremeskog perioda uvećati e r puta 52 Biologija Posmatrajmo pr populaciju bakterija Neka a početku ašeg posmatraja ta populacija broji jediki i eka je tih jediki sposobo da ako vremeskog perioda t ostavi potomstvo tako da se brojost populacije poveća r puta Ukoliko pretpostavimo da se te jedike počiju razmožavati čim se rode i da mogu da stvore potomke tokom beskoačo malog vremeskog itervala, oda će se brojost populacije ako vremeskog perioda t povećati e r puta zaključak je izvede aalogo zaključku kod eprekidog kapitalisaja ) 53 Fizika i hemija Pomeuli smo da je broj e osova prirodog logaritma Sada ćemo avesti primeu prirodog logaritma u fizici i hemiji, koja je vezaa za radioaktivost Moguće je preko prirodog logaritma ustaoviti vezu izmedju perioda poluživota α-emitujućeg izvora i eergije α-čestica koje se emituju svi atomi α- izvora emituju α-čestice koje uvek imaju idetiče vredosti eergije): t A log e E + B, gde je t period polu-života, A i B su kostate, a E je eergija izražea u ev Kao zaključak možemo izvesti da α-emitujući izvor sa višom eergijom ima kraći period polu-života od oog sa ižom 5