Η κατανομή ορμής Από την στατιστική μηχανική, ο αριθμός των μικροσκοπικών καταστάσεων dn στο στοιχείο όγκου του χώρου των φάσεων d 3 p d 3 r είναι

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η κατανομή ορμής Από την στατιστική μηχανική, ο αριθμός των μικροσκοπικών καταστάσεων dn στο στοιχείο όγκου του χώρου των φάσεων d 3 p d 3 r είναι"

Γεννάδιος Βαρουξής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤομοντέλοτουαερίουFermi ΤομοντέλοαυτόδιατυπώθηκεαπότονHansBethe.ΥποθέτουμεότιZπρωτόνια και N νετρόνια(φερμιόνια) καταλαμβάνουν ανεξάρτητα τον πυρηνικό όγκο Ω. Οιαλληλεπιδράσειςμεταξύτωνσωματίων(πυρηνικήκαιCoulomb)αγνοούνται. Τοαέριουποτίθεταιότιείναιεκφυλισμένο,οπότεοιχαμηλώτερεςστάθμεςείναι πλήρωςκατειλημμένες. Ηκατανομήορμής Απότηνστατιστικήμηχανική,οαριθμόςτωνμικροσκοπικώνκαταστάσεων dn στοστοιχείοόγκουτουχώρουτωνφάσεων d 3 p d 3 rείναι dn = 1 h 3 d 3 pd 3 r Ο συνολικός αριθμός των καταστάσεων με ορμή μικρότερη ή ίση από p στον όγκοωείναι N = 1 h π p3 Ω ΓιαAνουκλεόνια, N = 4 1 h π p3 Ω όπουοπαράγων 4 = 2 2 = (2t z +1)(2s z +1)προέρχεταιαπότονεκφυλισμότου spinκαιτουisospin. Ηπυκνότητατωνκαταστάσεωνανάμονάδαορμήςείναι dn dp = 16π p 2 Ω = 16p2 Ω h 3 π 2 3 Εναλλακτικήαπόδειξη Έστωότιτανουκλεόνιακαταλαμβάνουντονόγκοενόςκύβουμεακμήa (Ω = a 3 )και Z = N = A 2.Γιαένααπλόνουκλεόνιο,ηχρονικάανεξάρτητηεξίσωση Schrödingerείναι 2 ψ + 2mE 2 ψ = 0 Ηγενικήτηςλύσηείναιτηςμορφής ψ(x, y,z) sin(k x x)sin(k y y)sin(k z z) Οισυνοριακέςσυνθήκεςείναιψ(0, y,z) = ψ(a, y,z) = 0,κτλ. Εχουμε ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

2 k x a = n x π k y a = n y π k z a = n z π π k x = n x a π k y = n y, ( n x,n y,n z =1,2,3, ) a π k z = n z a Τοενεργειακόφάσματουσωματίουείναι E(n x,n y,n z ) = 2 k 2 2m = 2 2m (k 2 x + k 2 y + k 2 z ) = π 2 2 2ma (n 2 2 x + n 2 y + n 2 z ) Οαριθμόςτωνκαταστάσεωνμεκυματικόαριθμόμεταξύ k και k + dkείναι dn = πk 1 2 dk π = 2 3 π k 2 dkω = 2p2 dpω 2 π 2 3 a Επομένως, dn dp = 2p2 Ω π 2 3 Εάν λάβουμε υπόψιν τον παράγοντα εκφυλισμού 4, βρήσκουμε την ίδια έκφραση,όπωςπροηγουμένως. Ηπυκνότητατωνκαταστάσεωναπλούσωματίουωςσυνάρτησητης ενέργειαςε Έχουμε g(e) dn de = dn dp dp de = 2 p2 Ω π υ = 2p2 Ω π 2 3 m p = 2mp π 2 3 Ω ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

3 g(e) = 1 π 2 3 (2m)3 / 2 E 1/ 2 Ω Οι πυρηνικές στάθμες είναι κατειλημμένες μέχρι μία ανώτατη, η οποία ονομάζεταιστάθμηfermi. ΗορμήFermiυπολογίζεταιαπότησχέση p F p F 2p A = 2 dpω dn = = 2Ω π 2 3 3π 2 p 3 F 0 ΗενέργειαFermiείναι E F = p 2 F 2m = 2 2m 3π 2 0 A 2Ω 2 / 3 3 ΕκτίμησητηςE F καιτουμέσουβάθουςτουπυρηνικούπηγαδιού ΣεπυρήνεςμεN=Z,ηενέργειαFermiείναι E F = 2 3 2m 2 π 2 ρ 2 / 3, όπουρείναιησυνολικήπυκνότητατωννουκλεονίων. Αποπειράματασκέδασηςηλεκτρονίωνείναιγνωστόότι ρ = 0.172(nucleons) / fm 3.Επομένως, E F = 38MeV και k F =1.36 fm 1 ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

4 Υποθέτονταςότιηενέργειασύνδεσηςτουτελευταίουνουκλεονίουείναι8MeV βρήσκουμε ότι το βάθος του πηγαδιού πρέπει να είναι V 0 = ( 38 8)MeV = 46MeV.Πρόκειταιγιαμίαπρόχειρηεκτίμηση. Παρατηρήσατεότιαφού ρ = E F = 2 3 2m 2 π 2 ρ 2 / 3 = 2 2mr 0 2 9π 8 A = 3 A 4 3 πr3 4 πr 3 0 A,έχουμε 2 / 3 δηλαδή,η E F εξαρτάταιαπότηντιμήτης r 0.Αναλύσειςδιαφόρωνπυρηνικών φαινομένωνέχουνδώσειδιάφορεςτιμέςγιατην r 0. Μέση(κινητική)ενέργειαενόςαερίουFermi(T=0) E = 3 5 E F (Υπόδειξη:Υπολογίσατετημέσητιμή E = p F 0 p F 0 E d 3 p ) d 3 p Συνολική(κινητική)ενέργειαενόςαερίουFermi(T=0) E = E A = 3 5 E F A Συνολική(κινητική)ενέργειατωννουκλεονίωνενόςπυρήναμε N Z σύμφωναμετομοντέλοτουαερίουfermi E = 3 5 E 2 / 3 2N F A N + 2Z 2 / 3 A Z όπου E F είναιηενέργειαfermiτουισοβαρούςπυρήναμε N = Z = A 2. ΕφαρμογέςτουμοντέλουτουαερίουFermi 1. Ηαπόστασητωνπυρηνικώνενεργειακώνσταθμών ΤομοντέλοτουαερίουFermiπαρέχειμίαεκτίμησητης g(e F ). Υποθέτονταςισαπέχουσεςστάθμες d g 1 (E F ) = 2E F 3A = A MeV δηλαδή,η dελαττώνεταικαθώςτοaαυξάνει.τοσυμπέρασμααυτό συμφωνείμεταπειραματικάδεδομένα. ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

5 2. Ηενέργειασυμμετρίαςστονημιεμπειρικότύποτηςενέργειας σύνδεσης Ηπροέλευσητουόρουσυμμετρίαςστονημιεμπειρικότύποτηςενέργειας σύνδεσηςερμηνεύεταιαπότηνέκφρασητηςσυνολικήςενέργειαςενόςαερίου νουκλεονίων. E = 3 5 E F A 2 2N A 5 / 3 + 2Z A 5 / 3 Εισάγουμετιςποσότητες Δ = N Z και A = N + Z.Τότε, 2N A =1+ Δ A και 2Z A =1 Δ A.Υποθέτονταςότι Δ A <<1,αναπτύσσουμετηνEσεδυνάμειςτου Δ A, καιβρήσκουμεότι E = 3 5 E F A E F ( N Z) 2 A 1 Με την προηγούμενη εκτίμηση της ενέργειας Fermi, 3 E F =12.67MeV. Στον ημιεμπειρικό τύπο της ενέργειας σύνδεσης, ο όρος ασυμμετρίας έχει την τιμή a as = ( 19 22)MeV. Μπορείτε να σκεφτείτε ένα λόγο για τον οποίο η εκτίμηση τουμοντέλουτουαερίουfermiδίνειμικρότερητιμή? 3. ΟιστάθμεςFermiγιαταπρωτόνιακαινετρόνιαστονπυρήνα Η σταθερότητασεαποδιέγερσηβήτα ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

6 4. ΤομοντέλοτουαερίουFermiχρησιμοποιείταιστηνπεριγραφή κρούσεωννουκλεονίου πυρήνασευψηλέςενέργειες ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

7 5. Ηπυκνότητατωνπυρηνικώνενεργειακώνκαταστάσεων ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

8 ΔιαλέξειςΠυρηνικήςΦυσικήςΙΙ,Ν.Γ.Νικολής(2015)

Σχετικά έγγραφα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ