ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ. Κωνσταντίνα Νικήτα, Ph.D., M.D. Αναπλ. Καθηγήτρια Εργαστήριο Βιοϊατρικών Προσοµοιώσεων και Απεικονιστικής Τεχνολογίας
|
|
- Ζεφύρα Λαγός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Κωνσταντίνα Νικήτα, Ph.D., M.D. Αναπλ. Καθηγήτρια Εργαστήριο Βιοϊατρικών Προσοµοιώσεων και Απεικονιστικής Τεχνολογίας
2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ! Εισαγωγή! Πρόβληµα Ανακατασκευής Εικόνας! Αλγόριθµοι Ανακατασκευής Εικόνας "Συνελικτικοί "Επαναληπτικοί! Ατέλειες στις Ανακατασκευασµένες Εικόνες 2
3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι σύγχρονες τοµογραφικές µέθοδοι παρέχουν τοµογραφικές εικόνες f(x,y) που εξαρτώνται από τις ιδιότητες και την αλληλεπίδραση του σώµατος µε τη χρησιµοποιούµενη µορφή ενέργειας. Τοµογραφική Μέθοδος Είδος Ακτινοβολίας f(x,y) Αξονική Τοµογραφία (X-Ray CT) Μαγνητική Τοµογραφία (MRI) Τοµογραφία Υπερήχων (Ultrasound CT) Toµογραφία Εκποµπής Ποζιτρονίου (PET) Tοµογραφία Εκποµπής Φωτονίου (SPECT) Ακτίνες Χ Ηλεκτροµαγνητική RF Υπέρηχοι Ακτίνες γ Ακτίνες γ Συντελεστής Εξασθένησης Πυκνότητα πρωτονίων Χρόνοι Αποκατάστασης είκτης ιάθλασης Συντελεστής Εξασθένησης Συγκέντρωση Ραδιενεργού Ιχνηθέτη Συγκέντρωση Ραδιενεργού Ιχνηθέτη 3
4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ανακατασκευή Εικόνας (Image Reconstruction) : Μαθηµατική επεξεργασία µιας οµάδας δεδοµένων προβολής προερχόµενων µε µη καταστρεπτικό τρόπο από την προς απεικόνιση περιοχή µε σκοπό την παραγωγή τοµογραφικής εικόνας υψηλής ποιότητας και διαγνωστικής αξίας Στόχοι κάθε µεθόδου Ιατρικής Απεικόνισης: εγκυρότητα διάγνωσης µικρότερη δυνατή επιβάρυνση του οργανισµού περιορισµός χρονικής διάρκειας εξέτασης και χρήσης υπολογιστικών συστηµάτων 4
5 5 f(x,y): Η συνάρτηση περιγραφής ενός δισδιάστατου αντικειµένου Ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων (t,s) το οποίο έχει στραφεί ως προς το σύστηµα (x,y) κατά γωνία φ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ = y x s t ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos x t y s φ
6 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ Τοµογραφική Ακτίνα : Γραµµή L παράλληλη προς τον άξονα s σε απόσταση t. Ορίζεται από τις παραµέτρους (φ,t) x cosϕ + y sinϕ = t Γραµµικό ολοκλήρωµα : Το ολοκλήρωµα της f(x,y) κατά µήκος µιας τοµογραφικής ακτίνας P (ϕ, t) = f ( x, y) ds + + L P ( ϕ, t) f ( x, y) δ ( x cosϕ + y sinϕ t) dxdy = P ( ϕ, t) = f ( r) δ ( t µ r) dr, µ = (cosϕ,sinϕ), r = ( x, y) s y t L Μετασχηµατισµός Radon της f(x,y) t φ x 6
7 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ Προβολή : Συνδυασµός γραµµικών ολοκληρωµάτων. Η απλούστερη προβολή αποτελείται από σύνολο γραµµικών ολοκληρωµάτων κατά µήκος παράλληλων τοµογραφικών ακτίνων, P(φ,t) για σταθερή γωνία φ. Μια πηγή και ένας ανιχνευτής µετακινούνται κατά µήκος παράλληλων γραµµών στις δύο πλευρές του αντικειµένου (παράλληλη προβολή). Μια πηγή τοποθετείται σε σταθερή θέση σε σχέση µε µια γραµµική διάταξη ανιχνευτών (προβολή αποκλίνουσας δέσµης). 7
8 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ P(φ 2,t) P(φ 1,t) Παράδειγµα : Παράλληλες προβολές φ1 φ 1 φ 2 8
9 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ P(β 1,t) P(β 2,t) Παράδειγµα : Προβολές αποκλίνουσας δέσµης (όλες οι ακτίνες συναντώνται σε ένα σηµείο) φ 1 φ1 φ 2 β 1 β 2 9
10 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ: ΟΡΙΣΜΟΙ O 2D µετασχηµατισµός Radon απεικονίζει τον πραγµατικό χώρο (x,y) στο χώρο Radon (φ,t). Ενδιαφέρουσες ιδιότητες αυτής της απεικόνισης Κάθε σηµείο του χώρου Radon αντιστοιχεί σε µια ευθεία στον πραγµατικό χώρο Ένα σηµείο του πραγµατικού χώρου αντιστοιχεί σε ένα ηµίτονο στο χώρο Radon Σηµειακή ανοµοιογένεια στη θέση r 0 =(x 0,y 0 ) R{ Aδ ( r r0 )} = Aδ ( r r0 ) δ ( t µ r) dr = Aδ ( t µ r0 ) = Aδ ( x0 cosϕ + y0 sinϕ t) Αντιπροσωπεύει σύνολο κρουστικών πάνω σε µια ηµιτονοειδή καµπύλη στο επίπεδο (t,φ) 2 2 y0 t = x0 cosϕ + y0 sinϕ = r0 cos( ϕ ϕ0), r0 = x0 + y0, ϕ0 = arctan( ) x0 Γι αυτό, η 2D συνάρτηση που δηµιουργείται µε την υπέρθεση όλων των προβολών που λαµβάνονται διαδοχικά κατά την ακτινική κατεύθυνση λέγεται Ηµιτονόγραµµα 10
11 Ηµιτονόγραµµα Αντικείµενο προς απεικόνιση Ο ανιχνευτής περιστρέφεται γύρω από το αντικείµενο Σε κάθε γωνία ο ανιχνευτής συλλέγει διαφορετική πληροφορία Η εκάστοτε 3D 3 προβολή εξαρτάται από τη σχετική θέση ανιχνευτή-αντικειµένου αντικειµένου Σε ένα εγκάρσιο επίπεδο (2D) η πληροφορία προέρχεται από την τοµή κάθε 3D προβολής Προβολές στις 0,, 30,, 60,, 90, 120,, 150,, 180, και 210. Σηµεία που χρησιµοποιούνται στο ηµιτονόγραµµα 11
12 Ηµιτονόγραµµα Η γραφική απεικόνιση όλων των τοµών αυτών συναρτήσει της γωνίας δίνει το ηµιτονόγραµµα της εικόνας Χρησιµοποιείται ως είσοδος σε όλους τους αλγορίθµους ανακατασκευής Στο σχήµα φαίνεται η διαδοχική κατασκευή του καθώς ο ανιχνευτής συλλέγει πληροφορίες γύρω από ένα αντικείµενο µε 5 γραµµικές (3D) ανοµοιογένειες 12
13 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΜΗΣ FOURIER Ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης f(x,y) Ο µετασχηµατισµός Fourier της προβολής στη διεύθυνση φ : S ( ϕ, ω ) Το απλούστερο παράδειγµα για το ΘΤF αντιστοιχεί στην προβολή φ=0 F ( u,0) = = + P( ϕ = + + Γενικά αποδεικνύεται : S ( ϕ, ω ) = 0, x) e F ( u, v) = f ( x, y) e j 2πux j 2 ω t = P( ϕ, t) e π dt j 2πux dx dx f ( x, dy F ( ω cos ϕ, ω sin ϕ ) = = y) e + F ( u,0) = + + j 2π + S ( ϕ = f ( x, ( ux + vy ) y) e dx 0, u) dy f ( x, y) dy e j 2π ω j 2πux dx ( x cos ϕ + y sin ϕ ) dx dy 13
14 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΜΗΣ FOURIER φ φ Ο µετασχηµατισµός Fourier µιας παράλληλης προβολής µιας εικόνας f(x,y) που λαµβάνεται υπό γωνία φ δίνει µια τοµή του δισδιάστατου µετασχηµατισµού F(u,v), που σχηµατίζει γωνία φ µε τον u άξονα. Ο µετασχηµατισµός Fourier της προβολής P(φ,t) δίνει τις τιµές του F(u,v) κατά µήκος της ευθείας ΒΒ 14
15 ιαδικασία ανακατασκευής εικόνας από προβολές # Μέτρηση των προβολών P(φ,t) σε διευθύνσεις φ 1, φ 2,..., φ k # Υπολογισµός µετασχηµατισµού Fourier S( ϕ, ω) καθεµιάς από αυτές που αντιστοιχεί στο µετασχηµατισµό Fourier F(u,v) κατά µήκος ακτινικών ευθειών. Για άπειρο αριθµό προβολών προκύπτουν οι τιµές F(u,v) σε όλα τα σηµεία στο επίπεδο uv # Αντίστροφος δισδιάστατος µετασχηµατισµός Fourier για τον προσδιορισµό της χωρικής κατανοµής του αντικειµένου f ( x, y) + + F ( u, v) e j 2π ( ux + vy ) # Χρήση ΙFFT για υπολογιστικούς λόγους. Αν A A A < x <, < y < m = N / 2 n = N / 2 1 m n f ( x, y) = 2 F (, ) e A A A = m = N / 2 n = N / 2 A 2 j 2π du dv (( m / A) x + ( n / A ) y ) # Χωρική διακριτική ικανότητα καθορίζεται από το πλήθος N των συνιστωσών Fourier 15
16 Συνιστώσες Fourier Oµετασχηµατισµός Fourier επιτρέπει την προσέγγιση της συνάρτησης µε το άθροισµα ενός αριθµού ηµιτονοειδών συναρτήσεων Τα ηµίτονα χαµηλής συχνότητας και µεγάλου πλάτους προσεγγίζουν γρήγορα το γενικό σχήµα της συνάρτησης Τα ηµίτονα υψηλής συχνότητας και µικρού πλάτους δίνουν τις λεπτοµέρειες 16
17 ιαδικασία ανακατασκευής εικόνας από προβολές # Για τον υπολογισµό του ΙFFT Ι απαιτείται η γνώση των συντελεστών Fourier F(m/A,n/A) σε σηµεία που κατανέµονται σε διάταξη τετραγωνικού πλέγµατος # Η µέτρηση των προβολών ενός αντικειµένου σε πολλές γωνίες παρέχει εκτιµήσεις του µετασχηµατισµού Fourier του αντικειµένου σε διακριτές θέσεις κατά µήκος ακτινικών γραµµών. # Απαιτείται κάποιου είδους παρεµβολή των ακτινικών σηµείων, ώστε να βρεθούν τα σηµεία του τετραγωνικού πλέγµατος # Το πρόβληµα επιλύεται συνήθως µε γραµµική παρεµβολή # Μεγαλύτερο σφάλµα παρεµβολής για µεγάλες ακτινικές αποστάσεις Μεγαλύτερο σφάλµα ανακατασκευής για υψηλές συχνότητες 17
18 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Επίδραση του πλήθους των προβολών στην κάλυψη του χώρου Fourier και στη διακριτική ικανότητα 8 προβολές 180 προβολές 18
19 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΕΙΚΟΝΑΣ Αν και το ΘΤF παρέχει ένα απλό µοντέλο της τοµογραφικής διαδικασίας, λόγοι πρακτικής υλοποίησης απαιτούν διαφορετική προσέγγιση Αλγόριθµοι ανακατασκευής # Απλή Οπισθοπροβολή (Simple Backprojection) # Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή (Filtered Backprojection) # Eπαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής 19
20 Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Ποιοτική ερµηνεία Η µοναδική κοινή πληροφορία που περιέχεται στους MF δύο διαφορετικών προβολών είναι ο όρος dc. Η διαδικασία µέτρησης µιας προβολής µπορεί να θεωρηθεί ως διαδικασία 2D φιλτραρίσµατος Μια προβολή και ο ΜF αυτής 2D ΜF του αντικειµένου κατά µήκος ακτινικής γραµµής Αν οι τιµές του MF τοποθετηθούν στη σωστή θέση τους στο 2D χώρο Fourier του αντικειµένου, µπορεί να προκύψει µια απλή (αλλά σχετικά παραµορφωµένη) ανακατασκευή, υποθέτοντας µηδενικές τις υπόλοιπες προβολές και υπολογίζοντας το 2D αντίστροφο ΜF Αυτή η ανακατασκευή ισοδυναµεί µε πολλαπλασιασµό του αυθεντικού ΜF του αντικειµένου µε απλό τετραγωνικό φίλτρο 20
21 Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Ποιοτική ερµηνεία Απαίτηση από οποιονδήποτε απλό αλγόριθµο ανακατασκευής: Άθροιση προβολών του αντικειµένου φιλτραρισµένων µε φίλτρα σχήµατος σφήνας. Η άθροιση µπορεί να γίνει είτε στο χώρο Fourier ή στον πραγµατικό χώρο. Η άθροιση στον πραγµατικό χώρο συνιστά τη διαδικασία οπισθοπροβολής. Ο απλούστερος τρόπος φιλτραρίσµατος αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό του ΜF S(φ,ω) της προβολής µε το πλάτος της σφήνας στη συγκεκριµένη συχνότητα. Αν υπάρχουν k προβολές σε 180 o, τότε σε συγκεκριµένη συχνότητα ω, κάθε σφήνα θα έχει πλάτος 2π ω /k Η τελική ανακατασκευή προκύπτει από την άθροιση των 2D αντίστροφων µετασχηµατισµών Fourier κάθε φιλτραρισµένης προβολής 21
22 Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Βήµατα Άθροιση για καθεµιά από τις k γωνίες µεταξύ 0 και 180 o Μέτρηση της προβολής P(φ,t) Υπολογισµός ΜF, S(φ,ω) Πολλαπλασιασµός µε τη συνάρτηση βαρύτητας 2π ω /k Άθροιση στο χώρο της εικόνας των 2D αντίστροφων µετασχηµατισµών Fourier κάθε φιλτραρισµένης προβολής (οπισθοπροβολή) 22
23 Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή : Μαθηµατική ερµηνεία + + ( ) j 2π ux + vy Αντίστροφος ΜF f ( x, y) = F ( u, v) e du dv Αλλαγή ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων (u,v) µε σύστηµα πολικών συντεταγµένων (ω,φ): u=ωcosφ, v=ωsinφ, οπότε dudv=ωdωdφ f ( x, π π + y) = 2π + F ( ω, ϕ ) e F ( ω, ϕ ) e j 2πω F ( ω, ϕ + π ) e ( x cos ϕ + y sin ϕ ) j 2πω j 2πω ( x cos ϕ + y sin ϕ ) ω dω dϕ ( x cos( ϕ + π ) + y sin( ϕ + π ) ) ωdω dϕ = ω dω dϕ 23
24 Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή: Μαθηµατική ερµηνεία Με χρήση της ιδιότητας προκύπτει π + πω f x y j t F ω ϕ ω e dω dϕ όπου 2 (, ) = (, ) t = x cos ϕ + y sin ϕ 0 Αντικατάσταση µε το ΜF S(φ,ω) της προβολής (ΘΤF) π + πω f x y j t S ϕ ω ω e dω dϕ 2 (, ) = (, ) 0 Εισάγοντας την έννοια της φιλτραρισµένης προβολής Q ( ϕ, t) προκύπτει + j 2 = S ϕ ω ω e πω t (, ) dω π f ( x, y) = Q ( ϕ, x cos ϕ + F ( ω, ϕ + π ) = F ( ω, ϕ ) y sin ϕ ) dϕ 0 24
25 Οπισθοπροβολή π f ( x, y) = Q ( ϕ, x cos ϕ + 0 y sin ϕ ) dϕ Σε κάθε σηµείο (x,y) της εικόνας αντιστοιχεί µια τιµή t=xcosφ+ysinφ για συγκεκριµένη τιµή φ και η φιλτραρισµένη προβολή Q(φ,t) συνεισφέρει την τιµή της στη θέση t. Για κάθε γωνία φ, η τιµή t είναι ίδια για όλα τα σηµεία (x,y) κατά µήκος της τοµογραφικής ακτίνας (φ,t). Οπότε η φιλτραρισµένη προβολή έχει την ίδια συνεισφορά στην ανακατασκευή για όλα αυτά τα σηµεία (διαδικασία οπισθοπροβολής). 25
26 Απλή Οπισθοπροβολή Πολλές φορές χρησιµοποιούνται απευθείας τα δεδοµένα προβολών, χωρίς προηγουµένως να φιλτραριστούν Η εικόνα ανακατασκευάζεται οπισθοπροβάλλοντας κάθε προβολή P(φ j,t) κατά µήκος της τοµογραφικής ακτίνας (φ j,t) και αθροίζοντας για όλες τις κατευθύνσεις φ j f m ( x, y) = P( ϕ, x cosϕ + y sinϕ ) ϕ j= 1 j j j j 26
27 Απλή Οπισθοπροβολή Οκτώ προβολές δύο απλών σχηµάτων Η πληροφορία σε κάθε γωνία είναι διαφορετική 27
28 Απλή Οπισθοπροβολή Οπισθοπροβάλλοντας κάθε προβολή λαµβάνεται µία ικανοποιητική εκτίµηση του αντικειµένου ηµιουργία ακτινικών τεχνικών σφαλµάτων (star artifacts) Αυξάνοντας το πλήθος των προβολών, ο θόρυβος κατανέµεται οµοιόµορφα στην εικόνα και αναδεικνύεται το πραγµατικό αντικείµενο 28
29 Απλή Οπισθοπροβολή # Η ανακατασκευασµένη εικόνα αποτελεί µία πρώτη προσέγγιση της πραγµατικής # Οι αιχµές της εικόνας δεν είναι σαφώς καθορισµένες # Σε περιοχές οµοιοµορφίας της εικόνας, η ανακατασκευασµένη εικόνα παρουσιάζει µη πραγµατική ενίσχυση προς το κέντρο. # Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή βελτιώνει την ποιότητα της εικόνας 30
30 Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή: Υπολογιστική υλοποίηση Η εξίσωση ανακατασκευής Φιλτραρισµένη προβολή f ( x, y) = Q ( ϕ, x cos ϕ + Q ( ϕ, t) Η ολοκλήρωση θεωρητικά πρέπει να εκτείνεται σε όλες τις χωρικές συχνότητες ω. Ωστόσο στην πράξη η ενέργεια που περιέχεται στο ΜF συνιστωσών υψηλής συχνότητας είναι πρακτικά αµελητέα Οι προβολές µπορεί να θεωρηθούν ζωνοδιαβατές. Αν W είναι συχνότητα µεγαλύτερη από τη µέγιστη συχνότητα του φάσµατος Fourier των προβολών, µπορεί να γίνει δειγµατοληψία των προβολών µε βήµα Τ=1/2W, χωρίς την εισαγωγή σφάλµατος. π 0 + y sin ϕ ) dϕ j 2 = S ϕ ω ω e πω t (, ) dω 31
31 32 Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή: Υπολογιστική υλοποίηση είγµατα προβολών P(φ,mT), m=-n/2,,0,,n/2-1 Χρήση FFT για την προσέγγιση του ΜF S(φ,ω) Ψηφιακή εκτίµηση φιλτραρισµένης προβολής Q(φ,t) ( ) = = = = 1 2 / 2 / / 2 ) 2, ( 2 1 ) 2, ( ), ( N k N k N mk j e W k P W N W m S S π ϕ ϕ ω ϕ t N W m j m W W t j e N W m N W m S N W d e S t Q ) / ( ) 2, ( 2 ), ( ), ( π πω ϕ ω ω ω ϕ ϕ = = + ) / ( 2 2 ) 2, ( 2 ) 2, ( N mk j m e N W m N W m S N W W k Q π ϕ ϕ =
32 FBP: Ιδανικό φίλτρο Η(ω)= ω Το φίλτρο ενισχύει τις υψηλές συχνότητες 33
33 Τροποποίηση Φίλτρου παράθυρο Φάσµα συχνοτήτων των προβολών Οι χαµηλές συχνότητες έχουν µεγάλα πλάτη και αντίστροφα Ο θόρυβος είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένος σε όλες τις συχνότητες Στις υψηλές συχνότητες είναι ισχυρότερος του σήµατος Το φίλτρο Η(ω)= ω ενισχύει τις υψηλές συχνότητες και άρα το θόρυβο Πολλαπλασιασµός του φίλτρου µε µία συνάρτηση παραθύρου που αποκόπτει τις υψηλές συχνότητες (τροποποιηµένο φίλτρο Η (ω)) 34
34 Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή Εργασία στο πεδίο της συχνότητας......όπου το φιλτράρισµα των προβολών (συνέλιξη µε κατάλληλο φίλτρο στον πραγµατικό χώρο) µεταφράζεται σε απλό πολλαπλασιασµό στο χώρο Fourier Σκοπός του φιλτραρίσµατος είναι η τροποποίηση της προβολής, ώστε κατά τη διαδικασία της οπισθοπροβολής οι αρνητικοί λοβοί του φίλτρου να εξουδετερώνουν τα σφάλµατα της οπισθοπροβολής των πραγµατικών δεδοµένων Συνέλιξη Απλή Φιλτραρισµένη Οπισθοπροβολή 35
35 ιαδικασία Φιλτραρισµένης Οπισθοπροβολής # Εφαρµογή κατάλληλου φίλτρου στις προβολές. " Μετασχηµατισµός Fourier των προβολών µε χρήση µεθόδου FFT " Πολ/σµός µε τη συνάρτηση τροποποιηµένου φίλτρου Η (ω) " Αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier των φιλτραρισµένων δεδοµένων # Οπισθοπροβολή των φιλτραρισµένων προβολών για τη δηµιουργία της εικόνας. 36
36 Πλεονεκτήµατα FBP σε σχέση µε σχήµατα παρεµβολής στο χώρο της συχνότητας 1. Η διαδικασία ανακατασκευής µπορεί να ξεκινήσει αµέσως µετά τη συλλογή των µετρήσεων της πρώτης προβολής Επιτάχυνση διαδικασίας ανακατασκευής Ελάττωση όγκου δεδοµένων που πρέπει να αποθηκεύονται σε κάθε στιγµή 2. ιαδικασία οπισθοπροβολής στον πραγµατικό χώρο Εισαγωγή µικρότερου σφάλµατος για την παρεµβολή δεδοµένων στον πραγµατικό χώρο σε σχέση µε την απευθείας παρεµβολή δεδοµένων στο χώρο Fourier 37
37 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ # Τεχνικό σφάλµα (Artifact) : Ατέλεια ανακατασκευής που είναι εµφανώς ορατή στην εικόνα # Σφάλµα ανακατασκευής (reconstruction error) : απόκλιση της υπολογισθείσας τιµής από την αναµενόµενη. # Επαρκής όγκος πληροφοριών για ανακατασκευή υψηλής ακρίβειας µε χρήση µεγάλου αριθµού προβολών και µετρήσεων ανά προβολή. 38
38 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Επίδραση του πλήθους των µετρήσεων ανά προβολή 180 προβολές Μερήσεις ανά προβολή a)25 b)49 c)75 d)99 Εικόνα 100x100 pixels Σε κάθε προβολή ο απαιτούµενος αριθµός γραµµικών ολοκληρωµάτων : 141 Λιγότερες µετρήσεις : Υποβάθµιση της διακριτικής ικανότητας 39
39 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Επίδραση της κάλυψης του αντικειµένου µέσω των µετρούµενων προβολών Ανοµοιόµορφα κατανεµηµένες γωνίες προβολής a) 150 ο κάλυψη b) 120 ο κάλυψη c) 90 ο κάλυψη d) 90 ο διαφορετική κάλυψη 40
40 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Επίδραση του πλήθους των προβολών 8 προβολές 180 προβολές 41
41 Φιλτραρισµένη οπισθοπροβολή: a) 1 όψη (προβολή) b) ) 2 όψεις c) 4 όψεις d) 8 όψεις e) 16 όψεις f) ) 32 όψεις g) ) 180 όψεις 42
42 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ # Η διαδικασία της ανακατασκευής ενισχύει την επίδραση του θορύβου στις προβολές. # Οι στατιστικές διακυµάνσεις διαφέρουν τυχαία από σηµείο σε σηµείο και συνεπώς παρουσιάζονται στα δεδοµένα υψηλών συχνοτήτων. # Η επιβολή φίλτρου για τον περιορισµό του υψηλής συχνότητας θορύβου στα δεδοµένα προβολών µειώνει τις διακυµάνσεις του θορύβου στην εικόνα αλλά συγχρόνως χάνονται και τα υψηλής συχνότητας δεδοµένα π.χ. περιγράµµατα, ακµές 43
43 ΑΤΕΛΕΙΕΣ ΣΤΙΣ ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Χρησιµοποιούµενα Φίλτρα 44
44 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής # Το πρόβληµα της επίλυσης ως προς την f(x,y) αντιµετωπίζεται ως µία οµάδα εξισώσεων που προκύπτουν από τα ολοκληρώµατα κατά µήκος των τοµογραφικών ακτίνων. # Ο αριθµός των αγνώστων ισούται µε τον αριθµό των pixels της εικόνας της τοµής. # Ο αριθµός των εξισώσεων ισούται µε τον αριθµό των ολοκληρωµάτων κατά µήκος των τοµογραφικών ακτίνων επί τον αριθµό των όψεων (προβολών). # Η λύση βασίζεται σε επαναληπτικές µεθόδους και στατιστικά κριτήρια. 45
45 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής # Αρχική εκτίµηση της χωρικής συνάρτησης κατανοµής της φυσικής ποσότητας f(x,y) βάσει της οποίας εκτιµάται ένα σύνολο δεδοµένων προβολής. # Η εκτίµηση των δεδοµένων συγκρίνεται µε τις µετρήσεις στις ίδιες γωνίες προβολής και υπολογίζονται οι διαφορές τους. # Με την εφαρµογή αλγορίθµων βασισµένων σε ειδικά στατιστικά κριτήρια (Μinimum Μean Square Error, Maximum Entropy), οι διαφορές χρησιµοποιούνται για τη διόρθωση της αρχικής εκτίµησης της εικόνας. # Η διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου η διαφορά της εκτίµησης και των µετρήσεων να γίνει πολύ µικρή. 46
46 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής # Ανάγκη εκτεταµένων υπολογισµών και µεγάλης χρονικής διάρκειας επεξεργασίας. # Χρησιµοποίηση εκ των προτέρων γνωστών πληροφοριών ώστε να είναι εφικτή η παραγωγή αποδεκτών εικόνων από περιορισµένο αριθµό όψεων σε περιπτώσεις όπου η συλλογή των δεδοµένων δεν είναι εφικτή λόγω φυσικών περιορισµών. 47
47 ιατύπωση αλγεβρικού προβλήµατος Έστω: µια περιοχή διαστάσεων 3x3 pixels 3 ανιχνευτές που περιστρέφονται γύρω από την περιοχή οι διαστάσεις των ανιχνευτών καθορίζουν το µέγεθος του pixel H τιµή των ανιχνευτών d 1, d 2, και d 3 στις 0 ο είναι: Αντίστοιχα στις 90 ο είναι: Σε µία ενδιάµεση γωνία θ κάθε ανιχνευτής βλέπει ένα τµήµα των pixels. Ορίζοντας ως s θ d,p το ποσοστό του εµβαδού του pixel p, p που ο στοιχειώδης ανιχνευτής βλέπει υπό γωνία θ, τότε για τον ανιχνευτή d 2 στη γωνία θ ισχύει: 48
48 ιατύπωση αλγεβρικού προβλήµατος H γενική εξίσωση που δίνει την τιµή σε ένα στοιχειώδη ανιχνευτή d k υπό γωνία θ, δίνεται από τη σχέση: Γενικά για D ανιχνευτές και Ν θ γωνίες προβολών, µπορούν να σχηµατιστούν Dx Ν θ εξισώσεις. Στο παράδειγµα οι άγνωστοι είναι 9 (pixels), και για 36 γωνίες περιστροφής οι εξισώσεις 3x36= =108. Θεωρητικά το πρόβληµα υπολογισµού των τιµών στα pixels της εικόνας µπορεί να λυθεί αλγεβρικά. Είναι συνήθως υπερκαθορισµένο Η µοναδικότητα της λύσης δεν είναι εξασφαλισµένη Οι ι άγνωστοι προσεγγίζονται συνήθως µε κάποια αλγεβρική επαναληπτική µέθοδο. 49
49 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής w w f f w w Ν: πλήθος των pixels w M 1 f1 + w M 2 f w MN f N = d M Μ: πλήθος των γραµµικών ολοκληρωµάτων W: πίνακας των στατιστικών βαρών που αντιστοιχούν στη συνεισφορά κάθε pixel σε κάθε ακτίνα f: οι τιµές των pixels d: οι µετρήσεις f f w w 1N 2 N f f N N = = d 1 d 2 Κάθε σύνολο τιµών υπολογίζεται από τις προηγούµενες βάσει της σχέσης: Όπου r w = i r f ( i ) = r f ( wi1, wi 2,..., win r ( i 1) ( i 1) ( f wi d i ) ) r w i r r w i r w i 51
50 52 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής Ή ισοδύναµα Όπου ij N k ik i i i j i j i j w w q d f f f = = = 1 2 1) ( ) ( ) ( = = = N k ik i k i i i w f w f q 1 1) ( 1) r ( r
51 Γεωµετρική ερµηνεία f 2 G H, αρχική εκτίµηση w = 21 f1 + w22 f2 d2 f (2) f (1) f (0) f 1 w = 11 f1 + w12 f2 d1 53
52 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι Ανακατασκευής Αλγεβρική Τεχνική Ανακατασκευής Τα στοιχεία w ik παίρνουν τιµές 1 ή 0, ανάλογα µε το αν το κέντρο του k-pixel βρίσκεται στην i-τοµογραφική ακτίνα στην οποία αντιστοιχεί η i- εξίσωση Η διόρθωση στο j- pixel από την i- εξίσωση γράφεται f ( i ) j = d q N i i i όπου Ν i το πλήθος των pixels που συµµετέχουν στην i-ακτίνα 54
53 Επαναληπτικοί αλγόριθµοι µεγίστης πιθανοφάνειας Ο αλγόριθµος Μεγιστοποίησης Προσδοκώµενης Πιθανοφάνειας «Maximum Likelihood Expectation Maximization»» (ML( ML-EM) 1979, L. Shepp Υ. Vardi Εφαρµόζεται κυρίως στην τοµογραφία εκποµπής (PET, SPECT) Το µαθηµατικό µοντέλο λαµβάνει υπόψη τη στατιστική φύση της εκποµπής ακτινοβολίας από µία πηγή Σε κάθε επανάληψη υπάρχει ένα βήµα πρόβλεψης (expectation), το οποίο χρησιµοποιεί τις τρέχουσες τιµές των pixels Ακολουθείται από ένα βήµα µέγιστης πιθανοφάνειας, το οποίο και τις ανανεώνει Το επαναληπτικό βήµα δίνεται από τη σχέση: I k + 1 = I k J p j = 1 i ij d p j k ijii όπου... 56
54 Maximum Likelihood Expectation Maximization (ML-EM) Ι : το τρέχον pixel Ι k+1 : το τρέχον pixel στην k+1 επανάληψη του αλγορίθµου d j : η πληροφορία στον ανιχνευτη j ij : η πιθανότητα ο ανιχνευτής j να «βλέπει» το pixel i p ij Παρατηρήσεις I k + 1 = I k J p j = 1 i ij d p j k ijii Το j παίρνει τιµές από 1 έως (## ανιχνευτών)x(#γωνιών), δηλαδή ο κάθε ανιχνευτής σε άλλη γωνία θεωρείται ως άλλος ανιχνευτής (εκτός αν η ανιχνευτική διάταξη δεν περιστρέφεται και υπάρχει δακτύλιος) Η πιθανότητα µε την οποία το pixel i είναι «ορατό» από τον ανιχνευτή j αποτελεί το στοιχείο p ij του πίνακα πιθανοτήτων του συστήµατος Η αρχική εικόνα είναι οµοιόµορφη, ΜΗ µηδενική και θετική Η εικόνα που προκύπτει από κάθε επανάληψη χρησιµοποιείται ως είσοδος στην επόµενη 57
55 Maximum Likelihood Expectation Maximization (ML-EM) Για τον ανιχνευτή 3 στη γωνία θ ισχύει: d θ 3=I 1 *P 1,3 +I 2 *P 2,3 + I 3 *P 3,3+ + I 64 *P 64,3 Οι περισσότεροι συντελεστές είναι µηδενικοί, αφού κάθε ανιχνευτής «βλέπει» λίγα pixels σε κάθε γωνία Ο πίνακας έχει µεγάλο µέγεθος (έως και 100ΜΒ για εικόνα 64x64 x64) Μέχρι πρόσφατα δεν ήταν δυνατή η αποθήκευσή του και κάθε στοιχείο του υπολογιζόταν κατά την εκτέλεση του αλγορίθµου Τα στοιχεία του δεν υπολογίζονταν γεωµετρικά, αλλά προσεγγιστικά Με σύγχρονους υπολογιστές είναι δυνατή η αποθήκευσή του στη µνήµη και η ανάκληση των στοιχείων του σε πραγµατικό χρόνο 58
56 Maximum Likelihood Expectation Maximization (ML-EM) Ανακατασκευή εικόνας διαστάσεων 40x40 Ακριβής ανακατασκευή µετά από 100 επαναλήψεις Χρόνος ανακατασκευής ~120 sec (Pentium III, 700MHz) Χρησιµοποιούνται δεδοµένα προσοµοίωσης 59
57 Επιτάχυνση ανακατασκευής Ένα µειονέκτηµα του ML-EM είναι ο µεγάλος χρόνος ανακατασκευής Αυξάνει σηµαντικά για εικόνες διαστάσεων 64x64 ή 128x128 κ.λπ λπ. εν είναι δυνατή η κλινική εφαρµογή Τεχνικές παράλληλης επεξεργασίας. Κάθε pixel ανανεώνεται ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα. Εποµένως η παραλληλοποίηση είναι εύκολη Αλγόριθµος OSEM 60
58 Ordered Subsets Expectation Maximization (OSEM) (1994, Hudson και Larkin) Βασίζεται στην ίδια ιδέα µε τον ML-EM EM, αλλά συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα Χωρίζει το σύνολο των προβολών σε υποσύνολα (subsets) και εφαρµόζει τον MLA σε καθένα από αυτά Έστω 36 προβολές στις 0 ο, 10 ο, 20 ο, ο Χωρίζονται σε π.χ 6 υποσύνολα {0 ο, 10 ο,..., 50 ο }, {60 ο, 70 ο,..., 110 ο },... {300 ο, 310 ο,..., 350 ο } Μία επανάληψη του ML-EM EM, εκτελείται για το πρώτο υποσύνολο Η εικόνα που προκύπτει χρησιµοποιείται ως είσοδος για την ανακατασκευή στο εποµένο υποσύνολο κ.ο.κ. Μία πλήρης επανάληψη (level) ολοκληρώνεται µόλις χρησιµοποιηθούν όλα τα υποσύνολα I k + 1 = S ( n) k j = 1 όπου S (n) περιέχει όλες τις προβολές του υποσυνόλου n I p i ij d p j k ijii 61
59 Ordered Subsets Expectation Maximization (OSEM) I k + 1 = I k S ( n) p j = 1 i ij d p j k ijii Τα υποσύνολα µπορεί να είναι διαδοχικά, επικαλυπτόµενα ή µη επικαλυπτόµενα Η επιλογή τους εξαρτάται και από το είδος της απεικόνισης (PET, SPECT) και τη γεωµετρία του ανιχνευτή Ο αριθµός τους επηρεάζει το χρόνο ανακατασκευής Αποδεικνύεται και µαθηµατικά ότι οι δύο αλγόριθµοι συγκλίνουν στην ίδια λύση Σταδιακά ο OSEM χρησιµοποιείται στην κλινική πράξη! 62
60 Σύγκριση ανακατασκευής µε ML-EM και OSEM ML-EM 100 iterations 120sec OSEM 4 subsets & 8 iterations 20sec Πρακτικά δεν εµφανίζεται διαφορά στην ποιότητα της ανακατασκευαζόµενης εικόνας 63
61 Σθεναρότητα επαναληπτικών αλγορίθµων στο θόρυβο Στις εξετάσεις Πυρηνικής Ιατρικής (PET, SPECT),, ο θόρυβος είναι ανάλογος προς την τετραγωνική ρίζα των ανιχνευοµένων φωτονίων Ο FBP ενισχύει το θόρυβο (κυρίως σε PET, SPECT) Οι ML-EM και OSEM,, είναι ανθεκτικότεροι απέναντι στο θόρυβο Ανακατασκευή µε δεδοµένα προσοµοίωσης στα οποία έχει προστεθεί θόρυβος FBP ML-EM (50 iterations) Noise level 5% 10% 25% 64
62 Σθεναρότητα επαναληπτικών αλγορίθµων στο θόρυβο Ανακατασκευασµένες εικόνες και γραµµικές προβολές FBP ML-EM/OSEM sinogram εικόνα 0% 5% 10% 25% 40% 50% ποσοστά θορύβου 65
63 Ενίσχυση θορύβου για µεγάλο πλήθος επαναλήψεων Όταν αυξηθεί υπερβολικά το πλήθος των επαναλήψεων, η ποιότητα της ς εικόνας δεν βελτιώνεται αλλά αντιθέτως χειροτερεύει Ο αλγόριθµος συγκλίνει σε µη αποδεκτές λύσεις Η διαδικασία βελτιστοποίησης αντιµετωπίζει γεγονότα οφειλόµενα σε θόρυβο, ως πραγµατικές πηγές και συγκλίνει σε µη αποδεκτές λύσεις επαναλήψεις Ανακατασκευή οµοιώµατος διακεκριµένων περιοχών µε θόρυβο 10% µε χρήση του OSEM µε 6 υποσύνολα. Παρουσία θορύβου η ποιότητα της εικόνας χειροτερεύει µετά τις 20 πρώτες επαναλήψεις Αν και έχουν προταθεί αρκετά κριτήρια τερµατισµού του αλγορίθµου,, στην πράξη οι επαναλήψεις σταµατάνε µόλις (εµπειρικά) η ποιότητα της εικόνας είναι ικανοποιητική 66
64 Σύγκριση συνελικτικών & επαναληπτικών αλγορίθµων Χαρακτηριστικά: Συνελικτικοί Μετασχηµατισµός Fourier Filtering /Processing Αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier ιαδικασία οπισθοπροβολής Πλεονεκτήµατα: Ανακατασκευή σε πραγµατικό χρόνο Μειονεκτήµατα: Ακτινικά παράσιτα (star artifacts) Ευαισθησία στο θόρυβο Ευαισθησία στο χαµηλό αριθµό δεδοµένων και τον πεπερασµένο αριθµό προβολών Περαιτέρω επεξεργασία για επιπλέον διορθώσεις Επαναληπτικοί Χαρακτηριστικά: Η εικόνα διακριτοποιείται σε pixels Η τιµή σε κάθε pixel θεωρείται ως άγνωστη µεταβλητή Σύστηµα γραµµικών εξισώσεων, το οποίο εξαρτάται από τη φυσική και τη γεωµετρία του συστήµατος Λύση µε επαναληπτικό αλγόριθµο Πλεονεκτήµατα: Ανθεκτικότητα στο θόρυβο των προβολών Ενσωµάτωση φυσικών διεργασιών Μειονεκτήµατα: Μεγάλος χρόνος ανακατασκευής 67
Ανακατασκευή εικόνας από προβολές
Ανακατασκευή εικόνας από προβολές Μέθοδος ανακατασκευής με χρήση χαρακτηριστικών δειγμάτων προβολής Αναστάσιος Κεσίδης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός Θέματα που θα αναπτυχθούν Εισαγωγή στις τομογραφικές μεθόδους
Διαβάστε περισσότεραΣημαντικές χρονολογίες στην εξέλιξη της Υπολογιστικής Τομογραφίας
Σημαντικές χρονολογίες στην εξέλιξη της Υπολογιστικής Τομογραφίας 1924 - μαθηματική θεωρία τομογραφικής ανακατασκευής δεδομένων (Johann Radon) 1930 - κλασσική τομογραφία (A. Vallebona) 1963 - θεωρητική
Διαβάστε περισσότερα(Computed Tomography, CT)
Υπολογιστική Τοµογραφία (Computed Tomography, CT) Κωσταρίδου Ελένη Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Τµήµα Ιατρικής, Πανεπιστήµιο Πατρών Περιεχόµενα µαθήµατος Φυσικό
Διαβάστε περισσότεραΤοµογραφική Ανακατασκευή εικόνας. Κ. ελήµπασης
Τοµογραφική Ανακατασκευή εικόνας 1 htt://www.dsguide.com/ch25/5.htm 2 htts://engineering.urdue.edu/~malcolm/ct/ 3 Βασικές έννοιες της τοµογραφικής ανακατασκευής Κάθε απεικονιστικό σύστηµα µετρά την τιµή
Διαβάστε περισσότεραΤοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµογραφία Μετασχηµατισµός Radon Βιοϊατρική Τεχνολογία ιδάσκων: Σεργιάδης Γεώργιος Τοµογραφία
Διαβάστε περισσότεραΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ. Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών
ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Ευάγγελος Παντελής Επ. Καθ. Ιατρικής Φυσικής Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Ιατρική Σχολή Αθηνών ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Διαγνωστικές και θεραπευτικές εφαρμογές ακτινοβολιών : Κεφάλαιο 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Επεξεργασία στο πεδίο της συχνότητας Φασματικές τεχνικές Γενικά Τεχνικές αναπαράστασης και ανάλυσης
Διαβάστε περισσότεραΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ. Κ. Νικήτα, Ph.D., M.D. Αναπλ. Καθηγήτρια. BioSim. Εργ. Βιοϊατρικών Προσοµοιώσεων & Απεικονιστικής Τεχνολογίας
ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Κ. Νικήτα, Ph.D., M.D. Αναπλ. Καθηγήτρια Εισαγωγή! Καθιερωµένη µέθοδος ιατρικής απεικόνισης, που προσφέρει υψηλής ποιότητας εγκάρσιες εικόνες των εσωτερικών δοµών του σώµατος.! Βασίζεται
Διαβάστε περισσότερα4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι
Διαβάστε περισσότεραHY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς
HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς 9. Υπολογιστική τοµογραφία και 3 απεικόνιση-περίληψη/συµπεράσµατα Για την Ιστορία Nobel prizes Roentgen (1901): Discovery of X-rays X Hounsfield & Cormack
Διαβάστε περισσότεραHY 571 - Ιατρική Απεικόνιση. ιδάσκων: Kώστας Μαριάς
HY 571 - Ιατρική Απεικόνιση ιδάσκων: Kώστας Μαριάς 7. Υπολογιστική τοµογραφία Η ανάγκη απεικόνισης στις 3- ιαστάσεις Στην κλασική ακτινολογία η τρισδιάστατη ανθρώπινη ανατοµία προβάλλεται πάνω στο ακτινογραφικό
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Παντελής Καραίσκος Αν. Καθ. Ιατρικής Φυσικής
ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Παντελής Καραίσκος Αν. Καθ. Ιατρικής Φυσικής e-mail: pkaraisk@med.uoa.gr ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Διαγνωστικές και θεραπευτικές εφαρμογές ακτινοβολιών : Κεφάλαιο 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ακριβής και έγκαιρη
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 10 ο. Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1
Μάθημα 10 ο Περιγραφή Σχήματος ΤΜΗΥΠ / ΕΕΣΤ 1 Εισαγωγή (1) Η περιγραφή μίας περιοχής μπορεί να γίνει: Με βάση τα εξωτερικά χαρακτηριστικά (ακμές, όρια). Αυτή η περιγραφή προτιμάται όταν μας ενδιαφέρουν
Διαβάστε περισσότεραΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Παντελής Καραίσκος Καθ. Ιατρικής Φυσικής
ΑΞΟΝΙΚΗ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ Παντελής Καραίσκος Καθ. Ιατρικής Φυσικής e-mail: pkaraisk@med.uoa.gr ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Διαγνωστικές και θεραπευτικές εφαρμογές ακτινοβολιών : Κεφάλαιο 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ακριβής και έγκαιρη
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος του κινουμένου τριάκμου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΣημαντικές χρονολογίες στην εξέλιξη της Υπολογιστικής Τομογραφίας
Σημαντικές χρονολογίες στην εξέλιξη της Υπολογιστικής Τομογραφίας 1924 - μαθηματική θεωρία τομογραφικής ανακατασκευής δεδομένων (Johann Radon) 1930 - κλασσική τομογραφία (A. Vallebona) 1963 - θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: PHYS215 Π. Παπαγιάννης
ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: PHYS215 Π. Παπαγιάννης Αν. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Έμμεσα ιοντίζουσα ακτινοβολία: Πότε ισούται το
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων
Ενότητα 2: Οι Θεµελιώδεις Αρχές των Ψηφιακών Εικόνων Δειγµατοληψία και Κβαντισµός: Μια εικόνα (µπορεί να) είναι συνεχής τόσο ως προς τις συντεταγµένες x, y όσο και ως προς το πλάτος. Για να τη µετατρέψουµε
Διαβάστε περισσότερα8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.
1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 2
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 2 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσιάση πλάτους
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας. Παρουσίαση Νο. 3. Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2
Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2015-16 Παρουσίαση Νο. 3 Δισδιάστατα σήματα και συστήματα #2 Πληροφορία πλάτους-φάσης (1/4) Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου είναι μιγαδική
Διαβάστε περισσότεραΣυνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών
Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου
ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.
3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού
Διαβάστε περισσότεραΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Κοντάρας Νικόλαος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Σχεδιασμός και Ανάλυση Αλγορίθμων Τομογραφικής Ανακατασκευής σε Ιατρικές
Διαβάστε περισσότεραΙατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας. Βιολογικές επιδράσεις. Ακτινοπροστασία
Ιατρική Φυσική: Δοσιμετρία Ιοντίζουσας Ακτινοβολίας Βιολογικές επιδράσεις Ακτινοπροστασία Π. Παπαγιάννης Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr PHYS215
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής
Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.
ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότερα1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΒ Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11
Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville
Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας. Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα «Γεωχωρικές Τεχνολογίες» Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Εισηγητής Αναστάσιος Κεσίδης Χωρικά φίλτρα Χωρικά φίλτρα Γενικά Σε αντίθεση με τις σημειακές πράξεις και μετασχηματισμούς, στα
Διαβάστε περισσότεραΜε τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:
Διαβάστε περισσότεραΔιαφορικές Εξισώσεις.
Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνων
Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Εικόνα : αναπαράσταση των πραγμάτων Επεξεργασία : βελτίωση, ανάλυση, αντίληψη Βασικές έννοιες και μεθοδολογίες ψηφιακής επεξεργασίας εικόνων Θεμελιώδη θέματα για την περιοχή
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
Διαβάστε περισσότεραPr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Διαβάστε περισσότεραΦίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη
Διαβάστε περισσότεραΜε τη σύμβαση της «κινηματικής αλυσίδας», ο μηχανισμός αποτυπώνεται σε πίνακα παραμέτρων ως εξής:
ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ ΙΙΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Π. Ράλλη & Θηβών 250, 12244 Αθήνα Καθηγητής Γ. Ε. Χαμηλοθώρης αρχείο: θέμα:
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικής Ισχύος Εργαστήριο Υψηλών Τάσεων ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ (Αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 7: Μετατροπή Σήματος από Αναλογική Μορφή σε Ψηφιακή Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετατροπή Αναλογικού Σήματος σε Ψηφιακό Είδη Δειγματοληψίας: Ιδανική
Διαβάστε περισσότερα[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο
Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας
Διαβάστε περισσότεραΠΥΡΗΝΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ SPECT
ΠΥΡΗΝΙΚΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΤΟΜΟΓΡΑΦΙΑ SPECT ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δ. ΚΟΥΤΣΟΥΡΗΣ Εισαγωγή Πυρηνική Ιατρική: διαγνωστικές και θεραπευτικές διαδικασίες που απαιτούν την εισαγωγή ραδιενέργειας στον οργανισμό με ενδοφλέβια ένεση,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή
Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραMAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος
B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoias.weebly.com ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΥπλογιστικός Αξονικός Τοµογράφος
Υπλογιστικός Αξονικός Τοµογράφος Υπολογιστικός Αξονικός Τοµογράφος Η Υπολογιστική Τοµογραφία ή Αξονική Τοµογραφία, έχει διεθνώς επικρατήσει από τα αρχικά των αγγλικών λέξεων Computed Tomography. Θεωρείται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής
Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή
Διαβάστε περισσότεραΕυαισθησία πειράµατος (Signal to noise ratio = S/N) ιάρκεια πειράµατος (signal averaging)) ιάρκεια 1,38 1,11 0,28 5,55. (h) πειράµατος.
Γιατί NMR µε παλµούς; Ευαισθησία πειράµατος (Signal to noise ratio = S/N) ιάρκεια πειράµατος (signal averaging)) Πυρήνας Φυσική αφθονία (%) ν (Hz) Ταχύτητα σάρωσης (Hz/s) Αριθµός σαρώσεων 1 Η 99,985 1000
Διαβάστε περισσότεραΣυστήµατα και Αλγόριθµοι Πολυµέσων
Συστήµατα και Αλγόριθµοι Πολυµέσων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Οµιλία #3: Αρχές Επεξεργασίας Σηµάτων Πολυµέσων 10 Οκτωβρίου 005 Επανάλειψη (1) ειγµατοληψία επανα-δειγµατοληψία Τεχνικές φίλτρων (συνέλειξη)
Διαβάστε περισσότεραΟ μετασχηματισμός Fourier
Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ
ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να
Διαβάστε περισσότερα27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό
ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και
Διαβάστε περισσότεραΔυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014
Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων
ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την
Διαβάστε περισσότεραΡαδιοϊσοτοπική απεικόνιση: Αρχές ποζιτρονικής τοµογραφίας. K. ελήµπασης
Ραδιοϊσοτοπική απεικόνιση: Αρχές ποζιτρονικής τοµογραφίας K. ελήµπασης Ποζιτρονική τοµογραφία Ανήκει στη ραδιοισοτοπική απεικόνιση Μηχανισµός εκποµπής ποζιτρονίου (e + ): Μετατροπή ενός πρωτονίου σε νετρόνιο:
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 4: Φιλτράρισµα στο Πεδίο Συχνοτήτων (ΙΙ)
Ενότητα 4: Φιλτράρισµα στο Πεδίο Συχνοτήτων (ΙΙ) Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης Διδιάστατη Κυκλική Συνέλιξη: 4/0./0 f x, y h x, y = ( ( f m, n h(x m, y n) 523 123 Διδιάστατο Θεώρηµα Συνέλιξης: f x, y h x,
Διαβάστε περισσότεραΠοιότητα Ακτινοδιαγνωστικής Εικόνας
Ποιότητα Ακτινοδιαγνωστικής Εικόνας Γ. Παναγιωτάκης Ε. Κωσταρίδου Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής Τµήµα Ιατρικής, Πανεπιστήµιο Πατρών Περιεχόµενα µαθήµατος Φυσικό υπόβαθρο της ιατρικής απεικόνισης µε ακτίνες
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικός Ορισμός Διδιάστατου Χώρου (R 2 )
Μαθηματικός Ορισμός Διδιάστατου Χώρου (R 2 ) Είναι ένα σύνολο σημείων με συντεταγμένες (x,y) Τα x και y έχουν τις εξής ιδιότητες: Το καθένα από αυτά διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών Είναι ανεξάρτητα
Διαβάστε περισσότεραΑ Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη
Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και
Διαβάστε περισσότερα2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier
2.1 2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier 2.1 Εισαγωγή Η βασική ιδέα στην ανάλυση των κυματομορφών με την βοήθεια της μεθόδου Fourier συνίσταται στο ότι μία κυματομορφή μιας οποιασδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ
ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Συµπληρωµατικές Σηµειώσεις Προχωρηµένο Επίπεδο Επεξεργασίας Εικόνας Σύνθεση Οπτικού Μωσαϊκού ρ. Γ. Χ. Καρράς Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Μηχανολογικών
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις 6 ου Κεφαλαίου
Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη
Διαβάστε περισσότεραΣτην ουσία η Φωτογραµµετρία: Χ, Υ, Ζ σηµείων Γραµµικό σχέδιο Εικονιστικό προϊόν
Στην ουσία η Φωτογραµµετρία: Χ, Υ, Ζ σηµείων Γραµµικό σχέδιο Εικονιστικό προϊόν Επεξήγηση Μηχανισµού Προσοµοίωση της ανθρώπινης όρασης B A C Μαθηµατική γεωµετρική περιγραφή ενός φυσικού φαινοµένου ΗΦωτογραµµετρική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε
Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΤηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι Διάλεξη 7: Διαμόρφωση Γωνίας (1/2) Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διαμόρφωση γωνίας Ορισμοί Η έννοια της Στιγμιαίας Συχνότητας Διαμόρφωση Φάσης (Phase
Διαβάστε περισσότερα