( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

Transcript

1 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z. 8 β) (5 µον) είξτε ότι z = και υπολογίστε την τιµή της παράστασης 79 + z+ z z. (Βλ. Ε Υ, Κεφ, άσκηση9). α) Το µέτρο και το όρισµα του z είναι: z = + = + = = 4 4 Argz ( ) = tn = tn = εποµ ένως : π i iargz 4 π π π π z= z e = e = cos + isin = cos i sin ή γενικότερα: π π i i + k 4 π 4 π π z= e = e = cos + kπ+ isin + kπ, k Z 4 4 β) π 4 π π i i + kπ 4 4 z= e = e, k Z 8 π π i kπ i kπ i + ( π (8 k ) π) z = e = e = e = cos + (8 ) + sin + (8 ) = ( π k π) i ( π k π) cos( π ) + i sin( π ) = cos( π ) + i0= z + z + z+ z z = = z z Όµως έχουµε ότι: ( ) z = z = z = Συνεπώς: z + z+ z z = = = 0 z z Επίσης: z 0

2 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Έστω R. Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα x+ y+ z+ w= x y+ z w= 4x+ y+ 3z+ w= 5. Χρησιµοποιήστε τη µέθοδο απαλοιφής του Guss για να βρείτε όλες τις τιµές του, τέτοιες ώστε το σύστηµα να έχει άπειρες λύσεις, µοναδική λύση ή καµιά λύση. Στην περίπτωση που το σύστηµα είναι συµβιβαστό, βρείτε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του επαυξηµένου πίνακα του συστήµατος και τις λύσεις του συστήµατος. (Βλ. Ε Υ, Κεφ., σελ 5-6, και ΣΕΥ, Πίνακες, σελ 36-39). Γ >Γ Γ Γ >Γ Γ Γ >Γ Γ Γ > Γ Γ 3 >Γ 3+ 3Γ Από την τελευταία γραµµή παρατηρούµε ότι: ) Το σύστηµα είναι αδύνατον όταν 3 ) Το σύστηµα είναι αόριστο όταν α=3. Σε αυτή την περίπτωση το σύστηµα είναι: = δηλαδή ισοδύναµο µε τις εξισώσεις:

3 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: 4 4 x z x= z+ + = y z w y z w + + = = = 0 z= z w= w Άσκηση 3 (5 µον) α) (5 µον) Χρησιµοποιώντας µαθηµατική επαγωγή, δείξτε ότι n n n = n n για κάθε θετικό ακέραιο n. (Για τη µαθηµατική επαγωγή, βλ. ΣΕΥ, Σύνολα Αριθµών, εδάφιο.8). 0 β) (0 µον) Βρείτε όλες τις τιµές του R, έτσι ώστε ο πίνακας A 0 = να είναι αντιστρέψιµος. Για τις τιµές αυτές, υπολογίστε τον άσκηση5). A. (Βλ. Ε Υ, Κεφ4, γ) (5 µον) Χρησιµοποιώντας στοιχειώδεις πράξεις γραµµών ή στηλών, υπολογίστε την ορίζουσα det b c d, όπου, b, c, d R. (Βλ. Ε Υ, Κεφ4, άσκηση). δ) (5 µον) Έστω A= ( ij ) M 4( R ). Υπολογίστε τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα AA (δηλαδή τα στοιχεία του συνέχεια, δείξτε ότι αν AA = 0, τότε A= 0. AA στις θέσεις (,), (, ), (3,3), (4,4) ). Στη α) Ισχύει για n=0: = = έστω ότι ισχύει για n: 3

4 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: n n n = n n Θα αποδείξουµε ότι ισχύει για n+: n+ n n n = = = n+ n n n n+ n = = ( n+ ) ( n+ ) + n+ n+ Εποµένως ισχύει για κάθε n N β) Υπολογίζουµε την ορίζουσα µε ανάπτυγµα ως προς την η γραµµή: det 0 = () det ( ) det (0) det + = + = + = + (0 ) 0 O πίνακας αντιστρέφεται όταν η ορίζουσα δεν είναι µηδέν, δηλ. όταν και Τότε ο προσαρτηµένος πίνακας του Α είναι: 0 0 det det det 0 0 dja= det det det 0 0 det det det 0 0 (όπου Τ συµβολίζει τον ανάστροφο ενός πίνακα) dja= + = + Εφαρµόζουµε τον τύπο υπολογισµού αντιστρόφου: deta + A = dja= A = + 4

5 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: A = γ) Αφαιρούµε από την 4 η γραµµή την η γραµµή: det b c d Κατόπιν από την η γραµµή την η γραµµή: det = 0 b c d Παρατηρούµε ότι η 4 η γραµµή είναι φορές η η γραµµή, άρα η ορίζουσα είναι µηδέν. δ) A= A = Σύµφωνα µε τον κανόνα πολλαπλασιασµού πινάκων το στοιχείο (,) του ΑΑ Τ θα είναι το γινόµενο: = ( )

6 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Όµοια βρίσκουµε το στοιχείο (,): Το στοιχείο (3,3): και το στοιχείο (4,4): Αν λοιπόν AA = 0τότε το άθροισµα των τετραγώνων όλων των στοιχείων του Α θα είναι µηδέν και αυτό µπορεί να συµβεί µόνον όταν όλα τα στοιχεία είναι 0, δηλ. όταν Α=0. Άσκηση 4 (0 µον) α) (0 µον) Εξετάστε ποια από τα σύνολα {( x, y, x) x, y R }, {( x, y,3x+ 4 y) x, y R } 3 3 είναι υπόχωροι του R. Σε περίπτωση που κάποιο σύνολο είναι υπόχωρος του R, βρείτε µια βάση και τη διάστασή του. β) (0 µον) Εξετάστε ποια από τα σύνολα b { A M ( R) det( A) = }, A= M ( R ) + d = b+ 3c c d είναι υπόχωροι του M ( R ). Σε περίπτωση που κάποιο σύνολο είναι υπόχωρος του M ( R ), βρείτε µια βάση και τη διάστασή του. α) Θεωρούµε ένα στοιχείο του ου συνόλου: u= ( x, y, x) και παρατηρούµε ότι το στοιχείο λ u= ( λx λy λ x) ( λx λy λx),,,,, λ R δεν ανήκει στο ο σύνολο επειδή εν γένει λ x = λ x λ x, άρα αυτό δεν είναι υπόχωρος του R 3. Θεωρούµε δύο στοιχεία του ου συνόλου και έναν πραγµατικό αριθµό λ: u = ( x, y,3x + 4 y), u = ( x, y,3x+ 4 y), λ R Με απλές πράξεις βλέπουµε ότι: u + u = ( x + x,y + y,3x + 4y + 3x + 4 y ) = ( ) ( ) ( ) = ( x + x, y + y,3 x + x + 4 y + y ) 6

7 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: ( ) ( ) ( ) ( ) λ u = ( λx, λ y, λ 3x + 4 y ) = ( λx, λy,3 λ x + 4 λ y ) δηλαδή τα u +u, λu ανήκουν στο ο σύνολο. Επίσης το στοιχείο (0,0,0)=(0,*0,3*0+4*0) προφανώς ανήκει στο ο σύνολο, άρα αυτό είναι υπόχωρος του R 3. Βρίσκουµε µία βάση αυτού: x, y,3x+ 4 y = x,0,3x + 0, y, 4y = x,0, + y 0,, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εποµένως τα διανύσµατα (,0, ), ( 0,,4) παράγουν τον υπόχωρο. Επίσης είναι και γραµµικά ανεξάρτητα διότι ο πίνακας µε γραµµές αυτά τα δύο γράφεται: 0 0 Γ > Γ εποµένως ο βαθµός του είναι, άρα οι γραµµές του είναι γραµµικά ανεξάρτητες, συνεπώς αποτελούν βάση του υπόχωρου. β) Γνωρίζουµε ότι για λ Rκαι A M ( R ) ισχύει: det( λ A) = λ det( A) λ det( A) άρα το στοιχείο λα δεν ανήκει στο ο σύνολο κι έτσι αυτό δεν είναι υπόχωρος του M ( R ) Θεωρούµε δύο στοιχεία του ου συνόλου και έναν πραγµατικό αριθµό λ: b A = M ( R) + d = b + 3c c d b A = M ( R) + d = b + 3c c d Με απλές πράξεις βλέπουµε ότι: + b + b A B A + A = = c c d d + + C D όπου ισχύει για τα A,B,C,D ότι: A+ D= + + d + d = + d + + d = ( ) ( ) ( b 3c ) ( b 3c ) ( b b ) 3( c c ) = = = = B+ 3D δηλ. ο πίνακας Α+Β ανήκει στο σύνολο. Επίσης έχουµε ότι: λ λb A B λ A = = λc λd C D όπου ισχύει για τα A,B,C,D ότι: A+ D= λ + λd = λ + d = ( ) ( b 3c ) ( b ) 3( c ) = λ + = λ + λ = = B+ 3D δηλ. ο πίνακας λα ανήκει στο σύνολο. Επίσης ο µηδενικός πίνακας x προφανώς ανήκει στο ο σύνολο, άρα αυτό είναι υπόχωρος του M ( R ). Θα βρούµε µία βάση αυτού. Έχουµε ότι: + d = b+ 3c = d+ b+ 3cάρα ένα τυχόν στοιχείο του υπόχωρου γράφεται: 7

8 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: b b+ 3c d b A= = = c d c d b b 3c 0 d 0 = + + = 0 0 c 0 0 d = b + c + d = ba + ca + da3 ηλ. οι 3 πίνακες Α,Α,Α3 παράγουν τον υπόχωρο. Εξετάζουµε εάν είναι και γραµµικά ανεξάρτητοι. Έχουµε: 0 0 x+ 3y z x 0 0 xa + ya + za3 = = 0 0 y z 0 0 x= 0 x 0 y 0 = = y= 0 z= 0 z= 0 x+ 3y z= 0 άρα είναι γραµµικά ανεξάρτητοι κι εποµένως αποτελούν µία βάση του υπόχωρου. Άσκηση 5 (0 µον) α) (0 µον) Αφού δικαιολογήσετε γιατί τα διανύσµατα (,,0,3),(0,3,, ),(0,0,,0),(0,0,0,) 4 αποτελούν µια βάση του R, παραστήστε το (,,3,4) ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων αυτών. 4 β) (0 µον) Έστω Uο διανυσµατικός υπόχωρος του R που παράγεται από τα διανύσµατα (,,0,3), (-,5,,0), (5,,-5,9) και (0,3,-,). Βρείτε τη διάσταση και µια βάση Bτου U. (Βλ. Ε Υ, Κεφ7, άσκηση 6). α) Θεωρούµε τον πίνακα µε στήλες τα 4 αυτά διανύσµατα ενώ σαν 5 η στήλη τοποθετούµε το διάνυσµα (,,3,4). Θα κάνουµε αυτόν τον πίνακα ανηγµένο κλιµακωτό µε γραµµοπράξεις: 8

9 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Γ >Γ Γ 0 0 3Γ4 >Γ4 3Γ Γ 3 >Γ 3 +Γ 0 Γ > Γ Γ 4 >Γ 4 Γ Από τις 4 πρώτες στήλες του τελευταίου πίνακα παρατηρούµε ότι: ) οι 4 πρώτες στήλες του Α είναι γραµµικά ανεξάρτητες, δηλ. είναι βάση του R 4 ) το διάνυσµα (,,3,4) γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός αυτών ως εξής: = δεδοµένου ότι ήδη έχουµε λύσει το αντίστοιχο γραµµικό σύστηµα για την εύρεση των συντελεστών! β) Θεωρούµε τον πίνακα A= µε γραµµές τα δοσµένα 0 3 διανύσµατα. Τότε ο υπόχωρός του που παράγεται από τα διανύσµατα που µας δόθηκαν είναι ο χώρος γραµµών του Α. Μετά από µερικούς στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών βρίσκουµε ότι: 9

10 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Γ >Γ + Γ Γ3 >Γ3 5Γ Γ >Γ Γ 0 0 Γ > Γ 9 3 Γ3 >Γ 3+ 9Γ Γ4 >Γ4 3Γ Γ >Γ Γ Ο χώρος γραµµών του τελευταίου πίνακα ταυτίζεται µε τον χώρο γραµµών του Α, εποµένως η διάσταση του U είναι 3 και µία βάση αυτού είναι οι 3 πρώτες γραµµές του Α: Β={ (,,0,3), (-,5,,0), (5,,-5,9)} Άσκηση 6 (5 µον) Εξετάστε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας παρέχοντας σε κάθε περίπτωση ένα αντιπαράδειγµα ή µια απόδειξη. α) (5 µον) Για κάθε A M ( R ), ισχύει det(5 A ) = 5det A. β) (5 µον) Για κάθε A, B M ( R ) τέτοια ώστε AB= 0, ισχύει BA= 0. γ) (5 µον) Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το R. Τότε για κάθε u, v V που είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ισχύει ότι τα στοιχεία u+ v, 3u v είναι γραµµικά ανεξάρτητα. α) Λάθος. Αντιπαράδειγµα: 0 0 A=, det( ) det 0 A = 0 = A=, det(5 A) = det = 50 0= 5det A β) Λάθος. Αντιπαράδειγµα: 0

11 Τηλ: Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: A=,, 0 0 B= AB=, BA= γ)σωστό. Απόδειξη. Έστω ότι υπάρχουν x,y Rέτσι ώστε: x u+ v + y 3u v = 0 x+ 3y u+ x y v= 0 ( ) ( ) ( ) ( ) u, vγραµµικάανεξάρτητα, άρα x+ 3y= 0 Γ >Γ Γ x y= 0 x+ 3y= 0 x= 0 7y= 0 y= 0 Συνεπώς από τον ορισµό τα u+ v, 3u v είναι γραµµικά ανεξάρτητα.