Θεωρία Υλικών, 11/2/2011

Transcript

1 Θεωρία Υλικών, // Θέμα (.5) Για τα στοιχειακό μέταλλο Al δίνεται ότι η πυκνότητα είναι ρ M =.7 g/cm 3 και το ατομικό του βάρος Η ηλεκτρονική δομή του ατόμου του Al είναι [Ne]3s p. α) Να βρεθεί ο ατομικός όγκος, V a, για το υλικό αυτό (όγκος ανά άτομο). β) Θεωρείστε την ακτίνα r a μιας νοητής σφαίρας που έχει όγκο V a = 4π 3 r3 a. Η ποσότητα r a είναι μια προσεγγιστική "ατομική ακτίνα" στα στερεά. Να βρεθεί η τιμή της για το Al στο ατομικό σύστημα μονάδων. γ) Υπολογίστε τη μέγιστη και τη μέση κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων στα μέταλλα (μοντέλο ελευθέρων ηλεκτρονίων στις 3 διαστάσεις) σε μηδενική θερμοκρασία. Τι τιμές έχουν αυτές για το Al; δ) Εκτιμήστε την ενέργεια συνοχής των στερεών σαν συνάρτηση της ατομικής τους ακτίνας και βρείτε την τιμή της για το Al. Θέμα (.5) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται εγκλωβισμένο σε κβαντική τελεία σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με πλευρές L x, L y, L z. (α) Αποδείξτε ότι η κίνησή του περιγράφεται από τρεις θετικούς ακεραίους κβαντικούς αριθμούς n x, n y, n z και ότι 8 Ψ nx n y n z (x, y, z) = sin n xπx sin n yπy sin n zπz. L x L y L z L x L y L z Πόση είναι η ενέργεια του ηλεκτρονίου σε αυτήν την κατάσταση; (β) Το ηλεκτρόνιο είναι αρχικά στη θεμελιώδη του στάθμη, Ψ (n x = n y = n z = ), και φωτίζεται με φώς που έχει ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x. Η πιθανότητα να διεγερθεί το ηλεκτρόνιο σε μια τυχούσα στάθμη Ψ nx n y n z ισούται με P = c n x n y n z x, όπου c σταθερά. Αποδείξτε ότι οι μόνες μεταβάσεις που είναι δυνατές (δηλ. P ) είναι προς στάθμες με κβαντικούς αριθμούς n y = n z = και n x = άρτιος. Υπόδειξη: sin x = (e ix e ix )/i. Θέμα 3 (.5) Να βρεθεί προσεγγιστικά έκφραση για την διηλεκτρική συνάρτηση ϵ(ω) των μετάλλων με συγκέντρωση ηλεκτρονίων n στο όριο μεγάλου μήκους κύματος. Σαν αφετηρία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κλασική εξίσωση κίνησης ενός ελεύθερου ηλεκτρονίου σε ηλεκτρικό πεδίο συχνότητας ω. Υπενθυμίζεται ότι όπου P = nex (x η μετατόπιση). ϵ(ω) = D(ω) E(ω) = + 4π P (ω) E(ω)

2 Θέμα 4 (3.5) Ένα σύστημα δυο σωματιδίων περιγράφεται από την Χαμιλτoνιανή (α) Δείξτε ότι ο μετασχηματισμός H = p m + p m + V ( r r ). R = m r + m r m + m, r = r r, P = p + p, p = m p m p m + m είναι κανονικός, δηλαδή οι νέες μεταβλητές έχουν ίδιες μεταθετικές σχέσεις με τις παλιές: [R, P] = [r, p] = i και [R, r] = [P, p] =. Επιπλέον, με τον μετασχηματισμό αυτό η H αποκτά όμοια μορφή αλλά περιγράφει πλέον δυο ανεξάρτητα σωματίδια: ένα ελεύθερο μάζας M = m + m και ένα άλλο, μάζας µ = m m /M το οποίο κινείται υπό την επίδραση του κεντρικού δυναμικού V (r), όπου r = r. (β) Το μόριο του HCl μπορεί να περιγραφεί σαν δυο μάζες που συνδέονται με ελατήριο με μήκος ισορροπίας d =.8 Å. Για Τ= Κ, υπολογίστε πόσα μόρια HCl μέσα σε ένα mol έχουν μήκος μεταξύ.4 Å και.9 Å. Ατομικά βάρη A Cl = g/mol, A H =. g/mol και η συχνότητα ταλάντωσης του μορίου ω = Hz. Δίνεται πίνακας τιμών της erf(x) = x e t dt: π x e (γ) Τι θα άλλαζε στη διαδικασία λύσης του προηγούμενου ερωτήματος αν αντί για HCl είχαμε Η οπότε () τα δυο άτομα είναι ταυτόσημα () το καθένα έχει ολική στροφορμή και (3) οι δυο στροφορμές είναι παράλληλες (δηλαδή η κυματοσυνάρτηση spin είναι συμμετρική); Δίνονται οι ατομικές μονάδες: α B = 4π (SI) = me me (CGS) =.59 Å, E = = 7. ev, ma B υ = E m P =94. Mbar, T =35773 K, και οι σταθερές: bar = 5 N m, m=9. 3 kgr, e=.6 9 C, =.5 34 J s, c=3. 8 m/s, N A =6. 3, cal = 4.8 J, ϵ =8.85 F/m, k B =.38 3 J K. Καλή επιτυχία!

3 Θεωρία Υλικών, 7// Θέμα (.8) Για τα στοιχειακό μέταλλο Cu δίνεται ότι η πυκνότητα είναι ρ M = 8.96 g/cm 3 και το ατομικό του βάρος Η ηλεκτρονική δομή του ατόμου του Cu είναι [Ar]3 4s. α) Να βρεθεί ο ατομικός όγκος, V a, για το υλικό αυτό (όγκος ανά άτομο). β) Θεωρείστε την ακτίνα r a μιας νοητής σφαίρας που έχει όγκο V a = 4π 3 r3 a. Η ποσότητα r a είναι μια προσεγγιστική "ατομική ακτίνα" στα στερεά. Να βρεθεί η τιμή της για το Cu στο ατομικό σύστημα μονάδων. γ) Υπολογίστε την ενέργεια Fermi στο μοντέλο ελευθέρων ηλεκτρονίων στις 3 διαστάσεις σε μηδενική θερμοκρασία. Τι τιμή έχει για το Cu; δ) Εκτιμήστε την ενέργεια συνοχής των στερεών σαν συνάρτηση της ατομικής τους ακτίνας και βρείτε την τιμή της για το Cu. Θέμα (.) Θεωρήσετε τον ενδογενή ημιαγωγό πυρίτιο (Si) στις δύο διαστάσεις με ενεργειακό χάσμα E g =. ev και ενεργό μάζα ηλεκτρονίων m = m e. α) Δείξτε ότι η ενεργειακή πυκνότητα καταστάσεων ανά μονάδα επιφάνειας είναι g(e) = m π. β) Υπολογίστε την πυκνότητα ηλεκτρονίων, n, σε θερμοκρασία δωματίου και συγκρίνετέ την με την αντίστοιχη στις τρεις διαστάσεις, την οποία έχουμε βρεί cm 3 περίπου. Υπενθυμίζεται ότι μπορείτε να θεωρήσετε E F = E g /. Θέμα 3 (.) Μαγνητικό νανοσωματίδιο με σπιν / βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο B = Bẑ. Για t = το σωματίδιο έχει καθορισμένη προβολή s x = /. Υπολογίστε τις πιθανότητες μετρήσεις του σπιν μετά από χρόνο t να δώσουν αποτελέσματα (α) s x = /, (β) s y = /, (γ) s y = /, (δ) s z = /.

4 Θέμα 4 (3.) Η Χαμιλτoνιανή συστήματος ηλεκτρονίου-πρωτονίου είναι H = p e + p p e ( r e r p ), m e m p 4πɛ όπου m e, r e, p e, m p, r p, p p η μάζα, θέση και ορμή του ηλεκτρονίου και πρωτονίου, αντίστοιχα. Θέτουμε r = r e r p και R = m er e + m p r p, όπου M = m e + m p η συνολική M μάζα. (α) Να βρεθούν εκφράσεις για δυο μεταβλητές ορμής, p και P ώστε o μετασχηματισμός να είναι κανονικός, δηλαδή οι νέες μεταβλητές έχουν ίδιες μεταθετικές σχέσεις με τις παλιές. Θα πρέπει δηλαδή να ικανοποιούνται όλες οι παρακάτω σχέσεις: [R, r] = [P, p] = [R, p] = [r, P] = [R, P] = i [r, p] = i Υπόδειξη: δοκιμάστε γραμμική σχέση. (β) Αντιστρέψτε το μετασχηματισμό σας για να βρείτε τα r e, p e, r p, p p σαν συνάρτηση των R, r, P, p. Αντικαταστήστε στην Χαμιλτωνιανή και δείξτε ότι αυτή αποκτά όμοια μορφή με την αρχική, αλλά περιγράφει πλέον δυο ανεξάρτητα σωματίδια, ένα μάζας M και ένα μάζας µ. (γ) Βρείτε τις ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτωνιανής (θεωρήστε γνωστή τη λύση για το άτομο του υδρογόνου). Βρείτε πόσο αλλάζει η ενέργεια της θεμελιώδους στάθμης σε σχέση με το αποτέλεσμα όταν το πρωτόνιο θεωρείται ακίνητο. (δ) (δώρο +.5) Σε ένα δείγμα ατομικoύ Η για T, πόση είναι η ψηλότερη, η χαμηλότερη και η μέση ενέργεια που μπορεί να έχει ένα άτομο; Δίνονται οι ατομικές μονάδες: α B = 4πɛ (SI) = me me (CGS) =.59 Å, E = ma B υ = E m P =94. Mbar, T =35773 K, και οι σταθερές: = e 4πɛ a B = 7. ev, bar = 5 N m, m=9. 3 kgr, e=.6 9 C, =.5 34 J s, c=3. 8 m/s, N A =6. 3, cal = 4.8 J, ɛ =8.85 F/m, k B =.38 3 J K. Καλή επιτυχία!

5 Θεωρία Υλικών, Τελική εξέταση, 4//3 Θέμα Θέμα (.5+.5) Θεωρήστε δυο σωματίδια με σπιν, τα οποία βρίσκονται σε μια κατάσταση ψ για την οποία ισχύει S z ψ = ħ ψ και S x ψ = ħ ψ. Μετράμε το ολικό σπιν του συστηματος. (α) Tι αποτελέσματα μπορεί να προκύψουν; και (β) με τι πιθανότητες; Θέμα 3 (.5+.5) Σώμα μάζας m εκτελεί αρμονική ταλάντωση συχνότητας ω σε μια διάσταση. (α) H Axe νx είναι ιδιοκατάσταση της Χαμιλτωνιανής. Υπολογιστε τις σταθερές A και ν και τις μέσες τιμές x, p, xp, px, xp px (β) H κυματοσυνάρτηση της θεμελιώδους στάθμης στο παραπάνω σύστημα ειναι ψ (m, x). Θεωρήστε τωρα σύστημα δυο σωμάτων μάζας m, τα οποία εκτελούν ταλαντώσεις συχνότητας ω. Δείξτε ότι κυματοσυνάρτηση της θεμελιώδους στάθμης του συστήματος ειναι ψ (m, x )ψ (m, x ) ή ισοδύνμαμα ψ (m, x + x )ψ ( m, x x ).

6 Θεωρία Υλικών, //4. Κβαντομηχανική (4 μονάδες): Λύστε από τα θέματα -3. Θέμα Δυο διαδοχικές γραμμές στο φάσμα εκπομπής του HCl απέχουν.68 cm. Υπολογίστε πόσο απέχουν οι ίδιες γραμμές στο φάσμα εκπομπής του DCl. Θεωρήστε ότι η σταθερά ελατηρίου, κ, είναι ίδια στα δυο μόρια. Δίνονται ατομικά βάρη: A H =. g/mol, A D =. g/mol, A Cl = 35.5 g/mol και ότι (.68cm )hc =.48 mev. Θέμα Κάθε (λογική) συνάρτηση f(θ, ϕ) μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός ιδιοσυναρτήσεων του τελεστή της στροφορμής, l : f(θ, ϕ) = l c lm Y lm (θ, ϕ). l= m= l (α) Αποδείξτε ότι π π f(θ, ϕ) sin θdθdϕ = l c lm =. l= m= l (β) Υπολογίστε το c για την f(θ, ϕ) = 3π cos θ sin ϕ. Θέμα 3 Δυο ταυτόσημα φερμιόνια κινούνται σε μια διάσταση με κυματοσυνάρτηση ψ(x, x ) = (ax + bx )e x / e x /. (α) Υπολογίστε τις σταθερές a, b ώστε η ψ να είναι κανονικοποιημένη και να ικανοποιεί την αρχή του Pauli. (β) Υπολογίστε την πιθανότητα να βρίσκονται και τα δυο σωμάτια στο διάστημα [-,]. sin x = sin x cos x π cos n x sin xdx = n + π e ax dx = (a > ) a π xe a(x b) dx = b (Re(a) > ) a e x dx.747 b d a c f(u)g(v)dudv = cos x = cos x = sin x π b a sin 4 xdx = 3π 4 π e ax e bx dx = a e b a (a > ) π (a > ) a 3 x e ax dx = x e x dx.89 f(u)du d c g(v)dv

7 Θέμα : κ E DCl = ħω DCl = ħ = µ DCl κ E HCl = ħω HCl = ħ = µ HCl E DCl = E HCl m D+m Cl m D m C l E DCl =.68 m H +m Cl m H m C l Λύσεις θεμάτων -3. κ(m D + m Cl ). m D m Cl κ(m H + m Cl ) m H m Cl. = E HCl m H (m D + m Cl ) m D (m H + m Cl ) = E HCl.( ).( ) cm = 4.8 cm. A H (A D + A Cl ) A D (A H + A Cl ) Θέμα : (α) Θεωρία. Πρέπει να δώσουν δυο αποδειξεις (ειναι ισοδυναμία). (β) c = π π π π c = = 5 π π f(θ, ϕ)y (θ, ϕ) sin θdθdϕ 3π cos θ sin ϕ 4π sin θdθdϕ = π π cos θ sin θdθ sin ϕdϕ π π cos θ( )d cos θ ( cos ϕ)dϕ = 5 π 6 3 (π ) = = Θέμα 3: (α) Πρέπει ψ(x, x ) = ψ(x, x ) b = a. Επίσης ψ(x, x ) dx dx = a (x + x x x ) e x e x = { a x e x dx e x dx + + } x e x dx x e x dx = a (x x ) e x e x =. x e x dx e x dx + a ( π π + π π + ) = a = /frac π. (b) P = ψ(x, x ) dx dx = { x π e x dx e x dx + } + x e x dx x e x dx = { x e x dx e x dx + x e x dx π =.36 ή 36%. π } e x dx + = x e x dx e x dx +

8 Θεωρία Υλικών, 7//5 Θέμα Σε έναν μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή: (α) Βρειτε τις ιδιοσυναρτήσεις, ψ λ (x) και τις ιδιοτιμές λ του τελεστή καταστροφής, δηλαδή τις λύσεις της εξίσωσης aψ λ (x) = λψ λ (x) με + ψ λ (x) dx =. (β) Σχεδιάστε πρόχειρα την ψ λ (x) για δυο διαφορετικές τιμές του λ. (γ) Δείξτε ότι δεν θα υπήρχε καμία λύση στο (α) ερώτημα αν αυτο αφορούσε τον τελεστή δημιουργίας αντί για τον τελεστή καταστροφής. Θέμα (α) Σύστημα αποτελείται από δυο ταυτόσημα φερμιόνια. Ένα σωματίδιο περιγράφεται από την ψ και ένα από την ψ. Αποδειξτε ότι η μέση τιμή της συγκέντρωσης σωματιδίων είναι n(r) = ψ (r) + ψ (r). (β) Δυο ταυτόσημα φερμιόνια κινούνται σε επιφάνεια σφαίρας. Ένα σωματίδιο βρίσκεται στην κατάσταση Y, και ένα στην κατάσταση Y,. Υπολογίστε την συνάρτηση f(θ) = π n(θ, ϕ)sinθdϕ. Σχεδιάστε προχειρα την f(θ). Ποια η φυσική σημασια της; (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα να βρίσκεται ένα σωμάτιο στο άνω ημισφαίριο ( θ < π ) κι ένα στο κάτω. (δ) (μπόνους) Θα άλλαζε το αποτέλεσμα στο (α) αν τα σωματίδια ήταν μποζονια και όχι φερμιόνια; Περιμένετε η πιθανότητα στο (γ) να βγει μικρότερη, ίση η μεγαλύτερη από ό,τι στα φερμιόνια; γιατί; π a e ax dx = (a > ) π xe a(x b) dx = b (Re(a) > ) a sin px cos qxdx = x n (x + a ) x n e ax dx = cos(p q)x (p q) π e ax e bx dx = a e b a (a > ) π (a > ) a 3 x e ax dx = { 3... (k ) π (n = k, k integer, a > ) k+ a k a k! (n = k +, k integer, a > ) a k+ cos(p + q)x (p + q) sin(p q)x (p q) sin px sin qxdx = sin n xdx = sinn x cos x + n sin n xdx, n >. n n cos n xdx = cosn x sin x + n cos n xdx, n >. n n ( 3... (n ))( 3... ((m n) ))π dx = m+ Y, (θ, ϕ) = 4 e iϕ 5 π sin θ Y, (θ, ϕ) = 5 ( π cos θ) Y, (θ, ϕ) = eiϕ 5 cos θ sin θ Y π sin(p + q (p + q m+ m!a (m n)+ a >, m > n. x n+ (m n )!n! dx = a >, m > n. (x + a ) m+ m!a (m n) Σφαιρικές αρμονικές: Y, (θ, ϕ) = e iϕ 5 cos θ sin θ π,(θ, ϕ) = 4 eiϕ 5 π sin θ

9 Λύσεις θεμάτων -. Θέμα : (α) aψ = λψ (x + d )ψ = λψ dx ψ = ( λ x)ψ ln ψ = λx x + c ψ λ (x) = Ne x + λx. Κανονικοποίηση: N = e λ. Ιδιοτιμές λ ειναι π /4 όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί. (β) Είναι αδιάστατοι. Για λ = έχουμε την θεμελιώδη στάθμη. Για λ = / έχουμε την e (x ) /, δηλαδή την θεμελιώδη στάθμη με κέντρο το. Θέμα : (α) ψ = (ψ (r )ψ (r ) ψ (r )ψ (r )). Η πυκνότητα ειναι n(r) = ψ δ(r r )+δ(r r ) ψ = (ψ (r )ψ (r ) ψ (r )ψ (r )) (δ(r r ) + δ(r r )(ψ (r )ψ (r ) ψ (r )ψ (r ))d 3 r d 3 r = 8 όροι, από τους οποίους 4 δίνουν ψ και οι άλλοι 4 αλληλοαναιρούνται. (β) Για τις ψ που δινονται είναι n(θ, ϕ) = 5 3π sin4 θ + 5 8π cos θ sin θ n(θ, ϕ) = 5 3π (sin4 θ+4 cos θ sin θ) = 5 ( 3 3π sin4 θ+4 sin θ). Επομένως f(θ) = 5 π sin θ( 3 3π sin4 θ+ 4 sin θ) = 5(4 6 sin3 θ 3 sin 5 θ). Η f(θ)dθ μου δινει τον αριθμό των σωματιδίων που υπάρχουν μεταξύ των γωνιών θ και θ + dθ (γ) Η πιθανότητα να βρισκεται ακριβώς ένα σωμάτιο στο βόρειο ημισφαίριο ειναι ( P = π/ f(θ)dθ = 5 4 π/ sin 3 θdθ 3 ) π/ ( sin 5 θdθ = ) =.

10 ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Τελική Εξέταση Μέρος A, Ιανουάριος 6 Θέμα () Σωμάτιο μάζας M κινείται ελεύθερα στο εσωτερικό ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου με πλευρές a, b, c. Αποδείξτε ότι οι ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτωνιανής χαρακτηρίζονται από τρεις θετικούς ακέραιους κβαντικούς αριθμούς n, l, m και δίνονται από τις 8 nπx ψ nml (x, y, z) = sin abc a ( E nml = ħ π n M a + m b mπy sin b + l c sin lπz c, () ). () Οι παρακάτω ερωτήσεις αφορούν κυβικό νανοσωματίδιο (a = b = c). () Bρείτε τις πέντε χαμηλότερες ενέργειες και τον βαθμό εκφυλισμού της καθεμίας. Σχεδιάστε πρόχειρα τις κυματοσυναρτήσεις για τις δυο χαμηλότερες ενέργειες. (3) Aποδείξτε ότι η μέση τιμή της z συνιστώσας της στροφορμής, l z, είναι μηδέν όταν m = n. (4) Σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση n =, m =, l =. Ποιά είναι η πιθανότητα μέτρηση του μέτρου της στροφορμής του σωματιδίου να δώσει την την τιμή ; (5) Το ίδιο ερώτημα για τιμή μέτρου στροφορμής ħ. (6) Δέκα ταυτόσημα μη αλληλεπιδρώντα μποζόνια με μάζα ίση με την μάζα του ηλεκτρονίου είναι περιορισμένα στο εσωτερικό κυβικού νανοσωματιδίου με a = a B, όπου a B = 4πϵ ħ.53 Å. Υπολογίστε την ελάχιστη ενέργεια του συστήματος σε ev. me Επαναλάβετε την άσκηση για φερμιόνια. Υπόδειξη: στα ερωτήματα 3,4,5 μπορείτε να εργαστείτε και σε καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y, z) αντί για τις σφαιρικές (r, θ, ϕ). Βαθμολογία: κάθε ερώτημα= μονάδα, άριστα=4 μονάδες. Καλή επιτυχία.

11 ΘΕΩΡΙΑ ΥΛΙΚΩΝ Τελική Εξέταση, Μέρος A', Ιανουάριος 7 Θεωρήστε το διατομικό μόριο Α, όπου το κάθε άτομο Α έχει μάζα m A και η μέση απόσταση μεταξύ ατόμων είναι d. Το μόριο κινείται ελεύθερα μέσα σε κυβικό κουτί πλευράς L. Τα δυο άτομα Α περιστρέφονται στον χώρο ενώ η απόστασή τους είναι πάντα κοντά στην τιμή d. Η Χαμιλτονιανή του συστήματος έχει την συνολική κίνηση του μορίου (R, P) και την σχετική κίνηση μεταξύ των ατόμων (r, p) σε τρεις διαστάσεις: H = P M + p µ + µω r, όπου M = m A, µ = m/ και r = r r d. Οι ιδιοκαταστάσεις H χαρακτηρίζονται από δυο συναρτήσεις Ψ n και ψ n και 6 ακέραιους N, L, M, n, l, m ως εξής: Φ NLMnlm (X, Y, Z, x, y, z) = Ψ N (X)Ψ L (Y )Ψ M (Z)ψ n (x)ψ m (y)ψ m (z) E NLMnlm = a(n + L + M ) + b(n + l + m) + c () Δώστε τους τύπους της Ψ(u) για τις δυο χαμηλότερες τιμές του N. Δώστε τους τύπους της ψ n (u) για τις δυο χαμηλότερες τιμές του n. Υπολογίστε τα a, b, c σαν συνάρτηση των m A, ω, d και L. (.5) () Βρείτε την ενέργεια και τον βαθμό εκφυλισμού στην θεμελιώδη και στην πρώτη διεγερμένη στάθμη του συστήματος θεωρώντας ότι τα άτομα Α έχουν ακέραιο σπιν και ότι οι N, L, M είναι ίδιοι στις δυο αυτές στάθμες. (.) (3) Επαναλάβετε το (β) ερώτημα θεωρώντας ότι τα άτομα Α έχουν ημιακέραιο σπιν. (.) Yπόδειξη: Aν ανταλλαχθεί η θέση των δυο ατόμων το R δεν αλλάζει ενώ το r r. Καλή επιτυχία!

12 ΜΕΤΥ-5, Τελικό ΚβΜ /3, 8//7. Όνομα: (α) Δυο νανοσωματίδια έχουν σπιν s = 3/, s = 7/. Βρείτε όλες τις δυνατές των κβαντικών αριθμών S, M του ολικού σπιν S = s + s.

13 ΜΕΤΥ-5, Τελικό ΚβΜ /3, 8//7. Όνομα: (β) Δυο ταυτόσημα σωματίδια με s = κινούνται πάνω στον άξονα x και η κατάστασή τους περιγράψεται από την κυματοσυνάρτηση ψ(x, x ) = N sin [k(x x )] e λ(x x ). Βρείτε τις επιτρεπτές τιμές του κβαντικού αριθμού, S, του ολικού σπιν των δυο σωματιδίων.

14 ΜΕΤΥ-5, Τελικό ΚβΜ 3/3, 8//7. Όνομα: (γ) N ηλεκτρόνια βρίσκονται σε απειρόβαθο πηγάδι μήκους L = 6 m και η μέση τους ενέργεια είναι ev. Να βρεθεί το N.