ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 29/10/2014 1:55 µµ

Transcript

1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΕΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΚΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Τα παραδείγµατα που περιέχονται στο ile αυτό έχουν επιλεγεί για τους µεταπτυχιακούς φοιτητές του ΡΗ που παρακολουθούν το µάθηµα Ψηφιακές και Αναλογικές Επικοινωνίες. Έχει καταβληθεί κάθε προσπάθεια να µην υπάρξουν αβλεψίες στην επίλυση των παραδειγµάτων, αλλά είµαστε σίγουροι ότι κάποια µικρολάθη έχουν ξεφύγει. Παρακαλούµε τους αναγνώστες για όποιο σηµείο αµφιβάλουν να επικοινωνούν µε τον διδάσκοντα, στο µάθηµα ή µε e_mail Με τον τρόπο αυτό θα συµβάλουν στην τελειοποίηση των ασκήσεων αυτών. 1

2 αράδειγµα 1 (Προβ 6.6) Λύση

3 Παράδειγµα 6. (Προβ 6.) Λύση

4 4

5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 9/10/014 1:55 µµ Παράδειγµα Α R(D) Λύση D/σ D/ 1.4 Οι τρεις καµπύλες του πιο πάνω διαγράµµατος αντιστοιχούν στην λειτουργία ενός κβαντιστή που λειτουργεί µε τις επιδόσεις του Shannon (Α), ενός κβαντιστή που λειτουργεί σε ένα πραγµατικό σύστηµα (Β) και υπάρχει και µια καµπύλη άσχετη µε το πρόβληµα της κβάντισης (C). Αντιστοιχίστε τα A, B, C µε τα 1,, και εξηγείστε πώς καταλήξατε στην απάντησή σας. Η καµπύλη είναι άσχετη µε το πρόβληµα της κβάντισης (C) αφού απαιτεί ρυθµό κωδικοποίησης µεγαλύτερο από 0 bits/sec για D/σ >1. Η καµπύλη πρέπει να αντιστοιχεί στον Κβαντιστή Shannon (A) αφού για την ίδια παραµόρφωση απαιτεί µικρότερο ρυθµό κωδικοποίησης από την 1. Τέλος η 1 αντιστοιχεί στην Β. Παραδειγµα β x^ x.a) Αν χρησιµοποιήσετε τον κβαντιστή του πιο κάτω σχήµατος x και την ακολουθία των να δώσετε την κβαντισµένη ακολουθία { } ˆn σφαλµάτων κβάντισης { δ } n για την ακολουθία δειγµάτων {x n }=-1., -0.7,-1.6, 0.9,1.9,0.4..b) Υπολογίστε την παραµόρφωση κβάντισης D για ένα σήµα µε οµοιόµορφο PDF στο διάστηµα [-,] που θα χρησιµοποιήσει για -1.0 κβάντιση τον κβαντιστή του διπλανού Σχήµατος Απάντηση 5

6 a) {x n } x { } ˆn { δ n } b) N ai ( ˆi) X όπου X ( x) D = x x x dx i= 1 ai 1 1/ 4 x = και τα α ι για i=1,,,n-1 και x ˆi για 0 αλλού i=1,,,n-1 προσδιορίζονται από το διάγραµµα του κβαντιστή και α ο =- και α Ν =+. Έτσι µε αντικατάσταση προκύπτει: D = ( x 1.5) dx ( x 1.0) dx ( x 0.5) dx x dx ( x 0.5) dx ( x 1) dx ( x 1.5) dx Αν σε κάθε ένα από τα πρώτα και τα τρία τελευταία ολοκληρώµατα των αθροισµάτων τεθεί x- ˆx =y D = 8 4 y dy + y dy + y dy + x dx+ y dy + y dy + y dy = y dy = D=0.085 Watt 6

7 Παράδειγµα ιαθέτουµε ασύρµατο κανάλι µε απόσβεση L=40 db και φασµατική πυκνότητα θορύβου Ν 0 /=10-8 Watt/Hz. Το σήµα βασικής ζώνης m(t) που διαβιβάζουµε έχει P mn =1/6, εύρο ζώνης W=10 KHz και επιθυµούµε στην έξοδο του δέκτη να έχει ποιότητα (SNR) 0 =48 db. Να υπολογίσετε την ισχύ εκποµπής και το εύρος ζώνης που απαιτούν κάθε ένα από τα συστήµατα DSB, SSB και FM.β =7. Για το FM να διερευνήσετε αν ο δείκτης διαµόρφωσης ξεπερνά αυτόν που επιβάλλει το κατώφλι του FM. Απάντηση ( S N) ( S N) 4.8 ( S N) = 48 db = 10 = 6100 db o o o 1. DSB ( S N ) = ( S N ) = ( P N W R 0 ) R 0 o b P = S N N W P R =1.6 WattP T =LP R = Watt P T =1600 Watt. B c =W B c = 10 4 Hz.. SSB ( S N ) = ( S N ) = ( P N W R 0 ) R 0 o b P = S N N W P R =1.6 WattP T =LP R = Watt P T =1600 Watt. B c =W B c =10 4 Hz.. FM o o P R P R = = Watt = = Watt S N = β P ( S N) ( S N) = β P ( P N W ) β o mn b o mn R 8 4 P R = =0.5 Watt P T =500 Watt Για το κατώφλι: ( S N) β o S N 6100 > 60 P mn o β < β < 60P χρησιµοποιήσαµε, είναι πολύ µικρότερη από την επιτρεπόµενη. Β c =W(β +1)= = B c = Hz mn 0 b P = S N N W P R 0 o mn β < 18.5Η τιµή του β που 7

8 Παράδειγµα 4 Να επαναλάβετε τη λύση του προηγούµενου προβλήµατος (χωρίς τον υπολογισµό του εύρους ζώνης) χρησιµοποιώντας το σµήνος των χαρακτηριστικών σύγκρισης αναλογικών συστηµάτων. (Παρατίθεται στη συνέχεια) 90 (S/N) o,db =((S/N) b,db ) DSB-SSB FM β =9 FM β =7 β =9 60 FM β =5 AM a=0.8 β =7 (S/N) o,db (S/N) odb β = (S/N) b-fmdb (S/N) b-dsbdb (S/N) b,db Απάντηση Από το πιο πάνω διάγραµµα προκύπτει: 1. Για FM P = S N N W (S/N) b-fmdb =1 db R 0 b FM P R = = Watt P R =0,5 Watt.==>P T =50 Watt.. Για DSB & SSB (S/N) b-dsbdb =48 db(s/n) b-dsb = =6100 P T =1600 Watt P R 8 4 = = 1.6 Watt 8

9 Παράδειγµα 5 σουµε µε ποιότητα στον προορισµό (έξοδο του δέκτη) (S/N) o = 45 db. Να υπολογίσετε την ισχύ P R στην είσοδο του δέκτη και το απαιτούµενο εύροςζώνης Β C για τη διαβίβαση του σήµατος X(t), για το κάθε ένα από τα πιο κάτω Τηλεπικοινωνιακά Συστήµατα. Α) Τηλεφωνία Βασικής Ζώνης. Β) DSB-SC Γ) Συµβατικό ΑΜ µε α=1. ) PCM/B-PSK Το κανάλι που θα χρησιµοποιηθεί είναι ένα ΑWGN µε πυκνότητα θορύβου Ν 0 /=10-10 Watt/Hz. ΛΥΣΗ Α) ΣΤΗ ΒΑΣΙΚΗ ΖΩΝΗ Β C =W=5 KHz (S/N) o =P R /(N 0 W) ή P R = (S/N) o (N 0 W) = (5 x 10 x x ) ή P R = x 10 - Watt. B) DSB Β C =W=10 KHz, Β C =10 KHz (S/N) o =P R /(N 0 W) ή P R = (S/N) o (N 0 W) = (5 x 10 x x ) ή P R = x 10 - Watt. Γ) Συµβ. ΑΜ Β C =W=10 KHz, Β C =10 KHz. P mn =σ x /(x max ) x x x x x 0 0 σ = x µ ( x) dx = x ( x) dx = x ( x) dx = x (1/ x / 4) dx 4 x x σ x = = 6 16 =

10 ηλαδή P mn =(4/6)/ P mn =1/6 (S/N) o =[α P mn /(1+α P mn )][P R /(N 0 W)] ή P R = (S/N) (N o 0 W) (1+α P mn )/α P mn P R =10 4. (5 x 10 x x )(1+1/6)6 ή P R =7 x x 10 - Watt. P R =4 x 10 - Watt. ) PCM/B-PSK Aπό την (6.6.5) (SNR) db =P mn db +6v+4.8 ή R b =vw ή R b =80 Kbits/sec 45 db=-7.8 db +6v+4.8 ή v=8 bits P th =4 -(v+) =4-10 = -0 =10-6 P b <10-6 E b [ ] N P 0 b = Q ή PR EbRb quncinv( P ) = = b Rb N0 Όπου quncinv(p b ) η αντίστροφη της συνάρτησης Q(x). Επειδή Pb < PR quinv(10 ) = Watt P R =0.16 x 10 - Watt 10

11 Παράδειγµα 6 ΛΥΣΗ Για να πετύχουµε την απαιτούµενη ποιότητα SNR µε την ελάχιστη τιµή της ισχύος εκποµπής P R πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τη µεγαλύτερη δυνατόν τιµή του β. Η τιµή αυτή περιορίζεται από το φαινόµενο κατωφλίου και από το διαθέσιµο εύρος-ζώνης. Από το διαθέσιµο εύρος ζώνης προκύπτει ότι το β πρέπει να παραµένει: BC 10 KHz W ( β + 1) BC β 1 β 1 β 5 W 10 KHz Υπολογισµός τιµής Κατωφλίου βth ofm S S S β β + β β N β P P ( P ) 60 1 Mn 60 Mn 60 Mn N ofm N ofm β th = β 6.6 Εποµένως η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να λάβει το β =5 Υπολογισµός της απαιτούµενης Ισχύος Λήψης, P R. S N = β P S N S N = β P P N W ( 0 ) P R ofm Mn b ofm Mn R b N W 10 watt/hz Hz = ( S N) = 10 = Watt ofm β P R =6.7 mwatt PMn Υπολογισµός της απαιτούµενης Ισχύος Εκποµπής, P Τ. P T =LP R P T =67 Watt. 11

12 Παράδειγµα 7 Επιθυµούµε να διαβιβάσουµε σήµα βασικής ζώνης m(t) µε εύρος ζώνης W=0 KHz και κανονικοποιηµένη ισχύ P mn =1/6. Για το σκοπό αυτό θα χρησιµοποιήσουµε ένα σύστηµα FM που λειτουργεί µε ένα AWGN κανάλι µε Ν 0 / =10-10 Watt/Hz. Η ποιότητα που επιθυµούµε να επιτύχουµε στην έξοδο του δέκτη, είναι (S/N) o-db =40 db. Πόση είναι η µικρότερη ισχύς λήψης, P R, στον δέκτη που απαιτείται για να επιτύχουµε την επιθυµητή ποιότητα και πόσο το αντίστοιχο εύρος ζώνης B c που πρέπει να χρησιµοποιήσουµε; Απάντηση Θυµηθείτε τον τύπο που δίνει την ποιότητα στο FM. P R / = o FM P mn N0W ( S N) β Από τον τύπο αυτό προκύπτει ότι για να επιτύχουµε δοσµένη ποιότητα στην έξοδο του δέκτη µε τη µικρότερη ισχύ λήψης, P R πρέπει να χρησιµοποιήσουµε τη µεγαλύτερη δυνατή τιµή του β. Η τιµή όµως του β περιορίζεται από το φαινόµενο κατωφλίου που περιγράφεται από: ( S / N ) > 60 P β β < ( S / N ) ( 60P ) o FM mn o FM mn 10 4 β < = β <10 Οπότε θα χρησιµοποιήσουµε τιµή β =10. Η απαιτούµενη ισχύς λήψης, P R υπολογίζεται από: P R / = o FM P mn N0W ( S N) β P R και το εύρος ζώνης, B c από: P ( / ) 0 ( R = S N N W β P mn) o FM = P 6 R = Watt B c =W(β +1)= B c =440 KHz 1

13 Παράδειγµα 8 Να υπολογίσετε την ισχύ λήψης που απαιτείται για ένα σύστηµα 8-bits-PCM/16-PSK καθώς και για ένα 7- bits-pcm/16-qam αν το εύρος ζώνης του διαβιβαζόµενου σήµατος είναι W=5 KHz και δειγµατοληπτείται µε συχνότητα ίση µε αυτή του Nyquist. και το κανάλι µετάδοσης παρουσιάζει λευκό Gaussian θόρυβο φασµ. πυκνότητας Ν 0 /=10-8 Watt/Hz. ( εχθείτε οµοιόµορφο PDF για το σήµα) ΛΥΣΗ 8-PCM/16PSK P bth =10-6 P 16th =4*10-6 (από διάγραµµα 7.57 µε σχετική επέκταση της καµπύλης) E bav /N 0 0dB E bav =100N 0 P r = E bav *R b =100N 0 Wv=00N 0 Wv P r =00**10-8 *5*10 *8=1600*10-4 P r =0.16 Watt 7-PCM/16QAM P bth =4X10-6 P 16th =1.6*10-5 (από διάγραµµα 7.6) (E bav /N 0 ) db =15.8dB E bav /N 0 = E bav =5.5*N 0 P r =E bav *R =5.5N 0 Wv=71N 0 Wv P r =71**10-8 *5*10 *7=170*10-5 P r =0.05 Watt 1

14 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 ΛΥΣΗ Αφού δεν δίνει το PDF του σήµατος θα δεχθούµε οµοιόµορφο PDF (SNR) db =6v και αφού (SNR) db =48 v=8 bits/sample. Ο ρυθµός διαβίβασής των δυαδικών δεδοµένων είναι: R b = S v=wv= 4.5MHz 8 R b =7Mbit/sec Η πιθανότητα κατωφλίου είναι P th =4 -(v+) =4-10 = -0 =10-6 a) Για PCM/QPSK R 4 =R b / Αν δεχθούµε R 4 =Β C B C =6 MHz. Pr Για το QPSK ισχύει : P4 = Q µε P N0R 4 =P b => b N0 P r = quncinv Pth R b = quinv = = mwatt PT 16 Watt 14

15 b) Για PCM/64FSK R 64 =R b /6 και Β C =64R 64 / B C =84 MHz. 6 Q log 64 P r Pb = < Pth N0R b P 0.1 mwatt P 1. Watt r T Rb N Pr quinv = quinv

16 Παράδειγµα 10 Επιθυµούµε να διαβιβάσουµε αναλογικό σήµα X(t) µε ποιότητα στον προορισµό (έξοδο του δέκτη) (S/N) o = 51 db τουλάχιστον. Το εύρος-ζώνης του σήµατος είναι W=5 KHz και είναι P Mn =1/6. Να υπολογίσετε την ισχύ P R στην είσοδο του δέκτη και το απαιτούµενο εύροςζώνης Β C (Ρυθµό Συµβόλων, R για το PCM) για τη διαβίβαση του σήµατος X(t), για το κάθε ένα από τα πιο κάτω Τηλεπικοινωνιακά Συστήµατα. Α) DSB-SC Β) Συµβατικό ΑΜ µε α=0.8. Γ) PCM/16 QAM (προσδιορίστε τον αριθµό v των bits του PCM. εχθείτε ότι ως συχνότητα δειγµατοληψίας έχει ληφθεί η µικρότερη δυνατή.) To κανάλι που θα χρησιµοποιηθεί είναι ένα ΑWGN µε πυκνότητα θορύβου Ν 0 /=10-10 Watt/Hz. ΛΥΣΗ A) DSB (S/N) 0 =P R /(N 0 W) ή P R = (S/N) o (N 0 W) = (5 x 10 xx10-10 ) ΚΩ ΙΚΑΣ MATLAB 10^5.1*(5*10^**10^-10) ή P R =0.1 Watt. B C =10 KHz B) Συµβ. ΑΜ ΒW=W=10 KHz (S/N) o =[α P mn /(1+α P mn )][P R /(N 0 W)] ή P R = (S/N) o (N 0 W) (1+α P mn )/α P mn P R = (5 x 10 x x )(1+0.64/6)6/0.64 ΚΩ ΙΚΑΣ MATLAB 10^5.1*(5*10^**10^-10)*(1+0.64/6)*6/0.64 P R =1. Watt. Γ) PCM/16 QAM (S/N) db =4.8+6v+P mn db v=9 P bth =4 -(9+) = - = 8-0 =56*10-9 =.56*10-7 P 16 =.56*10-7 *4=10-6. Από το διάγραµµα επιδόσεων του Μ-QAM για Μ=16 και P M =10-6 προκύπτει: (Ε b /N 0 )=15.8dBΕ b /N 0 =5.5 P R = Ε bav R b =15.8 N 0 W v=1.6 N 0 W v 1.6**10^-10*5*10^*9 P R = Watt =84 µwatt R =Wv=90 Kbit/secR=R /4=.5Ksym/sec 16

17 Παράδειγµα 11 Ένας αριθµός L=600 κανάλια οµιλίας που το καθ' ένα τους έχει εύρος ζώνης 4 KHz πολυπλέκονται µε χρήση USSΒ διαµόρφωσης υπο-φερουσών και το πολύ-πλεγµένο σήµα διαµορφώνει κατά συχνότητα ένα φέρον. Η κατώτερη φέρουσα συχνότητα SSΒ είναι 10 ΚΗz και οι υπο-φέρουσες απέχουν µεταξύ τους 4 ΚΗz. Ας δεχθούµε ότι όλα τα σήµατα οµιλίας έχουν την ίδια µέση ισχύ. Το κανάλι οµιλίας που βρίσκεται στα 10 ΚΗz δίδει πηλίκο σήµατος-προς-θόρυβο εξόδου 60 db. a) Αν στις εξόδους των καναλιών οµιλίας δεν είναι αποδεκτές τιµές ποιότητας (S/N) db µικρότερες από 0 db, πόσα κανάλια από το σύστηµα αυτό είναι χρησιµοποιήσιµα; ( εχθείτε ότι στην είσοδο του δέκτη FM έχουµε λευκό θόρυβο). b) Αν το σήµα FDM διαµορφώνει το φέρον κατά φάση, υπολογίστε την ποιότητα (S/N) db στις εξόδους των καναλιών οµιλίας του νέου συστήµατος δεχόµενοι ότι η ισχύς λήψης, P R και το εύρος ζώνης, Β C του συστήµατος PM είναι ίδια µε αυτά του συστήµατος FM του προηγούµενου ερωτήµατος. (Θεωρείστε επίσης ότι χρησιµοποιείτε το ίδιο κανάλι, δηλαδή ή ίδια τιµή για το Ν 0 /). ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ: Θυµηθείτε ότι σε ένα FM, αντίστοιχα έναν PM δέκτη, το σήµα εξόδου έχει ισχύ P so_fm =k P m, αντίστοιχα P so_pm =k p P m. ΛΥΣΗ G N ()=Ν 0 /(A C ) 10 K 1 i Φάσµα των πολυπλεγµένων σηµάτων (Σήµα Βασικής Ζώνης για το φορέα, FM, ή PM) Φασµατική Πυκνότητα Θορύβου στην Έξοδο του έκτη FM α) Χρήση για Φορέα του FM Στην έξοδο του FM όλα τα κανάλια οµιλίας εξέρχονται µε την ίδια ισχύ, την οποία ας συµπολίσουµε µε P S. Εν τούτοις ο θόρυβος που συνοδεύει κάθε κανάλι έχει διαφορετική φασµατική πυκνότητα και εξαρτάται από την κεντιρική συχνότητα του καναλιου στο FDM σήµα. Έτσι το i-κανάλι που καταλαµβάνει τη ζώνη [ 0 + (i-1) W] έως [ 0 + (i-1) W] µε 0 =10 KHz και W=4 KHz συνοδεύεται από θόρυβο ισύος P ni : N N Pni = G ( ) d = d = ( + iw ) ( + ( i 1) W ) 0+ i 1 W 0+ i 1 W ( i 1 n ) W 0 ( i 1) W A c A c N0W Pni = ( 0 iw )( 0 ( i 1) W ) W A c Με βάση τον πιο πάνω τύπο το πρώτο κανάλι του FDM συνοδεύεται από θόρυβο P n1 : 17

18 Οπότε αν συµβολίσουµε µε (S/N) RiSSB N W P = ni iw W A c (S/N) o_fm-ssb _i >=0dB (S/N) o_fm-ssb _i / (S/N) o_fm-ssb _1 >=-0 db [ 0 ( 0 +W)+W ]/[( 0 +iw)( 0 +(i-1)w)+w ]>=0.001 i=151 b) Ισχύς Σήµατος στην έξοδο οποιουδήποτε SSB δέκτη της πολυπλεξιας 1. Όταν χρησιµοποιείται FM για φορέας P so _ FM-SSB _ i =k P mn /L i=1,,,l (S/N) o_fm-ssb_1 = (k P mn /L)/[(N 0 /A C )W( 0 ( 0 +W)+W )]. Όταν χρησιµοποιείται PM για φορέας P so _ PM-SSB _ i =k p P mn /L i=1,,,l (S/N) o _ PM-SSB _ i = (k p P mn /L)/[W (N 0 /A C )] Εποµένως: (S/N) o_fm-ssb_1 /(S/N) o _ PM-SSB _ i =[(k /k p )][W (N 0 /A C )]/ [(N 0 /A C )W( 0 ( 0 +W)+W )] [(k /k p )]/[( 0 ( 0 +W)+W )] Επειδή τόσο το σύστηµα µε φορέα το FM όσο και το σύστηµα µε φορέα το PM χρησιµοποιούν το ίδιο εύρος ζώνης : Β C =(β +1)(LW)=(β p +1)(LW) β =β p k /(LW)=k p (k /k p )=(LW) Άρα προκύπτει: (S/N) o_fm-ssb_1 /(S/N) o _ PM-SSB _ i =[L W ]/[ 0 ( 0 +W)+W ]= Επειδή (S/N) o_fm-ssb_1 =60 db=10 6 (S/N) o _ PM-SSB _ i =10 6 /( ) =14.0 db 18