Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. (ii) f (x) = π. f (x)

Transcript

1 I Παράγωγος συνάρτησης σε σηµείο Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Να βρείτε ( αν υπάρχει ) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σηµείο (i) f () = +, = (ii) f () =, = (iii) f () = + 6, = (iv) f () = συν, = Να βρείτε ( αν υπάρχει ) την παράγωγο της συνάρτησης f στο σηµείο (i) (iii) f () = +, = (ii) f () =, +, >, = (iv) f () =, = ηµ+, < f () = π 4+ εφ <, = Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιµες στο σηµείο, < 5+ 6, (i) f () =, = (ii) f () =, =, +, > (iii) f () συν = +, ( π,π), = 4 Αφού µελετήσετε την συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις, να εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµες στο ηµ, συν, (i) f () =, = (ii) f () =, =, =, = (iii) f () =, = (iv) f () = 6 +, = (v) f () =, = 5 Να δείξετε ότι η συνάρτηση: είναι συνεχής στο f () ηµ = =,, = αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό IΙ Παράγωγος συνάρτησης σε σηµείο όταν δίνεται ανισοτική σχέση 6 Η συνάρτηση f : R R ικανοποιεί τη σχέση: Διαµαντόπουλος Ευθύµιος

2 f () f (ψ) ψ, για κάθε,ψ R Να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο R 7 Η συνάρτηση f : R R ικανοποιεί τη σχέση: f (α) f (β) (α β), για κάθε α,β R Να δείξετε ότι αν είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο R, τότε 8 Έστω f : R R συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε R ισχύει: f () + Να δείξετε ότι f () = 9 Έστω f : R R συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε R ισχύει: f () ( ) Να δείξετε ότι f () = f ( ) = ίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής στο = και για κάθε R ισχύει: 4 f ()ηµ Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο = ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: + ηµ f () +, για κάθε R Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο = αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό Έστω f,g : R R συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε R ισχύουν: 4 f () και g() = f () (i) Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σηµείο = (ii) Να βρείτε τους f () και g () Αν η συνάρτηση f : R R είναι περιττή και για κάθε R ισχύει : f () + ηµ (i) Να βρείτε τον τύπο της f (ii) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο = 4 Έστω f : R R συνάρτηση παραγωγίσιµη στο = για την οποία ισχύει: 4 f () + f () + ηµ, για κάθε R Αν f () = να υπολογίσετε την f () 5 Η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιµη στο = και για κάθε R ισχύει : f () + 4f ( )ηµ+ ηµ () Να βρείτε την f () 6 Θεωρούµε τις συναρτήσεις f,g : R R τέτοιες ώστε Διαµαντόπουλος Ευθύµιος

3 g() f () g() + ( α), για κάθε R ( α R ) Αν η g είναι παραγωγίσιµη στο: στο σηµείο αυτό και f (α) = g (α) = α, να δείξετε ότι και η f είναι παραγωγίσιµη 7 Έστω f,g : R R συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο R, για τις οποίες ισχύουν: f ( ) = g( ) και f () g() για κάθε R Να δείξετε ότι f ( ) = g ( ) 8 Έστω f,g : R R συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο = για τις οποίες ισχύουν: f () g() και f () g(), για κάθε R {} Να δείξετε ότι f () + f () = g () 9 Έστω f,g : R R συναρτήσεις παραγωγίσιµες στο = α για τις οποίες ισχύουν: (i) f (α) = g(α) και (ii) f () g() α, για κάθε R Να δείξετε ότι g (α) f (α) = α III Παράγωγος µιας ή περισσοτέρων συναρτήσεων όταν δίνεται µία σχέση ισότητας ίνεται η συνάρτηση f : R (, + ), τέτοια ώστε για κάθε R ισχύει: f () + f () = Να δείξετε ότι (i) lim f () = (ii) f () = Η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιµη στο = και για κάθε R ισχύει: f () f () + f () = ηµ Να δείξετε ότι f () = Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και για κάθε R ισχύει: f () + f () = Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο = Έστω f,g : R R συναρτήσεις τέτοιες ώστε 4 f () + g () = για κάθε R Να δείξετε ότι f () = g () = 4 Έστω f,g : R R συναρτήσεις παραγωγίσιµες στα σηµεία =, = αντίστοιχα και για κάθε R ισχύει: 4 f () + g (+ ) = + Διαµαντόπουλος Ευθύµιος

4 Να δείξετε ότι ( f ()) + ( g ()) = 4( ) ( ) f () + g () = 4 5 Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο = Αν για κάθε R ισχύει 4 f () + g () = 8 + 8, να δείξετε ότι: (i) f () = g() = και (ii) ( ) ( ) f () + g () = 6 6 Η συνάρτηση f :(,+ ) R είναι συνεχής στο (, ) f ( ) + f () = f (), για κάθε (, + ) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο µε παράγωγο + και ισχύει: f ( ) = f ( ) IV Παράγωγος συνάρτησης σε σηµείο όταν δίνεται ένα όριο 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = f () + lim = 5 να δείξετε 8 Η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο R και συνεχής στο σηµείο =, να δείξετε ότι f () = 5 9 Αν ( ) f () lim = Αν η f είναι + f () g() = + f (), R, lim = 5και η f είναι συνεχής στο + σηµείο = να βρείτε την g () Αν f () = και f () + 4f () lim = 4, να δείξετε ότι f () = Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο = Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο = Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο = f () ηµ lim =, να f (+ ) lim = 5, να δείξετε f ( ) lim = 7 να Διαµαντόπουλος Ευθύµιος 4

5 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο βρείτε την f (α) = α Αν f (α+ ) lim = 4 + ηµ να V Δίνεται η παράγωγος µιας συνάρτησης και ζητείται η παράγωγος άλλης συνάρτησης 5 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σηµείο = και για κάθε R ισχύει g() = ( + )f (), να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = 6 Αν για την συνάρτηση f ισχύουν f () = και f () = και η f είναι συνεχής στο =, να βρείτε την g () (i) g() = f () (ii) g() = f () f () 7 Η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιµη στο = Αν f (), g() = f (5 ), > να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο = αν και µόνο αν f () = 8 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο = µε f () = και f () = Να βρεθεί η g () g() = f () Αν για κάθε R ισχύει βρείτε την f () 4 f () g() µε g() = και g () = να 4 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο, να δείξετε ότι και η συνάρτηση: f (), g() = f ( )( ) + f ( ), >, είναι παραγωγίσιµη στο 4 ίνεται η συνάρτηση f : R R µε f () = f () και f () = f () Να δείξετε f (), ότι η συνάρτηση g() =, είναι παραγωγίσιµη στο = f (4 ), < VI Υπολογισµός ορίου όταν δίνεται η παράγωγος συνάρτησης σε σηµείο 4 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R να βρείτε τα όρια Διαµαντόπουλος Ευθύµιος 5

6 f ( ) f ( ) (i) lim f (+ α) f ( ) (iii) lim f (+ α) f ( β) (v) lim f (+ ) f ( ) (ii) lim f (+ α) f (+ β) (iv) lim f (+ ) f ( ) (vi) lim ηµ *, ( α, β R ) 4 Έστω f,g : R R συναρτήσεις µε f () = f () = και π f () ηµ, g() =, = (i) Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο = π f ()ηµ ηµ7 (ii) Να υπολογίσετε το όριο: L= lim 4 ηµ 44 ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f () ηµ5, για κάθε R (i) Να βρείτε, αν υπάρχει τον αριθµό f () f (4) f () (ii) Να βρείτε το όριο: L= lim f () f () 45 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο = 7 µε f (7) = 8 Να υπολογίσετε f (5+ ) f (7) το όριο: L= lim * 46 ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f (α+ β) = f (α)f (β), για κάθε α,β R Αν f () = 4 να βρείτε το όριο: L= f () f () lim VII Συναρτησιακές σχέσεις και παράγωγος συνάρτησης σε σηµείο 47 Αν η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής και για κάθε, ψ R ισχύει: f () = f (ψ) + ( ψ) f () f (ψ) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο R µε παράγωγο = f ( ) f ( ) 48 ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f () + ηµψ f (+ ψ) f () + ψ ψ + ψ, για κάθε,ψ R Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο R Διαµαντόπουλος Ευθύµιος 6

7 49 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη το = και ισχύει: f (ψ) = f () + f (ψ) για κάθε,ψ R Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο * R * 5 ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f (+ ψ) = f () f (ψ) + ψγια κάθε,ψ R Να δείξετε ότι αν η f είναι παραγωγίσιµη στο =, τότε είναι παραγωγίσιµη στο R 5 ίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f (+ ψ) = f () + f (ψ) + ψ(+ ψ), για κάθε,ψ R Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R = α µε παράγωγο f (α) = + α, να 5 Η συνάρτηση f : (, + ) R είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = µε f () = 5 και για κάθε,ψ (, + ) ισχύει: f (ψ) = f () + f (ψ) + ψ ψ Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε (, + ) και f ( ) = + VIII Συνθήκη για να υπάρχει η παράγωγος σε σηµείο 5 Αν g() = α f (), R και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α R, να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο 54 Αν f () P() Q() = α αν και µόνο αν f (α) = =, όπου P(), Q() πολυώνυµα βαθµού ν ( ν ) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, να δείξετε ότι κάθε πραγµατική ρίζα του Q() µε βαθµό πολλαπλότητας είναι και ρίζα του P() IX Γενικές 55 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο = µε f () = και για κάθε R ισχύει : f () + f () + + f (8) ηµ(9) Να δείξετε ότι f () = 4 56 Έστω f,g : R R συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν f (α) = g(α) και f () g() α Αν οι f, g είναι παραγωγίσιµες στο 57 Αν για κάθε R ισχύει: α R + < +, για κάθε R ( ) = α, να δείξετε ότι: f (α) + = g (α) f () g() + και οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο = µε f () = g() + 9, να δείξετε ότι: f () g () = 6 Διαµαντόπουλος Ευθύµιος 7

8 58 Αν f (α) = g(α) = (α), f () g() () για κάθε R και (α) = f (α) να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιµη στο = α και g (α) = (α) = f (α) 59 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό και να βρείτε την f ( ) f () ηµ (i) lim = 4, όπου = f ( ) (ii) lim =, όπου = 6 Έστω f : R R συνάρτηση τέτοια ώστε: f () f (+ ) = 6 και Αν η f είναι συνεχής στα σηµεία = και f () + 5 lim = = να βρείτε τους f () και f () 6 Η συνάρτηση f : R R είναι περιττή, συνεχής και παραγωγίσιµη στο = και f () ηµ( ) lim = Να βρείτε τους αριθµούς f () και f ( ) 6 Η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιµη στα σηµεία =, = και f () = f () Θεωρούµε τη συνάρτηση: f (), g() = f ( ), > Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιµη στο = αν και µόνο αν f () = f () 6 Αν η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιµη στο = και η συνάρτηση f ( + ), < g() = f (), είναι παραγωγίσιµη στο =, να δείξετε ότι f () = 64 Αν η συνάρτηση f : R R είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο = και για κάθε,ψ R ισχύει: f (+ ψ) = f () + f (ψ) + 8ψ Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο R Διαµαντόπουλος Ευθύµιος 8