Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού"

Transcript

1 Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας τις παραγώγους µίας συνάρτησης.

2 7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα από 7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Στην Παράγραφο αύτη θα µιλήσουµε για το πλέον βασικό θεώρηµα του ιαφορικού Λογισµού το Θεώρηµα Μέσης Τιµής. Πριν όµως κάνουµε αυτό θα διατυπώσουµε το Θεώρηµα του Rolle, το οποίο και είναι µία ειδική περίπτωση του Θεωρήµατος της Μέσης Τιµής Θεώρηµα (Θεώρηµα του Rolle) Εάν η συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο διάστηµα α β και παραγωγίσιµη στο διάστηµα α < < β και εάν f( α) = f( β ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο ξ ανάµεσα στα α και β του όπου η f ( ) είναι µηδέν. ηλαδή f ( ξ ) = για κάποιο ξ, α < ξ < β. Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σηµείο ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο = ξ είναι παράλλήλη προς τον άξονα των. f() f(α) = f(β) α ξ β 7.1. Παραδείγµατα 1) Έστω η συνάρτηση f ( ) = 4+ 5 στο διάστηµα [1,]. Να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα αυτό. Λύση f (1) = = και f () = () =. Άρα f( α) = f( β ) = f ( ) = 4= ξ 4= ξ = Εποµένως η τιµή του ξ που ικανοποιεί το θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα [1,] είναι η ξ =

3 7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα από ) Έστω η συνάρτηση f ( ) = 4 στο διάστηµα [-,]. Να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα αυτό. Λύση f ( ) = ( ) + 8= και f () = () 8 =. Άρα f( α) = f( β ) =. f ( ) = 4= ξ 4= ξ =±. Εποµένως οι τιµές του ξ που ικανοποιούνε του θεώρηµα του Rolle στο διάστηµα [-,] είναι ξ 1 = και ξ = Θεώρηµα (Θεώρηµα Μέσης Τιµής) Εάν µία συνάρτηση f ( ) είναι συνεχής στο διάστηµα α β και παραγωγίσιµη στο διάστηµα α < < β τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο ξ ανάµεσα στα α και β τέτοιο ώστε f ( ξ ) = f( β ) f( α) β α Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σηµείο ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε η εφαπτοµένη στο σηµείο = ξ είναι παράλλήλη στην χορδή AB. f() Β Α α ξ ξ β

4 7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα 4 από Παραδείγµατα 1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) = + 1 ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα [1,] και να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα αυτό. Λύση Η f ( ) είναι πολυώνυµο. Άρα είναι συνεχής στο [1,] και παραγωγίσιµη στο (1,). Εποµένως η f ( ) ικανοποιεί τις υποθέσεις (και συµπεράσµατα) του Θ.Μ.Τ. ( ), f = f ( ξ ) = ξ, ( a) = f (1) = f και f ( β ) = f () = 9 Άρα f ( β ) f ( α) f ( ξ ) = ξ = 7 ξ = ± 7 /. β α Μόνο το ξ = 7 / βρίσκεται στο διάστηµα (1,) και εποµένως είναι και η τιµή η οποία και ικανοποιεί τις υποθέσεις (και συµπεράσµατα) του Θ.Μ.Τ. ) ίνεται η συνάρτηση f ( ) = στο διάστηµα [-,]. Να βρεθούν οι τιµές του ξ που ικανοποιούν το Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα αυτό. Λύση ( ), f = f ( ξ ) = ξ, ( ) ( ) 8 f a = = και f ( β ) = () = 8 Άρα f( β ) f( α) 8 ( 8) 16 f = = = =± β α ( ) 4 ( ξ) ξ ξ. Σηµείωση Στο παράδειγµα αυτό υπάρχουν δύο τιµές του ξ, στο διάστηµα [-,], που ικανοποιούν το Θ.Μ.Τ.

5 7.1 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα 5 από Ασκήσεις 7.1 1) Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα που αναφέρεται, και στη συνέχεια για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ( αβ, ) για τα οποία ισχύει f ( ξ ) = i) f ( ) = + 1, [,] iii) f ( ) 1 cos( ) = +, [,π ] ii) f ( ) = sin( ), π, iv) f ( ) =, [-1,1] ) Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήµατος Μέσης Τιµής στο διάστηµα που αναφέρεται, και στη συνέχεια για εκείνες που ισχύει, να βρείτε όλα τα ξ ( αβ, ) για τα οποία f ( β ) f( a) ισχύει f ( ξ ) = β α i) +, 1 f ( ) = +, [,4] iii) f( ) =, [-,], > 1 π ii) f ( ) = sin( ),,

6 7. Μονοτονία Συναρτήσεων Σελίδα 6 από 7. Μονοτονία Συναρτήσεων Μία συνάρτηση f ( ) λέγεται αύξουσα στο σηµείο = εάν για οποιοδήποτε θετικό και αρκετά µικρό αριθµό h, είναι f ( h) < f( ) < f( + h). Μία συνάρτηση f ( ) λέγεται φθίνουσα στο σηµείο = εάν για οποιοδήποτε θετικό και αρκετά µικρό αριθµό h, είναι f ( h) > f( ) > f( + h). Εάν f ( ) >, τότε η συνάρτηση f ( ) είναι αύξουσα στο σηµείο =. Εάν f ( ) < είναι φθίνουσα στο σηµείο =. Εάν f ( ) =,τότε το σηµείο = λέγεται σηµείο στάσης ή κρίσιµο σηµείο. f() Γ Μ Σ α Α γ σ µ Τ τ Στο παραπάνω σχήµα βλέπουµε ότι η συνάρτηση ανεβαίνει (είναι αύξουσα) στα διαστήµατα α < < γ και τ < < µ. Η συνάρτηση έχει κρίσιµα σηµεία στα = γ, = σ και = τ, ενώ οι εφαπτόµενες στα σηµεία Γ, Σ και Τ είναι οριζόντιες Θεώρηµα Έστω η συνάρτηση f ( ), η οποία είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα. Εάν f ( ) > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f() είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. Εάν f ( ) < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f() είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το.

7 7. Μονοτονία Συναρτήσεων Σελίδα 7 από Απόδειξη Αποδεικνύουµε το θεώρηµα στην περίπτωση όπου f ( ) > Έστω 1, µε 1 <. Θα δείξουµε ότι f ( 1) < f( ). Στο κλειστό διάστηµα [ 1, ] η f() ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Εποµένως υπάρχει ξ ( 1, ) f ( ) f( 1) τέτοιο ώστε f ( ξ ) =, οπότε έχουµε 1 ( ) f ( ) f( ) = f ( ξ ) 1 1 Επειδή f ( ) > και 1 >, έχουµε f( ) f( 1) >, οπότε f ( 1) < f( ). Ο αναγνώστης µπορεί αναλόγως να αποδείξει και την περίπτωση όπου f ( ) <.

8 7. Ακρότατα Συνάρτησης Σελίδα 8 από 7. Ακρότατα Συνάρτησης Η παράγωγος µίας συνάρτησης σ ένα σηµείο καθορίζει την κλίση της γραφικής της παράστασης στο συγκεκριµένο αυτό σηµείο. Η κλίση της καµπύλης µπορεί να πάρει την τιµή µηδέν σε πολλά σηµεία. Μελετώντας την συµπεριφορά της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, δεξιά και αριστερά από αυτά τα σηµεία παίρνουµε τις πληροφορίες που χρειαζόµαστε για την γραφική της παράσταση. Εάν η παράγωγος f ( ) µίας συνάρτησης y = f( ) είναι συνεχής τότε η f ( ) µπορεί να περάσει από αρνητικές σε θετικές τιµές µόνο περνώντας από το µηδέν. Αυτή η συµπεριφορά φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. f = f > f < f > f < f = f = Εάν η f ( ) αλλάζει από θετική σε αρνητική τιµή καθώς το περνά από τα αριστερά στα δεξιά ενός σηµείου, τότε η τιµή της f ( ) στο σηµείο αυτό είναι τοπικό µέγιστο. Οµοίως εάν η f ( ) αλλάζει από αρνητική σε θετική τιµή καθώς το περνά από τα αριστερά στα δεξιά ενός σηµείου, τότε η τιµή της f ( ) στο σηµείο αυτό είναι τοπικό ελάχιστο. Οι δυο αυτές περιπτώσεις φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα. Τοπικό Μέγιστο Τοπικό Ελάχιστο f = f > f < f < f > f =

9 7. Ακρότατα Συνάρτησης Σελίδα 9 από 7..1 Θεώρηµα (Fermat) Έστω µία συνάρτηση f() ορισµένη στο διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Εάν η f() παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό τότε f ( ) =. Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η f() παρουσιάζει στο σηµείο = τοπικό µέγιστο. Επειδή το = είναι εσωτερικό του και η συνάρτηση f() παρουσιάζει σ αυτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε ( δ, + δ) και f ( ) f( ), για κάθε ( δ, δ ) +. Επιπλέον, η f() είναι παραγωγίσιµη στο = και εποµένως Άρα, εάν ( δ, ) f ( ) f( ) f( ) f( ) f ( ) = lim = lim. + f( ) f( ) τότε οπότε θα έχουµε f( ) f( ) f = ( ) lim (1) f( ) f( ) + τότε εάν (, δ ) οπότε θα έχουµε f( ) f( ) f = ( ) lim + () Από τις (1) και () έχουµε ότι f ( ) =.

10 7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 1 από 7.4 Κυρτότητα Σηµεία Καµπής Οι πληροφορίες που µας δίνει το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου µίας συνάρτησης, µας βοηθάει για να δούµε κατά πόσο συνάρτηση είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Η πληροφορία αυτή δεν είναι όµως ικανή να µας πει τίποτα για την κυρτότητα της συνάρτησης αυτής. Για να εξετάσουµε την κυρτότητα µίας καµπύλης ας δούµε για παράδειγµα την συµπεριφορά των εφαπτόµενων γραµµών πάνω στις καµπύλες που δύνονται στα παρακάτω δύο σχήµατα (α) και (β). Η καµπύλη του σχήµατος (α) βρίσκετε κάτω από τις εφαπτόµενες γραµµές και λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω. Καθώς το αυξάνει, το πρόσηµο της f ( ) ελαττώνεται. Σε αντίθεση η καµπύλη του σχήµατος (β) βρίσκετε πάνω από τις εφαπτόµενες γραµµές και λέµε ότι στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Καθώς το αυξάνει, το πρόσηµο της f ( ) αυξάνει. y y κοίλα προς τα κάτω κοίλα προς τα πάνω (α) (β) Ορισµός Έστω µία συνάρτηση f ( ) συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι Η συνάρτηση f ( ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή είναι κυρτή στο εάν η f ( ) είναι αύξουσα στο εσωτερικό του Η συνάρτηση f ( ) στρέφει τα κοίλα προς τα κάνω ή είναι κοίλη στο εάν η f ( ) είναι φθίνουσα στο εσωτερικό του. Αφού η f ( ) είναι η παράγωγος της f ( ) έπεται ότι η f ( ) θα αυξάνεται στο α β εάν η f ( ) α, β και η f ( ) θα ανοικτό διάστηµα (, ) ελαττώνεται στο ανοικτό διάστηµα (, ) > για όλα τα ( ) f < για όλα τα ( α, β ) α β εάν η ( ). Η µελέτη µίας συνάρτησης ως προς τα κοίλα και κυρτά διευκολύνεται µε την βοήθεια του επόµενου θεωρήµατος που είναι άµεση συνέπεια του προηγούµενου ορισµού και του θεωρήµατος της µονοτονίας µίας συνάρτησης.

11 7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 11 από 7.4. Θεώρηµα Έστώ µία συνάρτηση f ( ) συνεχής στο διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν f ( ) > για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε η συνάρτηση f ( ) είναι κυρτή στο. Αν f ( ) < για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε η συνάρτηση f ( ) είναι κοίλη στο Παραδείγµατα Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία οι παρακάτω δύο συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες. 1) f ( ) = ) f ( ) = + 1 Λύση 1) = και ( ) 6 f ( ) f = Εάν <, f ( ) Εάν >, f ( ) < και η συνάρτηση είναι κοίλη στο διάστηµα (,) > και η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστηµα ( ) Η συµπεριφορά αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήµα., +. ) = και f ( ) = 6 6 f ( ) 6 Η συνάρτηση είναι κυρτή όταν 6 6>, δηλαδή όταν > 1 και κοίλη όταν 6 6<, δηλαδή όταν < 1. Εποµένως, η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστηµα ( 1, + ) και κοίλη στο διάστηµα (,1)

12 7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 1 από Η συµπεριφορά αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Υπάρχουν όµως και σηµεία στο γράφηµα µίας συνάρτησης f ( ) στα οποία η κυρτότητά της συνάρτησης αλλάζει. Στα σηµεία αυτά θα λέµε ότι η γραφική παράσταση της f ( ) κάµπτεται. Τα σηµεία αυτά ονοµάζονται σηµεία καµπής Ορισµός Έστω µία συνάρτηση ( ) η συνάρτηση ( ) αντιστρόφως και η καµπύλη της συνάρτησης ( ) τότε το σηµείο (, ( )) f παραγωγίσιµη στο διάστηµα ( α, β ) και ( α β ),. Αν f είναι κυρτή στο ( α ) και κοίλη στο ( ), f έχει εφαπτόµενη στο σηµείο A(, f( )), β ή A f ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ). Οι δυο αυτές περιπτώσεις φαίνονται στο παρακάτω σχήµα. f > ή f < f > f = f = f <

13 7.4 Κυρτότητα-Σηµεία Καµπής Σελίδα 1 από Θεώρηµα Εάν το σηµείο (, ( ) ) A f είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράσταση της συνάρτησης f ( ) και η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, τότε f ( ) =. Στα παραδείγµατα 7.4. το σηµείο (, ) είναι σηµείο καµπής για την 1) και το σηµείο ( 1, 1) είναι σηµείο καµπής για την ) αντίστοιχα.

14 7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 14 από 7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Για να µπορέσουµε να σχεδιάσουµε µία συνάρτηση θα πρέπει πρώτα απ όλα να βρούµε τα µέγιστα, τα ελάχιστα και τα σηµεία καµπής που πιθανώς να υπάρχουν. Για την διαδικασία αυτή µπορούµε να χρησιµοποιούµε ένα από τα δύο ακόλουθα κριτήρια. Α) Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου Για να βρούµε τα ακρότατα µίας συνάρτησης ακολουθούµε τα εξής βήµατα: Βήµα 1 ο Βρίσκουµε την f (). Βήµα ο Θέτουµε f () = και λύνουµε την ισότητα. Βήµα ο Ελέγχουµε από δεξιά και αριστερά το σηµείο. Εάν το πρόσηµο της f () είναι θετικό από αριστερά και αρνητικό από δεξιά τότε έχουµε τοπικό µέγιστο. Εάν το πρόσηµο της f () είναι αρνητικό από αριστερά και θετικό από δεξιά τότε έχουµε τοπικό ελάχιστο. Τέλος εάν το πρόσηµο της f () είναι θετικό από αριστερά και από δεξιά ή αρνητικό από αριστερά και από δεξιά τότε έχουµε σηµείο καµπής. ηλαδή, Πρόσηµο Μέγιστο Ελάχιστο Σηµείο Καµπής f () ή - - f () Β) Το Κριτήριο της εύτερης Παραγώγου Για να βρούµε τα ακρότατα µίας συναρτήσεις ακολουθούµε τα εξής βήµατα: Βήµα 1 ο Βρίσκουµε την f () και την f ( ) της συνάρτησης. Βήµα ο Θέτουµε f () = και λύνουµε την ισότητα. Εάν : f ( ) < το σηµείο είναι τοπικό µέγιστο (ma) f ( ) > το σηµείο είναι τοπικό ελάχιστο (min).

15 7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 15 από Βήµα ο Για τα σηµεία καµπής θέτουµε f ( ) = και λύνουµε την ισότητα. Παίρνουµε τιµές αριστερά και δεξιά του. Εάν η f ( ) αλλάζει πρόσηµο τότε έχουµε σηµείο καµπής. ηλαδή, Πρόσηµο Αριστερά του εξιά του f () + - f () _ + Σηµείωση Είναι φανερό ότι το κριτήριο της δεύτερης παραγώγου µας εξασφαλίζει την εύρεση των σηµείων καµπής µιας συνάρτησης πολύ πιο εύκολα από το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Παράδειγµα Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης y = και να δοθεί η γραφική της παράσταση. Λύση. y = και y = Άρα, y = + = + = ( 1)( ) = 1 και = -. Για = 1, y = = 18 > άρα τοπικό ελάχιστο. Για = -, y = = 18 < άρα τοπικό µέγιστο. Άρα το σηµείο (1,) είναι ελάχιστο και το σηµείο (-,7) είναι µέγιστο. Για την εύρεση του σηµείου καµπής έχουµε : 1 y = = =. -1/ -1/ Πρόσηµο -1 ή Πρόσηµο -1 d y dy d d

16 7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 16 από Άρα το σηµείο (-1/, 7/) είναι σηµείο καµπής. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = δίνεται στο παρακάτω σχήµα.

17 7.5 Σχεδιασµός Γραφικών Παραστάσεων Σελίδα 17 από Ασκήσεις Να βρεθούν τα τοπικά µέγιστα, τοπικά ελάχιστα και σηµεία καµπής των παρακάτω συναρτήσεων a) f ( ) = f) f ( ) = 4 b) f( ) = + g) 4 c) f( ) = h) f ( ) = 4 f ( ) = ( ) d) f ( ) = ( ) i) f ( ) = (+ ) e) f( ) = ( )(+ 1). Να σχεδιαστούν τα γραφήµατα των παρακάτω συναρτήσεων a) b) c) d) e) f ( ) f ( ) 1 = f) 4 = g) f ( ) = + h) f ( ) = + k) f ( ) = 4 f ( ) = 5 5 f( ) = ( 1) f( ) = ( 1) 4

18 7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα 18 από 7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Προβλήµατα που απαιτούν ελαχιστοποίηση ή µεγιστοποίηση µίας συνάρτησης µπορούν να λυθούν χρησιµοποιώντας παραγώγους. Παρακάτω θα δούµε παραδείγµατα ελαχιστοποίησης και µεγιστοποίησης και στην συνέχεια θα συνοψίσουµε τις τεχνικές που χρησιµοποιούµε µε κάποιους κανόνες Παραδείγµατα 1) Ένας παραγωγός µπορεί και πουλάει προϊόντα την εβδοµάδα στην τιµή P =.1. Το κόστος για την παραγωγή των αυτών προϊόντων είναι y = 5+ ευρώ. Πόσα προϊόντα πρέπει να παράγει ο παραγωγός για να έχει το µέγιστο δυνατό κέρδος ; Να βρεθεί το κέρδος αυτό. Λύση Τα συνολικά εβδοµαδιαία έσοδα του παραγωγού από την πώληση των προϊόντων του είναι P. ηλαδή, P =.1 =.1. ( ) Το κέρδος (Τ) του παραγωγού είναι τα έσοδά του µείον το κόστος του. ηλαδή, T p y = =.1 (5 ) = Παραγωγίζουµε ως προς, Άρα, dt 15. d = = 15 = = 75. dt =. < (µέγιστο). d ηλαδή, ο παραγωγός θα πρέπει να παράγει 75 προϊόντα εβδοµαδιαίως για να έχει το µέγιστο κέρδος. Εποµένως το µέγιστο κέρδος του παραγωγού θα είναι T = 15(75).1(75) = 585 ευρώ. ) Ένα τετράγωνο φύλλο λαµαρίνας πρόκειται να χρησιµοποιηθεί για να κατασκευαστεί ένα ανοικτό κουτί (χωρίς καπάκι) κόβοντας µικρά τετράγωνα από κάθε γωνία και λυγίζοντας τις πλευρές του. Πόσο πρέπει να είναι το µέγεθος του τετραγώνου που θα κόψουµε από κάθε γωνία έτσι ώστε να έχει όσο το δυνατό µεγαλύτερο όγκο ; Να βρεθεί ο µέγιστος όγκος.

19 7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα 19 από Λύση a a Έστω ο όγκος του κουτιού = y. Εποµένως, y = µήκος πλάτος ύψος = ( a ), και < < a Παραγωγίζουµε ως προς, dy d = ( a ) +..( a ).( ) = ( a )( a 6) και d d a = 4 8a = 4( ) Όταν y = τότε Για a = ή 6 = a d y = 4a < 6 d a =. Άρα είναι µέγιστο (ma). ηλαδή, για όγκος είναι, a = ο όγκος του κιβωτίου γίνεται µέγιστος. Εποµένως ο µέγιστος 6 a a 8 y = a = a κυβικές µονάδες. ) Έστω µία κωνική δεξαµενή στην οποία τρέχει νερό µε σταθερή ταχύτητα κυβικών µέτρων το λεπτό. Πόσο γρήγορα θα ανεβεί το ύψος του νερού την στιγµή που το νερό έχει 6 µέτρα βάθος ;

20 7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα από Λύση 5m 1m y Έστω, Vt= () Ο όγκος του νερού στην δεξαµενή σε χρόνο t λεπτά. () t = Η ακτίνα σε µέτρα (m) του κύκλου, που είναι η επιφάνεια του νερού, σε χρόνο t λεπτά. yt () = Το βάθος σε µέτρα (m) του νερού της δεξαµενής σε χρόνο t λεπτά. Οι διαστάσεις της δεξαµενής είναι σταθερές καθώς και ο ρυθµός µε τον οποίον τρέχει το νερό στη δεξαµενή. Εποµένως, dv dt = m /min. dy Ζητάµε να βρούµε την παράγωγο d όταν y = 6. Από τον τύπο του όγκου ενός h κώνου V = π r µπορούµε να βρούµε την σχέση ανάµεσα στις µεταβλητές µας. Έχουµε δηλαδή, V 1 = π y Τώρα από τα όµοια τρίγωνα στο σχήµα µας έχουµε ότι 5 y = 1 ή 1 = y.

21 7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα 1 από Εποµένως έχουµε V 1 = π y 1 Παραγωγίζοντας ως προς t και τα δύο µέλη έχουµε dv dt 1 π y 4 dy dt dy 4 dv dt π y dt = ή = dv Γνωρίζουµε όµως ότι = και ότι y = 6. Εποµένως, dt dy dt =.71 9π m /min. Στρατηγική Λύσης Προβληµάτων 1. Σχεδιάζουµε το σχήµα για το πρόβληµα µας. Προσέχουµε τι µεταβάλλεται και τι δεν µεταβάλλεται.. Σηµειώνουµε τι µας ζητείται από το πρόβληµα µας.. Ονοµάζουµε τις υπόλοιπες µεταβλητές και σταθερές. Τις εντοπίζουµε στο σχήµα µας. Βρίσκουµε τυχόν αριθµητικές σχέσεις που τις συσχετίζουν. 4. Γράφουµε τις εξισώσεις που συσχετίζουν µεταβλητές και σταθερές. 5. Αντικαθιστούµε εάν χρειάζεται και παραγωγίζουµε.

22 7.6 Προβλήµατα Μεγίστου και Ελαχίστου Σελίδα από Ασκήσεις 7.6 1) Ένα σφαιρικό µπαλόνι φουσκώνεται έτσι ώστε ο όγκος του να αυξάνεται µε σταθερή ταχύτητα cm / s. Να βρεθεί το πόσο γρήγορα αυξάνεται η ακτίνα όταν ο 4 όγκος του µπαλονιού είναι 5 cm ( Όγκος σφαίρας V = π r ). ) Ένας µοχλός (Μ) βρίσκεται σε ύψος µέτρων πάνω από το έδαφος και ένα σχοινί είναι περασµένο από αυτόν. Στο ένα άκρο του σχοινιού προσδένουµε κάποιο βάρος (Β) και το άλλο άκρο του το κρατά κάποιος άνθρωπος. Σε µία δεδοµένη στιγµή η απόσταση ( ) του ανθρώπου (A) από την προβολή (Ο) του µοχλού στο έδαφος ισούται µε 15 µέτρα και ο άνθρωπος αποµακρύνεται από τον µοχλό. Ο άνθρωπος κρατά το σχοινί σε ύψος µέτρων πάνω από το έδαφος και περπατά σε ευθεία γραµµή και µε ταχύτητα 6 m/ s. Αν το µήκος του σχοινιού είναι 45 µέτρα, πόσο γρήγορα υψώνεται το βάρος στην δεδοµένη αυτή στιγµή ; ) Το µήκος των πλευρών ενός φύλλου αλουµινίου είναι 8 cm και cm αντίστοιχα. Ένα τετράγωνο, πλευράς, κόβεται από κάθε γωνία του φύλλου αυτού και από το υπόλοιπο κοµµάτι φτιάχνουµε ένα ανοικτό κουτί. (α) Να δείξετε ότι ο όγκος του κουτιού δίνετε από την σχέση V = cm. (β) Να βρεθεί η τιµή του για την οποία το κουτί έχει το µέγιστο όγκο και να βρεθεί η τιµή του. 4) Μία µη-οµοιόµορφη µεταλλική αλυσίδα κρέµεται µεταξύ δύο τοίχων. Το ύψος της αλυσίδας από το έδαφος δίνεται από τον τύπο h ( ) = e + e,, όπου είναι η απόσταση στο έδαφος µεταξύ των δύο τοίχων. Πόσο κοντά στο έδαφος βρίσκεται η αλυσίδα ; 5) Το τελικό κόστος (C) σε ευρώ µίας εταιρίας, για την κατασκευή τεµαχίων κάποιου συγκεκριµένου είδους δίνεται από την σχέση C = 6 +, 1, ενώ τα έσοδα (R) από την πώληση αυτών των τεµαχίων δίνεται από την σχέση R = (1 ), 1. (α) Να σχεδιαστούν τα γραφήµατα και των δύο συναρτήσεων στους ίδιους καρτεσιανούς άξονες. (β) Να βρεθούν οι τιµές του που ικανοποιούν και τις δύο συναρτήσεις. (γ) Για ποίες τιµές του η εταιρία θα έχει µέγιστο κέρδος ; (δ) Να βρεθεί σχέση για το κέρδος (P) που θα έχει η εταιρία µετά την κατασκευή τεµαχίων και να βρεθεί το µέγιστο κέρδος.

23 7.7 Το Γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής Σελίδα από 7.7 Το Γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής Το γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής ή το δεύτερο Θεώρηµα Μέσης Τιµής όπως αλλιώς ονοµάζεται συνδέει τις τιµές δύο συναρτήσεων µε τις τιµές των παραγώγων τους. Η ιδιότητα αυτή αποτελεί το κλειδί στον κανόνα L Hospital που θα εξετάσουµε στην επόµενη παράγραφο (7.8) Θεώρηµα Εάν οι συναρτήσεις f και g (i) είναι συνεχείς στο [ α, β ] (ii) είναι παραγωγίσιµες στο ( α, β ) (iii) οι f και g δεν έχουν ρίζες στο ( α, β ) και (iv) g( α) g( β ) τότε υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f( β ) f( α) f ( ξ) = g( β ) g( α) g ( ξ) Απόδειξη Πρώτα απ όλα g( β ) g( α) διότι διαφορετικά από το Θεώρηµα Μέσης Τιµής (7.1.) θα είχαµε ότι g ( ) = για κάποιο σηµείο ( α, β ). Αυτό όµως δεν µπορεί να συµβεί διότι g ( ) α, β. για κάποιο σηµείο ( ) Για δική µας ευκολία θα χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση [ β α ] [ β α ] F( ) = f( ) f( ) g( ) g( ) g( ) f( ) Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιµη εκεί που είναι συνεχείς και παραγωγίσιµες οι f ( ) και g. ( ) Ακόµα F( β ) = F( α) =. Εποµένως από το Θεώρηµα Μέσης Τιµής (7.1.) υπάρχει ένας αριθµός ξ ανάµεσα στο α και στο β για τον οποίο F ( ξ ) =. ηλαδή, ή [ ] [ ] F ( ξ) = f( β) f( α) g ( ξ) g( β) g( α) f ( ξ) = f ( ξ ) f( β) f( α) = g ( ξ ) g( β) g( α)

24 7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 4 από 7.8 Κανόνας L Hospital Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούµε µε τον κανόνα L Hospital ο οποίος και µας παρέχει ένα σαφή σύνδεσµο ανάµεσα στις παραγώγους και στα όρια Θεώρηµα (Κανόνας L Hospital) Εάν οι συναρτήσεις f ( ) και g ( ) είναι (i) (ii) (iii) (iv) πλευρικά συνεχείς στο διάστηµα [α,α+h] παραγωγίσιµες στο διάστηµα (α,α+h) f(α) = g(α) = και υπάρχει το πλευρικό όριο τότε υπάρχει το πλευρικό όριο f ( ) lim = A. g ( + α ) f ( ) lim = A. g( + α ) Απόδειξη Υποθέτουµε ότι το βρίσκεται δεξιά του α. Το g ( ) και εφαρµόζοντας το γενικευµένο Θεώρηµα Μέσης Τιµής (7.7.1) στο διάστηµα [ α, ] θα υπάρχει ένας αριθµός ξ ανάµεσα στο α και στο τέτοιος ώστε Αλλά το f( α) = g( α) = έτσι ώστε f ( ξ ) f( ) f( α) = g ( ξ ) g( ) g( α) f ( ξ ) f( ) = g ( ξ ) g( ) Καθώς το πλησιάζει στο α, το ξ πλησιάζει στο α, επειδή βρίσκεται µεταξύ του και του α. Άρα, f ( ) f( ξ ) f ( ) lim = lim = lim α g ( ) ξ α g( ξ ) α g ( ) Σηµείωση Αυτό αποδεικνύει τον κανόνα L Hospital για την περίπτωση κατά την οποία το πλησιάζει τo α από τα δεξιά( α + ). Η περίπτωση το να πλησιάζει το α από τα αριστερά ( α ) αποδεικνύεται µε εφαρµογή του γενικευµένου Θεωρήµατος Μέσης Τιµής (7.7.1) στο κλειστό διάστηµα [, α ], < α. Στην ουσία ο κανόνας L Hospital µας βοηθάει να αντικαταστήσουµε ένα πρόβληµα ορίων µε κάποιο άλλο πολύ πιο απλό. Για να εφαρµόσουµε τον κανόνα L Hospital θα πρέπει να ακολουθήσουµε τα παρακάτω βήµατα :

25 7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 5 από Βήµα 1 ο f ( ) Ελέγχουµε εάν το lim είναι σε απροσδιόριστη µορφή. Εάν δεν είναι g ( ) τότε ο κανόνας L Hospital δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί. Βήµα ο Βήµα ο f ( ) lim g ( ) Παραγωγίζουµε κάθε συνάρτηση (f και g) ξεχωριστά. f ( ) Βρίσκουµε το όριο lim. Εάν το όριο ορίζεται τότε ισούται µε το g ( ) διαφορετικά επαναλαµβάνουµε τα βήµατα 1, και. Ο κανόνας L Hospital εφαρµόζεται στις ακόλουθες απροσδιόριστες µορφές: /, 1 ± / ±,.( ± ),,,, 1. Απροσδιόριστη Μορφή / 7.8. Παραδείγµατα 1) 4 lim = lim = ( /) ) lim = lim 1 (1 ) 1/ + 1/ = lim / ( 1/4)(1 + ) 1 = 8 Απροσδιόριστη Μορφή / 7.8. Παραδείγµατα 1) tan( ) lim π / 1 + tan( ) = sec ( ) π / sec ( ) lim = 1 ) ln( ) lim 1/ sin( ) = 1/ sin( ) lim tan( ) = lim lim tan( ) = 1() = ( 1/sin( ))

26 7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 6 από Απροσδιόριστη Μορφή Παραδείγµατα 1) lim[ ln( ) ] Μετατρέπουµε το παράδειγµα αυτό από την µορφή στην µορφή /. Άρα lim ln( ) [ ] = ln( ) lim 1/ ( /) 1/ lim = lim( ) =. 1/ = ) lim [(1 tan( )) sec( ) ] π /4 Μετατρέπουµε το παράδειγµα αυτό από την µορφή στην µορφή /. Άρα lim (1 tan( )) sec( ) π [ ] /4 1 tan( ) 1 tan( ) = lim = lim π /41/ sec( ) π /4 cos( ) ( /) = sec = lim = = 1. π /4 sin( ) Απροσδιόριστη Μορφή Τα προβλήµατα των ορίων όπως lim[ f ( ) g( )] ή lim[ f ( ) + g( )] µας οδηγούν σε µία από τις ακόλουθες κατηγορίες : ( + ) ( + ), ( ) ( ), ( + ) + ( ), ( ) + ( + ). ηλαδή, ένας από τους όρους µας σπρώχνει σε θετική κατεύθυνση και ο άλλος σε αρνητική κατεύθυνση Παραδείγµατα 1) 1 1 lim sin( ) ( ) sin( ) = lim = sin( ) lim sin( ) cos( ) 1 cos( ) = + sin( ) = lim = = cos( ) sin( ) ) lim[cot( ) ln( )] + Εδώ το lim cot( ) =+ ενώ το + lim ln( ) =. Άρα έχουµε ένα πρόβληµα της + µορφής ( + ) ( ). Το πρόβληµα αυτό δεν είναι απροσδιόριστης µορφής. Το πρώτο όριο τείνει στο και το δεύτερο όριο, λόγο της αφαίρεσης, επίσης στο. Άρα

27 7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 7 από lim[cot( ) ln( )] =+. + Οι απροσδιόριστες µορφές εκθετικού τύπου τον λογάριθµο των εκφράσεων.,, 1 αντιµετωπίζονται παίρνοντας Απροσδιόριστη Μορφή Παράδειγµα lim sin( ) Έστω y sin( ) =. Παίρνουµε λογάριθµους και από τα δύο µέλη sin( ) ( ) ln( y) = ln = sin( ) ln( ). Άρα το ( ) ln( ) lim(ln( y) = lim[sin( ) ln( )] = lim 1/sin( ) = 1/ lim tan( ) = ( 1/sin( )) sin( ) = lim lim tan( ) = 1() =. Το ln( y) όταν το. Από την ιδιότητα των λογαρίθµων: a a loga = log a = έχουµε ότι e e ή y 1 όταν το. Εποµένως ln y sin( ) lim 1 =. Απροσδιόριστη Μορφή Παράδειγµα lim 1/ Εδώ θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε την ακόλουθη ιδιότητα των λογαρίθµων, loga = log a = a. a Άρα, 1 ln( ).ln( ) lim 1/ lim = lim e = e = e = 1.

28 7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 8 από Απροσδιόριστη Μορφή 1 1/ Παράδειγµα Να δείξετε ότι το lim (1 + ) = e Το lim(1 + ) = 1 και το 1 lim =. Άρα έχουµε 1. Έστω y 1/ = ( 1+ ). Παίρνουµε λογάριθµους και από τα δύο µέλη 1 / 1 ln(1 + ) ln y = ln(1 + ) = ln(1 + ) =. Άρα το ln(1 + ) lim(ln y) = lim = 1/(1 + ) lim = 1 1 Το ln y 1 όταν το. Από την συνέχεια της εκθετικής συνάρτησης έχουµε ότι ln 1 e y e ή e y όταν το. Εποµένως, 1/ lim (1 + ) = e.

29 7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα 9 από Ασκήσεις 7.8 Να βρεθούν τα παρακάτω όρια χρησιµοποιώντας τον κανόνα L Hospital. 1) ln( ) lim + 11) 1 lim 1+ + ) cot( ) lim+ 1) lim( ) 1 tan( π / ) ) 4) ln( ) lim ln( ) + + lim + e 1 1) lim (sin( )) 14) + (1/ ) π /ln( ) lim (tan( )) cos( ) 5) lim. e + 15) lim (1 + ) + 1/ln( ) 6) lim.sin( π / ) 7) + sin(/ ) lim e ( 1) ) lim θ 1 cos sin θ θ 17) lim ( ) + + 8) lim ) lim ln( + 1) + 9) 1/ + 19) lim( e ) cot( ) lim+ cot( ) 1 1) lim 1+ + cos( αθ) cos( βθ) ) lim θ θ

30 7.8 Κανόνας L Hospital Σελίδα από 7.9 Λύσεις Ασκήσεων Ασκήσεις 7.1 π π π 1) i) 1, ii) ή, iii), iv) δεν ισχύει 6 π ) i), ii), iii) ξ (, 1) και ξ = 1 4 Ασκήσεις 7.5 a) - ελάχιστο, µέγιστο, b) 4 ελάχιστο, -4 µέγιστο, c) - µέγιστο, d) ελάχιστο, 49 4 µέγιστο, e) ελάχιστο, f) σηµείο καµπής, g) ελάχιστο, h) -1 ελάχιστο, 8 µέγιστο, i) ελάχιστο, 5 µέγιστο και µέγιστο. 16 Ασκήσεις 7.6 1). cm / s, ) m/ s, ) (β) = cm, V = cm, 4) 1.89 m 5 7 5) (β) 8.8 και 71.6, (γ) 8.8 < < 71.6, (δ) P= 8 6, 1 ευρώ. Ασκήσεις 7.8 1), ), ) +, 4), 5), 6) π, 7), 8) e, 9) / 1) e π 1, 1) e, 14) 1, 15) e, 16), 17) 1, 18) +, 19), ) β α e, 1) 1, 11) +,.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #16: Βασικά Θεωρήματα του Διαφορικού Λογισμού Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f.

2. ** ίνεται η συνάρτηση f (x) = logx. α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [1, 20] για τη συνάρτηση f. Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον µια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. i) α) ============================================================== α > 0. Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται ο λογάριθµος, δηλ.

Άσκηση 1. i) α) ============================================================== α > 0. Πρέπει κατ αρχήν να ορίζεται ο λογάριθµος, δηλ. http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις 4ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 007-008: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i)

2.8. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1.i) 1.8 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 A Οµάδας 1.i) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση () 5 5 4 + είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπής της γραφικής της

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η

1. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση G () = F (α + β) είναι µια παράγουσα της h () = f (α + β), α α στο R. β + γ α+ γ. ** α) Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

α β. M x f x. f x x x = = =.

α β. M x f x. f x x x = = =. Κυρτές συναρτήσεις σηµεία καµπής, Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιµη στο ( α, β ) (α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ), τότε η fείναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα πάνω στο [ α,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1] ΜΑΘΗΜΑ 48 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 η ΕΚΑ Α 3. Έστω f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο [, ], µε f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο [, ], για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ] Ορίζουµε τις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β). Σ Λ. * Αν η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ Όταν lim f ( ) =l, εννοούµε ότι οι τιµές f () βρίσκονται όσο θέλουµε κοντά στο l, για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο. f () y f() y f() y 9 f ( ) =l f () l f() l

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε. Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Η γνησίως αύξουσα Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x, x µε x < x ισχύει : f ( x ) < f ( x ). Η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [, ] και ισχύει f () > για κάθε (, ). Αν f() και f(), να δείξετε ότι: α. η ευθεία y τέµνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα