( ) 2. Β3) Βέλτιστος Οµοιόµορφος Κβαντιστής µε Κώδικα σταθερού µήκους (R=log 2 (N)). ΛΥΣΗ. R bits/sample. = 10 log10. Θεώρηµα Shannon: = H log 2 (N)

Transcript

1 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Α)Με βάη το θεώρηµα Shannon για την κωδικοποίηη αναλογικού ήµατος να χαράξετε το διάγραµµα της χέης (S/N) =(), =bit/sample για ένα ήµα µε Gaussian κατανοµή. Β) Χρηιµοποιείτε τους Πίνακες 6. και 6.3 ελίδες βιβλίου 33 και 334 αντίτοιχα για να χαράξετε πειραµατικά τη χέη (S/N) =() γι τις ακόλουθες περιπτώεις: Β1 Βέλτιτος Οµοιόµορφος Κβαντιτής µε Κώδικα Εντροπίας (=H). Β) Βέλτιτος µη Οµοιόµορφος Κβαντιτής µε Κώδικα Εντροπίας (=H). Β3) Βέλτιτος Οµοιόµορφος Κβαντιτής µε Κώδικα ταθερού µήκους (=log (N)). ΛΥΣΗ A) Θεώρηµα Shannon: 1 log ( ) ( ) 10log 10 ( = = S N = S N = ) = 6 D D ( S N ) 36 A 18 S N 1 = 10 log10 D B. OM, B. OM S N ΠΛ. ΣΤ. ΚΒ. Ν 1 = 10 log10 D B. MOM, B. MOM 3 6 bits/sample D = H D B. OM B. MH O ` ΠΛΘ. ΣΤΘ. ΚΒΝΤ. Ν (S/N) BΕΛΤ OΜΟΙΟΜ = H log (N) = H (S/N) BΕΛ MΗ OΜ = H log (N)

2 35 30 Non Uniorm Entr. Coded Uniorm Entr. Coded Uniorm Con.length coded Shannon Bound Quantizer Evaluation 5 (S/N) =bits/sample

3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Αν λάβουµε υπόψιν τα φάλµατα που ειάγει τη δυαδική ακολουθία εξόδου του PCM το ψηφιακό κανάλι διαβίβαης δεδοµένων του οποίου η πιθανότητα φάλµατος υµβολίζεται µε P b, το τελικό ήµα προς θόρυβο τον δέκτη δίνεται από τη Σχεη: v S 4 = v N o PCM 1+ 4Pb 4 όπου ν είναι ο ρυθµός κωδικοποίηης του PCM. Προδιορίτε τη τιµή κατωφλίου P th για την οποία ιχύει, όταν P b <P th S S > 1 N o PCM N, MAX S N η τιµή του SN του δέκτη όταν P b =0. όπου ( ), MAX S N o PCM S N v 4 = 1+ 4P 4 o PCM, S N ΛΥΣΗ b v S N = ( ) o ma ( 4 v v ) ( 1 4Pb 4 ) = + 4 v Θέτοντας P b =P th ( v ) ( P v ) ( v th ) o PCM, = = 4 1 ( Pth ) 10 ( Pth ) Pth ( ) log / v v 0.1 v + 1 v + = + = = 1 P th = ( ) 4 v +

4 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Η ακολουθία δειγµάτων { n } ενός πραγµατικού ήµατος παρουιάζει µέη τιµή µηδέν, διακύµανη, και ο υντελετής αυτουχέτιης ρ=e{i i-1 }/ =0,95. Αν χρηιµοποιηθεί ως πρόγνωη της { n } η ακολουθία { yɶ n }, yɶ n = an 1 να υπολογιτεί η τιµή του α ώτε το DPCM να παρουιάει µέγιτο λόγο QSN DPCM. Να υπολογίετε πόες φορές είναι µεγαλύτερος ο λόγος αυτός από εκείνον ενός PCM µε το ίδιο πλήθος ταθµών κβάντιης. ( SQN) DPCM ΛΥΣΗ = = = E E y y ( ˆ ) ( ˆ ) ( v) n n n n Για δοµένα και τη υνάρτηη (v) το (SQN) DPCM είναι φθίνουα υνάρτηη του y. Πρέπει εποµένως να φροντίουµε να γίνει ελάχιτη η y. Ιχύει: Για να γίνει ελάχιτος η y yɶ n = an 1 yn n an 1 = ( ) [ ] y = E yn E = n an 1 = ae nn 1 + a ( ) = aρ + a = 1 αρ + α y y αρκεί να επιδιωχθεί d y = 0 da ρ + α = 0 α = ρ, οπότε y = ( 1 ρ ) y Οπότε ( SQN) 1 ( ) ( SQN) PCM PCM = = = = = DPCM ( N) y ( N) 1 ρ 1 ρ ( ) SQN 10.5QSN PCM

5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 ιατίθεται κανάλι µε απόβεη L=30 db, µε προθετικό Gaussian λευκό θόρυβο την έξοδο του φαµατικής πυκνότητας N 0 /=10-11 Watt/Hz. Επιθυµούµε να χεδιάουµε ένα τηλεπικοινωνιακό ύτηµα, για τη διαβίβαη ενός ήµατος video µε οµοιόµορφο PDF (W=4.5 MHz). Θα χρηιµοποιήουµε ένα 8-bit PCM-Σύµφωνο M-FSK. Πόη πρέπει να είναι η ιχύς εκποµπής P T για Μ=8,16,3; Για την επίλυη του προβλήµατος χρηιµοποιείτε το διάγραµµα της εικόνας 7.63 ελίδα 475. Ιχύει P th =4 (v+) = -0 =10-6 ΛΥΣΗ Μ (Ε b /N 0 ) (Ε b /N 0 )= (Εb/N0)/10 P mwatt P T Watt Από το διάγραµµα επιδόεων του M-FSK Μ=8,16 και 3 για P b =10-6 προδιορίζουµε το (Ε b /N 0 ) και το κατά χωρούµε την πρώτη γραµµή του Πίνακα. Το (Ε b /N 0 )=10 (Εb/N0)/10 και υµπληρώνεται η δεύτερη γραµµή. Ιχύει και b =Wv=7000 bits/sec P =E b b =(Ε b /N 0 )N 0 b

6 Από τον τελευταίο τύπο και τη δεύτερη γραµµή του πίνακα υµπληρώνεται η τρίτη γραµµή του Πίνακα. Τέλος ιχύει: P Τ =LP όπου L=10 Ldb/10 =1000υµπληρώνεται η τέταρτη γραµµή. Εποµένως τελικά η ιχύς εκποµπής για M=8 P T =1.8 Watt M=16 P T =9.3 Watt M=3 P T =8.1 Watt

7 Πρόβληµα 5 Για τη διαβίβαη ήµατος FM ε µεγάλη απόταη αποφαίζεται να χρηιµοποιηθούν αναµεταδότες κάθε 30 Κm, οι οποίοι αποκαθιτούν την ιχύ του ήµατος που υφίταται την απόταη αυτή απόβεη κατά 30. Το FM ήµα έχει δείκτη διαµόρφωης β =7 και διαβιβάζει ραδιοφωνική εκποµπή µε εύρος ζώνης 0 ΚΗz και P mn =1/6. Η ποιότητα την έξοδο του δέκτη επιθυµούµε να είναι τουλάχιτον (S/N) =50. Το κανάλι παρουιάζει Ν 0 /=10-1 Watt/Hz. A Τι τιµή πρέπει να έχει τουλάχιτον το (S/N) b και πόη πρέπει να είναι η ποιότητα του ήµατος (S/N) την είοδο του τελικού δέκτη; Β Αν κάθε αναµεταδότης εκπέµπει µε ιχύ P T =1 Watt, ε πόη απόταη µπορούµε να διαβιβάουµε το ήµα; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α Για να πετύχουµε την ποιότητα των 50 την έξοδο, πρέπει η (S/N) b να ικανοποιεί τη χέη S S = 3β P mn N o οπότε 5 S 1 S 10 S = β Pmn N Επειδή ιχύει S 0( β + 1) = 0( 7+ 1) = 160 < υµπεραίνουµε ότι δεν θα εµφανιτεί φαινόµενο κατωφλίου. S P P W S 1 = = = N Bc N 0e WN 0e Bc N b ( β + 1) δηλαδή S S S = = N N β N b ( ) Β Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι ο αριθµός Κ των επαναληπτών θα πρέπει να εξαφαλίζει ποιότητα την είοδο του δέκτη (S/N) 55, δηλαδή S PT PT 1 = 55 K K N KL B N 55L B N p C 0 p C δηλαδή 1 K K 6.15

8 Θα χρηιµοποιήουµε λοιπόν το πολύ 6 ΕΣ και εποµένως το ήµα θα φθάει µε ικανή ποιότητα ε απόταη 6Χ30=180 Κm.

9 Πρόβληµα 6 Επιθυµούµε να διαβιβάουµε ήµα ραδιοφωνίας µε εύρος ζώνης W=0 KHz και P mn =1/3 ε απόταη 400 Km. Η ποιότητα τον προοριµό επιθυµούµε να είναι (S/N) o =48. Το κανάλι που θα χρηιµοποιήουµε έχει απόβεη 1 /Km και φαµατική πυκνότητα θορύβου Ν 0 /=10-1 Watt/Hz. Αποφαίζουµε να διαχωρίουµε το κανάλι ε 10 ία τµήµατα και εξετάζουµε πόη ιχύ P T πρέπει να εκπέµπεται την είοδο κάθε τµήµατος καναλιού για την περίπτωη που χρηιµοποιήουµε: α) Ένα ύτηµα FM µε β =6 β) Ένα ύτηµα PCM µε υχνότητα δειγµατοληψίας S =W, του οποίου τα δυαδικά δεδοµένα διαβιβάζονται µε Β-PSK. Απάντηη α) Για να πετύχουµε την ποιότητα των 48 την έξοδο, πρέπει η (S/N) b να ικανοποιεί τη χέη S S = 3β P mn N o οπότε 4.8 S 1 S 10 S = 1750 = = 3β Pmn N Επειδή ιχύει S 0( β + 1) = 0( 6+ 1) = 140 < υµπεραίνουµε ότι δεν θα εµφανιτεί φαινόµενο κατωφλίου. Παρατηρείτε ότι την είοδο του δέκτη FM ο ολικός θόρυβος είναι N = KB N L Total C 0 p Ιχύει: Και εποµένως η φαινόµενη (ενεργός) φαµατική πυκνότητα θορύβου είναι Ν 0e NTotal N0e = = KN0Lp B C δηλαδή S P P S WKLpN N WN WKN L N T = = PT = b 0e 0 p P T = =7 Watt b 0 β) Εύκολα διαπιτώνουµε ότι το πλήθος bits του PCM v=8 και b = S v= W v =30 Kbits/sec. Τέλος η πιθανότητα κατωφλίου P th =10-6. Για να γίνει λοιπόν δυνατή η αξιόπιτη διαβίβαη των δυαδικών δεδοµένων του PCM πρέπει η πιθανότητα φάλµατος τον τελικό προοριµό, P b <P th P b <10-6. Από τη θεωρία όµως γνωρίζουµε ότι: PT 1 Pb Pb KQ P = T = Q Lpb N Lpb N 0 K ( ) 0

10 PT > Q P T >0.086 Watt