3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3.1 Ορισµοί Σχ. 3-1 Τριγωνοµετρικός κύκλος Σχ. 3-2

Transcript

1 SECTIN 3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3. Ορισµοί Το τρίγωνο ABC έχει ορθή γωνία (90 ) στο C. Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας A ορίζονται ως εξής: Ηµίτονο B C Συνηµίτονο B Εφαπτόµενη t B Συνεφαπτόµενη ot B Τέµνουσα se B Συντέµνουσα s B Τριγωνοµετρικός κύκλος Σε ένα σύστηµα καρτεσιανών συντεταγ- µ ένων (Σχ. 3-) οι άξονες έχουν θετικές κατευθύνσεις ' από ' προς και από ' προς. Ο κύκλος µε κέντρο το Ο και ακτίνα καλείται τριγωνοµετρικός κύκλος. Οι τριγωνοµετρικοί III αριθµοί του τόξου t AP ορίζονται από τις συντεταγµένες και του σηµείου P ως εξής: Ηµίτονο τ ΟΡ' τ Συνηµίτονο τ ΟΡ'' τ II A P' Σχ. 3- B ' Σχ. 3- P Q' P'' A B I Q'' IV Εφαπτόµενη t t AQ < tτ < + Συνεφαπτόµενη ot t BQ < otτ < + Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί του τόξου t AP ταυτίζονται µε εκείνους της γωνίας f AP. Οι προηγούµενοι ορισµοί ισχύουν και για τόξα (ή γωνίες) µεγαλύτερα από 90.

2 SECTIN Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Για σε ακτίνια οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις,, t, ot έχουν τις ακόλουθες γραφικές παραστάσεις. / 3/ / / Σχ. 3-3 Σχ. 3-5 t / 3/ / / Σχ. 3-4 Σχ. 3-6 ot Τιµές τριγωνοµετρικών συναρτήσεων σε µοίρες σε ακτίνια t ot π/ ( 6 )/4 ( 6 + )/ π/6 / 3 / 3 / π/4 / / 60 π/3 3 / / 3 3 /3 75 5π/ ( 6 + )/4 ( 6 )/ π/ 0 ± 0 Για γωνίες σε άλλα τεταρτηµόρια µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τους τύπους µετασχηµατισµού της Παραγ. 3..

3 SECTIN 3 3. Ταυτότητες Βασικές t + ot t t se ot s Μετασχηµατισµοί ( ) ( ) t( ) t ot( ) ot ( ) ( ) ± t ot ± ( ) ± ( ) ot t ± (π ± ) (π ± ) (π ± ) ± (π ± ) t(π ± ) ±t ot(π ± ) ±ot t(π ± ) ±t ot(π ± ) ±ot Αθροίσµατα ( ± ) ± ( ± ) t ± t t( ± ) t t ot ot ot( ± ) ot ± ot

4 4 SECTIN +!( + )!( )!( + )!( ) +!( + )!( )!( + )!( ) ( ± ) t ± t ( ± ) ot ± ot![( ) ( + )]![( ) + ( + )]![( ) + ( + )] ( + )( ) ( + )( ) ( + )( ) ( ± i) h ± ih ( ± i) h #06 ih ± ih t( ± i) + h ih ot( ± i) h Πολλαπλές γωνίες t +

5 SECTIN 5 t + t t + t t t t t 3 3t t 3t t 4 4t 4t 4 6t + t t 5 t 0t + 5t 4 0t + 5t υνάµεις!!! +!

6 6 SECTIN 3. # #3 4! + '4 4 +! + '4 5 (5/8) (5/6)3 + (/6)5 5 (5/8) + (5/6)3 + (/6)5 ( ) k ( ) ( k ) k 0 k ( k ) k 0 k ( ) + k 0 k ( ) ( k) k ( ) k + k 0 k 3.3 Αντίστροφες Τριγωνοµετρικές Συναρτήσεις Αν, τότε η αντίστροφη συνάρτηση συµβολίζεται µε. Όµοια για τις άλλες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Με το συµβολισµό αυτό νοούνται οι συναρτήσεις που παίρνουν τιµές στα εξής διαστήµατα (συχνά καλούνται πρωτεύοντες κλάδοι): π/ π/ 0 π π/ < t < π/ 0 < ot < π Ιδιότητες + π/ t + ot π/ ot t (/) ( ) ( ) π t ( ) t ot ( ) π ot

7 SECTIN 7 Γραφικές παραστάσεις / / / Σχ. 3-7 / Σχ. 3-8 / / Σχ. 3-9 t 3.4 Επίπεδο Τρίγωνο Σχ. 3-0 ot Σε κάθε επίπεδο τρίγωνο οι πλευρές,, και οι γωνίες A, B, C συνδέονται µε τις εξής σχέσεις: A + B + C 80, Νόµος του ηµίτονου < < + A B C Νόµος του συνηµίτονου + C κτλ. Νόµος της εφαπτόµενης A B + t ( ) t ( A+ B) B A Σχ. 3- C

8 8 SECTIN Τύπος προβολής B + A Τύποι µε περίµετρο ( )( ) A s s ( ) A ss A ss ( )( s )( s ) κτλ. όπου s + + είναι η περίµετρος του τριγώνου. Ακτίνα περιγεγραµµένου κύκλου r A Ακτίνα εγγεγραµµένου κύκλου r ( s )t A 3.5 Σφαιρικό Τρίγωνο Σε κάθε σφαιρικό τρίγωνο οι πλευρές,, (τόξα µέγιστων κύκλων) και οι γωνίες A, B, C (δίεδρες γωνίες) συνδέονται µε τις εξής σχέσεις: Νόµος του ηµίτονου A B C Νόµος του συνηµίτονου + A A BC + BC Νόµος της εφαπτόµενης t ( A+ B) t ( + ) t ( A B) t ( ) Τύποι µε την περίµετρο A κτλ. s( s )( s )( s ) S( S A)( S B)( S C) BC B A Σχ. 3- C

9 SECTIN 9 ( )( ) A s s ( ) A s s ( ) S S A BC ( )( ) S B S C BC όπου s + + και S A + B + C. κτλ.