Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ"

Transcript

1 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_340 Μια οικογένεια, προκειµένου να χρηµατοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να επιλέξει µεταξύ δύο προγραµµάτων που της προτείνονται: Για το πρόγραµµα Α πρέπει να καταθέσει τον ο µήνα ευρώ, τον ο µήνα ευρώ, τον 3ο µήνα 4 ευρώ και γενικά, κάθε µήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούµενο µήνα. Για το πρόγραµµα Β πρέπει να καταθέσει τον ο µήνα 00 ευρώ, τον ο µήνα 0 ευρώ, τον τρίτο µήνα 0 ευρώ και γενικά, κάθε µήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό κατά 0 ευρώ µεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον προηγούµενο µήνα. o α) i) Να βρείτε το ποσό α ν που πρέπει να κατατεθεί στον λογαριασµό τον ν µήνα σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α. (Μονάδες 4) o ii) Να βρείτε το ποσό β v που πρέπει να κατατεθεί στον λογαριασµό τον ν µήνα σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β. (Μονάδες 4) iii) Να βρείτε το ποσό A ν που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α. (Μονάδες 5) iv) Να βρείτε το ποσό B ν που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β. (Μονάδες 5) β) i) Τι ποσό θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά τους πρώτους 6 µήνες, σύµφωνα µε κάθε πρόγραµµα; (Μονάδες 3) ii) Αν κάθε πρόγραµµα ολοκληρώνεται σε µήνες, µε ποιο από τα δύο προγράµµατα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι µεγαλύτερο; (Μονάδες 4) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 5., 5.3 Βαθµός δυσκολίας: α) i) Αφού στο πρόγραµµα Α το ποσό κατάθεσης κάθε µήνα διπλασιάζεται, τα ποσά * κατάθεσης κάθε µήνα είναι όροι γεωµετρικής προόδου α,, ν ν N µε λόγο ν ν ν * λ=, πρώτο όρο α = και νιοστό όρο α ν =αλ = =, ν N. * Άρα το ποσό που πρέπει να καταθέσει τον νιοστό µήνα είναι α ν ν =, ν N. ii) Αφού στο πρόγραµµα Β το ποσό κατάθεσης κάθε µήνα αυξάνεται κατά 0 ευρώ, τα ποσά κατάθεσης κάθε µήνα είναι όροι αριθµητικής προόδου * β,, ν ν N µε διαφορά ω= 0, πρώτο όρο β = 00 και νιοστό όρο * β ν =β + ( ν ) ω= 00 + ( ν ) 0= 00+ 0ν 0= 0ν+ 90, ν N. Άρα το ποσό που πρέπει να καταθέσει τον νιοστό µήνα είναι: * β ν = 0ν+ 90, ν N. iii) Το συνολικό ποσό που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες συµµετοχής στο πρόγραµµα Α είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της * γεωµετρικής προόδου α,, ν ν N δηλαδή: ν ν λ ν Α ν =α = =, ν λ * N. 0

2 iv) Το συνολικό ποσό που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες συµµετοχής στο πρόγραµµα Β είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της * αριθµητικής προόδου β ν N, δηλαδή: ν, 00 + ( ν ) 0 [00 + ( ν ) 5] Β ν = ν= ν * = [00+ 5( ν )] ν= (00+ 5ν 5) ν= (5ν+ 95) ν= 5ν + 95 ν, ν N. 6 β) i) Για το πρόγραµµα Α: Α 6 = = 64 = 63, δηλαδή στον λογαριασµό µετά τους πρώτους 6 µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α υπάρχουν 63 ευρώ. Για το πρόγραµµα Β: Β 6 = = = = 750, δηλαδή στον λογαριασµό µετά τους πρώτους 6 µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β υπάρχουν 570 ευρώ. ii) Για το πρόγραµµα Α: Α = = 4096 = 4095, δηλαδή στον λογαριασµό µετά τους πρώτους µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α υπάρχουν 4095 ευρώ. Για το πρόγραµµα Β: Β = = = 860, δηλαδή στον λογαριασµό µετά τους πρώτους µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β υπάρχουν 860 ευρώ. Συνεπώς µε το πρόγραµµα Α θα συγκεντρωθεί µεγαλύτερο ποσό. 0

3 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 8,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_454 α) Να λύσετε την ανίσωση: x < x στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 8) β) ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε 0 < α <. i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 0,, α, α, α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). (Mονάδες 0) ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: +α< + α. (Mονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.4, 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε x < x x x< 0 (Ι). Το ελλιπές τριώνυµο x x έχει διακρίνουσα ρίζες = ( ) 4 0=, + = = ( ) ± ± x= = = και πίνακα προσήµου: 0 = = 0 0 x x Συνεπώς (Ι) 0 < x <. β) i) Θα αποδείξουµε ότι ισχύει + x + + 0<α <α< α <. Αφού 0 < α <, προκύπτει α > 0, άρα 0<α. Αφού 0 < α <, ισχύει α <α [από το (α) ερώτηµα]. Αφού 0 < α <, έχουµε α< α α < α α <α, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική [από το (α) ερώτηµα]. α < α < α<, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. Η παράστασή τους στον άξονα των πραγµατικών φαίνεται ακολούθως: 0 α α α ii) Για 0 < α < έχουµε ότι: ( ) 0 +α< + α +α < + α +α< + α+ α < α, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. 03

4 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4545 x 5 x + 6 ίνεται η συνάρτηση f (x) = x 3. α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης f. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει: f (x) = x. (Μονάδες 9) γ) Για x A, να λύσετε την εξίσωση: ( ) f (x) + 4f (x) 5= 0. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 3.3, 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Πρέπει x 3 0 x 3 x ± 3, οπότε A = R { ± 3}. β) Το τριώνυµο ω 5ω+ 6 έχει διακρίνουσα 5+ 6 = = 3 ( 5) ± 5± ρίζες ω= = =, 5 4 = = οπότε ω 5ω+ 6 = ( ω )( ω 3) = ( 5) 4 6=, και κατ επέκταση x 5 x + 6 = ( x 3)( x ). Συνεπώς για κάθε x A ισχύει: x 5 x + 6 x 5 x + 6 ( x 3)( x ) f (x) = = = = x. x 3 x 3 x 3 γ) Για κάθε x A έχουµε ότι f (x) = x, οπότε: ( ) ( ) ( ) f (x) + 4f (x) 5= 0 x + 4 x 5= 0 x 4 x + 8 5= 0 x 4 x + 3= 0 (Ι). Θέτουµε t= x 0, οπότε Το τριώνυµο (I) t 4t+ 3= 0 (ΙΙ). t 4t+ 3 έχει διακρίνουσα 4+ 6 = = 3 ( 4) ± 4 4± και ρίζες t= = =. 4 = = Συνεπώς: (ΙΙ) t = 3 ή t = x = 3 ή x = x = ± 3 (απορρίπτονται) ή x = ± x = ±. = ( 4) 4 3= 4 04

5 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4548 ίνεται η εξίσωση ( ) x x+ λ λ = 0, µε παράµετρο λ R (). α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A=, όπου S, P το άθροισµα και το S P γινόµενο των ριζών της εξίσωσης () αντίστοιχα, έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού για κάθε πραγµατικό αριθµό λ. (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x x ( ) ( ) 4( ) 4 4 ( ) + λ λ έχει διακρίνουσα = λ λ = λ+ λ = λ. Αφού για κάθε λ R ισχύει ( λ) 0 0, η εξίσωση () έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. β) Η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες αν και µόνο αν ( ) = 0 λ = 0 λ= 0 λ= λ=. γ) Έστω x, x οι ρίζες της εξίσωσης (), οπότε από τους τύπους του Vieta έχουµε λ λ ότι S= x+ x = = και P= xx = =λ λ. Η παράσταση A= έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού όταν ισχύει: S P S P 0 S P 0 S P> 0 ( λ λ ) > 0 λ+λ > 0 (Ι). S P 0 S P 0 Το τριώνυµο λ+λ έχει διακρίνουσα = ( ) 4 = 3< 0, οπότε λ+λ > 0 για κάθε λ R, δηλαδή η (Ι) ισχύει για κάθε λ R και κατά συνέπεια η παράσταση Α έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού για κάθε λ R. 05

6 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_455 ίνεται το τριώνυµο: λx ( λ + )x +λ, λ R {0}. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R {0}. (Μονάδες 8) β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S= x+ x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P= xx των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ < 0, τότε: i) το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) ii) να αποδείξετε ότι x+ x xx, όπου x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου. (Μονάδες 6) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο έχει διακρίνουσα 4 4 = [ (λ +)] 4λ λ = λ + λ + 4λ = λ λ + = (λ ). Για κάθε λ R -{0} ισχύει (λ ) 0 0, οπότε το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ R -{0}. β) Αφού x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι: (λ + ) λ + λ S= x+ x= = και P= xx= =. λ λ λ γ) i) Αφού P = > 0, οι ρίζες x, x είναι οµόσηµες. Αφού ισχύει λ < 0, έχουµε ότι S < 0, οπότε οι ρίζες x, x είναι αρνητικές. ii) Για κάθε λ R -{0} ισχύει: x+ x xx λ λ 0 λ + λ + λ + λ λ λ λ 0, + ( ) η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική, οπότε x+ x xx. 06

7 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4558 ίνεται το τριώνυµο: f (x) =λ x ( λ + ) x+λ µε λ> 0. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες θετικές για κάθε λ > 0. (Μονάδες 0) β) Αν οι ρίζες του τριωνύµου είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, τότε: i) να βρείτε το εµβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 4) ii) να βρείτε την περίµετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να αποδείξετε ότι Π 4 για κάθε λ > 0. (Μονάδες 8) iii) για την τιµή του λ που η περίµετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση µε 4, τι συ- µπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο A f=r. Το τριώνυµο έχει διακρίνουσα 4 4 = [ (λ +)] 4λ λ = λ + λ + 4λ = λ λ + = (λ ). Για κάθε λ > 0 ισχύει (λ ) 0 0, οπότε το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ > 0. Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του Vieta έχουµε: (λ + ) λ + = + = = και λ S x x P= x x = =. λ λ λ Αφού Ρ > 0, οι ρίζες είναι οµόσηµες και ισχύει S > 0 (δεδοµένου ότι λ > 0), άρα οι ρίζες είναι θετικές. β) i) Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι E = xx = P= για λ > 0. ii) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι: (λ + ) Π = x + x = (x + x ) = S = για λ > 0. λ Για λ > 0 ισχύει: (λ + ) 4 (λ + ) 4λ λ + 4λ λ 4λ+ 0 λ λ λ + 0 (λ ) 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική, οπότε Π 4 για κάθε λ > 0. iii) Για λ > 0 ισχύει: (λ ) Π = 4 + = 4 (λ + ) = 4λ λ λ 4λ+ 0 λ λ += 0 Για λ = έχουµε ότι λ + = 4λ (λ ) = 0 λ =. f (x) = x ( + ) x+ = x x+ = (x ), οπότε f (x) = 0 (x ) = 0 x = 0 x=, δηλαδή x= x =, άρα το ορθογώνιο έχει ίσες πλευρές και είναι τετράγωνο. 07

8 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 9,, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4575 ίνονται οι συναρτήσεις: f (x) = x 4x+α και g(x) =αx 5 µε α R. α) Αν ισχύει f() = g(), να βρείτε την τιµή του α. (Μονάδες 7) β) Για α =, i) να λύσετε την εξίσωση: f(x) = g(x) (Μονάδες 8) ii) να λύσετε την ανίσωση: f (x) g(x) και, µε τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση f (x) g(x) = f (x) g(x). (Μονάδες = 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3., 3.3, 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισµένες στο Af= Ag=R. Αφού f() = g(), έχουµε ότι: -4 + α = α α = α- 5 α-α = α = - α =. β) Για α = έχουµε f (x) = x - 4x + και g(x) = x- 5. i) Για x R έχουµε: f (x) = g(x) x -4x + = x- 5 x -4x +- x + 5 = 0 x - 5x + 6 = 0 (Ι). Το τριώνυµο x - 5x + 6 έχει διακρίνουσα = ( 5) 4 6= 5+ = 3 ( 5) ± 5± και ρίζες x= = =, 5 = οπότε (Ι) x = ή x = 3. ii) Επίσης, το τριώνυµο x - 5x + 6 έχει πίνακα προσήµου: 3 x + x 5x Τότε για x R έχουµε: f (x) g(x) x -4x + x- 5 x -4x +- x+ 5 0 x - 5x x ή x 3. Για x R έχουµε: f (x) g(x) = f (x) g(x) f (x) g(x) 0 f (x) g(x) x ή x 3, αφού από τον ορισµό της απόλυτης τιµής ισχύει x = x x 0. 08

9 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4607 α) Να λύσετε την ανίσωση: x > x στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 8) β) ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε α >. i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 0,, α, α, α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). (Μονάδες 0) α+α ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθµούς: α, α,. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Για x R έχουµε x > x x - x> 0. Το ελλιπές τριώνυµο x - x έχει διακρίνουσα = ( ) 4 0 0=, + = = ( ) ± ± ρίζες x= = = και πίνακα προσήµου: 0 = = 0 0 x x + x + + Συνεπώς x - x> 0 x < 0 ή x >. β) i) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι για x > ισχύει Συνεπώς, όταν α >, ισχύει α> (ΙΙ), ενώ: από την (Ι), για x = α ισχύει α > α (ΙΙΙ), από την (Ι), για x = α ισχύει α> α (ΙV). Εποµένως από τις (II), (III), (IV) προκύπτει άρα: ii) Έχουµε ότι: x α+ α α > α > α+ α ισχύει και η αρχική και α α + > α α+ α > α ισχύει και η αρχική. 09 x 0 α α α α α > x (I). α > α> α> > 0, > α, η οποία ισχύει λόγω της (ΙΙΙ), άρα > α, η οποία ισχύει λόγω της (ΙΙΙ), άρα x

10 α+ α Συνεπώς ισχύει ότι α > > α, άρα: α + α αα α x x Μια άλλη προσέγγιση είναι να παρατηρήσουµε ότι το σηµείο του άξονα των πραγµατικών αριθµών µε τετµηµένη τετµηµένες α και α. α+ α είναι το µέσο των σηµείων µε 0

11 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 3, 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_469 Ένα µυρµήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραµµο κλαδί µήκους m, µε τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει 3 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά cm µεγαλύτερη από αυτήν που διήνυσε το προηγούµενο λεπτό. α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το µυρµήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο α ν αυτής της προόδου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το µυρµήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του. (Μονάδες 4) γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το µυρµήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού. (Μονάδες 4) δ) Υποθέτουµε τώρα ότι, την ίδια στιγµή που το µυρµήγκι ξεκινάει την πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού µία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και µε τον ακόλουθο τρόπο: Το ο λεπτό προχωράει cm, το ο λεπτό προχωράει cm, το 3ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διήνυσε το προηγούµενο λεπτό. (i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο β ν αυτής της προόδου. (Μονάδες 7) (ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το µυρµήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιµέτωπα σε απόσταση cm. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 4., 5., 5.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού το µυρµήγκι κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά cm µεγαλύτερη, οι απόστάσεις που διανύει κάθε λεπτό το µυρµήγκι είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής * προόδου α ν, ν N, µε διαφορά ω= και πρώτο όρο α =. Συνεπώς α = α + (ν-)ω = + (ν-) = ν-, ν N. ν * β) Αν S, ν N, είναι η συνολική απόσταση που διήνυσε το µυρµήγκι, ν α + (ν-)ω + (ν-) + ν- * θα ισχύει S ν = ν = ν = ν = ν, ν N. Συνεπώς S = 5 = 5, άρα τα πέντε πρώτα λεπτά της κίνησης κάλυψε 5 cm. 5 * γ) Αναζητούµε ν N έτσι ώστε S ν = 00 ( m = 00 cm), άρα * ν = 00 ν = 0 (απορρίπτεται, αφού ν N ) ή ν = 0 ν = 0, οπότε σε 0 λεπτά θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού. δ) (i) Αφού η αράχνη κάθε λεπτό διανύει διπλάσια απόσταση κατά cm µεγαλύτερη, οι αποστάσεις που διανύει κάθε λεπτό είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής * προόδου β ν, ν N, µε λόγο λ= και πρώτο όρο β =. ν- ν- ν- * Συνεπώς β = β λ = =, ν N. (ii) Αν ν * Σ, ν N, είναι η συνολική απόσταση που διήνυσε η αράχνη, ν *

12 ν ν λ ν * θα ισχύει Σν= β = =, ν N. λ- - To µυρµήγκι και η αράχνη θα βρεθούν σε απόσταση cm, όταν το άθροισµα των αποστάσεων που θα έχει διανύσει το καθένα θα είναι 99 cm, δηλαδή: ν ν S +Σ = 99 ν + = 99 ν + = 00 ν = 00 ν (Ι). ν ν Επίσης, ν > 0, οπότε από την (Ι) βρίσκουµε ότι: * 00 ν > 0 ν < 00 ν < 0 0<ν< 0 και, αφού ν N, προκύπτει ν {,, 3,, 8, 9}. οκιµάζοντας τους αριθµούς αυτούς (όπως φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα), βρίσκουµε ότι στα 6 λεπτά η απόσταση µυρµηγκιού-αράχνης θα είναι cm. ν N * S ν Σ ν S ν + Σ ν

13 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3, 9, 0, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4647 Για δεδοµένο λ R, θεωρούµε τη συνάρτηση f (x) = ( λ+ ) x ( λ+ ) x+, µε x R. α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιµή του λ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο A(0, ). (Μονάδες 3) β) Για λ =, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 4) γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα x x στο σηµείο B(, 0), να βρείτε την τιµή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέµνει τον άξονα x x και σε άλλο σηµείο. (Μονάδες 8) δ) Για λ =, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα x x. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6., 6., 6.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο A f=r. Ισχύει ότι f(0) = (λ +) 0 (λ +) 0+ =, οπότε η C διέρχεται από το σηµείο Α(0, ) για κάθε f λ R. β) Για λ = - έχουµε ότι f(x) = (-+) x ( - +) x+ =, οπότε η γραφική παράσταση της f είναι µια ευθεία παράλληλη στον άξονα x x που διέρχεται από το σηµείο Α και είναι: γ) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Β(, 0), ισχύει f() = 0, οπότε: (λ +) (λ +) + = 0 4λ + 4 λ- + = 0 λ = - 4 λ = -, άρα f (x) = ( + ) x ( + ) x+ = x + x+ (Ι). Το τριώνυµο x + x+ έχει διακρίνουσα = 4 ( ) = 9 3

14 + 3 = = ± 9 ± 3 και ρίζες x = = =. ( ) = = = Εποµένως το τριώνυµο f (x) = x + x+ τέµνει τον άξονα x x σε δύο σηµεία µε συντεταγµένες Γ(, 0) και Β(, 0). δ) Για λ = έχουµε ότι f(x) = (+) x (+) x+ = x x+. Το τριώνυµο x - x + έχει διακρίνουσα = ( ) 4 = 4< 0, οπότε x - x + > 0 για κάθε x R, δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα x x. 4

15 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_ α) ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση x 7x + = 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη διτετράγωνη εξίσωση: x +β x +γ= 0 () µε παραµέτρους β, γ R 4. Να δείξετε ότι: Αν β < 0, γ > 0 και β 4γ> 0, τότε η εξίσωση () έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο ω 7ω+ έχει διακρίνουσα = 7 4 = 7+ 8 = = 4 ( 7) ± 7± και ρίζες ω= = =. 7 6 = = 3 Συνεπώς: x = ω 0 4 x 7x + = 0 ω 7ω+ = 0 ω = 3 ή ω = 4 x = 3 ή x = 4 x=± 3 ή x=±. Συνεπώς η διτετράγωνη εξίσωση x=± 3 ή x=±. β) Θεωρώντας Το τριώνυµο x = ω 0, αρκεί το τριώνυµο ω + βω+ γ έχει διακρίνουσα 4 x 7x + = 0 έχει τέσσερις ρίζες, τις ω + βω+ γ να έχει δύο θετικές ρίζες. = β 4γ > 0, οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις ω, ω, και από τους τύπους του Vieta έχουµε: S = ω + ω= β και P = ωω = γ. Συνεπώς, αφού οι ρίζες έχουν θετικό γινόµενο (Ρ = γ > 0), είναι οµόσηµες και επιπλέον έχουν θετικό άθροισµα (S = β > 0), οπότε είναι θετικές. 5

16 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4656 ίνεται η συνάρτηση f (x) = x + x+, x R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέµνει τον άξονα x x. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις τετµηµένες των σηµείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y = x + 3. (Μονάδες 0) γ) Έστω M(x, y) σηµείο της C f. Αν για την τετµηµένη x του σηµείου Μ ισχύει: x < 3, τότε να δείξετε ότι το σηµείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y= x+ 3. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο A f=r. Το τριώνυµο x + x+ έχει διακρίνουσα = 4 = 3< 0, οπότε x + x+ > 0 f(x) > 0 για κάθε x R, δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέµνει τον άξονα x x. β) Για x R έχουµε: f(x) < x + 3 x + x+ < x+ 3 x -x- < 0 (Ι). Το τριώνυµο x -x- έχει διακρίνουσα = ( ) 4 ( ) = 9, = = ( ) ± 9 ± 3 ρίζες x= = = και πίνακα προσήµου: 3 = = x + x x + + Συνεπώς (Ι) < x<, δηλαδή οι τετµηµένες των σηµείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία. µε εξίσωση y= x+ 3 ανήκουν στο διάστηµα (, ) γ) Για x R έχουµε: x- < 3-3 < x- < 3-3 < x < < x < 4 < x<, δηλαδή το σηµείο M(x, y) βρίσκεται κάτω από την ευθεία µε εξίσωση y= x+ 3 [λόγω του (β) ερωτήµατος]. 6

17 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 0, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4657 x+, αν x< 0 ίνεται η συνάρτηση f, µε f (x) =. x +, αν x 0 α) Να βρείτε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης C f µε τον άξονα y y. (Μονάδες 3) β) i) Nα χαράξετε τη C f και την ευθεία y= 3, και στη συνέχεια να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής τους. (Μονάδες 5) ii) Να εξετάσετε αν τα σηµεία αυτά είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y y. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) γ) i) Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού α, η ευθεία y= α τέµνει τη C f σε δυο σηµεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5) ii) Για τις τιµές του α που βρήκατε στο ερώτηµα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σηµεία τοµής της C f µε την ευθεία y= α και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συµπεράσµατα του ερωτήµατος (βii), αιτιολογώντας τον ισχυρισµό σας. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 6., 6.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι f (0) = 0+ =, δηλαδή η C f τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Α(0, ). β) i) Για x < 0 έχουµε ότι η C f είναι η ηµιευθεία ΑΒ χωρίς την αρχή της Α, όπου Α(0, ) και Β(, 3). Για x 0 έχουµε ότι η C f είναι η ηµιευθεία ΑΓ µε Γ(, 3). Η ευθεία µε εξίσωση y = 3 είναι παράλληλη στον άξονα x x που διέρχεται από τα σηµεία Β, Γ. y=f(x) y=3 B Γ A 7

18 Τα σηµεία τοµής τους είναι τα Β(, 3) και Γ(, 3). ii) Τα σηµεία Β και Γ είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y y, αφού έχουν αντίθετες τετµηµένες και ίσες τεταγµένες. γ) i) Η ευθεία µε εξίσωση y = α τέµνει τη C f σε δύο σηµεία για κάθε α >, αφού σύµφωνα µε το σχήµα µόνο τότε προκύπτουν δύο σηµεία τοµής των δύο γραµµών. x, αν x< 0 ii) Ισχύει ότι f (x) = x +, αφού x =. x, αν x 0 Αναζητούµε τα α R έτσι ώστε η εξίσωση f (x) = α να έχει δύο λύσεις. Συνεπώς: f (x) = α x + = α x = α- (Ι). Αν α < 0 α <, η εξίσωση (Ι) είναι αδύνατη. Αν α = 0 α =, η εξίσωση (Ι) έχει µοναδική λύση τη x = 0. Αν α > 0 α >, η εξίσωση (Ι) έχει δύο λύσεις, τις x = ±(α ). 8

19 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4659 ίνεται η εξίσωση: αx 5x+α= 0, µε παράµετρο α 0. 5 α) Να αποδείξετε ότι, αν α, τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικούς αριθµούς, που είναι αντίστροφοι µεταξύ τους. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν α =. (Μονάδες 5) γ) Να λύσετε την εξίσωση: x+ 5 x+ + = 0. (Μονάδες 0) x x Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι: 5 α α 5 5 α 4 4α 5 5 4α 0 (Ι). Το τριώνυµο αx 5x+ α (α 0) έχει διακρίνουσα = ( 5) 4α α = 5 4α και λόγω της (Ι) ισχύει 0, οπότε η εξίσωση αx 5x+ α = 0 έχει ρίζες πραγµατικούς αριθµούς. Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx 5x+ α = 0, από τους τύπους του Vieta α έχουµε ότι P= xx= =, δηλαδή οι ρίζες x, x είναι αντίστροφες. α β) Αν α =, η εξίσωση είναι η x 5x+ = 0 (ΙΙ). Το τριώνυµο x 5x+ έχει διακρίνουσα = 5 4 = = = ( 5) ± 9 5± και ρίζες x= = = = = 4 4 Συνεπώς (ΙΙ) x = ή x =. γ) Για x 0 έχουµε: ω= x+ x x+ 5 x+ + = 0 ω 5ω+ = 0 x x x+ = ή x+ = x + = x ή x x x x+ = 0 ή x x+ = 0 (αδύνατη) (x ) = 0 x =, αφού το τριώνυµο οπότε η εξίσωση x x+ έχει διακρίνουσα x x+ = 0 είναι αδύνατη. ω = ή x + = x ω= = (- ) 4 = < 0, 9

20 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3, 9, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4660 ίνονται οι συναρτήσεις f και g, µε f (x) = x x και g(x) = 3x 4, x R. α) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από εκείνη της g. (Μονάδες 0) γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της µορφής y = α, α <, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Οι συναρτήσεις f, g έχουν πεδίο ορισµού Af= Ag=R. Για x R έχουµε: f (x) = g(x) x x= 3x 4 x 5x+ 4= 0 (Ι). Το τριώνυµο x 5x+ 4 έχει διακρίνουσα = ( 5) 4 4= = = 4 ( 5) ± 9 5± 3 και ρίζες x= = =. 5 3 = = Συνεπώς (Ι) x = ή x = 4, δηλαδή τα κοινά σηµεία των C f, C g είναι τα Α(, ) και Β(4, 8), αφού f () = g() = και f (4) = g(4) = 8. β) Για x R έχουµε: f (x) < g(x) x x< 3x 4 x 5x+ 4< 0 < x < 4, αφού ο πίνακας προσήµου του τριωνύµου x 5x+ 4 είναι: x 4 + x 5x γ) Αρκεί να ισχύει f(x) > α για κάθε α <. Τότε: x x> α x x α > 0 (ΙΙ). Το τριώνυµο x x α έχει διακρίνουσα = ( ) 4( α) = 4 + 4α = 4(+ α). Αφού α < α + < 0 < 0, ισχύει x x α > 0 για κάθε α <, οπότε κάθε ευθεία µε εξίσωση y = α, όπου α <, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. 0

21 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4663 ίνεται η εξίσωση (x ) = λ(4x 3), µε παράµετρο λ R. α) Να γράψετε την εξίσωση στη µορφή αx + βx + γ = 0, α 0. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 0) γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, i) να υπολογίσετε τα S= x+ x και P= xx ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση A = (4x 3)(4x 3) είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) (x ) = λ(4x 3) x 4x+ 4= 4λx 3λ x 4x+ 4 4λx+ 3λ = 0 x 4(+ λ)x+ 4+ 3λ = 0, οπότε α =, β= 4(+ λ), γ= 4+ 3λ. β) Το τριώνυµο x 4(+ λ)x+ 4+ 3λ έχει διακρίνουσα = [ 4(λ +)] 4 (4+ 3λ) = 4[4(λ + λ +) (4+ 3λ)] = 4(4λ + 8λ λ) = 4(4λ + 5λ). Το ελλιπές τριώνυµο 4λ + 5λ έχει διακρίνουσα = = 5, = = 0 5± 5 5± ρίζες λ= = = και πίνακα προσήµου: = = λ 4 + 4(4λ + 5λ) + + Η εξίσωση x 4(+ λ)x+ 4+ 3λ = 0 έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, όταν 5 > 0 4(4λ + 5λ) > 0 λ < - ή λ > γ) i) Για λ < - ή λ > 0 η εξίσωση έχει δύο άνισες και πραγµατικές ρίζες x, x και 4 από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι: 4(+ λ) 4+ 3λ S= x+ x= = 4(+ λ) και P= xx= = 4+ 3λ. 5 ii) Για λ < - ή λ > 0 η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του λ (σταθερή), αφού: 4 A = (4x 3)(4x 3) = 6xx x x+ 9= 6xx (x+ x ) + 9 = 6(4+ 3λ) 4(+ λ) + 9= λ 48 48λ+ 9= 5.

22 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4665 ίνεται η εξίσωση: x λx (λ + 5) = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης (). (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε λ R. (Μονάδες 0) γ) Αν x, x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (), να βρεθούν οι τιµές του λ R για τις οποίες ισχύει: (x )(x ) = 4. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) = ( λ) 4 [ (λ + 5)] = λ + 4λ + 0= 5λ + 0. β) Έχουµε ότι για κάθε λ R ισχύει = 5λ + 0> 0, οπότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε λ R. γ) Από τους τύπους του Vieta και αφού x, x είναι οι δύο άνισες και πραγµατικές ρίζες, έχουµε ότι: λ (λ + 5) S= x+ x= = λ και P= xx = = (λ + 5). Συνεπώς: (x )(x ) = 4 xx x x+ 4= 4 xx (x+ x ) + 4= 4 (λ + 5) λ+ 4+ 4= 0 λ λ+ 3= 0 (Ι). Το τριώνυµο λ λ+ 3 έχει διακρίνουσα = ( ) 4( ) 3= = = 3 ( ) ± 6 ± 4 και ρίζες λ = = =. ( ) 4 = = Συνεπώς (Ι) λ = ή λ = 3.

23 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4667 α) Να λύσετε την εξίσωση: x 3x 4= 0 (). (Μονάδες 0) β) ίνονται οι οµόσηµοι αριθµοί α, β για τους οποίους ισχύει: α 3αβ 4β = 0. i) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α β είναι λύση της εξίσωσης (). (Μονάδες 7) ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x 3x 4 έχει διακρίνουσα = ( 3) 4 ( 4) = = = 4 ( 3) ± 5 3± 5 και ρίζες λ = = =. 3 5 = = Συνεπώς x 3x 4= 0 x = 4 ή x =. α β) i) Για x=, στο τριώνυµο x 3x 4 έχουµε ότι: β α α α αβ 4β α 3αβ 4β β = = = =, β β β β β β άρα ο αριθµός α β είναι ρίζα της εξίσωσης x 3x 4= 0. ii) Αφού ο αριθµός α β είναι ρίζα της εξίσωσης x 3x 4= 0, από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι α 4 β = ή α β =. Όµως οι αριθµοί α, β είναι οµόσηµοι, οπότε η περίπτωση α = απορρίπτεται, β άρα ισχύει α = 4 α = 4β, δηλαδή ο α είναι τετραπλάσιος του β. β 3

24 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_467 ίνεται η αριθµητική πρόοδος (α ν) µε διαφορά ω. α) Να αποδείξετε ότι α0- α 0 = 0ω. (Μονάδες 6) β) Αν α0- α 0 = 30 και α =, να αποδείξετε ότι α ν = 3ν-. (Μονάδες 6) γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 30; (Μονάδες 7) δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι µικρότεροι του 60; (Μονάδες 6) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 4., 5. Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού η ν * α, ν N, είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω, έχουµε ότι: * α ν = α + (ν-)ω, ν N. Συνεπώς: α 0 = α + (0-)ω = α+ 9ω, α 0 = α + (0-)ω = α+ 9ω, άρα: α - α = (α+ 9ω) -(α+ 9ω) = α+ 9ω α 9ω = 0ω. 0 0 β) Αφού α0- α 0 = 30, από το (α) ερώτηµα έχουµε 0ω = 30 ω = 3. Επιπλέον, α =, οπότε γ) Αναζητούµε τον µικρότερο Συνεπώς: α = + (ν-) 3 = + 3ν-3 = 3ν-, ν N. ν * ν N έτσι ώστε α ν > 30. 3ν- > 30 3ν > ν > 3 3 ν > 3 * ν > 0 + 3, άρα ο ος όρος ξεπερνά το 30. δ) Αναζητούµε τον µεγαλύτερο Συνεπώς: * ν N έτσι ώστε αν< 60. 3ν- < 60 3ν < ν < 6 6 ν < 3 ν < 0 + 3, άρα οι 0 πρώτοι όροι είναι µικρότεροι του 60. 4

25 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4679 α ίνεται η συνάρτηση: f (x) = x x+. 4 α) Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού α, ώστε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο R. (Μονάδες 0) β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο A 0,, τότε: i) Να αποδείξετε ότι α = και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύµβολο της τετραγωνικής ρίζας. (Μονάδες 7) ii) Να λύσετε την εξίσωση f (x) =. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν α x x α Για να ορίζεται η συνάρτηση f στο R, πρέπει η ανίσωση x x+ 0 να ισχύει 4 για κάθε x R, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύµου να είναι µη θετική. Συνεπώς: 0 α ( ) 4 0 α 0 α. 4 β) i) Αν α, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο A 0,, οπότε α α f (0) = 0 0+ = = 4 4 α =, που είναι δεκτή. Για α = έχουµε: f (x) = x x+ = x = x 4. α = 4 ii) f (x) = x = x = ή x = x= + ή x= x= ή x= 0. α = 4 4 5

26 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4680 ίνεται η εξίσωση: x x+λ λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιµές του λ ισχύει 0 < d(x, x ) <. (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.3, 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x x+ λ λ έχει διακρίνουσα = ( ) 4(λ λ ) = 4λ+ 4λ = (λ-). Αφού για κάθε λ R ισχύει = (λ-) 0, η εξίσωση x x+ λ λ = 0 έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ R. β) Η εξίσωση x x+ λ λ = 0 έχει δύο ίσες ρίζες, όταν = 0 (λ- ) = 0 λ- = 0 λ = λ=. γ) Αφού x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x+ λ λ = 0, από τους τύπους του λ λ Vieta έχουµε ότι S= x+ x= =, P= xx= = λ λ. Επίσης, x x < x x < 4 x+ x xx< 4 S P P< 4 4(λ λ ) 4< 0 4λ 4λ 3< 0 (I). To τριώνυµο 4λ 4λ 3 έχει διακρίνουσα = (-4) -4 4 (- 3) = 64, = = ( 4) ± 64 4± ρίζες λ = = = και πίνακα προσήµου: = = λ + 4λ 4λ Συνεπώς (Ι) < λ<. Τέλος: 0< d(x, x ) < 0 < x x < 0 < x x και x x < 3 x x και x x < 4 λ και < λ< λ < < ή λ 3 3 < < λ,,. 6

27 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_468 ίνεται η εξίσωση: x x+λ λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιµές του λ ισχύει d(x, x ) =. (Μονάδες 9) d(x, x ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.3, 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x x+ λ λ έχει διακρίνουσα = ( ) 4(λ λ ) = 4λ+ 4λ = (λ-) 0, οπότε η εξίσωση x x+ λ λ = 0 έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ R. β) Η εξίσωση x x+ λ λ = 0 έχει δύο ίσες ρίζες, όταν = 0 (λ- ) = 0 λ- = 0 λ=. γ) Αφού x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x+ λ λ = 0, από τους τύπους του λ λ Vieta έχουµε ότι S= x+ x= = και P= xx= = λ λ. Τότε για λ έχουµε: d(x, x ) = x x = x x = d(x, x ) x x x + x x x = S P P= 4(λ λ ) = 0 4λ 4λ= 0 4λ(λ- ) = 0 4λ = 0 ή λ = 0 λ = 0 ή λ =. 7

28 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_468 ίνεται η εξίσωση: x x+λ λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f (x) = x x+λ λ να έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R. (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x x+ λ λ έχει διακρίνουσα = ( ) 4(λ λ ) = 4λ+ 4λ = (λ-). Για κάθε λ R έχουµε ότι = (λ-) 0, οπότε η εξίσωση x x+ λ λ = 0 έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ R. β) Η εξίσωση x x+ λ λ = 0 έχει δύο ίσες ρίζες, αν και µόνο αν = 0 (λ- ) = 0 λ- = 0 λ = λ=. γ) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν x x+ λ λ 0. Για να ορίζεται η συνάρτηση f στο R, πρέπει η ανίσωση x x+ λ λ 0 να ισχύει για κάθε x R, δηλαδή θα πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύµου να είναι µη θετική. Συνεπώς: 0 (λ- ) 0 (λ- ) = 0 λ- = 0 λ = λ=. 8

29 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_489 ίνεται το τριώνυµο f (x) = x x+λ λ = 0, λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ το τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου µε x< x, τότε: x+ x i) Nα δείξετε ότι x< < x. (Μονάδες 4) ii) Να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς f (x ), x x f +, f (x+ ). (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x x+ λ λ έχει διακρίνουσα = ( ) 4(λ λ ) = 4λ+ 4λ = (λ-). Αφού για κάθε λ R ισχύει = (λ-) 0, το τριώνυµο x x+ λ λ έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ R. β) Το τριώνυµο x x+ λ λ έχει δύο ίσες ρίζες, αν και µόνο αν = 0 (λ- ) = 0 λ- = 0 λ=. x+ x x+ x γ) i) x< < x x< < x x< x+ x< x x< x+ x και x+ x< x x x< x και x< x x x< x και x< x, που ισχύουν, άρα ισχύει και η αρχική. ii) Για x< x κατασκευάζουµε τον πίνακα προσήµου του x x+ λ λ : x x x + f (x) = x x+λ λ + + To x είναι ρίζα του τριωνύµου f(x), οπότε f (x ) = 0. Έχουµε (x+ ) (x, + ) και f (x) > 0 για x (x, + ), άρα f (x+ ) > 0. x+ x x x Τέλος, (x, x ) και f (x) < 0 x (x, x ), άρα f + < 0. x x Συνεπώς f + < f (x ) < f (x+ ). 9

30 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5,, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4833 Μία υπολογιστική µηχανή έχει προγραµµατιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγµατικός αριθµός x, να δίνει ως εξαγόµενο τον αριθµό λ που δίνεται από τη σχέση: ( x 5) 8x ( ) λ= +. α) Αν ο εισαγόµενος αριθµός είναι το 5, ποιος είναι ο εξαγόµενος; (Μονάδες 6) β) Αν ο εξαγόµενος αριθµός είναι το 0, ποιος µπορεί να είναι ο εισαγόµενος; (Μονάδες 6) 4x + x+ 5 λ = 0 και στη συνέχεια: γ) Να γράψετε τη σχέση () στη µορφή ( ) i) να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιµή και να έχει ο εισαγόµενος αριθµός x, ο εξαγόµενος αριθµός λ δεν µπορεί να είναι ίσος µε 5. (Μονάδες 6) ii) να προσδιορίσετε τις δυνατές τιµές του εξαγόµενου αριθµού λ. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: Η αρχική σχέση γίνεται: λ = (x + 5) 8x= 4x + 0x+ 5 8x= 4x + x+ 5. α) Για x = 5 έχουµε: λ = 4 ( 5) + ( 5) + 5= = = 65. β) Αναζητούµε x R έτσι ώστε: λ = 0 4x + x+ 5= 0 4x + x+ 5 0= 0 4x + x+ 5= 0. Το τριώνυµο 4x + x+ 5 έχει διακρίνουσα = 4 4 5= = = ± 64 ± και ρίζες x= = = = = Συνεπώς 4x + x+ 5= 0 x= ή x=, 5 δηλαδή ο εισαγόµενος αριθµός µπορεί να είναι το ή το. γ) Έχουµε ότι λ = 4x + x+ 5 4x + x+ 5 λ= 0 (Ι). i) Έστω ότι λ = 5, οπότε η εξίσωση (Ι) γίνεται: 4x + x+ 0= 0 4(x + 3x+ 5) = 0 x + 3x+ 5= 0 (ΙΙ). Το τριώνυµο x + 3x+ 5 έχει διακρίνουσα = 3 4 5= 9 0=, δηλαδή < 0, άρα η εξίσωση (ΙΙ) είναι αδύνατη. Εποµένως για κάθε x R ισχύει ότι λ 5. ii) Για να έχει η εξίσωση (Ι) πάντα λύση (αφού πάντα υπάρχει εισαγόµενος αριθµός x), αρκεί (5 λ) λ 0 6λ λ 56 λ 6. 30

31 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4835 ίνεται η εξίσωση x x 0 β +γ= µε β, γ πραγµατικούς αριθµούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει x+ x = 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του β. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι γ < 4. (Μονάδες 7) γ) ίνεται επιπλέον η εξίσωση x β x + 3= 0 (). Να εξετάσετε για ποια από τις τιµές του β που βρήκατε στο (α) ερώτηµα, η εξίσωση () δεν έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: Αφού η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έχουµε ότι: > 0 ( β) 4γ > 0 β 4γ > 0 (Ι). Αν x, x οι δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι: β γ S= x+ x= = β και P= xx= = γ. α) Τότε: x+ x = 4 S = 4 β = 4 β = 4 ή β = 4. β) Από την (Ι), για β = 4 ή β = 4, έχουµε ότι: (±4) 4γ > 0 6 4γ > 0 4γ < 6 γ < 4. γ) Έχουµε ότι x β x + 3= 0 x β x + 3= 0 (ΙΙ). Για β = 4 η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται: x = ω 0 x 4 x + 3= 0 ω 4ω+ 3= 0 ω = ή ω = 3 x = ή x = 3 x = ± ή x = ±3, αφού το τριώνυµο ω 4ω+ 3 έχει διακρίνουσα = ( 4) -4 3= 6 = = = 3 ( 4) ± 4 4± και ρίζες ω= = =. 4 = = Για β = 4 η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται: x = ω 0 x + 4 x + 3= 0 ω + 4ω+ 3= 0 ω = ή ω = 3 (απορρίπτονται), άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, αφού το τριώνυµο ω + 4ω+ 3 έχει διακρίνουσα = 4-4 3= 6 = 4 4+ = = 4± 4 4± και ρίζες ω= = =. 4 6 = = 3 Εποµένως για β = 4 η εξίσωση δεν έχει πραγµατικές ρίζες, ενώ για β = 4 έχει. 3

32 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4836 ίνεται η εξίσωση x λ x+ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση () έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι, αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (), τότε και ο αριθµός είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. (Μονάδες 5) ρ γ) Για λ >, να αποδείξετε ότι: i) Οι ρίζες x, x της εξίσωσης () είναι αριθµοί θετικοί. ii) x+ 4x 4. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x λx+ έχει διακρίνουσα = ( λ) 4 = λ 4. Η εξίσωση x λx+ = 0 έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, όταν > 0 λ 4> 0 λ > 4 λ > λ < ή λ >. β) Ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x λx+ = 0, οπότε ρ λρ+ = 0 (Ι). Έχουµε ότι ρ 0, αφού, αν ρ = 0, από την (Ι) θα ίσχυε = 0, που είναι άτοπο!!! Αφού οι x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x λx+ = 0, από τους τύπους του λ Vieta έχουµε ότι S= x+ x= = λ και P= xx= =. εδοµένου ότι Ρ =, οι ρίζες της εξίσωσης x λx+ = 0 είναι αντίστροφες και, αφού η µία είναι το ρ, η άλλη είναι το ρ. γ) i) Αφού Ρ > 0, οι ρίζες x, x είναι οµόσηµες, ενώ επιπλέον λ >, οπότε S > 0, κάτι που σηµαίνει ότι οι ρίζες x, x είναι θετικές. ii) Αφού λ >, έχουµε ότι > 0, οπότε η εξίσωση x λx+ = 0 έχει ρίζες πραγ- µατικές και άνισες, όπου στο (β) ερώτηµα αποδείξαµε ότι, αν έχει ρίζα το x= ρ > 0, θα έχει ρίζα και το x= > 0. ρ Επίσης: 4 x+ 4x 4 ρ+ 4 ρ + 4 4ρ ρ 4ρ+ 4 0 ρ (ρ- ) 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. 3

33 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4853 ίνεται το τριώνυµο αx + βx+ γ, α 0, µε ρίζες τους αριθµούς και. α) Χρησιµοποιώντας τους τύπους για το άθροισµα S και το γινόµενο P των ριζών του τριωνύµου, να αποδείξετε ότι: γ = α και β = 3α. (Μονάδες 9) β) Αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο παίρνει θετικές τιµές για κάθε x (, ), τότε: i) Να αποδείξετε ότι α < 0. (Μονάδες 9) ii) Να λύσετε την ανίσωση γx + βx+ α< 0. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: Αφού το τριώνυµο αx + βx + γ, α 0, έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έχουµε ότι: > 0 β 4αγ > 0 (Ι). Αν x, x οι δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έχουµε ότι: β S= x+ x= (ΙΙ) α γ και P= xx= (ΙΙΙ). α α) Αφού οι ρίζες είναι οι αριθµοί και, έχουµε από τις (ΙΙ), (ΙΙΙ) ότι: β 3= β = 3α α γ και = γ = α. α β) i) Αν α > 0 και αφού οι ρίζες του τριωνύµου είναι οι αριθµοί και, έχουµε ότι: x + αx + βx+ γ + + Συνεπώς αx + βx+ γ > 0 x < ή x >, δηλαδή η περίπτωση α > 0 απορρίπτεται. Αν α < 0 και αφού οι ρίζες του τριωνύµου είναι οι αριθµοί και, έχουµε ότι: x + αx + βx+ γ + Συνεπώς αx + βx+ γ > 0 < x <, δηλαδή η περίπτωση α < 0 είναι δεκτή. ii) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι: γx + βx+ α= αx 3αx+ α= αx 3αx+ α, µε α < 0. Το τριώνυµο αx 3αx+ α έχει διακρίνουσα = ( 3α) 4 α α = α, 33

34 ρίζες 3α + α 4α = = ( 3α) ± α 3α± α 4α 4α x= = = και πίνακα προσήµου: α 4α 3α-α α = = 4α 4α x + Συνεπώς: αx - 3αx+ α + γx + βx+ α< 0 αx 3αx+ α < 0 α < ή α >. 34

35 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4857 ίνεται η εξίσωση αβx (α + β )x αβ 0 + =, όπου α, β δύο θετικοί αριθµοί. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: = (α β ). (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τη σχέση µεταξύ των αριθµών α, β, έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των α, β. (Μονάδες 0) α β γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι x= και x =, τότε να αποδείξετε ότι: β α (+ x )(+ x ) 4. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Για α, β > 0 το τριώνυµο αβx (α + β )x + αβ έχει διακρίνουσα = [-(α + β )] 4αβαβ = α + α β + β -4α β = α -α β + β = (α - β ). β) Για α, β > 0 η εξίσωση αβx (α + β )x + αβ = 0 έχει δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες, όταν > 0 (α - β ) > 0 α - β 0 α β α β, αφού α, β > 0. Οι ρίζες της είναι: α + β + α -β α = [ (α + β )] ± (α -β ) α + β ± (α -β ) αβ β x = = =. αβ αβ α + β - α + β β = αβ α γ) Έχουµε ότι α, β > 0, οπότε: α β α β (+ x )(+ x ) 4 + x+ x+ xx β α β α α β α β αβ + αβ + αβ + αβ αβ 4 αβ+ α + β + αβ- 4αβ 0 β α β α α - αβ+ β 0 (α- β) 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. 35

36 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4858 Μία περιβαλλοντική οργάνωση ξεκινά να καταγράφει τον πληθυσµό των ελαφιών σε µια δασική περιοχή από το 000 όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Έτος Αριθµός ελαφιών Αν ο πληθυσµός των ελαφιών συνεχίζει να αυξάνεται µε τον ίδιο σταθερό ρυθµό και µετά το 004: α) Να βρείτε µια σχέση που να επιτρέπει τον υπολογισµό του πληθυσµού των ελαφιών στο τέλος κάθε έτους από το 000 και µετά. (Μονάδες 6) β) Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής: i) Να προσδιορίσετε τον πληθυσµό των ελαφιών στο τέλος του 0. (Μονάδες 6) ii) Να προβλέψετε το έτος στο τέλος του οποίου ο αρχικός πληθυσµός των 300 ελαφιών θα αυξηθεί κατά 60%. (Μονάδες 6) iii) Να προβλέψετε το έτος που ο πληθυσµός των ελαφιών δε θα υπερβεί τα 600 ελάφια. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 4., 5. Βαθµός δυσκολίας: α) Από τον δοσµένο πίνακα τιµών παρατηρούµε ότι υπάρχει µια σταθερή ετήσια αύξηση του πληθυσµού των ελαφιών κατά 60 ελάφια, οπότε ο αριθµός των ελαφιών στο τέλος του (999 + ν) έτους αποτελεί όρους αριθµητικής προόδου * α ν, ν N, µε διαφορά ω= 60 και πρώτο όρο α = 300. Συνεπώς α ν = α + (ν-)ω = (ν- ) 60 = 60ν+ 40, ν N. β) i) Στο τέλος του 0 είµαστε 3 έτη µετά το 999, οπότε για ν = 3 έχουµε: α 3 = = = 00. Συνεπώς στο τέλος του 0 θα υπάρχουν 00 ελάφια. * ii) Αναζητούµε ν N ώστε: αν= % ν+ 40 = ν = ν= 840 ν = 4, δηλαδή στο τέλος του 03 θα υπάρχει αύξηση του πληθυσµού των ελαφιών κατά 60% σε σχέση µε τον πληθυσµό των ελαφιών το 000. * iii) Αναζητούµε τους ν N ώστε: α ν ν ν ν 360 ν ν +, 60 3 δηλαδή µέχρι το ο έτος ο πληθυσµός των ελαφιών είναι µικρότερος των 600, άρα µέχρι το τέλος του 0 ο πληθυσµός των ελαφιών θα είναι µικρότερος των 600. * 36

37 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG 4859 Θεωρούµε το τριώνυµο f (x) = 3x + κx 4 µε παράµετρο κ R. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του κ το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 0) β) Οι ρίζες του τριωνύµου είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5) γ) Αν x, x οι ρίζες του τριωνύµου και α, β δύο πραγµατικοί ώστε να ισχύει: α< x< x < β, να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου α f (α) β f (β). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο 3x + κx- 4 έχει διακρίνουσα = κ 4 3 ( 4) = κ + 48 > 0, οπότε το τριώνυµο 3x + κx- 4 έχει δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες. β) Αν x, x οι ρίζες του τριωνύµου 3x + κx- 4, από τους τύπους Vieta έχουµε ότι: κ 4 S= x+ x= και Ρ= xx= Αφού Ρ= xx= < 0, οι ρίζες x, x είναι ετερόσηµες. 3 γ) Κατασκευάζουµε τον πίνακα προσήµου του τριωνύµου 3x + κx- 4 : x x + x 3x + κx Αφού οι ρίζες x, x είναι ετερόσηµες και δεδοµένου ότι α< x< x< β, βρίσκουµε α< x< 0< x< β, άρα αβ < 0. Επίσης, α< x και f (x) > 0 για x (, x ), ισχύει f(α) > 0, ενώ x< β και f (x) > 0 για x (x, + ), άρα ισχύει f(β) > 0. Συνεπώς α f(α) β f(β) < 0. 37

38 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_486 Μία µπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει µια τροχιά, µετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t (σε sec) κατά την κίνησή της προσδιορίζεται από τη συνάρτηση h(t) = 5t + 0t+, 05. α) Να βρείτε τις τιµές h(0), h(), h() και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο του προβλήµατος. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο η µπάλα θα φτάσει στο έδαφος. (Μονάδες 8) γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t µπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: h(t) = 5[, (t ) ]. (Μονάδες 5) δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγµή t (σε sec) που το ύψος h της µπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m. (Μονάδες 6) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: Σχόλιο: Η άσκηση αυτή είναι η ίδια µε την GI_A_ALG_4_0. To τριώνυµο 5t + 0t+, 05 έχει διακρίνουσα = 0 4 ( 5),05=, ρίζες 0+ = = 0± 0± t= = = και πίνακα προσήµου: ( 5) 0 0 = = t t + 0t+, 05 + t 0 t 0 Όµως πρέπει 0 t, δηλαδή Ah = 0, h(t) 0 t α) Έχουµε ότι h(0) = ,05 =,05, που σηµαίνει ότι η µπάλα εκτοξεύεται από ύψος,05 m. Επίσης, h() = ,05 = 5+ 0+,05= 6,05, που σηµαίνει ότι η µπάλα sec µετά την εκτόξευση βρίσκεται σε ύψος 6,05 m. Τέλος, h() = ,05= ,05 =,05, που σηµαίνει ότι η µπάλα sec µετά την εκτόξευση έχει επιστρέψει στο ύψος,05 m. β) Το ύψος της µπάλας, όταν αυτή φτάσει στο έδαφος, θα είναι 0, οπότε αναζητούµε t 0, 0 έτσι ώστε: h(t) = 0 5t + 0t+, 05= 0 t= ή t= (απορρίπτεται),

39 άρα η µπάλα φτάνει στο έδαφος µετά από t= sec. 0 γ) Για t 0, 0 έχουµε ότι: 5 [, (t ) ] = 5 [, (t t+ )] = 5 (, t + t ) = 5 (0, t + t) =, 05 5t + 0t= h(t). δ) Αναζητούµε (αν υπάρχει) t 0, 0 έτσι ώστε: h(t ) > 6,05 5 [, (t ) ] > 6,05, (t ) >,,, > (t ) 0 > (t ), που είναι αδύνατη, άρα δεν υπάρχει χρονική στιγµή t που το ύψος h της µπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m. 39

40 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_486 Αν ένας κάτοικος µιας πόλης Α καταναλώσει x κυβικά νερού σε έναν χρόνο, το ποσό που θα πρέπει να πληρώσει δίνεται (σε ευρώ) από τη συνάρτηση: + 0,5x, αν 0 x 30 f (x) = 0, 7x+ 6, αν x> 30 α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος: i) έλειπε από το σπίτι του και δεν είχε καταναλώσει νερό. (Μονάδες ) ii) έχει καταναλώσει 0 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 3) iii) έχει καταναλώσει 50 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 5) β) Σε µια άλλη πόλη Β το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση x κυβικών µέτρων δίνεται από τον τύπο g(x) = + 0, 6x, για x 0. Ένας κάτοικος της πόλης Α και ένας κάτοικος της πόλης Β κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά νερού, για το 03. Αν ο κάτοικος της πόλης Α πλήρωσε µεγαλύτερο ποσό στον λογαριασµό από τον κάτοικο της πόλης Β, να αποδείξετε ότι ο καθένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) i) Αφού δεν είχε καταναλώσει νερό, έχουµε x = 0, οπότε: f (0) = + 0,5 0=, δηλαδή θα πληρώσει ευρώ. ii) Αφού έχει καταναλώσει 0 κυβικά νερό, έχουµε x = 0, οπότε: f (0) = + 0, 5 0= + 5= 7, δηλαδή θα πληρώσει 7 ευρώ. iii) Αφού έχει καταναλώσει 50 κυβικά νερό, έχουµε x = 50, οπότε: f (50) = 0, = 35+ 6= 4, δηλαδή θα πληρώσει 4 ευρώ. β) Αναζητούµε (αν υπάρχει) x [0, 30] έτσι ώστε: f (x) > g(x) + 0, 5x> + 0, 6x 0,5x 0, 6x> 0,x > 0 x< 0, απορρίπτεται, αφού x [0, 30]. Αναζητούµε (αν υπάρχει) x (30, + ) έτσι ώστε: f (x) > g(x) 0, 7x+ 6> + 0, 6x 0, 7x 0, 6x> 6 0,x > 6 x> 60, όπου συναληθεύοντας µε τη x (30, + ) βρίσκουµε x > 60. Συνεπώς καθένας από τους κατοίκους των πόλεων Α και Β κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά µέτρα νερού. 40

41 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 9, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4886 Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις C g των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, µε f (x) = x και C f και g(x) = x+, x R. 3 3 C f C g α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής των C f και C g. (Μονάδες 6) β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτηµα α). (Μονάδες 8) γ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, να βρείτε για ποιες τιµές του x η C f βρίσκεται πάνω από τη C g. (Μονάδες 6) δ) Με τη βοήθεια του ερωτήµατος γ), να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού η παράσταση K= 3 x ( x+ ). (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4., 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Από το σχήµα φαίνεται ότι τα σηµεία τοµής των C f και C g έχουν συντεταγµένες (, ) και (4, ). β) Τα σηµεία τοµής των C f και C g προκύπτουν από την εξίσωση: f (x) = g(x) x = x+ 3 x = x+ (Ι). 3 3 Για x 0 x έχουµε ότι: 4

42 ( Ι) 3(x ) = x+ 3x 6= x+ 3x x= 6+ x= 8 x= 4, η οποία είναι δεκτή, άρα το ένα κοινό σηµείο είναι το (4, f(4)) = (4, ). Για x < 0 x < έχουµε ότι: ( Ι) 3(x ) = x+ 3x x= 6+ 4x= 4 x=, η οποία είναι δεκτή, άρα το άλλο κοινό σηµείο είναι το (, f()) = (, ). γ) Από το σχήµα φαίνεται ότι η C f βρίσκεται πάνω από τη g x (,) ( 4, + ). C όταν δ) Η C f βρίσκεται πάνω από τη C g όταν ισχύει f(x) > g(x), οπότε από το (γ) ερώτηµα έχουµε ότι f (x) > g(x) x > x+ x (, ) ( 4, + ). 3 3 Για να ορίζεται η παράσταση Κ, πρέπει: 3 x x+ 0 3 x x+ x x+ f (x) g(x) ( ) x (,] [4, + )

43 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4903 ίνεται η εξίσωση λ x + ( λ ) x+λ = 0, µε παράµετρο λ { 0} R. α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 8) β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγµατικών αριθµών είναι ίση µε µονάδες. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Για λ 0 το τριώνυµο ( ) ( ) ( ) λ x + λ x+λ έχει διακρίνουσα = λ 4 λ λ = 4λ 4λ+ 4λ + 4λ=, που είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του λ. λ x + λ x+λ έχει ρίζες β) Για λ 0 το τριώνυµο ( ) λ+ + λ ( λ) λ = = = (λ ) ± λ+ ± λ λ λ λ x= = =. λ λ λ+ λ = = λ λ λ γ) Για λ 0 θεωρούµε x =, x = τις ρίζες της εξίσωσης. λ Αφού η απόσταση των ριζών x, x είναι, ισχύει ότι: λ λ λ λ+λ x x = ( ) = + = = λ λ λ λ = λ = λ=±, οι οποίες είναι δεκτές. λ 43

44 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_49 Θεωρούµε τις συναρτήσεις f (x) = x + και g(x) = x+α, µε x R και α R. α) Για α=, να προσδιορίσετε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε για ποιες τιµές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τέµνονται σε δύο σηµεία. (Μονάδες 0) γ) Για α>, να εξετάσετε αν οι τετµηµένες των σηµείων τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Για α = έχουµε ότι g(x) = x+, x R. Τα σηµεία τοµής των C f, C g προκύπτουν από την εξίσωση: f (x) = g(x) x + = x+ x + x = 0 x x= 0 x( x ) = 0 x= 0 ή x=, δηλαδή τα κοινά σηµεία είναι τα (0, g(0)), (, g()) ή (0, ), (, ). β) Τα κοινά σηµεία των C f, C g προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης: f (x) = g(x) x + = x+α x + x α= 0 x x+ α= 0 (Ι). Για να τέµνονται οι C f, C g σε δύο σηµεία, θέλουµε η εξίσωση x x+ α= 0 να έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, οπότε η διακρίνουσα του τριωνύµου x x+ α πρέπει να είναι θετική. Το τριώνυµο x x+ α έχει διακρίνουσα = ( ) 4 ( α ) = 4+ 4α= 4α 3 και πρέπει: 3 > 0 4α 3> 0 4α> 3 α>. 4 γ) Αφού α> και 3 4 >, η δευτεροβάθµια εξίσωση x x+ α= 0 έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έστω τις x, x, οπότε από τους τύπους του Vieta α έχουµε P= xx = = α. Αφού α> 0> α, έχουµε ότι P= xx < 0, δηλαδή οι ρίζες x, x είναι ετερόσηµες. 44

45 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_495 Σε µια αριθµητική πρόοδο είναι α =κ και ( ) 3 α = κ+, κ ακέραιος µε κ >. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθµός περιττός. (Μονάδες 8) β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι α =, τότε: i) Να βρείτε τον αριθµό κ και να αποδείξετε ότι ω = 7. (Μονάδες 8) ii) Να εξετάσετε αν ο αριθµός 07 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 3.3, 5. Βαθµός δυσκολίας: α) Για κ N {0,} έχουµε ότι: ( ) ω=α3 α = κ+ κ =κ + κ+ κ = κ+, δηλαδή η διαφορά ω είναι περιττός αριθµός. * β) i) Η α,, ν ν N είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω, οπότε ο νιοστός όρος * είναι α ν =α + ( ν ) ω, ν N. Συνεπώς α =α + ( ) ω=α +ω, οπότε: κ = + κ+ κ κ 3= 0 (Ι). Το τριώνυµο κ κ 3 έχει διακρίνουσα = ( ) 4 ( 3) = = = 3 ( ) ± 6 ± 4 και ρίζες κ= = =. 4 = = Συνεπώς (Ι) κ = (απορρίπτεται) ή κ = 3 κ = 3. Για κ = 3 έχουµε ότι ω = 3 + = 6 + = 7. ii) Ο νιοστός όρος της αριθµητικής προόδου είναι: * α ν = + ( ν ) 7= + 7ν 7= 7ν 5, ν N. Τότε: 7ν 5= 07 7ν= ν= 0 ν= 46, δηλαδή ο 46ος όρος των προόδου είναι το

46 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4946 α) Να λύσετε την ανίσωση x 3 5. (Μονάδες 7) β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και να ερµηνεύσετε το αποτέλεσµα, µε βάση την γεωµετρική σηµασία της παράστασης x 3. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθµούς x που ικανοποιούν την ανίσωση x 3 5. (Μονάδες 5) δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθµών x που ικανοποιούν την ανίσωση x 3 5. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) x x x 5+ 3 x 8. β) 8 + Η παράσταση x 3 εκφράζει γεωµετρικά την απόσταση του αριθµού x από τον 3 πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Η ανίσωση x 3 5 γεωµετρικά σηµαίνει ότι η απόσταση του x από τον 3 είναι το πολύ 5, άρα οι αριθµοί που ικανοποιούν την προϋπόθεση αυτή είναι από το έως και το 8. 5 γ) Αφού x 3 5 x 8, οι ακέραιοι που είναι λύσεις της ανίσωσης x 3 5 είναι οι:,, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. δ) x x x 5+ 3 x 8 x x R 8 x 8. x 8 8 x 8 Οι ακέραιοι που είναι στο διάστηµα [ 8, 8] είναι 7, οι εξής: 8, 7, 6, 5, 4, 3,,, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7,

47 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_495 α) Θεωρούµε την εξίσωση x + x+ 3=α, µε παράµετρο α R. i) Να βρείτε για ποιες τιµές του α η εξίσωση x + x+ 3=α έχει δύο ρίζες πραγ- µατικές και άνισες. (Μονάδες 6) ii) Να βρείτε την τιµή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 6) β) ίνεται το τριώνυµο f (x) = x + x+ 3, x R. i) Να αποδείξετε ότι f (x), για κάθε x R. (Μονάδες 7) ii) Να λύσετε την ανίσωση f (x). (Μονάδες 6) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι x + x+ 3=α x + x+ 3 α= 0 (Ι). Το τριώνυµο x + x+ 3 α έχει διακρίνουσα = 4 (3 α ) = 4 + 4α= 4α 8. i) Η εξίσωση x + x+ 3 α= 0 έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες αν και µόνο αν > 0 4α 8> 0 4α> 8 α>. ii) Η εξίσωση x + x+ 3 α= 0 έχει µία διπλή ρίζα αν και µόνο αν = 0 4α 8= 0 4α= 8 α=. Για α =, από την (Ι) έχουµε ότι: x + x+ 3 = 0 x + x+ = 0 (x+ ) = 0 x+ = 0 x=. β) i) Έχουµε ότι: f (x) x + x+ 3 x + x+ 3 0 x + x+ 0 (x+ ) 0, η οποία ισχύει για κάθε x R, άρα ισχύει και η αρχική. ii) Η ανίσωση f (x) ορίζεται για f (x) 0 f (x) x R, οπότε έχουµε ότι: ( ) f (x) x x 3 x x x x+ x+ x 3 x. 47

48 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4957 λx λ + x+λ, λ { 0} ίνεται το τριώνυµο ( ) R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο λ R 0. (Μονάδες 8) έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε { } β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S= x+ x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P= xx των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ> 0, το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) δ) Για κάθε λ> 0, αν x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, να αποδείξετε ότι xx. (Μονάδες 6) x+ x Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.4, 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Για λ { 0} R τo τριώνυµο λx ( λ + ) x+λ έχει διακρίνουσα 4 4 ( ) 4 4 ( ) = λ + λ λ=λ + λ + λ =λ λ + = λ Αφού για κάθε λ { 0} ( ) R ισχύει ( ) = λ 0, το τριώνυµο R. λx λ + x+λ έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ { 0} β) Για λ 0 και αφού x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του ( ) λ + λ + λ Vieta έχουµε ότι S= x+ x = = και P= xx = =. λ λ λ γ) Για λ > 0 έχουµε ότι P= > 0, οπότε οι ρίζες είναι οµόσηµες και επιπλέον λ + S= > 0, οπότε έχει ρίζες θετικές. λ δ) Για λ> 0 και αφού οι ρίζες x, x του τριωνύµου είναι θετικές, έχουµε ότι: x+ x ( ) xx xx x+ x xx (x+ x ) ( ) 4x x x + x x + x x + x 4x x ( ) x + x x + x 4x x 0 x x x + x 0 x x 0, η οποία ισχύει για κάθε λ > 0, άρα ισχύει και η αρχική.. 48

49 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_496 λx λ + x+λ, λ { 0} ίνεται το τριώνυµο ( ) R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο λ R 0. (Μονάδες 8) έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε { } β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S= x+ x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P= xx των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ > 0, το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) δ) Αν 0<λ και x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, τότε να συγκρίνετε τους αριθµούς και. (Μονάδες 6) x+ x Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Για λ { 0} R τo τριώνυµο λx ( λ + ) x+λ έχει διακρίνουσα 4 4 ( ) 4 4 ( ) = λ + λ λ=λ + λ + λ =λ λ + = λ Αφού για κάθε λ { 0} ( ) R ισχύει ( ) = λ 0, το τριώνυµο R. λx λ + x+λ, έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ { 0} β) Για λ 0 και αφού x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του ( ) λ + λ + λ Vieta έχουµε ότι S= x+ x = = και P= xx = =. λ λ λ γ) Για λ > 0 έχουµε ότι P= > 0, οπότε οι ρίζες είναι οµόσηµες και επιπλέον λ + S= > 0, οπότε έχει ρίζες θετικές. λ δ) Για 0<λ έχουµε ότι: x+ x λ + > x+ x > > λ + > λ λ + λ> 0 λ ( λ ) > 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.. 49

50 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_4970 ίνεται η εξίσωση: x +λx 36= 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 8) β) Υποθέτουµε τώρα ότι µία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθµός ρ. (i) Να δείξετε ότι ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x λx 36= 0. (Μονάδες 7) (ii) Να δείξετε ότι: ρ 0 και ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 36x +λ x+ = 0. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x +λx 36 έχει διακρίνουσα =λ 4 ( 36) =λ Όµως για κάθε λ R ισχύει = λ + 88> 0, οπότε η εξίσωση x +λx 36= 0 έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. β) (i) Αφού το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x +λx 36= 0, ισχύει ρ +λρ 36= 0 (Ι). Τότε ( ρ ) λ( ρ) 36= ρ +λρ 36= 0, οπότε το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x λx 36= 0. (ii) Αν ρ = 0, από την (Ι) έχουµε 36= 0, που είναι άτοπο, άρα ρ 0. Επίσης, χρησιµοποιώντας την (Ι), έχουµε: λ +λρ+ ρ 36 +λ + = + + = = = 0. ρ ρ ρ ρ ρ ρ 50

51 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 0, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_ α) ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: x 8x 9= 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο µόνο πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη 4 διτετράγωνη εξίσωση: x +β x +γ= 0 () µε παραµέτρους β, γ R. Να δείξετε ότι: Αν γ< 0, τότε: i) β 4γ> 0 (Μονάδες 3) ii) η εξίσωση () έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Θέτουµε x =ω 0 και η εξίσωση ισοδύναµα γίνεται ω 8ω 9= 0 (Ι). Το τριώνυµο ω 8ω 9 έχει διακρίνουσα = ( 8) 4 ( 9) = = = 9 ( 8) ± 00 8± 0 και ρίζες ω= = =. 8 0 = = Συνεπώς ( Ι) ω= (απορρίπτεται) ήω= 9 x = 9 x=± 9 x=± 3, δηλαδή η εξίσωση δέχεται δύο µόνο πραγµατικές ρίζες, τις x = ±3. β) i) Ισχύει β 0 και γ< 0 4γ< 0 4γ> 0, τις οποίες προσθέτουµε κατά µέ- λη και βρίσκουµε β 4γ > 0. ii) Θέτουµε x =ω 0 και η εξίσωση ω +βω+γ= 0 (ΙΙ). Το τριώνυµο ω +βω+γ έχει διακρίνουσα 4 x +β x +γ= 0 ισοδύναµα γίνεται: β γ> = 4 0, οπότε το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έστω τις ω, ω µε ω β < ω, οπότε από τους τύπους του Vieta ισχύει ότι S=ω +ω = = β γ και Ρ=ωω = =γ. Αφού γ < 0, έχουµε ότι και Ρ < 0, δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης (ΙΙ) είναι ετερόσηµες, έστω ω > 0, ω < 0. Τότε: x =ω ή x =ω (αδύνατη) x=± ω, δηλαδή η εξίσωση ρίζες. 4 x +β x +γ= 0 έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές 5

52 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_499 α) ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε περίµετρο Π= 34 cm και διαγώνιο δ= 3 cm. i) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε= 60 cm. (Μονάδες 5) ii) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση ου βαθµού που να έχει ρίζες τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) iii) Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 40 cm και διαγώνιο 8 cm. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) i) Έστω α, β οι διαστάσεις του ορθογώνιου παραλληλογράµµου µε α β> 0. Τότε χρησιµοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρηµα βρίσκουµε ότι δ =α +β, ενώ η περίµετρος του ορθογωνίου είναι Π= α+ β, οπότε ισχύουν οι σχέσεις α+ β= 34 α+β= 7. α +β = 3 α +β = 69 Όµως: ( α+β ) =α + αβ + β ( α+β) ( α + β ) = αβ ( α+β) ( α + β ) και κατά συνέπεια αβ = = = = 60. Συνεπώς το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε= 60 cm. ii) Μια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες α, β έχει τη µορφή x Sx+ P= 0, όπου S=α+β= 7 και Ρ=αβ= 60, άρα είναι η x 7x+ 60= 0. iii) To τριώνυµο x 7x 60 + έχει διακρίνουσα = ( 7) 4 60= = = ( 7) ± 49 7± 7 και ρίζες x= = = = = 5 Συνεπώς οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι α = cm και β = 5 cm. β) Έστω z, w οι διαστάσεις του ορθογώνιου παραλληλογράµµου µε z w> 0. Τότε χρησιµοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρηµα βρίσκουµε ότι δ = z + w, ενώ το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε= zw, zw= 40 zw= 40 οπότε ισχύουν οι σχέσεις. z + w = 8 z + w = 64 δ α β 5

53 Όµως: (z+ w) = z + zw+ w = = = 44, άρα z+ w=. Μια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες z, w έχει τη µορφή x S x+ P = 0, όπου S = z+ w= και Ρ = zw= 40, άρα είναι η x x+ 40= 0. To τριώνυµο x x+ 40 έχει διακρίνουσα = ( ) 4 40= 6, δηλαδή η εξίσωση x x+ 40= 0 είναι αδύνατη, οπότε δεν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 40 cm και διαγώνιο 8 cm. 53

54 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 9, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_575 Για την ενοικίαση ενός συγκεκριµένου τύπου αυτοκινήτου για µία ηµέρα, η εταιρεία Α χρεώνει τους πελάτες της σύµφωνα µε τον τύπο: y= 60+ 0, 0x, όπου x είναι η απόσταση που διανύθηκε σε km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. α) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας A, ο οποίος σε µία ηµέρα ταξίδεψε 400 km ; (Μονάδες 5) β) Πόσα χιλιόµετρα οδήγησε ένας πελάτης ο οποίος, για µία ηµέρα, πλήρωσε 50 ευρώ; (Μονάδες 5) γ) Μία άλλη εταιρεία, η B, χρεώνει τους πελάτες της ανά ηµέρα σύµφωνα µε τον τύπο y= 80+ 0,0x, όπου, όπως προηγουµένως, x είναι η απόσταση που διανύθηκε σε km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια από τις δύο εταιρείες µάς συµφέρει να επιλέξουµε, ανάλογα µε την απόσταση που σκοπεύουµε να διανύσουµε. (Μονάδες 0) δ) Αν f (x) = 60+ 0,0x και g(x) = 80+ 0,0x είναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιµή καθεµιάς από αυτές τις συντεταγµένες σε σχέση µε το πρόβληµα του ερωτήµατος (γ). (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 4., 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: Η συνάρτηση µε τύπο y= 60+ 0, 0x ορίζεται για κάθε x 0. α) Για x= 400 έχουµε ότι y= 60+ 0, 0 400= 40, άρα θα πληρώσει 40 ευρώ. β) Αναζητούµε x 0 έτσι ώστε y= 50, δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι: 60+ 0,0x= 50 0,0x= , 0x= 90 x= 450, άρα ο πελάτης οδήγησε 450 km. γ) Αναζητούµε x 0 έτσι ώστε: 60+ 0, 0 x> 80+ 0,0x 0, 0x 0,0x> ,0x> 0 x> 00. Συνεπώς: αν κάποιος θέλει να διανύσει απόσταση πάνω από 00 km, τον συµφέρει να χρησιµοποιήσει την εταιρεία Β, αν κάποιος θέλει να διανύσει απόσταση µέχρι 00 km, τον συµφέρει να χρησιµοποιήσει την εταιρεία Α και αν κάποιος θέλει να διανύσει απόσταση 00 km, όποια από τις εταιρείες και αν χρησιµοποιήσει, θα πληρώσει τα ίδια χρήµατα. δ) Το σηµείο τοµής των C f, C g προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης: f (x) = g(x) 60+ 0, 0x= 80+ 0,0x 0, 0x 0,0x= ,0x= 0 x= 00, δηλαδή είναι το K(00, 00), αφού f (00) = 60+ 0, 0 00= = 00. Το σηµείο Κ εκφράζει ότι, όταν διανύονται 00 km µε οποιαδήποτε από τις δύο εταιρείες, το ποσό χρέωσης είναι το ίδιο (00 ευρώ). 54

55 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_585 4 ίνονται οι εξισώσεις x 3x+ = 0 () και x 3x + = 0 (). α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). (Μονάδες 0) γ) Να βρείτε τριώνυµο της µορφής x +β x+γ που οι ρίζες του να είναι κάποιες από τις ρίζες της εξίσωσης () και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθµό x, να έχει θετική τιµή. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x 3x+ έχει διακρίνουσα = = ( 3) = = ( 3) ± 3± και ρίζες x= = =. 3 = = Συνεπώς x 3x+ = 0 x = ή x =. 4 β) Θέτουµε x =ω 0 και η εξίσωση x 3x + = 0 ισοδύναµα γίνεται: 4 x 3x + = 0 ω 3ω+ = 0 ω= ήω= x = ή x = x=± ή x=±. γ) Αφού θέλουµε το τριώνυµο x +β x+γ για κάθε αρνητικό αριθµό x να έχει θετική τιµή, αρκεί η µικρότερη από τις ρίζες του (αν αυτές είναι άνισες) να είναι θετική. Συνεπώς επιλέγουµε η µικρή ρίζα να είναι το x= και η µεγάλη το x =. Από τους τύπους του Vieta έχουµε + = β β= ( + ) και γ= =, άρα το τριώνυµο είναι το x ( + ) x+. S= x + x = β και Ρ= xx = γ, οπότε: Αξίζει να αναφέρουµε ότι τριώνυµα (µε µία διπλή ρίζα) που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της άσκησης είναι και τα: x x+, όταν έχουµε διπλή ρίζα το, x x+, όταν έχουµε διπλή ρίζα το. 55

56 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_536 ίνεται το τριώνυµο: x +β x+β, όπου β R. α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύµου. (Μονάδες 4) β) i) Αν β 0, τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο του τριωνύµου; (Μονάδες 7) ii) Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτηµα (i), όταν β= 0 ; (Μονάδες 6) γ) Με τη βοήθεια της απάντηση στο ερώτηµα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα α +αβ+β > 0 για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, β που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x β) i) Αν β 0, τότε +β x+β έχει διακρίνουσα β > 0, άρα 0 ii) Αν β= 0, το τριώνυµο γίνεται <, οπότε ρίζα, τη x = 0, και για κάθε x 0 ισχύει x 0. γ) Αν β 0 και αφού από το (β.i) ερώτηµα βρήκαµε ότι x R, θέτοντας x = α, προκύπτει ότι =β 4 β = 3β. x +β x+β > 0 για κάθε x R. x + 0 x+ 0 = x, το οποίο έχει µία διπλή α +αβ+β > 0. x +β x+β > 0, για κάθε Αν β = 0 και αφού οι α, β δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0, έχουµε ότι α 0, άρα α +αβ+β =α +α 0+ 0 =α > 0. Συνεπώς σε κάθε περίπτωση που τα α, β δεν είναι ταυτόχρονα ίσα µε µηδέν ισχύει α +αβ+β > 0. 56

57 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 0, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_537 4 α) ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: x 9x + 0= 0. Nα δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) 4 β) Να κατασκευάσετε µία διτετράγωνη εξίσωση της µορφής x +β x +γ= 0, η οποία να έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. Να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Θέτουµε x =ω 0 και η εξίσωση 4 x 9x + 0= 0 ισοδύναµα γίνεται ω 9ω+ 0= 0 (Ι). Το τριώνυµο ω 9ω+ 0 έχει διακρίνουσα = ( 9) 4 0= 9+ 0 = = 5 ( 9) ± 9± και ρίζες ω= = =. 9 8 = = 4 Συνεπώς: ( Ι) ω= 5 ήω= 4 x = 5 ή x = 4 x=± 5 ή x=±, δηλαδή η εξίσωση ρίζες τις ± 5, ±. β) Για να έχει η εξίσωση 4 x +β x +γ= 0 δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, αρκεί η εξίσωση 4 x 9x = έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ω +βω+γ= 0 (θέτοντας x =ω 0 ) να έχει ακριβώς µία θετική ρίζα. Μια τέτοια είναι η εξίσωση ω 3ω 4= 0, µε αντίστοιχη διτετράγωνη x 3x 4= Θέτουµε x =ω 0 και η εξίσωση x 3x 4= 0 ισοδύναµα γίνεται: ω 3ω 4= 0 (ΙΙ). Το τριώνυµο ω 3ω 4 έχει διακρίνουσα = ( 3) 4 ( 4) = = = 4 ( 3) ± 5 3± 5 και ρίζες ω= = =. 3 5 = = Συνεπώς: ( ΙΙ) ω= ( απορρί πτεται) ήω= 4 x = 4 x=±. 57

58 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_53 ίνεται το τριώνυµο: x x 8. α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x. (Μονάδες 0) 8889 β) Αν κ=, είναι η τιµή της παράστασης: κ κ 8 µηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθµός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) 4444 γ) Αν ισχύει 4<µ< 4, τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο της τιµής της παράστασης: µ µ 8 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο ρίζες x x 8 έχει διακρίνουσα = = ( ) 4 ( 8) 36, = = 4 ( ) ± 36 ± 6 x= = = και πίνακα προσήµου: 6 4 = = 4 x + x x Συνεπώς: x x 8> 0 x< ή x> 4, x x 8= 0 x= ή x= 4 και x x 8< 0 < x< β) Έχουµε ότι κ= < =, άρα από το (α) ερώτηµα προκύπτει κ κ 8> 0. γ) Έχουµε ότι 4<µ< 4 µ < 4, άρα µ [ 0, 4) (,4), οπότε από το (α) ερώτηµα ισχύει µ µ 8=µ µ 8< 0. 58

59 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6,, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_5879 Ο αγώνας δρόµου ανάµεσα στη χελώνα και τον λαγό γίνεται σύµφωνα µε τους ακόλουθους κανόνες: Η διαδροµή είναι τµήµα ενός ευθύγραµµου δρόµου. Ο λαγός ξεκινάει τη χρονική στιγµή t= 0 από ένα σηµείο Ο. Το τέρµα βρίσκεται σε σηµείο Μ µε OM> 600 µέτρα. Η χελώνα ξεκινάει τη στιγµή t= 0 µε προβάδισµα, δηλαδή από ένα σηµείο Α που βρίσκεται µεταξύ του Ο και του Μ µε OA= 600 µέτρα. Υποθέτουµε ότι, για t 0, η απόσταση του λαγού από το Ο τη χρονική στιγµή t min δίνεται από τον τύπο S (t) = 0t µέτρα, ενώ η απόσταση χελώνας από το Ο Λ τη χρονική στιγµή t min δίνεται από τον τύπο S X (t) = t µέτρα. α) Να βρείτε σε πόση απόσταση από το Ο θα πρέπει να βρίσκεται το σηµείο Μ, ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα. (Μονάδες 0) β) Υποθέτουµε τώρα ότι η απόσταση του τέρµατος Μ από το Ο είναι OM= 50 µέτρα. Να βρείτε: i) Ποια χρονική στιγµή ο λαγός φτάνει τη χελώνα; (Μονάδες 5) ii) Ποιος τους δύο δροµείς προηγείται τη χρονική στιγµή t= min και ποια είναι τότε η µεταξύ τους απόσταση; (Μονάδες 5) iii) Ποια χρονική στιγµή τερµατίζει ο νικητής τον αγώνα; (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3, 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Για να κερδίσει η χελώνα, θα πρέπει να έχει διανύσει µεγαλύτερη απόσταση από τον λαγό στον ίδιο χρόνο. Αναζητούµε t 0 έτσι ώστε: S (t) > S (t) t> 0t 0> 0t 40t 600 t 4t 60< 0 (Ι). Χ Λ Το τριώνυµο ρίζες t 4t 60 έχει διακρίνουσα = ( 4) 4 ( 60) = 56, = = 0 ( 4) ± 56 4± 6 t= = = και πίνακα προσήµου: 4 6 = = 6 59

60 t t 4t Συνεπώς (Ι) t ( 6, 0) και αφού t 0, έχουµε ότι t [0, 0). Τότε: 0 t< t< t t t< S Λ (t) < 000. Αφού ΟΜ > 600 µέτρα, η χελώνα κερδίζει αν η διαδροµή είναι µεγαλύτερη των 600 µέτρων και µικρότερη των 000 µέτρων. β) i) O λαγός φτάνει τη χελώνα για t 0 έτσι ώστε: S Χ (t) = S Λ (t) t= 0t 0= 0t 40t 600 t 4t 60= 0 t= 6 (απορρίπτεται) ή t= 0 t= 0, δηλαδή ο λαγός φτάνει τη χελώνα µετά από 0 min. ii) Για t = έχουµε ότι: S Λ () = 0 = 0 44= 440 και S X () = = = 080. Αφού S Λ () S Χ () = = 360, ο λαγός προηγείται της χελώνας κατά 360 µέτρα. iii) Αφού 50> 000 από το (α) ερώτηµα, τον αγώνα κερδίζει ο λαγός. Αναζητούµε t 0 έτσι ώστε: S Λ (t) = 50 0t = 50 t = 5 t= 5, δηλαδή ο χρόνος του νικητή λαγού είναι 5 min. 60

61 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3, 9, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_588 ίνονται οι συναρτήσεις f (x) = (x ) 4 και g(x) = x + µε x R. α) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. (Μονάδες 9) β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. (Μονάδες 4) γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Αναζητούµε x R έτσι ώστε: f (x) > 0 (x ) 4> 0 x x+ 4> 0 x x 3> 0 (Ι). Το τριώνυµο ρίζες x x 3 έχει διακρίνουσα = ( ) 4 ( 3) = 6, = = 3 ( ) ± 6 ± 4 x= = = και πίνακα προσήµου: 4 = = 3 x + x x Συνεπώς (I) x (, ) (3, + ), δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x όταν x (, ) (3, + ). β) Για x R έχουµε ότι: g(x) > 0 x + > 0 x >, η οποία ισχύει για κάθε x R, άρα ισχύει και η αρχική, αφού x 0, ενώ < 0. Συνεπώς για κάθε x R η C g βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. γ) Τα κοινά σηµεία των C f, C g προκύπτουν για εκείνα τα x R για τα οποία: f (x) = g(x) (x ) 4= x + (x ) 4 x = 0 (x ) x 6= 0 x =ω 0 x x 6= 0 ω ω 6= 0 (ΙΙ). Το τριώνυµο και ρίζες ω ω 6 έχει διακρίνουσα = = 3 ( ) ± 5 ± 5 ω= = =. 5 4 = = = ( ) 4 ( 6) = 5 6

62 Συνεπώς: ( Ι) ω= ( απορρπτεται ί ) ήω= 3 x = 3 x = 3ή x = 3 x= 3+ ή x= 3+ x= 4 ή x=. Εποµένως τα κοινά σηµεία των C f,c g είναι τα (4, 5) και (, 5), αφού f (4) = g(4) = 5 και f ( ) = g( ) = 5. 6

63 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_5884 ίνεται το τριώνυµο f (x) = x 6x+λ 3, µε λ R. α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύµου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 7) γ) Αν 3 < λ <, τότε: i) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. (Μονάδες 6) ii) Αν x, x µε x< x είναι οι δύο ρίζες του τριωνύµου και κ, µ είναι δύο αριθµοί µε κ < 0 και x<µ< x, να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου κ f ( κ) µ f ( µ ). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x 6x+λ 3 έχει διακρίνουσα ( 6) 4( 3) ( ) = λ = λ+ = λ= λ. β) Το τριώνυµο x 6x+λ 3 έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες αν και µόνο αν > 0 4 λ > 0 λ> 0 >λ λ<. ( ) γ) i) Αφού 3 < λ <, έχουµε ότι > 0, άρα το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έστω x, x, όπου από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι: 6 λ 3 S= x+ x = = 6 και P= xx = =λ 3. Αφού 3 < λ < 3 3 < λ 3 < 3 0 < λ 3 < 9, άρα λ 3 > 0 Ρ > 0, δηλαδή οι ρίζες x, x είναι οµόσηµες και, αφού S> 0, οι ρίζες θα είναι θετικές. ii) Για το τριώνυµο x 6x+λ 3 κατασκευάζουµε πίνακα προσήµου µε ρίζες x, x ώστε x< x και έχουµε ότι: x x x + f (x) = x 6x+λ Έχουµε αποδείξει ότι οι ρίζες x, x είναι θετικές, οπότε, αφού επιπλέον ισχύει x<µ< x, έχουµε ότι µ > 0. Επίσης, αφού κ < 0, έχουµε κ< x, οπότε από τον πίνακα προσήµου βρίσκουµε f(κ) > 0. Τέλος, αφού x<µ< x, έχουµε ότι f(µ) < 0. Συνεπώς κ f ( κ) µ f ( µ ) > 0. 63

64 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7,,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_5885 α) i) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύµου: ii) Να λύσετε την εξίσωση: x + 9x+ 8. (Μονάδες 4) x+ 3 + x + 9x+ 8 = 0. (Μονάδες 7) β) i) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου x + 9x+ 8, για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x. (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει: x + 9x+ 8 = x 9x 8. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3, 4., 4. Βαθµός δυσκολίας: α) i) To τριώνυµο x + 9x+ 8 έχει διακρίνουσα = 9 4 8= = = 3 9± 9 9± 3 και ρίζες x= = =. 9 3 = = 6 ii) Αφού οι ρίζες του τριωνύµου x + 9x+ 8 είναι οι 6, 3, έχουµε ότι: x + 9x+ 8 = (x+ 3)(x+ 6). Συνεπώς: x+ 3 + x + 9x+ 8 = 0 x+ 3 + (x+ 3)(x+ 6) = 0 x+ 3 + x+ 3 x+ 6 = 0 x+ 3 ( + x+ 6 ) = 0 x+ 3 = 0 ή + x+ 6 = 0 x+ 3= 0 ή x+ 6 = ( αδύ νατη) x= 3. β) i) Το τριώνυµο x + 9x+ 8 έχει ρίζες 6, 3 και πίνακα προσήµου: 6 3 x + x + 9x Συνεπώς: x + 9x+ 8> 0 x (, 6) ( 3, + ), x + 9x+ 8= 0 x= 6 ή x= 3 και x + 9x+ 8< 0 x ( 6, 3). ii) Έχουµε ότι: x + 9x+ 8 = x 9x 8 x + 9x+ 8 = (x + 9x+ 8) x 6, 3, αφού από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε ότι x = x x 0. [ ] 64

65 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων,, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_643 Στην Α τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύµβουλος των µαθηµατικών πρόκειται να πραγµατοποιήσει µια δραστηριότητα. Επειδή όµως δε γνωρίζει το πλήθος των µαθητών της τάξης, συµβουλεύεται τον Γυµναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους µαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά µε ένα πρόβληµα: «Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους µαθητές σε x σειρές µε x µαθητές σε κάθε σειρά. Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x+ 3 σειρές µε x 3 µαθητές σε κάθε σειρά, θα µου λείπει ένας µαθητής». α) Να βρείτε την τιµή του x. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι η Α τάξη έχει 90 µαθητές. (Μονάδες 6) γ) Η σύµβουλος σκοπεύει να µοιράσει τους παραπάνω 90 µαθητές σε ν οµάδες εργασίας, ώστε στην πρώτη οµάδα να πάνε µαθητές και σε κάθε επόµενη οµάδα να πηγαίνουν παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιµή του ν, δηλαδή πόσες οµάδες εργασίας θα δηµιουργηθούν. (Μονάδες 3) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 5. Βαθµός δυσκολίας: Σχόλιο: Τα συγκεκριµένα δεδοµένα της άσκησης δεν οδηγούν στην απάντηση του (β) ερωτήµατος. Θα κάνουµε την εξής αλλαγή στην τελευταία πρόταση, πριν από τα ερωτήµατα: «Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x+ 3 σειρές µε x 3 µαθητές σε κάθε σειρά, θα µου ΠΕΡΙΣΣΕΥΕΙ ένας µαθητής». α) Πρέπει x N, x > 0, x > 0, x + 3 > 0 και x 3 > 0, οπότε x N {0,,, 3}. Αφού οι µαθητές µπορούν να τοποθετηθούν όλοι σε x σειρές µε x µαθητές σε κάθε σειρά, το πλήθος των µαθητών είναι x(x ) = x x. Επίσης, οι µαθητές µπορούν να τοποθετηθούν όλοι σε x + 3 σειρές µε x 3 µαθητές σε κάθε σειρά και θα περισσεύει ένας, οπότε το πλήθος των µαθητών είναι (x 3)(x+ 3) = x 9 = x 0. Εποµένως αναζητούµε x N {0,,, 3} έτσι ώστε: x x= x 9 x x x = 9 x= 0 x= 0, η οποία είναι δεκτή. β) Για x = 0 το πλήθος των µαθητών είναι 0 0= 00 0= 90, δηλαδή η Α τάξη έχει 90 µαθητές. γ) Το πλήθος των µαθητών στις οµάδες εργασίας αποτελεί όρους αριθµητικής προόδου α, ν N {0,,, 3}, αφού σε κάθε επόµενη οµάδα πηγαίνουν ν παραπάνω κάθε φορά, διαφορά ω =, πρώτο όρο α = και άθροισµα των ν πρώτων όρων 90. Τότε αναζητούµε x N {0,,, 3} έτσι ώστε: α + ( ν ) ω + ( ν ) (+ν ) Sν = ν 90= ν 90= ν 90 = ( ν+ ) ν 90=ν +ν ν +ν 90= 0 (Ι). Το τριώνυµο = 4 90 = 36 ν +ν 90 έχει διακρίνουσα ( ) 65

66 + 9 8 = = 9 ± 36 ± 9 και ρίζες ν= = =. 9 0 = = 0 Συνεπώς (Ι) ν = 0 (απορρίπτεται) ή ν = 9 ν = 9, δηλαδή θα δηµιουργηθούν 9 οµάδες εργασίας. 66

67 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_644 Μια ηµέρα, στο τµήµα Α ενός Λυκείου, το 4 των µαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωµετρία, ενώ το των µαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά 3 µαθήµατα. Η καθηγήτρια των µαθηµατικών επιλέγει τυχαία έναν µαθητή για να τον εξετάσει. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα: Α: ο µαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα Γ: ο µαθητής να έχει διαβάσει Γεωµετρία α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδοµένα του προβλήµατος. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής: i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο µαθήµατα ii) να έχει διαβάσει ένα µόνο από τα δύο µαθήµατα. (Μονάδες 8) γ) Αν γνωρίζουµε επιπλέον ότι οι µισοί από τους µαθητές έχουν διαβάσει Γεωµετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής: i) να έχει διαβάσει Γεωµετρία ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,. Βαθµός δυσκολίας: Έχουµε ότι: ( Α Γ) = «ο µαθητής δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωµετρία», Α Γ = «ο µαθητής έχει διαβάσει Άλγεβρα και Γεωµετρία», µε P (( Α Γ ) ) = και P( Α Γ ) = 4 3 ( Α Γ) Α Γ β) i) Τότε: Α Γ = «ο µαθητής έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο µαθήµατα» µε 4 3 Ρ( Α Γ ) = Ρ( ( Α Γ ) ) = = = ii) Επίσης: ( Α Γ) ( Γ Α ) = «ο µαθητής έχει διαβάσει ένα µόνο από τα δύο µαθήµατα» και, αφού τα Α Γ και Γ Α είναι ξένα, έχουµε: 67

68 γ) i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =Ρ( Α) Ρ( Α Γ ) +Ρ( Γ) Ρ( Α Γ) Ρ Α Γ Γ Α =Ρ Α Γ +Ρ Γ Α =Ρ( Α Γ) Ρ( Α Γ ) = = =. 4 3 Ρ Γ =. ii) Έχουµε ότι: Ρ( Α Γ ) =Ρ( Α ) +Ρ Γ Ρ Α Γ Ρ( Α ) =Ρ( Α Γ ) +Ρ Α Γ Ρ( Γ ), ( ) ( ) ( ) οπότε: Ρ( Α ) = + = + = =

69 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_646 Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : R R και της συνάρτησης g(x) = x+. Με τη βοήθεια του σχήµατος, να βρείτε: α) Τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει f (x) = x+. (Μονάδες 6) β) Τις τιµές f( ), f(0), f(). (Μονάδες 6) γ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g. (Μονάδες 6) δ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η παράσταση A= f( x) + x έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: 69

70 α) Καταρχήν, έχουµε ότι A g =R. Οι τιµές του x για τις οποίες ισχύει f (x) = x+ f (x) = g(x) προκύπτουν από τα σηµεία τοµής των C f, C g. Τα σηµεία τοµής των C f, C g είναι τα (, 0), (0, ) και (, 4), οπότε: f (x) = x+ x= ή x= 0 ή x=. β) Τα σηµεία (, 4), (0, ) και (, 0) είναι σηµεία της C f, οπότε: f( ) = 4, f( 0) =, f( ) = 0. γ) Από το σχήµα βλέπουµε ότι η C f βρίσκεται πάνω από τη f (x) > g(x) x (, 0) (, + ). C g αν και µόνο αν δ) Για να έχει η παράσταση Α νόηµα πραγµατικού αριθµού, πρέπει: f x + x 0 f x x+ f x g(x) x, 0, +, αφού ( ) ( ) ( ) [ ] [ ) ψάχνουµε τις τετµηµένες των σηµείων τοµής των C f, C g και τις τετµηµένες των σηµείων στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τη C g. 70

71 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_63 ίνεται η εξίσωση: x 5λx = 0, µε παράµετρο λ R. α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ R, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: i) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ R, για τις οποίες ισχύει: 4 (x+ x ) 8 7(xx ) = 0. (Μονάδες 9) ii) Για λ =, να βρείτε την τιµή της παράστασης: A= x x 3x + 4 3x + x x. (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) To τριώνυµο x 5λx έχει διακρίνουσα = ( 5 λ) 4 ( ) = 5λ + 4. Αφού για κάθε λ R ισχύει 5λ + 4> 0, έχουµε ότι > 0, άρα η εξίσωση x 5λx = 0 έχει δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες. β) i) Αφού x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 5λx = 0, από τους τύπους του 5λ Vieta έχουµε ότι S= x+ x = = 5λ και Ρ= xx = =. Συνεπώς: 4 ( ) ( ) 4 (x + x ) 8 7(x x ) = 0 5λ 8 7 = 0 5λ 8 7 = 0 5λ 5= 0 5λ = 5 λ = λ=±. ii) Για λ= είναι x+ x = 5 και xx =. Εποµένως: A= x x 3x + 4 3x + xx = xx (x+ x ) 3(x+ x ) + 4 = = = 6. 7

72 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_64 Οι πλευρές x, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x 4 λ+ x+ 6= 0, µε λ (0, 4). λ α) Να βρείτε: i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6) ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι Π 6, για κάθε λ (0,4). (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιµή του λ η περίµετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση µε 6; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: To τριώνυµο x 4 λ+ x+ 6 έχει διακρίνουσα λ = 4 λ+ 4 6= 6 λ+ 64= 6 λ+ 4 λ λ λ = 6 λ + λ = λ + + = λ + λ λ λ λ = 6 λ λ + = 6 λ λ λ λ. Για κάθε λ (0, 4) έχουµε ότι λ 0, άρα 0, οπότε η εξίσωση λ x 4 λ+ x+ 6= 0 έχει πραγµατικές ρίζες. λ Επιπλέον, αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 4 λ+ x+ 6= 0, από τους λ τύπους του Vieta θα έχουµε ότι: 4 λ + λ S= x+ x= = 4 λ + λ και 6 P= xx= = 6. Επίσης, τα x, x εκφράζουν µήκη, άρα ισχύει ότι x, x> 0. α) i) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι: Π= x+ x = (x+ x ) = S= 4 λ + = 8 λ +, όπου λ (0, 4). λ λ ii) Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι: Ε= x x =Ρ= 6, για λ (0, 4). β) Για λ (0, 4) έχουµε ότι: 7

73 Π 6 8 λ + 6 λ + λ λ + λ λ λ + λ λ λ λ λ +- λ 0 ( λ ) 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. γ) Αναζητούµε (αν υπάρχει) λ (0, 4) έτσι ώστε: Π= 6 8 λ + = 6 λ + = λ λ + λ = λ λ += λ λ λ λ λ +- λ= 0 ( λ ) = 0 λ = 0 λ=, η οποία είναι δεκτή. Τότε για λ= η εξίσωση γίνεται: x 4 + x+ 6= 0 x - 8x+ 6= 0 (x 4) = 0 x 4= 0 x= 4. Συνεπώς για λ = η εξίσωση x 4 λ+ x+ 6= 0 έχει µία διπλή ρίζα, δηλαδή x= x = 4, οπότε οι πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες, δηλαδή το ορθογώ- λ νιο είναι τετράγωνο. 73

74 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_66 Οι πλευρές x, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x x+λ( λ ) = 0, µε λ (0, ). α) Να βρείτε: i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου. (Μονάδες 6) ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι Ε, για κάθε λ (0, ). (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιµή του λ το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε ; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: Το τριώνυµο x x+ λ( λ) έχει διακρίνουσα = ( ) 4λ( λ) = 4 4(λ λ ) = 4( λ+ λ ) = 4(λ-). Αφού 4(λ-) 0 για κάθε λ (0, ), έχουµε ότι 0, οπότε η εξίσωση x x+ λ( λ) = 0 έχει πραγµατικές ρίζες. Επιπλέον, αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x+ λ( λ) = 0, από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι: λ( λ) S= x+ x= = και P= xx= = λ( λ) = λ + λ. Επίσης, τα x, x εκφράζουν µήκη, άρα ισχύει ότι x, x> 0. Το ελλιπές τριώνυµο λ + λ έχει διακρίνουσα = 4( ) 0= 4, + 0 = = 0 ± 4 ± ρίζες λ = = = και πίνακα προσήµου: ( ) 4 = = λ 0 + λ + λ + Συνεπώς Ρ > 0 λ + λ> 0 0 < λ <, α) i) Για λ (0, ) έχουµε Π= x+ x= (x+ x ) = S= = 4. ii) Για λ (0, ) έχουµε E= x x = λ λ. β) Για λ (0, ) έχουµε Ε λ λ λ λ+ 0 (λ- ) 0, η οποία ισχύει για κάθε λ (0, ), άρα ισχύει και η αρχική. γ) Για λ (0, ) έχουµε: Ε = λ λ = λ λ+ = 0 (λ- ) = 0 λ- = 0 λ=. 74

75 Αν λ =, η εξίσωση γίνεται: x x+ = 0 (x ) = 0 x = 0 x=, δηλαδή η εξίσωση έχει µία διπλή ρίζα (το x = ), οπότε x= x=, εποµένως το ορθογώνιο είναι τετράγωνο πλευράς. 75

76 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_67 α) Να λύσετε την ανίσωση: x 5x 6< 0. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού K = και να αιτιολογήσετε τον συλλογισµό σας. (Μονάδες 7) γ) Αν α ( 6, 6), να βρείτε το πρόσηµο της παράστασης Λ = α 5α 6. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο ρίζες x 5x 6 έχει διακρίνουσα = ( 5) 4 ( 6) = 49, 5+ 7 = 6 ( 5) ± 49 x= = και πίνακα προσήµου: 5 7 = 6 x + x 5x Συνεπώς x 5x 6< 0 < x < β) Έχουµε ότι (,6) και x 5x 6< 0 για κάθε x (, 6), άρα K= + 5 6< γ) Έχουµε ότι α ( 6, 6) 6 < α < 6 α < 6, άρα 0 α < 6. Επίσης, Λ = α 5 α 6 = α 5 α 6< 0, αφού α [0,6) (,6). 76

77 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6,, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_68 ^ o Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A= 90 µε κάθετες πλευρές που έχουν µήκη x, y τέτοια, ώστε: x + y =0. α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται από τον τύπο: E(x) = ( x + 0x), x (0, 0). (Μονάδες 9) 5 β) Να αποδείξετε ότι E (x) για κάθε x (0, 0). (Μονάδες 8) γ) Για ποια τιµή του x (0, 0) το εµβαδόν E(x) γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε 5 ; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,., 3.3, 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι x+ y= 0 y= 0 x και Γ x> 0 x> 0 x> 0 0 < x < 0. y> 0 0 x> 0 x< 0 xy Τότε το εµβαδόν του ορθογώνιου τριγώνου είναι E=, y x(0 x) 0x x άρα E(x) = = = ( x + 0x), για x (0, 0). β) Για x (0, 0) έχουµε: 5 5 A x E(x) ( x + 0x) x + 0x 5 x 0x+ 5 0 (x 5) 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. γ) Για x (0, 0) έχουµε: 5 5 E(x) = ( x + 0x) = x + 0x= 5 x 0x+ 5= 0 (x 5) = 0 x 5= 0 x= 5. Για x= 5 έχουµε y= 0 5= 5, άρα είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο. B 77

78 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 9, 0, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_69 Σε µια πόλη της Ευρώπης µια εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα «RED» χρεώνει ευρώ µε την είσοδο στο ΤΑΧΙ και 0,6 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης. Μια άλλη εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα «YELLOW» χρεώνει ευρώ µε την είσοδο στο ΤΑXΙ και 0,4 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης. Οι παραπάνω τιµές ισχύουν για αποστάσεις µικρότερες από 5 χιλιόµετρα. α) i) Αν f(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «RED» για µια διαδροµή x χιλιοµέτρων, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. x (km) 0 8 f(x) (ευρώ) (Μονάδες 3) ii) Αν g(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «YELLOW» για µια διαδροµή x χιλιοµέτρων, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. x (km) g(x) (ευρώ) 3, 4,8 (Μονάδες 3) β) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f, g και τους τύπους τους f(x), g(x). (Μονάδες 8) γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και να βρείτε για ποιες αποστάσεις η επιλογή της εταιρείας «RED» είναι πιο οικονοµική, αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 8) δ) Αν δυο πελάτες Α και Β µετακινηθούν µε την εταιρεία «RED» και ο πελάτης Α διανύσει 3 χιλιόµετρα παραπάνω από τον Β, να βρείτε πόσο παραπάνω θα πληρώσει ο Α σε σχέση µε τον Β. (Μονάδες 3) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 4., 6., 6., 6.3 Βαθµός δυσκολίας: α) i) Για διαδροµή x = 0 km, το ποσό χρέωσης είναι f(0) = + 0,6 0 = ευρώ. Για διαδροµή x = km, το ποσό χρέωσης είναι f() = + 0,6 =, ευρώ. Για διαδροµή x = 8 km, το ποσό χρέωσης είναι f(8) = + 0,6 8 = 5,8 ευρώ. Συνεπώς: x (km) 0 8 f(x) (ευρώ), 5,8 ii) Για χρέωση ευρώ, έχουµε: g(x) = + 0,4x = 0,4x = 0 x = 0. Για χρέωση 3, ευρώ, έχουµε: g(x) = 3, + 0,4x = 3, 0,4x =, x = 3. Για χρέωση 4,8 ευρώ, έχουµε: g(x) = 4,8 + 0,4x = 4,8 0,4x =,8 x = 7 km. Συνεπώς: x (km) g(x) (ευρώ) 3, 4,8 78

79 β) Αφού οι τιµές ισχύουν για αποστάσεις µικρότερες των 5 χιλιοµέτρων, έχουµε ότι Af= A g= [0, 5). Επιπλέον, έχουµε ότι f (x) = + 0, 6x και g(x) = + 0, 4x, για x [0,5). γ) Οι γραφικές παραστάσεις των f, g είναι ευθύγραµµα τµήµατα, χωρίς το ένα άκρο. Αφού f (5) = + 0,6 5= + 3= 4, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το Ε(5, 4), ενώ από το πινακάκι του (α.i) ερωτήµατος διέρχεται και από το Α(0,). Εποµένως µπορούµε να σχεδιάσουµε την ηµιευθεία ΑΕ και να κρατήσουµε τα x [0, 5). Αφού g(5) = + 0, 4 5= + = 4, η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το Ε(5, 4), ενώ από το πινακάκι του (α.i) ερωτήµατος διέρχεται και από το Γ(0, ). Εποµένως µπορούµε να σχεδιάσουµε την ηµιευθεία ΓΕ και να κρατήσουµε τα x [0, 5). Οι ζητούµενες γραφικές φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα: y=f(x) Β y=g(x) Ε Γ A Από το σχήµα έχουµε ότι η εταιρεία «RED» είναι πιο οικονοµική όταν η βρίσκεται κάτω από τη C g, δηλαδή για x [0, 5). Πράγµατι, για x [0, 5) έχουµε: f(x) < g(x) + 0,6x < + 0,4x 0,6x 0,4x < 0,x < x < 5. δ) Αν ο πελάτης Β διανύσει x km, ο πελάτης Α θα διανύσει (x + 3) km, άρα η διαφορά στη χρέωση είναι: f(x + 3) f(x) = + 0,6(x + 3) ( + 0,6x) = + 0,6x +,8 0,6x =,8. Συνεπώς ο Α θα πληρώσει,8 ευρώ παραπάνω σε σχέση µε τον Β. C f 79

80 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_63 Στο επόµενο σχήµα το ΑΒΓ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ = 3 και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σηµείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων τετραγώνων του σχήµατος. Η 3 Γ Κ x Μ Ζ A x Θ α) Να αποδείξετε ότι E= x 6x+ 9 µε x (0, 3). (Μονάδες 9) 9 β) Να αποδείξετε ότι E για κάθε x (0, 3). (Μονάδες 8) γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων τετραγώνων του σχήµατος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο µε 9 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Mονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι: ΑΘ = ΚΜ = ΑΚ = ΘΜ = ΒΖ = Η = x και ΘΒ = ΜΖ = ΗΓ = Κ = ΗΜ = ΓΖ = 3 x. x 0 Πρέπει > x> 0 0 < x < 3. 3 x> 0 x< 3 Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ίσο µε (ΑΚΜΘ) + (ΜΗΓΖ) = ΑΚ + ΗΓ, οπότε για x (0, 3) έχουµε: E= x + (3 x) = x + 9 6x+ x = x 6x+ 9. β) Για x (0, 3) έχουµε: 9 9 E x 6x+ 9 4x x+ 8 9 (x 3) 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. γ) Αναζητούµε x (0, 3) έτσι ώστε: 80 B 4x x+ 9 0

81 9 9 E= x 6x+ 9= 4x x+ 8= 9 3 4x x+ 9= 0 (x 3) = 0 x 3= 0 x=, δηλαδή όταν το Θ βρίσκεται στο µέσο της πλευράς ΑΒ και ισχύει: 3 ΑΘ = ΚΜ = ΑΚ = ΘΜ = ΒΖ = Η = x=. Από το πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΘ, έχουµε ότι: AM = AΘ + ΘΜ = + = =. 8

82 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_6678 ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε µήκη πλευρών α, β και εµβαδόν Ε, τέτοια ώστε οι αριθµοί α, Ε, β, µε τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. α) Να αποδείξετε ότι Ε =. (Μονάδες 0) β) Αν α + β = 0, τότε: i) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τα µήκη α, β. (Μονάδες 5) ii) Να βρείτε τα µήκη α, β. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 5.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού α, β µήκη και Ε εµβαδόν, έχουµε ότι α, β, Ε > 0 (Ι). Για το εµβαδόν του ορθογωνίου έχουµε ότι Ε = αβ (ΙΙ). Αφού οι αριθµοί α, Ε, β είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, ισχύει Ε = αβ (ΙΙΙ). Από τις (ΙΙ), (ΙΙΙ) βρίσκουµε ότι Ε = Ε Ε Ε = 0 Ε(Ε ) = 0 Ε = 0 [απορρίπτεται, λόγω της (Ι)] ή Ε = Ε =. β) i) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι Ε = αβ =. Γνωρίζουµε ότι µια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ρίζες x, x είναι η x Sx+ P= 0, όπου S= x+ x και P= xx. Συνεπώς για x= α, x= β έχουµε: S= x+ x= α + β= 0 και P= xx= αβ= Ε = και η αντίστοιχη δευτεροβάθµια εξίσωση είναι η x 0x+ = 0. ii) Τα µήκη α, β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 0x+ = 0, η οποία έχει διακρίνουσα = ( 0) 4 = 96 και ρίζες ( 0) ± 96 0± 6 6 0± 4 6 x= = = = 5± 6, δηλαδή (, ) ( 5 6, 5 6) α β = + ή (, ) ( 5 6, 5 6) α β = +. 8

83 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_6859 ίνονται οι αριθµοί, x, 8 µε x > 0. α) Να βρείτε την τιµή του x ώστε οι αριθµοί, x, 8, µε τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω αυτής της προόδου; (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τώρα την τιµή του x ώστε οι αριθµοί, x, 8, µε τη σειρά που δίνονται, να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος λ αυτής της προόδου; (Μονάδες 5) γ) Αν ( α ν ) είναι η αριθµητική πρόοδος, 5, 8,, και ( β ν ) είναι η γεωµετρική πρόοδος, 4, 8, 6,, τότε: i) Να βρείτε το άθροισµα S ν των ν πρώτων όρων της ( α ν ). (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε την τιµή του ν, ώστε για το άθροισµα S ν των ν πρώτων όρων της ( ) ν Sν+ 4 =β. (Μονάδες 8) α να ισχύει: ( ) 7 Ενότητες σχολικού βιβλίου: 5., 5.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Για x > 0 οι αριθµοί, x, 8 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και µόνο αν x= = = 5. Η διαφορά της προόδου είναι ω = 8 5 = 5 = 3. β) Για x > 0 οι αριθµοί, x, 8 (αφού x > 0) είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου αν και µόνο αν x = 8 x = 6 x= 4, αφού x > Επίσης, ο λόγος της προόδου είναι λ = = =. 4 * γ) i) Η α ν, ν N, είναι αριθµητική πρόοδος µε ω = 3 και α =, οπότε: α + (ν )ω + (ν ) 3 (3ν +)ν 3ν + ν Sν ν = ν = =, ν = N. * ii) Η β ν, ν N, είναι γεωµετρική πρόοδος µε λ = και β =, οπότε: ν ν- ν- ν * β = β λ = =, ν N. Αναζητούµε 3ν + ν + 4 = * ν N έτσι ώστε ( ν ) 7 7 S + 4 = β, οπότε: 3ν + ν+ 48 = 8 3ν + ν- 80 = 0 (Ι). Το τριώνυµο 3ν + ν- 80 έχει διακρίνουσα = -4 3 ( - 80) = = = 5 ± 96 ± και ρίζες ν = = = = = Συνεπώς (Ι) ν= 5 ή ν = - (απορρίπτεται) ν = *

84 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8,, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_763 ίνεται το τριώνυµο: x 6x+ λ 7, όπου λ R. α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 7) β) i) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να βρείτε την τιµή του αθροίσµατος S= x + x των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόµενο P= xx των ριζών. (Μονάδες ) ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ µε 7 < λ < 6, το τριώνυµο έχει δύο άνισες οµόση- µες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσηµο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) γ) i) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση x 6 x + λ= 7 () έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 8) ii) Έχει η εξίσωση () για λ= 3 0 τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.4, 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο x 6x+ λ 7 έχει διακρίνουσα = ( 6) 4 (λ 7) = 36 4λ+ 8= 64 4λ. Το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες αν και µόνο αν λ 0 4λ 64 λ 6. β) i) Αφού x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου x 6x+ λ 7, έχουµε ότι: 6 λ 7 S= x+ x= = 6 και P= xx= = λ 7. ii) Έχουµε ότι 7 < λ < 6, οπότε > 0 και Ρ > 0, άρα το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες ( > 0), που είναι και οµόσηµες (Ρ > 0). Επίσης, αφού S > 0, προκύπτει ότι οι ρίζες είναι θετικές. γ) i) Έχουµε ότι x 6 x + λ = 7 x 6 x + λ- 7= 0. Η εξίσωση x 6 x + λ- 7= 0 έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγµατικές ρίζες, όταν η εξίσωση ω 6ω+ λ-7= 0 έχει δύο άνισες πραγµατικές και θετικές ρίζες, οπότε αρκεί να ισχύει: > λ> 0 λ < 6 S > 0 6> 0 6 > 0 7 < λ < 6. P > 0 λ 7> 0 λ > 7 ii) Για λ= 3 0 η εξίσωση έχει τη µορφή x 6x = 0. Όµως < < ( ) 7 < 3 0 < 6 49< 9 0< 56, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. Συνεπώς για λ= 3 0, χρησιµοποιώντας το (γ.i) ερώτηµα, η εξίσωση x 6 x + λ- 7= 0 έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγµατικές ρίζες. 84

85 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 9, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_750 Οι ανθρωπολόγοι, για να προσεγγίσουν το ύψος ενός ενήλικα, χρησιµοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις που παριστάνουν τη σχέση µεταξύ του µήκους y (σε cm) οστού του µηρού και του ύψους x (σε cm) του ενήλικα ανάλογα µε το φύλο του: Γυναίκα: y = 0,43x 6 Άνδρας: y = 0,45x 3 α) Ένας ανθρωπολόγος ανακαλύπτει ένα µηριαίο οστό µήκους 38,5 cm που ανήκει σε γυναίκα. Να υπολογίσετε το ύψος της γυναίκας. (Μονάδες 8) β) Ο ανθρωπολόγος βρίσκει µεµονωµένα οστά χεριού, τα οποία εκτιµά ότι ανήκουν σε άντρα ύψους περίπου 64 cm. Λίγα µέτρα πιο κάτω, ανακαλύπτει ένα µηριαίο οστό µήκους 4,8 cm που ανήκει σε άντρα. Είναι πιθανόν το µηριαίο οστό και τα οστά χεριού να προέρχονται από το ίδιο άτοµο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν µπορεί ένας άνδρας και µια γυναίκα ίδιου ύψους να έχουν µηριαίο οστό ίδιου µήκους. (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 6., 6.3 Βαθµός δυσκολίας: Έστω f (x) = 0,43x 6 µε x> 0 x> x A f=, + 0, 43x 6> 0 x> Έστω g(x) = 0, 45x 3 µε x> 0 x> x A g=, + 0, 45x 3> 0 x> α) Αναζητούµε x A f=, + 43 έτσι ώστε: f (x) = 38,5 0,43x 6= 38,5 0,43x= 64,5 x 50 =. Συνεπώς η συγκεκριµένη γυναίκα είχε ύψος 50 cm. 64,5 x= 0,43 85

86 β) Για τον άνδρα ύψους 64 cm έχουµε: g(64) = 0, = 73,8 3= 4,8, οπότε είναι πολύ πιθανό το µηριαίο οστό µήκους 4,8 cm να ανήκει στον άνδρα µε ύψος περίπου 64 cm. 300 γ) Αναζητούµε x Af A g=, + 45 έτσι ώστε: f (x) = g(x) 0, 43x 6= 0, 45x 3 0, 43x 0, 45x= , 0x= 5 x= x= 50. 0,0 Συνεπώς, όταν ένας άνδρας και µια γυναίκα έχουν ύψος 50 cm, θα έχουν µηριαίο οστό ίδιου µήκους. 86

87 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 0, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7503 Οι αριθµοί: x + 5, x + x, x + 4, µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του αριθµού x. (Μονάδες 6) β) Αν x = 3 και ο αριθµός x + 5 είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε: i) Τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 5) ii) Τον πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 6) iii) Το άθροισµα S = α 5 + α 6 + α α 4. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 5. Βαθµός δυσκολίας: α) Οι αριθµοί x + 5, x + x, x+ 4 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και µόνο αν ισχύει: (x + x) = x + 5+ x+ 4 x + x x x= 5+ 4 x = 9 x=± 9 x = ±3. β) i) Αν x = 3, οι τρεις διαδοχικοί όροι είναι οι 3 + 5= 4,3 + 3=, 3+ 4= 0, οπότε η διαφορά της προόδου είναι ω = 4 = 0 =. * ii) Επίσης, αφού x = 3 και αν α, ν N, είναι η αριθµητική πρόοδος µε ω =, ν ν * 4 έχουµε α = α + (ν-)ω, ν N, και α = x + 5 = = 4. Αφού α + 3ω = α 4, έχουµε ότι: α + 3 ( - ) = 4 α- 6 = 4 α= 6 +4 α= 0. iii) To άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι: α + (ν )ω 0 + (ν ) ( ) (0 (ν )) S ν = ν = ν = ν * = (0 ν+ )ν = ν + ν, ν N. Συνεπώς: S = α 5 + α α 4 = S4- S 4 = ( 4 + 4) = ( ) = =

88 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7504 Σε µια αριθµητική πρόοδο (α ν ), ο 3ος όρος είναι α 3 = 8 και ο 8ος όρος είναι α 8 = 3. α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της αριθµητικής προόδου είναι α = και η διαφορά της ω = 3. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τον 3ο όρο της. (Μονάδες 6) γ) Να υπολογίσετε το άθροισµα: S = (α + ) + (α + ) + (α 3 + 3) + + (α 3 + 3). (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 5. Βαθµός δυσκολίας: α) Αν ν * α, ν N, είναι η αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω και πρώτο όρο α, έχουµε ότι α ν = α + (ν-)ω, ν N. Συνεπώς: α 3 = 8 α + ω = 8 α = 8-ω α = 8-3 α 8 = 3 α + 7ω = 3 5ω = 5 ω = 3 β) α 3 = α + (3-)ω = = + 90 = 9. γ) To άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι: α + (ν )ω + (ν ) 3 3ν+ 3ν + ν S ν = ν = ν = ν =, ν N. Συνεπώς: S = (α +) + (α + ) (α + 3) = α + α α * α =. ω = = S3+ 3= + 6 3= + 6 3= = 953. * 88

89 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7506 Μια µικρή µεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος y (σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγµή t (σε sec) µετά την εκτόξευση δίνεται από τη σχέση: y= 60t 5t. α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος; (Μονάδες ) β) Ποιες χρονικές στιγµές η σφαίρα θα βρεθεί στο ύψος y= 75 m ; (Μονάδες ) γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος µεγαλύτερο από 00 m. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: Η συνάρτηση y ορίζεται όταν: t 0 t 0 t 0 t 0 y 0 0 t. 60t 5t 0 60t 5t t α) Αναζητούµε t [0, ] έτσι ώστε: y = 0 60t 5t = 0 5t( t) = 0 t = 0 ή t =. Συνεπώς η µπάλα επανέρχεται στο έδαφος µετά από sec. β) Αναζητούµε t [0, ] έτσι ώστε: y = 75 60t 5t = 75 5t 60t+ 75= 0 t t+ 35= 0 (Ι). Το τριώνυµο t t+ 35 έχει διακρίνουσα = ( ) 4 35= = = 7 ( ) ± 4 ± και ρίζες t = = =. 0 = = 5 Συνεπώς (Ι) t = 5 ή t = 7, δηλαδή η µπάλα βρίσκεται σε ύψος 75 m µετά από 5 sec και µετά από 7 sec. γ) Αναζητούµε t [0, ] έτσι ώστε: y > 00 60t 5t > 00 5t 60t+ 00< 0 t t+ 0< 0 (ΙΙ). Το τριώνυµο t t+ 0 έχει διακρίνουσα = ( ) 4 0= 64, = = 0 ( ) ± 64 ± 8 ρίζες t = = = και πίνακα προσήµου: 8 4 = = t 0 + t t Συνεπώς: (ΙΙ) < t < 0, ενώ συναληθεύοντας µε την t [0, ] βρίσκουµε < t < 0. 89

90 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_750 Τα σπίτια τεσσάρων µαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της ήµητρας, βρίσκονται πάνω σε έναν ευθύγραµµο δρόµο, ο οποίος ξεκινάει από το σχολείο τους. Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, s A, s B, s Γ και s αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις: s < s A sa+ 3s B sγ = 4 s sα = s sβ Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σηµείο Ο και τα σηµεία Α, Β παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα. Β α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σηµεία Γ και, που παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της ήµητρας. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Αν, επιπλέον, οι τιµές των αποστάσεων s A, s B σε km ικανοποιούν τις σχέσεις sα + sβ =,4 και sa sb = 0,45, τότε: i) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση ου βαθµού που να έχει ρίζες τους αριθµούς s A, s B. (Μονάδες 6) ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις s A, s B, s Γ και s. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) s s = s s s s = s s ή s s = s + s Α Β Α Β Α Β sα+ sβ sα= sβ (απορρίπτεται) ή s = sα+ sβ s =. sα+ sβ sα+ 3sΒ Ισχύει ότι sα< < < sβ, αφού: 4 sα+ sβ sα< sα< sα+ sβ sα< sβ, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική, s Α+ s Β s Α+ 3s Β < 4sΑ+ 4sΒ< sα+ 6sΒ sα< sβ, 4 η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική και s Α+ 3s Β< sβ sα+ 3sΒ< 4sΒ sα< sβ, 4 η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. 90

91 Συνεπώς sα< s < sγ< sβ, άρα έχουµε τον άξονα: Ο Α Γ Β β) i) Μια δευτεροβάθµια εξίσωση µε άθροισµα ριζών S και γινόµενο Ρ έχει τη µορφή x Sx+ P= 0. Στην περίπτωσή µας έχουµε S= sa+ sb=, 4 και P= s s = 0, 45, οπότε µια τέτοια εξίσωση είναι η A B ii) Το τριώνυµο x, 4x+ 0, 45 x,4x+ 0,45= 0. έχει διακρίνουσα = (, 4) 4 0, 45= 0,6,4+ 0, 4,8 = = (, 4) ± 0,6, 4± 0, 4 και ρίζες x 0,9 = = =,, 4 0, 4 = = 0,5 < s Β. οπότε s A = 0,5 και s B = 0,9, αφού s A s + s,4 Α Β Επιπλέον, s = = = 0,7 και sα+ 3sΒ 0,5+ 3 0,9 0,5+,7 3, sγ= = = = = 0,

92 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_75 Ένα δηµοτικό κολυµβητήριο έχει σχήµα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, µε διαστάσεις 5 m και 5m. Ο δήµος, για λόγους ασφαλείας, θέλει να κατασκευάσει γύρω από το κολυµβητήριο µια πλακοστρωµένη ζώνη µε σταθερό πλάτος x m ( x> 0 ), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση: E(x) = 4x + 80x, x> 0. (Μονάδες 9) β) Να βρεθεί το πλάτος x της ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδόν E= 500 m. (Μονάδες 7) γ) Ποιο µπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδόν µικρότερο από 500 m ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι Α = ΒΓ = 5 και ΑB = Γ = 5, ενώ το µεγάλο ορθογώνιο έχει διαστάσεις 5 + x, 5 + x. x> 0 x> 0 Επιπλέον, πρέπει 5+ x> 0 5 x > x> x> 0 5 x > Έχουµε ότι (AB Γ ) = ΑΒ Α = 5 5= 375 και ορθογ. Ε = (5+ x)(5+ x) = x+ 50x+ 4x = 4x + 80x Συνεπώς: E(x) 4x 80x x 80x x 0,+. = + + = +, για ( ) 9

93 β) Αναζητούµε x ( 0,+ ) έτσι ώστε: E(x) = 500 4x + 80x= 500 4x + 80x 500= 0 x + 0x 5= 0 (Ι). Το τριώνυµο x + 0x 5 έχει διακρίνουσα = 0 4 ( 5) = = = 5 0± 900 0± 30 και ρίζες x= = = = = 5 Συνεπώς (Ι) x = 5 ή x = 5 (απορρίπτεται) x = 5, δηλαδή το πλάτος της ζώνης πρέπει να είναι 5 m, ώστε το εµβαδόν να είναι 500 m. γ) Αναζητούµε x ( 0,+ ) έτσι ώστε: E(x) < 500 4x + 80x< 500 4x + 80x 500< 0 x + 0x 5< 0 (ΙΙ). Χρησιµοποιώντας ό,τι βρήκαµε στο (β) ερώτηµα, έχουµε τον ακόλουθο πίνακα προσήµου: 5 5 x + x + 0x Συνεπώς (ΙΙ) 5 < x < 5 και συναληθεύοντας µε τη x ( 0,+ ) βρίσκουµε ότι x ( 0, 5). Εποµένως το πλάτος της ζώνης πρέπει να είναι το πολύ 5 m, όταν αυτή έχει εµβαδόν µικρότερο από 500 m. 93

94 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6,, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_75 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο Π= 40 cm. Αν x cm είναι το µήκος του παραλληλογράµµου, τότε: α) να αποδείξετε ότι 0< x< 0. (Μονάδες 4) β) να αποδείξετε ότι το εµβαδόν E(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: E(x) = 0x x. (Μονάδες 8) γ) να αποδείξετε ότι ισχύει E(x) 00, για κάθε x ( 0, 0). (Μονάδες 6) δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο 40 cm, εκείνο που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0 cm. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3, 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Αν y cm είναι το πλάτος του ορθογωνίου, ισχύει ότι Π = x + y, οπότε 40 = x + y 40 = (x + y) x + y = 0 y = 0 x. x 0 Πρέπει > x> 0 0 < x < 0. 0 x> 0 x< 0 β) Το εµβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από το γινόµενο xy, οπότε: E(x) = x(0 x) = x + 0x, για x (0, 0). γ) Για x (0, 0) έχουµε: E(x) 00 x + 0x 00 x 0x (x 0) 0, η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική. δ) Αναζητούµε x (0, 0) έτσι ώστε: E(x) = 00 x + 0x= 00 x 0x+ 00= 0 (x 0) = 0 x 0 = 0 x = 0, οπότε και y = 0 0 = 0, δηλαδή το ορθογώνιο µε το µεγαλύτερο εµβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0 cm. 94

95 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 9, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_754 ίνεται αριθµητική πρόοδος (α ν) µε α3 = 0 και α0 = 6. α) Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου. (Μονάδες 8) β) Να εξετάσετε αν ο αριθµός 333 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι x και y της παραπάνω προόδου (α ν), τέτοιοι ώστε να ισχύει: x = y. (Μονάδες 9) 3 Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3., 5. Βαθµός δυσκολίας: * α) Η α, ν N, είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω, ν * οπότε α ν = α + (ν-)ω, ν N. Συνεπώς: α 3 = 0 α + ω = 0 α + ω = 0 α = 0-ω α 0 = 6 α +9ω = 6 7ω = 5 ω = 3 * β) Έχουµε ότι α = α + (ν-)ω = 4 + (ν-) 3 = 4 + 3ν-3 = 3ν +, ν N. ν * Αναζητούµε (αν υπάρχει) ν N έτσι ώστε: 33 * α ν = 333 3ν + = 333 3ν = 33 ν = 3 N, οπότε δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος µε 333. γ) Αφού οι x, y είναι διαδοχικοί όροι της αριθµητικής προόδου x y =, έχουµε y > x, αφού x, y > 0. 3 * Συνεπώς θεωρούµε x = α ν = 3ν +, y = α ν+ = 3(ν +) + = 3ν + 4, ν N, οπότε προκύπτει: 3ν + 3ν + 4 = 9ν + 3 = 6ν + 8 9ν 6ν = 8 3 3ν = * ν= 3 N, εποµένως δεν υπάρχουν τέτοιοι όροι της προόδου. ν α = 4. ω = 3 * α, ν N, µε 95

96 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 9, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_755 ίνεται η εξίσωση: x x+ λ= 0, µε παράµετρο λ<. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες x, x διαφορετικές µεταξύ τους. (Μονάδες 6) β) Να δείξετε ότι: x+ x =. (Μονάδες 4) γ) Αν για τις ρίζες x, x ισχύει επιπλέον x = x+, τότε: i) Να δείξετε ότι: x x = 4. (Μονάδες 7) ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες x,x και την τιµή του λ. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Για λ < το τριώνυµο x x+ λ έχει διακρίνουσα = ( ) 4λ = 4 4λ = 4( λ) > 0, οπότε η εξίσωση x x+ λ = 0 έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες. β) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, για λ < έχουµε ότι: λ S= x+ x= = και P= xx= = λ. γ) i) Έχουµε ότι: x = x+ x = x+ ή x = x x x= 4 ή x+ x= 0 (απορρίπτεται) x x= 4. ii) Για λ < έχουµε ότι: x+ x= x= 6 x= 3 x= 3. x x= 4 x x= 4 x= x 4 x= Αφού P= xx= λ, έχουµε ότι λ = 3. 96

97 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_756 ίνεται η εξίσωση: ( ) αx α x α= 0, µε παράµετρο α 0. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: ( α ) β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: ρ γ) Να βρεθούν οι τιµές του α ώστε: ρ ρ = +. (Μονάδες 5) = α και ρ =. α (Μονάδες 0) =. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο αx (α )x α (α 0) έχει διακρίνουσα 4 4 = [ (α )] 4α( α) = α α + + 4α = α + α + = (α +). β) Η εξίσωση αx (α )x α = 0 (α 0) έχει > 0, οπότε έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, τις [ (α )] ± (α + ) α ± (α + ) x = = α α α + (α + ) α + α + α = = = α α α α =. α (α + ) α α = = = α α α α Συνεπώς οι ρίζες είναι οι ρ = α και ρ =. α γ) Αναζητούµε α 0 έτσι ώστε: ρ ρ = α = α α+ = ή α+ = α α α + = α ή α + = α α α+ = 0 ή α + α+ = 0 (α- ) = 0 ή (α +) = 0 α = ή α = α = ±. 97

98 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_757 ύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν µια επιχείρηση που γεµίζει τόνερ (toner) για φωτοτυπικά µηχανήµατα. Τα πάγια µηνιαία έξοδα της εταιρείας ανέρχονται στο ποσό των 6500 ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, µισθούς, φόρους κ.ά.). Το κόστος γεµίσµατος ενός τόνερ είναι 5 ευρώ, η δε τιµή πώλησης ενός τόνερ καθορίζεται σε 5 ευρώ. α) Να γράψετε µια σχέση που να περιγράφει το µηνιαίο κόστος Κ(ν) της επιχείρησης, αν γεµίζει ν τόνερ τον µήνα. (Μονάδες 5) β) Να γράψετε µία σχέση που να εκφράζει τα µηνιαία έσοδα Ε(ν) της επιχείρησης από την πώληση ν αριθµού τόνερ τον µήνα. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε µήνα ώστε η επιχείρηση: i) να µην έχει ζηµιά. (Μονάδες 7) ii) να έχει µηνιαίο κέρδος τουλάχιστον 500 ευρώ. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) K(ν) = ν ευρώ, για ν N. β) Ε(ν) = 5ν ευρώ, για ν N. γ) i) Αναζητούµε ν N έτσι ώστε: Ε(ν) = Κ(ν) 5ν = ν 5ν 5ν = ν = 6500 ν = 650, δηλαδή πρέπει να πουλά 650 τόνερ τον µήνα για να µην έχει ζηµιά. ii) Αναζητούµε ν N έτσι ώστε: Ε(ν) Κ(ν) 500 5ν ν 500 5ν 5ν ν 7000 ν 700, δηλαδή πρέπει να πουλά 700 τόνερ τον µήνα για να έχει µηνιαίο κέρδος τουλάχιστον

99 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7,,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7677 ίνεται η ανίσωση: x+ < 4 (). α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (). (Μονάδες 3) γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής x +β x+γ το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης () και να έχει θετική τιµή, για κάθε x 0. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3, 4., 4. Βαθµός δυσκολίας: α) x+ < 4 4< x+ < 4 4 < x< 4 5< x< 3. Η παράσταση της λύσης της x+ < 4 στον άξονα των πραγµατικών αριθµών φαίνεται ακολούθως: β) Οι ακέραιοι που βρίσκονται στο διάστηµα ( 5, 3) είναι οι 4, 3,,, 0,,. γ) Αφού θέλουµε το τριώνυµο x +β x+γ να έχει θετική τιµή για κάθε x 0, αρκεί η µικρότερη από τις ρίζες του (αν αυτές είναι άνισες) να είναι θετική. Συνεπώς επιλέγουµε η µικρή ρίζα να είναι το x= και η µεγάλη το x =. Από τους τύπους του Vieta έχουµε S= x+ x = β και Ρ= xx = γ, οπότε: + = β β= 3 και γ= =, άρα το τριώνυµο είναι το x 3x+. Αξίζει να αναφέρουµε ότι τριώνυµα (µε µία διπλή ρίζα) που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της άσκησης είναι και τα: x x+, όταν έχουµε διπλή ρίζα το, x 4x+ 4, όταν έχουµε διπλή ρίζα το. 99

100 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7,,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7684 ίνεται η ανίσωση: x 3 () α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (). (Μονάδες 3) γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής x +β x+γ το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης () και να έχει θετική τιµή, για κάθε x 0. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3, 4., 4. Βαθµός δυσκολίας: α) x 3 3 x 3 3 x + 3 x 4 Η παράσταση της λύσης της x 3 στον άξονα των πραγµατικών αριθµών φαίνεται ακολούθως: 4 + β) Οι ακέραιοι που βρίσκονται στο διάστηµα [, 4] είναι οι,, 0,,, 3, 4. γ) Αφού θέλουµε το τριώνυµο x +β x+γ να έχει θετική τιµή για κάθε x 0, αρκεί η µεγαλύτερη από τις ρίζες του (αν αυτές είναι άνισες) να είναι αρνητική. Συνεπώς επιλέγουµε η µικρή ρίζα να είναι το x= και η µεγάλη το x =. Από τους τύπους του Vieta έχουµε S= x+ x = β και Ρ= xx = γ, οπότε: = β β= 3 και γ = ( ) ( ) =, άρα το τριώνυµο είναι το x + 3x+. Αξίζει να αναφέρουµε ότι τριώνυµα (µε µία διπλή ρίζα) που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της άσκησης είναι και τα: x + x+, όταν έχουµε διπλή ρίζα το, x + 4x+ 4, όταν έχουµε διπλή ρίζα το. 300

101 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων,, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7745 ίνεται το τριώνυµο f (x) = x + x+ 3. α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου f(x) για τις διάφορες τιµές του x. (Μονάδες 0) β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσηµο του γινοµένου: f(,999) f(,00). (Μονάδες 7) γ) Αν 3<α< 3, να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού: α + α + 3. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο ρίζες x + x+ 3 έχει διακρίνουσα = 4 ( ) 3=, + 4 = = ± 6 ± 4 x= = = και πίνακα προσήµου: ( ) 4 6 = = 3 x 3 + x + x+ 3 + Συνεπώς: f (x) > 0 x + x+ 3> 0 x (, 3), f (x) = 0 x + x+ 3= 0 x= ή x= 3 και f (x) < 0 x + x+ 3< 0 x (, ) (3, + ). β) Έχουµε ότι,999 (,3), άρα f (,999) > 0, αφού f (x) > 0 x (, 3). Επίσης,,00 (, ), άρα f (,00) < 0, αφού f (x) < 0 x (, ) (3, + ). Συνεπώς f(,999) f(,00) < 0. γ) 3<α< 3 α < 3, άρα α [0, 3). Αφού α [0,3) (,3) και f (x) > 0 x (, 3), έχουµε ότι: ( ) α + α + 3 = α + α + 3= f α > 0. 30

102 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 9, 0, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7784 Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, µε f(x) = x και g(x) =, x R. C f και C g των α) i) Να εκτιµήσετε τα σηµεία τοµής των C f και ii) Να εκτιµήσετε τις τιµές του x, για τις οποίες η 30 C g. C f είναι κάτω από τη C g. (Μονάδες 0) β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούµενο ερώτηµα. (Μονάδες 0) γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού η παράσταση f (x) A=. (Μονάδες 5) f (x) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 4., 6., 6., 6.3 Βαθµός δυσκολίας: α) i) Από το σχήµα φαίνεται ότι τα σηµεία τοµής των C f και (3, ). ii) Από το σχήµα φαίνεται ότι η β) Αλγεβρικά, τα σηµεία τοµής των C f και C f είναι κάτω από τη C g είναι τα (, ) και Cg όταν x (, 3). Cg προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης: f (x) = g(x) x = x = ή x = x= ή x= + x ή x 3 = =, άρα τα σηµεία τοµής είναι τα (, ) και (3, ), αφού g() = g(3) =.

103 Αλγεβρικά, οι τιµές του x για τις οποίες η C f είναι κάτω από τη από τις λύσεις της ανίσωσης: f (x) < g(x) x < < x < x< + < x< 3. γ) Πρέπει: f (x) 0 f (x) x x f (x) 0 f (x) 0 x 0 x 0 x + x 3 x [, ) (, 3], x x άρα η παράσταση Α ορίζεται στο διάστηµα [, ) (, 3]. C g προκύπτουν 303

104 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 7, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_779 ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: (α )( β) > 0. α) Να αποδείξετε ότι το είναι µεταξύ των α, β. (Μονάδες 3) β) Αν επιπλέον β α = 4, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: Κ = α + β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωµετρικά είτε αλγεβρικά. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) (α )( β) > 0 (α > 0 και β > 0) ή (α < 0 και β < 0) (α > και β > ) ή (α < και β < ) (α > και β < ) ή (α < και β > ) ( < α και β < ) ή (α < και < β) β < < α ή α < < β, άρα το είναι µεταξύ των α, β. β) Αν β < < α, έχουµε ότι: α > 0, άρα α = α, β > 0, άρα β = β και α β > 0, άρα 4 = β α = α β = α β, οπότε Κ = α + β = α β = 4. Αν α < < β, έχουµε ότι: α < 0, άρα α = (α ) = α +, β < 0, άρα β = ( β) = + β και α β < 0, άρα 4 = β α = α β = (α β) = α + β, οπότε Κ = α + + ( + β) = α + + β = β α = 4. Γεωµετρική ερµηνεία Θεωρούµε στον άξονα των πραγµατικών τα σηµεία Α(α), Β(β) και Γ(), όπου το Γ() είναι πάντα ανάµεσα στα Α(α) και Β(β). Τότε α = ΑΓ, β = ΒΓ, β α = ΑΒ = 4, οπότε Κ = ΑΓ + ΒΓ = ΑΒ = 4. α < < β β < < α Α Γ Β α β Β Γ Α β α 304

105 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7940 α) Να λύσετε τις εξισώσεις 3x 4x+ 8= 0 () και 8x 4x+ 3= 0 (). (Μονάδες 0) β) Ένας µαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της µορφής: α x +β x+γ= 0 (3) και γ x +β x+α= 0 (4) µε αγ 0. Αποδείξτε τον ισχυρισµό του µαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και α γ 0, τότε: i) ρ 0 και (Μονάδες 5) ii) ο ρ επαληθεύει την εξίσωση (4). (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 3.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο και ρίζες 3x 4x+ 8 έχει διακρίνουσα = ( 4) 4 3 8= = = 4 ( 4) ± 00 4± x= = = = = Συνεπώς 3x 4x+ 8= 0 x= 4 ή x=. 3 Το τριώνυµο 8x 4x+ 3 έχει διακρίνουσα και ρίζες = ( 4) 4 8 3= = = ( 4) ± 00 4± x= = = = = Συνεπώς 8x 4x+ 3= 0 x= ή x=. 4 β) Αφού το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης α x +β x+γ= 0, έχουµε ότι αρ +βρ+γ= 0 (Ι). i) Αν ρ = 0, από την (Ι) προκύπτει ότι γ = 0, που είναι άτοπο, αφού αγ 0, οπότε ρ 0. ii) αρ βρ γ β γ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( Ι) + + = 0 α+ + = 0 γ +β +γ= 0, οπότε ο αριθµός ρ επαληθεύει την εξίσωση γ x +β x+α=

106 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7,,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7958 α) Να λύσετε την ανίσωση: x + x. (Μονάδες 0) β) ίνονται δύο αριθµοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης () και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση: (λ )(κ ) < 0. i) Να δείξετε ότι το είναι µεταξύ των κ, λ. (Μονάδες 8) 3 ii) Να δείξετε ότι: κ λ. (Μονάδες 7) 5 Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3, 4., 4. Βαθµός δυσκολίας: 5 5 α) x + x x + x x + 5x x 5x+ 0 (Ι). Το τριώνυµο x 5x+ έχει διακρίνουσα = ( 5) 4 = 9, = = ( 5) ± 9 5± ρίζες x= = = και πίνακα προσήµου: = = 4 4 x + x 5x+ + + Συνεπώς (I) x, [, + ). β) i) (λ )(κ ) < 0 (λ > 0 και κ < 0) ή (λ < 0 και κ > 0) (λ > και κ < ) ή (λ < και κ > ) ( < λ και κ < ) ή (λ < και < κ) κ < < λ ή λ < < κ, άρα το είναι µεταξύ των κ, λ. ii) Αν κ < < λ, έχουµε κ < λ κ λ < 0, οπότε κ λ = (κ λ) = κ + λ. Επίσης, αφού οι αριθµοί κ, λ είναι λύσεις της ανίσωσης x + x, έχουµε ότι λ και κ κ, τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε: λ κ λ κ λ κ κ λ. Αν λ < < κ, έχουµε κ > λ κ λ > 0, οπότε κ λ = κ λ

107 Επίσης, αφού οι αριθµοί κ, λ είναι λύσεις της ανίσωσης x + x, έχουµε ότι κ και λ λ, τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε: 3 3 κ λ κ λ κ λ. 5 Συνεπώς σε κάθε περίπτωση ισχύει 3 κ λ. 307

108 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_7974 ίνεται πραγµατικός αριθµός α, που ικανοποιεί τη σχέση: α <. α) Να γράψετε σε µορφή διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του α. (Μονάδες 8) β) Θεωρούµε στη συνέχεια το τριώνυµο: x ( α )x+. 4 i) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να προσδιορίσετε το πρόσηµό της. (Μονάδες 0) ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του x R, ισχύει x ( α )x+ > 0. 4 (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 4. Βαθµός δυσκολίας: α) α < <α < <α< + <α< α. 3 (, 3) β) i) Το τριώνυµο x ( α )x+ έχει διακρίνουσα 4 = [ ( α )] 4 =α 4α+ 4 =α 4α Το τριώνυµο α 4α+ 3 έχει διακρίνουσα = ( 4) 4 3= 4, ρίζες 4+ 6 = = 3 ( 4) ± 4 4± α= = = και πίνακα προσήµου: 4 = = 3 α + α 4α Αφού α (, 3), έχουµε ότι ii) Αφού η διακρίνουσα του τριωνύµου ότι α 4α+ 3< 0 < 0. x ( α )x+ > 0, για κάθε x R. 4 x ( α )x+ είναι αρνητική, έχουµε 4 308

109 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_870 ίνεται γεωµετρική πρόοδος ( α ν ) µε λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: α 3 = 4, α 5 = 6 και λ > 0. α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α και τον λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ( β ν ) µε β = αποτελεί επίσης γεωµετρική α πρόοδο µε λόγο τον αντίστροφο του λόγου της ( α ν ). (Μονάδες 9) γ) Αν S0 και S 0 είναι τα αθροίσµατα των 0 πρώτων όρων των ακολουθιών ( αν ) και ( β ν ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση S 0 = S 9 0. (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 5.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού η είναι * α,, ν ν N είναι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ > 0, ο νιοστός όρος της α =αλ ν N. ν ν *, Τότε α 3 =αλ =αλ και α 5 =αλ =αλ. Συνεπώς, αφού λ > 0, έχουµε: αλ = 4 αλ = 4 αλ = 4 αλ = 4 αλ = 4 4 αλ = 6 αλ λ = 6 4λ = 6 λ = 4 λ= α 4 = 4 α = 4 α =. λ= λ= λ= * β) Για ν N έχουµε ότι: βν+ αν+ αν = = = = =, που είναι σταθερός αριθµός, β ν α α ν+ ν+ λ αν αν * οπότε η,, βν ν N είναι επίσης γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ = =, λ * δηλαδή ο λόγος της,, * βν ν N είναι αντίστροφος του λόγου της α, ν ν N. * γ) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της α,, ν ν N είναι: ν ν λ ν * 0 Sν =α = =, ν N, ενώ S0 = = 04 = 03. λ * Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της β,, ν ν N είναι: ν ν 309

110 ν ν ν ν ν λ ν ν ν ν * S ν =β = = = = =, ν N, ν λ ' S0 άρα S 0 = = = = = S

111 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων,, 3, 9 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_87 α) Να λύσετε την ανίσωση x + x 6< 0. (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση x >. (Μονάδες 5) γ) ίνεται το παρακάτω παραλληλόγραµµο µε πλευρές α και α + α α + όπου ο αριθµός α ικανοποιεί τη σχέση ορθογωνίου ισχύει Ε < 6, τότε: α >. Αν για το εµβαδόν Ε του i) Να δείξετε ότι: 3 <α<. (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών κυµαίνεται η περίµετρος του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4., 4., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο ρίζες x + x 6 έχει διακρίνουσα = 4 ( 6) = 5, = = ± 5 ± 5 x= = = και πίνακα προσήµου: 5 6 = = 3 3 x + x + x Συνεπώς x + x 6< 0 3< x<. 3 β) x > x < ή x > x< ή x> + x< ή x>. γ) Αφού οι αριθµοί α και α + είναι µήκη, έχουµε ότι: α> 0 α> 0 α> 0 (Ι). α+ > 0 α> 3 i) Αφού α >, λόγω του (β) ερωτήµατος ισχύει α< ήα> (ΙΙ). 3

112 Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε=α( α+ ) =α +α, για το οποίο ισχύει Ε< 6 α +α< 6 α +α 6< 0 3<α< (ΙΙΙ), λόγω του (α) ερωτήµατος. Συναληθεύοντας τις (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ), βρίσκουµε ότι 3 <α< ii) 3 <α< 4 3 < 4 α< 4 3< 4α< 4 6< 4α< 8 6+ < 4α+ < 8+ 8<Π< 0, αφού η περίµετρος είναι Π= α+ ( α+ ) = 4α+. Εποµένως η περίµετρος του ορθογωνίου κυµαίνεται ανάµεσα στους αριθµούς 8 και 0. 3

113 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_8443 α) Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει x 4 <. (Μονάδες 0) β) Θεωρούµε πραγµατικό αριθµό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγµατικών αριθµών είναι µικρότερη του. i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθµού αυτού από το 4 είναι µεγαλύτερη του και µικρότερη του 4. (Μονάδες 5) ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιµή της απόστασης του 3x από το 9. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) x 4 < < x 4< 4 < x< 4+ < x< 6. β) Η απόσταση του x από το 4 εκφράζεται µε την παράσταση x 4, η οποία πρέπει να είναι µικρότερη του, οπότε ισχύει x 4 <. i) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι: x 4 < < x< 6 3 < 3 x< 3 6 6< 3x< 8 6 4< 3x 4< 8 4 < 3x 4< 4 < 3x 4 < 4 < d(3x, 4) < 4, δηλαδή η απόσταση του 3x από το 4 είναι µεγαλύτερη του και µικρότερη του 4. ii) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι: x 4 < < x< 6 3 < 3 x< 3 6 6< 3x< 8 6 9< 3x 9< 8 9 3< 3x 9< ( 3) > (3x 9) > ( ) 3> 3x+ 9> < 9 3x< 3 < 9 3x < 3 < d(3x, 9) < 3, δηλαδή η απόσταση του 3x από το 9 είναι µεγαλύτερη του 3 και µικρότερη του 3. 33

114 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_8445 α) ίνεται το τριώνυµο x 3x+, x R. Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου. (Μονάδες 0) β) Θεωρούµε πραγµατικούς αριθµούς α, β διαφορετικούς από το 0 µε α < β για τους α 3α+ β 3β+ < 0. οποίους ισχύει ( )( ) Να αποδείξετε ότι ( α )( β ) = ( α )( β ). (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3, 4. Βαθµός δυσκολίας: α) Το τριώνυµο ρίζες x 3x+ έχει διακρίνουσα = ( 3) 4 =, 3+ 4 = = ( 3) ± 3± x= = = και πίνακα προσήµου: 3 = = x + x 3x+ + + Συνεπώς: x 3x+ < 0 x (, ), x 3x+ = 0 x= ή x= και x 3x+ > 0 x (,) (, + ). β) ( α 3α+ )( β 3β+ ) < 0 ( 3 0 και 3 0) ή( 3 0 και 3 0) α α+ > β β+ < α α+ < β β+ > ( α (,) (, + ) και β (, ) ) ή ( α (, ) και β (,) (, + )). Αν α (,) (, + ) και β (, ) και µε δεδοµένο ότι α < β, έχουµε ότι: α (,) και β (, ) α< και <β< α < και <β < α < 0 και <β < 0, δηλαδή (α )(β ) > 0, οπότε ( α )( β ) = ( α )( β ). Αν α (, ) και β (,) (, + ) και µε δεδοµένο ότι α < β, έχουµε ότι: α (, ) και β (, + ) <α< καιβ> <α < καιβ > 0<α < καιβ > 0, δηλαδή (α )(β ) > 0, οπότε ( α )( β ) = ( α )( β ). Συνεπώς σε κάθε περίπτωση ισχύει ( α )( β ) = ( α )( β ). 34

115 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7,, 3, 9, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_8448 x 5x+ 6 ίνεται η συνάρτηση f (x) =. x α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 5) x 3, x> β) Να αποδειχθεί ότι f (x) =. x + 3, x < (Μονάδες 7) γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f και να βρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x x και y y. (Μονάδες 8) δ) Να λύσετε την ανίσωση f (x) 0. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3, 4., 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: α) Πρέπει x 0 x 0 x, άρα β) Το τριώνυµο x 5x+ 6 έχει διακρίνουσα A = R {}. f = ( 5) 4 6= 5+ 6 = = 3 ( 5) ± 5± και ρίζες x= = =, 5 4 = = οπότε x 5x+ 6 = (x 3)(x ). Αν x >, έχουµε ότι x < 0 και x = ( x) = + x = x, (x )(x 3) άρα f (x) = = x 3. x Αν x <, έχουµε ότι x > 0 και x = x = (x ), (x )(x 3) άρα f (x) = = (x 3) = x+ 3. (x ) x 3, x> Συνεπώς f (x) =. x + 3, x < γ) Για x < έχουµε ότι f(x) = x + 3, δηλαδή η γραφική παράσταση της f είναι η ηµιευθεία ΑΒ, µε Α(, ) και Β(, ), χωρίς το σηµείο Α. Για x > έχουµε ότι f(x) = x 3, δηλαδή η γραφική παράσταση της f είναι η ηµιευθεία Γ, µε Γ(, ) και (3, 0), χωρίς το σηµείο Γ. 35

116 Β Α Το σηµείο τοµής της C f µε τον άξονα y y προκύπτει για x = 0, οπότε f(0) = = 3, δηλαδή είναι το σηµείο (0, 3). Το σηµείο τοµής της C f µε τον άξονα x x προκύπτει για y = 0. Για x έχουµε ότι: Γ x 5x+ 6 f (x) = 0 = 0 x 5x+ 6= 0 x= ( απορρπτεται ί ) ή x= 3, x δηλαδή είναι το σηµείο (3, 0). δ) Για x έχουµε ότι x > 0, οπότε: x 5x+ 6 f (x) 0 0 x 5x+ 6 0 x (, 3], x αφού ο πίνακας προσήµου για το τριώνυµο x 5x+ 6 είναι: 3 x + x 5x

117 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 3, 9, 0 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_845 4x ( α+ 3)x+ 3α ίνεται η συνάρτηση f (x) =, όπου α R. x 3 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 5) β) Να αποδειχθεί ότι f (x) = x α για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 8) γ) Να βρεθεί η τιµή του α αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο (, ). (Μονάδες 7) δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x x και y y. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 3.3, 6., 6. Βαθµός δυσκολίας: 3 3 α) Πρέπει x 3 0 x 3 x, άρα Af = R. β) Έχουµε ότι: 4x ( α+ 3)x+ 3α= 4x αx 6x+ 3α = x(x α) 3(x α ) = (x 3)(x α ), 3 (x 3)(x α) οπότε για x βρίσκουµε f (x) = = x α. x 3 γ) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο (, ), αναζητούµε α R έτσι ώστε: f () = α= α= α= α= 3 α= 3. 3 δ) Για κάθε x έχουµε ότι f (x) = x α. Το σηµείο τοµής της C f µε τον άξονα y y προκύπτει για x = 0, οπότε f(0) = 0 α = α, δηλαδή είναι το σηµείο (0, α). Το σηµείο τοµής της C µε τον άξονα x x (αν υπάρχει) προκύπτει για y = 0. f 3 Για x έχουµε ότι: α f (x) = 0 x α= 0 x=α x=. 3 Συνεπώς, αν α = 3, η C f δεν τέµνει τον άξονα x x, αφού x, α ενώ, αν α 3, η C f τέµνει τον άξονα x x στο σηµείο,

118 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_8453 Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β R ισχύει: α < β 3 α) Να αποδειχθεί ότι <α< 3. (Μονάδες 4) β) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται ο β. (Μονάδες 5) γ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση α 3β. (Μονάδες 7) δ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση α. (Μονάδες 9) β Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 4. Βαθµός δυσκολίας: α) α < <α < <α< + <α< 3. β) β 3 β 3 3 β 3+ β 5, δηλαδή ο β παίρνει τιµές από έως και 5. γ) Έχουµε τις ανισότητες: <α< 3 < α< 3 < α< 6, β β β 5 5 3β 3, τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε 5< α 3β< 6 3 3< α 3β< 3, δηλαδή η παράσταση α 3β παίρνει τιµές µεταξύ των αριθµών 3 και 3. δ) Έχουµε τις ανισότητες (µε θετικά µέλη): <α< 3, β 5, β 5 5 β τις οποίες πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη και βρίσκουµε α <α < 3 < < 3, 5 β 5 β δηλαδή η παράσταση α β βρίσκεται µεταξύ των τιµών και

119 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7,,, 3 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_8455 Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β R ισχύει ότι: 3 α < Η απόσταση του αριθµού β από τον αριθµό είναι µικρότερη του. α) Να αποδειχθεί ότι <α<. (Μονάδες 5) 3 β) Να αποδειχθεί ότι β 3α < 3. (Μονάδες 0) γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f (x) = 4x 4( β )x+β έχει πεδίο ορισµού όλο το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 0) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.3, 3.3, 4., 4. Βαθµός δυσκολίας: α) 3 α < 3α < < 3α < < 3α< + < 3α< 3 <α<. 3 β) Η απόσταση του αριθµού β από τον αριθµό εκφράζεται µε την ποσότητα β, η οποία είναι µικρότερη του, οπότε ισχύει β <. Τότε: β 3α = β 3α+ = ( β ) + ( 3 α) β + 3 α < + = 3. γ) Έχουµε ότι: β < <β < <β< + <β< 3. Το τριώνυµο 4x 4( β )x+β έχει διακρίνουσα = [ 4( β )] 4 4 β = 6( β 4β+ 4) 6β = 6( β 4β+ 4 β ) = 6( 4β+ 4) = 64( β ). Αφού <β< 3, έχουµε ότι β < 0, οπότε < 0, άρα το τριώνυµο 4x 4( β )x+β είναι πάντα θετικό, δηλαδή 4x 4( β )x+β > 0 για κάθε x R, κάτι που σηµαίνει ότι η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R. 39

120 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9,, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_8458 ίνεται αριθµητική πρόοδος ( α ν ) όπου * ν N που αποτελείται από ακεραίους αριθµούς, για την οποία ισχύει α = x, α = x 3x 4, α 3 = x, x R. α) Να αποδειχθεί ότι x = 3. (Μονάδες 0) β) Να βρεθεί ο ν-οστός όρος της προόδου και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος που να ισούται µε 04. (Μονάδες 8) γ) Να υπολογιστεί το άθροισµα S =α +α 3+α α 5. (Μονάδες 7) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3., 3.3, 5. Βαθµός δυσκολίας: α) Οι αριθµοί α, α, α 3, µε α, α, α3 Z, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, άρα ισχύει α =α +α 3, οπότε έχουµε ότι: (x 3x 4) = x+ x 4x 6x 8 x x + = 0 3x 7x 6= 0 (Ι). Το τριώνυµο 3x 7x 6 έχει διακρίνουσα = ( 7) 4 3 ( 6) = 7+ 8 = = 3 ( 7) ± 7± 6 6 και ρίζες x= = =, = = οπότε (I) x= 3 ή x = Z ( απορρπτεται ί ) x= 3. 3 β) Για x = 3 έχουµε ότι α = 3, α = = 5, α = 3 = 7, 3 οπότε η διαφορά της προόδου είναι ω=α α =α3 α = 7 5=. Συνεπώς ο νιοστός όρος της αριθµητικής προόδου είναι: * α ν =α + ( ν ) ω= 3 + ( ν ) = 3+ ν = ν+, ν N. * Αναζητούµε (αν υπάρχει) ν N έτσι ώστε: 03 * α ν = 04 ν+ = 04 ν= 04 ν= 03 ν= N, οπότε δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος µε 04. γ) Έχουµε ότι: α = 3, α = 7, α =, α = 5, α = 9, α = 3, α = 7, α = 3, οπότε α +α +α α = =

121 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων, 9, 0, του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_0774 Μια µικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο. Στο παραπάνω σχήµα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ(x) και τα έσοδα E(x) από την πώληση x λίτρων λαδιού σε έναν µήνα. α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των δύο ευθειών και να ερµηνεύσετε τη σηµασία του. (Μονάδες 6) β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; (Μονάδες 5) γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να µην έχει ζηµιά; (Μονάδες 6) δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και E(x) και να επαληθεύσετε αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήµατος (γ). (Μονάδες 8) Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6., 6., 6.3 Βαθµός δυσκολίας: α) Από το σχήµα εκτιµούµε ότι οι δύο γραµµές τέµνονται κατά προσέγγιση στο σηµείο (00, 500), δηλαδή, όταν η εταιρεία πουλήσει 00 λίτρα ελαιόλαδο, τότε τα έσοδα και τα έξοδα είναι περίπου ίσα µε 500 ευρώ, οπότε δεν έχει ούτε κέρδος ούτε ζηµιά. β) Τα πάγια έξοδα της εταιρείας προκύπτουν όταν οι πωλήσεις ελαιολάδου είναι µηδέν, οπότε για x = 0 έχουµε ότι K(0) = 00, δηλαδή τα πάγια έξοδα της εταιρείας είναι 00 ευρώ. 3

122 γ) Για να µην έχει ζηµιά η εταιρεία, πρέπει τα έσοδα να είναι τουλάχιστον ίσα µε τα έξοδα, δηλαδή θα πρέπει E(x) K(x) και κατά συνέπεια η γραφική παράσταση Ε πρέπει να είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της Κ ή να τέµνονται. Από το σχήµα έχουµε ότι x 00, δηλαδή η εταιρεία δεν έχει ζηµιά όταν οι πωλήσεις της είναι τουλάχιστον 00 λίτρα ελαιόλαδου. δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης των εσόδων είναι ευθεία που περνά από το (0, 0), άρα θα έχει µορφή Ε (x) =λx, x 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ε διέρχεται από το σηµείο (00, 000), άρα ισχύει: Ε(00) = λ = 000 λ = 5, οπότε Ε (x) = 5x, x 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης των εξόδων είναι ευθεία που τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο (0, 00), άρα θα έχει µορφή K(x) =α x+ 00, x 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Κ διέρχεται από το σηµείο (00, 800), άρα ισχύει: Κ(00) = α + 00 = α = α = 600 α = 3, οπότε K(x) = 3x+ 00, x 0. Όπως ήδη αναφέρθηκε, η εταιρεία δεν έχει ζηµιά όταν: E x K x 5x 3x+ 00 5x 3x 00 x 00 x 00, ( ) ( ) δηλαδή πράγµατι η εταιρεία δεν έχει ζηµιά όταν οι πωλήσεις της είναι τουλάχιστον 00 λίτρα ελαιόλαδου. 3

123 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη. GI_A_ALG_4_0775 Σε µια αίθουσα θεάτρου µε 0 σειρές καθισµάτων, το πλήθος των καθισµάτων κάθε σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουµε από σειρά σε σειρά, κατά τον ίδιο πάντα αριθµό καθισµάτων. Η η σειρά έχει 6 καθίσµατα και η 7η σειρά έχει 8 καθίσµατα. α) Να δείξετε ότι οι αριθµοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισµάτων κάθε σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο και τη διαφορά αυτής της προόδου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τον γενικό όρο της προόδου. (Μονάδες 4) γ) Πόσα καθίσµατα έχει όλο το θέατρο; (Μονάδες 5) δ) Αν στην η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσµατα, στη η υπάρχουν 9 κενά καθίσµατα, στην 3η υπάρχουν κενά καθίσµατα και γενικά, τα κενά καθίσµατα κάθε σειράς, από τη η και µετά, είναι κατά 3 περισσότερα από αυτά της προηγούµενης, τότε: i) Να βρείτε από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν µόνο κενά καθίσµατα. (Μονάδες 5) ii) Να βρείτε πόσοι είναι οι θεατές. (Μονάδες 6) Ενότητες σχολικού βιβλίου:., 5. Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού ο αριθµός των καθισµάτων καθώς ανεβαίνουµε από σειρά σε σειρά αυξάνει κατά τον ίδιο αριθµό καθισµάτων (έστω κατά ω > 0), το πλήθος των καθισµάτων κάθε σειράς αποτελεί όρους αριθµητικής προόδου (έστω * αν, ν N, µε ν 0) µε α = 6 και νιοστό όρο α ν =α + ( ν ) ω= 6 + ( ν ) ω, ν N, µε ν 0. Από τα δεδοµένα έχουµε ότι: α 7 = (7 ) ω= ω= 8 6ω= 8 6 6ω= ω=. β) Ο γενικός όρος της προόδου είναι: * α ν = 6 + ( ν ) = 6+ ν = ν+ 4, ν N, µε ν 0. γ) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της προόδου (ν 0) είναι: α+ ( ν ) ω 6 + (ν ) (6+ ν ) * Sν = ν= ν= ν= 5ν+ ν, ν N. Το θέατρο έχει 0 σειρές, άρα το σύνολο των καθισµάτων όλου του θεάτρου είναι το άθροισµα των 0 πρώτων όρων της προόδου, δηλαδή S0 = = = 700, άρα το θέατρο έχει συνολικά 700 καθίσµατα. δ) Το πλήθος των κενών καθισµάτων ανά σειρά είναι όροι αριθµητικής προόδου * βν, ν N, µε ν 0, διαφορά ω = 3 και β = 6, οπότε ο νιοστός όρος είναι * β ν =β + ( ν ) ω = 6 + ( ν ) 3= 6+ 3ν 3= 3ν+ 3, ν N, ενώ το άθροισµα των ν πρώτων όρων (ν 0) είναι * 33

124 ( ) β + ν ω 6 + (ν ) 3 + 3ν 3 3ν + 9ν * Σν = ν= ν= ν =, ν N. i) Μόνο κενά καθίσµατα θα έχουµε από εκείνη τη σειρά, * για την οποία ισχύει αν βν, ν N, µε ν 0. Συνεπώς: ν+ 4 3ν+ 3 ν 3ν 3 4 ν ν, δηλαδή από την η σειρά και µετά έχουµε µόνο άδεια καθίσµατα. ii) Οι θεατές κάθονται όλοι στις 0 πρώτες σειρές και θα είναι: S0 Σ0 = = = 50 = 50 = 50 95= 55, δηλαδή στο θέατρο υπάρχουν 55 θεατές. 34

125 Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04

126 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα. Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συµµετέχουν 3 άντρες: ο ηµήτρης ( ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και µια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόµατά τους. α) Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. (Μονάδες 0) β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων Α: Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης. Β: Να διαγωνίστηκε η Ζωή. Γ: Να µη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο ηµήτρης. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 499 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 5% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα, το 30% συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου και το 5% των µαθητών συµµετέχει και στις δύο οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Αν ονοµάσουµε τα ενδεχόµενα: Α: «ο µαθητής να συµµετέχει στη θεατρική οµάδα» και Β: «ο µαθητής να συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου», α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα: i) Α Β ii) Α Β iii) B A iv) Α (Μονάδες ) β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων i) ο µαθητής που επιλέχθηκε να συµµετέχει µόνο στην οµάδα ποδοσφαίρου ii) ο µαθητής που επιλέχθηκε να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 003 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, µαύρες, κόκκινες και πράσινες µπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι µαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες µαζί είναι 6. Επιλέγουµε µια µπάλα στην τύχη. ίνονται τα παρακάτω ενδεχόµενα: Α: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΑΣΠΡΗ K: η µπάλα που επιλέγουµε είναι KOKKINH Π: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ α) Χρησιµοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδεχόµενα: i) Η µπάλα που επιλέγουµε δεν είναι άσπρη, ii) Η µπάλα που επιλέγουµε είναι κόκκινη ή πράσινη. (Μονάδες 3) β) Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόµενα του ερωτήµατος (α). (Μονάδες ) GI_A_ALG 0 ίνονται δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω και οι πιθανότητες 3 5 Ρ( Α ) =, Ρ( Α Β ) = και Ρ( Β ) = α) Να υπολογίσετε την Ρ( Α Β ). (Μονάδες 9) β) i) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόµενο: «Α ή Β». (Μονάδες 7) ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγµατοποίησης του παραπάνω ενδεχοµένου. (Μονάδες 9) 36

127 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 87 ίνεται ο πίνακας: Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθµούς του παραπάνω πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης των παρακάτω ενδεχοµένων. Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος (Μονάδες 7) Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9) Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9) GI_A_ALG 506,,3,4,5,6 Α=,,4,5 και ίνεται το σύνολο Ω = { } και τα υποσύνολά του { } Β= {,4,6}. α) Nα παραστήσετε στο ίδιο διάγραµµα Venn, µε βασικό σύνολο το Ω, τα σύνολα Α και Β. Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β, Α Β, Α καιβ. (Μονάδες 3) β) Επιλέγουµε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχο- µένων: (i) Να µην πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α. (Μονάδες 4) (ii) Να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόµενα Α και Β. (Μονάδες 4) (iii) Να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α, Β. (Μονάδες 4) GI_A_ALG 50 Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% µαθαίνει πιάνο, το 40% µαθαίνει κιθάρα, ενώ το 0% των σπουδαστών µαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα. Επιλέγου- µε τυχαία ένα σπουδαστή του Ωδείου. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα: Α: ο σπουδαστής αυτός µαθαίνει πιάνο Β: ο σπουδαστής αυτός µαθαίνει κιθάρα Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου: α) Ο σπουδαστής αυτός να µαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω όργανα. (Μονάδες ) β) Ο σπουδαστής αυτός να µη µαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 3383 Το 70% των κατοίκων µιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει µηχανάκι και το 0% έχει και αυτοκίνητο και µηχανάκι. Επιλέγουµε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της πόλης. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα: A: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο Μ: ο κάτοικος να έχει µηχανάκι. α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα: i) Α Μ ii) Μ Α iii) Μ (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε: i) Να µην έχει µηχανάκι (Μονάδες 7) ii) Να µην έχει ούτε µηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. (Μονάδες 9) GI_A_ALG 3384 Από τους 80 µαθητές ενός λυκείου, 0 µαθητές συµµετέχουν στη θεατρική οµάδα, 30 συµµετέχουν στην οµάδα στίβου, ενώ 0 µαθητές συµµετέχουν και στις δύο οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή του λυκείου. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα: A: ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική οµάδα 37

128 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Β: ο µαθητής συµµετέχει στην οµάδα στίβου α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα: i) Α Β ii) Β Α iii) Α (Μονάδες 9) β) Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής που επιλέχθηκε: i) Να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 9) ii) Να συµµετέχει µόνο στην οµάδα στίβου. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 3878 Ένα Λύκειο έχει 400 µαθητές από τους οποίους οι 00 είναι µαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουµε τυχαία ένα µαθητή, η πιθανότητα να είναι µαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: α) Το πλήθος των µαθητών της Γ τάξης. (Μονάδες 0) β) Το πλήθος των µαθητών της Β τάξης. (Μονάδες 5) γ) Την πιθανότητα ο µαθητής που επιλέξαµε να είναι της Β τάξης. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_868 Σε ένα τµήµα της Α Λυκείου κάποιοι µαθητές παρακολουθούν µαθήµατα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας µαθητής να µην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας µαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας µαθητής να παρακολουθεί µαθήµατα τουλάχιστον µιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9. α) Επιλέγουµε ένα µαθητή στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί µαθήµατα και των δύο γλωσσών; (Μονάδες 9) ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί µαθήµατα µόνο µιας από τις δύο γλώσσες; (Μονάδες 9) β) Αν 4 µαθητές παρακολουθούν µόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι µαθητές του τµήµατος; (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_936 Η εξέταση σε έναν διαγωνισµό των Μαθηµατικών περιλάµβανε δύο θέµατα τα οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόµενοι. Για να βαθµολογηθούν µε άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέµατα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέµατα. Στο διαγωνισµό εξετάσθηκαν 00 µαθητές. Στο πρώτο θέµα απάντησαν σωστά 60 µαθητές. Στο δεύτερο θέµα απάντησαν σωστά 50 µαθητές, ενώ και στα δύο θέµατα απάντησαν σωστά 30 µαθητές. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόµενα) τα παραπάνω δεδοµένα. (Μονάδες 3) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής: i) Να απάντησε σωστά µόνο στο δεύτερο θέµα. ii) Να βαθµολογηθεί µε άριστα. iii) Να µην απάντησε σωστά σε κανένα θέµα. iv) Να πέρασε την εξέταση. (Μονάδες ) Σχόλιο: Η δεύτερη πρόταση της εκφώνησης να γίνει: «Για να βαθµολογηθούν µε άριστα, έπρεπε να απαντήσουν ΣΩΣΤΑ και στα δύο θέµατα, ενώ, για να περάσουν την εξέταση, έπρεπε να απαντήσουν ΣΩΣΤΑ σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέµατα». GI_A_ALG_4_064 Σε µια οµάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 3 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουµε τυχαία ένα από τα άτοµα αυτά. α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόµενο το άτοµο που επιλέχθηκε: 38

129 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6) ii) να µην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτοµο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει σκάκι. (Μονάδες 3) GI_A_ALG_4_073 Οι δράστες µιας κλοπής διέφυγαν µ ένα αυτοκίνητο και µετά από την κατάθεση διαφόρων µαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθµός της πινακίδας του αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9 και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7. α) Με χρήση δενδροδιαγράµµατος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών αριθµών της πινακίδας του αυτοκινήτου. (Μονάδες 3) β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι το 7. Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι 6 ή 8. Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_080 Από µια έρευνα µεταξύ µαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το 80% των µαθητών πίνει γάλα ή τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι στο σπίτι το πρωί. Επιλέγουµε ένα µαθητή στην τύχη και ορίζουµε τα ενδεχόµενα: Α: ο µαθητής πίνει γάλα Β: ο µαθητής τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι Αν από το σύνολο των µαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι, α) Να ορίσετε µε χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόµενα: i) ο µαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι ii) ο µαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι iii) ο µαθητής να πίνει µόνο γάλα. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων του α) ερωτήµατος. (Μονάδες 3) GI_A_ALG_4_644 Μια ηµέρα, στο τµήµα Α ενός Λυκείου, το 4 των µαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωµετρία, ενώ το των µαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά 3 µαθήµατα. Η καθηγήτρια των µαθηµατικών επιλέγει τυχαία ένα µαθητή για να τον εξετάσει. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα: Α: ο µαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα Γ: ο µαθητής να έχει διαβάσει Γεωµετρία α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδοµένα του προβλήµατος. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής: i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο µαθήµατα ii) να έχει διαβάσει ένα µόνο από τα δύο µαθήµατα. (Μονάδες 8) γ) Αν γνωρίζουµε επιπλέον ότι οι µισοί από τους µαθητές έχουν διαβάσει Γεωµετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής: i) να έχει διαβάσει Γεωµετρία ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα (Μονάδες 8) 39

130 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους GI_A_ALG 070 ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ, δ µε β 0 και δ γ ώστε να ισχύουν: α + β γ = 4 και =. β δ γ 4 α) Να αποδείξετε ότι α = 3β και δ = 5γ. (Μονάδες 0) αγ+ βγ β) Να βρείτε την τιµή της παράστασης: Π=. (Μονάδες 5) βδ βγ GI_A_ALG 080 Έστω x, y πραγµατικοί αριθµοί ώστε να ισχύει: 4x + 5y =. x 4y α) Να αποδείξετε ότι: y = x. (Μονάδες ) x + 3y + xy β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: A=. (Μονάδες 3) xy GI_A_ALG 3874 ίνονται οι µη µηδενικοί αριθµοί α, β, µε α β για τους οποίους ισχύει: α + α = β + β α) Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί α και β είναι αντίστροφοι. (Μονάδες 3) β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( β ) 8 3 α Κ= 5 α αβ ( ). (Μονάδες ) 330

131 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα. ιάταξη πραγµατικών αριθµών GI_A_ALG 486 Αν 0 < α <, τότε α) να αποδείξετε ότι: 3 α β) να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς: 3 0, α,, α,. (Μονάδες ) α < α (Μονάδες 3) GI_A_ALG 487 α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x, y ισχύει: ( ) ( ) x + y+ 3 = x + y x+ 6y+ 0. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τους αριθµούς x, y ώστε: x + y x+ 6y+ 0= 0. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 506 Αν x 3 και y, να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιµή καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: α) x + y (Μονάδες 5) β) x 3y (Μονάδες 0) γ) x (Μονάδες 0) y GI_A_ALG 09 Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το τετράγωνο Γ ΕΗ πλευράς y. H E Z y Γ y y Α x α) Να αποδείξετε ότι η περίµετρος του γραµµοσκιασµένου σχήµατος ΕΖΒΑΓ που απέµεινε δίνεται από τη σχέση: Π = x + 4y. (Μονάδες 0) β) Αν ισχύει 5 < x < 8 και < y <, να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η τιµή της περιµέτρου του παραπάνω γραµµοσκιασµένου σχήµατος. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 73 ίνονται δύο τµήµατα µε µήκη x και y, για τα οποία ισχύουν: x 3 και y 6 4. α) Να δείξετε ότι: x 5 και y 0. (Μονάδες ) β) Να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η περίµετρος ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις x και y. (Μονάδες 3) Β 33

132 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 54 Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει µήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά, αντίστοιχα. Αν για τα µήκη x και y ισχύει: 4 x 7 και y 3 τότε: α) Να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του ορθογωνίου παραλληλογράµµου. (Μονάδες 0) β) Αν το x µειωθεί κατά και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του νέου ορθογωνίου παραλληλογράµµου. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 385 Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύουν: α 4 και 4 β 3. Να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παραστάσεις: α) α β (Μονάδες ) β) α GI_A_ALG 3870 ίνονται οι παραστάσεις: αβ (Μονάδες 3) α) Να δείξετε ότι: Κ Λ Κ α β 9 = + + και Λ α( 3 β) = ( α αβ β ) ( α 6α 9) =, όπου α, β R (Μονάδες 3) β) Να δείξετε ότι: Κ Λ, για κάθε τιµή των α, β. (Μονάδες 0) γ) Για ποιες τιµές των α, β ισχύει η ισότητα Κ= Λ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) GI_A_ALG 499 Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ισχύουν: 3 x 5 και y, να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων βρίσκονται οι τιµές των παραστάσεων: α) y x (Μονάδες ) β) x + y (Μονάδες 3) GI_A_ALG 759 ίνονται πραγµατικοί αριθµοί α, β µε α > 0 και β > 0. Να αποδείξετε ότι: 4 α) α+ 4 (Μονάδες ) α 4 4 β) α+ β+ 6 (Μονάδες 3) α β GI_A_ALG 750 ίνονται οι παραστάσεις: Κ= α +β και Λ= αβ, όπου α, β R. α) Να δείξετε ότι: Κ Λ, για κάθε τιµή των α, β. (Μονάδες ) β) Για ποιες τιµές των α, β ισχύει η ισότητα Κ =Λ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) 33

133 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα.3 Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών GI_A_ALG 504 α) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι: α+. (Μονάδες 5) α β) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι: α +. (Μονάδες 0) α GI_A_ALG 509 R, να αποδειχθεί ότι: α + β (). (Μονάδες 5) β α β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 996 ίνεται η παράσταση: A = x + y 3, µε x, y πραγµατικούς αριθµούς, για τους οποίους ισχύει: < x < 4 και < y < 3. Να αποδείξετε ότι: α) A = x y + (Μονάδες ) β) 0 < A < 4 (Μονάδες 3) GI_A_ALG 009 ίνεται η παράσταση: Α = 3x 6 +, όπου ο x είναι πραγµατικός αριθµός. α) Να αποδείξετε ότι α) Αν α, β { 0} i) για κάθε x, A= 3x 4 ii) για κάθε x<, A= 8 3x. (Μονάδες ) β) Αν για τον x ισχύει ότι x, να αποδείξετε ότι: 9x 6 = 3x+ 4. 3x 6 + (Μονάδες 3) GI_A_ALG 089 Για κάθε πραγµατικό αριθµό x µε την ιδιότητα 5 < x < 0, α) να γράψετε τις παραστάσεις x 5 και x 0 χωρίς απόλυτες τιµές. (Μονάδες 0) x 5 x 0 β) να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A = +. (Μονάδες 5) x 5 x 0 GI_A_ALG 09 ίνεται η παράσταση: Α = x x. α) Για < x <, να δείξετε ότι: A = x 3. (Μονάδες 3) β) Για x <, να δείξετε ότι η παράσταση A έχει σταθερή τιµή (ανεξάρτητη του x), την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες ) GI_A_ALG 70 ίνονται οι παραστάσεις Α= x 4 και Β= x 3, όπου x πραγµατικός αριθµός. α) Για κάθε x< 3 να αποδείξετε ότι Α+Β= x. (Μονάδες 6) x, 3 ώστε να ισχύει Α+Β= ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή β) Υπάρχει [ ) σας. (Μονάδες 9) 333

134 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 3884 Για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει: ( ) d x,3 = 3 x. 3 α) Να αποδείξετε ότι x. (Μονάδες ) 3 β) Αν x, να αποδείξετε ότι η παράσταση: K= x 3 3 x είναι ανεξάρτητη του x. (Μονάδες 3) GI_A_ALG_4_30 ίνονται τα σηµεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγµατικών αριθµών τους αριθµούς, 7 και x αντίστοιχα, µε < x< 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων i) x+ (Μονάδες 4) ii) x 7 (Μονάδες 4) β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του αθροίσµατος: x+ + x 7 (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε την τιµή της παράστασης A = x+ + x 7 γεωµετρικά. (Μονάδες 5) δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούµενο συµπέρασµα. (Μονάδες 7) 334

135 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα.4 Ρίζες πραγµατικών αριθµών GI_A_ALG 936 ίνεται η παράσταση: A= ( x 4+ x+ )( x 4 x+ ). α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x. (Μονάδες 3) GI_A_ALG α) Να δείξετε ότι: 3< 30< 4. (Μονάδες ) β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς και (Μονάδες 3) GI_A_ALG 944 ίνεται η παράσταση: A= x 4+ 6 x. α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος. (Μονάδες 3) β) Για x = 5, να αποδείξετε ότι: A + A 6= 0. (Μονάδες ) GI_A_ALG 947 ίνεται η παράσταση: A= x + 4 x 4. α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος. (Μονάδες ) β) Αν x = 4, να αποδείξετε ότι: A A ( 0 5) GI_A_ALG 950 =. (Μονάδες 3) 4 4 ίνεται η παράσταση: A= x x. α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος. (Μονάδες 3) 3 β) Αν x = 3, να αποδείξετε ότι: A + A + A+ = 0. (Μονάδες ) GI_A_ALG 95 B= x. 5 ίνεται η παράσταση: ( ) 5 α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση B; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x υπό µορφή διαστήµατος. (Μονάδες 3) 4 β) Για x = 4, να αποδείξετε ότι B + 6B = B. (Μονάδες ) GI_A_ALG 955 ίνονται οι αριθµοί: A= ( ) 6 3 και B ( ) 6 =. α) Να δείξετε ότι: Α Β = 4. (Μονάδες 3) β) Να διατάξετε από το µικρότερο στο µεγαλύτερο τους αριθµούς: 3,,. (Μονάδες ) 335

136 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 76 x + 4x+ 4 x 6x+ 9 ίνεται η παράσταση K=. x+ x 3 α) Να βρεθούν οι τιµές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η παράσταση K να έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού. (Μονάδες ) β) Αν < x < 3, να αποδείξετε ότι η παράσταση K είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x. (Μονάδες 3) GI_A_ALG ίνονται οι αριθµητικές παραστάσεις: ( ), ( 3 ), ( 6) Α= Β= Γ=. α) Να δείξετε ότι: Α+Β+Γ= 3. (Μονάδες 3) β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς: 3 3, 6 6. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) GI_A_ALG 43 ίνονται οι παραστάσεις A= ( x ) 3 και B ( x) 3 =, όπου x πραγµατικός αριθµός. α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α; (Μονάδες 7) β) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Β; (Μονάδες 8) γ) Να δείξετε ότι για κάθε x, ισχύει Α = Β. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 434 Αν είναι Α= 3 5, Β= 3, Γ= 6 5, τότε: α) Να αποδείξετε Α Β Γ= 5. (Μονάδες 5) β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς Α, Β. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 436 Αν είναι Α= 3, Β= + 3, τότε: α) Να αποδείξετε ότι Α Β=. (Μονάδες ) β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Π=Α +Β. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 873 Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραµµένες οι παρακάτω πληροφορίες (προσεγγίσεις):, 4 3, 73 5, 4 7, 64. α) Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδοµένα (όποια θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε µε προσέγγιση εκατοστού τους αριθµούς 0, 45 και 80. (Μονάδες ) β) Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιµές των ριζών πώς θα µπορούσατε να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης ; (Μονάδες 3)

137 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα 3. Εξισώσεις ου βαθµού GI_A_ALG 485 ίνεται η εξίσωση λx= x+ λ, µε παράµετρο λ R. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα: ( λ ) x= ( λ ) λ+, λ R. (Μονάδες 8) ( ) β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς µία λύση την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8) γ) Για ποια τιµή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) GI_A_ALG 507 λ 9 x= λ 3λ, µε παράµετρο λ R (). ίνεται η εξίσωση: ( ) α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγµατικές τιµές για το λ, να γράψετε τρεις εξισώσεις. (Μονάδες 6) β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ R, ώστε η () να έχει µία και µοναδική λύση. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την τιµή του λ R, ώστε η µοναδική λύση της () να ισούται µε 4. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 055 ( λ )x = λ+ λ+, µε παράµετρο λ R. ίνεται η εξίσωση: ( )( ) α) Να λύσετε την εξίσωση για λ = και για λ =. (Μονάδες ) β) Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει µοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 338 ίνεται η παράσταση Α= α) Να δείξετε ότι Α = 4. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση x + Α =. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 430 ίνεται η εξίσωση ( α+ 3) x=α 9, µε παράµετρο α R. α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις: i) όταν α= (Μονάδες 5) ii) όταν α= 3 (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιµές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει µοναδική λύση και να προσδιορίσετε τη λύση αυτή. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_30 Σε έναν άξονα τα σηµεία Α, Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθµούς 5, 9 και x αντίστοιχα. α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων x 5 και x 9. (Μονάδες 0) β) Αν ισχύει x 5 = x 9, i) Ποια γεωµετρική ιδιότητα του σηµείου Μ αναγνωρίζετε; Nα αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό x που παριστάνει το σηµείο Μ. Να επιβεβαιώσετε µε αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας. (Μονάδες 8) 337

138 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα 3.3 Εξισώσεις ου βαθµού GI_A_ALG 48 x λx+ 4 λ = 0, µε παράµετρο λ R. ίνεται η εξίσωση ( ) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 8) γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή του λ R ισχύει: x+ x = xx. (Μονάδες 9) GI_A_ALG 483 α) Να λύσετε την εξίσωση x = 3. (Μονάδες ) β) Αν α, β µε α < β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx + βx+ 3= 0. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 493 α) Να λύσετε την εξίσωση x = 3. (Μονάδες 0) β) Να σχηµατίσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήµατος. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 496 x + λx+ 4 λ = 0 µε παράµετρο λ R. ίνεται η εξίσωση ( ) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 8) γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή του λ ισχύει: ( ) x + x + x x + 5= 0. (Μονάδες 9) GI_A_ALG 007 α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: x + 0x =. (Μονάδες 5) x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση: = 0. (Μονάδες 0) x GI_A_ALG 093 ίνονται οι αριθµοί: Α=, Β= α) Να δείξετε ότι: i) Α+Β= (Μονάδες 8) ii) Α Β= (Μονάδες 8) 0 β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς Α και Β. (Μονάδες 9) GI_A_ALG 097 ίνεται το τριώνυµο x +λx 5, όπου λ R. α) Αν µια ρίζα του τριωνύµου είναι ο αριθµός x0 =, να προσδιορίσετε την τιµή του λ. (Μονάδες ) β) Για λ = 3, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο. (Μονάδες 3) 338

139 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 75 ίνεται το τριώνυµο x + 5x. α) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, x και x. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων: x+ x, xx και +. (Μονάδες 9) x x γ) Να προσδιορίσετε µια εξίσωση ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς x,. (Μονάδες 0) x GI_A_ALG 8 ίνεται το τριώνυµο ( ) x + 3 x+ 3. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι = ( 3+ ). (Μονάδες ) β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 8 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 3x x. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες έχει νόηµα η παράσταση: x A(x) = και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. (Μονάδες 9) 3x x γ) Να λύσετε την εξίσωση: A(x) =. (Μονάδες 8) GI_A_ALG 98 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α+β= και α β+αβ = 30 α) Να αποδείξετε ότι: αβ= 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 509 ίνεται η εξίσωση x ( λ )x+ 6= 0 () µε παράµετρο λ R. α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το, να βρείτε το λ. (Μονάδες 3) β) Για λ = να λύσετε την εξίσωση (). (Μονάδες ) GI_A_ALG 533 Θεωρούµε την εξίσωση x + x+λ = 0 µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 0) β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δύο ρίζες x, x να προσδιορίσετε το λ ώστε να ισχύει: xx (x+ x ) =. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 3839 λx λ x = 0, µε παράµετρο λ 0. ίνεται η εξίσωση: ( ) α) Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθµό. (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ 0. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 3847 ίνεται η εξίσωση ( λ+ ) x + λx+ λ = 0, µε παράµετρο λ. Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες: 339

140 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα α) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 3) β) το άθροισµα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο µε. (Μονάδες ) GI_A_ALG 3857 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β= 4 και α β+ αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α+ β= 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 3863 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: 3 3 α+ β= και α β+ α β + αβ = α) Να αποδείξετε ότι: α β=. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 4309 ίνεται ορθογώνιο µε περίµετρο Π = 0 cm και εµβαδό E = 4 cm. α) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση ου βαθµού που έχει ως ρίζες τα µήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 430 ίνονται δύο πραγµατικοί αριθµοί α, β, τέτοιοι ώστε: α + β = και α + β = 7 α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας (α + β) = α + αβ + β, να δείξετε ότι: α β = 64. (Μονάδες 8) β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς α, β. (Μονάδες 0) γ) Να προσδιορίσετε τους αριθµούς α, β. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 433 ίνονται οι αριθµοί A=, 3 7 α) Να δείξετε ότι: A+ B= 3 και B= A B=. (Μονάδες ) β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς Α, Β. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 437 ίνεται η εξίσωση ( λ+ )x + λ x+λ = 0, µε παράµετρο λ. α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες ) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε xx = 3. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 758 ίνεται το τριώνυµο: x κx, µε κ R. α) Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε κ R, όπου η διακρίνουσα του τριωνύµου. (Μονάδες 3) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 3x = 0 (), i) Να βρείτε το άθροισµα S = x + x και το γινόµενο P = xx των ριζών της (). 340

141 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού που να έχει ρίζες ρ, ρ, όπου ρ = x και ρ = x. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_955 Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο ηµήτρης τερµάτισαν σε έναν αγώνα δρόµου µε αντίστοιχους χρόνους (σε λεπτά) t Α, t Β, t και t, για Γ tα+ tβ τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: tα < tβ, tγ = και tα t = tβ t. 3 tα+ tβ α) i) Να δείξετε ότι: t =. (Μονάδες 5) ii) Να βρείτε τη σειρά µε την οποία τερµάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) β) ίνεται επιπλέον ότι ισχύει: t + t = 6 και t t = 8. Α Β Α Β i) Να γράψετε µια εξίσωση ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς t Α και t Β. (Μονάδες 5) ii) Να βρείτε τους χρόνους τερµατισµού των τεσσάρων αθλητών. (Μονάδες 5) GI_A_ALG_4_33 ίνεται η εξίσωση x 4x+ λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιµή του λ R, η () έχει δύο ρίζες άνισες. (Μονάδες 0) β) Αν x και x είναι ρίζες της εξίσωσης (): i) Να βρείτε το S = x + x. ii) Να βρείτε το P = xx ως συνάρτηση του πραγµατικού αριθµού λ. (Μονάδες 5) γ) Αν η µία ρίζα της εξίσωσης () είναι ο αριθµός + 3 τότε: i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης () είναι ο αριθµός 3, ii) να βρείτε το λ. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_455 ίνεται το τριώνυµο: λx ( λ + )x +λ, λ R {0}. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R {0}. (Μονάδες 8) β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S= x+ x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P= xx των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ < 0, τότε: i) το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) ii) να αποδείξετε ότι x+ x xx, όπου x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου. (Μονάδες 6) GI_A_ALG_4_4558 ίνεται το τριώνυµο: f (x) =λ x ( λ + ) x+λ µε λ> 0. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες θετικές για κάθε λ > 0. (Μονάδες 0) β) Αν οι ρίζες του τριωνύµου είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, τότε: 34

142 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα i) να βρείτε το εµβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 4) ii) να βρείτε την περίµετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να αποδείξετε ότι Π 4 για κάθε λ > 0. (Μονάδες 8) iii) για την τιµή του λ που η περίµετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση µε 4, τι συ- µπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) GI_A_ALG_4_ α) ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση x 7x + = 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη διτετράγωνη εξίσωση: x +β x +γ= 0 () µε παραµέτρους β, γ R 4. Να δείξετε ότι: Αν β < 0, γ > 0 και β 4γ> 0, τότε η εξίσωση () έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 5) GI_A_ALG_4_4659 ίνεται η εξίσωση: αx 5x+α= 0, µε παράµετρο α 0. 5 α) Να αποδείξετε ότι αν α, τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικούς αριθµούς, που είναι αντίστροφοι µεταξύ τους. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν α =. (Μονάδες 5) γ) Να λύσετε την εξίσωση: x+ 5 x+ + = 0. (Μονάδες 0) x x GI_A_ALG_4_4665 ίνεται η εξίσωση: x λx (λ + 5) = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης (). (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε λ R. (Μονάδες 0) γ) Αν x, x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (), να βρεθούν οι τιµές του λ R για τις οποίες ισχύει: (x )(x ) = 4. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_4667 α) Να λύσετε την εξίσωση: x 3x 4= 0 (). (Μονάδες 0) β) ίνονται οι οµόσηµοι αριθµοί α, β για τους οποίους ισχύει: α 3αβ 4β = 0. i) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α β είναι λύση της εξίσωσης (). (Μονάδες 7) ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_4857 ίνεται η εξίσωση αβx (α + β )x+ αβ= 0, όπου α, β δύο θετικοί αριθµοί. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: = (α β ). (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τη σχέση µεταξύ των αριθµών α, β, έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των α, β. (Μονάδες 0) α β γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι x= και x =, τότε να αποδείξετε ότι: β α (+ x )(+ x ) 4. (Μονάδες 7) 34

143 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_4903 x x 0 ίνεται η εξίσωση λ + ( λ ) +λ =, µε παράµετρο λ { 0} R. α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 8) β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγµατικών αριθµών είναι ίση µε µονάδες. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_4957 x x λ R 0. ίνεται το τριώνυµο ( ) λ λ + +λ, { } α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο λ R 0. (Μονάδες 8) έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε { } β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S= x+ x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P= xx των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ> 0, το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) δ) Για κάθε λ> 0, αν x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, να αποδείξετε ότι xx. (Μονάδες 6) x+ x GI_A_ALG_4_496 x x λ R 0. ίνεται το τριώνυµο ( ) λ λ + +λ, { } α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο λ R 0. (Μονάδες 8) έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε { } β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα S= x+ x συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου P= xx των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν λ > 0 το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) δ) Αν 0<λ και x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, τότε να συγκρίνετε τους αριθµούς και. (Μονάδες 6) x+ x GI_A_ALG_4_4970 ίνεται η εξίσωση: x +λx 36= 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του λ, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 8) β) Υποθέτουµε τώρα ότι µία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθµός ρ. (i) Να δείξετε ότι ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x λx 36= 0. (Μονάδες 7) (ii) Να δείξετε ότι: ρ 0 και ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 36x +λ x+ = 0. (Μονάδες 0) 343

144 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_ α) ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: x 8x 9= 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο µόνο πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη 4 διτετράγωνη εξίσωση: x +β x +γ= 0 () µε παραµέτρους β, γ R. Να δείξετε ότι: Αν γ< 0 τότε i) β 4γ> 0 (Μονάδες 3) ii) η εξίσωση () έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_499 α) ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε περίµετρο Π= 34 cm και διαγώνιο δ= 3 cm. i) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε= 60 cm. (Μονάδες 5) ii) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση ου βαθµού που να έχει ρίζες τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) iii) Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 40 cm και διαγώνιο 8 cm. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_537 4 α) ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: x 9x + 0= 0. Nα δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 0) 4 β) Να κατασκευάσετε µία διτετράγωνη εξίσωση της µορφής x +β x +γ= 0, η οποία να έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. Να αποδείξετε τον ισχυρισµό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε. (Μονάδες 5) GI_A_ALG_4_63 ίνεται η εξίσωση: x 5λx = 0, µε παράµετρο λ R. α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ R, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: i) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ R, για τις οποίες ισχύει: 4 (x+ x ) 8 7(xx ) = 0. (Μονάδες 9) ii) Για λ =, να βρείτε την τιµή της παράστασης: A= x x 3x + 4 3x + xx. (Μονάδες 9) GI_A_ALG_4_64 Οι πλευρές x, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x 4 λ+ x+ 6= 0, µε λ (0, 4). λ α) Να βρείτε: i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6) ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι Π 6, για κάθε λ (0,4). (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιµή του λ η περίµετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση µε 6; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6) 344

145 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_63 Στο επόµενο σχήµα το ΑΒΓ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ = 3 και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σηµείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων τετραγώνων του σχήµατος. Η 3 Γ Κ x Μ Ζ A x Θ B α) Να αποδείξετε ότι E= x 6x+ 9 µε x (0, 3). (Μονάδες 9) 9 β) Να αποδείξετε ότι E για κάθε x (0, 3). (Μονάδες 8) γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων τετραγώνων του σχήµατος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο µε 9 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Mονάδες 8) GI_A_ALG_4_750 Τα σπίτια τεσσάρων µαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της ήµητρας βρίσκονται πάνω σε ένα ευθύγραµµο δρόµο, ο οποίος ξεκινάει από το σχολείο τους. Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, s A, s B, s Γ και s αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις: s < s A sa+ 3s B sγ = 4 s sα = s sβ Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σηµείο Ο και τα σηµεία Α, Β, παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα. Β α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σηµεία Γ και, που παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της ήµητρας. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Αν επιπλέον, οι τιµές των αποστάσεων s A, s B σε km ικανοποιούν τις σχέσεις sα + sβ =,4 και sa sb = 0,45 τότε: i) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση ου βαθµού που να έχει ρίζες τους αριθµούς s A, s B. (Μονάδες 6) ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις s A, s B, s Γ και s. (Μονάδες 7) 345

146 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_755 ίνεται η εξίσωση: x x+ λ= 0, µε παράµετρο λ<. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες x, x διαφορετικές µεταξύ τους. (Μονάδες 6) β) Να δείξετε ότι: x+ x =. (Μονάδες 4) γ) Αν για τις ρίζες x, x ισχύει επιπλέον x = x+, τότε: i) Να δείξετε ότι: x x = 4. (Μονάδες 7) ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες x, x και την τιµή του λ. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_756 ίνεται η εξίσωση: ( ) αx α x α= 0, µε παράµετρο α 0. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: ( α ) β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: ρ γ) Να βρεθούν οι τιµές του α ώστε: ρ ρ GI_A_ALG_4_7940 α) Να λύσετε τις εξισώσεις = +. (Μονάδες 5) = α και ρ =. α (Μονάδες 0) =. (Μονάδες 0) 3x 4x+ 8= 0 () και 8x 4x+ 3= 0 (). (Μονάδες 0) β) Ένας µαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της µορφής: α x +β x+γ= 0 (3) και γ x +β x+α= 0 (4) µε αγ 0. Αποδείξτε τον ισχυρισµό του µαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και α γ 0, τότε i) ρ 0 και (Μονάδες 5) ii) ο επαληθεύει την εξίσωση (4). (Μονάδες 0) ρ 346

147 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα 4. Ανισώσεις ου βαθµού GI_A_ALG 489 α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <. (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση 3x > 5. (Μονάδες 8) γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούµενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγµατικών αριθµών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε µε διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων. (Μονάδες 9) GI_A_ALG 49 x ίνονται οι ανισώσεις: 3x < x + 9 και x+. α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 503 α) Να λύσετε την ανίσωση: x < 4. (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτηµάτων (α) και (β) µε χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών και να τις γράψετε µε τη µορφή διαστήµατος. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 505 α) Να λύσετε την εξίσωση: x 4 = 3 x. (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 >. (Μονάδες 9) γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήµατος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 99 Αν ο πραγµατικός αριθµός x ικανοποιεί τη σχέση: x+ <, α) να δείξετε ότι x ( 3, ). (Μονάδες ) x+ 3+ x β) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης: K= είναι αριθµός ανεξάρτητος του x. (Μονάδες 3) 4 GI_A_ALG 039 α) Να λύσετε την ανίσωση x 5. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τους αριθµούς x που απέχουν από το 5 απόσταση µικρότερη του 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). (Μονάδες 8) GI_A_ALG 06 α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: y 3 <. (Μονάδες ) β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε < x< 3 και < y< 4, τότε να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή του εµβαδού E του ορθογωνίου. (Μονάδες 3) 347

148 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 074 α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: y 3 <. (Μονάδες ) β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε < x< 3 και < y< 4, τότε να αποδείξετε ότι 6< Π< 4, όπου Π είναι η περίµετρος του ορθογωνίου. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 077 α) Να λύσετε την ανίσωση: x 5 < 4. (Μονάδες 0) β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι: < <. (Μονάδες 5) 9 α GI_A_ALG 73 ίνονται δύο τµήµατα µε µήκη x και y, για τα οποία ισχύουν: x 3 και y 6 4. α) Να δείξετε ότι: x 5 και y 0. (Μονάδες ) β) Να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η περίµετρος ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις x και y. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 305 α) Να λύσετε την ανίσωση x (Μονάδες ) β) Αν α -, να γράψετε την παράσταση Α= α+ 4 3 χωρίς απόλυτες τιµές. Να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 490 ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει: x < 3. α) Να αποδείξετε ότι: < x< 5. (Μονάδες ) x+ + x 5 β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: K=. (Μονάδες 3) 3 GI_A_ALG 495 ίνονται πραγµατικοί αριθµοί y, για τους οποίους ισχύει y <. α) Να αποδείξετε ότι y (,3). (Μονάδες ) β) Να απλοποιήσετε την παράσταση K= y + y 3. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 4305 α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγµατικών αριθµών: i) x 3 5 (Μονάδες 9) ii) x 3 (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 4306 α) Να λύσετε την εξίσωση x x 6= 0 (). (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση x < (). (Μονάδες 9) γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιµές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις () και (). (Μονάδες 7) 348

149 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 438 Αν για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει x <, τότε: α) Να αποδείξετε ότι 0 < x <. (Μονάδες 5) β) Να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς, x, x. Nα αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 75 α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγµατικών αριθµών: i) x < 5 και (Μονάδες 9) ii) x (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_890 λ+ x + λ+ 3 x+λ = 0, µε παράµετρο λ. ίνεται η εξίσωση ( ) ( ) ( ) α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης ( ) είναι: = λ+ 5. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις τιµές του λ, ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7) γ) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισµα των ριζών S= x+ x και το γινόµενο των ριζών Ρ= x x. (Μονάδες 4) δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του λ ώστε για τις ρίζες x, x της εξίσωσης () να ισχύει η σχέση: ( x x ) ( x x 3) 0( ) =. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_08 ίνεται η εξίσωση λx + (λ )x + λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να λύσετε την εξίσωση όταν λ = 0. (Μονάδες 5) β) Έστω λ 0. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, τις οποίες στη συνέχεια να βρείτε. (Μονάδες 0) ii) Αν x= και x= + είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (), να προσδιορίσετε τις τιµές του λ, για τις οποίες ισχύει x x >. (Μονάδες 0) λ GI_A_ALG_4_38 ίνεται η εξίσωση x λ x+λ = 0, µε παράµετρο λ R. α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε λ R. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ, οι δύο άνισες ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο διάστηµα (, 4). (Μονάδες 3) GI_A_ALG_4_87 ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός x που ικανοποιεί τη σχέση: d(x,5) 9. α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. (Μονάδες 5) β) Με χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών, να παραστήσετε σε µορφή διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του x. (Μονάδες 5) γ) Να γράψετε τη σχέση µε το σύµβολο της απόλυτης τιµής και να επιβεβαιώσετε µε αλγεβρικό τρόπο το συµπέρασµα του ερωτήµατος (β). (Μονάδες 0) δ) Να χρησιµοποιήσετε το συµπέρασµα του ερωτήµατος (γ) για να δείξετε ότι: x+ 4 + x 4 = 8. (Μονάδες 5) 349

150 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_4833 Μία υπολογιστική µηχανή έχει προγραµµατιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγµατικός αριθµός x, να δίνει ως εξαγόµενο τον αριθµό λ που δίνεται από τη σχέση: ( x 5) 8x ( ) λ= +. α) Αν ο εισαγόµενος αριθµός είναι το 5, ποιος είναι ο εξαγόµενος; (Μονάδες 6) β) Αν ο εξαγόµενος αριθµός είναι το 0, ποιος µπορεί να είναι ο εισαγόµενος; (Μονάδες 6) 4x + x+ 5 λ = 0 και στη συνέχεια: γ) Να γράψετε τη σχέση () στη µορφή ( ) i) να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιµή και να έχει ο εισαγόµενος αριθµός x, ο εξαγόµενος αριθµός λ δεν µπορεί να είναι ίσος µε 5. (Μονάδες 6) ii) να προσδιορίσετε τις δυνατές τιµές του εξαγόµενου αριθµού λ. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_4835 ίνεται η εξίσωση x β x+γ= 0 µε β, γ πραγµατικούς αριθµούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει x+ x = 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του β. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι γ < 4. (Μονάδες 7) γ) ίνεται επιπλέον η εξίσωση x β x + 3= 0 (). Να εξετάσετε για ποια από τις τιµές του β που βρήκατε στο (α) ερώτηµα, η εξίσωση () δεν έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_4946 α) Να λύσετε την ανίσωση x 3 5. (Μονάδες 7) β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και να ερµηνεύσετε το αποτέλεσµα, µε βάση την γεωµετρική σηµασία της παράστασης x 3. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθµούς x που ικανοποιούν την ανίσωση x 3 5. (Μονάδες 5) δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθµών x που ικανοποιούν την ανίσωση x 3 5. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_495 α) Θεωρούµε την εξίσωση x + x+ 3=α, µε παράµετρο α R. i) Να βρείτε για ποιες τιµές του α η εξίσωση x + x+ 3=α έχει δύο ρίζες πραγ- µατικές και άνισες. (Μονάδες 6) ii) Να βρείτε την τιµή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 6) β) ίνεται το τριώνυµο f (x) = x + x+ 3, x R. i) Να αποδείξετε ότι f (x), για κάθε x R. (Μονάδες 7) ii) Να λύσετε την ανίσωση f (x). (Μονάδες 6) GI_A_ALG_4_763 ίνεται το τριώνυµο: x 6x+ λ 7, όπου λ R. α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 7) β) i) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να βρείτε την τιµή του αθροίσµατος S= x + x των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόµενο P= x x των ριζών. (Μονάδες ) 350

151 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ µε 7 < λ < 6, το τριώνυµο έχει δύο άνισες οµόση- µες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσηµο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) γ) i) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση x 6 x + λ= 7 () έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 8) ii) Έχει η εξίσωση () για λ= 3 0 τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) GI_A_ALG_4_779 ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: (α )( β) > 0. α) Να αποδείξετε ότι το είναι µεταξύ των α, β. (Μονάδες 3) β) Αν επιπλέον β α = 4, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: Κ = α + β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωµετρικά είτε αλγεβρικά. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_8443 α) Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει x 4 <. (Μονάδες 0) β) Θεωρούµε πραγµατικό αριθµό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγµατικών αριθµών είναι µικρότερη του. i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθµού αυτού από το 4 είναι µεγαλύτερη του και µικρότερη του 4. (Μονάδες 5) ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιµή της απόστασης του 3x από το 9. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_8453 Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β R ισχύει: α < β 3 α) Να αποδειχθεί ότι <α< 3. (Μονάδες 4) β) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται ο β. (Μονάδες 5) γ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση α 3β. (Μονάδες 7) δ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση α. (Μονάδες 9) β 35

152 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα 4. Ανισώσεις ου βαθµού GI_A_ALG 489 α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <. (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση 3x > 5. (Μονάδες 8) γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούµενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγµατικών αριθµών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε µε διάστηµα ή ένωση διαστηµάτων. (Μονάδες 9) GI_A_ALG 49 x ίνονται οι ανισώσεις: 3x < x + 9 και x+. α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 503 α) Να λύσετε την ανίσωση: x < 4. (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτηµάτων (α) και (β) µε χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών και να τις γράψετε µε τη µορφή διαστήµατος. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 505 α) Να λύσετε την εξίσωση: x 4 = 3 x. (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 >. (Μονάδες 9) γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήµατος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 99 Αν ο πραγµατικός αριθµός x ικανοποιεί τη σχέση: x+ <, α) να δείξετε ότι x ( 3, ). (Μονάδες ) x+ 3+ x β) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης: K= είναι αριθµός ανεξάρτητος του x. (Μονάδες 3) 4 GI_A_ALG 039 α) Να λύσετε την ανίσωση x 5. (Μονάδες 8) β) Να βρείτε τους αριθµούς x που απέχουν από το 5 απόσταση µικρότερη του 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). (Μονάδες 8) GI_A_ALG 06 α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: y 3 <. (Μονάδες ) β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε < x< 3 και < y< 4, τότε να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή του εµβαδού E του ορθογωνίου. (Μονάδες 3) 35

153 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 074 α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: y 3 <. (Μονάδες ) β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε < x< 3 και < y< 4, τότε να αποδείξετε ότι 6< Π< 4, όπου Π είναι η περίµετρος του ορθογωνίου. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 077 α) Να λύσετε την ανίσωση: x 5 < 4. (Μονάδες 0) β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι: < <. (Μονάδες 5) 9 α GI_A_ALG 73 ίνονται δύο τµήµατα µε µήκη x και y, για τα οποία ισχύουν: x 3 και y 6 4. α) Να δείξετε ότι: x 5 και y 0. (Μονάδες ) β) Να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η περίµετρος ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις x και y. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 305 α) Να λύσετε την ανίσωση x (Μονάδες ) β) Αν α -, να γράψετε την παράσταση Α= α+ 4 3 χωρίς απόλυτες τιµές. Να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 490 ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει: x < 3. α) Να αποδείξετε ότι: < x< 5. (Μονάδες ) x+ + x 5 β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: K=. (Μονάδες 3) 3 GI_A_ALG 495 ίνονται πραγµατικοί αριθµοί y, για τους οποίους ισχύει y <. α) Να αποδείξετε ότι y (,3). (Μονάδες ) β) Να απλοποιήσετε την παράσταση K= y + y 3. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 4305 α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγµατικών αριθµών: i) x 3 5 (Μονάδες 9) ii) x 3 (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 4306 α) Να λύσετε την εξίσωση x x 6= 0 (). (Μονάδες 9) β) Να λύσετε την ανίσωση x < (). (Μονάδες 9) γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιµές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις () και (). (Μονάδες 7) 353

154 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 438 Αν για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει x <, τότε: α) Να αποδείξετε ότι 0 < x <. (Μονάδες 5) β) Να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς, x, x. Nα αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 75 α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγµατικών αριθµών: i) x < 5 και (Μονάδες 9) ii) x (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 478 x λx+ λ + λ = 0 (), µε παράµετρο λ R. ίνεται η εξίσωση: ( ) α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγµατικές. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την ανίσωση: S P 0, όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της (). (Μονάδες 3) GI_A_ALG 484 α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 0. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος α). (Μονάδες 9) GI_A_ALG 490 ίνεται το τριώνυµο x 3x+. α) Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιµές του x R για τις οποίες: x 3x+ < 0. (Μονάδες 5) γ) Να εξετάσετε αν οι αριθµοί 3 και είναι λύσεις της ανίσωσης: x 3x+ < 0. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 498 x+ x+ + 4 α) Να λύσετε την εξίσωση: = (Μονάδες 9) β) Nα λύσετε την ανίσωση: x + x (Μονάδες 9) γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήµατος. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 067 x 4x+ 4 ίνεται η παράσταση: K= x 3x. α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο x 3x. (Μονάδες 0) β) Για ποιες τιµές του x R ορίζεται η παράσταση Κ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση Κ. (Μονάδες 8) 354

155 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 77 ίνονται οι ανισώσεις x + 5x 6< 0 () και x 6 0 (). α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων () και (). (Μονάδες ) β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων () και () πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 78 ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει d(x, ) <. Να δείξετε ότι: α) 3 < x < (Μονάδες 0) β) x + 4x+ 3< 0 (Μονάδες 5) GI_A_ALG 88 α) Να λύσετε την ανίσωση: x 0x+ < 0. (Mονάδες ) β) ίνεται η παράσταση: A = x 3 + x 0x+. i) Για 3< x< 7, να δείξετε ότι: A= x + x 4. (Μονάδες 8) ii) Να βρείτε τις τιµές του x (3, 7), για τις οποίες ισχύει A= 6. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 97 α) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 4x+ 0. (Μονάδες ) β) Αν α, β δύο αριθµοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθµός 3 α+ 6 β είναι επίσης λύση της ανίσωσης. (Μονάδες 3) 9 GI_A_ALG 5 α) Να λυθεί η εξίσωση: x x = 0. (Μονάδες 8) β) Να λυθεί η ανίσωση: x x > 0 και να παραστήσετε το σύνολο λύσεών της στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες ) 4 4 γ) Να τοποθετήσετε το στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Είναι το 3 3 λύση της ανίσωσης του ερωτήµατος (β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 544 α) Να αποδείξετε ότι x + 4x+ 5> 0, για κάθε πραγµατικό αριθµό x. (Μονάδες 0) β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιµές την παράσταση: B= x + 4x+ 5 x + 4x+ 4. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 3380 ίνεται το τριώνυµο ( ) f x = 3x + 9x, x R. α) Να λύσετε την ανίσωση f( x) 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 3) β) Να ελέγξετε αν ο αριθµός 3 είναι λύση του ερωτήµατος (α). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_874 ίνεται η εξίσωση: x ( λ )x+ λ + 5 = 0 (), µε παράµετρο λ R. α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης () είναι: = 4λ λ 6. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 0) 355

156 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα γ) Αν η εξίσωση () έχει ρίζες τους αριθµούς x, x και d(x, x ) είναι η απόσταση των x, x στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, να βρείτε για ποιες τιµές του λ R ισχύει: d(x, x ) = 4. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_055 λ λ x λ x+λ = 0, () µε παράµετρο λ R. ίνεται η εξίσωση: ( ) ( ) α) Να βρεθούν οι τιµές του λ R, για τις οποίες η () είναι εξίσωση ου βαθµού. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ R που βρήκατε στο (α) ερώτηµα η () λx λ+ x+ = 0. (Μονάδες 6) παίρνει τη µορφή: ( ) γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ R που βρήκατε στο (α) ερώτηµα η () έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7) δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (), αν αυτή είναι ου βαθµού. (Μονάδες 6) GI_A_ALG_4_44 ίνονται οι ανισώσεις: x < 3 και x x 8 0. α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 0) β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x (, 4]. (Μονάδες 5) γ) Αν οι αριθµοί ρ και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθµός είναι κοινή τους λύση. ρ +ρ (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_55 ίνονται οι ανισώσεις: x 3 και x 4x< 0. α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 0) β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [, 3]. (Μονάδες 5) γ) Αν οι αριθµοί ρ και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθµός είναι κοινή τους λύση. (Μονάδες 0) ρ +ρ GI_A_ALG_4_73 ίνονται οι ανισώσεις x+ και x x > 0. α) Να λύσετε τις ανισώσεις. (Μονάδες 0) β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [ 3, ). (Μονάδες 5) γ) Αν οι αριθµοί ρ και ρ ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώσεων, να δείξετε ότι ρ ρ (, ). (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_336 α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου x 5x+ 6 για τις διάφορες τιµές του x R. (Μονάδες 0) β) ίνεται η εξίσωση x + ( λ ) x +λ = 0 () µε παράµετρο λ. 4 λ, 3, +, η εξίσωση () έχει δύο i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε ( ) ( ) ρίζες άνισες. (Μονάδες 0) ii) Να βρείτε τις τιµές του λ R για τις οποίες οι ρίζες της () είναι οµόσηµοι αριθµοί. (Μονάδες 5) 356

157 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_454 α) Να λύσετε την ανίσωση: x < x στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 8) β) ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε 0 < α <. i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 0,, α, α, α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). (Mονάδες 0) ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: +α< + α. (Mονάδες 7) GI_A_ALG_4_4548 x x+ λ λ = 0, µε παράµετρο λ R (). ίνεται η εξίσωση ( ) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A=, όπου S, P το άθροισµα και το S P γινόµενο των ριζών της εξίσωσης () αντίστοιχα, έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού για κάθε πραγµατικό αριθµό λ. (Μονάδες 9) GI_A_ALG_4_4607 α) Να λύσετε την ανίσωση: x > x στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 8) β) ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε α >. i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 0,, α, α, α. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). (Μονάδες 0) α+α ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθµούς: α, α,. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_4663 ίνεται η εξίσωση (x ) = λ(4x 3), µε παράµετρο λ R. α) Να γράψετε την εξίσωση στη µορφή αx + βx + γ = 0, α 0. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 0) γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, i) να υπολογίσετε τα S= x+ x και P= xx ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση A = (4x 3)(4x 3) είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_4680 ίνεται η εξίσωση: x x+λ λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) 357

158 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιµές του λ ισχύει 0 < d(x, x ) <. (Μονάδες 9) GI_A_ALG_4_468 ίνεται η εξίσωση: x x+λ λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιµές του λ ισχύει d(x, x ) =. (Μονάδες 9) d(x, x ) GI_A_ALG_4_468 ίνεται η εξίσωση: x x+λ λ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f (x) = x x+λ λ να έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R. (Μονάδες 9) GI_A_ALG_4_489 ίνεται το τριώνυµο f (x) = x x+λ λ = 0, λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R. (Μονάδες 0) β) Για ποια τιµή του λ το τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Αν λ και x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου µε x< x, τότε: x+ x i) Nα δείξετε ότι x< < x. (Μονάδες 4) ii) Να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς f (x ), x x f +, f (x+ ). (Μονάδες 5) GI_A_ALG_4_4834 ίνεται το τριώνυµο: λx ( λ + ) x +λ, λ R { 0}. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R { 0}. (Μονάδες 9) β) Για ποιες τιµές του λ το παραπάνω τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε την τιµή του λ 0, ώστε f(x) 0, για κάθε x R. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_4836 ίνεται η εξίσωση x λ x+ = 0 () µε παράµετρο λ R. α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση () έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 8) β) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (), τότε και ο αριθµός είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. (Μονάδες 5) ρ 358

159 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα γ) Για λ >, να αποδείξετε ότι: i) Οι ρίζες x, x της εξίσωσης () είναι αριθµοί θετικοί. ii) x+ 4x 4. (Μονάδες ) GI_A_ALG_4_4853 ίνεται το τριώνυµο αx + βx+ γ, α 0, µε ρίζες τους αριθµούς και. α) Χρησιµοποιώντας τους τύπους για το άθροισµα S και το γινόµενο P των ριζών του τριωνύµου, να αποδείξετε ότι: γ = α και β = 3α. (Μονάδες 9) β) Αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο παίρνει θετικές τιµές για κάθε x (, ), τότε: i) Να αποδείξετε ότι α < 0. (Μονάδες 9) ii) Να λύσετε την ανίσωση γx + βx+ α< 0. (Μονάδες 7) GI_A_ALG 4859 Θεωρούµε το τριώνυµο f (x) = 3x + κx 4 µε παράµετρο κ R. α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του κ, το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 0) β) Οι ρίζες του τριωνύµου είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5) γ) Αν x, x οι ρίζες του τριωνύµου και α, β δύο πραγµατικοί ώστε να ισχύει: α< x< x < β, να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου α f (α) β f (β). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_585 4 ίνονται οι εξισώσεις x 3x+ = 0 () και x 3x + = 0 (). α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). (Μονάδες 0) γ) Να βρείτε τριώνυµο της µορφής x +β x+γ που οι ρίζες του να είναι κάποιες από τις ρίζες της εξίσωσης () και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθµό x, να έχει θετική τιµή. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_536 ίνεται το τριώνυµο: x +β x+β, όπου β R. α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύµου. (Μονάδες 4) β) i) Αν β 0 τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο του τριωνύµου; (Μονάδες 7) ii) Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτηµα (i), όταν β= 0 ; (Μονάδες 6) γ) Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτηµα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα α +αβ+β > 0 για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, β που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_53 ίνεται το τριώνυµο: x x 8. α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x. (Μονάδες 0) 8889 β) Αν κ=, είναι η τιµή της παράστασης: κ κ 8 µηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθµός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) 4444 γ) Αν ισχύει 4<µ< 4, τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο της τιµής της παράστασης: µ µ 8 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) 359

160 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_5884 ίνεται το τριώνυµο f (x) = x 6x+λ 3, µε λ R. α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύµου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 7) γ) Αν 3 < λ <, τότε: i) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. (Μονάδες 6) ii) Αν x, x µε x< x είναι οι δύο ρίζες του τριωνύµου και κ, µ είναι δύο αριθµοί µε κ < 0 και x<µ< x, να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου κ f ( κ) µ f ( µ ). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_5885 α) i) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύµου: x + 9x+ 8. (Μονάδες 4) ii) Να λύσετε την εξίσωση: x+ 3 + x + 9x+ 8 = 0. (Μονάδες 7) β) i) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου x + 9x+ 8, για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x. (Μονάδες 7) ii) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει: x + 9x+ 8 = x 9x 8. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_66 Οι πλευρές x, x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( ) x x 0 +λ λ =, µε λ (0, ). α) Να βρείτε: i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου. (Μονάδες 6) ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι Ε, για κάθε λ (0, ) (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιµή του λ το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε ; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6) GI_A_ALG_4_67 α) Να λύσετε την ανίσωση: x 5x 6< 0. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού K = και να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 7) γ) Αν α ( 6, 6) να βρείτε το πρόσηµο της παράστασης Λ = α 5α 6. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_7677 ίνεται η ανίσωση: x+ < 4 (). α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (). (Μονάδες 3) γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής x +β x+γ το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης () και να έχει θετική τιµή, για κάθε x 0. (Μονάδες 5) 360

161 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_7684 ίνεται η ανίσωση: x 3 () α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (). (Μονάδες 3) γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής x +β x+γ το οποίο να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης () και να έχει θετική τιµή, για κάθε x 0. (Μονάδες 5) GI_A_ALG_4_7958 α) Να λύσετε την ανίσωση: x + x. (Μονάδες 0) β) ίνονται δύο αριθµοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης () και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση: (λ )(κ ) < 0. i) Να δείξετε ότι το είναι µεταξύ των κ, λ. (Μονάδες 8) 3 ii) Να δείξετε ότι: κ λ. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_7974 ίνεται πραγµατικός αριθµός α, που ικανοποιεί τη σχέση: α <. 5 α) Να γράψετε σε µορφή διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του α. (Μονάδες 8) β) Θεωρούµε στη συνέχεια το τριώνυµο: x ( α )x+. 4 i) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να προσδιορίσετε το πρόσηµό της. (Μονάδες 0) ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του x R, ισχύει GI_A_ALG_4_8445 α) ίνεται το τριώνυµο x ( α )x+ > 0. 4 (Μονάδες 7) x 3x+, x R. Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου. (Μονάδες 0) β) Θεωρούµε πραγµατικούς αριθµούς α, β διαφορετικούς από το 0 µε α < β για τους οποίους ισχύει ( )( ) α 3α+ β 3β+ < 0. Να αποδείξετε ότι ( α )( β ) = ( α )( β ). (Μονάδες 5) GI_A_ALG_4_8455 Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β R ισχύει ότι: 3 α < Η απόσταση του αριθµού β από τον αριθµό είναι µικρότερη του. α) Να αποδειχθεί ότι <α<. (Μονάδες 5) 3 β) Να αποδειχθεί ότι β 3α < 3. (Μονάδες 0) γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f (x) = 4x 4( β )x+β έχει πεδίο ορισµού όλο το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 0) 36

162 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα 5. Αριθµητική πρόοδος GI_A_ALG 474 Θεωρούµε την ακολουθία (α ν) των θετικών περιττών αριθµών:, 3, 5, 7, (α ) είναι αριθµητική πρόοδος και να βρείτε τον α) Να αιτιολογήσετε γιατί η ν εκατοστό όρο της. (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθµών είναι ίσο µε το τετράγωνο του πλήθους τους. (Μονάδες 0) GI_A_ALG 480 Ένα µικρό γήπεδο µπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισµάτων και κάθε σειρά έχει α καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη. Η 7η σειρά έχει 36 καθίσµατα και το πλήθος των καθισµάτων του σταδίου είναι 300. α) Αποτελούν τα καθίσµατα του γηπέδου όρους αριθµητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες ) β) Πόσα καθίσµατα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 3) GI_A_ALG 508 α) Να βρείτε το άθροισµα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων,, 3,, ν. (Μονάδες ) β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να χρησιµοποιήσουµε για να πάρουµε άθροισµα τον αριθµό 45. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 05 ίνεται η αριθµητική πρόοδος (α ν ) µε όρους 4 α = 0,α = 4. α) Να αποδείξετε ότι ω = και α =, όπου ω είναι η διαφορά της προόδου και α ο πρώτος όρος της. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος µε αν = ν 4, ν N και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 98. (Μονάδες 5) GI_A_ALG 050 α) Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό x ώστε οι αριθµοί: x+, ( x+ ),3x+ µε τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 3) β) Να βρείτε τη διαφορά ω της παραπάνω αριθµητικής προόδου, όταν i) x= ii) x = (Μονάδες ) GI_A_ALG 057 Σε ένα γυµναστήριο µε 0 σειρές καθισµάτων, η πρώτη σειρά έχει 0 καθίσµατα και κάθε σειρά έχει 0 καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενή της. α) Να εκφράσετε µε µια αριθµητική πρόοδο το πλήθος των καθισµάτων της ν-οστής σειράς. (Μονάδες 9) β) Πόσα καθίσµατα έχει η τελευταία σειρά; (Μονάδες 8) γ) Πόσα καθίσµατα έχει το γυµναστήριο; (Μονάδες 8) GI_A_ALG 064 ίνεται αριθµητική πρόοδος (α ν) για την οποία ισχύει ότι: α = 9 και α0 α6 = 4. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 6. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε τον α 0. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε το άθροισµα των 0 πρώτων όρων της προόδου. (Μονάδες 8) 36

163 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 086 Οι αριθµοί Α =, Β = x + 4, Γ = x + 8 είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου (α ν). α) Να βρείτε την τιµή του x. (Μονάδες 0) β) Αν x = και ο αριθµός A είναι ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου (α ν), i) να υπολογίσετε τη διαφορά ω. (Μονάδες 7) ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 8) GI_A_ALG 0 ίνεται η εξίσωση: x β x+ ( β 4) = 0 () µε παράµετρο β R. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες τις: x=β και x =β+. (Μονάδες ) β) Αν x, x είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθµοί x, β, x µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 30 ίνεται αριθµητική πρόοδος ( αν) για την οποία ισχύει: α4 α = 0. α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 5. (Μονάδες ) β) Αν το άθροισµα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι 33, να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 53 ίνεται η αριθµητική πρόοδος ( α ν ) µε α = και α 3 = 9. α) Να βρείτε τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες ) β) Να βρείτε το µικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει α ν > 30. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 4300 Σε µια αριθµητική πρόοδο (α ν) ισχύουν: α = και α 5 =α α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 3. (Μονάδες ) β) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 5. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 430 ίνεται αριθµητική πρόοδος (α ν) µε διαφορά ω. α5 α 9 α) Να δείξετε ότι: =. (Μονάδες 3) α α 0 7 β) Αν α5 α 9 = 8, να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. (Μονάδες ) GI_A_ALG 4303 Σε αριθµητική πρόοδο ( α ν) ισχύουν: α4 α 9 = 5 και α = 4. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι ίση µε 3. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο ν, ώστε α ν =ν. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 4304 Σε αριθµητική πρόοδο ( α ν) µε διαφορά ω = 4, ισχύει: α 6+α = 40. α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α της προόδου. (Μονάδες ) β) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουµε ώστε το άθροισµά τους να είναι ίσο µε το µηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) 363

164 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG 43 Οι αριθµοί x+ 6, 5x +, x 6 είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α και διαφορά ω. α) Να βρείτε την τιµή του x και να αποδείξετε ότι ω = 4. (Μονάδες ) β) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι α = 0, να υπολογίσετε το άθροισµα S 8 των 8 πρώτων όρων. (Μονάδες 3) GI_A_ALG 439 Σε µια αριθµητική πρόοδο ( α ν ) είναι α = και α 5 = 4. α) Να αποδείξετε ότι ω = 3. (Μονάδες ) β) Να βρείτε πόσους αρχικούς (πρώτους) όρους πρέπει να προσθέσουµε, ώστε το άθροισµά τους να είναι ίσο µε 77. ( ίνεται: 849 = 43.) (Μονάδες 3) GI_A_ALG_4_047 Ένας µελισσοκόµος έχει τοποθετήσει 0 κυψέλες σε µια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει µέτρο από την αποθήκη Α, η δεύτερη 4 µέτρα από το Α, η τρίτη 7 µέτρα από το Α και γενικά κάθε επόµενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, 3 επιπλέον µέτρα, σε σχέση µε την προηγού- µενη κυψέλη. α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου και να βρείτε τον ν ο όρο αυτής της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου και τι η διαφορά της; (Μονάδες 6) β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 0ή κυψέλη; (Μονάδες 6) γ) Ο µελισσοκόµος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το µέλι, από µία κυψέλη κάθε φορά, και το µεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α. i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο µελισσοκόµος για να συλλέξει το µέλι από την 3η κυψέλη; (Μονάδες 6) ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο µελισσοκόµος για να συλλέξει το µέλι και από τις 0 κυψέλες; (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_083 Ένα κλειστό στάδιο έχει 5 σειρές καθισµάτων. Στην πρώτη σειρά έχει καθίσµατα και καθεµιά από τις επόµενες σειρές έχει δύο καθίσµατα παραπάνω από την προηγούµενη. α) Να βρείτε πόσα καθίσµατα έχει η µεσαία και πόσα η τελευταία σειρά. (Μονάδες 0) β) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του σταδίου. (Μονάδες 5) γ) Οι µαθητές ενός Λυκείου προκειµένου να παρακολουθήσουν µια εκδήλωση, κατέλαβαν όλα τα καθίσµατα από την 7η µέχρι και τη 4η σειρά. Να βρείτε το πλήθος των µαθητών του Λυκείου. (Μονάδες 0) GI_A_ALG_4_33 Ο ιονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθµούς 3, 7,, 5, και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το 4. Σταµατάει όταν έχει γράψει τους 40 πρώτους από τους αριθµούς αυτούς. α) Είναι οι παραπάνω αριθµοί διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) β) Να βρείτε το άθροισµα των 40 αυτών αριθµών. (Μονάδες 7) γ) Είναι ο αριθµός 0 ένας από τους 40 αριθµούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του ιονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθµητικής προόδου, από εκεί που είχε σταµατήσει ο ιονύσης 364

165 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα µέχρι να εµφανιστεί ο αριθµός 35. Να βρείτε το άθροισµα των αριθµών που έγραψε ο Γιώργος. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_467 ίνεται η αριθµητική πρόοδος (α ν) µε διαφορά ω. -. (Μονάδες 6) α) Να αποδείξετε ότι α0 α 0 = 0ω β) Αν α0- α 0 = 30 και α =, να αποδείξετε ότι α ν = 3ν-. (Μονάδες 6) γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 30; (Μονάδες 7) δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι µικρότεροι του 60; (Μονάδες 6) GI_A_ALG_4_4858 Μία περιβαλλοντική οργάνωση ξεκινά να καταγράφει τον πληθυσµό των ελαφιών σε µια δασική περιοχή από το 000 όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Έτος Αριθµός ελαφιών Αν ο πληθυσµός των ελαφιών συνεχίζει να αυξάνεται µε τον ίδιο σταθερό ρυθµό και µετά το 004: α) Να βρείτε µια σχέση που να επιτρέπει τον υπολογισµό του πληθυσµού των ελαφιών στο τέλος κάθε έτους από το 000 και µετά. (Μονάδες 6) β) Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής: i) Να προσδιορίσετε τον πληθυσµό των ελαφιών στο τέλος του 0. (Μονάδες 6) ii) Να προβλέψετε το έτος στο τέλος του οποίου ο αρχικός πληθυσµός των 300 ελαφιών θα αυξηθεί κατά 60%. (Μονάδες 6) iii) Να προβλέψετε το έτος που ο πληθυσµός των ελαφιών δε θα υπερβεί τα 600 ελάφια. (Μονάδες 7) GI_A_ALG_4_495 Σε µια αριθµητική πρόοδο είναι α =κ και ( ) 3 α = κ+, κ ακέραιος µε κ >. α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθµός περιττός. (Μονάδες 8) β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι α =, τότε: i) Να βρείτε τον αριθµό κ και να αποδείξετε ότι ω = 7. (Μονάδες 8) ii) Να εξετάσετε αν ο αριθµός 07 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 9) GI_A_ALG_4_643 Στην Α τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύµβουλος των µαθηµατικών πρόκειται να πραγµατοποιήσει µια δραστηριότητα. Επειδή όµως δε γνωρίζει το πλήθος των µαθητών της τάξης, συµβουλεύεται το Γυµναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους µαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά µε ένα πρόβληµα: «Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους µαθητές σε x σειρές µε x µαθητές σε κάθε σειρά. Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x+ 3 σειρές µε x 3 µαθητές σε κάθε σειρά, θα µου λείπει ένας µαθητής». α) Να βρείτε την τιµή του x. (Μονάδες 6) β) Να αποδείξετε ότι η Α τάξη έχει 90 µαθητές. (Μονάδες 6) γ) Η σύµβουλος σκοπεύει να µοιράσει τους παραπάνω 90 µαθητές σε ν οµάδες εργασίας, ώστε στην πρώτη οµάδα να πάνε µαθητές και σε κάθε επόµενη οµάδα να πηγαίνουν παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιµή του ν, δηλαδή πόσες οµάδες εργασίας θα δηµιουργηθούν. (Μονάδες 3) Σχόλιο: Τα συγκεκριµένα δεδοµένα της άσκησης δεν οδηγούν στην απάντηση του (β) ερωτήµατος. H άσκηση έχει νόηµα αν κάνουµε την εξής αλλαγή στην τελευταία πρόταση, πριν από τα ερωτήµατα: «Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x+ 3 σειρές µε x 3 µαθητές σε κάθε σειρά, θα µου ΠΕΡΙΣΣΕΥΕΙ ένας µαθητής». 365

166 Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα GI_A_ALG_4_7503 Οι αριθµοί: x + 5, x + x, x + 4, µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του αριθµού x. (Μονάδες 6) β) Αν x = 3 και ο αριθµός x + 5 είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε: i) Τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 5) ii) Τον πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 6) iii) Το άθροισµα S = α 5 + α 6 + α α 4. (Μονάδες 8) GI_A_ALG_4_7504 Σε µια αριθµητική πρόοδο (α ν ), ο 3ος όρος είναι α 3 = 8 και ο 8ος όρος είναι α 8 = 3. α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της αριθµητικής προόδου είναι α = και η διαφορ