ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!). Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 8-9 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε ένα των σημειώσεων, και η καταληκτική ημερομηνία παράδοσής της θα είναι περίπου μέρες μετά την ολοκλήρωση του κεφαλαίου. (βʹ) Η καταληκτική ημέρα παράδοσης κάθε ομάδας ανακοινώνεται στο μάθημα και αναρτάται στην ατζέντα του eclass τουλάχιστον μια εβδομάδα νωρίτερα. (γʹ) Μετά την διόρθωσή τους, οι ομάδες θα επιστρέφονται. (δʹ) Οι λύσεις μιας ομάδας ασκήσεων αναρτώνται στο eclass λίγες μέρες μετά την ημερομηνία παράδοσης της επόμενης ομάδας ασκήσεων. (εʹ) Οι βαθμολογίες αναρτώνται στο eclass, και αυξάνουν, υπό προϋποθέσεις, την τελική βαθμολογία.. Επίδραση στον τελικό βαθμό: (αʹ) Οι ασκήσεις προσφέρουν bonus (στις ) μονάδων, εφόσον ο βαθμός στην τελική εξέταση είναι προβιβάσιμος, δηλαδή 5 και άνω. (βʹ) Δεν χρειάζεται να παραδώσετε όλες τις ομάδες ασκήσεων για να πάρετε το bonus. Μπορείτε να παραδώσετε τις μισές για να πάρετε μια μονάδα (εφόσον βέβαια είναι σωστές), κ.ο.κ. Ομοίως, δεν απαιτείται να παραδώσετε όλες τις ασκήσεις μιας ομάδας. (γʹ) Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε, για να πάρετε το bonus, εργασίες παρελθόντων ετών. 3. Παράδοση (γενικές οδηγίες): (αʹ) Μπορείτε να παραδώσετε τις ομάδες σας με δύο τρόπους: ιδιοχείρως και ηλεκτρονικά. Αν είναι δυνατόν, παραδώστε τις ομάδες ασκήσεων ιδιοχείρως. (βʹ) Απαγορεύεται η τμηματική παράδοση μιας ομάδας (για παράδειγμα, η μισή μια μέρα και η μισή κάποια άλλη μέρα, ή η μισή ηλεκτρονικά και η μισή ιδιοχείρως). (γʹ) Πριν την παράδοση, γράψτε, ευανάγνωστα, οπωσδήποτε το όνομά σας, τον αριθμό της ομάδας ασκήσεων, και, αν έχετε, τον αριθμό μητρώου σας, πάνω δεξιά στην πρώτη σελίδα, ακόμα και αν την παραδίδετε ηλεκτρονικά! (Οι φοιτητές των κατατακτηρίων και ορισμένοι προερχόμενοι από μεταγραφές δεν έχουν αριθμούς μητρώου. Για αυτούς αρκεί να υπάρχει το όνομά τους.) (δʹ) Μπορείτε να γράφετε με μολύβι ή/και με στυλό οποιουδήποτε χρώματος εκτός κόκκινου. (εʹ) Μπορείτε να παραδώσετε την ομάδα σας οποτεδήποτε πριν την καταληκτική ημερομηνία παράδοσης. 4. Παράδοση ιδιοχείρως: (αʹ) Χρησιμοποιείτε κόλλες μεγέθους περίπου A4, χωρίς ξέφτια λόγω σκισίματος από τετράδιο. Συρράψτε τις κόλλες, και μην τις παραδώσετε εντός πλαστικού διάφανου φακέλου, ντοσιέ, κτλ., ή πιασμένες με συνδετήρα, ή τυλιγμένες/τσαλακωμένες μαζί, κ.ο.κ. (βʹ) Μην παραδίδετε πολλές ομάδες ασκήσεων συρραμμένες μαζί (π.χ., την ομάδα 4, που παραδίδετε καθυστερημένη, συρραμμένη με την ομάδα 5), ή πολύ περισσότερο, στο ίδιο φύλλο. (Ο λόγος για αυτό τον κανόνα είναι ότι οι ομάδες ενδέχεται να διορθωθούν από διαφορετικούς διορθωτές.) (γʹ) Τόπος παράδοσης: Παραδίδετε τις εργασίες (με αυτή τη σειρά προτίμησης) Α) στην αρχή ή στο τέλος των διαλέξεων (όχι κατά τη διάρκειά τους!), ή Β) στο ταχυδρομικό κουτί του διδάσκοντα (βρίσκεται έξω από το γραφείο του) ή Γ) στον ίδιο το διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Μπορείτε να δώσετε τις εργασίες σας σε κάποιον άλλο για να τις παραδώσει. (δʹ) Παραδίδετε ιδιοχείρως την ομάδα μέχρι τις 7:μμ της ανακοινωμένης ημέρας παράδοσης. 5. Ηλεκτρονική παράδοση:

2 (αʹ) Η ηλεκτρονική παράδοση γίνεται αποκλειστικά μέσω του ειδικού εργαλείου του eclass, και όχι με αποστολή στο διδάσκοντα. (βʹ) Δεκτά είναι μόνο σκαναρισμένα ή δακτυλογραφημένα έγγραφα (με χρήση MS WORD κτλ.), και όχι, για παράδειγμα, φωτογραφίες. (γʹ) Αποφύγετε πάντως την δακτυλογράφηση των εργασιών. Μπορείτε να αξιοποιήσετε τον πεπερασμένο χρόνο σας πολύ καλύτερα. (δʹ) Παραδίδετε για κάθε εργασία ένα μόνο ασυμπίεστο αρχείο PDF ή doc μεγέθους το πολύ 3MB με ονομασία τον αριθμό μητρώου σας και τίποτα άλλο (π.χ pdf). (εʹ) Μην αφήνετε σχόλια στο eclass μέσω του σχετικού εργαλείου, εκτός αν είναι απόλυτη ανάγκη. (ϛʹ) Προσοχή: ενδέχεται η δυνατότητα ηλεκτρονικής υποβολής των ασκήσεων μέσω του αντίστοιχου εργαλείου του eclass να ενεργοποιηθεί λίγες μόνο μέρες πριν την καταληκτική προθεσμία παράδοσης, και αρκετά μετά την ανακοίνωση αυτής της προθεσμίας. (ζʹ) Καταληκτική ώρα παράδοσης: Παραδίδετε ηλεκτρονικά την ομάδα μέχρι τις :59μμ της ανακοινωμένης ημέρας παράδοσης. (ηʹ) ΔΕΝ ΘΑ ΓΙΝΟΥΝ ΔΕΚΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΠΟΥ ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΥΝ ΣΟΒΑΡΕΣ ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΩ ΟΔΗΓΙΕΣ. Αυτές οι εργασίες θα πρέπει να παραδοθούν ξανά, ιδιοχείρως, και εκπρόθεσμα. 6. Αλλαγές στην ημέρα παράδοσης: (αʹ) Σε περίπτωση που η καταληκτική ημέρα παράδοσης μιας ομάδας ασκήσεων είναι ημέρα διάλεξης και η διάλεξη ακυρωθεί ή αναβληθεί, η υποβολή της ομάδας μετατίθεται αυτόματα για την ημέρα της επόμενης διάλεξης, χωρίς να προηγηθεί ανακοίνωση από τον διδάσκοντα. (βʹ) Μπορείτε να καθυστερήσετε την παράδοση των ομάδων ασκήσεων, χωρίς επίπτωση, βάσει του ακόλουθου κανόνα: Μπορείτε να καθυστερήσετε το πολύ ΔΥΟ ομάδες ασκήσεων, και να τις παραδώσετε όταν θα παραδίδατε και την επόμενη κάθε μιας από αυτές, αν οι ημερομηνίες παράδοσής τους διαφέρουν, ή την πρώτη που ακολουθεί με διαφορετική ημερομηνία παράδοσης, αν η ημερομηνία παράδοσής τους είναι κοινή. Επομένως, αν η ομάδα i έχει ημερομηνία παράδοσης την X i και η ομάδα i + έχει ημερομηνία παράδοσης την X i+, τότε μπορείτε να παραδώσετε την ομάδα i στην ημερομηνία X i+, εφόσον X i+ > X i, αλλιώς στο πρώτο X k > X i. ΟΜΩΣ, δεν μπορείτε να παραδώσετε μια ομάδα σε κάποια ημερομηνία X l > X k > X i. (γʹ) Μην ζητήσετε παράταση εκ των προτέρων: απλώς ο διορθωτής θα δει ότι παραδώσατε καθυστερημένα την ομάδα. Οι ομάδες ασκήσεων που παραδίδονται εκπρόθεσμα παραδίδονται όπως και οι άλλες. 7. Διόρθωση: (αʹ) Η διόρθωση θα είναι πρόχειρη, λόγω έλλειψης ανθρώπινων πόρων. (βʹ) Αν οι πράξεις που απαιτούνται για να προκύψει ένα αριθμητικό αποτέλεσμα είναι αρκετές, μπορείτε να δώσετε το εν λόγω αποτέλεσμα ως έκφραση που περιέχει παραγοντικά, συνδυασμούς, γινόμενα με πολλούς παράγοντες, αθροίσματα με πολλούς όρους, κτλ., χωρίς καμία βαθμολογική απώλεια. (γʹ) Όλες οι ομάδες ασκήσεων έχουν την ίδια βαρύτητα. Όχι όμως και όλες οι ασκήσεις σε μια ομάδα. 8. Επιστροφή διορθωμένων εργασιών και ανακοίνωση βαθμολογίας: (αʹ) Οι εργασίες θα διορθώνονται με καθυστέρηση τουλάχιστον ενός μήνα από την καταληκτική ημερομηνία παράδοσης. (βʹ) Οι διορθωμένες εργασίες θα διατίθενται για παραλαβή στο τραπεζάκι έξω από το γραφείο του διδάσκοντα, και η βαθμολογία θα αναρτάται περιοδικά στα έγγραφα του eclass. Στο τέλος του εξαμήνου, όσες δεν παραληφθούν από τους συγγραφείς τους θα ανακυκλωθούν. (γʹ) Αν έχετε ενστάσεις σχετικά με τη διόρθωση, ελάτε με την διορθωμένη ομάδα σας σε ώρες γραφείου του διδάσκοντα. (δʹ) Αν δεν μπορείτε να βρείτε την βαθμολογία της εργασίας σας στο σχετικό έγγραφο, αναζητήστε τη στις διορθωμένες, και δώστε τη στον διδάσκοντα σε ώρες γραφείου. Αν δεν υπάρχει στις διορθωμένες (και μόνο τότε) ενημερώστε τον διδάσκοντα. 9. Συνεργασία: (αʹ) Μπορείτε να συνεργαστείτε όσο θέλετε, και να ανταλλάξετε προφορικά ιδέες, ακόμα και λύσεις.

3 (βʹ) Αρκεί ο καθένας να γράψει μόνος του την λύση του, και να καταλαβαίνει τι γράφει. (γʹ) Εργασίες εμφανώς αντιγραμμένες θα μηδενίζονται, και όλο το bonus του συγγραφέα τους θα τίθεται αμετάκλητα στο μηδέν. Επομένως, άλλες εργασίες που έχει ήδη παραδώσει ή θα παραδώσει στο μέλλον δεν θα έχουν επίδραση στο τελικό του βαθμό. (δʹ) Απαγορεύεται να δείτε λύσεις ασκήσεων παλαιοτέρων ετών ή λύσεις των ίδιων ασκήσεων από το διαδίκτυο.. Σημαντικά σχόλια: (αʹ) Προσπαθήστε να είστε κατά το δυνατόν σαφείς στις λύσεις σας. Δεν βοηθά μόνο τους διορθωτές, αλλά και εσάς να οργανώνετε τη σκέψη σας καλύτερα. (βʹ) Ενημερώστε άμεσα τον διδάσκοντα σε περίπτωση εύρεσης λάθους είτε στις εκφωνήσεις είτε στις λύσεις. (γʹ) Ενημερώστε τον διδάσκοντα αν η παράδοση μιας ομάδας ασκήσεων συμπίπτει με την παράδοση ασκήσεων άλλων μαθημάτων του ίδιου εξαμήνου. (Ενδεχομένως να υπάρξει αλλαγή, αν η ύλη το επιτρέπει.) (δʹ) Για την εύρυθμη λειτουργία του μαθήματος, προσπαθήστε να τηρήσετε κατά το δυνατόν όλες τις άνω οδηγίες. (εʹ) Βλέπετε το dias mail σας. Το έχετε για να επικοινωνούν μαζί σας οι διδάσκοντες, εκτός των άλλων και όταν υπάρχει πρόβλημα με την παράδοση κάποιας εργασίας. 3

4 η Ομάδα Ασκήσεων. Εκτός από την ένωση και την τομή, μπορούμε να ορίσουμε και το άθροισμα δύο συνόλων. Συγκεκριμένα, ορίζουμε το άθροισμα Minkowski A + B δύο συνόλων A, B, ως το νέο σύνολο που αποτελείται από όλους τους αριθμούς z που μπορούν να γραφούν ως το άθροισμα a + b ενός αριθμού a που ανήκει στο A και ενός αριθμού b που ανήκει στο B. Πιο συνοπτικά: A + B {z R : z = a + b, a A, b B}. Με δεδομένο τον άνω ορισμό, προσδιορίστε τα ακόλουθα αθροίσματα Minkowski: [, ] + [, 3], Z + (, ), Z + [, ], Q + Q, Q + (R \ Q).. Να αποδείξετε ότι η ένωση επιμερίζει την τομή και η τομή επιμερίζει την ένωση: για κάθε A, B, C R, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το ότι δύο σύνολα A, B είναι ίσα αν και μόνο αν A B και B A. 3. Έστω το σύνολο των αριθμών {,,, 3, 4, 5} για τους οποίους ορίζουμε την πρόσθεση modulo 6 και τον πολλαπλασιασμό modulo 6. Δηλαδή, για να υπολογίσουμε την πρόσθεση (πολλαπλασιασμό) modulo 6 δύο στοιχείων προσθέτουμε (πολλαπλασιάζουμε) τα στοιχεία μεταξύ τους και κατόπιν λαμβάνουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 6. Είναι αυτό το σύνολο, εφοδιασμένο με αυτές τις πράξεις, πεδίο; Γιατί; 4. Προσδιορίστε το εσωτερικό των παρακάτω συνόλων. Ποια από αυτά είναι ανοικτά; 5. Να αποδείξετε το δεύτερο σκέλος της Πρότασης.8. (, ), (, ], Q, R Q, Z, R Z. 6. Έστω δύο μη κενά και φραγμένα άνω σύνολα A και B με suprema sup A και sup B αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το άθροισμα Minkowski A + B έχει επίσης supremum, τον αριθμό sup(a + B) = sup A + sup B. η Ομάδα Ασκήσεων 7. Έστω f περιττή. Να δείξετε, χρησιμοποιώντας ορισμούς πλευρικών ορίων, ότι lim x + f(x) = L ανν lim x f(x) = L. 8. Δίνεται f(x) με lim x x f(x) = και f(x) σε μια γειτονιά του x. Να δείξετε ότι lim x x f(x) =. 9. Έστω lim x x f(x) = k >. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ανοικτή γειτονιά (a, b) περί το x, δηλαδή a, b R με a < x < b, και θετικός P R + τέτοια ώστε x (a, b) {x } f(x) > P, Παρατηρήστε ότι το αποτέλεσμα αυτό είναι πιο ισχυρό από το x (a, b) {x } f(x) >, διότι στην πρώτη περίπτωση οι τιμές του x δεν μπορούν να πλησιάσουν αυθαίρετα κοντά στο. Διαισθητικά, η ιδιότητα μας λέει ότι αν σε κάποιο x το όριο είναι θετικό, τότε υπάρχει μια γειτονιά γύρω από το x στην οποία οι τιμές της συνάρτησης κρατιούνται μακρυά από το.. Έστω συνάρτηση f(x) με όριο lim f(x) =. Να δείξετε, χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ορίου, ότι υπάρχει x κάποιος X R τέτοιος ώστε το f(x) > π για κάθε x > X.. Να προσδιορίσετε τα παρακάτω όρια, εφόσον υπάρχουν: ( ) x cos x (αʹ) lim. x (βʹ) lim cos x x x. 4

5 . Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f : [a, ) R είναι αύξουσα και υπάρχει το όριο L = lim f(x), τότε είναι φραγμένη άνω. x 3. Να δείξετε ότι για n N έχουμε lim x n =. 4. Αν lim x x f(x) =, τότε και lim x x /f(x) =. 5. Να αποδείξετε, με χρήση του ορισμού του ορίου, ότι lim x =, x + x και lim =. x x 6. Να δείξετε ότι αν μια ακολουθία a(n) έχει πεπερασμένο όριο lim a(n), τότε είναι φραγμένη. n 7. Να δείξετε ότι αν μια ακολουθία a n είναι αύξουσα, τότε είτε έχει πεπερασμένο όριο L είτε τείνει στο. (Υπόδειξη: υπάρχουν δύο περιπτώσεις, η περίπτωση η a n να είναι φραγμένη άνω, οπότε το σύνολο τιμών της έχει supremum, και η περίπτωση η a n να μην είναι φραγμένη άνω.) 3η Ομάδα Ασκήσεων 8. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x με f(x ) > (εναλλακτικά, f(x ) < ), τότε υπάρχει ένα διάστημα της μορφής I = (a, b) με x (a, b) τέτοιο ώστε f(x) > (εναλλακτικά, f(x) < ) παντού στο I. 9. Έστω f : A R συνάρτηση συνεχής σε κάποιο x. Έστω ακολουθία a n x με {f(a n ) : n N } A. Να δείξετε ότι υπάρχει το όριο lim f(a n) και μάλιστα lim f(a n) = f( lim a n) = f(x ). Να χρησιμοποιήσετε n n n αποκλειστικά τους ορισμούς των σχετικών ορίων και της συνέχειας.. Να δείξετε ότι αν μια συνεχής συνάρτηση f : [a, ) R έχει το πεπερασμένο όριο L = lim f(x), τότε είναι φραγμένη άνω και κάτω. Πριν προχωρήσετε στη λύση, βεβαιωθείτε ότι έχετε κατανοήσει την γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος.. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα I και λαμβάνει μόνο ρητές τιμές στο I, τότε είναι σταθερή στο I. Πριν προχωρήσετε στη λύση, βεβαιωθείτε ότι έχετε κατανοήσει την γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος.. Να δείξετε ότι αν το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης f : [, 4] R διέρχεται από τα σημεία (, ) και (4, ), τότε υπάρχει κάποιο x τέτοιο ώστε f(x ) = x. 3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση του υπερβολικού ημίτονου y = sinh x = ex e x, x R, είναι στο πεδίο ορισμού της R και έχει πεδίο τιμών το R. Επίσης, να δείξετε ότι η αντίστροφή της είναι η ( arcsinh y = log y + ) y +, y R, όπου log x είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Κατόπιν, σχεδιάστε και τις δύο συναρτήσεις. 4. Να υλοποιήσετε τη Μέθοδο της Διχοτόμησης σε μια γλώσσα προγραμματισμού της επιλογής σας. Το πρόγραμμα που θα υλοποιήσετε θα πρέπει να δέχεται ως εισόδους: (αʹ) Ένα αρχικό διάστημα στο οποίο είναι γνωστό ότι υπάρχει μια ρίζα. (βʹ) Το μέγιστο επιτρεπτό σφάλμα στη θέση της ρίζας. (γʹ) Την μέγιστη επιτρεπτή απόλυτη τιμή της συνάρτησης στο σημείο που επιστρέφεται ως εκτίμηση της ρίζας. x 5

6 Η συνάρτηση f(x) της οποίας αναζητείται η ρίζα μπορεί να δίνεται είτε σαν όρισμα (προτιμότερο), είτε να υλοποιείται εντός του προγράμματος (αν δεν ξέρετε πως να την περάσετε στην συνάρτηση ως όρισμα). Το πρόγραμμα πρέπει να παρέχει ως έξοδο την εκτίμηση για τη ρίζα, καθώς και να εκτυπώνει ενδιάμεσα αποτελέσματα, σε επτά στήλες, με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών στοιχείων, ως εξής: (αʹ) Η πρώτη στήλη να δείχνει την επανάληψη n. (βʹ) Η δεύτερη στήλη να δείχνει το αριστερό άκρο a του τρέχοντος διαστήματος στην αρχή της επανάληψης. (γʹ) Η τρίτη στήλη να δείχνει το δεξί άκρο b του τρέχοντος διαστήματος στην αρχή της επανάληψης. (δʹ) Η τέταρτη στήλη να δείχνει το μέσο m του τρέχοντος διαστήματος στην αρχή της επανάληψης. (εʹ) Η πέμπτη στήλη να δείχνει την τιμή f(a). (ϛʹ) Η έκτη στήλη να δείχνει την τιμή f(b). (ζʹ) Η έβδομη στήλη να δείχνει την τιμή f(m). 5. Χρησιμοποιήστε το πρόγραμμα που αναπτύξατε στην προηγούμενη άσκηση με τέτοιες παραμέτρους εισόδου ώστε να εκτελούνται τουλάχιστον επαναλήψεις και με αρχικό διάστημα το [, 3], προκειμένου να προσδιορίσετε την θετική ρίζα της εξίσωσης sin x = x. (Πόσες ρίζες έχει η συνάρτηση;) 6. Συγκεκριμένα, δείξτε ότι η f(x) = A cos(ax + b) όπου A, a, b R, είναι Lipschitz συνεχής στο R. 4η Ομάδα Ασκήσεων 7. Να δείξετε ότι η συνάρτηση x f D (x), όπου η συνάρτηση Dirichlet f D (x) έχει οριστεί στις σημειώσεις, είναι παραγωγίσιμη στο αλλά πουθενά αλλού. 8. Να δείξετε ότι tan x = cos x, cot x = sin x, με χρήση του ορισμού της παραγώγου και γνωστών τριγωνομετρικών ορίων. 9. Υπολογίστε παντού την παράγωγο της συνάρτησης f : R R που ορίζεται ως f(x) = x με χρήση του ορισμού της παραγώγου. 3. Έστω συνάρτηση g(x) : R R με g(x) M για κάθε x R, όπου M R σταθερά. Έστω επίσης η συνάρτηση f(x) = (x ) g(x). Να δείξετε ότι: (αʹ) Η f(x) είναι συνεχής στο. (βʹ) Η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο. (γʹ) Η δεύτερη παράγωγος f (x) της f(x) μπορεί να μην υπάρχει στο για κάποιες g(x). (Δώστε παράδειγμα g(x) για την οποία δεν υπάρχει η f (x)). 3. Να δείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης της αντίστροφης συνεφαπτομένης, που ορίζεται στις σημειώσεις, είναι η (arccot y) = + y, y R. 3. Έστω συναρτήσεις f, g τέτοιες ώστε f(a) = g(a) και f (x) g (x) παντού σε ένα διάστημα I = [a, b], I = [a, b), ή I = [a, ). Να δείξετε ότι f(x) g(x) παντού στο I. 33. Υπολογίστε τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα. Σε όλες τις περιπτώσεις, επιβεβαιώστε ότι βρήκατε το σωστό αποτέλεσμα, παραγωγίζοντάς το. (αʹ) x sin x dx. (βʹ) x cos x dx. (γʹ) arcsin x dx. 6

7 (δʹ) (εʹ) (ϛʹ) arccos x dx. sin x dx. cos x dx. 5η Ομάδα Ασκήσεων (Κεφάλαιο 6) 34. Υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες προσεγγιστικά εκτελώντας μόνο τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις και υπολογίζοντας, όπου χρειάζεται, ρίζες που είναι ακέραιοι, και κατόπιν εκτιμήστε το αριθμητικό σφάλμα E(x), όπως αυτό ορίζεται στην Παράγραφο 6., χρησιμοποιώντας υπολογιστή: 3 7, 63, sin(.), cos(.). 35. Να υπολογίσετε το όριο lim x sin x tan x x Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f κυρτή σε κάποιο διάστημα I έχει ολικό ελάχιστο σε κάποιο x, τότε είναι φθίνουσα αριστερά του x (εφόσον το x δεν είναι το αριστερό άκρο του I) και αύξουσα δεξιά του x (εφόσον το x δεν είναι το δεξί άκρο του I). 37. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα I, τότε είναι αδύνατο να βρεθούν τρία σημεία x < x < x εντός του I τέτοια ώστε f(x ) > f(x ) και f(x ) > f(x ). 38. Έστω f ορισμένη σε κάποιο διάστημα I και κυρτή σε αυτό, με τοπικό ελάχιστο σε κάποιο x. Τότε, να δείξετε ότι το x είναι και ολικό ελάχιστο. 39. Υλοποιήστε τη Μέθοδο του Νεύτωνα σε μια γλώσσα προγραμματισμού της προτίμησής σας, χρησιμοποιώντας, ως βάση, τον ψευδοκώδικα αυτής της παραγράφου. Τα ορίσματα εισόδου του προγράμματος που θα δημιουργήσετε πρέπει να περιλαμβάνουν τουλάχιστον το αρχικό σημείο όπου υπολογίζεται η τιμή της συνάρτησης και της παραγώγου της, το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων, και την ανοχή E f στην τιμή της συνάρτησης. (Επομένως, το πρόγραμμα θα διακόπτεται είτε όταν βρεθεί x n με f(x n ) E f, είτε όταν ολοκληρωθεί το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων.) Είναι επιθυμητό, αλλά όχι απαραίτητο, να δίνονται ως ορίσματα και η συνάρτηση της οποία ζητείται η ρίζα καθώς και η παράγωγός της. Επομένως, αν δεν γνωρίζετε πώς να δίνετε συναρτήσεις ως ορίσματα, μπορείτε για κάθε συνάρτηση της οποίας τη ρίζα θέλετε να υπολογίσετε να τροποποιείτε ανάλογα τον κώδικά σας. Το πρόγραμμα θα πρέπει να επιστρέφει ένα πίνακα όπως αυτούς της Παραγράφου 6.4, με ακρίβεια τουλάχιστον 8 δεκαδικών ψηφίων για κάθε επανάληψη της μεθόδου, δεν είναι όμως απαραίτητο να παράγει κάποιο σχήμα. 4. Χρησιμοποιήστε την υλοποίηση της προηγούμενης άσκησης για να εντοπίσετε μια ρίζα της συνάρτησης f(x) = cos x + x Χρησιμοποιήστε την υλοποίηση της Άσκησης 4 προκειμένου να βρείτε την ρίζα της συνάρτησης f(x) = cos x x 3, ως εξής: (αʹ) Μια φορά για 7 επαναλήψεις και με αρχικό σημείο το x =.3, (βʹ) και μια φορά επίσης για 7 επαναλήψεις αλλά με αρχικό σημείο το x =. Καταγράψτε τα σημεία που υπολογίζει ο αλγόριθμος, και στις δύο περιπτώσεις, με ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων. Τι παρατηρείτε; 6η Ομάδα Ασκήσεων (Κεφάλαιο 7) 4. Να επαναλάβετε τη μεθοδολογία του Παραδείγματος 7.4 προκειμένου να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x είναι ολοκληρώσιμη στο [, a] με ολοκλήρωμα a /. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την Άσκηση Να δείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο διάστημα [a, b], και επιπλέον b f =, τότε υποχρεωτικά f = παντού a στο [a, b]. 7

8 44. Να δείξετε ότι αν b a g =, τότε για κάθε f ολοκληρώσιμη στο [a, b] θα έχουμε b fg =. Βεβαιωθείτε ότι a αντιλαμβάνεστε την φυσική ερμηνεία αυτής της ιδιότητας. 45. Το υπερβολικό ημίτονο sinh x, το υπερβολικό συνημίτονο cosh x, η υπερβολική εφαπτομένη tanh x και η υπερβολική συνεφαπτομένη coth x, όλα με x R, ορίζονται, αντιστοίχως, ως sinh x = ex e x, cosh x = ex + e x, tanh x = sinh x cosh x, cosh x coth x = sinh x. (αʹ) Να αποδείξετε ότι οι sinh x, tanh x, coth x είναι περιττές συναρτήσεις, ενώ η cosh x είναι άρτια. (βʹ) Να αποδείξετε τις ακόλουθες ιδιότητες: cosh x sinh x =, sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, sinh x = sinh x cosh x, cosh x = cosh x + sinh x, sinh x = tanh x tanh x, cosh x = + tanh x tanh x tanh, tanh x = x + tanh x. Παρατηρήστε ότι όλες οι άνω ιδιότητες είναι ανάλογες αντίστοιχων ιδιοτήτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αυτό δεν είναι τυχαίο, καθώς οι τριγωνομετρικές και οι υπερβολικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνδέονται στενά, αλλά για να μελετήσουμε τη σχέση τους χρειαζόμαστε γνώσεις μιγαδικής ανάλυσης. (Δεν έχουμε ακόμα ορίσει αυστηρά την εκθετική συνάρτηση e x. Αυτό θα γίνει σε κατοπινό κεφάλαιο. Επειδή όμως η συνάρτηση αυτή, καθώς και η αντίστροφή της, log x, του φυσικού λογαρίθμου, σας είναι γνωστές από το Λύκειο, θα τις δούμε πριν τον αυστηρό ορισμό τους σε αυτήν και σε ορισμένες ακόμα ασκήσεις. Θα συμβολίζουμε, επίσης, την εκθετική συνάρτηση και ως exp x.) 46. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση του υπερβολικού συνημίτονου y = cosh x = ex + e x, x R, είναι στο υποσύνολο [, ) του πεδίου ορισμού της R και έχει πεδίο τιμών το [, ). Επίσης, να δείξετε ότι η αντίστροφή της στο υποσύνολο [, ) του πεδίου ορισμού της R είναι η ( arccosh y = log y + ) y, y [, ), () όπου log x είναι ο φυσικός λογάριθμος του x. Κατόπιν, σχεδιάστε και τις δύο συναρτήσεις. 7η Ομάδα Ασκήσεων (Κεφάλαιο 8) 47. Έστω συνάρτηση G : [a, b] R συνεχής. Έστω παραγωγίσιμες f, f : [c, d] R με f ([c, d]), f ([c, d]) (a, b). Να δείξετε ότι για κάθε x (c, d) έχουμε ( ) f(x) G(t) dt = G(f (x))f (x) G(f (x))f (x). f (x) (Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε τον Κανόνα της Αλυσίδας.) Επίσης, να δώσετε μια γεωμετρική ερμηνεία του αποτελέσματος, εξετάζοντας τι θα συμβεί αν το x μεταβληθεί κατά μια πολύ μικρή ποσότητα x. 48. (αʹ) Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση f : R R είναι άρτια, τότε το ολοκλήρωμα F (x) = x f(t) dt είναι περιττή συνάρτηση. (βʹ) Να δείξετε ότι αν το ολοκλήρωμα F (x) = x f(t) dt μια συνεχούς f : R R είναι περιττή συνάρτηση, τότε η f(x) είναι άρτια. 49. Έστω ολοκληρώσιμη f : [ a, a] R περιττή. Να δείξετε ότι a a f =. 8

9 5. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα π sin(a sin x) dx. π 5. Να προσδιορίσετε τα A, B R για τα οποία ισχύει x( x) = A x + B x. Κατόπιν, να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα dx x( x) στο διάστημα (, ). 5. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: (αʹ) x n log x dx, όπου το n είναι ακέραιος. (βʹ) log ( x + k ) dx, όπου k R. log x (γʹ) x dx. Ποια παράγουσα διέρχεται από το σημείο (, ); ( (δʹ) log + ) dx. x dx (εʹ) cos x. sin x (ϛʹ) cos x dx. dx (ζʹ). Μπορείτε να δοκιμάσετε την αλλαγή μεταβλητής t = tan x. cos x(cos x + sin x) 53. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα όρια: (αʹ) lim x x x exp t dt. (βʹ) lim x ( + sin x) x. (γʹ) lim x( ) x. x 54. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: (αʹ) x cosh kx dx, όπου k R. dx (βʹ) sinh kx, όπου k R. (γʹ) + x dx. Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ότι (x dx = arcsinh x + C = log + ) x + + C. + x (δʹ) exp( x) dx. 8η Ομάδα Ασκήσεων (Κεφάλαιο 9) 55. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα καταχρηστικά ολοκληρώματα: 9

10 (αʹ) (βʹ) (γʹ) (δʹ) (εʹ) log x dx. e x sin x dx. tan π/ ( πx ) dx. dx + x. dx sin x cos x. 56. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου R = { [r, θ] : a θ b, cos θ r cos θ }. 57. (αʹ) Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που δημιουργείται αν περιστρέψουμε το γράφημα της συνάρτησης f(x) = cos x μεταξύ των σημείων x = π/ και x = π/ περί τον άξονα των x. (βʹ) Να επαναλάβετε το προηγούμενο σκέλος στην περίπτωση που η περιστροφή γίνεται περί την ευθεία y =. 58. Έστω ο κλάδος της υπερβολής y a x b = για τον οποίο y >. Αν περιστρέψουμε τον κλάδο περί τον άξονα των y δημιουργούμε ένα κέλυφος που μοιάζει με ποτήρι. Πόσος όγκος νερού χρειάζεται για να γεμίσουμε το ποτήρι μέχρι το ύψος y = A; Εννοείται πως A > a. 59. Να σχεδιάσετε, με κατά το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια, τόσο το στερεό που δημιουργείται από την περιστροφή περί τον άξονα των y του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ του γραφήματος της f, του άξονα των x, και των ευθειών x = a, x = b, όσο και το ίδιο το χωρίο, για τις ακόλουθες περιπτώσεις: (αʹ) f(x) = 3 sin x, a =, b = π (Ημιτονικό κέηκ). (βʹ) f(x) = 5e x, a =, b = 3 (Καπέλο Μάγισσας). (γʹ) f(x) = x +, a =, b = 3. (δʹ) f(x) = 9x/ x 3 + 9, a =, b = 3. (εʹ) f(x) = 3 sin x/x, a =, b = π. 6. Να δώσετε μια έκφραση για το μήκος της έλλειψης που περιγράφεται από την εξίσωση x a + y b =. Δεν χρειάζεται να υπολογίσετε σε κλειστή μορφή το ολοκλήρωμα που προκύπτει. (Αν το καταφέρετε, έχετε κάνει λάθος.) 6. Ένα αντικείμενο κινείται πάνω στο επίπεδο xy έτσι ώστε τη χρονική στιγμή t να βρίσκεται στη θέση (x(t), y(t)) που δίνεται από τις εξισώσεις x(t) = cos t + t sin t, y(t) = sin t t cos t. () Η κίνηση συμβαίνει μεταξύ των χρονικών στιγμών t = και t = π. Να απαντήσετε στα ακόλουθα: (αʹ) Ποιο είναι το συνολικό μήκος της τροχιάς του αντικειμένου; (βʹ) Ποια χρονική στιγμή, μέσα στο διάστημα [, π], το αντικείμενο θα έχει καλύψει το μισό από το μήκος του προηγούμενου σκέλους; (γʹ) Ποια χρονική στιγμή, μέσα στο διάστημα [, π], θα έχει τη μέγιστη στιγμιαία ταχύτητα (κατά μέτρο); (δʹ) Ποια χρονική στιγμή, μέσα στο διάστημα [, π], θα βρίσκεται στην ελάχιστη απόσταση από το σημείο (, ); (εʹ) Σχεδιάστε την καμπύλη.

11 9η Ομάδα Ασκήσεων (Κεφάλαιο ) 6. Να υπολογίσετε τις γενικές λύσεις των ακόλουθων ΔΕ και τις ειδικές λύσεις που ικανοποιούν την επιπλέον συνθήκη που δίνεται. Ακολούθως, να επαληθεύσετε ότι οι γενικές λύσεις που βρήκατε πράγματι ικανοποιούν τη δοσμένη ΔΕ, αντικαθιστώντας τες σε αυτήν. (αʹ) y (x) + (log x + )y(x) = x x +x, όπου x (, ), με συνθήκη την y() =. (βʹ) y (x) + ( + /x)y(x) =, όπου x (, ), με συνθήκη την y() =. (γʹ) y (x) + x y(x) = x, όπου x R, με συνθήκη την y() =. (δʹ) y (x) + (tan x)y(x) = με τη μονάδα. cos x, όπου x ( π/, π/), με συνθήκη το ολοκλήρωμα της ειδικής λύσης να ισούται (εʹ) (x + ) y (x) + 3(x + )y(x) = x, όπου x (, ), με συνθήκη την y() = π. 63. Να υπολογίσετε τις γενικές λύσεις των ακόλουθων ΔΕ και τις ειδικές λύσεις που ικανοποιούν την επιπλέον συνθήκη που δίνεται. Ακολούθως, να επαληθεύσετε ότι οι γενικές λύσεις που βρήκατε πράγματι ικανοποιούν τη δοσμένη ΔΕ, αντικαθιστώντας τες σε αυτήν. (αʹ) dy dx = (sin y)( + x ) x R, y(x) (, π), και βρείτε τη μερική λύση που διέρχεται από το (, π/). (βʹ) y (x) = e y x(log x), x >. Ακολούθως, να προσδιορίσετε την ειδική λύση που διέρχεται από το σημείο (x 3, y ) = (e, ). (γʹ) dy dx = xex y για x R. (δʹ) dy dx = (cos y)( + x 3 ), όπου x R, y(x) ( π/, π/), και βρείτε τη μερική λύση που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ( y ) (εʹ) y(x) (x) + y (x) = e x. Ακολούθως, να προσδιορίσετε την ειδική λύση που διέρχεται από το σημείο (x, y ) = (, ). 64. (αʹ) Έστω η διαφορική εξίσωση y (x) y(x) sin x = xe cos x που ισχύει παντού στο R. Να βρείτε τη γενική της λύση. Ακολούθως, να βρείτε το όριο των λύσεών της άνω ΔΕ καθώς x. (βʹ) Έστω, τώρα, η διαφορική εξίσωση z (x) z(x) sin x = z (x)xe cos x. Να βρείτε όλες τις λύσεις της που δεν μηδενίζονται πουθενά στο R. 65. Υλοποιήστε τη Μέθοδο του Euler σε γλώσσα προγραμματισμού της επιλογής σας. Η ρουτίνα που θα δημιουργήσετε θα λύνει αριθμητικά διαφορικές εξισώσεις της μορφής y (x) = f(x, y(x)) υλοποιώντας τον ψευδοκώδικα της Παραγράφου.5 ή ισοδύναμο, πάντως με τα ίδια ορίσματα εισόδου. Κατ εξαίρεση η συνάρτηση f μπορεί να δίνεται είτε ως όρισμα στη ρουτίνα (προτιμότερο), είτε να υλοποιείται εντός της ρουτίνας (αν δεν ξέρετε πως να περνάτε συναρτήσεις ως ορίσματα άλλων συναρτήσεων). Η έξοδος πρέπει να δίνεται με ακρίβεια τουλάχιστον 4 δεκαδικών ψηφίων, και πρέπει να περιλαμβάνει ένα πίνακα με τρεις στήλες, μια στήλη για την επανάληψη i, μια στήλη για την τιμή του x(i) στο οποίο υπολόγισε η ρουτίνα προσεγγιστικά την τιμή της συνάρτησης για εκείνη την επανάληψη, και τέλος μια στήλη για την προσεγγιστική τιμή y(i). 66. Χρησιμοποιήστε την ρουτίνα της Άσκησης 65 για να υπολογίσετε αριθμητικά τη λύση της ΔΕ y = y( y), με αρχικές συνθήκες x =, y =.5. Εκτελέστε επαναλήψεις με βήμα x =.5, και άλλες επαναλήψεις με βήμα x =.5.

12 η Ομάδα Ασκήσεων (Κεφάλαια, ) 67. Να δείξετε ότι αν δύο πολυώνυμα βαθμού μέχρι n έχουν ίσες όλες τις παραγώγους τους από μηδενικής μέχρι n τάξης σε ένα δοσμένο σημείο x, τότε είναι ίσα. Θεωρήστε n N, με την παράγωγο μηδενικής τάξης μιας συνάρτησης να είναι η ίδια η συνάρτηση. 68. Να προσδιορίσετε τα ακόλουθα πολυώνυμα Taylor: (αʹ) Το πολυώνυμο Taylor δευτέρου βαθμού της συνάρτησης f (x) = x 3 + x + 4x + 6 στο x =. (βʹ) Το πολυώνυμο Taylor τρίτου βαθμού της συνάρτησης f (x) = arctan x στο x =. Σε κάθε περίπτωση, σχεδιάστε τόσο τη συνάρτηση όσο και το πολυώνυμο Taylor, αν προτιμάτε με χρήση υπολογιστή. 69. Να προσδιορίσετε αν συγκλίνουν ή όχι οι ακόλουθες σειρές: (αʹ) n log n n 5 + n 3 + n. (βʹ) n sin(/n). (γʹ) n!. e n (δʹ) n + cos n n + n log n + sin n. (εʹ) n log( 6 n). 7. Να προσδιορίσετε αν αποκλίνουν ή συγκλίνουν οι ακόλουθες σειρές: (αʹ) e n (n)!. (βʹ) log ( + n ). (γʹ) n= n log n. (δʹ) cos n n. (εʹ) e n (n!). 7. (αʹ) Αν συγκλίνει η a n, θα συγκλίνει και η cos(a n ); Αιτιολογήστε την απάντησή σας. (βʹ) Έστω a n. Αν συγκλίνει η a n, θα συγκλίνει και η sin(a n ); Αιτιολογήστε την απάντησή σας. (γʹ) Έστω a n με a n. Αν συγκλίνει η sin(a n ), θα συγκλίνει και η a n ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. (δʹ) Έστω a n. Αν συγκλίνει η sin(a n ), θα συγκλίνει και η a n ; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 7. (αʹ) Να δείξετε ότι αν η σειρά a n συγκλίνει, τότε δεν μπορεί να συγκλίνει και η σειρά e an. (βʹ) Να δείξετε ότι αν η σειρά a n συγκλίνει, και a n >, τότε θα συγκλίνει και η σειρά (a n ).