Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις στις συναρτήσεις"

Transcript

1 Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος συνάρτηση έχει παρόµοια σηµασία Το επόµενο, ίσως απλοϊκό, αλλά διδακτικό παράδειγµα θα µας βοηθήσει να αντιληφθούµε καλύτερα την ακριβή έννοια του όρου 4 Παράδειγµα Υποθέτουµε ότι έχουµε ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθεία γραµµή µε σταθερή ταχύτητα 0m/sec Κατά την εκκίνηση του αυτοκινήτου το ρολόι µας δείχνει χρόνο t = 0 Αν συµβολίσουµε µε s το διάστηµα (σε µέτρα) που διανύει το αυτοκίνητο σε χρόνο t (σε δευτερόλεπτα), τότε θα έχουµε τη σχέση: s = 0 t Έτσι, σε χρόνο sec το αυτοκίνητο διανύει διάστηµα 0m, σε χρόνο 7sec το αυτοκίνητο διανύει διάστηµα 70m κοκ t=sec υ=0m/sec t=7sec 0m 70m Η σχέση s = 0 t µας δίνει το διάστηµα s ως συνάρτηση του χρόνου t ηλαδή, αν ξέρουµε πόσος χρόνος πέρασε από την εκκίνηση του αυτοκινήτου µπορούµε να υπολογίσουµε το αντίστοιχο διάστηµα που το αυτοκίνητο διένυσε Για να δηλώσουµε ότι το διάστηµα s εξαρτάται από τον χρόνο t γράφουµε s() t αντί s και διαβάζουµε «s του t» Ο χρόνος t είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή και το διάστηµα s η εξαρτηµένη Αν παραστήσουµε σε ένα σύστηµα αξόνων s τα ζεύγη (, t s()) t για τις διάφορες τιµές του 50m t, παίρνουµε µια ηµιευθεία γραµµή 40m Η ηµιευθεία αυτή αποτελεί τη γραφική 30m παράσταση της συνάρτησης µε τύπο 0m s() t = 0t Ο χρόνος t θεωρητικά µπορεί να πάρει 0m sec sec 3sec 4sec 5sec t

2 οποιαδήποτε τιµή, από µηδέν έως άπειρο (Αν δεχτούµε ότι το αυτοκίνητο έχει άπειρη ποσότητα βενζίνης!) Λέµε λοιπόν ότι το πεδίο ορισµού της συνάρτησής µας είναι το διάστηµα [0, + ) Ας δούµε τώρα ένα άλλο παράδειγµα παρµένο πάλι από τη φυσική: 4 Παράδειγµα Έχουµε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα που αποτελείται από έναν συσσωρευτή (µπαταρία) µε συνεχή τάση U = 0 Volt Στο κύκλωµα υπάρχει µια µεταβλητή αντίσταση R (Μετριέται σε Ω=hm) Με ένα αµπερόµετρο µετράµε σε Ampere την ένταση I του ηλεκτρικού ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα Σύµφωνα µε τον νόµο του hm έχουµε: U 0 I = R = R Με τον ροοστάτη (µεταβλητή αντίσταση) I R U=0V A I δίνουµε διάφορες τιµές στο R Προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας: + - ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ R ΣΕ HM (Ω) 5 0 Ένταση Ι σε Ampere (Α) 0 5 Παρατηρούµε ότι η ένταση Ι εξαρτάται από την τιµή της αντίστασης R, είναι δηλαδή συνάρτηση του R Το R είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή, που µπορούµε να το µεταβάλλουµε όσο θέλουµε ή καλύτερα, µπορούµε να το µεταβάλλουµε µεταξύ δύο τιµών, πχ R = Ω< R = 0Ω και το Ι η εξαρτηµένη I σε Amperes Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 0 I( R) = είναι το διάστηµα [ R, R ] R 0 Αν παραστήσουµε σε ένα σύστηµα αξόνων 5 τα ζεύγη ( R, I( R )) για τις διάφορες τιµές του R, παίρνουµε µια καµπύλη γραµµή Η καµπύλη αυτή αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησης µε τύπο 5 0 R σε hms

3 3 I( R) 0 = R Ας συνοψίσουµε τώρα όσα είδαµε στα προηγούµενα παραδείγµατα: Μια συνάρτηση είναι µια διαδικασία ή µια σχέση εξάρτησης στην οποία εµπλέκονται δύο µεταβλητές ποσότητες Η µία ποσότητα είναι η ανεξάρτητη µεταβλητή, η οποία µεταβάλλεται ελεύθερα, παίρνοντας τιµές από ένα σύνολο (που εµείς έχουµε προκαθορίσει) και το οποίο λέγεται πεδίο ορισµού Η άλλη ποσότητα είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή, η οποία όµως δεν µεταβάλλεται ελεύθερα Η τιµή που παίρνει κάθε φορά η µεταβλητή εξαρτάται από την τιµή που έχει η ανεξάρτητη µεταβλητή τη συγκεκριµένη στιγµή Έτσι, σε κάθε τιµή της µεταβλητής αντιστοιχεί µία µόνον τιµή της µεταβλητής 0 Έτσι, στη συνάρτηση I( R) =, αν η ανεξάρτητη µεταβλητή R πάρει την τιµή, η R εξαρτηµένη µεταβλητή Ι θα πάρει αναγκαστικά την τιµή 0 5 = 43 Παραδείγµατα συναρτήσεων Η συνάρτηση =a+b, όπου a και b είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί Εδώ το πεδίο ορισµού της συνάρτησης (το σύνολο στο οποίο παίρνει τιµές η ανεξάρτητη µεταβλητή ) είναι όλο το R Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από όλα τα ζεύγη της µορφής (, a + b), R Τα σηµεία αυτά είναι τα πέρατα των διανυσµάτων M = u + w, όπου 0 u = και w = b a Καθώς το παίρνει τιµές στο R, το διάνυσµα w «σαρώνει» µια ευθεία γραµµή (διακεκοµµένη) Το διάνυσµα M = u + w «σαρώνει» και αυτό µια ευθεία γραµµή, η οποία είναι η γραφική =a+b b a u w u+ w w παράσταση της συνάρτησής µας Η ευθεία αυτή προκύπτει από την πρώτη µε παράλληλη µετατόπιση κατά το διάνυσµα 0 u = b

4 4 Επειδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης = a+ b είναι ευθεία γραµµή, η συνάρτηση αυτή λέγεται γραµµική Η συνάρτηση =a +b+c, όπου a, b και c είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί µε a 0 Ας εξετάσουµε πρώτα την ειδική περίπτωση = Είναι προφανές ότι το πεδίο ορισµού είναι όλο το R Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από όλα τα ζεύγη της µορφής (, ), R και είναι µια καµπύλη γραµµή = Παρατηρούµε ότι η καµπύλη αυτή «κατέρχεται» αριστερά του άξονα των και «ανέρχεται» δεξιά του Παρατηρούµε ακόµη ότι η καµπύλη αυτή είναι συµµετρική ως προς τον άξονα των Αυτό είναι απόρροια του γεγονότος ότι τα σηµεία (, ) και (, ) της καµπύλης έχουν αντίθετες τετµηµένες και την ίδια τεταγµένη Μια συνάρτηση µε αυτή την ιδιότητα λέγεται άρτια - = Αν τώρα δώσουµε διάφορες τιµές στο a, παίρνουµε µια οικογένεια καµπυλών που είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων = a Οι καµπύλες αυτές ονοµάζονται γενικά = =(/) παραβολές Αν a > 0, τότε η καµπύλη αυτή «κατέρχεται» αριστερά του άξονα των και «ανέρχεται» δεξιά του Αν a < 0, τότε η καµπύλη αυτή «ανέρχεται» αριστερά του άξονα των και «κατέρχεται» δεξιά του = - = - (/) = -

5 5 Ας δούµε τώρα τη γενική περίπτωση Γράφουµε το τριώνυµο b b = a + + = a + a 4a 4a a b (βλ παράγρ 7) Θέτουµε X = + και a Y = + Το νέο σύστηµα αξόνων 4a XY προκύπτει από το αν µετατοπίσουµε τους άξονες ώστε η αρχή = a + b+ c στη µορφή Y = a του νέου συστήµατος να είναι το σηµείο b =, a 4a Στο νέο σύστηµα αξόνων η εξίσωση της καµπύλης είναι Y = ax, δηλαδή µια = a +b+c ή Y = ax - a b Ο - 4a X παραβολή 3 Η συνάρτηση = Εδώ το πεδίο ορισµού είναι το R {0} = (, 0) (0, + ) καθώς, το δεν µπορεί να είναι µηδέν Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής είναι η ακόλουθη: = Αποτελείται από δύο κλάδους οι οποίοι βρίσκονται στο ο και 3 ο τεταρτηµόριο Η καµπύλη αυτή ανήκει σε µια κατηγορία καµπυλών µε το όνοµα υπερβολές

6 6 Πριν προχωρήσουµε σε νέα παραδείγµατα ας συµπληρώσουµε την ορολογία και το συµβολισµό που θα χρησιµοποιούµε Συνήθως, για να ξεχωρίζουµε τις συναρτήσεις, συµβολίζουµε την κάθε µια µε ένα σύµβολο, συνήθως f, g, h κτλ Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το υποσύνολο A του συνόλου των πραγµατικών, τότε γράφουµε f : A R, δείχνοντας µ αυτόν τον τρόπο ότι κάθε τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής (που την παίρνουµε από το σύνολο Α) µας δίνει ή αλλιώς απεικονίζεται σε µια µοναδική τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής (που είναι πραγµατικός αριθµός) Για να δηλώσουµε αυτήν την εξάρτηση γράφουµε Αν, για παράδειγµα, f : R R µε f ( ) = f( ) =, τότε f ( ) = ( ) = 4, f ( ) =, f (5) = 5 κτλ Ο µαθηµατικός τύπος f ( ) = που µας δίνει τη διαδικασία µέσω της οποίας το (ανεξάρτητη µεταβλητή) απεικονίζεται στο (εξαρτηµένη µεταβλητή), λέγεται τύπος της συνάρτησης Έτσι, αν ονοµάσουµε g τη συνάρτηση του παραδείγµατος 433, έχουµε g :(,0) (0, + ) R και g ( ) = Αν δεν δίνεται το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f αλλά µόνον ο τύπος της, τότε σαν πεδίο ορισµού θεωρούµε το σύνολο όλων των R για τα οποία έχει νόηµα η παράσταση f ( ) Το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f θα συµβολίζεται µε παράδειγµα: D f Ας δούµε το ακόλουθο 44 Παραδείγµατα Να βρεθούν τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: 3+ (i) f( ) = και (ii) g( ) = Λύση: (i) Για να ορίζεται το f ( ) θα πρέπει ο παρονοµαστής του κλάσµατος να µην είναι µηδέν Λύνουµε την εξίσωση + 3= 0 Αυτή έχει ρίζες τους αριθµούς 3 και Εποµένως, D f = R { 3,} = (, 3) ( 3,) (, + )

7 7 Παρατηρούµε ότι αν 3,, τότε 3+ ( )( ) f( ) = = = Είναι όµως + 3 ( )( + 3) + 3 λάθος να πούµε ότι η συνάρτηση f έχει το ίδιο πεδίο ορισµού µε αυτό της συνάρτησης h ( ) = Γιατί η συνάρτηση h ορίζεται στο σηµείο, ενώ η f δεν ορίζεται σ αυτό + 3 (ii) Για να ορίζεται το g( ) θα πρέπει οι υπόρριζες ποσότητες και + 3+ να µην είναι αρνητικές Εποµένως 0 και Αν θέσουµε στην παράσταση + 3+, όπου το t, θα πάρουµε t + 3+ t 0 Βρίσκουµε τις ρίζες του τριωνύµου t + 3+ t Αυτές είναι οι αριθµοί και 3 Εποµένως, t 3 Επειδή t = 0 θα έχουµε: Συνεπώς, D = [0, 9] Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης: Λύση: Θα πρέπει και f( ) = Το τριώνυµο g έχει ρίζες τους αριθµούς και 4 Άρα πρέπει 4 Επειδή, το πεδίο ορισµού είναι το (, 4] Μια άλλη χρήσιµη έννοια είναι αυτή του συνόλου τιµών µιας συνάρτησης 45 Ορισµός Σαν σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f : Df R ορίζουµε το σύνολο f ( D ) = { R = f( ) για κάποιο D } f ηλαδή, το σύνολο τιµών αποτελείται από όλες τις δυνατές τιµές που µπορεί να πάρει η εξαρτηµένη µεταβλητή f Θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι το σύνολο τιµών δεν είναι (εν γένει) όλο το R Έτσι, το σύνολο τιµών της συνάρτησης f : Πράγµατι, f ( ) 0 συνάρτησης, αφού f ( ) = R R µε f ( ) + = είναι το διάστηµα [0, ) =, για κάθε R Αντίστροφα, κάθε [0, + ) είναι τιµή της 46 Παραδείγµατα Να βρεθούν τα σύνολα τιµών των συναρτήσεων του παραδείγµατος 44 Λύση: (i) Είδαµε ότι f( ) = µε 3, Έστω = Τότε ( ) = Αν =, τότε παίρνουµε 0= 5, άτοπο

8 8 3 + Έστω Τότε = f, πρέπει 3 + 3, Έχουµε 3 + = 4 = = Άρα το 4 Αν 3 + = 3, τότε παίρνουµε = 3, άτοπο Εποµένως το κλάσµα 3 + Αφού οι αριθµοί 3 και δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού της ποτέ την τιµή 3 που δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της f Τώρα, για κάθε έχουµε f = = Άρα το σύνολο τιµών της f είναι το R δεν ανήκει στο σύνολο τιµών της f 4 { } =,, (ii) Θέτουµε = g( ) = + 3+ Παρατηρούµε ότι 0 δεν παίρνει Ακόµη, = = 0 και, θέτοντας t = 0 παίρνουµε την εξίσωση (ως προς t) t t 3+ = 0 Η εξίσωση αυτή θα πρέπει να έχει ρίζα που να ανήκει στο διάστηµα [0, 3] (γιατί το πεδίο ορισµού της g είναι το διάστηµα [0, 9] ) Η διακρίνουσά της είναι = 6 4 Εποµένως, Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθµοί Παρατηρούµε ότι ± = ± +, για κάθε [0, ] Πράγµατι, , που ισχύει Άρα το σύνολο τιµών της g είναι το διάστηµα [0, ] Να βρεθούν τα σύνολα τιµών των επόµενων συναρτήσεων: 3 (i) f( ) = + και (ii) g( ) = Λύση: (i) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού όλο το σύνολο R των πραγµατικών (ο παρονοµαστής δεν µηδενίζεται) 3 3 Θέτουµε = και λύνουµε ως προς : = 3+ = 0 Αν = 0, τότε + + και = 0 Πράγµατι, f (0) = 0 Έστω ότι 0 Τότε η δευτεροβάθµια εξίσωση 3 + = 0 πρέπει να έχει µη αρνητική διακρίνουσα Εποµένως,

9 , Το τελευταίο διάστηµα περιέχει το µηδέν που 3 3 βρήκαµε προηγουµένως Άρα D g =, (ii) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το διάστηµα [-, ] στο οποίο η υπόρριζη ποσότητα γίνεται µη αρνητική Θέτουµε τώρα = 3 Επειδή 0 = 3 Έχουµε:, θα πρέπει 3 Εποµένως, = 3 3 = 3 0 = (3 ) = [0, ] Εποµένως, Λύνουµε την ανίσωση Το τριώνυµο έχει ρίζες τους αριθµούς και 4 Εποµένως πρέπει 4 Λύνουµε µετά την ανίσωση Το τριώνυµο 6+ 9 είναι πάντα µεγαλύτερο ή ίσο του µηδενός, γιατί g [, 4] D = 6+ 9 = ( 3) Εποµένως Γενικά, αν το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης f : A R, όπου A= Df, περιέχεται σε ένα υποσύνολο Β των πραγµατικών, τότε µπορούµε να γράψουµε f : A B Μια συνάρτηση f : A B λέγεται επί του Β αν B = f( A) 47 Και άλλα παραδείγµατα συναρτήσεων Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις: (i) Η συνάρτηση του ηµιτόνου: Θεωρούµε τη συνάρτηση sin : R [,] που σε κάθε τιµή του αντιστοιχεί το ηµίτονο των ακτινίων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης sin είναι η ακόλουθη: -4π -7π/ -3π -5π/ -π -π/ -3π/ -π π 3π/ 3π 7π/ 4π π/ π 5π/ - Παρατηρούµε ότι η γραφική παράσταση επαναλαµβάνεται κατά π, δηλαδή ισχύει: sin( + π) = sin= sin( π), για κάθε R Μια τέτοια συνάρτηση λέγεται περιοδική Έχουµε τον ακόλουθο ορισµό:

10 0 48 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση Υποθέτουµε ότι υπάρχει θετικός αριθµός Τ µε τις εξής ιδιότητες: (i) Αν A, τότε + T A και T A και (ii) f ( + T) = f( ) = f( T) Τότε η f λέγεται περιοδική και ο αριθµός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f Είναι προφανές πως η περίοδος δεν είναι µοναδική Αν Τ είναι µια περίοδος της συνάρτησης f, τότε και οι αριθµοί Τ, 3Τ κτλ είναι επίσης περίοδοι της f (ii) Η συνάρτηση του συνηµιτόνου: Θεωρούµε τη συνάρτηση cos : R [,] που σε κάθε τιµή του αντιστοιχεί το συνηµίτονο των ακτινίων Η γραφική παράσταση της συνάρτησης cos είναι η ακόλουθη: -4π -7π/ -3π -5π/ -π -3π/ -π -π/ π 3π/ 3π 7π/ π/ π 5π/ 4π - Είναι και αυτή περιοδική συνάρτηση µε περίοδο π (iii) Η συνάρτηση της εφαπτοµένης: Θεωρούµε τη συνάρτηση tan : R { kπ k Z} R που σε κάθε τιµή του αντιστοιχεί την εφαπτοµένη των ακτινίων Η συνάρτηση αυτή δεν ορίζεται στα σηµεία της µορφής kπ, όπου k Z Η γραφική παράσταση της συνάρτησης tan είναι η ακόλουθη: -7π/ -3π -5π/ -π -π -π/ -3π/ π/ π 3π/ π 5π/ 3π 7π/ 4π Είναι και αυτή περιοδική συνάρτηση αλλά µε περίοδο π

11 Παρόµοια συµπεριφορά έχει και η συνάρτηση της συνεφαπτοµένης cot Η συνάρτηση του ακέραιου µέρους Στην παράγραφο 4 (ορισµός 45) είδαµε ότι το ακέραιο µέρος ενός πραγµατικού αριθµού είναι ο µοναδικός ακέραιος, που συµβολίζεται µε [ ], µε την ιδιότητα: [ ] [ ] + Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = [ ] έχει κλιµακωτή µορφή και αποτελείται από µοναδιαία ευθύγραµµα τµήµατα χωρίς το δεξιό τους άκρο Πράγµατι, για κάθε [ k, k + ) έχουµε [ ] = k, δηλαδή η συνάρτηση του ακεραίου µέρους είναι σταθερή στο διάστηµα [ k, k + ) 3 Οι ακολουθίες ως συναρτήσεις Κάθε ακολουθία ( a n ) είναι στην ουσία µία συνάρτηση a : N R µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών Εδώ η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι ο δείκτης n και η εξαρτηµένη ο n-στός όρος a n Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας αποτελείται από τα σηµεία ( na, n ), n N Στο επόµενο σχήµα απεικονίζεται η γραφική παράσταση της ακολουθίας a = n n +, n = 0,,,

12 / /4 /3 /5 / Οι εκθετικές συναρτήσεις Στην παράγραφο ορίσαµε την έννοια της δύναµης µε εκθέτη πραγµατικό αριθµό Συγκεκριµένα, αν a > 0 και R, ορίσαµε την δύναµη a Η συνάρτηση ep a : R R µε ep ( a ) = a λέγεται εκθετική συνάρτηση µε βάση το a Ξέρουµε ότι a > 0 για κάθε R Εποµένως, είναι προτιµότερο να γράφουµε ep a : R (0, + ) Όπως θα δούµε στο κεφάλαιο 5, αν a τότε η ep a : R (0, + ) είναι επί του (0, + ) Στο παρακάτω σχήµα παριστάνονται οι γραφικές παραστάσεις εκθετικών συναρτήσεων για τις διάφορες τιµές του a > 0 a = / a =/e a = e a = a = /3 a = 3/ a = Η εκθετική συνάρτηση µε βάση το e έχει ιδιαίτερη σηµασία και συµβολίζεται απλά µε ep Σ όλα τα παραπάνω παραδείγµατα οι συναρτήσεις δίνονταν µέσω κάποιου ενιαίου µαθηµατικού τύπου Κάτι τέτοιο είναι πολύ δεσµευτικό και δεν ανταποκρίνεται στην πραγµατικότητα Έτσι, η συνάρτηση του επόµενου παραδείγµατος δεν περιγράφεται µε έναν ενιαίο τύπο 49 Παράδειγµα Ορίζουµε τη συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το σύνολο [,3] {4} ως εξής:

13 3 +, αν < 0 f( ) = +, αν 0 3, αν = 4 ηλαδή, στον ορισµό της f έχουµε διακρίνει περιπτώσεις ανάλογα µε την τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής Η γραφική παράσταση της f είναι ένωση τριών κοµµατιών, του ευθυγράµµου τµήµατος που αντιστοιχεί στη γραµµική συνάρτηση = +, του τόξου της παραβολής και του µεµονωµένου σηµείου (4, ) = +, Αν και αυτές οι περιπτώσεις αρκούν για να καλύψουν τα θέµατα που θα διαπραγµατευτούµε στη συνέχεια, θα ήταν εν τούτοις παράλειψη να µην αναφέρουµε το γεγονός ότι υπάρχουν συναρτήσεις που δεν µπορούν, έστω και µε διάκριση περιπτώσεων, να περιγραφούν µέσω συγκεκριµένων µαθηµατικών τύπων Στα µαθηµατικά, πολλές φορές, αποδεικνύουµε την ύπαρξη συναρτήσεων µε συγκεκριµένες ιδιότητες, αλλά που, είτε δεν µπορούµε είτε δεν µας ενδιαφέρει να βρούµε κάποιους συγκεκριµένους µαθηµατικούς τύπους που να τις περιγράφουν 4 Μονοτονία, ακρότατα και φράγµατα συναρτήσεων Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση f : R [0, + ) µε f ( ) = Όπως έχουµε παρατηρήσει, η γραφική της παράσταση «κατέρχεται» στο διάστηµα (,0] και «ανέρχεται» στο διάστηµα [0, + ) f( ) f( )

14 4 Πράγµατι, αν < 0, τότε > 0, δηλαδή, > και, µε βάση την πρόταση 4, παίρνουµε = > = Λέµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Στο διάστηµα [0, + ) η κατάσταση αντιστρέφεται Έτσι, αν 0 <, τότε < Λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [0, + ) f( ) Έχουµε τον επόµενο ορισµό: f( ) 4 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση και Β ένα υποσύνολο που περιέχεται στο πεδίο ορισµού της Α Θα λέµε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Β αν για κάθε, f ( ) > f( ) Αν Β = A, τότε η f λέγεται γνησίως φθίνουσα Θα λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Β αν για κάθε, f ( ) < f( ) Αν Β = A, τότε η f λέγεται γνησίως αύξουσα Αν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, τότε λέγεται γνησίως µονότονη µε < ισχύει µε < ισχύει 4 Σχόλιο Αν οι σχέσεις f ( ) > f( ) και f ( ) < f( ) αντικατασταθούν στον προηγούµενο ορισµό από τις σχέσεις f ( ) f( ) και f ( ) f( ) αντίστοιχα, παίρνουµε την έννοια της αύξουσας και της φθίνουσας συνάρτησης, αντίστοιχα Η επόµενη έννοια είναι πολύ βολική στη διατύπωση των αποτελεσµάτων µας 43 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση και Β ένα υποσύνολο που περιέχεται στο πεδίο ορισµού της Α Θεωρούµε τη συνάρτηση g: B R µε g( ) = f( ) για κάθε B

15 5 Τότε η g λέγεται περιορισµός της f στο Β και συµβολίζεται µε f B Έτσι, ο περιορισµός της συνάρτησης f : R [0, + ) µε f ( ) = στο διάστηµα (,0] είναι µια συνάρτηση, ας την πούµε g, µε γραφική παράσταση το αριστερό τόξο της παραβολής = Η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα Ο περιορισµός της f στο διάστηµα [0, + ) είναι µια συνάρτηση, ας την πούµε h, µε γραφική παράσταση το δεξιό τόξο της παραβολής = Η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα 43 Παραδείγµατα Η συνάρτηση του ηµιτόνου (παράδειγµα 47) δεν είναι γνησίως µονότονη αλλά ταλαντεύεται κατά τρόπο περιοδικό µε ταξύ των τιµών - και Αν όµως θεωρήσουµε τον π π περιορισµό της σε ένα διάστηµα της µορφής kπ,kπ +, όπου k ακέραιος, θα πάρουµε µια γνησίως αύξουσα συνάρτηση kπ- π kπ kπ+ π - Στα διαστήµατα όµως της µορφής π 3π kπ +,kπ +, όπου k ακέραιος, είναι γνησίως φθίνουσα kπ+ π (k+)π kπ+ 3π -

16 6 Η συνάρτηση g :(,0) (0, + ) R του παραδείγµατος 433, µε g ( ) αποτελείται από δύο κλάδους Ο περιορισµός σε κάθε ένα από τα υποδιαστήµατα (,0) και (0, + ) είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση = Είναι όµως λάθος να πούµε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα, γιατί τότε θα έπρεπε να είναι πχ g( ) > g(), δηλαδή >, άτοπο 3 Η συνάρτηση f : αύξουσα, γιατί R R µε τύπο f ( ) = [ ] είναι αύξουσα εν είναι όµως γνησίως f = f = 0 4 και < 4 4 Η συνάρτηση f : R R µε τύπο f ( ) = είναι γνησίως αύξουσα Πράγµατι, έστω < ιακρίνουµε περιπτώσεις: (i) < 0 Τότε > 0 και υψώνοντας στο τετράγωνο, ( ) < ( ) < = ( ) > ( ) = Εποµένως, (ii) 0 < Τότε < < (iii) < 0 < Τότε < 0 < < Οι µέγιστη και η ελάχιστη τιµή (αν υπάρχουν) που µπορεί να πάρει µια συνάρτηση παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον Έχουµε τον επόµενο ορισµό:

17 7 44 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση, όπου A R και 0 A (i) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A, τότε η µέγιστη τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται ολικό µέγιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση ολικού µεγίστου (ii) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A, τότε η ελάχιστη τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται ολικό ελάχιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση ολικού ελαχίστου Οι έννοιες του ολικού µεγίστου και του ολικού ελαχίστου χαρακτηρίζονται µε τον γενικότερο όρο ολικό ακρότατο 45 Ορισµός Έστω f : A R µια συνάρτηση, όπου A διάστηµα και 0 A (i) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ ), όπου δ > 0, τότε η τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται τοπικό µέγιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση τοπικού µεγίστου (ii) Αν f ( 0 ) f( ), για κάθε A ( 0 δ, 0 + δ ), τότε η τιµή f ( 0) της συνάρτησης ονοµάζεται τοπικό ελάχιστο αυτής Το σηµείο 0 ονοµάζεται θέση τοπικού ελαχίστου Οι έννοιες του τοπικού µεγίστου και του τοπικού ελαχίστου χαρακτηρίζονται µε τον γενικότερο όρο τοπικό ακρότατο 46 Παραδείγµατα Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα οι συναρτήσεις: (i) f ( ) = 4+ 3, (ii) g ( ) = και (iii) h ( ) = + 4 Λύση: (i) Έχουµε <, τότε f( ) = 4+ 3= 4+ 4 = ( ) Παρατηρούµε ότι αν < 0 ( ) > ( ) ( ) > ( ), δηλαδή f ( ) > f( ) Η συνάρτηση λοιπόν f : R R είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,] Ακόµη, αν <, τότε ( ) 0 < ( ) < ( ) ( ) < <, δηλαδή f ( ) < f( ) Η συνάρτηση λοιπόν f : R R είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) Το είναι λοιπόν θέση ολικού ελαχίστου που είναι το f () =

18 (ii) Έχουµε g ( ) = = = 5+ Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το σύνολο R {4} Έστω < < 4 Τότε 4< 4< 0 > 5+ > f ( ) > f( ) Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, 4) Έστω 4 < < Τότε 0< 4< 4 > 5+ > f ( ) > f( ) Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (4, + ) (iii) Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R {0} Έστω < < 0 Έχουµε 4 4 > < Αν προσθέσουµε κατά µέλη την < µε την τελευταία, παίρνουµε h( ) h( ) < + <, δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, 0) 4 4 4( + ) Έστω 0 < < Τότε h ( ) h ( ) = + = ( ) Αν + <, τότε < Αλλά, + = = 4 4 = Αλλά < και εποµένως > > = (Αν 6 0< θ <, τότε + 4( + ) θ > θ > θ ) Άρα > < 0 Επειδή < 0, 4 6 έπεται ότι h ( ) h ( ) > 0, ήτοι h ( ) > h ( ) Άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (0, ] Έστω τώρα ότι < Τότε ( ) ( ) =, ήτοι > > + Εποµένως 4> 4( + ) Αλλά = > > 4 Εποµένως 4( + ) > 4( + ) > 0 Εφόσον < 0, παίρνουµε h ( ) h ( ) = 4( + ) = ( ) 0 < Άρα h ( ) < h ( ), δηλαδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) Το είναι λοιπόν θέση τοπικού ελαχίστου 3 = h()

19 9 Να µελετηθεί ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f : 3 f( ) = 3 + R R µε τύπο Υπόδειξη: Εξετάστε τη συµπεριφορά της στα διαστήµατα (,0], [0, ] και [, + ) 3 3 Λύση: Έστω < 0 Τότε f( ) f( ) = = ( )( + + ) 3( )( + ) = ( )( + + 3( + )) = ( ) + + ( + ) ) 3( + ) Επειδή < 0, η ποσότητα 3( + ) είναι θετική Εποµένως, + ( ) + + 3( + ) ) > 0 Εφόσον < 0, έπεται f ( ) < f( ), δηλαδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (,0] Έστω 0 < Τότε f( ) f( ) = ( )( + + 3( + )) = = ( )( ( + 4) + ( ) + ) Επειδή <, έπεται ότι + 4< 0 και συνεπώς ( + 4) 0 (επειδή 0 ) Ακόµη, < 0 και άρα ( ) < 0 Τέλος, < 0 Από τα προηγούµενα συµπεραίνουµε ότι ( + 4) + ( ) + + < 0 και επειδή < 0, προκύπτει ότι f ( ) > f( ), ήτοι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [0, ] Τέλος, εξετάζουµε την περίπτωση < Έχουµε f( ) f( ) = + 3( + )) = ( )( ( + ) + 3( + )) Παρατηρούµε ότι ( )( + + ( + ) + 3( + ) ( + ) + 3( + ) = ( + ) > > ( + ) = = ( ) > 0, γιατί > Εποµένως f ( ) < f( ), δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το 0 είναι θέση τοπικού µεγίστου και το θέση τοπικού ελαχίστου Η γραφική παράσταση της f είναι η ακόλουθη: = f() -3

20 0 Όπως στις ακολουθίες, έτσι και στις συναρτήσεις ορίζουµε την έννοια του φράγµατος 47 Ορισµός (i) Μια συνάρτηση f : f ( ) A R λέγεται άνω φραγµένη αν υπάρχει αριθµός s µε την ιδιότητα s, για κάθε A Ο αριθµός s λέγεται άνω φράγµα της f (ii) Μια συνάρτηση f : A R λέγεται κάτω φραγµένη αν υπάρχει αριθµός m µε την ιδιότητα m f( ), για κάθε A Ο αριθµός m λέγεται κάτω φράγµα της f (iii) Μια συνάρτηση f : A R λέγεται φραγµένη αν είναι άνω και κάτω φραγµένη Όπως στις ακολουθίες, έτσι και στις συναρτήσεις αποδεικνύεται εύκολα ότι µια συνάρτηση είναι φραγµένη αν υπάρχει ένας θετικός αριθµός r µε την ιδιότητα f ( ) r, για κάθε A 48 Παραδείγµατα Οι συναρτήσεις των παραδειγµάτων 46, πλην της πρώτης, είναι φραγµένες γιατί τα σύνολα τιµών τους είναι φραγµένα sin Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f : R R µε τύπο f( ) = είναι φραγµένη + sin Λύση: Παρατηρούµε ότι f( ) = Αν τώρα + +, τότε f( ) + Αν >, τότε < < +, οπότε f( ) < Σε κάθε περίπτωση λοιπόν + παίρνουµε f( ) και εποµένως η f είναι φραγµένη 43 Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο f ( ) = και τη συνάρτηση g µε τύπο g ( ) = + Το πεδίο ορισµού της f είναι το διάστηµα [, ] Το σύνολο τιµών της g περιέχεται στο διάστηµα [, ], γιατί g ( ) = + ( ) 0 (Συγκεκριµένα, + ταυτίζεται µε το [, ] )

21 Μπορούµε λοιπόν στον τύπο της f, να αντικαταστήσουµε το µε το g( ) και να πάρουµε 4 ( + ) 4 την παράσταση f( g( )) = = = Η παράσταση αυτή ( ) ( ) είναι ο τύπος µιας νέας συνάρτησης, η οποία συµβολίζεται µε f σύνθεση g» 43 Ορισµός g και διαβάζεται «f Έστω g: A R και f : B R δύο συναρτήσεις Υποθέτουµε ότι το σύνολο τιµών g( A ) της g περιέχεται στο πεδίο ορισµού Β της f Τότε ορίζεται µια νέα συνάρτηση που συµβολίζεται µε f f g ( ) = f( g ( )), για κάθε A Η f g λέγεται σύνθεση των f και g A g g(a) g() B f f g g µε πεδίο ορισµού το Α, ως εξής: f(g()) f(b) 43 Παραδείγµατα Θεωρούµε τις συναρτήσεις f : βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων f R R και g : R R µε g και g f f ( ) = e και g( ) sin = Να Λύση: g( ) sin f g( ) = f( g( )) = e = e και g f g f f e ( ) = ( ( )) = sin ( ) = sin ( ) Να ορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g στις ακόλουθες περιπτώσεις ώστε να ορίζεται η συνάρτηση f g : (i) f ( ) = 4, (, 4] και (ii) f ( ) = tan, R { kπ k Z } και g( ) = g( ) 3 = + και Λύση: Θα πρέπει το σύνολο τιµών της g να περιέχεται στο πεδίο ορισµού της f Έχουµε: (i) g ( ) (,4] Το τριώνυµο έχει ρίζες τους αριθµούς 4 και Εποµένως, θα πρέπει 4 Είναι λοιπόν D = [ 4,] g (ii) Θα πρέπει g ( ) kπ, k = Z Αν k < 0 τότε προφανώς g( ) kπ = Έστω k 0, δηλαδή k {0,,,3, } Τότε ± kπ Εποµένως, το πεδίο ορισµού της g είναι το σύνολο D = R { ± kπ k = 0,, } g 3 θεωρούµε δύο γνησίως µονότονες συναρτήσεις g: A B R και f : B R Να αποδειχθεί ότι η σύνθεση f g είναι: (i) Γνησίως αύξουσα αν και µόνον αν οι δύο

22 συναρτήσεις έχουν το ίδιο είδος µονοτονίας (ii) Γνησίως φθίνουσα αν και µόνον αν οι δύο συναρτήσεις έχουν διαφορετικό είδος µονοτονίας Λύση: Υποθέτουµε ότι και οι δυο είναι γνησίως αύξουσες Έστω < δύο σηµεία του Α Επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα, g ( ) < g ( ) και, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουµε f ( g ( )) < f( g ( )), ήτοι f g ( ) < f g ( ) Εποµένως η f g είναι γνησίως αύξουσα Όλες οι άλλες περιπτώσεις προκύπτουν κατά τον ίδιο τρόπο 44 Συναρτήσεις - Αντίστροφη συνάρτησης Ας θεωρήσουµε τη συνάρτηση f : R [0, + ) µε f ( ) = Όπως έχουµε παρατηρήσει (σχόλιο µετά τον ορισµό 45), το σύνολο τιµών της είναι το διάτηµα [0, + ) Ας πάρουµε ένα µη µηδενικό σηµείο 0 του συνόλου τιµών Υπάρχουν δύο διαφορετικά σηµεία = 0 και = = του πεδίου ορισµού µε την ιδιότητα 0 f ( ) = f( ) = Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει ότι 0 0 = 0 η οριζόντια ευθεία = 0 τέµνει τη γραφική παράσταση σε δύο σηµεία, τα σηµεία (, 0) και (, 0) Ας δούµε τώρα µια άλλη περίπτωση Θεωρούµε τη συνάρτηση g : R R µε g( ) 3 = Το σύνολο τιµών της συνάρτησης αυτής είναι όλο το R Πιο συγκεκριµένα, αν 0 R, τότε υπάρχει µοναδικό 0 R µε την ιδιότητα 0 = 0 g( ) = = Πράγµατι, αν 0 < 0, τότε = και αν 0 0, τότε = = 3 0 Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ακριβώς σηµείο 44 Ορισµός

23 3 Μια συνάρτηση f : A f( A) R λέγεται «ένα προς ένα» (συντ «-») αν, για κάθε f( A) υπάρχει µοναδικό A µε την ιδιότητα = f( ) Γεωµετρικά, αυτό σηµαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέµνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα το πολύ σηµείο Η έκφραση «το πολύ» προστίθεται για να καλύψει την περίπτωση που το σηµείο δεν ανήκει στο σύνολο τιµών της συνάρτησης Από τον ορισµό προκύπτουν άµεσα τα εξής: (i) Η f είναι - αν και µόνον αν ισχύει: f ( ) = f( ) =, για κάθε, A (ii) Η f είναι - αν και µόνον αν ισχύει: f( ) f( ), για κάθε, A 44 Παράδειγµα Να εξεταστεί ποιες από τις ακόλουθες συναρτήσεις είναι -: (i) (ii) g ( ) = 4+ 3 και (iii) h ( ) = f( ) =, Λύση: (i) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το σύνολο R {} Υποθέτουµε ότι , R {} µε f ( ) = f( ) Τότε = (4 3)( ) = (4 3) ( ) = ( ) = 0 = Εποµένως, η f είναι - (ii) Το πεδίο ορισµού της g είναι όλο το R Παρατηρούµε ότι g ( ) ( ) = Εποµένως, g () = ( ) = 0 και g (3) = (3 ) = 0 Άρα η g δεν είναι - (iii) Το πεδίο ορισµού της h είναι όλο το R Υποθέτουµε ότι, R µε h ( ) = h ( ) Τότε + + = + + = + + ( ) = + ) ( )( ) 0 ( ) = = ( + )( + ) ( + )( + ) = + ( + )( + ) = = = = = Εποµένως, η h είναι - ( Αν f : A f( A) R είναι µια - συνάρτηση τότε µπορούµε να ορίσουµε µια συνάρτηση, την οποία συµβολίζουµε µε f, µε πεδίο ορισµού το f ( A ) και σύνολο τιµών το Α, ως εξής:

24 4 Αν f( A), τότε υπάρχει µοναδικό A µε = f( ) Το µοναδικό αυτό σηµείο ορίζουµε να είναι το f ( ) 443 Ορισµός Έστω f : A f( A) R µια - συνάρτηση Η συνάρτηση f : f( A) A, η οποία ορίζεται µε βάση τον κανόνα = f ( ) = f( ) λέγεται αντίστροφη της f 444 Παράδειγµα Να βρεθούν οι αντίστροφες των συναρτήσεων του παραδείγµατος 44, οι οποίες είναι - Λύση: Οι συναρτήσεις που αντιστρέφονται είναι οι f και h Θα βρούµε πρώτα τα σύνολα τιµών τους 4 3 Θέτουµε = f( ) = Παίρνουµε = 4 3 ( 4) = 3 Αν = 4, τότε 0= 5, άτοπο Άρα το 4 δεν ανήκει στο σύνολο τιµών της f 3 Έστω 4 Τότε = 4 Γνωρίζουµε ότι το δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της f Αν 3 =, τότε 3= 4 = 8 3= 8, άτοπο Άρα, για κάθε 4, υπάρχει ιδιότητα: f ( ) = f = = = = Εποµένως, f ( ) =, για κάθε R {4} 4 3 = R {} µε την 4 Σηµείωση: Επειδή την ανεξάρτητη µεταβλητή την παριστάνουµε συνήθως µε το σύµβολο, 3 είναι προτιµότερο να γράψουµε f ( ) =, για κάθε R {4} 4 Για την h τώρα: Από τη σχέση + > = παίρνουµε + + > 0 Εποµένως το σύνολο τιµών της h περιέχεται στο διάστηµα (0, + ) Αντίστροφα, έστω (0, + ) Αναζητούµε R µε την ιδιότητα Έχουµε: = + + = + + = + ( ) = + + = + > 0 = Παρατηρούµε ότι h = + + = +

25 5 4 + ( ) = + = + = 4 4 Εποµένως, h ( ) =, για κάθε (0, + ) η καλύτερα, h ( ) =, για κάθε (0, + ) 445 Πρόταση Έστω f : A f( A) R µια συνάρτηση Τότε η f είναι - αν και µόνον αν υπάρχει συνάρτηση g : f( A) A µε τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) g f( ) =, για κάθε A και (ii) f g( ) =, για κάθε f( A) Η συνάρτηση g είναι τότε η f Απόδειξη: Αν η f είναι -, τότε προφανώς η f ικανοποιεί τις συνθήκες (i) και (ii) Αντιστρόφως, υποθέτουµε ότι υπάρχει µια συνάρτηση g που ικανοποιεί τις ιδιότητες (i) και (ii) Θα δείξουµε ότι η f είναι - Έστω ότι f ( ) = f( ), όπου, A Τότε g( f( )) = g( f( )) και, µε βάση την ιδιότητα (i), παίρνουµε = Θα δείξουµε τώρα ότι g = f Έστω f( A) Τότε υπάρχει µοναδικό A µε την ιδιότητα = f( ) Από τον ορισµό της f προκύπτει ότι f ( ) = Αλλά, g( ) = g( f( )) = g f( ) =, σύµφωνα µε την ιδιότητα (i) Σηµείωση: Στην απόδειξη της προηγούµενης πρότασης δεν χρησιµοποιήσαµε πουθενά τη συνθήκη (ii) Εποµένως ισχύει: Έστω f : A f( A) R µια συνάρτηση Τότε η f είναι - αν και µόνον αν υπάρχει συνάρτηση g : f( A) A µε την ακόλουθη ιδιότητα: g f( ) =, για κάθε A Η συνάρτηση g είναι τότε η f Θα ασχοληθούµε τώρα µε τη σχέση που υπάρχει µεταξύ των γραφικών παραστάσεων µιας - συνάρτησης f και της αντίστροφής της f Αν το σηµείο ( ab, ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f, τότε θα έχουµε b= f( a) Εποµένως, συνάρτησης a= f ( b), δηλαδή το σηµείο (, ba ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f Αλλά τα σηµεία ( ab, ) και (, ba ) είναι συµµετρικά ως προς της ευθεία

26 6 = (διχοτόµος της ης και 3 ης γωνίας των αξόνων) Εποµένως =f() = καταλήγουµε στο επόµενο b συµπέρασµα: a =f - () a b 446 Πρόταση Έστω f : A f( A) R µια - συνάρτηση και f : f( A) A η αντίστροφή της Τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f είναι συµµετρικές ως προς της ευθεία =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την οποία σε κάθε στοιχείο χ ενός συνόλου Α αντιστοιχούµε ακριβώς ένα στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισµού ( ή σύνολο ορισµού ) της

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί François Viète (540-603) Υπάρχει το πρόβλημα, αναζητήστε τη λύση του, η ορθότητα των προτάσεων είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Παρουσίαση α Στους µιγαδικούς δεν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις Το σύνολο C διατηρεί ισοτικά όλες τις ιδιότητες του R εν υφίστανται ανισοτικές σχέσεις, υφίστανται µόνο στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου, θα πρέπει να μπορείτε: Να κάνετε πράξεις με συναρτήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Σκοπός: Σκοπός του κεφαλαίου είναι αρχικά η υπενθύμιση βασικών εννοιών που αφορούν τον ορισμό, τις πράξεις και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αφ ενός και η μελέτη της

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ξεφυλλίζοντας τα σχολικά βιβλία της Α και Β Λυκείου θα συναντήσουμε τις παρακάτω 10 "βασικές" συναρτήσεις των οποίων τη γραφική παράσταση πρέπει να γνωρίζουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x . Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 56 57 A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i)

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ

2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Η γνησίως αύξουσα Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x, x µε x < x ισχύει : f ( x ) < f ( x ). Η

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας Κεφ. 1 Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 50 5 Κεφ.. Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται µε τη συνάρτηση V() = ( )( ). Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστηµα : A. [0, + ] B.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγµατικής συνάρτησης Συντοµογραφία συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις. Ορισµός Έστω Α υποσύνολο του R (αυτό το R ας το πούµε R ) Συνάρτηση :Α R λέγεται µια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα