ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB. Απλές αριθµητικές πράξεις 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ MATLAB

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB. Απλές αριθµητικές πράξεις 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ MATLAB"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB Το εργαστήριο Σηµάτων και Συστηµάτων διεξάγεται στο περιβάλλον του προγράµµατος MATLAB µε χρήση τόσο του βασικού κορµού του πακέτου που παρέχει πληθώρα έτοιµων ενσωµατωµένων συναρτήσεων και πλούσια γραφικά όσο και µερικών εργαλειοθηκών (toolboxes) του. Σε σύντοµο χρονικό διάστηµα, ο χρήστης µπορεί να χρησιµοποιεί τις έτοιµες υπορουτίνες για την επίλυση προβληµάτων από διάφορες εφαρµογές. Οι βασικοί λόγοι που έχουν καταστήσει το MATLAB ένα από τα πιό δηµοφιλή επιστηµονικά πακέτα λογισµικού είναι οι εξής: α) το περιβάλλον του είναι φιλικό προς τον χρήστη β) παρέχει άµεσες δυνατότητες γραφικής απεικόνισης γ) έχει πληθώρα ενσωµατωµένων συναρτήσεων δ) παρέχει τη δυνατότητα προσθήκης συναρτήσεων γραµµένων από τον χρήστη ε) ο προγραµµατισµός στο MATLAB είναι απλός στ) περιλαµβάνει πληθώρα εργαλείων από διάφορες επιστηµονικές περιοχές 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ MATLAB Για να µπούµε στο MATLAB κάνουµε διπλό κλίκ στο εικονίδιο του MATLAB και για να βγούµε πληκτρολογούµε quit. Το προτρεπτικό σήµα (prompt) του MATLAB είναι το >>. Απλές αριθµητικές πράξεις Το MATLAB χρησιµοποιεί τους τελεστές +, -, * και / για τις τέσσερις αριθµητικές πράξεις. Παραδείγµατος χάριν:

2 >>3/5 0.6 >> >>3^3 27 Το MATLAB, εκτός από τον τελεστή της διαίρεσης από τα αριστερά /, διαθέτει και τελεστή διαίρεσης από τα δεξιά: >>2/4 0.5 >>2\4 2 Για πιό πολύπλοκες εκφράσεις χρησιµοποιούνται παρενθέσεις κατά τον συνήθη τρόπο: >>2^5 + 4*(33 2*(6+2/7)) Ενσωµατωµένες συναρτήσεις Το MATLAB µας παρέχει ένα πλήθος ενσωµατωµένων συναρτήσεων όπως τετραγωνική ρίζα, εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις, τριγωνοµετρικές και αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις κ.ά.: >> sqrt(2) % τετραγωνική ρίζα. >> exp(1) % εκθετική συνάρτηση >> log(exp(1)) % φυσικός λογάριθµος >> log10(10^2) % δεκαδικός λογάριθµος

3 % Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις >> pi % η σταθερά π.. >> sin(pi/4) % ηµίτονο.. >> cos(pi/2) % συνηµίτονο πρακτικά το αποτέλεσµα είναι 0 >> tan(pi/4) % εφαπτοµένη >> asin(0.5) % τόξο ηµιτόνου >> atan(1) % τόξο εφαπτοµένης όπου το σύµβολο % χρησιµοποιείται για την εισαγωγή σχολίων. Αν η γωνία δίνεται σε µοίρες, τότε την µετατρέπουµε σε ακτίνια πολλαπλασιάζοντας µε το π/180. Παράδειγµα υπολογισµού του cos(60o): >> cos(60*pi/180) Αν και µερικές φορές το αποτέλεσµα παρουσιάζει σφάλµα λόγω των αριθµητικών προσεγγίσεων των ψηφιακών Η/Υ, όπως στο παραπάνω παράδειγµα υπολογισµού του cos(pi/2) που έπρεπε να δώσει µηδέν, δεν πρέπει να γενικεύουµε και να εκλαµβάνουµε όλους του µικρούς αριθµούς ως µηδέν!

4 Σταθερές και µεταβλητές Το MATLAB µας επιτρέπει να δίνουµε στις σταθερές και µεταβλητές ονόµατα της επιλογής µας. Για παράδειγµα, έστω ότι θέλουµε να υπολογίσουµε το ακόλουθο: sin(60*pi/180)^2 + cos(60*pi/180)^2 Με χρήση σταθερών και µεταβλητών, ο υπολογισµός µπορεί να γίνει ως εξής: >> theta = 60*pi/180; >> a = sin(theta); >> b = cos(theta); >> a^2 + b^2 Τα σύµβολα theta, a και b αντιπροσωπεύουν σταθερές ή µεταβλητές ανάλογα µε το άν επιτρέπεται να αλλάζουν στη συνέχεια ή όχι. Το σύµβολο ans είναι µεταβλητή και µπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί σε περαιτέρω υπολογισµούς όπως στο παράδειγµα: >> 60*pi/180 >> sin(ans) Μορφή (format) Το MATLAB παρέχει τη δυνατότητα εµφάνισης των αριθµών µε διαφορετικό πλήθος ψηφίων ανάλογα µε την ακρίβεια που επιθυµούµε. Φυσικά, η εσωτερική αναπαράσταση των αριθµών είναι ανεξάρτητη από τη µορφή εµφάνισης. Η προεπιλογή (default) της µορφής στο MATLAB όσον αφορά τα σηµαντικά δεκαδικά ψηφία δίνεται από την εντολή format ή format short που εµφανίζει µέχρι τέσσερα δεκαδικά ψηφία ενώ η προεπιλογή ως προς την από-σταση

5 των γραµµών δίνεται µε την εντολή format loose. Για µεγαλύτερη ακρίβεια µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις εντολές format long και format long e ενώ για την απαλοιφή των κενών γραµµών, που συνιστάται, χρησιµοποιούµε την εντολή format compact. Παραδείγµατα: >> format compact >> pi >> format long >> pi >> format long e >> pi. >> x = 2; >> y = 3; >> z = x^2 + y^2 + x*y + x + y z = >>format short όπου στο τελευταίο παράδειγµα βλέπουµε ότι το ελληνικό ερωτηµατικό στο τέλος µιας γραµµής αποτρέπει την εµφάνιση του αποτελέσµατος (οι τιµές των µεταβλητών x και y). Η τιµή της µεταβλητής z εµφανίζεται επειδή δεν υπάρχει το σύµβολο ; στο τέλος της γραµµής. Περισσότερες πληροφορίες για την µορφή µπορείτε να βρείτε πληκτρολογώντας help format. ΣΕΙΡΕΣ - ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο MATLAB η σειρά ορίζεται ως µία διατεταγµένη συλλογή αριθµών που περικλείεται από αγκύλες [... ] µε τα στοιχεία να διαχωρίζονται είτε από κενά είτε από κόµµατα.

6 >> odd = [ ] odd = >> even = [2,4,6,8,10,12,14,16,18,20] even = >> dekadikoi = [ ] dekadikoi = Τα στοιχεία της σειράς προσδιορίζονται µε δείκτες θέσης (φυσικοί αριθµοί) αρχίζοντας από το 1: >> odd(5) >> even(1) Το πλήθος των στοιχείων µιας σειράς υπολογίζεται από την συνάρτηση length του MATLAB: >> length(even) Η εντολή clear µηδενίζει (σβήνει από τη µνήµη) τη σειρά: >> clear even >> even??? Undefined function or variable 'even' Ένας εναλλακτικός τρόπος εισαγωγής της παραπάνω σειράς, αν και πιο επίπονος, είναι ο εξής: >> even(1) = 2 even = >> even(2) = 4

7 even = >> even(3) = 6 even = >> even(10) = 20 even =. Πράξεις µε σειρές Εστω οι σειρές A = [a 1 a 2 a n ] και B = [b 1 b 2 b n ]. Η πρόσθεση και η αφαίρεση των δύο σειρών ορίζονται ως εξής: A + B = [a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ] A - B = [a 1 - b 1, a 2 - b 2,, a n - b n ] Για παράδειγµα: >> odd + even >> even odd Στην περίπτωση που τα στοιχεία της σειράς βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις, τότε δεν χρειάζεται η αναλυτική εισαγωγή της σειράς αλλά µόνο το πρώτο στοιχείο, το βήµα και το τελευταίο στοιχείο µε διαχωριστικό σύµβολο το :. Για παράδειγµα, οι παραπάνω σειρές odd και even µπορούν να ορισθούν και ως εξής: >> odd = 1:2:19 odd =

8 >> even = 2:2:20 even = Οταν το βήµα είναι 1 τότε µπορεί να παραληφθεί ενώ επιτρέπονται επίσης αρνητικά και κλασµατικά βήµατα: >> natural = 1:10 natural =. >> inv_odd = 19:-2:1 inv_odd =. >>dekadika = 0:0.1:1 dekadika =. Ορισµός πράξης πολλαπλασιαµού σειρών: A.* B = [a 1 b 1, a 2 b 2,, a n b n ] όπου το σύµβολο.* σηµαίνει πολλαπλασιασµός στοιχείου προς στοιχείο. Για παράδειγµα: >> odd.*even. Ορισµός διαίρεσης (από αριστερά και από δεξιά) σειρών: A./ B = [a 1 /b 1, a 2 /b 2,, a n /b n ]

9 A.\ B = [a 1 \b 1, a 2 \b 2,, a n \b n ] B./ A Παραδείγµατα: >> odd./even Columns 1 through 7.. Columns 8 through 10.. >> odd.\even Columns 1 through 7. Columns 8 through 10.. Ορισµός ύψωσης σε δύναµη: A.^ m = [a 1 m, a 2 m,, a n m ] Παράδειγµα: >> natural.^2 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πολλές από τις ενσωµατωµένες συναρτήσεις του MATLAB µπορούν να εφαρµοσθούν σε σειρές αν απλώς, στη θέση του ορίσµατος, χρησιµοποιηθεί το όνοµα της σειράς:

10 >> angle = 0:10:90; >> angle = pi*angle/180; >> sin(angle) Columns 1 through 7 Columns 8 through 10 Στο παραπάνω παράδειγµα, ο απλός πολλαπλασιασµός ή διαίρεση σειράς µε αριθµό οδηγεί στην αντίστοιχη πράξη του αριθµού µε κάθε στοιχείο της σειράς. ιανύσµατα γραµµής στήλης Οι σειρές της προηγούµενης ενότητας µπορούν να θεωρηθούν και ως διανύσµατα γραµµής (οριζόντια) µε στοιχεία τα αντίστοιχα στοιχεία της σειράς. Αν και η δήλωση διανυσµάτων γραµµής µπορεί να είναι η ίδια µε τη δήλωση των σειρών, είναι καλό να περιλαµβάνουµε τα στοιχεία του διανύσµατος µέσα σε αγκύλες [ ] όπως: >> odd = [1:2:19] odd = >> even = [2,4,6,8,10,12,14,16,18,20] even = >> N = [1:5] N =. Η δήλωση ενός διανύσµατος στήλης είναι ίδια ως προς τη µορφή µε αυτήν ενός διανύσµατος γραµµής εκτός από το διαχωριστικό σύµβολο που τώρα είναι είτε το ; είτε η αλλαγή γραµµής: >> Α=[1;2;3;4;5]

11 A = >> B = [ ] B = Η µετατροπή ενός διανύσµατος στήλης σε γραµµής και το αντίστροφο µπορεί να γίνει µε την χρήση του αναστρόφου διανύσµατος που συµβολίζεται µε την απόστροφο: >> Αt = A At = >> Att = At Att = Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Εστω ένα διάνυσµα γραµµής A = [a 1 a 2 a n ] και ένα διάνυσµα στήλης B = [b 1 ; b 2 ; ; b n ] µε τον ίδιο αριθµό στοιχείων n. Το εσωτερικό γινόµενο A * B των δύο διανυσµάτων είναι καθαρός αριθµός και δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση: A * B = a 1 b 1 + a 2 b a n b n Για τα διανύσµατα της προηγούµενης ενότητας έχουµε (αφού αναστρέψουµε το διάνυσµα στήλης Α): >> A *B

12 ενώ το άθροισµα των τετραγώνων των πρώτων 5 φυσικών αριθµών θα είναι: >> Ν*Ν ΠΙΝΑΚΕΣ Οι πίνακες στο MATLAB περικλείονται σε αγκύλες [ ] και εισάγονται µε απλό τρόπο. Με χρήση των διαχωριστικών κενό ή κόµµα για τα στοιχεία γραµµής και του ; για την αλλαγή γραµµής µπορούµε να ορίσουµε έναν πίνακα ως εξής: >> Α = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = Μπορούµε επίσης να γράψουµε κάθε γραµµή ξεχωριστά όπως: >> Α = [ ] A = Η πρόσβαση στα στοιχεία του πίνακα γίνεται µε χρήση δύο δεικτών µέσα σε παρένθεση µε τον πρώτο να προσδιορίζει τη γραµµή και τον δεύτερο τη στήλη: >> Α(1,3) >> A(3,2) Οι διαστάσεις ενός πίνακα δίνονται µε τη συνάρτηση size:

13 >> size(a) ύο πίνακες A και Β µε τον ίδιο αριθµό γραµµών µπορούν να παρατεθούν ο ένας δίπλα στον άλλο και να δηµιουργήσουν έναν νέο πίνακα µε τον ίδιο αριθµό γραµµών και πλήθος στηλών όσο και το άθροισµά τους στους αρχικούς πίνακες. Η λειτουργία αυτή ονοµάζεται παράθεση πινάκων και συµβολίζεται µε [Α Β]: >> Α = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> B = [ ; ; ]; >> C = [A B] C = >> size(c) Η δηµιουργία ενός νέου πίνακα από δύο πίνακες Α και Β που έχουν ίδιο πλήθος στηλών είναι επίσης δυνατή µε χρήση της λειτουργίας [Α; Β] όπως στο παράδειγµα: >> Α = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> B = [ ; ]; >> C = [A; B] C = Για να εξαγάγουµε έναν υποπίνακα από την γραµµή x1 έως τη γραµµή x2 και από τη στήλη y1 έως τη στήλη y2 µέσα από κάποιον πίνακα Α, χρησιµοποιούµε την µορφή Α(x1:x2; y1:y2). Για παράδειγµα, αν θέλουµε να εξαγάγουµε τον υποπίνακα που αποτελείται από τις δύο πρώτες γραµµές και στήλες του C θα έχουµε:

14 >> C(1:2,1:2) Αν θέλουµε να εξαγάγουµε όλες τις γραµµές ή όλες τις στήλες, τότε δεν χρειάζεται να το δηλώσουµε αναλυτικά αλλά χρησιµοποιούµε µόνο το σύµβολο : >> C(:,1:2) >> C(1,:) >> C(:,1) >> C(1:3,:) Στοιχειώδεις πράξεις µε πίνακες Το άθροισµα δύο πινάκων A και Β µε τις ίδιες διαστάσεις mxn και µε στοιχεία a ij και b ij αντίστοιχα, είναι ένας νέος πίνακας S µε διαστάσεις

15 mxn και στοιχεία s ij που δίνονται από την εξίσωση s ij = a ij + b ij. Αντίστοιχα, η διαφορά των πινάκων οδηγεί σε νέο πίνακα µε στοιχεία s ij = a ij - b ij. >> S1 = C(1:3,:) S1 = >> S2 = C(3:5,:) S2 = >> S = S1 + S2 S = >> D = S1 S2 D = Για να πολλαπλασιάσουµε δύο πίνακες A και B πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου να είναι ίδιο µε το πλήθος των γραµµών του δεύτερου. Εστω, για παράδειγµα, ότι οι διαστάσεις των A και B είναι mxp και pxn αντίστοιχα. Τότε, οι διαστάσεις του νέου πίνακα P που αντιστοιχεί στο γινόµενο των δύο πινάκων θα είναι mxn και τα στοιχεία του θα δίνονται από την εξίσωση: p = ab ij ik kj Συνεχίζοντας το προηγούµενο παράδειγµα, το γινόµενο των S1 και S2 θα είναι:

16 >> P = S1 * S2 P = Ένας τετραγωνικός πίνακας (όπως οι S1 και S2) µπορεί να πολλαπλασιαστεί µε τον εαυτό του: >> S1 * S1 Ισοδύναµα, για τετραγωνικούς πίνακες, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το σύµβολο ύψωσης σε δύναµη (Α^2 = Α*Α, Α^3 = Α*Α*Α, κ.λπ.): >> S1^2 Οπως και στην περίπτωση των µονοδιάστατων σειρών, έτσι και στην περίπτωση των δισδιάστατων σειρών (δηλαδή, των πινάκων), µία ενσωµατωµένη συνάρτηση επιδρά σε κάθε στοιχείο του πίνακα ξεχωριστά: >> angle = [0:10:20;30:10:50;60:10:80] angle =

17 >> angle = pi*angle/180 angle = >> sin(angle) Επίσης, ένας σύντοµος τρόπος ορισµού ενός πίνακα µε όλο µηδενικά ή µονάδες είναι µε χρήση των λειτουργιών ones(m,n) και zeros(m,n): >> ones(2,3) >> zeros(2,2) Τέλος, αν θέλουµε να δηµιουργήσουµε έναν πίνακα από µονάδες που να έχει τις ίδιες διαστάσεις µε κάποιον πίνακα A, τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις διαστάσεις που επιστρέφονται από την συνάρτηση size: >> A = [ ; ; ] A = >> [m, n] = size(a) m = n = >> ones(m, n)

18 ή πιό απλά ακόµη: >> ones(size(a)) ηµιουργία αρχείων Μ Οι ακολουθίες εντολών του MATLAB µπορούν να γραφούν σε αρχεία των οποίων οι ονοµασίες θα έχουν κατάληξη m, και θα ονοµάζονται κατ αναλογία αρχεία-μ. Η εκτέλεση του αρχείου-μ µπορεί να γίνει είτε µε τη χρήση του εικονιδίου save and run που βρίσκεται πάνω στο toolbar του editor του matlab, είτε πληκτρολογώντας το όνοµα ενός τέτοιου αρχείου, χωρίς το m, προκαλούµε την εκτέλεση όλων των εντολών. Για παράδειγµα ένα αρχείο-μ δηµιουργείται από το µενού File New M file Πληκτρολογώντας τα παρακάτω θα δηµιουργήσουµε ένα πρόγραµµα που θα κάνει την γραφική παράσταση µιας εξίσωσης πρώτου βαθµού: %example1 %ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ % ΙΝΟΥΜΕ ΤΙΜΕΣ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ a=1; b=2; % ΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ Χ x=-10:1:10; %ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ y=a*x+b; %ΣΧΕ ΙΑΖΟΥΜΕ ΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ grid; plot(x,y); Αποθηκεύεστε το αρχείο µε την εντολή File Save as στον κατάλογο work µε το όνοµα example1. Για να τρέξετε το αρχείο που µόλις δηµιουργήσατε αρκεί να πληκτρολογήσετε >> example1 Στο command window του Matlab.

19 Στο MATLAB µπορούµε να προγραµµατίσουµε τις συναρτήσεις που εµείς θέλουµε βάζοντας σαν πρώτη λέξη του προγράµµατος το function. Αυτά τα αρχεία ονοµάζονται αρχεία συναρτήσεων και λαµβάνουν εξωτερικά ορίσµατα τα οποία περιέχονται σε παρενθέσεις αµέσως µετά το όνοµα της συνάρτησης. Για παράδειγµα το προηγούµενο πρόγραµµα που έκανε τη γραφική παράσταση µιας εξίσωσης πρώτου βαθιού µπορεί να τροποποιηθεί έτσι ώστε να δίνει το αποτέλεσµα της εξίσωσης αν του δώσουµε τιµές για τα a, b και x function y=firstorder(a,b,x) %firstorder(a,b,x) %ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Υ=ΑΧ+Β % ΩΣΤΕ ΤΟ Α ΤΟ Β ΚΑΙ ΤΟ Χ ΚΑΙ ΘΑ ΠΑΡΕΤΕ ΤΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ %ΓΡΑΦΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ y=a*x+b; Αποθηκεύστε το πρόγραµµα µε το όνοµα firstorder µε την ίδια προηγούµενη διαδικασία στον ίδιο κατάλογο. Τώρα πληκτρολογώντας το όνοµα του αρχείου µαζί µε τα δεδοµένα που θέλουµε να του δώσουµε στο περιβάλλον του MATLAB θα πάρουµε: >>firstorder(5,7,8) Ans=. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στα παραδείγµατα που ακολουθούν βλέπουµε την ευκολία µε την οποία χειρίζεται το MATLAB τους µιγαδικούς. Παρατηρήστε ότι εκτός από τις απλές πράξεις, χρησιµοποιούµε στις εκφράσεις και κάποιες συναρτήσεις όπως οι sqrt (τετραγωνική ρίζα) και sin (ηµίτονο). Η συνάρτηση abs υπολογίζει το µέτρο ενός µιγαδικού αριθµού ή απλά την απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού. Η angle υπολογίζει το όρισµα (γωνία) του µιγαδικού σε ακτίνια, ενώ τέλος οι real και imag επιστρέφουν το πραγµατικό και φανταστικό µέρος αντίστοιχα ενός µιγαδικού.

20 Παραδείγµατα:» z=1-2i % i is the imaginary unit z = i» w=1-2j % j is also the imaginary unit w = i» z1=3*(2-sqrt(-1)*3) z1 =» z2=sqrt(-2) z2 =» z3=6+sin(.5)*i z3 =» z4=(z3+w)/z1 z4 =» i^2» magnitude_z4=abs(z4) magnitude_z4 =» angle_z4=angle(z4) angle_z4 =» deg_z4=angle_z4*180/pi % convert in degrees deg_z4 =

21 » real_z4=real(z4) real_z4 =» imag_z4=imag(z4) imag_z4 = Γραφικές παράστασεις Εστω ότι θέλουµε να κάνουµε τη γραφική παράσταση της ηµιτονοειδούς συνάρτησης στο διάστηµα [0, 2π]. Η βασική συνάρτηση του MATLAB για δισδιάστατες απεικονίσεις είναι η plot (για λεπτοµέρειες πληκτρολογήστε help plot). Αλλες χρήσιµες συναρτήσεις είναι η grid που σχεδιάζει τον κάνναβο και οι xlabel, ylabel για την εισαγωγή κειµένου στις γραφικές παραστάσεις. >> x = 0: pi/90: 2*pi; >> y = sin(x); >> plot(x,y) >> grid >> xlabel( x, ακτίνια ) >> ylabel( sin(x) )

22 Στην πιο απλή περίπτωση η plot(x) κάνει γραφική παράσταση των στοιχείων του διανύσµατος x ως προς τον αύξοντα αριθµό τους.»n=1:50;»an=sin(n)./n;»plot(an) Αν χρησιµοποιήσουµε την µορφή plot(x,y), θα πάρουµε γραφική παράσταση των στοιχείων του y ως προς τα αντίστοιχα του x :»x=linspace(-2*pi,2*pi,1000);»y=sin(x);»plot(x,y) Σχήµα 8 Υπάρχει η δυνατότητα να σχεδιαστούν µαζί πολλές γραφικές παραστάσεις µε διαφορετικά χρώµατα, αν ορίσουµε στην plot πολλά ζεύγη διανυσµάτων»x=linspace(0,2,1000);»y1=exp(x);»y2=2.5.^x;»y3=2.^x;»plot(x,y1,x,y2,x,y3)

23 Στα προηγούµενα παραδείγµατα, αφήσαµε το MATLAB να σχεδιάσει τις γραφικές παραστάσεις µε προκαθορισµένα χρώµατα και συγκεκριµένο τύπο γραµµής (συνεχής γραµµή). Υπάρχει η δυνατότητα να ορίσουµε τα δικά µας χρώµατα, τα σύµβολα για τα σηµεία και τον τύπο της γραµµής που τα ενώνει. Αυτό επιτυγχάνεται µε την εισαγωγή ενός ακόµη ορίσµατος στην plot, µετά από το κάθε ζεύγος διανυσµάτων που θα σχεδιαστεί. Το νέο όρισµα είναι µία σειρά από ειδικούς χαρακτήρες µέσα σε αποστρόφους. Τους διαθέσιµους ειδικούς χαρακτήρες τους βλέπουµε στον παρακάτω πίνακα. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε έναν ή περισσότερους χαρακτήρες σε οποιαδήποτε σειρά. Σύµβολ ο Χρώµα Σύµβολο Τύπος σηµείων Σύµβολο Τύπος γραµµής b µπλε.. - συνεχής g πράσιν ο o o : διάστικτη r κόκκινο x x -. συνδυασµός -. c κυανό διακεκοµµέν η m πορφυρ ό * * y κίτρινο s τετράγων ο k µαύρο d ρόµβος w άσπρο <, > τρίγωνο p h πεντάγων ο εξάγωνο Οι παρακάτω εντολές θα δηµιουργήσουν δύο καµπύλες σε µία γραφική παράσταση. Η πρώτη θα έχει µπλε χρώµα, τα σηµεία θα είναι πεντάγωνα και η γραµµή διάστικτη, ενώ η δεύτερη θα

24 σχεδιαστεί µε κόκκινο χρώµα, τα σηµεία θα είναι κύκλοι και η γραµµή διακεκοµµένη.»x=linspace(-1,1,15);»y1=asin(x);»y2=acos(x);»plot(x,y1,'b:p',x,y2,'r--o') Θα αναφέρουµε τώρα εντολές οι οποίες ρυθµίζουν την εµφάνιση της γραφικής παράστασης. Η εντολή grid on προσθέτει ένα πλέγµα γραµµών για καλύτερη ανάγνωση των συντεταγµένων, ενώ η grid off αφαιρεί το πλέγµα. Η grid απλά λειτουργεί σαν διακόπτης ανάµεσα στις δύο καταστάσεις.»x=linspace(-3,3,150);»y=exp(-x.^2);»plot(x,y)»grid on Κανονικά, µία γραφική παράσταση πλαισιώνεται από ένα ορθογώνιο µε τις υποδιαιρέσεις των αξόνων. Η εντολή box off εµφανίζει την γραφική παράσταση χωρίς το ορθογώνιο, ενώ η box on, το επαναφέρει. Η εντολή box λειτουργεί σαν διακόπτης.»x=linspace(-10,10,150);»y=1./(1+x.^2);»plot(x,y)»box off Μπορούµε να προσθέσουµε ετικέτες (labels) στον οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα µίας γραφικής παράστασης µε τις εντολές xlabel

25 και ylabel. Μπορούµε ακόµη να βάλουµε τίτλο σε όλη την γραφική παράσταση µε την εντολή title»x=-2*pi:.01:2*pi;»y=atanh(sin(x))-sin(x);»plot(x,y)»title('plot of a function')»xlabel('variable x')»ylabel('variable y') Υπάρχει τρόπος να προσθέσουµε κείµενο µέσα στο γράφηµα µε την εντολή text. Η γενική µορφή είναι text(x,y,'κείµενο') όπου (x, y) είναι οι συντεταγµένες του σηµείου όπου θα γραφεί το κείµενο. Με τις παρακάτω εντολές θα δηµιουργήσουµε µία γραφική παράσταση µε τις καµπύλες sin(x) και cos(x) και θα προσθέσουµε ένα κείµενο στη θέση (2.5,0.7).»x=linspace(0,2*pi,150);»y=sin(x);»z=cos(x);»plot(x,y,x,z,':')»text(2.5,.7,'sin(x)') Ένας πιο απλός τρόπος να εισάγουµε κείµενο σε γράφηµα, είναι να χρησιµοποιήσουµε την εντολή gtext('κείµενο'). Αυτή µας οδηγεί στο παράθυρο του γραφήµατος όπου εµφανίζεται ένας σταυρός ο οποίος µετακινείται µε το mouse. Μόλις εντοπίσουµε το κατάλληλο σηµείο, εισάγουµε το κείµενο µε click.»gtext('cos(x)') Αντί να παρεµβάλουµε κείµενο µέσα στο γράφηµα για να ξεχωρίζουµε τις γραµµές, µπορούµε να εισάγουµε µία συνολική επιγραφή µε την

26 εντολή legend. Αυτόµατα εισάγεται ένα ορθογώνιο το οποίο περιέχει τις επιγραφές που θα ορίσουµε για κάθε καµπύλη του γραφήµατος. Το ορθογώνιο αυτό µπορούµε να το µετακινήσουµε µε το mouse (click and drag) σε όποιο σηµείο του γραφήµατος επιθυµούµε.»legend('sin(x)','cos(x)') Η επιγραφή διαγράφεται µε την εντολή legend off. Ένα πολύ σηµαντικό χαρακτηριστικό των γραφηµάτων του MATLAB είναι η δυνατότητα µορφοποίησης των αξόνων. Αυτή επιτυγχάνεται µε την εντολή axis η οποία έχει πολλές ειδικές περιπτώσεις (ζητήστε να εµφανιστούν µε την εντολή help axis). Οι πιο απλές είναι οι axis off και axis on που αντίστοιχα εξαφανίζουν και εµφανίζουν τους άξονες. Αν θέλουµε να έχουµε γραφήµατα σε πολλά παράθυρα, µπορούµε να ανοίξουµε νέα παράθυρα γραφικών από το File του κυρίως menu επιλέγοντας New Figure. Ιδιαίτερα χρήσιµη είναι και η δυνατότητα να σχεδιάσουµε πολλά διαφορετικά γραφήµατα µε διαφορετικούς άξονες στο ίδιο παράθυρο. Η εντολή subplot(m,n,p) διαιρεί το ενεργό παράθυρο γραφικών σε p-θέση. Οι παρακάτω εντολές έχουν αποτέλεσµα τη δηµιουργία των 4 γραφικών που βλέπουµε στο Σχήµα 16. Προσέξτε την χρήση της εντολής axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) για τον καθορισµό των ορίων των αξόνων. Η διαίρεση του παράθυρου αναιρείται µε την εντολή subplot(1,1,1). m n θέσεις ενώ ταυτόχρονα καθιστά ενεργή την >>x=linspace(-2*pi,2*pi,1000); >>y1=sin(x); >>y2=x; >>z=y1+y2; >>w=y1.*y2; >>subplot(2,2,1) >>plot(x,y1),axis([-2*pi,2*pi,-1,1]),title('sin(x)') >>subplot(2,2,2) >>plot(x,y2),axis([-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi]),title('x')

27 >>subplot(2,2,3) >>plot(x,z),axis([-2*pi,2*pi, 2*pi,2*pi]),title ( sin(x)+x' ) >>subplot(2,2,4) >>plot(x,w),axis([-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi]),title('x*sin(x)') Συµβολικές εκφράσεις Το MATLAB διαθέτει µία συλλογή από συναρτήσεις κάτω από το όνοµα Symbolic Math Toolbox που χρησιµεύουν σαν εργαλεία για την εκτέλεση συµβολικών πράξεων όπως η επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων, η παραγώγιση και η ολοκλήρωση συναρτήσεων, η εύρεση οριζουσών και χαρακτηριστικών ριζών κ.α.. Σε κάθε συµβολική έκφραση είναι σηµαντικό να δηλώνουµε αρχικά τις µεταβλητές που παίρνουν µέρος στις εκφράσεις σαν

28 συµβολικές µεταβλητές (symbolic variables). Αυτό γίνεται µε τις συναρτήσεις sym (για µία µόνο µεταβλητή) και syms (για πολλές µαζί µεταβλητές). Για παράδειγµα, µε τις εντολές που ακολουθούν, δηλώνουµε µία µεταβλητή x σαν συµβολική και στη συνέχεια την χρησιµοποιούµε για να υπολογίσουµε την παράγωγο της συνάρτησης cosx.»x=sym('x') x =»diff(cos(x)) Με τις παρακάτω εντολές, δηλώνουµε 4 συµβολικές µεταβλητές µαζί, κατασκευάζουµε ένα συµβολικό πίνακα µε αυτές και κατόπιν υπολογίζουµε την ορίζουσά του.»syms('a','b','c','d')»m=[a,b;c,d] M =»det(m) (α) Αριθµητές και παρονοµαστές ρητών παραστάσεων Όταν έχουµε µια σύνθετη έκφραση µε κλάσµατα που θέλουµε να την µετατρέψουµε σε ρητή παράσταση, χρησιµοποιούµε την εντολή numden. Αυτή µας επιστρέφει ξεχωριστά τον αριθµητή και τον παρονοµαστή της ρητής παράστασης. Για παράδειγµα, αν θέλουµε να µετατρέψουµε την παράσταση

29 x + 1 x 2 x + 5 σε ρητή, δίνουµε τις εντολές:»syms x»g=1/(x+1)-2/(x-2)+2/(x+5) g =»[n d]=numden(g) n = d = Προκύπτει λοιπόν ότι η ζητούµενη παράσταση είναι 2 x 11x 24 ( x + 1)( x 2)( x + 5). (β) Συµβολικά αθροίσµατα σειρές Η εντολή symsum χρησιµοποιείται για να υπολογίζει συµβολικά αθροίσµατα εκφράσεων. Η πιο βολική µορφή της είναι η symsum(έκφραση, µεταβλητή-δείκτης, κάτω όριο, πάνω όριο). Για παράδειγµα, θα υπολογίσουµε τα παρακάτω αθροίσµατα: n n k 1 w w = 1 w k = 0 + 1, n k = 1 k = n( n + 1), 2 k 1 w = = 1 w k 0, k k x = k! =0 e x»syms x w k n»f1=w^k;f2=k;f3=x^k/sym('k!');

30 »symsum(f1,k,0,n)»symsum(f2,k,1,n).»symsum(f1,k,0,inf)»symsum(f3,k,0,inf) Προσέξτε ότι τα αποτελέσµατα είναι ισοδύναµα µε αυτά που περιµένουµε αλλά έχουν άλλη µορφή.(π.χ n( n 1) ( n + 1) + 2 n = ). Προσέξτε επίσης τον τρόπο µε τον οποίο δηλώνουµε το παραγοντικό (!) αφού το MATLAB δεν µπορεί να το αναγνωρίσει διαφορετικά. Για να δηλώσουµε το άπειρο, χρησιµοποιούµε τη µεταβλητή του MATLAB inf. (γ) Παραγώγιση Η παραγώγιση συναρτήσεων γίνεται µε την εντολή diff. Οι διαφορετικές της µορφές είναι: diff(έκφραση): Παραγωγίζει την έκφραση ως προς µία από τις συµβολικές µεταβλητές της. Είναι προτιµότερο να χρησιµοποιείται όταν η έκφραση περιλαµβάνει µία µόνο µεταβλητή. diff(έκφραση, n): Παραγωγίζει την έκφραση n φορές.

31 diff(έκφραση, µεταβλητή, n): Παραγωγίζει την έκφραση n φορές ως προς την µεταβλητή που θα καθορίσουµε. Για παράδειγµα, θα υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης 2 µεταβλητών f ( x,»syms x y»f=exp(-2*x)*sin(y) f =»df_dx=diff(f,x) df_dx = y)»df_dy=diff(f,y) df_dy = 2 = e x sin y. Σηµειώστε ότι η συνάρτηση diff χρησιµοποιείται στο βασικό µέρος του MATLAB για να υπολογίζει τις διαφορές των διαδοχικών στοιχείων ενός διανύσµατος ή των στηλών ενός πίνακα. Το MATLAB αποφασίζει ποια εκδοχή της εντολής θα χρησιµοποιήσει αφού είναι σε θέση να ξεχωρίζει τις συµβολικές από τις αριθµητικές εκφράσεις. (δ) Ολοκλήρωση Η εντολή µε την οποία µπορούµε να υπολογίζουµε ολοκληρώµατα, είναι η int. Έχει και αυτή διάφορες µορφές αλλά οι πιο πλήρεις είναι οι εξής: int(έκφραση, µεταβλητή): Υπολογίζει το αόριστο ολοκλήρωµα ως προς τη συµβολική µεταβλητή που θα ορίσουµε. Υπάρχει περίπτωση είτε το ολοκλήρωµα να είναι αδύνατο να δοθεί σε κλειστή µορφή, είτε η

32 συνάρτηση να είναι τόσο πολύπλοκη που το MATLAB να µη µπορεί να υπολογίσει την αντιπαράγωγο. int(έκφραση, µεταβλητή, κάτω όριο, πάνω όριο): Υπολογίζει το ορισµένο ολοκλήρωµα σε κάποιο διάστηµα ολοκλήρωσης. Για παράδειγµα, θα υπολογίσουµε τα ολοκληρώµατα: 3x + 7 x x + 1 dx = + tan ( x + 2x + 5) 2( x + 2x + 5) 4 2»syms x»g1=(3*x+7)/(x^2+2*x+5)^2 g1 =»int(g1,x) (ε) Επίλυση εξισώσεων Η συνάρτηση solve χρησιµοποιείται για την εύρεση των ριζών µιας συµβολικής έκφρασης. Μπορούµε να καθορίσουµε µεταβλητή ως προς την οποία θα γίνει η επίλυση (συνιστάται).»syms a b c x»solve(a*x^2+b*x+c,x) [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]»pretty(ans)

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ MATLAB

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ MATLAB ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MATLAB 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΟΥ MATLAB 1.1. Απλές αριθµητικές πράξεις 1.2. Ενσωµατωµένες συναρτήσεις 1.3. Σταθερές και µεταβλητές 1.4. Μορφή (format) 1.5. Αποθήκευση σειράς υπολογισµών στο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία του MATLAB

Βασικά στοιχεία του MATLAB ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB

Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ MATLAB (το παρόν αποτελεί τροποποιηµένη έκδοση του οµόνυµου εγχειριδίου του κ. Ν. Μαργαρη) 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ 1.1.1 ΠΡΟΣΘΕΣΗ» 3+5 8 % Το σύµβολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ

ΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ ΟΥΛΕΥΟΝΤΑΣ ΜΕ ΣΗΜΑΤΑ Α. ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Στα σήµατα συνεχούς χρόνου (continuous time) η ανεξάρτητη µεταβλητή t είναι συνεχής, δηλαδή τα σήµατα αυτά ορίζονται για οποιαδήποτε τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι. Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Σχολή Θετικών Επιστημών

Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι. Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Μαθηματικής Ανάλυσης Ι Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις-Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία στο Matlab

Βασικά στοιχεία στο Matlab Αριθμητική : + - * / ^ 3ˆ2 - (5 + 4)/2 + 6*3 >> 3^2 - (5 + 4)/2 + 6*3 22.5000 Βασικά στοιχεία στο Matlab Το Matlab τυπώνει την απάντηση και την καταχωρεί σε μια μεταβλητή που την ονομάζει ans. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Παράδειγμα #1. Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ. Παράδειγμα #1. Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ Τύποι δεδομένων Οι παρακάτω τύποι δεδομένων υποστηρίζονται από τη γλώσσα προγραμματισμού Fortran: 1) Ακέραιοι αριθμοί (INTEGER). 2) Πραγματικοί αριθμοί απλής ακρίβειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις

Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με Εφαρμογές στη Βιοϊατρική Εργαστήριο Γραμμικής Άλγεβρας Εισαγωγή στη Matlab Βασικές Συναρτήσεις 2016-2017 Εισαγωγή στη Matlab Matlab

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε

Για τη δημιουργία ενός διανύσματος με στοιχεία από το 0 μέχρι το 20 με βήμα το 2 (χρησιμοποιείται συνήθως για διανύσματα χρόνου) δίνουμε Εργαστήριο Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Άσκηση 1 η Εισαγωγή στο Matlab 1 Άσκηση 1 η : Εισαγωγή στο Matlab Αντικείμενο Εξοικείωση με τις βασικές λειτουργίες του Matlab (πρόγραμμα αριθμητικής ανάλυσης και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι

3) το παράθυρο Πίνακας τιμών όπου εμφανίζονται οι τιμές που παίρνουν οι παράμετροι Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ Γ Ι Α Τ Ο M O D E L L U S 0.0 4. 0 5 Για να κατεβάσουμε το πρόγραμμα Επιλέγουμε Download στη διεύθυνση: http://modellus.co/index.php/en/download. Στη συνέχεια εκτελούμε το ModellusX_windows_0_4_05.exe

Διαβάστε περισσότερα

Ηβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του.

Ηβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του. MATrix LABoratory Ηβασική δοµή δεδοµένων είναι ο πίνακας που δεν χρειάζεται να οριστεί η διάσταση του. Τι είναι το MATLAB ; Μια γλώσσα υψηλού επιπέδου η οποία είναι χρήσιµη για τεχνικούς υπολογισµούς.

Διαβάστε περισσότερα

2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 2 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΤΟ MATLAB, ΜΕΡΟΣ B Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής (Queuing Systems)

Συστήματα Αναμονής (Queuing Systems) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ - ΕΜΠ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων Τηλεματικής

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο MATLAB. Κολοβού Αθανασία, ΕΔΙΠ,

Εισαγωγή στο MATLAB. Κολοβού Αθανασία, ΕΔΙΠ, Εισαγωγή στο MATLAB Κολοβού Αθανασία, ΕΔΙΠ, akolovou@di.uoa.gr Εγκατάσταση του Matlab Διανέμεται ελεύθερα στα μέλη του ΕΚΠΑ το λογισμικό MATLAB με 75 ταυτόχρονες (concurrent) άδειες χρήσης. Μπορείτε να

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

Υπολογιστές Ι. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Υπολογιστές Ι Τύποι δεδομένων Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATHLAB Α ΜΕΡΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΤΟ MATHLAB Αν θέλουμε να εισάγουμε έναν πίνακα στο mathlab και να προβληθεί στην οθόνη βάζουμε τις τιμές του σε άγκιστρα χωρίζοντάς τις με κόμματα ή κενό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17 ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 17 10 Νοεµβρίου, 2006 Γεώργιος Έλληνας Επίκουρος Καθηγητής ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής

Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής Εισαγωγή στη Matlab Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Γεώργιος Ακρίβης Βοηθός: Δημήτριος Ζαβαντής email: dzavanti@cs.uoi.gr Περιεχόμενα Τι είναι η Matlab; Ιστορικά Χρήσεις και στοιχεία της Matlab

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την. Matlab

Σύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την. Matlab Σύντομες εισαγωγικές σημειώσεις για την Matlab Δήλωση Μεταβλητών Για να εισάγει κανείς δεδομένα στη Matlab υπάρχουν πολλοί τρόποι. Ο πιο απλός είναι στη γραμμή εντολών να εισάγουμε αυτό που θέλουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο. Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα;

Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο. Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Ρητή μετατροπή αριθμητικής τιμής σε άλλο τύπο Τι θα τυπωθεί στον παρακάτω κώδικα; Χωρίς να αλλάξουμε τον τύπο των a,b,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ. Τύποι δεδομένων ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ακέραιοι αριθμοί (int) Πράξεις μεταξύ ακεραίων αριθμών ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙΙ ΤΥΠΟΙ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 1 Τύποι δεδομένων Η γλώσσα προγραμματισμού C++ υποστηρίζει τους παρακάτω τύπους δεδομένων: 1) Ακέραιοι αριθμοί (int). 2) Πραγματικοί αριθμοί διπλής ακρίβειας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Matlab Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές

3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές 3 ο Εργαστήριο Μεταβλητές, Τελεστές Μια μεταβλητή έχει ένα όνομα και ουσιαστικά είναι ένας δείκτης σε μια συγκεκριμένη θέση στη μνήμη του υπολογιστή. Στη θέση μνήμης στην οποία δείχνει μια μεταβλητή αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 1 ο μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB

Χρονικές σειρές 1 ο μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB Χρονικές σειρές 1 ο μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 8 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 2 2.1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Β) Στην προηγούµενη διάλεξη µάθαµε ότι µπορούµε να χρησιµοποιούµε τη ρητή ή την αυτονόητη δήλωση µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

4. Εισαγωγή στο Matlab

4. Εισαγωγή στο Matlab ΠΠΜ 500: Εφαρμογές Μηχανικής με Ανάπτυξη Λογισμικού 4. Εισαγωγή στο Matlab Εαρινό εξάμηνο 2006 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www. www.eng. eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή στο Matlab

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργαστηριακή Άσκηση MATLAB Εισαγωγή

1 η Εργαστηριακή Άσκηση MATLAB Εισαγωγή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΗΠΕΙΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. Εργαστήριο Επεξεργασία Εικόνας & Βίντεο 1 η Εργαστηριακή Άσκηση MATLAB Εισαγωγή Νικόλαος Γιαννακέας Άρτα 2018 1 Εισαγωγή Το Matlab

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Matlab Μέρος Α. Κυριακίδης Ιωάννης 2011

Εισαγωγή στο Matlab Μέρος Α. Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Εισαγωγή στο Matlab Μέρος Α Κυριακίδης Ιωάννης 2011 Εισαγωγή στο Matlab Το όνομα του προέρχεται από τα αρχικά γράμματα των λέξεων MATtrix LABoratory (εργαστήριο πινάκων). To MATLAB (MathWorks Inc.) παρέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 8: Γραφικές παραστάσεις Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ηλεκτρονική Υγεία. Εργαστήριο 5 ο : MATLAB

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Ηλεκτρονική Υγεία. Εργαστήριο 5 ο : MATLAB Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Ηλεκτρονική Υγεία Εργαστήριο 5 ο : MATLAB Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14

ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14 ΗΜΥ 100 Εισαγωγή στην Τεχνολογία ιάλεξη 14 20 Οκτωβρίου, 2005 Ηλίας Κυριακίδης Λέκτορας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 2005Ηλίας Κυριακίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 2ο Μεταβλητές Μεταβλητή ονομάζεται ένα μέγεθος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI. Άδειες Χρήσης. Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις. Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΙI Τύποι δεδομένων, μεταβλητές, πράξεις Διδάσκοντες: Αν. Καθ. Δ. Παπαγεωργίου, Αν. Καθ. Ε. Λοιδωρίκης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB. Κεφάλαιο 2 ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις. Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις

Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB. Κεφάλαιο 2 ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις. Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 ο : Τυποποιηµένες συναρτήσεις στο MATLAB Κεφάλαιο ο :Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Κεφάλαιο 3 ο :Πίνακες Κεφάλαιο 4 ο : ιαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ο :Ολοκληρώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R

Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Κεφάλαιο 3 Μαθηµατικοί Υπολογισµοί στην R Ενα µεγάλο µέρος της ανάλυσης δεδοµένων απαιτεί διάφορους µαθηµατικούς υπολογισµούς. Αυτό το κεφάλαιο εισαγάγει τον αναγνώστη στις διάφορες δυνατότητες που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1: Εισαγωγή της δοµής formula node στο Block Diagram.

Σχήµα 5.1: Εισαγωγή της δοµής formula node στο Block Diagram. Η δοµή Formula Node 1. Η δοµή Formula Node επιτρέπει την εισαγωγή αναλυτικών σχέσεων στο Block Diagram µε πληκτρολόγηση, αποφεύγοντας έτσι την εισαγωγή των εικονίδιων συναρτήσεων απλών αλγεβρικών πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop.

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop. Ο βρόγχος While-loop 1. Ο βρόγχος while-loop εκτελείται έως ότου ικανοποιηθεί µία προκαθορισµένη συνθήκη. 2. Ο αριθµός των επαναλήψεων ενός βρόγχου while-loop δεν είναι εκ των προτέρων προκαθορισµένος,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW.

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW. Front Panel και Block Diagram 1. Το LAbVIEW αποτελείται από δύο καρτέλες. Το Front Panel και το Block Diagram. Εναλλασσόµαστε ανάµεσα στις δύο καρτέλες µε τη συντόµευση CTRL+E ή µε το µενού Windows / Show

Διαβάστε περισσότερα

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος

επιµέλεια Θοδωρής Πιερράτος Βασικές έννοιες προγραµµατισµού Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 5ο Aντώνης Σπυρόπουλος Πράξεις μεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων

Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων Σημαντικές δυνατότητες των σύγχρονων υπολογιστικών μηχανών: Γρήγορες προσθέσεις αριθμών Γρήγορες συγκρίσεις αριθμών Αξιόπιστη καταγραφή πολύ μεγάλου όγκου δεδομένων Σχετικά γρήγορη μετάδοση και πρόσληψη

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB

5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ Γραφήματα στο MATLAB Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

MATLAB. Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών.

MATLAB. Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών. MATLAB Tι είναι το λογισµικό MATLAB? Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών. Σύστηµα αλληλεπίδρασης µε τοχρήστηγια πραγµατοποίηση επιστηµονικών υπολογισµών (πράξεις µε πίνακες επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος)

Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος) Γραφικές παραστάσεις (2ο μέρος) Σε αυτήν την ενότητα θα εξοικειωθείτε με τον τρόπο απεικόνισης γραφικών παραστάσεων στο MATLAB χρησιμοποιώντας την εντολή plot με πίνακες. Επίσης, θα δείτε επιπλέον εντολές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο 1. Επιλογή της κατάλληλης γλώσσας προγραµµατισµού Εκατοντάδες γλώσσες προγραµµατισµού χρησιµοποιούνται όπως αναφέρθηκε σήµερα για την επίλυση των προβληµάτων µε τον υπολογιστή, τη δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 2: Δημιουργία και Επεξεργασία διανυσμάτων και πινάκων μέσω του Matlab Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή

Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή Οδηγίες για την κατασκευή του αρχείου «Ταυτότητα (α+β) 2» 1. Αποκρύπτουµε τους άξονες και το παράθυρο άλγεβρας: Παράθυρο προβολή απο-επιλέγουµε άξονες και άλγεβρα 2. Από το εργαλείο κατασκευής πολυγώνων

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός τύπος Τελεστές σύγκρισης Λογικοί τελεστές Εντολές επιλογής Εμβέλεια Μαθηματικές συναρτήσεις Μιγαδικός τύπος ΔΕΥΤΕΡΗ ΔΙΑΛΕΞΗ

Λογικός τύπος Τελεστές σύγκρισης Λογικοί τελεστές Εντολές επιλογής Εμβέλεια Μαθηματικές συναρτήσεις Μιγαδικός τύπος ΔΕΥΤΕΡΗ ΔΙΑΛΕΞΗ ΔΕΥΤΕΡΗ ΔΙΑΛΕΞΗ Λογικός τύπος ( ) Ο τύπος είναι κατάλληλoς για την αναπαράσταση ποσοτήτων που μπορούν να πάρουν δύο μόνο τιμές (π.χ. ναι/όχι, αληθές/ψευδές, ). Τιμές ή Δήλωση Εκχώρηση Ισοδυναμία με ακέραιους

Διαβάστε περισσότερα

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ

EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΑΡΧΕΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ηµιουργία ενός m-αρχείου Εισαγωγή των δεδοµένων στο αρχείο Αποθήκευση του αρχείου Καταχώρηση των δεδοµένων του αρχείου από το λογισµικό Matlab, γράφοντας απλά το όνοµα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος

Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink. Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος Εισαγωγή στο Περιβάλλον Επιστημονικού Προγραμματισμού MATLAB-Simulink Δημήτριος Τζεράνης Λεωνίδας Αλεξόπουλος 1 Τι είναι τα Matlab και Simulink? Το Matlab (MATrix LABoratory) είναι ένα περιβάλλον επιστημονικού

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις στη Visual Basic 6.0

Συναρτήσεις στη Visual Basic 6.0 Προγραμματισμός & Εφαρμογές Υπολογιστών Μάθημα 4ο Συναρτήσεις στη Visual Basic 6.0 Κ. Κωστοπούλου Σειρά εκτέλεσης των πράξεων Όταν ορίζετε μια ακολουθία αριθμητικών πράξεων είναι δυνατόν να προκύψει αμφισημία.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος.

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι. Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO. Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ι Τι χρειάζεται η εντολή DO ; ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΕΝΤΟΛΗ DO Όταν απαιτείται να εκτελεστεί πολλές φορές το ίδιο τμήμα ενός προγράμματος. Τετριμμένο παράδειγμα: Κατασκευάστε πρόγραμμα που θα εμφανίζει

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Χρονικές σειρές 4 o μάθημα: ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 o μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB

Χρονικές σειρές 2 o μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB Χρονικές σειρές 2 o μάθημα: Εισαγωγή στη MATLAB Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργαστηριακή Άσκηση Εισαγωγή στο MATLAB

1 η Εργαστηριακή Άσκηση Εισαγωγή στο MATLAB Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής & Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Εργαστήριο Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων 1 η Εργαστηριακή Άσκηση Εισαγωγή στο MATLAB Μάθημα: Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45

Περιεχόμενα. 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11. 27 Γραφικά τριών διαστάσεων... 45 Περιεχόμενα 26 Γραφικά δύο διαστάσεων... 11 26.1 Η συνάρτηση plot...11 26.2 Στυλ γραμμών, σημειωτές, και χρώματα...14 26.3 Κάνναβοι διαγραμμάτων, πλαίσιο αξόνων, και ετικέτες...16 26.4 Προσαρμογή αξόνων

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών

ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών Προγραµµατισµός Αρχεία εντολών (script files) Τυπικό hello world πρόγραµµα σε script ηµιουργία αρχείου στον matlab editor Πληκτρολόγηση ακολουθίας εντολών disp( ( 'HELLO WORLD!'); % τυπική εντολή εξόδου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΑΘΑΙΝΟΝΤΑΣ ΤΟ MATLAB, ΜΕΡΟΣ Α Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ Βασικές Έννοιες και Μαθηματικές Συναρτήσεις Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD MATLAB Προέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα