ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΗΜΗΤΡΑ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ
|
|
- Κέρβερος Αργυριάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΗΜΗΤΡΑ ΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΥ
2 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ MATLAB Πώς µπαίνουµε σε περιβάλλον matlab (command window), κατασκευή µεταβλητών, διανυσµάτων, κάποιες βασικές εντολές. 1) ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Στην matlab οι µεταβλητές δεν δηλώνονται από τον χρήστη, κατασκευάζονται όµως σταδιακά. Στην πραγµατικότητα αυτή η γλώσσα προγραµµατισµού καταλαβαίνει όλες τις µεταβλητές σαν 1x 1 µιγαδικό πίνακα. Παράδειγµα 1o >>x=10.1 {enter} x = >> Σε αυτό το παράδειγµα κατασκευάσαµε έναν πραγµατικό αριθµό x και η matlab µας έδωσε στην οθόνη την τιµή του µε ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών. Αν στο παράδειγµα είχαµε πληκτρολογήσει >>x=10.1; {enter} τότε στην οθόνη δεν θα εµφανιζόταν η καταχωρηµένη τιµή. Γενικά η παρουσία ερωτηµατικού στο τέλος µιας εντολής αποτίµησης µεταβλητής απαγορεύει την αυτόµατη εµφάνιση της τιµής στην οθόνη. Παράδειγµα 2o (κατασκευή µονοδιάστατων µεταβλητών) >>n=21; >>h=n*pi ; >>c=n+h {enter} c= >>
3 Εδώ δώσαµε ακέραια τιµή στο n, άρρητη τιµή στο h (pi= π), άθροισµα τιµών στο c. Αν θέλουµε να δούµε την τιµή µιας µεταβλητής στην οθόνη, πληκτρολογούµε για παράδειγµα >>c {enter} και στην οθόνη εµφανίζεται c= >> 2) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Τα διανύσµατα κατασκευάζονται σταδιακά χωρίς να χρειάζεται να δηλώσουµε την εν γένει µεταλητή διαστασή τους. >>y=[ ]; Παράδειγµα 1ο (κατασκευή διανύσµατος γραµµή) Κατασκευάσαµε ένα διάνυσµα γραµµή. Παράδειγµα 2ο (κατασκευή διανύσµατος στήλη) >>z=[ ] ; ή >>z=[2.3;7.1;6.2]; Κατασκευάσαµε ένα διάνυσµα στήλη. Παράδειγµα 3ο (κατασκευή διανύσµατος συντεταγµένη προς συντεταγµένη) >>x(1)=1; >>x(2)=2; >>x x= 1 2 >> Με αυτόν τον ορισµό η matlab καταλαβαίνει το διάνυσµα ως γραµµή. Όταν αλλάξουµε την τιµή µιας συντεταγµένης σε ένα ήδη κατασκευασµένο διάνυσµα, τότε το διάνυσµα παραµένει ή γραµµή ή στήλη σύµφωνα µε την αρχική κατασκευή του για παράδειγµα πληκτρολογούµε
4 >>r=[ ] ; >>r(2)=3.7; >>r r= >> και στην οθόνη εµφανίζεται 3) ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΤΟΛΕΣ-ΠΡΑΞΕΙΣ-ΠΙΝΑΚΕΣ -Επαναληπτική εντολή for for k=l:m:n εντολές end Η επανάληψη µε βήµα k, l<= k <=n, k=l+i*m, i=1,2,3 Στη συνέχεια υπάρχουν κάποια παραδείγµατα ορισµού διανυσµάτων µε την for Παράδειγµα 1ο for k=1:10 {το m εννοείται 1} y(k)=1; end {ορίσαµε διάνυσµα γραµµή y µήκους 10} Παράδειγµα 2ο n=21; h=1/(n-1); for k=1:n; x(k)=(k-1)*h; end length(x) {enter} 21 {εµφανίστηκε στην οθόνη το µήκος του διανύσµατος} Παράδειγµα 3ο
5 n=5 for k=n:-1:1 z(k)=k; end z {enter} {εµφανίστηκε στην οθόνη το διάνυσµα γραµµή} z=z {enter} {εµφανίστηκε στην οθόνη το ανάστροφο διάνυσµα} -ΠΙΝΑΚΕΣ Όπως γνωρίζουµε κάθε διάνυσµα στήλη είναι n x 1 πίνακας ενώ κάθε διάνυσµα γραµµή είναι 1 x n, συνεπώς µπορούµε µιλώντας γενικώς γιά πίνακες να συµπεριλάβουµε και τα διανύσµατα. Ορισµός πίνακα π.χ. a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; a {enter} Πράξεις πινάκων + ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ *ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ^ ΥΝΑΜΗ(π.χ. Α^2=Α*Α) ΑΝΑΣΤΡΟΦΟΣ 1 \ ΑΡΙΣΤΕΡΗ ΙΑΙΡΕΣΗ (Α\Β=Α *Β)
6 1 / ΕΞΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ (Α/Β=Α*Β ) Βασικές συναρτήσεις C nxm C nxm sin asin exp abs cos asin log sqrt tan atan Παράδειγµα 1ο x=2*pi; y=sin(x); y {enter} Παράδειγµα 2ο for k=1:5 z(k)=k*pi; end y=sin(z) z {enter} Παράδειγµα 3ο x=[ 2*pi 3*pi; 4*pi 5*pi]; {πίνακας 2 x 2 } cos(x) {enter} ΥΠΟΠΙΝΑΚΕΣ Έστω πίνακας Α m x n διάστασης τότε ένας υποπίνακας ορίζεται ώς εξής A(k:l,o:p) όπου 1<=k<=l<=m, 1<=o<=p<=n
7 Παράδειγµα 1ο Α=[1 2 3;4 5 6;7 8 9; ] A= A(2:3,2:3) A= A(2:3,2:3)=[0 0;0 0]; A= Υπάρχουν και κάποιες άλλες συναρτήσεις πινάκων χρήσιµες στην Αρ. Γρ. Αλγ. det size rank ορίζουσα διαστάσεις βαθµός Παράδειγµα 1ο A=[2 1;4 2] A= size(a); rank(a) 1 det(a) Η εντολή x=linspace(a,b,n) ορίζει διάνυσµα διάστασης n όπου
8 γιά 1<=i<=n, x(i)=a+(i-1)*(b-a)/(n-1) Παράδειγµα 1ο n=21; x=linspace(0,1,n); y=sin(2*pi*x); Παράδειγµα 2ο n=50; x=linspace(-2.5,3.7,n); y=linspace(8.1,9,n); z=x+y; - ηµιουργία τυχαίων πινάκων,και πινάκων µηδενικών ή µονάδων rand(m,n) τυχαίος πίνακας m x n rand(n) τυχαίος πίνακας n x n ones(m,n) πίνακας m x n µε στοιχεία µονάδες zeros(m,n) πίνακας m x n µε στοιχεία µηδενικά Παράδειγµα 1ο m=50; n=50; A=rand(m,n); det(a); A=ones(m,n); A=A^2; Παράδειγµα 2ο n=25; h=1/(n-1); x=zeros(1,n); y=zeros(n,1);
9 for k=1:n x(k)=(k-1)*h; y(k)=x(k); end ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ Στο παραπάνω παράδειγµα µε την εντολή zeros ουσιαστικά ορίζουµε την διάσταση ενός διανύσµατος γραµµή και ενός διανύσµατος στήλη (τα µηδενικά δεν ενδιαφέρουν αφού αντικαθίστανται),αυτή η διαδικασία είναι χρήσιµη για να έχουµε δοµηµένο προγραµµατισµό. -Η εντολή disp disp( οποιαδήποτε φράση ) ή disp(µεταβλητή) Παράδειγµα n=5; x=linspace(0,1,n); x=x ; y=exp(x); disp( το x είναι ) disp(x) -Εντολές (που χρησιµοποιούνται στην κατασκευή γραφικών παραστάσεων) axis, title, xlabel, ylabel, plot. Γενικά η matlab χρησιµοποιεί σύστηµα αξόνων µε αρχή το (0,0) και x,y >= 0. Συνήθως όµως στις εφαρµογές θέλουµε να δούµε ένα ορισµένο κοµµάτι του επιπέδου. Αυτό γίνεται µε την εντολή axis π.χ axis([ ]) Η παραπάνω εντολή µας δίνει την δυνατότητα να µπορούµε (µε κατάλληλη βεβαίως εντολή ) να σχεδιάσουµε σηµεία (x,y) του επιπέδου, όπου -5<= x <=5, -5<= y <=5. Ονοµασία αξόνων και γραφικών παραστάσεων π.χ title( orbits ) {ονοµάζει την γραφική παράσταση}
10 xlabel( y1 ) {ονοµάζει τον άξονα των x} ylabel( y2 ) {ονοµάζει τον άξονα των y} Τα ορίσµατα των πιο πάνω εντολών είναι χαρακτήρες. Εντολή plot(x,y) x, y είναι διανύσµατα ιδίας διάστασης η παραπάνω εντολή σχεδιάζει στο επίπεδο τα σηµεία {(x(1),y(1)), (x(2),y(2)),.., (x(n),y(n))} όπου n=dim x=dim y. π.χ plot([ ],[ ]) Όταν θέλουµε να έχουµε περισσότερες από µία γραφικές παραστάσεις στό ίδιο σύστηµα αξόνων, χρησιµοποιούµε την εντολή hold on ενώ για να σταµατήσουµε την διαδικασία αυτή τυπώνουµε την εντολή hold off. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 n=21; x=linspace(0,1,n); y=sin(2*pi*x); plot(x,y) title( The Function y=sin(2*pi*x) ) xlabel( x radians ) ylabel( y ) ΣΧΟΛΙΑ Tο παραπάνω πρόγραµµα στην πραγµατικότητα κατασκευάζει πολυγωνική γραµµή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 Όπως το παράδειγµα 1 αλλά για n=200; Το γράφηµα είναι πιο λείο δεδοµένου ότι ο διαµερισµός είναι πιο πυκνός ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 n=40; x=linspace(-pi/2,pi/2,n); y=tan(x);
11 plot(x,y) axis([-pi/2 9*pi/ ]) title( The Tangent Function ) xlabel( x ) ylabel( tan(x) ) hold on for k=1:4 xnew=x+k*pi; plot(xnew,y); end hold off ΣΧΟΛΙΑ Εδώ σχεδιάζουµε την tan(x) στα διαστήµατα (-κ*π/2,κ*π/2) για κ=1(1)4 στο ίδιο σύστηµα κάνοντας ουσιαστικά µεταφορά κατά π της γραφικής παράστασης της tan(x) στο (-π/2,π/2), αφού η συνάρτηση είναι περιοδική µε περίοδο π. Η χρήση της axis έγινε ώστε να χωράνε στην οθόνη όλα τα διαστήµατα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 n=200; x=linspace(0,1,n); y1=sin(2*pi*x); y2=cos(2*pi*x); plot(x,y1) title( the sin and cos function in the same plot ) xlabel( x ) ylabel( sin(x),cos(x) ) hold on plot(x,y2) hold off -Υπάρχει η δυνατότητα να σχεδιάσουµε συναρτήσεις f: R R,παρατηρώντας ότι η f(x)=a*vector, εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων π.χ f: R R, f(x)=2sin(x)+3sin(2x)+7sin(3x)+5sin(4x)=
12 2 3 =[sin(x) sin(2x) sin(3x) sin(4x)]* 7 5 κάνοντας διαµερισµό στο x το διάνυσµα µε την µεταβλητή x µετατρέπεται σε πίνακα, παραθέτουµε ένα πρόγραµµα σχεδίασης της παραπάνω f ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 n=200; x=linspace(-10,10,n) ; A=[sin(x) sin(2*x) sin(3*x) sin(4*x)]; y=a*[2;3;5;7]; plot(x,y) title( f(x)=2sin(x)+3sin(2x)+7sin(3x)+5sin(4x) ) xlabel( x ) ylabel( f(x) ) ΣΧΟΛΙΑ - Ο Α είναι n x n πίνακας ενώ το [2;3;5;7] είναι n x 1 διάνυσµα, το x είναι n x 1 διάνυσµα (του διαµερισµού). -Στις επόµενες σελίδες είναι τα γραφήµατα των παραδειγµάτων 1,3,4,5 -Ορισµός συναρτήσεων π.χ function f1=function1(t) f1=t*cos(t); {f1:r R} function f2=function2(y) f2=y(1)+y(2); {f2: R R } function f3=function3(y) f3=[y(1)+y(2) y(2)] ; 2 2 {f3: R R, το ορίζει διάνυσµα στήλη} function f4=function4(t,y) 2 2 f4=[t*y(2) (t+1)*y(1)] ; {f4:rx R R }
13 function ex6=example6(t,y) ex6=[-2*y(2) 2*y(1)] ; function ex7=example7(t,y) ex7=[4*y(1)] ; ΣΧΟΛΙΑ Για τις εφαρµογές µας πρέπει να σώζουµε τις συναρτήσεις µας στο αρχείο bin (ως m.files). Η διαδικασία που ακολουθούµε γιαυτό είναι η εξής: 1) Μπαίνουµε στη matlab. 2) NEW M. FILES ορίζουµε συνάρτηση SAVE AS BIN ετικέτα,βάζουµε όνοµα αρχείου π.χ function4.m matlab. SAVE [ X] είµαστε στην ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Έστω το γραµµικό σύστηµα Αx=b, A nxn πίνακας, b=nx1 διάνυσµα,det(α) διάφορο του 0, τότε η εντολή x=α\ b υπολογίζει µε την µέθοδο Gauss τη λύση του συστήµατος. Πιο ειδικά, εφαρµόζει την διάσπαση LU µε µερική οδήγηση,όπου PA=LU=Pb, P πίνακας µετάθεσης L κάτω τριγωνικός πίνακας µε µονάδες στη διαγώνιο U άνω τριγωνικός πίνακας και λύνει αυτόµατα τα συστήµατα Ly=Pb Ux=y
14 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: στη µερική οδήγηση το στοιχείο οδηγός έχει µέγιστη απόλυτη τιµή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1)Να λυθεί το σύστηµα x 1 y = 1 z 1 πληκτρολογούµε Α=[2 1 7;0 1 3;1 1 1] b=[1 1 1] A\b 2)Nα λυθεί το σύστηµα x = y Ορίζοντας κατα τα γνωστά τον πίνακα και τους σταθερούς όρους έχουµε x = A\b=, το αποτέλεσµα είναι ακριβές παρόλο που ο πίνακας y 1 1 του συστήµατος έχει µεγάλο δείκτη κατάστασης 3)Να λυθεί το σύστηµα x 02. y = 13. z (η λύση είναι το διάνυσµα 04. ) 31.
15 ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Έστω το πρόβληµα εύρεσης των ριζών της εξίσωσης f(x)=0 όπου f: R R. Η matlab παρέχει την συνάρτηση fzero, πιο συγκεκριµµένα fzero( όνοµα συνάρτησης f, x 0 ) όπου όνοµα συνάρτησης f x 0 µια τιµή κοντά στη ρίζα. είναι το όνοµα του m-file της f ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1)Να υπολογιστούν οι 3 ρίζες της x 3 6atan(x)=0. Λύση Ορίζουµε το m-file function ex88=example88(x) ex88=x^3-6*atan(x) ; και το σώζουµε µε το όνοµα example88.m. Στη συνέχεια πληκτρολογούµε fzero( example88,1.5) και η matlab δίνει τη ρίζα Οµοίως fzero( example88,0.5) δίνει τη ρίζα 0, και fzero( example88,-1.5) δίνει τη ρίζα ) 3x-2sin(x)+6=0 Λύση Ορίζουµε function ex99=example99(x) ex99=3*x-2*sin(x) ;
16 σώζουµε σαν example99.m και πληκτρολογούµε fzero( example99,-2) έτσι βρίσκουµε τη ρίζα x 2x 3) 10e + 2e 6 = 0 Λύση function ex222=example222(x) ex222=10*exp(-3*x)+2*exp(-2*x)-6 ; πληκτρολογώντας fzero( example222,1), λαµβάνουµε τη ρίζα ΣΧΟΛΙΟ Η fzero απαιτει η τιµή της συνάρτησης στο m-file να ορίζεται σαν διάνυσµα στήλη,γιαυτό και υπάρχει το. ΑΣΚΗΣΗ Σχεδιάζοντας τις γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων επαληθεύστε τις τιµές των ριζών. Λύση (για το 1)) πληκτρολογούµε n=40; x=linspace(-2,2,n); for k=1:40 y(k)=example(x(k)); end plot(x,y) title( f(x)=x^3-6atan(x) ) xlabel( x ) ylabel( y )
17 ΩΡΑ 4η ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ dy(t)=f(t, y(t)) y(tinitial)=yo=γνωστό tinitial<= t <= tfinal n όπου y:r R,δηλαδή dim y=n Η επίλυση γίνεται µε χρήση της συνάρτησης ode45 ή ode23, η κλήση αυτών των συναρτήσεων γίνεται ως εξής (τα ίδια και για την ode23) [t,u]=ode45( όνοµα συνάρτησης,[tinitial,tfinal],yo,options); όπου όνοµα συνάρτησης είναι το όνοµα του m-file της f=f(t,y) [tinitial,tfinal] είναι το διάστηµα του t στο οποίο ζητάµε τη λύση yo=[y(1),,y(n)]=γνωστό options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-4 1e-4.1e-4]); µε dim[1-e4 1-e4]=dimy=n είναι προφανές ότι πρώτα θα ορίσουµε το options, που ορίζει την σχετική και απόλυτη ακρίβεια της µεθόδου. Μπορούµε να σχεδιάσουµε το διάγραµµα φάσεων της λύσης για dimy=2 µε άξονα των x το y1(t) και άξονα των y το y2(t) µε την εντολή plot(u(:,1),u(:,2)) επίσης είναι δυνατό µε την εντολή plot(t,u(:,1)) να δούµε την συµπεριφορά της y1 συντεταγµένης ως προς τον χρόνο κ.τ.λ. ΣΧΟΛΙΑ Χρειάζεται προσοχή στον ορισµό της f=f(t,y) η οποία θα πρέπει να ορισθεί ως διάνυσµα στήλη, επίσης ακόµα και στην περίπτωση αυτόνοµου συστήµατος θα πρέπει η µεταβλητή t να αναγραφεί.
18 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1ο Έστω το αυτόνοµο διαφορικό σύστηµα 0 2 dy=. y 2 0 tinitial=-3 tfinal=3 y(tinitial)=[0.1,0.1] ορίζουµε ως m-file function ex6=example6(t,y) ex6=[-2*y(2) 2*y(1)] ; µε το παρακάτω βασικό πρόγραµµα 1 βρίσκουµε τη λύση και τη σχεδιάζουµε. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 1 options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-4 1e-4]); axis([ ]) title( solution ) xlabel( t ) ylabel( y1(t),y2(t) ) hold on [t,u]=ode45( example6,[-3,3],[0.1,0.1],options); plot(t,u(:,1)) plot(t,u(:,2)) hold off ΣΧΟΛΙΑ Είναι δυνατό να βρούµε µε το διάγραµµα την περίοδο της λύσης. Με το επόµενο βασικό πρόγραµµα 2 κατασκευάζουµε το διάγραµµα φάσεων για 50 τροχιές στο ίδιο διάγραµµα, το αποτέλεσµα είναι κλειστές τροχιές (περιοδικές λύσεις) δηλαδή κέντρο γύρω από το σηµείο (0,0), µε y(tinitial)=[0.1*k,0.1*k],για 1<=k <=50 tinitial=-1.7
19 tfinal=1.7 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 2 options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-4 1e-4]); axis([ ]) title( orbits ) xlabel( y1 ) ylabel( y2 ) hold on for k=1:50 [t,u]=ode23( example6,[-1.7,1.7],[0.1*k,0.1*k],options); plot(u(:,1),u(:,2)) end print {αν θέλουµε να τυπώσουµε σε εκτυπωτή} hold off ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2ο Έστω το πρόβληµα αρχικών τιµών dy=t*y tinitial=-3 tfinal=3 y(tinitial)=1,δηλαδή dim y=1 Oρίζουµε ως m-file function ex21=example21(t,y) ex21=[t*y(1) ] ; ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 3 options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-4 ]); axis([ ]) title( solution ) xlabel( t ) ylabel( y(t) ) hold on [t,u]=ode45( example21,[-3,3],[1],options); plot(t,u(:,1))
20 hold off -Στις επόµενες σελίδες παρατίθενται τα γραφήµατα των προγραµµάτων 1,2,3 ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η ode23 και οµοίως η ode45 έχει ως ορίσµατα τα εξής όνοµα συνάρτησης {f=f(t,y)} [αρχικός χρόνος,τελικός χρόνος] [τιµή της συνάρτησης στον αρχικό χρόνο] { y(tinitial)]} options {ορίζει την σχετική και απόλυτη ακρίβεια της µεθόδου} {dim RelTol=1, dim AbsTol=dim y}
21 Στο παραπάνω παράδειγµα βρίσκουµε πολλές τροχιές και γιαυτό χρησιµοποιούµε επαναληπτική εντολή. Το αποτέλεσµα του προγράµµατος σε εκτυπωτή βρίσκεται στο σχήµα 1. Μια παραλλαγή του προηγουµένου προγράµµατος µας επιτρέπει να δούµε τις λύσεις συναρτήσει του χρόνου, για παράδειγµα µπορούµε να πληκτρολογήσουµε τα εξής options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-4 1e-4]); axis([ ]) title( solutions ) xlabel( y1 ) ylabel( y2 ) zlabel( t ) hold on for k=1:50 [t,u]=ode23( example6,[-1.7,1.7],[0.1*k,0.1*k],options); plot3(u(:,1),u(:,2),t) end ΣΧΟΛΙΑ Η εντολή plot3 σχεδιάζει γραφικές παραστάσεις στις 3 διαστάσεις. Η εκτύπωση βρίσκεται στο σχήµα 2. ΩΡΑ 5Η Στη συνέχεια θα δοθούν παραδείγµατα τα οποία λύνουν κάποια προβλήµατα και σχεδιάζουν τις λύσεις. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3ο Έστω το πρόβληµα αρχικών τιµών στο R y =y*y y(0)=c
22 τότε ως γνωστόν y(t)=-1/(t-1/c). Παρατηρούµε ότι για t=1/c η λύση εκρήγνυται (απειρίζεται σε πεπερασµένο t) συνεπώς αν απαιτήσουµε t σε διάστηµα περιέχον το 1/c,θα παρατηρήσουµε το λεγόµενο blοw up. Θέτουµε c=1,tinitial=0,tfinal πολύ κοντά στο 1 τότε υπάρχει πρόβληµα, η ακριβής λύση είναι y(t)=-1/(t-1). Κατά τα γνωστά ορίζουµε στα m-files function ex22=example22(t,y) ex22=[y(1)*y(1)] ; ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ4 options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-4]); xlabel( t ) ylabel( y(t) ) hold on [t,u]=ode45( example22,[0,0.9],[1],options); plot(t,u(:,1)) hold off ΣΧΟΛΙΑ Επαναλάβετε το ίδιο πρόγραµµα για tfinal=0.999 κ.λ.π τί παρατηρείτε; Αν tfinal=2 τί θα συµβεί; ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4ο Έστω το 3 x 3 διαφορικό σύστηµα y1* y1 y = y2* y2 y3* y3 y(0)=[1 2 3] [tfinal,tinitial]=[0,1/4] Ορίζουµε στα m-files
23 function ex23=example23(t,y) ex23=[y(1)*y(1) y(2)*y(2) y(3)*y(3)] ; ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ 5 options=odeset( RelTol,1e-4, AbsTol,[1e-4 1e-4 1e-4]); xlabel( t ) ylabel( y1(t),y2(t),y3(t) ) hold on [t,u]=ode45( example23,[0,1/4],[1,2,3],options); plot(t,u(:,1)) plot(t,u(:,2)) plot(t,u(:,3)) hold off Στη συνέχεια παρατίθενται τα γραφήµατα των ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ 4,5.
Βασικά στοιχεία του MATLAB
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι. Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Σχολή Θετικών Επιστημών
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή στη
Διαβάστε περισσότεραΟ ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB
Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB (το παρόν αποτελεί τροποποιηµένη έκδοση του οµόνυµου εγχειριδίου του κ. Ν. Μαργαρη) 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1.1.1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ» 3+5 8 % Το σύµβολο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση
Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραΓια τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε
Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και
Διαβάστε περισσότεραΣύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την. Matlab
Σύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την Matlab Δήλωση Μεταβλητών Για να εισάγει κανείς δεδομένα στη Matlab υπάρχουν πολλοί τρόποι. Ο πιο απλός είναι στη γραμμή εντολών να εισάγουμε αυτό που θέλουμε και
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 27/03/2015 1
Αριθμητική Επίλυση Συνήθων Διαφορίκών Εξισώσεων 3ο Εργαστήριο 7/3/5 Σκοπός αυτού του εργαστηρίου είναι να δούμε πως μπορούμε να επιλύσουμε συστήματα διαφορικών εξισώσεων, με την χρήση του Matlab. Συστήματα
Διαβάστε περισσότεραΗβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του.
MATrix LABoratory Ηβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του. Τι είναι το MATLAB ; Μια γλώσσα υψηλού επιπέδου η οποία είναι χρήσιµη για τεχνικούς υπολογισµούς.
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΜΗΤΣΟΤΑΚΗΣ ΑΘΗΝΑ 27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON Πρόγραµµα Matlab για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης f(x)= µε την µέθοδο Newton. Συναρτήσεις f(x), f
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία στο Matlab
Αριθμητική : + - * / ^ 3ˆ2 - (5 + 4)/2 + 6*3 >> 3^2 - (5 + 4)/2 + 6*3 22.5000 Βασικά στοιχεία στο Matlab Το Matlab τυπώνει την απάντηση και την καταχωρεί σε μια μεταβλητή που την ονομάζει ans. Αν θέλουμε
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας. H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας H Matlab ως γλώσσα προγραμματισμού Προγραμματιστικές δομές Έλεγχος ροής if if
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1
Διαβάστε περισσότερα2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΤΟ MATLAB, ΜΕΡΟΣ B Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)
8 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 2 2.1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Β) Στην προηγούµενη διάλεξη µάθαµε ότι µπορούµε να χρησιµοποιούµε τη ρητή ή την αυτονόητη δήλωση µεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M3. Διανύσµατα
Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Παράδειγμα #1. Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ Τύποι δεδομένων Οι παρακάτω τύποι δεδομένων υποστηρίζονται από τη γλώσσα προγραμματισμού Fortran: 1) Ακέραιοι αριθμοί (INTEGER). 2) Πραγματικοί αριθμοί απλής ακρίβειας
Διαβάστε περισσότεραημιουργία και διαχείριση πινάκων
ημιουργία και διαχείριση πινάκων Για να δημιουργήσουμε έναν πίνακα στο MATLAB μπορούμε να γράψουμε A = [ 2 3 ; 7 9 0 ; - 0 5; -2-3 9 -] βλέπουμε ότι αμέσως μας επιστρέφει τον πίνακα που ορίσαμε A = 2 3
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 9 ο Εργαστήριο. Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη
Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι 9 ο Εργαστήριο Απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση - Παρεμβολη 2018 Απαλοιφή Gauss Με Μερική Οδήγηση Για την εύρεση του οδηγού στοιχείου στο k ο βήμα, αναζητούμε το μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 5) Σεπτέμβριος 2015 1
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού
Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αναμονής (Queuing Systems)
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΕΜΠ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων Τηλεματικής
Διαβάστε περισσότεραΣύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής ανάλυσης και γραφικής παρουσίασης.
MATLAB 1 MATLAB (MATrix LABoratory) Σύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής ανάλυσης και γραφικής παρουσίασης. ηµιουργήθηκε απο τον C. Moler, αρχικά σαν εργαλείο διαχείρισης
Διαβάστε περισσότεραQR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος
Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ηλεκτρονική Υγεία. Εργαστήριο 5 ο : MATLAB
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Υγεία Εργαστήριο 5 ο : MATLAB Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 5 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή Πίνακες (Arrays) [1/2] Δομές δεδομένων για την αποθήκευση δεδομένων υπό
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΟ MATHLAB Αν θέλουμε να εισάγουμε έναν πίνακα στο mathlab και να προβληθεί στην οθόνη βάζουμε τις τιμές του σε άγκιστρα χωρίζοντάς τις με κόμματα ή κενό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima
Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί
Διαβάστε περισσότεραΜαρία Λουκά. Εργαστήριο Matlab Πολυώνυμα - Παρεμβολή. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών.
Μαρία Λουκά Εργαστήριο Matlab Πολυώνυμα - Παρεμβολή Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Στη MATLAB τα πολυώνυμα αναπαριστώνται από πίνακες που περιέχουν τους συντελεστές τους σε φθίνουσα διάταξη. Για
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R
Κεφάλαιο 3 Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Ενα µεγάλο µέρος της ανάλυσης δεδοµένων απαιτεί διάφορους µαθηµατικούς υπολογισµούς. Αυτό το κεφάλαιο εισαγάγει τον αναγνώστη στις διάφορες δυνατότητες που έχει
Διαβάστε περισσότεραΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17 10 Νοεµβρίου, 2006 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις MATLAB. Μιχάλης ρακόπουλος. Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #01
Σηµειώσεις MATLAB Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #01 1 MATLAB (MATrix LABoratory) Σύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής ανάλυσης και γραφικής
Διαβάστε περισσότερα1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75
1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75 2. Έστω x = [2 5 1 6] α. Προσθέστε το 16 σε κάθε στοιχείο β. Προσθέστε το 3 σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται σε μονή θέση.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις 2016-2017 Εισαγωγή στη Matlab Matlab
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 4 ο Εργαστήριο. Διανύσματα-Πίνακες 1 ο Μέρος
Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι 4 ο Εργαστήριο Διανύσματα-Πίνακες 1 ο Μέρος 2017 Εισαγωγή Όπως έχουμε προαναφέρει σε προηγούμενα εργαστήρια. Ο βασικός τύπος δεδομένων στο Matlab είναι οι πίνακες. Ένα
Διαβάστε περισσότεραMATLAB. Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών.
MATLAB Tι είναι το λογισµικό MATLAB? Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών. Σύστηµα αλληλεπίδρασης µε τοχρήστηγια πραγµατοποίηση επιστηµονικών υπολογισµών (πράξεις µε πίνακες επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1 Τύποι δεδομένων Η γλώσσα προγραμματισμού C++ υποστηρίζει τους παρακάτω τύπους δεδομένων: 1) Ακέραιοι αριθμοί (int). 2) Πραγματικοί αριθμοί διπλής ακρίβειας
Διαβάστε περισσότεραΣήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.
Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,
Διαβάστε περισσότεραΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14
ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14 20 Οκτωβρίου, 2005 Ηλίας Κυριακίδης Λέκτορας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 2005Ηλίας Κυριακίδης,
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 6) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 6) Σεπτέμβριος 2015
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές χρήσεις της Matlab
Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής
Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής email: dzavanti@cs.uoi.gr Περιεχόμενα Τι είναι η Matlab; Ιστορικά Χρήσεις και στοιχεία της Matlab
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB. Απλές αριθµητικές πράξεις 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ MATLAB
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB Το εργαστήριο Σηµάτων και Συστηµάτων διεξάγεται στο περιβάλλον του προγράµµατος MATLAB µε χρήση τόσο του βασικού κορµού του πακέτου που παρέχει πληθώρα έτοιµων ενσωµατωµένων συναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε
Διαβάστε περισσότερα( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α
. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική
Διαβάστε περισσότεραΓραφικές παραστάσεις (1ο μέρος)
ΤΕΙ ΑΘΗΝΑΣ Τμήμα Ηλεκτρονικής Φυσική των Αισθητήρων Γραφικές παραστάσεις (1ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB, και συγκεκριμένα με τις
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
Διαβάστε περισσότεραΟι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.
Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Τύποι δεδομένων Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραMatlab. Εισαγωγικές έννοιες. C. C. Katsidis
Matlab Εισαγωγικές έννοιες C. C. Katsidis m-file editor Εισαγωγή στο Matlab Command Window Εισαγωγή στο Matlab Ορισμός και γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων στο matlab (συνάρτηση y=x 2 ) Ορισμός και γραφικές
Διαβάστε περισσότεραΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΥΟ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Από την θεωρία της Τριγωνοµετρίας είναι γνωστοί δύο νόµοι: ο νόµος του ηµιτόνων και ο νόµος του συνηµιτόνων, οι οποίοι ισχύουν για τυχαίο τρίγωνο. Έστω ένα τυχαίο
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson
Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα
Διαβάστε περισσότεραΕπιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση
Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε
Διαβάστε περισσότεραηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών
Προγραµµατισµός Αρχεία εντολών (script files) Τυπικό hello world πρόγραµµα σε script ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών disp( ( 'HELLO WORLD!'); % τυπική εντολή εξόδου
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση του Mathematica
Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε
Διαβάστε περισσότεραΒ ΜΕΡΟΣ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ MATLAB ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Β ΜΕΡΟΣ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ MATLAB ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Εύρεση ρίζας Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με την εύρεση ρίζας μιας συνάρτησης ή αλλιώς με την ευρεση λύσης της εξίσωσης: Πριν αναφερθούμε στην
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 5ο Aντώνης Σπυρόπουλος Πράξεις μεταξύ των
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 11: MATLAB
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 11: MATLAB Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών MATLAB 61 MATLAB (MATrix LABoratory) Σύστηµα επεξεργασίας πινάκων και συναρτήσεων τους για εφαρµογές αριθµητικής
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις συναρτήσεις
Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος
Διαβάστε περισσότερα1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότερα4.2 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx 2 + βx + γ µε α 0
1. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = α + + γ µε α 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Τετραγωνική συνάρτηση : Ονοµάζεται κάθε συνάρτηση της µορφής y = α + + γ, α 0. Γραφική παράσταση της συνάρτησης y = α + + γ, α 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων
Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότερα(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:
1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB
Διαβάστε περισσότεραΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου
ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΝΟΤΗΤΑ Μητρώα και συνθήκες στο MATLAB
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 4 η ΕΝΟΤΗΤΑ Μητρώα και συνθήκες στο MATLAB Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ
Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Σύντοµες Σηµειώσεις Γιώργος Μανής Νοέµβριος 2012 Αλγόριθµοι και Λογικά ιαγράµµατα Αλγόριθµος λέγεται µία πεπερασµένη διαδικασία καλά ορισµένων ϐηµάτων µου ακολουθείται για
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
Διαβάστε περισσότερα5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 41. α + 1 Έστω η συνάρτηση f() = ( 3 ), α 1 Αν το σηµείο Μ( 1, 3) βρίσκεται στην γραφική παράσταση της f να βρείτε το α ii ) Αν α = 0 να λύσετε την ανίσωση f() + f(2) > 2
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι. 1 ο Εργαστήριο. Εισαγωγή στο Matlab
Εργαστήρια Αριθμητικής Ανάλυσης Ι 1 ο Εργαστήριο Εισαγωγή στο Matlab 2017 Εισαγωγή Στα εργαστήρια θα ασχοληθούμε με την υλοποίηση των αριθμητικών μεθόδων που βλέπουμε στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 7-8 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων - Bonus Ασκήσεις Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές σημειώσεις στο Matlab
Εισαγωγικές σημειώσεις στο Matlab 2011 Athens by Cheilakos Nick Τι είναι το Matlab; Το Matlab είναι ένα διαδραστικό πακέτο για αριθμητικούς υπολογισμούς που δημιουργήθηκε από τον Cleve Moler την δεκαετία
Διαβάστε περισσότερα