Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 6α: Οπτικό θεώρημα και συντονισμοί

Transcript

1 Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 6α: Οπτικό θεώρημα και συντονισμοί Λέκτορας Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στοιχειώδη ΙΙ, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 05 Απριλίου 2011

2 Τι θα συζητήσουμε σήμερα Οπτικό θεώρημα Συντονισμοί Παραγωγή σωματιδίων σε υψηλές ενέργειες Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 2

3 Σκέδαση Σκέδαση: (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο αδιατάρακτο κύμα (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα k= 2 π λ = 1 ƛ = p ħ e i k z ωt Εισερχόμενα σωμάτια: συγκεκριμένη ορμή p Κέντρο σκέδασης z ψ i =e ikz ikr cosθ =e (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα z ψ f =e ikz eikr r F θ, φ (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από το κέντρο σκέδασης Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 3

4 Κύμα σκέδασης και ενεργός διατομή Σκέδαση: (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από το κέντρο σκέδασης (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα Κέντρο σκέδασης ψ i =e ikz ikr cosθ =e (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα z ψ f =e ikz eikr r F θ, φ ψ σ κ ε δ =ψ f ψ i = eikr r F θ, φ Κύμα σκέδασης = τελικό αρχικό κύμα z dσ =[ F θ,φ ]2 dω Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 4

5 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή (και m=0 ανεξάρτητα του φ) ψ i =e ikz i = 2 1 e ikr P 2 kr cosθ i 2 1 e ikr P 2 kr cosθ εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 5

6 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή (και m=0 ανεξάρτητα του φ) ψ i =e ikz i = 2 1 e ikr P 2 kr cosθ i 2 1 e ikr P 2 kr cosθ εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα ψ i =e ikz = i 2 kr 2 1 [ e ikr e ikr ]P cosθ Εισερχόμενο αδιατάρακτο επίπεδο κύμα ψ f = i 2 kr 2 1 [ e ikr n e i2δ e ikr ] P cosθ Εξερχόμενο παραμορφωμένο επίπεδο κύμα Το δυναμικό σκέδασης μπορεί να μεταβάλλει τη φάση (δ ) το πλάτος (n ) των εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 6

7 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή (και m=0 ανεξάρτητα του φ) ψ i =e ikz i = 2 1 e ikr P 2 kr cosθ i 2 1 e ikr P 2 kr cosθ εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα ψ i =e ikz = i 2 kr ψ f = i 2 kr 2 1 [ e ikr e ikr ]P cosθ 2 1 [ e ikr n e i2δ e ikr ] P cosθ Η ανάπτυξη αυτή ισχύει όταν kr >> 1 Τυπικά έχουμε: p~100 MeV/c και r~10cm ==> ΟΚ Το δυναμικό σκέδασης μπορεί να μεταβάλλει Εισερχόμενο αδιατάρακτο επίπεδο κύμα Εξερχόμενο παραμορφωμένο επίπεδο κύμα τη φάση (δ ) το πλάτος (n ) των εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 7

8 Κύμα σκέδασης οι λεπτομέρειες Εισερχομενο και εξερχόμενο κυμα = υπέρθεση σφαιρικών κυμάτων, εισερχομένων και εξερχομένων καθ' ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή ψ i =e ikz = i 2 kr ψ f = i 2 kr 2 1 [ e ikr e ikr ]P cosθ 2 1 [ e ikr n e i2δ e ikr ] P cosθ Εισερχόμενο αδιατάρακτο επίπεδο κύμα Εξερχόμενο παραμορφωμένο επίπεδο κύμα ψ σκεδ =ψ f ψ i = eikr kr 2 1 [ n ei2δ ] P cos θ ψ σ κ ε δ =ψ f ψ i = eikr r F θ, φ F θ = 1 k 2 1 n ei2δ P cos θ Πλάτος σκέδασης:συνάρτηση των αλλαγών φάσεων δ & των επί μέρους πλατών η Partia wave anaysis of the Scattering ampitude Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 8

9 Ελαστική σκέδαση dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k Οπτικό θεώρημα 2 1 n ei2δ Ολική ενεργός διατομή: P cos θ Ανελαστική σκέδαση: σ ελ =4π ƛ 2 σ αν =π ƛ 2 σ ολ =σ αν σ ελ =π ƛ 2 Eλαστική σκέδαση 2 1 [ n ei2δ n n cos 2δ ]2 Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 9

10 Ελαστική σκέδαση dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k Οπτικό θεώρημα 2 1 n ei2δ Ολική ενεργός διατομή: P cos θ Ανελαστική σκέδαση: σ ελ =4π ƛ 2 σ αν =π ƛ 2 σ ολ =σ αν σ ελ =π ƛ 2 Eλαστική σκέδαση 2 1 [ n ei2δ n n cos 2δ ]2 F θ = n ei2 δ P k cos θ [ θ =0,P 1 =1, ] Im F 0 = 1 2k n cos 2δ Οπτικό θεώρημα Im F 0 = k 4π σ ο λ Ολική νεργός διατομή σχετίζεται με το φανταστικό μέρος της θ=0 (πρόσω) ελαστικής σκέδασης Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 10

11 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις σ ελ =4π ƛ [ n ei2δ n=1: σ ]2 ε λ =4π ƛ sin 2 δ Για συγκεκριμένη στροφορμή, όταν δ = π/2, τότε έχω max. ελαστική ενεργό διατομή σ max ε λ =4π ƛ Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 11

12 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις σ ελ =4π ƛ [ n ei2δ n=1: σ ]2 ε λ =4π ƛ sin 2 δ Για συγκεκριμένη στροφορμή, όταν δ = π/2, τότε έχω max. ελαστική ενεργό διατομή σ max ε λ =4π ƛ σ αν =π ƛ n 2 n =0 : σ max α ν =π ƛ Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 12

13 Συντονισμός προτιμητέο partia wave dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k σ ελ =4π ƛ n ei2 δ P cos θ 2 1 [ n ei2δ f = n ei2δ ]2 = i 2 in 2 ei2δ Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 13

14 Συντονισμός προτιμητέο partia wave dσ =[ F θ,φ ]2 dω F θ = 1 k σ ελ =4π ƛ n ei2 δ P cos θ 2 1 [ n ei2δ f = n ei2δ ]2 = i 2 in 2 ei2δ Τι κι αν το F(θ) είναι μόνο για ελαστική σκέδαση? Μας δίνει και την ολική ενεργό διατομή! Im F 0 = k 4π σ ο λ Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 14

15 Συντονισμός προτιμητέο partia wave σ ε λ Ε =4 π ƛ 2 Γ 2 /4 2 1 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 / 4 Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 15

16 Συντονισμός προτιμητέο partia wave σ ε λ Ε =4 π ƛ 2 Γ 2 /4 2 1 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 / 4 Για σκεδαση σωνματιδίων a,b με spin=0, o συντονισμος θα έχει J = σ ε λ Ε =4 π ƛ 2 Γ 2 / 4 2J 1 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 /4 Για σκεδαση σωνματιδίων a, b με οποιοδήποτε, o συντονισμος θα έχει J = +σπιν συνδυασμού a,b σ ε λ Ε = 4π ƛ2 2J 1 2 s a 1 2 s b 1 Γ 2 /4 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 /4 σ ελ σ max Γ Καμπύλη συντονισμού Breit Wigner (υποθέτουμε ότι ο συντονισμός διασπάται ελαστικά) π n Δ π n Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 16

17 Για σκεδαση σωνματιδίων a, b με οποιοδήποτε spin, o συντονισμος θα έχει J = +σπιν συνδυασμού a,b Συντονισμός παράδειγμα σ ε λ Ε = 4π ƛ2 2J 1 Γ 2 /4 2 s a 1 2 s b 1 Ε ΣΥΝ Ε 2 Γ 2 /4 π p Δ Μ εv π p σ ε λ Ε ΣΥΝ = 4 π ƛ2 2J 1 2 s a 1 2 s b 1 ολική ενεργός διατομή από διατήρηση της πιθανότητας (unitary principe) s a =s π =0 και s b =s p =1/2 σ ε λ =2 π λ 2 2J 1 J=3/2 σ ελ =8πλ 2 J = 3/2 επιβεβαιώνεται και από τη γωνιακή κατανομή του πιονίου (κατεύ8υνση σκεδαζόμενου πιονίου σε σχέση με το προσπίπτον) Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 17

18 Συντονισμός παράδειγμα Θ/νίκη, 05-Απριλίου-2011 Κ. Κορδάς - Οπτικό θεώρημα, συντονισμοί, παραγωγή σωματιδίων 18