Μάθημα 7o Οπτικό θεώρημα και Συντονισμοί 23/4/2015

Transcript

1 Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων ΙΙ (8ου εξαμήνου) Μάθημα 7o Οπτικό θεώρημα και Συντονισμοί 23/4/2015

2 Οπτικό θεώρημα: Τι θα συζητήσουμε σήμερα Η ολική ενεργός διατομή έχει άνω όριο Η ολική ενεργός διατομή δεν μπορεί να υπερβαίνει το φανταστικό μέρος της ελαστικής σκέδασης σε γωνία μηδέν Συντονισμοί 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 2

3 Α. Οπτικό Θεώρημα 3

4 Σκέδαση: Σκέδαση (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο αδιατάρακτο κύμα (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα Εισερχόμενα σωμάτια: συγκεκριμένη ορμή p Κέντρο σκέδασης z ψ i = e ikz ikr cosθ = e (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα z (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από το κέντρο σκέδασης 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 4

5 Κύμα σκέδασης και ενεργός διατομή Σκέδαση: (a) Εισερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα (b) Εξερχόμενα σωμάτια = επίπεδο κύμα + σφαιρικό κύμα από (a) Αρχική κατάσταση: Εισερχόμενο κύμα Κέντρο σκέδασης z ψ i = e ikz = e ikr cosθ το κέντρο σκέδασης (b) Τελική κατάσταση: Εξερχόμενο κύμα z Κύμα σκέδασης = τελικό αρχικό κύμα 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 5

6 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l (και m=0 ανεξάρτητα του φ) υπέρθεση εισερχόμενων + εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 6

7 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l (και m=0 ανεξάρτητα του φ) υπέρθεση εισερχόμενων + εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων Το δυναµικό σκέδασης µπορεί να µεταβάλλει τη φάση (δ l ) το πλάτος (n l ) των εξερχόµενων σφαιρικών κυµάτων 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 7

8 Ανάλυση επίπεδων κυμάτων Επίπεδο κύμα = υπέρθεση μιας σειράς εισερχόμενων και εξερχόμενων σφαιρικών κυμάτων, το καθ ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l (και m=0 ανεξάρτητα του φ) εισερχόμενα σφαιρικά κύματα + εξερχόμενα σφαιρικά κύματα Το δυναµικό σκέδασης µπορεί να µεταβάλλει Η ανάπτυξη αυτή ισχύει όταν kr >> 1 Τυπικά έχουμε: p~100 MeV/c και r~10cm ==> ΟΚ τη φάση (δ l ) το πλάτος (n l ) των εξερχόµενων σφαιρικών κυµάτων 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 8

9 Κύμα σκέδασης οι λεπτομέρειες Εισερχομενο και εξερχόμενο κυμα = υπέρθεση σφαιρικών κυμάτων, εισερχομένων και εξερχομένων καθ' ένα με συγκεκριμένη γωνιακή στροφορμή l Πλάτος σκέδασης:συνάρτηση των αλλαγών φάσεων δ l & των επί µέρους πλατών η l Partial wave analysis of the Scattering amplitude 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 9

10 Οπτικό θεώρημα 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 10

11 Οπτικό θεώρημα )] 2 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 11

12 Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 12

13 Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις Σημειώστε ότι σ' αυτή την περίπτωση (η l = 0 ) η ελαστική ενεργός διατομή ΔΕΝ είναι μηδέν, αλλά είναι ίση με την ανελαστική: σ ελ = π ƛ 2 ( 2 l+1) 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 13

14 Μερικές, αλλά ενδιαφέρουσες, περιπτώσεις Απλή κλασική εικόνα για την ανελαστική σκέδαση: Η τροχιακή στροφορμή συνδέεται με την παράμετρο κρούσης και η ενεργός διατομή θεωρείται γεωμετρική επιφάνεια 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 14

15 Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις Ολική ενεργός διατομή: Μέγιστο l, για τη μέγιστη παράμετρο κρούσης (που είναι η εμβέλεια της δύναμης αλληλεπίδρασης) lmax σ ολ = σ αν + σ ελ = π ƛ 2 l= 0 σ ολ lmax max = 4 π ƛ 2 l (2 l+1 )) (2 l+1)2 (1 n l cos2δ l ) Μέγιστη ολική Οι θεωρίες που φτιάχνουμε δεν επιτρέπεται να δίνουν ενεργές διατομές πάνω από αυτό το ανώτατο όριο!!! (unitarity limit) 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 15

16 Β. Συντονισμοί 16

17 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Ας θυμηθούμε το πλάτος σκέδασης και την ενεργό διατομή: F ( ) = 1 k P l (2l + 1) n le 2i 1 2i P l (cos ) f l d d : πλάτος επιμέρους κύματος = F ( ) 2 (1) Από τις (1) και την συνθήκη ορθογωνιότητας των πολυωνύμων Legendre, η ενεργός διατομή γίνεται: =4 2 P l (2l + 1) h nl e 2i 1 2i i 2 (2) για αποκλειστικά ελαστική σκέδαση (nl =1) =4 2 P l (2l + 1) sin 2 l (3) Τότε για συγκεκριμένη τιμή στροφορμής και ενέργειας στο cms, όταν έχω: l! 2 ) sin l! 1 Aν η ενεργός διατομή που σχετιζεται με ένα επιμέρους κύμα γίνεται μέγιστη Συντονισμός

18 Συντονισμός προτιμητέο partial wave 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 18

19 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Μπορεί κάποιο από τα l να κυριαρχεί στο άθροισμα 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 19

20 Σχέση Breit-Wigner f l = e2i l 1 2i = ei l [e i l e i l ] 2i = e i l sin l = sin l cos l i sin l = 1 cot l i (4) Για δ(ε) = π/2 έχουμε την μέγιστη τιμή της ελαστικής ενεργού διατομής που αντιστοιχεί σε συντονισμό σε συγκεκριμένο l (επιμέρους κύμα) και συγκεκριμένη τιμή Ε στο κέντρο μάζας Έστω ΕR η ενέργεια στον συντονισμό. Ας αναπτύξουμε κατά Taylor την cotδl (σχέση 4) γύρω από την ΕR : και ορίσουμε τότε το πλάτος γίνεται: f l (E) = l! 2 ) cot l! 0 ) f l! i d cot (E) cot (E) = cot (E R )+(E E R )( de ) E=ER στο συντονισμό d cot (E) de /2 E=E R 2 = ~/ η ελαστική ενεργός διατομή (E R E) 2 i /2 el(e) =4 2 (2l + 1) χρόνος ζωής Σχέση Breit-Wigner 2 /4 (E R E) /4

21 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Γ= /τ 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 21

22 Σχέση Breit-Wigner Το Γ είναι το συνολικό πλάτος του συντονισμού και μπορεί να γενικευθεί για σωματίδιο που έχει διαφορετικούς τρόπους διάσπασης. = P i=1...n i οπου Γi το επιμέρους πλάτος της τελικής καταστασης i Λαμβάνοντας υπόψη και ανελαστικές σκεδάσεις τότε η ενεργός διατομή είναι: ij,l =4 2 (2l + 1) i j/4 (E R E) /4 Γi : επιμέρους πλάτος του συντονισμού να διασπαστεί στην κατάσταση παραγωγής (ελαστική) Γj : επιμέρους πλάτος του συντονισμού να διασπαστεί σε διαφορετική κατασταση από την αρχική (ανελαστική) Γ = Γi + Γj Αν λάβουμε υπόψη το σπιν s a και s b δύο σωματιδίων a, b, παίρνουμε το μέσο όρο μεταξύ των (2s a +1)*(2s b +1) δυνατών αρχικών καταστάσεων σπίν el(e) = 4 2 (2J+1) (2s a +1)(2s b +1) 2 /4 (E R E) /4

23 Συντονισμός προτιμητέο partial wave Για σκεδαση σωματιδίων a,b με spin=0, o συντονισμος θα έχει J = l Για σκεδαση σωματιδίων a, b με σπιν s a και s b, παίρνουμε το μέσο όρο μεταξύ των (2s a +1)*(2s b +1) δυνατών αρχικών καταστάσεων σπίν σ ελ σ max Γ Καµπύλη συντονισµού Breit Wigner (υποθέτουµε ότι ο συντονισµός διασπάται ελαστικά) π + n Δ π + n 23/4/2015 Οπτικό Θεώρηµα-Συντονισµοί 23