Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 4: Οπτικό θεώρημα και συντονισμοί

Transcript

1 Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 4: Οπτικό θεώρημα και συντονισμοί Λέκτορας Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στοιχειώδη ΙΙ, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 21 Μαρτίου 2013

2 Τι θα συζητήσουμε σήμερα Οπτικό θεώρημα: Η ολική ενεργός διατομή μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας την ελαστική σε γωνία μηδέν Η ολική ενεργός διατομή έχει άνω όριο Συντονισμοί Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 2

3 Α. Οπτικό Θεώρημα Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 3

4 Σκέδαση Σκέδαση: (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο αδιατάρακτο κύμα (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα k= 2 π λ = 1 ƛ = p ħ e i kz ωt Εισερχόμενα σωμάτια: συγκεκριμένη ορμή p Κέντρο σκέδασης z ψ i =e ikz ikr cosθ =e (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα z ψ f =e ikz eikr r F θ, φ (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από το κέντρο σκέδασης Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 4

5 Κύμα σκέδασης και ενεργός διατομή Σκέδαση: (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από το κέντρο σκέδασης (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα Κέντρο σκέδασης ψ i =e ikz ikr cosθ =e (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα z ψ f =e ikz eikr r F θ, φ ψ σ κ ε δ =ψ f ψ i = eikr r F θ, φ Κύμα σκέδασης = τελικό αρχικό κύμα z dσ =[ F θ,φ ]2 dω Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 5

6 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή (και m=0 ανεξάρτητα του φ) ψ i =e ikz i = 2 1 e ikr P 2 kr cos θ i 2 1 e ikr P 2 kr εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 6

7 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή (και m=0 ανεξάρτητα του φ) ψ i =e ikz i = 2 1 e ikr P 2 kr cos θ i 2 1 e ikr P 2 kr εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα ψ i =e ikz = i 2 kr 2 1 [ e ikr e ikr ]P Εισερχόμενο αδιατάρακτο επίπεδο κύμα ψ f = i 2 kr 2 1 [ e ikr n e i2δ e ikr ] P Εξερχόμενο παραμορφωμένο επίπεδο κύμα Το δυναμικό σκέδασης μπορεί να μεταβάλλει τη φάση (δ ) το πλάτος (n ) των εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 7

8 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή (και m=0 ανεξάρτητα του φ) ψ i =e ikz i = 2 1 e ikr P 2 kr cos θ i 2 1 e ikr P 2 kr εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα ψ i =e ikz = i 2 kr ψ f = i 2 kr 2 1 [ e ikr e ikr ]P 2 1 [ e ikr n e i2δ e ikr ] P Η ανάπτυξη αυτή ισχύει όταν kr >> 1 Τυπικά έχουμε: p~100 MeV/c και r~10cm ==> ΟΚ Το δυναμικό σκέδασης μπορεί να μεταβάλλει Εισερχόμενο αδιατάρακτο επίπεδο κύμα Εξερχόμενο παραμορφωμένο επίπεδο κύμα τη φάση (δ ) το πλάτος (n ) των εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 8

9 Κύμα σκέδασης οι λεπτομέρειες Εισερχομενο και εξερχόμενο κυμα = υπέρθεση σφαιρικών κυμάτων, εισερχομένων και εξερχομένων καθ' ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή ψ i =e ikz = i 2 kr ψ f = i 2 kr 2 1 [ e ikr e ikr ]P 2 1 [ e ikr n e i2δ e ikr ] P Εισερχόμενο αδιατάρακτο επίπεδο κύμα Εξερχόμενο παραμορφωμένο επίπεδο κύμα ψ σ κ ε δ =ψ f ψ i = eikr kr 2 1 [ n ei2δ ] P ψ σ κ ε δ =ψ f ψ i = eikr r F θ, φ F θ = 1 k 2 1 n ei2δ P Πλάτος σκέδασης:συνάρτηση των αλλαγών φάσεων δ & των επί μέρους πλατών η Partia wave anaysis of the Scattering ampitude Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 9

10 Ελαστική σκέδαση dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k Οπτικό θεώρημα 2 1 n ei2δ Ολική ενεργός διατομή: P Ανελαστική σκέδαση: σ ε λ =4π ƛ 2 σ α ν =π ƛ 2 σ ο λ =σ α ν σ ε λ =π ƛ 2 Eλαστική σκέδαση 2 1 [ n ei2δ n n cos2δ ]2 Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 10

11 Ελαστική σκέδαση dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k Οπτικό θεώρημα 2 1 n ei2δ Ολική ενεργός διατομή: F θ = 1 k Im F 0 = 1 2k 2 1 n ei2 δ P Ανελαστική σκέδαση: σ ε λ =4π ƛ 2 σ α ν =π ƛ 2 σ ο λ =σ α ν σ ε λ =π ƛ 2 P n cos2δ Eλαστική σκέδαση 2 1 [ n ei2δ n n cos2δ [ θ =0, P 1 =1, ] Im F 0 = k 4π σ ο λ Θυμηθείτε: εισερχόμενα σωμάτια με συγκεκριμένη ορμή p k= 2 π λ = 1 ƛ = p ħ Οπτικό θεώρημα: Το φανταστικό μέρος του πλάτους της πρόσω (θ=0) ελαστικής σκέδασης δίνει την ΟΛΙΚΗ ενεργό διατομή!!! (σε όλες τις γωνίες) Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 11 ]2

12 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις σ ελ =4π ƛ 2 (2+1)[ n ei2δ n=1 : ]2 σελ =4π ƛ 2 ( 2+1)sin 2 δ Για συγκεκριμένη στροφορμή, όταν δ = π/2, τότε έχω max. ελαστική ενεργό διατομή σ max ελ =4πƛ 2 ( 2+1) Μέγιστη ελαστική σ αν =π ƛ 2 ( 2+1)(1 n 2 ) n =0 : σ max αν =π ƛ 2 ( 2+1) Μέγιστη ανελαστική Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 12

13 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις σ ε λ =4π ƛ [ n ei2δ n=1: σ ]2 ε λ=4π ƛ sin 2 δ Για συγκεκριμένη στροφορμή, όταν δ = π/2, τότε έχω max. ελαστική ενεργό διατομή σ α ν =π ƛ n 2 σ max ελ =4πƛ 2 ( 2+1) n =0 : σ max α ν =π ƛ Σημειώστε ότι σ' αυτή την περίπτωση (η = 0 ) η ελαστική ενεργός διατομή ΔΕΝ είναι μηδέν, αλλά είναι ίση με την ανελαστική: σ ελ =π ƛ 2 ( 2+1) Μέγιστη ελαστική Μέγιστη ανελαστική Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 13

14 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις σ ε λ =4π ƛ [ n ei2δ n=1: σ ]2 ε λ=4π ƛ sin 2 δ Για συγκεκριμένη στροφορμή, όταν δ = π/2, τότε έχω max. ελαστική ενεργό διατομή σ α ν =π ƛ n 2 Απλή κλασική εικόνα για την ανελαστική σκέδαση: Η τροχιακή στροφορμή συνδέεται με την παράμετρο κρούσης και η ενεργός διατομή θεωρείται γεωρμετρική επιφάνεια σ max ε λ =4π ƛ n =0 : σ max α ν =π ƛ Μέγιστη ελαστική Μέγιστη ανελαστική Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 14

15 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις σ ε λ =4π ƛ [ n ei2δ n=1: σ ]2 ε λ=4π ƛ sin 2 δ Για συγκεκριμένη στροφορμή, όταν δ = π/2, τότε έχω max. ελαστική ενεργό διατομή σ α ν =π ƛ n 2 σ max ε λ =4π ƛ n =0 : σ max α ν =π ƛ Μέγιστη ελαστική Μέγιστη ανελαστική Ολική ενεργός διατομή: Μέγιστο, για τη μέγιστη παράμετρο κρούσης (που είναι η εμβέλεια της δύναμης αλληλεπίδρασης) max σ ολ =σ αν + σ ελ =π ƛ 2 =0 σ ολ max max =4 π ƛ 2 (2+1 )) (2+1)2 (1 n cos 2δ ) Μέγιστη ολική Οι θεωρίες που φτιάχνουμε δεν επιτρέπεται να δίνουν ενεργές διατομές πάνω από αυτό το ανώτατο όριο!!! (unitarity imit) Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 15

16 Β. Συντονισμοί Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 16

17 Συντονισμός προτιμητέο partia wave dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k σ ε λ =4π ƛ n ei2 δ P 2 1 [ n ei2δ ]2 f ( ) n ei2δ = i 2 in 2 ei2δ Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 17

18 Συντονισμός προτιμητέο partia wave dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k σ ε λ =4π ƛ 2 f ( ) n ei2δ 2 1 n ei2 δ P 2 1 [ n ei2δ = i 2 in 2 ei2δ ]2 Μπορεί κάποιο από τα να κυριαρχεί στο άθροισμα Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 18

19 Συντονισμός προτιμητέο partia wave Γ=ħ /τ σ ε λ Ε =4 π ƛ 2 Γ 2 /4 2 1 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 / 4 Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 19

20 Συντονισμός προτιμητέο partia wave σ ε λ Ε =4 π ƛ 2 Γ 2 /4 2 1 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 / 4 Για σκεδαση σωνματιδίων a,b με spin=0, o συντονισμος θα έχει J = σ ε λ Ε =4 π ƛ 2 Γ 2 / 4 2J 1 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 /4 Για σκεδαση σωματιδίων a, b με σπιν s a και s b, παίρνουμε το μέσο όρο μεταξύ των (2s a +1)*(2s b +1) δυνατών αρχικών καταστάσεων σπίν σ ε λ Ε = 4π ƛ2 2J 1 2 s a 1 2 s b 1 Γ 2 /4 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 /4 σ ελ σ max Γ Καμπύλη συντονισμού Breit Wigner (υποθέτουμε ότι ο συντονισμός διασπάται ελαστικά) π n Δ π n Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 20

21 Συντονισμός παράδειγμα σ ε λ Ε = 4π ƛ2 2J 1 2 s a 1 2 s b 1 Γ 2 /4 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 /4 π p Δ Μ εv π p σ ε λ Ε Σ Υ Ν = 4 π ƛ2 2J 1 2 s a 1 2 s b 1 ολική ενεργός διατομή από διατήρηση της πιθανότητας (unitary principe) s a =s π =0 κ α ι s b =s p =1/2 σ ε λ =2 π λ 2 2J 1 J=3/2 σ ε λ =8π λ 2 J = 3/2 επιβεβαιώνεται και από τη γωνιακή κατανομή του πιονίου (κατεύ8υνση σκεδαζόμενου πιονίου σε σχέση με το προσπίπτον) Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 21

22 Συντονισμός παράδειγμα Θ/νίκη, 21-Μαρτίου-2013 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 22