Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon Βιοϊατρική Τεχνολογία ιδάσκων: Σεργιάδης Γεώργιος

2 Τοµογραφία Ενδιαφερόµαστε για την κατάσταση στο εσωτερικό των οργανισµών. Χωρίς να έχουµε πρόσβαση (π.χ. µε εγχείρηση) Τοµογραφία = 3-D χαρτογράφηση του εσωτερικού. ιεγείροντας από εξωτερικά και συνδυάζοντας κατάλληλα τις διάφορες αποκρίσεις. Ανάλογα µε το είδος της διέγερσης: Αξονική µε ακτίνες Χ. Μαγνητική Με υπερήχους κτλ. Η τοµογραφία βασίζεται στην αξιοποίηση της αθροιστικής απόκρισης του συστήµατος σε διάφορες διευθύνσεις. Μαθηµατικώς: Ανακατασκευή της µίας εικόνας από τις προβολές της. Μαθηµατικά Εργαλεία: Radon και 2D Fourier.

3 Ποιοτική αρχή λειτουργίας Προς αναγνώριση - Άγνωστη Άλλες Υποψήφιες??

4 Μία Προβολή (για τις 0 ο ) Ακτίνα

5

6

7

8 Μετασχηµατισµός Radon Συνάρτηση-σήµα δύο µεταβλητών: f(x,y) Ο Radon ολοκληρώνει πάνω σε ευθείες: L ( t,θ ): t = x cosθ + y sinθ R ( t, θ ) = f ( x, y) δ ( t xcosθ ysinθ ) dxdy Antipodal symmetry: R( t, θ ) = R( t, θ + π ) Οι προβολές µετά από τις 180 ο επαναλαµβάνονται.

9 Μετασχηµατισµός Radon

10 Μετασχηµατισµός Radon Αντιστοιχίζει σηµεία σε ηµιτονοειδή Radon=Sinogram Στην θεωρία Pattern recognition και επεξεργασίας εικόνας συναντάται µε το όνοµα Hough Transform. R(t,θ) t θ (degrees)

11 Μετασχηµατισµός Radon Αντιστοιχίζει ευθείες σε σηµεία. R(t,θ) t θ (degrees)

12 Μετασχηµατισµός Radon Radon για την Phantom. R(t,θ) t θ (degrees)

13 Μετασχηµατισµός Radon Radon για την Cameraman. R(t,θ) t θ (degrees)

14 Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. To τετράγωνο είχε περιοδικό (κατά θ) Radon µε περίοδο 90 ο.

15 Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Για ποιο σώµα οι προβολές του θα επαναλαµβάνονται περιοδικά µε περίοδο 45 ο? Οκτάγωνο? 45

16 Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Για ποιο σώµα οι προβολές του θα επαναλαµβάνονται περιοδικά µε περίοδο 45 ο? Οκτάγωνο? R(t,θ) t θ (degrees)

17 Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Και φυσικά όλα τα κανονικά πολύγωνα µε αριθµό πλευρών ακέραιο πολλαπλάσιο του 8. Π.χ. 16γωνο R(t,θ) t θ (degrees)

18 Μετασχηµατισµός Radon Παλαιό θέµα (Φεβρουάριος 2004): Ηπροβολήενόςσώµατος σε δυο άξονες που σχηµατίζουν γωνία 45 ο µεταξύ τους, είναι ίδια. Περιγράψτε δυο πιθανά σώµατα που δίνουν τέτοιες προβολές. Μέχρι και τον κύκλο... R(t,θ) t θ (degrees)

19 Προς τα πίσω προβολή Ηαπλούστερη µέθοδος ανακατασκευής της εικόνας από τις προβολές της. ίνει µία θολή (blurred) έκδοση της αρχικής. Αν και δεν χρησιµοποιείται, αποτελεί την βάση για σύγχρονες µεθόδους ανακατασκευής. Κάθε προβολή προβάλλεται προς τα πίσω. Ισότιµα: Αποδίδεται η ίδια τιµή σε όλα τα σηµεία που µπορεί να συνεισφέρουν στην προβολή.

20 Προς τα πίσω προβολή Ποιοτικά

21 Προς τα πίσω προβολή Ποιοτικά

22 Προς τα πίσω προβολή Radon Back-projection Μαθηµατικά: * 1 f ( x, y) = R( xcosθ + ysinθ, θ ) dθ 4π Αποδίδει τιµές εκεί που στην πραγµατικότητα δεν υπάρχει τίποτα. Star Artifact Πραγµατική Ανακατασκευασµένη µε απλό back-projection

23 Προς τα πίσω προβολή Star artifact

24 Προς τα πίσω προβολή Star artifact

25 Προς τα πίσω προβολή Star artifact

26 Προς τα πίσω προβολή Star artifact

27 1-D Fourier Transform Συνάρτηση-σήµα µίας µεταβλητής: f(t) Γράφεται σαν υπέρθεση (complex) ηµιτονοειδών : 1 j = ω ω t f ( t) F( ) e dω 2π Όπου: jωt F( ω ) = f ( t) e dt (Χρονική) συχνότητα = ρυθµός µεταβολής Rreal (e jω t ) ω=3 * 2 π j t e ω Θεώρηµα δειγµατοληψίας: Τ min 1 = 2 f max t

28 1-D Fourier Transform f(t)=cos(ω t)) F(ω) t ω

29 2-D Fourier Transform Συνάρτηση-σήµα δύο µεταβλητών: f(x,y) Γράφεται σαν υπέρθεση (complex) δισδιάστατων ηµιτονοειδών: ( y) y x x j e ω ω + όπου d d e e F y x f y x y jy x jx y x ω ω ω ω π ω ω = ), ( 4 1 ), ( 2 dxdy e e y x f F y x f y jy x jx y x ω ω ω ω = ), ( ), ( ), (

30 2-D Fourier Transform Χωρική συχνότητα: Ρυθµός µεταβολής στο χώρο.

31 2-D Fourier Transform Είναι διαχωρίσιµος: Πρώτα 1-D FT κατά στήλες και µετά 1-D FFT κατά γραµµές F F ( jxωx 1 ω x, y) = f ( x, y) e dx jyωy ( ω x, ωy) F1 ( ωx, y) e = dy Θεώρηµα δειγµατοληψίας: x min = 2 1 f x max y = min 2 1 f y max

32 2-D Fourier Transform Μία εικόνα που µεταβάλλεται συνηµιτονοειδώς κατά x 2D Fourier: ύο ώσεις (συµµετρία γύρω από το (ω x,ω y )=(0,0)) 30 IM1( x, y) cos = x 256

33 2-D Fourier Transform Ηίδια εικόνα µε µία µετατόπιση απλά. Πλάτος 2D Fourier ίδιο. Μεταβάλλεται η µόνο η φάση του IM 2 ( x, y) = cos x + sin x

34 2-D Fourier Transform Ηίδια εικόνα περιεστραµένη κατά 120 ο 2D Fourier: Περιστρέφεται κατά τον ίδιο τρόπο. o IM 120( x, y) = Rotate( IM,120 ) 1 1

35 2-D Fourier Transform Ηίδια εικόνα (η µετατοπισµένη) περιεστραµένη κατά 240 ο 2D Fourier: Περιστρέφεται κατά τον ίδιο τρόπο. o IM 240( x, y) = Rotate( IM,240 ) 2 2

36 2-D Fourier Transform Το άθροισµα των τριών προηγούµενων Εικόνα µε τέλεια εξαγωνική δοµή. ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ του 2D Fourier. IM = IM + IM IM Εικόνα επιφάνειας HOPG (Higly oriented Pyrolytic graphite).

37 2-D Fourier Transform Scaling και προς όλες τις κατευθύνσεις 2D Fourier: Αντίστροφο scaling x y IM _ S2 = IM, 2 2

38 2-D Fourier Transform Scaling µόνο κατά x 2D Fourier: Αντίστροφο scaling µόνο κατά y. ( ) IM _ Sx = IM 2, x y

39 2-D Fourier Transform Συνέλιξη στο χωρικό πεδίο Πολλαπλασιασµός στο πεδίο χωρικών συχνοτήτων Lenna Ζωνοπερατό φίλτρο Lenna φιλτρασµένη Fourier 2D Lenna Fourier 2D Φίλτρου Lenna φιλτρασµένη 2D Fourier

40 Πολικός (Polar) Fourier Transform O 2-D Fourier Transform είναι υπολογισµένος σε καρτεσιανές συντετατέγµες ωx,ωy. Σε πολικές συντεταγµένες έχουµε τον polar Fourier. ω x = ω cos(θ ) ω y = ω sin(θ ) PF ( ω, θ ) = F( ω cosθ, ω sinθ )

41 Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΤΗ ΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ. Μία προβολή στον Radon R1(t)=R(t,θ) (συγκεκριµένη θ) και ο PF για την ίδια θ PF1(ω)=PF(ω,θ), αποτελούν ζεύγος 1-D FT. 1 D FT PF1 ( ω) R1 ( t) { R( t, )} PF( ω, θ ) = FT θ t { PF( ω, )} R( t, θ ) = IFT θ t

42 Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) R(t,θ) t θ (degrees)

43 Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem)

44 Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) 1-D FT pair R(t,θ) Θεώρηµα κεντρικής φέτας t Καρτεσιανές σε πολικές θ (degrees) Radon 2-D FT

45 t Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) 1-D FT σε κάθε στήλη Image Radon θ (degrees)

46 Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) 2-D Fourier Polar to Cartesian Polar Fourier

47 t Θεώρηµα κεντρικής φέτας (Projection Slice Theorem) Παρόµοια: Σώµα που οι προβολές του επαναλαµβάνονται περιοδικά κάθε 60 ο? ΕΞΑΓΩΝΟ, 12ΓΩΝΟ κτλ. Αλλά και: θ (degrees)

48 Μέθοδοι ανακατασκευής Αναλυτικές Μέθοδοι Fourier Προς τα πίσω προβολή µε φιλτράρισµα κανονικοποίηση Επαναληπτικές µέθοδοι

49 Ανακατασκευή Fourier Μέθοδος 1-D FT R(t,θ) D FT κατά t t Πολικές σε καρτεσιάνες θ (degrees) Radon 2-D IFT

50 Ανακατασκευή Fourier Μέθοδος Tα δεδοµένα µας είναι διακριτά σε πολικό πλέγµα. Για να πάρουµε σε καρτεσιανό πλέγµα τις τιµές του Fourier χρειάζονται διαδικασίες παρεµβολής (interpolation) Interpolation

51 Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Αποδεικνύεται εύκολα ότι: H f*(x,y) (ανακατασκευασµένη µε απλό Back-Projection) και η πραγµατική f(x,y) ιαφέρουν στον Polar Fourier κατά έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα ω. * f ( x, y) * PF ( ω, θ ) f ( x, y) PF( ω, θ ) PF( ω, θ ) = ω PF * ( ω, θ )

52 t t Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Πραγµατική Ανακατασκευασµένη µε απλό back-projection R(t,θ) R*(t,θ) R( t, θ ) = IFT ( ω ) R * ( t, θ ) θ (degrees) θ (degrees) R(ω,θ) R*(ω,θ) ω PF( ω, θ ) = ω PF * ( ω, θ ) ω θ (degrees) θ (degrees)

53 Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Απλά εξαλείφουµε αυτήν την διαφορά στον παράγοντα ω. Ορίζουµε τον κανονικοποιηµένο Polar Fourier: PF( ω, θ ) = ω PF( ω, θ ) Και τον κανονικοποιηµένο Radon (φιλτραρισµένες προβολές) R( t, θ ) = IFT { PF( ω, θ )} t R( t, θ ) = R( t, θ ) IFTt { ω } Κάνουµε Back-Projection τον R( t, θ )

54 t t Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Πραγµατική Ανακατασκευασµένη µε φιλτράρισµα & back-projection R(t,θ) Normalized R(t,θ) Φιλτράρισµαπροβολών { ω } R( t, ) R( t, θ ) IFTt > θ θ (degrees) θ (degrees) R(ω,θ) Normalized PF(ω,θ) Κανονικοποίηση ω ω PF ( ω, θ ) > PF( ω, θ ) ω θ (degrees) θ (degrees)

55 Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Στην ουσία κάνουµε ένα equalization (sharpening) για να ισορροπήσουµε την αλλοίωση που εισάγει το απλό backprojection (smoothing)

56 Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Ποιοτικά: Γιατί εξαλείφεται το starartifact? Μετά το φιλτράρισµα οι προβολές παίρνουν και αρνητικές τιµές. Πριν. R(t,0) Μετά. Filtered R(t,0)

57 Ανακατασκευή BackProjection µε φιλτράρισµα Στο back-projection (για ένα σηµείο που δεν έχει τίποτα): Κάποιες προβολές συνεισφέρουν θετικά & κάποιες αρνητικά Μηδενικό άθροισµα. Πριν. R(t,0) Μετά. Filtered R(t,0)

58 Επαναληπτικές µέθοδοι Βασίζονται στην επαναληπτική διόρθωση των τιµών της ανακατασκευασµένης εικόνας µέχρι: Προβολές της ανακατασκευασµένης ~Πραγµατικές προβολές. 1. Ξεκινούµε µε απλή Back-Projection. 2. Υπολογίζουµε τις προβολές της ανακατασκευασµένης. 3. Συγκρίνουµε µε τις προβολές της πραγµατικής εικόνας. 4. ιορθώνουµε: Π.χ. αν η υπολ. προβολή έχει τιµή µικρότερη από την πραγµ. προβολή αυξάνουµε τις τιµές της εικόνας που συνεισφέρουν στην προβολή. 5. Επιστρέφουµε στο βήµα 2 µέχρι να συγκλίνουµε.

59 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Προβάλω σε 4 διευθύνσεις

60 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Προβάλω προς τα πίσω

61 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Ξαναπροβάλω στις 4 διευθύνσεις

62 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Ξαναπροβάλω στις 4 διευθύνσεις

63 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 4. Αφαιρώ από τις προβολές της πραγµατικής εικόνας

64 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 4. Αφαιρώ από τις προβολές της πραγµατικής εικόνας

65 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Προβάλω τις διαφορές προς τα πίσω

66 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Προσθέτω στην προηγούµενη ανακατασκευασµένη

67 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Προσθέτω στην προηγούµενη ανακατασκευασµένη

68 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα Αρχική Με απλό backprojection Μετά από 10 επαναλήψεις Απόλυτη διαφορά από την αρχική Απόλυτη διαφορά από την αρχική

69 Επαναληπτικές µέθοδοι - Παράδειγµα 0.18 Μέσο τετραγωνικό σφάλµα Αριθµός επαναλήψεων