ΜΑΘΗΜΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ DE L HOSPITAL Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 35.9 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ DE L HOSPITAL Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις. ος κανόνας d L Hospital f ( 0 g( 0 f ( g ( εφόσον υπάρχουν. ος κανόνας d L Hospital f ( ± g( ± f ( g ( εφόσον υπάρχουν ΣΧΟΛΙΑ. Επισήµανση Είναι σηµαντικό να διαπιστώνουµε το είδος της απροσδιοριστίας. Μετασχηµατισµός Η απροσδιοριστία 0 (± µετασχηµατίζεται σε 3. Μετασχηµατισµός Η απροσδιοριστία µετασχηµατίζεται σε α πράξεις β κοινό παράγοντα 0 0 ή ± ± 0 0 ή ± ± µε µε σύνθετο κλάσµα.

2 4. Μέθοδος Εντοπίζουµε πιο κοµµάτι παράγοντας της συνάρτησης λειτουργεί στην απροσδιοριστία, οπότε πάµε σε γινόµενο ορίων. 5. Μέθοδος Στην πολλαπλή απροσδιοριστία, πάµε σε γινόµενο ορίων. 6. Μέθοδος Χρησιµοποιούµε όριο σύνθετης συνάρτησης ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε το όριο ln( 3 ( ln 3 0 ( Σχόλιο ln(3 ( ln( 3 ' 3 0 Σχόλιο

3 3. Να υπολογίσετε το όριο ln ln( ( ln ln ( ( ln Σχόλιο 3 πράξεις Θέτουµε u και επειδή u Σχόλιο 6 Άρα (ln ln ln u ln 0 u Σχόλιο 3. i Να αποδείξετε ότι ( ln ii Να υπολογίσετε το όριο i ( ln ii 0 ( ( ηµ ln ln (ln 0 ( ηµ ln Σχόλιο Σχόλιο ( 0 ηµ ln Σχόλιο ηµ (ln 0 0

4 4 4. Να βρείτε τα όρια i i Άσκηση 3i ii ln 0 ( ln ln (ln ii 4 ln iii ( 0 0 ln iii 0 ln ( ( 0 ln ( ln 0 0 ( ln ( ( ln ( ii ( ( 0

5 5 5. Να υπολογίσετε το όριο ( ( ( ( 0 Σχόλιο 3i 6. Να υπολογίσετε το όριο ( ( ( ( ( ( [ ( ] ( [ ( ]

6 6 7. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f( είναι παραγωγίσιµη στο o 8. ηµ ( π f ( f ( f ( ηµ ( π 0 0 Να υπολογίσετε το όριο ( ln ( ηµ ( π ( ηµ ( π, αν 0, αν π ηµ ( π συν( π π 0 ( 0 πσυν( π ηµ ( π ( ηµ ( π πσυνπ. ( πσυν( π π( π( π ( ln ln ( π 0 0 Σχόλιο 4 Όπως στις ρητές 0 0

7 7 9. Να βρείτε το όριο ηµ ηµ ( ( ηµ ηµ ηµ ηµ Σχόλιο 3ii 0 ηµ ηµ ηµ ( ηµ συν. ηµ συν συν ηµ Σχόλιο 4 συν συν συν ηµ 0 0 συν ηµ 0 0 ( συν ηµ ( συν ηµ συν ηµ 0

8 8 0. Να βρείτε το όριο ( ( ln ( ( ln ln ( ln ln ln ln ( ln ( ln ln ln 0 0 Αλλά (Α ln ( 0 0 ln ln ln ( ln ( (A ln. Να υπολογίσετε το όριο (5 3 6 ηµ 5 ( 3 εφ Σχόλιο 5 (5 3 6 ηµ 5 ( 3 εφ ηµ 5 εφ 6 ( ηµ 5 ( εφ 5συν5 6 συν

9 9. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R µε f(0 f (0 0 και f (, αν 0 fσυνεχή στο R. Aν g( να δείξετε ότι 0, αν 0 i η g είναι παραγωγίσιµη στο R ii η g είναι συνεχής στο ο 0 i f ( f ( f παραγωγίσιµη στο R g ( για κάθε 0 g( g(0 g (0 f ( f ( 0 0 f ( 0 0 f ( f (0 Άρα g παραγωγίσιµη στο R µε g ( ii f ( f ( g ( 0 0 (αφού f συνεχής f ( f (, αν 0 f (0, αν 0 f f f ( f ( f ( f ( f (0 Εποµένως η g είναι συνεχής στο ο 0

10 0 3. Συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιµη στο R και ισχύουν f ( f ( f ( f ( και. f ( f ( είξτε ότι 3 f ( f ( f ( f f f ( f ( f ( f f ( f f ( f ( f ( f ( f ( 3 f (

11 4. Θεωρούµε τις συναρτήσεις f, g παραγωγίσιµες στο R, τέτοιες ώστε για 0 να ισχύει g ( 0 και f ( g( Από την υπόθεση f ( ln( g (. Αν επί πλέον ισχύει, να υπολογίσετε το όριο f g. f ( ln( g (, 0 συµπεραίνουµε f g f g f g ( 0 ( ln ( ln ln ( ( ( ( ( ( 0 Σχόλιο 4

12 5. i Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης f( ln( ii Nα λυθούν οι εξισώσεις f( 0, f( ln i Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R µε f ( αριθµητή 4 6 < 0 > 0 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. f ( f ( Αλλά ln ( ( ln ( ( ln ( ln ( ln ln ( [ln( ] Σχόλιο 3ii ( f ( 0 ( ( 0, οπότε f (A R. ii Προφανής ρίζα της εξίσωσης f( 0 είναι το 0 (αφού την επαληθεύει και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι µοναδική. Προφανής ρίζα της εξίσωσης f( ln είναι το (αφού την επαληθεύει και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι µοναδική.

13 3 6. ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R τέτοια, ώστε για κάθε R να ισχύει i Να βρείτε την τιµή f(0 ( f(. ii Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, τέτοιο ώστε f(ξ ξ. i Για > 0, οπότε > 0, η υπόθεση ( f( f ( ( Είναι 0 0 ( ( Και οµοίως Με το κριτήριο παρεµβολής στην ( συµπεραίνουµε f ( ( f είναι συνεχής f είναι συνεχής στο 0 f(0 ii Αρκεί να αποδείξουµε ότι f(ξ ξ 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση h( f(, R. H h είναι συνεχής στο [0, ] (πράξεις συνεχών (3 h(0 f(0 0 ( i > 0 (4 h( f( και αναζητάµε το πρόσηµο. Η ( για 0 f( f( f ( ( (Πάµε για Bolzano f( 3 h( < 0 (5 (4 (5 h(0 h( < 0 (6 Με Bolzano και λόγω των (3, (6, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, τέτοιο ώστε h(ξ 0 f(ξ ξ 0 f(ξ ξ.