Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία. του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση: ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x

Transcript

1 8 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός της συνέχειας 8. α) Πότε μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; β) Έστω η συνάρτηση:, αν < f() =, αν i) Να αποδείξετε ότι f() = 7 και να υπολογίσετε τα όρια lim f(), lim f(). ii) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο =. Απάντηση α) Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο, όταν: υπάρχει το όριο lim f() και ισχύει lim f() = f( ). Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία C f y y C f y f( ) O f( ) Ο C f O lim f() = f( ) lim f() f( ) Δεν υπάρχει το όριο της f στο

2 β) i) Αν, έχουμε f() =, οπότε είναι f() = = 7 και: Αν <, έχουμε ii) Έχουμε lim f () = lim ( ) = = 7 f() =, οπότε είναι: lim f () = lim ( ) = = 7 lim f () = lim f () = 7, άρα είναι: limf () = 7 Όμως είναι f() = 7, άρα έχουμε limf () = f (). Επομένως η f είναι συνεχής στο =. Αν το είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f, τότε η f είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν: lim f() = lim f() = f( ) Σχόλια: i) Δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση f είναι ή δεν είναι συνεχής σε σημείο που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της. ii) Σύμφωνα με τον ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της στις παρακάτω περιπτώσεις: Δεν υπάρχει το όριό της στο. Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της f( ) στο. Συνεχής συνάρτηση 8. α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής; β) Τι γνωρίζετε για τη συνέχεια των βασικών συναρτήσεων; Απάντηση α) Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της λέγεται συνεχής συνάρτηση. Ειδικότερα, για τη συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα έχουμε τα εξής: Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο ανοιχτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β). Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής στο (α, β) και επιπλέον είναι: lim f () = f (α) και lim f () = f (β) α β 4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

3 β) Αποδεικνύεται ότι: Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο. Παράδειγμα Οι συναρτήσεις f () =, g( ) = 5 6 είναι συνεχείς στο. Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Παράδειγμα Η συνάρτηση f() = είναι συνεχής στο { }. Οι συναρτήσεις f () = ημ και g() = συν είναι συνεχείς στο. Οι συναρτήσεις f() = α και g() = logα, με < α, είναι συνεχείς στα πεδία ορισμού τους, δηλαδή στα διαστήματα A = και A = (, ) αντίστοιχα. Συνέχεια και πράξεις συναρτήσεων 8. α) Ποια θεωρήματα ισχύουν για τις πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων; β) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: 4, αν f() =, αν = 4 Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, ), ii) η f είναι συνεχής στο. Απάντηση α) Για τις πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο, τότε και οι συναρτήσεις: f ν f g, c f με c, f g,, f, f g είναι συνεχείς στο, με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το. 5

4 Παράδειγμα Η συνάρτηση f()= ημ είναι συνεχής στο, ως γινόμενο των συνεχών συναρτή- f () και f() = ημ. σεων = Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο f( ), τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής στο. Παράδειγμα Η συνάρτηση f () = ln(e ) είναι συνεχής στο, αφού είναι σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f() = ln και f () = e. β) i) Σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, ) η f Αν οι f, g είναι συνεχείς 4 στο και g( ), έχει τύπο f() =. τότε και η f είναι συνεχής στο g Οι συναρτήσεις f() = 4 και f() = είναι συνεχείς στο, άρα και η f ως πηλίκο των f *. και * f είναι συνεχής στο. ii) Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο =. Έχουμε: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim f () lim lim = = = 4 4 = lim = lim = lim = Επειδή είναι f() =, προκύπτει ότι limf () = f (), άρα η f είναι συνεχής και στο 4 =. Επομένως, σύμφωνα και με το ερώτημα (i), η f είναι συνεχής στο. 8.4 (Τιμή της f από ισότητα) Έστω η συνάρτηση f :, η οποία είναι συνεχής στο = και για κάθε ικανοποιεί τη σχέση f () = συν. Να αποδείξετε ότι: συν α) f() = για κάθε, β) f() =. Λύση α) Για κάθε έχουμε: συν f () = συν f () = 6 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

5 β) Επειδή η f είναι συνεχής στο =, είναι limf () = f (). συν Όμως lim f () = lim =, άρα είναι f() =. Αν η f είναι συνεχής στο, τότε: f( ) = limf() 8.5 (Τιμή της f από ανισότητα) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την ο- ποία ισχύει η σχέση: f () ημ για κάθε ημ α) Να υπολογίσετε το όριο lim. β) Να αποδείξετε ότι f() =. Λύση α) Είναι: ημ ημ lim = lim = ημ = lim = = β) Από τη δοσμένη σχέση για > παίρνουμε: ημ f() ημ f() Επομένως είναι: Επειδή η f είναι συνεχής ημ στο, είναι: lim f () lim f () () lim f () = f () Από τη δοσμένη σχέση για < παίρνουμε: και ημ lim f () = f () f() ημ f() Επομένως είναι: ημ lim f () lim f () () Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι f() =. 7

6 8.6 (Κριτήριο παρεμβολής και συνέχεια) Θεωρούμε τη συνάρτηση g:, η ο- ποία είναι συνεχής στο =, για την οποία ισχύει η σχέση: Να αποδείξετε ότι: ημ α) g() για κάθε β) g() =. g() ημ για κάθε *, Λύση α) Από τη δοσμένη σχέση για παίρνουμε: g() ημ g() ημ g() ημ ημ g() β) Σύμφωνα με το ερώτημα (α) παίρνουμε: ημ ημ g() g() ημ ημ g() Όμως είναι: Κριτήριο παρεμβολής ημ ημ lim = = lim Αν για κάθε κοντά στο ισχύει: Άρα, σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής, παίρνουμε g() f() h() lim g() =. Επειδή η g είναι συνεχής στο =, παίρνουμε g() = limg() =. lim h() = l, τότε και είναι lim g() = l και είναι: lim f () = l Να θυμάμαι. Μια συνάρτηση f:a λέγεται συνεχής στο σημείο lim f() = f( ).. Μια συνάρτηση f :A λέγεται συνεχής όταν είναι συνεχής σε κάθε A, αν ισχύει A.. Οι συναρτήσεις που προκύπτουν από πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς. 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7 Ερωτήσεις τύπου «Σωστό Λάθος» 8.7 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ). σα) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g f σβ) Η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο. Σ Λ (( (Εξετάσεις 7) = είναι συνεχής στο. Σ Λ είναι συνεχής στο. Σ Λ,αν σγ) Η συνάρτηση f() =, αν = σδ) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. i) Η f είναι συνεχής στο. Σ Λ ii) Η f είναι συνεχής στο. Σ Λ iii) Η f δεν είναι συνεχής στο. Σ Λ f() = είναι συνεχής στο. Σ Λ σε) Η συνάρτηση, αν στ) Η συνάρτηση f() =, αν < σζ) Επειδή η συνάρτηση f() = είναι συνεχής στο [, ) και η συνάρτηση g() = ημ είναι συνεχής στο, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο. Σ Λ g είναι συνεχής στο. Σ Λ η) Η συνάρτηση f() = ημ θ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο, τότε το όριο lim f () είναι συνεχής. Σ Λ είναι πραγματικός αριθμός. Σ Λ σι) Η συνάρτηση f() ια) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής, τότε και η συνάρτηση g() f() = δεν είναι συνεχής στο. Σ Λ = είναι συνεχής. Σ Λ y O 9

8 Προτεινόμενες ασκήσεις Μελέτη συνέχειας σε σημείο 8.8 Θεωρούμε τη συνάρτηση:, αν f() =, αν = α) Να υπολογίσετε το όριο limf (). β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο =. 8.9 Έστω η συνάρτηση:, αν< 5 f() = 5, αν 5 και το σημείο = 5. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο = 5. (Εξετάσεις ) 8. Δίνεται η συνάρτηση: 4, αν f() = 4, αν > Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 4 σημείο =. (Εξετάσεις ) 8. Έστω η συνάρτηση:, αν < < f() =, αν α) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της; β) Να υπολογίσετε τα όρια lim f () και lim f (). γ) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο =. 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο: ln ( e ), αν f() = συν, αν > α) Να υπολογίσετε τα όρια lim f () και lim f (). β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =. 8. Έστω η συνάρτηση f με τύπο:, αν f() =, αν = α) Να υπολογίσετε το όριο limf (). β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο =. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

9 Μελέτη συνέχειας σε διάστημα 8.4 Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις που δίνονται είναι συνεχείς: α) f() = e β) f() = ημ ln, > γ) f() = ημ 8.5 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:, αν < f() = 4, αν Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη συνέχεια. (Εξετάσεις 5) 8.6 Δίνεται η συνάρτηση:, αν > f() =, αν α) Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο =. β) Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια. 8.7 Έστω η συνάρτηση f με τύπο:, αν > ημ f() =, αν = συν, αν < α) Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim f () ii) lim f () β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Εύρεση παραμέτρων 8.8 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:, αν < f() = α α, αν όπου α. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η f να είναι συνεχής στο σημείο =. (Εξετάσεις ) 8.9 Έστω η συνάρτηση f με τύπο: ημ α, αν f() =, αν = όπου α. α) Να υπολογίσετε το όριο limf () για τις διάφορες τιμές του α. β) Για ποια τιμή του α η f είναι συνεχής στο = ; 8. Δίνεται η συνάρτηση: 4, αν < f() = κ, αν Να βρείτε:

10 α) το κ, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο =, β) το όριο limf (). (Εξετάσεις ) 8. Δίνεται η συνάρτηση:, αν f () = α β, αν < < ln, αν όπου α, β. Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. (Εξετάσεις 4) 8. Έστω η συνάρτηση f με τύπο: α, αν < f() =, αν > 4 όπου α. α) Να υπολογίσετε τα όρια lim f (). lim f () και β) Να προσδιορίσετε την τιμή του α για την οποία η f είναι συνεχής στο =. 8. Δίνεται η συνάρτηση: α β, αν f() = α, αν = α) Αν το limf () είναι πραγματικός α- ριθμός, να αποδείξετε ότι: i) β= α ii) limf () = α β) Για ποιες τιμές των α, β η f είναι συνεχής στο = ; 8.4 Δίνεται η συνάρτηση: 4, αν < f() = 6 κ, αν όπου κ. Να βρείτε την τιμή του κ, ώστε η f να είναι συνεχής στο =. (Εξετάσεις 4) π π 8.5 Έστω f:, συνάρτηση με τύπο: εφ α π, αν < < f() = β, αν = π, αν < < ημ α) Να υπολογίσετε τα όρια lim f () και lim f (). β) Για ποιες τιμές των α, β η f είναι συνεχής στο = ; 8.6 Έστω η συνάρτηση f με τύπο: 56, αν α f() = α β, αν = α όπου α,β, η οποία είναι συνεχής στο = α. α) Να αποδείξετε ότι: lim( 5 6) = α β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των α, β. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

11 Υπολογισμός τιμής ή τύπου 8.7 Η συνάρτηση f: συνεχής στο = και ισχύει: f () = ημ για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι: ημ lim = β) Να προσδιορίσετε τον τύπο της f. είναι 8.8 Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο (,) και για κάθε (,) ικανοποιεί τη σχέση: f() = ημ( ) f() α) Να υπολογίσετε το όριο: ημ( ) lim β) Να βρείτε τον τύπο της f. 8.9 Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(,) η οποία για κάθε (,) ικανοποιεί τη σχέση: f () συν = Να αποδείξετε ότι: α) για κάθε (,) και ισχύει ότι: β) f() = συν limf () = και f() =. 8. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και για κάθε > ισχύει: ( )f() = α) Να αποδείξετε ότι f() = κάθε > και. β) Να προσδιορίσετε τον τύπο της f. 8. Έστω η συνάρτηση f : για η οποία είναι συνεχής στο = και για κάθε ισχύει: ημ f () = αημ Να αποδείξετε ότι: α) lim = ημ β) f() = 8. Δίνεται η συνεχής στο [, ) συνάρτηση f για την οποία γνωρίζουμε ότι: f() lim = α) Να αποδείξετε ότι f() =. β) Να υπολογίσετε το όριο: f() f() lim

12 Τιμή της f από ανισότητα 8. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: ημ f () (e ) για κάθε. α) Να υπολογίσετε το όριο: (e ) lim ημ β) Να αποδείξετε ότι f() =. 8.4 Δίνεται η συνάρτηση f : η οποία είναι συνεχής στο = και για την οποία ισχύει: f () ημ για κάθε. Να αποδείξετε ότι: ημ π α) f() για κάθε,, β) f(), γ) f() =. 8.5 Έστω f: η περιττή συνάρτηση για την οποία ισχύει: f() ημ( συν) () για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι: i) f() =, ii) f() = ημ ( συν) για κάθε. β) Να προσδιορίσετε τον τύπο της f και να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο =. 8.6 Έστω η συνεχής συνάρτηση f:[,] για την οποία ισχύει: ημ f () για κάθε [,]. α) Να υπολογίσετε το όριο: lim ημ β) Να αποδείξετε ότι f() =. 8.7 Έστω η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: εφ f () ημ π π για κάθε,. Αν η f είναι συνεχής στο =, τότε: α) να αποδείξετε ότι: ημ lim = εφ β) να προσδιορίσετε την τιμή f(). Κριτήριο παρεμβολής 8.8 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f () 4f() 4συν για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) f() =, β) f() ημ για κάθε, 4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

13 γ) η f είναι συνεχής στο =. π π 8.9 Έστω f:, συνάρτηση με τύπο: π εφ συν, αν, f() =, αν = ημ συν π, αν, α) Να υπολογίσετε τα όρια: lim f () και lim f () β) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο =. 8.4 Έστω η συνάρτηση f, η οποία για κάθε,y ικανοποιεί τη σχέση: f() f(y) y Αν τυχαίος πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι: α) f() f( ), β) lim(f() f( )) =, γ) η f είναι συνεχής στο. 8.4 Για τη συνάρτηση f: ισχύει f() ημ για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) f() =, ημ f () β) ( ) ημ ( ) για κάθε, γ) η f είναι συνεχής στο =, f() δ) lim =. 8.4 Έστω η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει η σχέση: f() για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) f() =, limf () =, β) γ) η f είναι συνεχής στο =. 8.4 Η συνάρτηση f : ικανοποιεί τη σχέση: f () για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) i) αν, τότε f() ii) αν, τότε f() β) η f δεν είναι συνεχής στο = Για τη συνάρτηση f: ισχύει η σχέση: f() για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) f() =, β) limf () =, γ) η f είναι συνεχής στο = Έστω η συνάρτηση f :, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση: f () ημ συν και είναι συνεχής στο =. α) Να αποδείξετε ότι: ημ ημ f() για κάθε. β) Να υπολογίσετε την τιμή f() Έστω η συνάρτηση f :, για την οποία ισχύει: 5

14 f () f() = για κάθε Να αποδείξετε ότι: α) f() = για κάθε, f () β) f() για κάθε, γ) η f είναι συνεχής στο = Για τη συνάρτηση f: ισχύει η σχέση: f () f() = για κάθε. Αν τυχαίος πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε ότι: ( ) α) f() f( ) = f () f()f( ) f ( ) για κάθε, f() f( ) για κάθε, β) γ) η f είναι συνεχής στο. Θεωρητικές ασκήσεις 8.48 Για τη συνάρτηση f: ισχύει η σχέση: f() ( ) lim = α) Να υπολογίσετε το όριο: lim β) Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο Έστω η συνάρτηση f:(, ) και >. α) Να αποδείξετε ότι: lim f () = limf ( h) h β) Αν για κάθε,y > ισχύει η σχέση: f(y) = f(y) yf() και η f είναι συνεχής στο =, να αποδείξετε ότι: i) f() =, ii) η f είναι συνεχής στο (, ). 8.5 Έστω η συνάρτηση f : f() f(α) και η συνάρτηση g() =, με α α. Αν ισχύουν οι σχέσεις: lim g() = κ, lim g() = λ α α με κ,λ, να αποδείξετε ότι: α) f () = ( α)g() f (α) για κάθε α, β) lim f () = f (α) και lim f () = f (α), α α γ) η f είναι συνεχής στο = α. 8.5 Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (, ) και για κάθε,y > ικανοποιεί τη σχέση: f(y) = f() f(y) α) Να αποδείξετε ότι: ii) f() =, ii) αν η f είναι συνεχής στο =, τότε η f είναι συνεχής στο (, ). 6 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

15 f() β) Αν ισχύει lim =, τότε να υπολογίσετε το όριο lim, όπου f() f( ) >. 8.5 Έστω η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f( y) = f() f(y) για κάθε,y. Αν η f είναι συνεχής στο =, να αποδείξετε ότι: α) f() =, limf ( h) = f ( ) για κάθε, β) h γ) η f είναι συνεχής στο. 8.5 Έστω η συνάρτηση f:, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f() lim = και f( y) = f() f(y) y( y) για κάθε,y. Να αποδείξετε ότι: α) f() =, β) η f είναι συνεχής στο =, γ) η f είναι συνεχής στο Έστω η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f( y) = f() f(y) y( y) για κάθε. Αν η f είναι συνεχής στο, τότε: α) να αποδείξετε ότι f() =, β) να υπολογίσετε το όριο limf ( h), h όπου, γ) να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Για τις συναρτήσεις f,g: ισχύουν οι σχέσεις: f() g () για κάθε g() και lim = l και η g είναι συνεχής στο. Να αποδείξετε ότι: α) lim g() = και g( ) =, β) η συνάρτηση: f(), αν h() =, αν = είναι συνεχής στο. Κριτήριο αξιολόγησης Θέμα Α. α) Έστω μια συνάρτηση f και το σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε λέμε ότι η f είναι συνεχής στο ; (Εξετάσεις 6) β) Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) και πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; (Εξετάσεις 6) 7

16 Β. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. y O 4 5 Θέμα Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ). α) Η f είναι συνεχής στο. Σ Λ β) Η f είναι συνεχής στο. Σ Λ γ) Η f δεν είναι συνεχής στο 5. Σ Λ δ) Η f είναι συνεχής στο διάστημα [,]. Σ Λ ε) Η f είναι συνεχής στο. Σ Λ στ) Η f είναι συνεχής στο διάστημα [4,5). Σ Λ ζ) Η f είναι συνεχής στο διάστημα [,4]. Σ Λ Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο: π ημ α συνπ, αν f() =,αν> α) Να αποδείξετε ότι f() = α. β) Να υπολογίσετε τα όρια lim f () και lim f (). γ) Να προσδιορίσετε την τιμή του α, ώστε η f να είναι συνεχής στο =. Θέμα Δίνεται η συνάρτηση f:, με f() =, η οποία είναι συνεχής στο =. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο: f() ημ, αν g() =, αν = 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

17 Να αποδείξετε ότι: α) f() g() f() για κάθε, β) η g είναι συνεχής στο =. Θέμα 4 Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη στο, έχει την ιδιότητα: f( h) lim = h h και είναι συνεχής στο. α) Να αποδείξετε ότι: i) limf ( h) = ii) f() = h β) f() f() Να υπολογίσετε το όριο lim. 9