ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΔΟΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για περίπου κάθε 2 διαλέξεις, και η καταληκτική ημερομηνία παράδοσής της θα είναι περίπου 1 εβδομάδα μετά την τελευταία από τις άνω διαλέξεις. (βʹ) Η καταληκτική ημέρα παράδοσης κάθε ομάδας ανακοινώνεται στο μάθημα και αναρτάται στην ατζέντα του eclass τουλάχιστον μια εβδομάδα νωρίτερα. (γʹ) Μετά την διόρθωσή τους, οι ομάδες θα επιστρέφονται. (δʹ) Οι λύσεις μιας ομάδας ασκήσεων αναρτώνται στο eclass λίγες μέρες μετά την ημερομηνία παράδοσης της επόμενης ομάδας ασκήσεων. (εʹ) Οι βαθμολογίες αναρτώνται στο eclass, και αυξάνουν, υπό προϋποθέσεις, την τελική βαθμολογία. 2. Επίδραση στον τελικό βαθμό: (αʹ) Οι ασκήσεις προσφέρουν bonus 2 (στις 10) μονάδων, εφόσον ο βαθμός στην τελική εξέταση είναι προβιβάσιμος, δηλαδή 5 και άνω. (βʹ) Δεν χρειάζεται να παραδώσετε όλες τις ομάδες ασκήσεων για να πάρετε το bonus. Μπορείτε να παραδώσετε τις μισές για να πάρετε μια μονάδα (εφόσον βέβαια είναι σωστές), κ.ο.κ. Ομοίως, δεν απαιτείται να παραδώσετε όλες τις ασκήσεις μιας ομάδας. 3. Πρέπει να παραδώσετε τις εργασίες σας ιδιοχείρως: (αʹ) Χρησιμοποιείτε κόλλες μεγέθους περίπου A4, χωρίς ξέφτια λόγω σκισίματος από τετράδιο. Συρράψτε τις κόλλες, και μην τις παραδώσετε εντός πλαστικού διάφανου φακέλου, ντοσιέ, κτλ., ή πιασμένες με συνδετήρα, ή τυλιγμένες/τσαλακωμένες μαζί, κ.ο.κ. (βʹ) Μην παραδίδετε πολλές ομάδες ασκήσεων συρραμμένες μαζί (π.χ., την ομάδα 4, που παραδίδετε καθυστερημένη, συρραμμένη με την ομάδα 5), ή πολύ περισσότερο, στο ίδιο φύλλο. (Ο λόγος για αυτό τον κανόνα είναι ότι οι ομάδες ενδέχεται να διορθωθούν από διαφορετικούς διορθωτές.) (γʹ) Τόπος παράδοσης: Παραδίδετε τις εργασίες (με αυτή τη σειρά προτίμησης) Α) στην αρχή ή στο τέλος των διαλέξεων (όχι κατά τη διάρκειά τους!), ή Β) στο ταχυδρομικό κουτί του διδάσκοντα (βρίσκεται έξω από το γραφείο του) ή Γ) στον ίδιο το διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Μπορείτε να δώσετε τις εργασίες σας σε κάποιον άλλο για να τις παραδώσει. (δʹ) Παραδίδετε ιδιοχείρως την ομάδα μέχρι τις 17:00μμ της ανακοινωμένης ημέρας παράδοσης. 4. Αλλαγές στην ημέρα παράδοσης: (αʹ) Σε περίπτωση που η καταληκτική ημέρα παράδοσης μιας ομάδας ασκήσεων είναι ημέρα διάλεξης και η διάλεξη ακυρωθεί ή αναβληθεί, η υποβολή της ομάδας μετατίθεται αυτόματα για την ημέρα της επόμενης διάλεξης, χωρίς να προηγηθεί ανακοίνωση από τον διδάσκοντα. (βʹ) Μπορείτε να καθυστερήσετε την παράδοση των ομάδων ασκήσεων, χωρίς επίπτωση, βάσει του ακόλουθου κανόνα: Μπορείτε να καθυστερήσετε το πολύ τρεις ομάδες ασκήσεων, και να παραδώσετε κάθε μια από αυτές όταν θα παραδίδατε και την επόμενή της, αν οι ημερομηνίες παράδοσής τους διαφέρουν, ή την πρώτη που ακολουθεί με διαφορετική ημερομηνία παράδοσης, αν η ημερομηνία παράδοσής τους είναι κοινή. Επομένως, αν η ομάδα i έχει ημερομηνία παράδοσης την X i και η ομάδα i + 1 έχει ημερομηνία παράδοσης την X i+1, τότε μπορείτε να παραδώσετε την ομάδα i στην ημερομηνία X i+1, εφόσον X i+1 > X i, αλλιώς στο πρώτο X k > X i. ΟΜΩΣ, δεν μπορείτε να παραδώσετε μια ομάδα σε κάποια ημερομηνία X l > X k > X i. 5. Διόρθωση: (αʹ) Η διόρθωση θα είναι πρόχειρη, λόγω έλλειψης ανθρώπινων πόρων. 1

2 (βʹ) Αν οι πράξεις που απαιτούνται για να προκύψει ένα αριθμητικό αποτέλεσμα είναι αρκετές, μπορείτε να δώσετε το εν λόγω αποτέλεσμα ως έκφραση που περιέχει παραγοντικά, συνδυασμούς, γινόμενα με πολλούς παράγοντες, αθροίσματα με πολλούς όρους, κτλ., χωρίς καμία βαθμολογική απώλεια. (Παρατήρηση: το ίδιο ισχύει και για την τελική εξέταση.) (γʹ) Όλες οι ομάδες ασκήσεων έχουν την ίδια βαρύτητα. Όχι όμως και όλες οι ασκήσεις σε μια ομάδα. 6. Επιστροφή διορθωμένων εργασιών και ανακοίνωση βαθμολογίας: (αʹ) Οι εργασίες θα διορθώνονται με καθυστέρηση τουλάχιστον ενός μήνα από την καταληκτική ημερομηνία παράδοσης. (βʹ) Οι διορθωμένες εργασίες θα διατίθενται για παραλαβή στο τραπεζάκι έξω από το γραφείο του διδάσκοντα, και η βαθμολογία θα αναρτάται περιοδικά στα έγγραφα του eclass. Στο τέλος του εξαμήνου, όσες δεν παραληφθούν από τους συγγραφείς τους θα ανακυκλωθούν. (γʹ) Αν έχετε ενστάσεις σχετικά με τη διόρθωση, ελάτε με την διορθωμένη ομάδα σας σε ώρες γραφείου του διδάσκοντα. (δʹ) Αν δεν μπορείτε να βρείτε την βαθμολογία της εργασίας σας στο σχετικό έγγραφο, αναζητήστε τη στις διορθωμένες, και δώστε τη στον διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Αν δεν υπάρχει στις διορθωμένες (και μόνο τότε) ενημερώστε τον διδάσκοντα. 7. Συνεργασία: (αʹ) Μπορείτε να συνεργαστείτε όσο θέλετε, και να ανταλλάξετε προφορικά ιδέες, ακόμα και λύσεις. (βʹ) Αρκεί ο καθένας να γράψει μόνος του την λύση του, και να καταλαβαίνει τι γράφει. (γʹ) Εργασίες εμφανώς αντιγραμμένες θα μηδενίζονται, και το bonus του συγγραφέα τους θα τίθεται αμετάκλητα στο μηδέν. Επομένως, άλλες εργασίες που έχει ήδη παραδώσει ή θα παραδώσει στο μέλλον δεν θα έχουν επίδραση στο τελικό του βαθμό. (δʹ) Απαγορεύεται να δείτε λύσεις ασκήσεων παλαιοτέρων ετών ή λύσεις των ίδιων ασκήσεων από το διαδίκτυο. 8. Σημαντικά σχόλια: (αʹ) Προσπαθήστε να είστε κατά το δυνατόν σαφείς στις λύσεις σας. Δεν βοηθά μόνο τους διορθωτές, αλλά και εσάς να οργανώνετε τη σκέψη σας καλύτερα. (βʹ) Ενημερώστε άμεσα τον διδάσκοντα σε περίπτωση εύρεσης λάθους είτε στις εκφωνήσεις είτε στις λύσεις. (γʹ) Για την εύρυθμη λειτουργία του μαθήματος, προσπαθήστε να τηρήσετε κατά το δυνατόν όλες τις άνω οδηγίες. (δʹ) Βλέπετε το dias mail σας. Το έχετε για να επικοινωνούν μαζί σας οι διδάσκοντες, εκτός των άλλων και όταν υπάρχει πρόβλημα με την παράδοση κάποιας εργασίας. 2

3 1η Ομάδα Ασκήσεων 1. (Η ένωση επιμερίζει την άπειρη τομή) Να δείξετε ότι A ( i=1b i ) = i=1 (A B i ). 2. (Διπλά τυχαία συνάντηση) Ο Σταύρος και ο Γιάννης έχουν δώσει ραντεβού σε ένα μπαρ, και έχουν συμφωνήσει να συναντηθούν εντός μιας συγκεκριμένης ώρας. Καθένας όμως μπορεί να έρθει οποιαδήποτε χρονική στιγμή μέσα σε αυτήν την ώρα, χωρίς να δείχνει κάποια προτίμηση σε κάποια στιγμή ή εύρος στιγμών, και χωρίς να επηρεάζεται από το τι θα κάνει ο άλλος. Μοντελοποιήστε τον δειγματικό χώρο αυτού του πειράματος, ορίστε κάποιο μέτρο πιθανότητας που να συμφωνεί με το πραγματικό πρόβλημα, και ακολούθως χρησιμοποιήστε αυτό το μέτρο για να υπολογίσετε ποια είναι η πιθανότητα να μην περιμένει ο πρώτος που θα έρθει τον δεύτερο για περισσότερο από ένα τέταρτο της ώρας. Υπόδειξη: Μελετήστε το τετράγωνο [0, 1] [0, 1] = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1} R (Πρόβλημα Γαλιλαίου) Ρίχνουμε διαδοχικά 3 συνηθισμένα ζάρια. Θεωρούμε ότι τα 6 3 = 216 δυνατά αποτελέσματα του πειράματος είναι ισοπίθανα. (αʹ) Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου A το άθροισμα των ενδείξεών τους να ισούται με 9; (βʹ) Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχόμενου B το άθροισμα των ενδείξεών τους να ισούται με 10; 4. (Τρεις σφαίρες) Ένα κουτί περιέχει μία κόκκινη (R) μία μπλε (B) και μία πράσινη (G) σφαίρα. Θεωρήστε ένα πείραμα κατά το οποίο επιλέγουμε τυχαία μία σφαίρα από το κουτί, και αφού την επανατοποθετήσουμε στο κουτί επιλέγουμε τυχαία άλλη μία σφαίρα. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος; Αν όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, ποια είναι η πιθανότητα εκλογής μίας τουλάχιστον κόκκινης σφαίρας στις δύο δοκιμές; Απαντήστε τα άνω εκ νέου, υποθέτοντας ότι η πρώτη σφαίρα δεν επανατοποθετείται στο κουτί. 5. (Ασανσέρ) Έστω κτήριο με 5 ορόφους. (Στους 5 ορόφους δεν υπολογίζεται το ισόγειο. Επίσης, δεν υπάρχει υπόγειο.) Έστω πως 4 άτομα, οι 1,2,3,4, μπαίνουν, από το ισόγειο, στο ασανσέρ. Καθένα από αυτά κατευθύνεται προς έναν από τους 5 ορόφους. Κάθε ένα από τα άτομα θα βγει σε κάποιον όροφο ανεξάρτητα από τα άλλα άτομα, χωρίς κάποια προτίμηση ως προς τον όροφο. (αʹ) Ορίστε δειγματικό χώρο για το άνω τυχαίο πείραμα. Πόσα αποτελέσματα περιλαμβάνει και τι πιθανότητα έχει το καθένα; (βʹ) Ποια η πιθανότητα να πάνε όλα τα άτομα σε έναν μόνο (αλλά οποιονδήποτε) όροφο; (γʹ) Ποια η πιθανότητα να πάνε όλα τα άτομα σε διαφορετικούς ορόφους; (δʹ) Ποια η πιθανότητα να βγουν δύο (οποιαδήποτε) άτομα μαζί σε έναν (οποιονδήποτε) όροφο και τα δύο άλλα επίσης μαζί σε έναν άλλο (οποιοδήποτε) όροφο; 6. (Τράπουλα) Μοιράζουμε στην τύχη 10 φύλλα από μια συνηθισμένη τράπουλα 52 φύλλων. Ποια η πιθανότητα να περιέχει η μοιρασιά: (αʹ) κανέναν άσσο; (βʹ) το πολύ τρεις άσσους; (γʹ) τουλάχιστον έναν άσο και τουλάχιστον μια φιγούρα (δηλαδή βαλέ, ντάμα, ή ρήγα); 7. (Τυχαίες λέξεις) Έστω ότι οποιαδήποτε επαναληπτική διάταξη 5 γραμμάτων από τα 24 της ελληνικής αλφαβήτου θεωρείται από μια βάση δεδομένων κειμένου ως λέξη. Π.χ. το «ΚΑΠΩΣ» και το «ΑΕΝΦΟ» είναι λέξεις ενώ το «ΜΑΘΗΜΑ» και το «ΝΑΙ» δεν είναι. Από όλο αυτό το πλήθος λέξεων επιλέγουμε μια στην τύχη. Ποια η πιθανότητα να: (αʹ) Περιέχει το γράμμα Α. (βʹ) Περιέχει το Α ή το Β ή και τα δύο. (γʹ) Περιέχει το Α και το Β. (δʹ) Περιέχει το Β αλλά όχι το Α. 8. (Το παράδοξο των γενεθλίων) Σε μια αίθουσα βρίσκονται M 365 άτομα. Ποια η πιθανότητα του ενδεχόμενου A τουλάχιστον δύο άτομα να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου; Ποιο είναι το μικρότερο M για το οποίο η πιθανότητα είναι μεγαλύτερη από 0.5; Έστω τώρα ένα συγκεκριμένο άτομο. Ποια η πιθανότητα του ενδεχόμενου B να έχει τουλάχιστον ένας από τους υπόλοιπους M 1 γενέθλια μαζί με αυτό το άτομο; Να αγνοηθεί η ύπαρξη δίσεκτων ετών. 3

4 9. (Κλέφτης) Το συρτάρι A περιέχει 3 χρυσά και 3 αργυρά κέρματα ενώ το συρτάρι B περιέχει 3 χρυσά και 6 αργυρά. Ένας κλέφτης (στα σκοτεινά) ανοίγει ένα συρτάρι στην τύχη και αρπάζει δύο κέρματα στην τύχη. (αʹ) Ποια η πιθανότητα να είναι και τα δύο χρυσά; (βʹ) Αν διαπιστωθεί (κατά την σύλληψή του) ότι έχει κλέψει δύο χρυσά κέρματα, ποια είναι η πιθανότητα να είχε ανοίξει το συρτάρι A; 10. (Πινιάτα) Μια πινιάτα σπάει αν δεχτεί ένα δυνατό χτύπημα ή δύο μέτρια χτυπήματα. Σε ένα πάρτι, αν ένα παιδί χτυπήσει την πινιάτα έχει πιθανότητες 1 4 να δώσει ένα δυνατό χτύπημα, 1 4 να δώσει ένα μέτριο χτύπημα, και 1 2 να αστοχήσει. 4 παιδιά μπαίνουν σε σειρά για να χτυπήσουν μια πινιάτα, διαδοχικά, και μια φορά το καθένα. Ποια είναι η πιθανότητα να τη σπάσουν; Όλα τα χτυπήματα είναι ανεξάρτητα. 11. (Αύξουσα σειρά) Έστω 52 φύλλα αριθμημένα από το 1 έως το 52. Σηκώνουμε διαδοχικά 5 από αυτά, χωρίς επανάθεση, και χωρίς προτίμηση στη διάταξη που προκύπτει. Ποια είναι η πιθανότητα η πιθανότητα να σηκώσουμε τα φύλλα σε αύξουσα σειρά; (Π.χ., να σηκώσουμε τα φύλλα 5, 12, 34, 40, 51, με αυτή τη σειρά.) 12. (Στίγμα) Από το σύνολο κάποιου πληθυσμού, το 1% των ατόμων έχει το γενετικό στίγμα κάποιας εν μέρει κληρονομικής ασθένειας. Αν και οι δύο γονείς έχουν το στίγμα, κάθε παιδί τους έχει πιθανότητα 50% να έχει το στίγμα. Αν μόνο ένας από τους δύο γονείς έχει το στίγμα, κάθε παιδί τους έχει πιθανότητα 2% να έχει το στίγμα. Αν δεν έχει το στίγμα κανένας από τους δύο, τότε δεν το έχει και το παιδί. Υποθέτουμε ότι η κληρονομικότητα είναι ανεξάρτητη από παιδί σε παιδί είτε έχουν οι γονείς το στίγμα είτε όχι, και ότι οι γονείς έχουν το στίγμα ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο. (Παρατηρήστε ότι το τελευταίο μπορεί αν μην ισχύει σε αντίστοιχες πραγματικές περιπτώσεις, καθώς ζεύγη ατόμων που έχουν και οι δύο το στίγμα μπορεί να αποθαρρύνονται από το να κάνουν παιδιά.) (αʹ) Ποια η πιθανότητα τα δύο παιδιά ενός ζευγαριού στο οποίο μόνο ο ένας γονιός έχει το στίγμα, να έχουν και τα δύο το στίγμα; (βʹ) Αν δεν γνωρίζουμε τίποτα για τους γονείς, ποια η πιθανότητα τα δύο παιδιά ενός τυχαίου ζευγαριού να έχουν και τα δύο το στίγμα; (γʹ) Αντίστροφα, δεδομένου ότι διαπιστώνουμε πως και τα δύο παιδιά ενός ζευγαριού έχουν το στίγμα, ποια η πιθανότητα ακριβώς ένας γονιός (οποιοσδήποτε από τους δύο) να έχει το στίγμα; Ποια η πιθανότητα να έχουν το στίγμα και οι δύο; 13. (Κολοκύθες) Κάθε εβδομάδα, ένα μανάβης έχει X πελάτες που ζητούν να αγοράσουν μια κολοκύθα, εφόσον έχουν μείνει απούλητες κολοκύθες, όπου η Τ.Μ. X έχει την ακόλουθη συνάρτηση μάζας πιθανότητας: p X (x) = 9 x, x = 5, 6, 7, Στην αρχή της εβδομάδας ο μανάβης αγοράζει κολοκύθες προς 2 ευρώ τη μια, ενώ κατά τη διάρκεια της εβδομάδας τις πουλά προς 4 ευρώ τη μία. Στο τέλος της εβδομάδας ο μανάβης πετά όσες κολοκύθες του έχουν απομείνει. Αν ο μανάβης θέλει να μεγιστοποιήσει το αναμενόμενο ΚΑΘΑΡΟ κέρδος του, πόσες κολοκύθες πρέπει να αγοράσει στην αρχή της εβδομάδας; (Υπόδειξη: υπολογίστε τα αναμενόμενα καθαρά κέρδη του μανάβη αν αγοράσει στην αρχή της εβδομάδας x κολοκύθες, με x = 5, 6, 7, 8, και συγκρίνετέ τα.) 14. (Δέκα μπάλες) Έστω πως από 10 μπάλες, οι οποίες είναι αριθμημένες από το 1 έως το 10, επιλέγουμε τυχαία 3 χωρίς επανατοποθέτηση. Έστω Y ο μέγιστος αριθμός από τις τρεις μπάλες που επιλέξαμε, και Z ο ελάχιστος. Να προσδιορίσετε την μάζα και την συνάρτηση κατανομής των Y και Z. 15. (Πίτσες και μακαρονάδες) Ένας οικοδεσπότης ετοιμάζεται να υποδεχτεί 20 καλεσμένους για φαγητό. Κάθε καλεσμένος με την άφιξή του θα θελήσει να φάει πίτσα με πιθανότητα p = 0.6 και μακαρονάδα με πιθανότητα 1 p = 0.4, ανεξάρτητα από τους υπόλοιπους. Ο οικοδεσπότης, προκειμένου να μην χρονοτριβήσουν, παραγγέλνει από πριν 16 πίτσες και 12 μακαρονάδες. Ποια είναι η πιθανότητα να μην μπορούν να φάνε όλοι το φαγητό της επιλογής τους; 16. (Κυνήγι Χήνας) Δύο κυνηγοί, ο A και ο B, κυνηγούν χήνες με τον ακόλουθο τρόπο: οι χήνες εμφανίζονται διαδοχικά, και όποτε εμφανίζεται μια, την πυροβολούν και οι δύο ταυτόχρονα. Ο A πετυχαίνει την χήνα με πιθανότητα 1 2, ενώ ο B την πετυχαίνει με πιθανότητα 1 4. Τα αποτελέσματα των πυροβολισμών είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η χήνα σκοτώνεται αν την πετύχει έστω ένας, και επιζεί αν αστοχήσουν και οι δύο. Επειδή οι πυροβολισμοί είναι ταυτόχρονοι, αν η χήνα σκοτωθεί κανείς από τους A και B δεν είναι σίγουρος ότι όντως την πέτυχε. (αʹ) Από τις χήνες που εμφανίζονται, τι ποσοστό γλιτώνει, και τι ποσοστό χτυπιέται και από τους δύο; (βʹ) Με δεδομένο ότι μια χήνα έχει χτυπηθεί, ποια είναι η πιθανότητα ότι την πέτυχε ο A μόνο; 4

5 (γʹ) Αν εμφανιστούν συνολικά 100 χήνες, ποια είναι η πιθανότητα να επιβιώσουν ακριβώς 10; (δʹ) Αν έχουν εμφανιστεί 5 χήνες και έχουν όλες επιβιώσει, ποια είναι η πιθανότητα η πρώτη που θα σκοτωθεί να είναι η 8η; 17. (Η μέθοδος του ανεμιστήρα) Ένας διδάσκων διορθώνει γραπτά τελικών εξετάσεων Πιθανοτήτων με τη μέθοδο του ανεμιστήρα. Συγκεκριμένα, αφήνει κάθε γραπτό μπροστά από ένα ανεμιστήρα. Το γραπτό πέφτει στο πάτωμα σε απόσταση X από τον διδάσκοντα, που μοντελοποιείται ως Τ.Μ. με την ακόλουθη πυκνότητα: 1 f X (x) = v e x/v, x 0, 0, x < 0. Η τιμή v είναι μια παράμετρος που εξαρτάται από την ένταση του ανεμιστήρα. Αν X 10, τότε ο βαθμός Y που λαμβάνει ο φοιτητής είναι 10. Αλλιώς, ο βαθμός που λαμβάνει ο φοιτητής είναι το ακέραιο μέρος X του X, δηλαδή ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος του X. Επομένως, δεν επιτρέπονται ημιακέραιοι βαθμοί. Ο φοιτητής περνά το μάθημα αν πάρει βαθμό 5 και άνω. (αʹ) Αν ο διδάσκων θέλει να περάσει ακριβώς το 10% των φοιτητών, πόση πρέπει να είναι η τιμή του v; (βʹ) Να δώσετε μια μαθηματική έκφραση για την πιθανότητα P (Y = k), για κάθε ένα k = 0, 1, 2,..., (Πυκνότητα πιθανότητας) Έστω Τ.Μ. X με την ακόλουθη πυκνότητα: 1 f X (x) = 100 xe x/k, x 0, 0, x < 0. (αʹ) Υπολογίστε την τιμή της σταθεράς k. (βʹ) Σχεδιάστε την f(x) δείχνοντας την μονοτονία, ποια είναι η μέγιστη τιμή και σε ποιο σημείο επιτυγχάνεται, και σε ποια διαστήματα η συνάρτηση είναι κοίλη/κυρτή (γʹ) Υπολογίστε την μέση τιμή της X. 19. (Delivery) Είστε στο σπίτι σας και εσείς και οι καλεσμένοι σας έχετε παραγγείλει κοτόπουλο από το εστιατόριο Α και πίτσα από το εστιατόριο Β. Θεωρήστε ότι δώσατε και τις δύο παραγγελίες την ίδια χρονική στιγμή. Ο χρόνος παράδοσης είναι τυχαίος και ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο 30 για το εστιατόριο A και την εκθετική κατανομή με παράμετρο 20 για το εστιατόριο Β. (Οι χρόνοι αυτοί θεωρήστε ότι είναι ανεξάρτητοι.) (αʹ) Πόσο θα περιμένετε κατά μέσο όρο μέχρι να αρχίσετε το γεύμα σας; Για λόγους ευγένειας αρχίζετε το γεύμα μόλις παραδοθούν και οι δύο παραγγελίες. (Υπόδειξη: εάν X A, X B οι χρόνοι παράδοσης από τα εστιατόρια Α και Β αντίστοιχα, πρώτα βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της max(x A, X B ), έπειτα την πυκνότητα και τέλος υπολογίστε τη μέση τιμή.) (βʹ) Εάν δεν περιμένετε και τις δύο παραγγελίες για να αρχίσετε το γεύμα, πόσος κατά μέσο όρο χρόνος θα περάσει μέχρι να φάνε οι «τυχεροί» των οποίων η παραγγελία παραδίδεται πρώτη; 2η Ομάδα Ασκήσεων 20. (Μέση τιμή της κατανομής Γάμμα) Μια Τ.Μ. X ακολουθεί την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους k, θ R, k, θ > 0, αν έχει πυκνότητα k 1 e x/θ x f(x) = θ k Γ(k), x > 0, 0, x 0, όπου η συνάρτηση Γάμμα, Γ(k), ορίζεται για κάθε k R ως και ισχύει η ιδιότητα Γ(k) 0 x k 1 e x dx, Γ(k) = (k 1)!, k = 1, 2, 3,... (1) Για μη ακέραιες τιμές του k, το ολοκλήρωμα που ορίζει την Γ(k) δεν μπορεί να υπολογισθεί σε κλειστή μορφή. (αʹ) Να επαληθεύσετε ότι το ολοκλήρωμα της πυκνότητας είναι μονάδα. 5

6 (βʹ) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή της X. 21. (Γενικός τύπος για το μετασχηματισμό Τ.Μ.) Έστω συνάρτηση h : A h(a) η οποία είναι είτε γνησίως αύξουσα, είτε γνησίως φθίνουσα, και τέτοια ώστε να είναι παραγωγίσιμες αυτή και η αντίστροφή της συνάρτηση h 1 στα σύνολα A και h(a) αντιστοίχως. Έστω επίσης Τ.Μ. X με πυκνότητα f X (x) μηδενική εκτός του A. Να δείξετε ότι η Τ.Μ. Y = h(x) έχει πυκνότητα που δίνεται από τον τύπο f Y (y) = f X (h 1 (y)) d dy h 1 (y). 22. (Γεωμετρική Τ.Μ. από εκθετική Τ.Μ.) Να δείξετε ότι εάν η Τ.Μ. X είναι εκθετική με παράμετρο θ, τότε η διακριτή Τ.Μ. Y = X + 1 είναι γεωμετρικά κατανεμημένη με παράμετρο 1 e 1/θ, όπου u είναι το ακέραιο μέρος του αριθμού u R. Άρα η γεωμετρική κατανομή προέρχεται από «διακριτοποίηση» της εκθετικής. 23. (Ομοιόμορφη Τ.Μ. από εκθετική Τ.Μ.) (αʹ) Έστω Y = log X όπου η Τ.Μ. X είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο (0, 1). Δείξτε ότι η Y είναι εκθετική με παράμετρο 1. (βʹ) Εάν έχουμε στη διάθεση μας ένα δείγμα Y από την εκθετική κατανομή με παράμετρο 1, πώς θα μπορούσαμε να το «μετατρέψουμε» σε ένα δείγμα από την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0, 1]; (Υπόδειξη: χρησιμοποιείστε την Άσκηση 21.) 24. (Πελταστές) Πρόσφατες αρχαιολογικές ανασκαφές επιβεβαίωσαν την αναφορά του Ηροδότου ότι ένας Σπαρτιάτης πελταστής της κλασσικής εποχής μπορούσε να ρίξει το δόρυ σε μια απόσταση X ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ των 60 και 150 μέτρων, μπορούσε να εκτοξεύσει ένα λίθο με χρήση σφεντόνας σε μια απόσταση Y επίσης ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ των 90 και 210 μέτρων, και, επιπλέον, τα X, Y ήταν ανεξάρτητα. Βάσει των άνω: (αʹ) Γράψτε εκφράσεις για τις πυκνότητες f X (x), f Y (y), f XY (x, y). Επίσης, δώστε μια έκφραση για την πιθανότητα P (X > Y ) σε μορφή διπλού ολοκληρώματος. (βʹ) Υπολογίστε την τιμή του διπλού ολοκληρώματος του προηγούμενου σκέλους. 25. (Κατανομή Laplace) Δίδεται Τ.Μ. X με πυκνότητα f(x) = ce x για κάθε x R, όπου c μια σταθερά. (αʹ) Βρείτε την τιμή της σταθεράς c. (βʹ) Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της X. (γʹ) Υπολογίστε την πιθανότητα P ( X 3 X > 2). (δʹ) Έστω Y, Z ανεξάρτητες Τ.Μ. με την Y να ακολουθεί την κατανομή Bernoulli με παράμετρο 1 2 και την Z να ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο 1. Δείξτε ότι η W = (1 2Y )Z έχει ίδια πυκνότητα με τη X. (Υπόδειξη: Δείξτε ότι έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής.) (εʹ) Βρείτε τη μέση τιμή και διασπορά της X. 26. (Γραμμική εκτιμήτρια) Ενδιαφερόμαστε να εκτιμήσουμε την άγνωστη Τ.Μ. Y με βάση μια άλλη Τ.Μ. X που είναι διαθέσιμη για παρατήρηση. Για το σκοπό αυτό κατασκευάζουμε τη γραμμική εκτιμήτρια Ŷ της Y με βάση τη X ως Ŷ = αx + b, α, b R. Επομένως, ελλείψει της πραγματικής τιμής της Y, όποτε χρειαζόμαστε την Y θα χρησιμοποιούμε την τιμή της Ŷ. H βέλτιστη γραμμική εκτιμήτρια ορίζεται ως η εκτιμήτρια που ελαχιστοποιεί το μέσο τετραγωνικό σφάλμα ( ( ) ) 2 min E Y Ŷ. α,b Προσδιορίστε τους συντελεστές α και B της βέλτιστης γραμμικής εκτιμήτριας Ŷ συναρτήσει των COV(X, Y ), VAR(X), E(X) και E(Y ). Δίνεται ότι VAR(X) > 0. ( ( ) ) 2 (Υπόδειξη: αντικαταστήστε στην E Y Ŷ την Ŷ = αx + b, γράψτε αυτό που προκύπτει ως μια συνάρτηση f(a, b). και βρείτε το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης ως προς a, b με μεθόδους του λογισμού πολλών μεταβλητών.) 6

7 27. (Πυκνότητα απόλυτου διαφοράς) Έστω X και Y ανεξάρτητες Τ.Μ., εκθετικά κατανεμημένες με παραμέτρους θ 1 και θ 2. Βρείτε την πυκνότητα της Z = X Y. Ποια είναι η μέση τιμή της αν θ 1 = θ 2 ; 28. (Ελάχιστο n τυχαίων μεταβλητών) Έστω X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες Τ.Μ., όλες με την ίδια συνάρτηση κατανομής F X (x). Έστω επίσης V = minx 1, X 2..., X n }. Να βρείτε την συνάρτηση κατανομής F V (v) της V, συναρτήσει της F X (x). Στην ειδική περίπτωση που όλες οι X i έχουν κατανομή Εκθ(θ), ποια είναι η κατανομή της V ; 29. (Δεσμευμένη πιθανότητα) Έστω συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X, Y με από κοινού πυκνότητα πιθανότητας e x y e y f(x, y) = y, 0 < x, y <, 0, αλλού. Να υπολογιστεί η πιθανότητα P (X > 1 Y = y). 30. (Έλλειψη μνήμης) Έστω τυχαία μεταβλητή X, κατανεμημένη εκθετικά, με παράμετρο λ: λe λx, x 0, f X (x) = 0, x < 0. (αʹ) Βρείτε την F X (x X > t). Πως ακριβώς διαφέρει η F X (x X > t) από την F X (x); (βʹ) Βρείτε την f X (x X > t). (γʹ) Δείξτε ότι P (X > t + x X > t) = P (X > x). Εξηγήστε γιατί αυτή η ιδιότητα αποκαλείται η ιδιότητα της έλλειψης μνήμης. 31. (Υπολογισμός δεσμευμένων πυκνοτήτων) Η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών X και Y είναι 2, 0 < y < x < 1, f X,Y (x, y) = 0, αλλού. (αʹ) Υπολογίστε τη δεσμευμένη πυκνότητα πιθανότητας f X Y (x, y), για 0 < x, y < 1. (βʹ) Υπολογίστε τη δεσμευμένη πυκνότητα πιθανότητας f Y X (y, x), για 0 < x, y < 1. (γʹ) Υπολογίστε τη δεσμευμένη πιθανότητα P [ 1 3 < Y 1 2 X 2 3]. (δʹ) Είναι οι X, Y ανεξάρτητες; 32. (Υπολογισμός δεσμευμένων μαζών) Βρείτε τις δεσμευμένες συναρτήσεις μάζας πιθανότητας της Y δεδομένου ότι X = 1, για τις ακόλουθες τρεις περιπτώσεις. X Y /6 0 1/ / /6 0 1/6 X Y /9 1/9 1/9 0 1/9 1/9 1/9 1 1/9 1/9 1/9 X Y / / / (n ταμίες) Ένας πελάτης μπαίνει σε ένα κατάστημα και εξυπηρετείτε από τον ταμεία I, όπου I = i με πιθανότητα p i και i = 1,..., n. Ο χρόνος που χρειάζεται ο ταμίας i για να ολοκληρώσει την εξυπηρέτηση είναι μια εκθετικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με παράμετρο (ρυθμό) α i. (αʹ) Βρείτε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου T που χρειάζεται ένας πελάτης για να εξυπηρετηθεί (Υπόδειξη: Θα έχει τη μορφή αθροίσματος). (βʹ) Βρείτε την E[T ] και την VAR[T ]. (Υποδείξεις: Δεν χρειάζεστε το προηγούμενο σκέλος. Η τιμή της E[T ] είναι διαισθητικά προφανής. Για τον υπολογισμό της VAR[T ], χρησιμοποιήστε τη σχέση VAR[T ] = E[T 2 ] (E[T ]) 2.) 34. (Τυχαία μεταβλητή με παράμετρο άλλη τυχαία μεταβλητή) Ο αριθμός των ελαττωμάτων N σε ένα ολοκληρωμένο κύκλωμα VLSI είναι τυχαία μεταβλητή Poisson με παράμετρο R. Η παράμετρος R, με τη σειρά της, είναι τυχαία μεταβλητή Γάμμα, με παραμέτρους α και λ. (Συνεπώς, κατά τα γνωστά για την κατανομή Γάμμα, E[R] = α λ, E[R 2 ] = α λ 2 + α2 λ 2.) (αʹ) Να βρεθεί η συνάρτηση μάζας πιθανότητας του αριθμού των ελαττωμάτων N. 7

8 (βʹ) Χρησιμοποιήστε γνωστές σχέσεις για την υπό συνθήκη μέση τιμή για να υπολογίσετε τις E[N] και Var[N]. (Υπόδειξη: VAR[N] = E[N 2 ] (E[N]) 2.) 35. (Άλλη μια τυχαία μεταβλητή με παράμετρο μια άλλη τυχαία μεταβλητή) Η διάρκεια ζωής X μιας συσκευής είναι εκθετικά κατανεμημένη με μέση τιμή 1 R. Υποθέτουμε ότι λόγω μη προβλέψιμων ανωμαλιών στην διαδικασία παραγωγής, η παράμετρος R είναι επίσης τυχαία, και ακολουθεί την κατανομή Γάμμα. (αʹ) Βρείτε την από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των X και R. (βʹ) Βρείτε την πυκνότητα πιθανότητα της X. (γʹ) Βρείτε τη μέση τιμή και την διασπορά της X, χωρίς να κάνετε χρήση του προηγούμενου σκέλους. 36. (Άθροισμα με τυχαίο αριθμό τυχαίων όρων) Έστω η ακολουθία ανεξάρτητων πραγματικών τυχαίων μεταβλητών X n, n = 1, 2,...}, που ακολουθούν την ίδια κατανομή πιθανότητας. Έστω η μη αρνητική ακέραια τυχαία μεταβλητή N, που είναι ανεξάρτητη των X n, n = 1, 2,...}. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή Z = N X i. Υπολογίστε τη μέση τιμή E[Z] και τη διασπορά VAR[Z] συναρτήσει των E[X 1 ], E[N], VAR[X 1 ], VAR[N]. 37. (Poisson τυχαίες μεταβλητές Bernoulli) Θεωρούμε μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών X n }, όπου n = 1, 2,..., με την ίδια συνάρτηση μάζας πιθανότητας Bernoulli, δηλαδή i=1 P (X n = 1) = p = 1 P (X n = 0), 0 < p < 1, n = 1, 2,... και την τυχαία μεταβλητή N που ακολουθεί κατανομή Poisson με παράμετρο λ, και είναι ανεξάρτητη των X n, n = 1, 2,...}. Ορίζουμε τις τυχαίες μεταβλητές Y N X i, Z N Y. Προσδιορίστε τις συναρτήσεις μάζας πιθανότητας των Y και Z. Ποιες κατανομές προκύπτουν; i=1 8