Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ
|
|
- Σκύλλα Καλλιγάς
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ
2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α Σελίδα 1
3 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο : { Όλα θετικά. ο Τεταρτημόριο : { Ημφ θετικό. 3 ο Τεταρτημόριο : { Εφφ,σφφ θετικές. 4 ο Τεταρτημόριο : { Συνφ θετική. Σελίδα
4 ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Από τον τριγωνομετρικό κύκλο παρατηρούμε ότι τα ημφ,συνφ είναι αριθμοί που κυμαίνονται από το -1 έως το 1.Ενώ οι εφφ,σφφ μπορούν να πάρουν όποιες τιμές θέλουμε. Δηλ.: Αν παρατηρήσουμε προσεχτικά τον τριγωνομετρικό κύκλο μπορούμε να βρούμε εκείνους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που αντιστοιχούν στα 4 σημεία του ορίζοντα. Αν το τόξο καταλήξει στο Βορρά ή στο Νότο παρατηρούμε ότι όταν ενώσουμε αυτά τα δύο σημεία με το Ο και προεκτείνουμε δεν θα ακουμπήσουμε τον άξονα των εφαπτομένων, γι αυτό και δεν ορίζεται η εφ και η εφ. Ομοίως για τον ίδιο λόγο δεν ορίζεται η σφ και η σφ. ημ συν εφ 0 Χ 0 Χ 0 σφ Χ 0 Χ 0 Χ Σελίδα 3
5 ΑΚΤΙΝΙΟ (rad) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα ακτίνιο ονομάζεται η επίκεντρη γωνία ενός κύκλου που το αντίστοιχο τόξο της έχει μήκος ίσο με μία ακτίνα. Α Β ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Το μήκος του κύκλου=l=π.ρ Η πλήρης γωνία είναι π rad Δηλ. ΣΧΕΣΗ ΑΚΤΙΝΙΟΥ ΚΑΙ ΜΟΙΡΑΣ Είναι γνωστό ότι τα π ακτίνια αντιστοιχούν στις 180 ο.άρα: α ακτίνια π ακτίνια Σελίδα 4
6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών 0 rad ημ 0 1 συν 1 0 εφ 0 1 Χ σφ Χ Σελίδα 5
7 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ :φ, π-φ ( ο τεταρτημόριο) π/ π-φ ημ(π-φ)= + ημφ συν(π-φ)= - συνφ ή συνφ= συν(π-φ) εφ(π-φ)= - εφφ σφ(π-φ)= - σφφ π Αφού καταλήγω στο ο τεταρτημόριο, μόνο το ημω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. π.χ ημ150 ο =ημ(180 ο -30 ο )=ημ30 ο =1/ συν10 ο =συν(180 ο -60 ο )=-συν60 ο = / ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΤΟΞΑ : φ,-φ (4 ο τεταρτημόριο) συν>0 0 ημ(-φ)= - ημφ ή -ημφ= ημ(-φ) 3π/ συν(-φ)= + συνφ εφ(-φ)= - εφφ ή -εφφ= εφ(-φ) σφ(-φ)= - σφφ ή -σφφ= σφ(-φ) π.χ εφ(-45 ο )= - εφ45 ο = - 1 σφ(-60 ο )= - σφ60 ο = /3 -φ Αφού καταλήγω στο 4 ο τεταρτημόριο, μόνο το συνω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. Σελίδα 6
8 ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΤΑΦΟΡΑ π : φ, π+φ (3 ο τεταρτημόριο) εφ, σφ >0 π π+φ ημ(π+φ)= - ημφ 3π/ συν(π+φ)= - συνφ εφ(π+φ)= + εφφ σφ(π+φ)= + σφφ π.χ ημ5 ο =ημ(180 ο +45 ο )= - ημ45 ο = / σφ40 ο =σφ(180 ο +60 ο )= σφ60 ο = Αφού καταλήγω στο 3 ο τεταρτημόριο, μόνο η εφφ άρα και η σφφ είναι θετικές γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ π : φ, π+φ (1 ο τεταρ) ημ,συν,εφ,σφ >0 π/ π+φ ημ(π+φ)= + ημφ συν(π+φ)= + συνφ εφ(π+φ)= + εφφ σφ(π+φ)= + σφφ 0 π Αφού καταλήγω στο 1 ο τεταρτημόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί γι αυτό και βάζουμε σε όλους +. Δηλαδή στους τριγωνομετρικούς αριθμούς η μία ολόκληρη περιστροφή δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα,ομοίως και οι δύο περιστροφές κ.ο.κ οι κ περιστροφές. Άρα: ημ(κπ+φ)=ημφ συν(κπ+φ)=συνφ εφ(κπ+φ)=εφφ σφ(κπ+φ)=σφφ Π.χ. ημ390 ο =ημ(360 ο +30 ο )=ημ30 ο =1/ Σελίδα 7
9 ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ π : φ,π-φ (4 ο τεταρ) συν >0 0 π ημ(π-φ)= - ημφ συν(π-φ)= + συνφ εφ(π-φ)= - εφφ σφ(π-φ)= - σφφ Π.χ. ημ300 ο =ημ(360 ο -60 ο )=-ημ60 ο =- 3π/ π-φ Αφού καταλήγω στο 4 ο τεταρτημόριο, μόνο το συνω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. συν315 ο =ημ(360 ο -45 ο )=συν45 ο =. ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΤΟΞΑ: φ, π/-φ (1 0 τετ.) ημ,συν,εφ,σφ >0 π/ π/-φ 0 ΠΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(π/-φ)= συνφ ή συνφ=ημ(π/-φ) Αφού καταλήγω στο 1 ο τεταρτημόριο, όλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί γι αυτό και βάζουμε σε όλους +. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός συν(π/-φ)= ημφ ή ημφ=συν(π/-φ) εφ(π/-φ)= σφφ ή σφφ=εφ(π/-φ) σφ(π/-φ)= εφφ ή εφφ=σφ(π/-φ) Σελίδα 8
10 ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ π : φ,π/+φ ( 0 τετ.) ημ >0 π/ π/+φ ΠΡΟΣΟΧΗ : ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ π Αφού καταλήγω στο ο τεταρτημόριο μόνο το ημω είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ημ(π/+φ)= + συνφ συν(π/+φ)= - ημφ εφ(π/+φ)= - σφφ σφ(π/+φ)= - εφφ ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός ΤΟΞΑ ΜΕ ΔΙΑΦΟΡΑ 3π/ : φ, 3π/+φ (4 0 τετ.) συν >0 π/ 0 3π/+φ ΠΡΟΣΟΧΗ : 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(3π/+φ)= - συνφ συν(3π/+φ)= + ημφ εφ(3π/+φ)= - σφφ σφ(3π/+φ)= - εφφ Αφού καταλήγω στο 4 ο τεταρτημόριο μόνο το συνφ είναι θετικό γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε 3 π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός. Σελίδα 9
11 ΤΟΞΑ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 3π/ : φ,3π/-φ (3 0 τετ.) εφ, σφ >0 ΠΡΟΣΟΧΗ : 3π/-φ π 3π/ ΑΛΛΑΖΕΙ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ημ(3π/-φ)= - συνφ συν(3π/-φ)= - ημφ εφ(3π/-φ)= + σφφ σφ(3π/-φ)= + εφφ Αφού καταλήγω στο 3 ο τεταρτημόριο μόνο η εφφ είναι θετική άρα και η σφφ, γι αυτό και βάζουμε +, ενώ στους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς βάζουμε αφού είναι αρνητικοί. ΠΡΟΣΟΧΗ: Όταν έχουμε π/ αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμός. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ i. { ii. { iii. Σελίδα 10
12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να βρεθεί το πρόσημο των παρακάτω τριγωνομετρικών αριθμών:,,,, ΛΥΣΗ Θυμήσου το Ο.Η.Ε.Σ. στον τριγωνομετρικό κύκλο.,, κ.ο. κ. ΑΣΚΗΣΗ η Αν να βρεθεί το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας φ. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Αν να δειχθεί ότι: i. εφφ ημφ +σφφ-συνφ ii. εφφ+ημφ. ΑΣΚΗΣΗ 4 η Αν να δειχθεί ότι: i. εφφ+ημφ-συνφ+σφφ ii. Σελίδα 11
13 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Ποιος είναι ο τύπος που συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ο τύπος που συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια είναι : ΑΣΚΗΣΗ 6 η Να μετατρέψεις τις παρακάτω μοίρες σε ακτίνια: ΛΥΣΗ κ.ο.κ. ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να μετατρέψεις τα παρακάτω ακτίνια σε μοίρες: ΛΥΣΗ, κ.ο. κ. Σελίδα 1
14 ΑΣΚΗΣΗ 8 η Nα φτιάξεις τον τριγωνομετρικό κύκλο και να αναφέρεις σε κάθε τεταρτημόριο το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών. ΑΣΚΗΣΗ 9 η Να αναχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί στο 1 ο τεταρτημόριο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). ΑΣΚΗΣΗ 10 η Να υπολογισθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: i. ημ150 ο = ii. συν10 ο = iii. εφ135 ο = iv. σφ10 ο = v. εφ40 ο = vi. ημ5 ο = vii. ημ(-30 ο )= viii. συν(-45 ο )= ix. εφ(-60 ο )= (Υπ. Τις παραπάνω μοίρες να τις γράψεις ως άθροισμα ή διαφορά με τις 180 ο, π.χ. 150 ο =180 ο -30 ο και 10 ο =180 ο +30 ο ) Σελίδα 13
15 ΑΣΚΗΣΗ 11 η Να υπολογισθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: i. ημπ/3= ( - ) ( ) ii. συν3π/4= iii. εφ5π/6= iv. σφ4π/3= v. εφ5π/4= vi. ημ7π/6= Θυμήσου ότι ημ(π-φ)= ημφ αφού το π-φ σε οδηγεί στο ο τεταρ. όπου το ημ vii. ημ(-5π/4)= -ημ5π/4= -ημ( + )= -ημ( + )= viii. ix. - (-ημπ/4)= ημπ/4= συν(-3π/4)= εφ(-5π/6)= Θυμήσου ότι ημ(-φ)=- ημφ αφού το -φ σε οδηγεί στο 4 ο τεταρ. όπου το ημ αλλά και το ημ(π+φ)=-ημφ αφού το π+φ σε οδηγεί στο 3 ο τετ. όπου ημ (Υπ. Τα παραπάνω ακτίνια να τα γράψεις ως άθροισμα ή διαφορά με το π, π.χ. = - = και = + = ) 9 ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων: i. Α= ii. Β= i. Α= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) αν φ= αν φ= ΛΥΣΗ αν φ= ( ), ( ) ( ) -ημφ, ( ) Θυμήσου ότι συν( αφού το τεταρ. όπου το συν -φ)=-ημφ -φ σε οδηγεί στο 3 ο ΠΡΟΣΟΧΗ: όποτε έχω Αλλάζει ο τριγωνομετρικός αριθμ. ( ), ( ) ΑΡΑ: Α= ( ) ( ) ( ) ii. Ομοίως. Σελίδα 14
16 ΑΣΚΗΣΗ 13 η Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και ημφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. ΛΥΣΗ 90 ο <φ<180 ο { ( ) Είναι γνωστό ότι σφφ =, δηλ. το αντίστροφο της εφφ. ΑΣΚΗΣΗ 14 η Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και συνφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. ΑΣΚΗΣΗ 15 η Δίνεται ότι 70 ο <φ<360 ο και ημφ= οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί..να υπολογιστούν.να υπολογιστούν ΑΣΚΗΣΗ 16 η Δίνεται ότι 0 ο <φ<90 ο και συνφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Σελίδα 15
17 ΑΣΚΗΣΗ 17 η Δίνεται ότι 90 ο <φ<180 ο και εφφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. 90 ο <φ<180 ο { ΛΥΣΗ Πάντα ξεκινάμε με την σχέση και διαιρούμε με το συνφ για να εμφανισθεί η εφφ που είναι γνωστή. ( ) ( ) Είναι γνωστό ότι σφφ =, δηλ. το αντίστροφο της εφφ. ΑΣΚΗΣΗ 18 η Δίνεται ότι 180 ο <φ<70 ο και σφφ=.να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί. Σελίδα 16
18 ΑΣΚΗΣΗ 19 η ταυτότητες: Να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικές i. ( ) ( ) ii. iii. iv. ( ) ( ) Πάντα ξεκινάμε από το πιο σύνθετο μέλος ΛΥΣΗ i. 1 ο μέλος=( ) ( ) = ημα.συνα ημα.συνα= 5.( + )=5.1=5= ο μέλος ii. 1 ο μέλος= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ο μέλος. ΑΣΚΗΣΗ 19 η ταυτότητες: Να αποδειχθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικές i. ii. 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 1 συνα - συνα 1 + ημα = εφα Σελίδα 17
19 ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. H γωνία με μέτρο 3π έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία - π. ii. Η γωνία με μέτρο 60 ο έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία - 40 ο iii. Αν ω < 0 τότε ημω < 0. iv. Το ημ750 ο είναι θετικός αριθμός. v. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ημω> 1. Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Το μέτρο της γωνίας θ = 40 ο σε rad είναι: Α. π 5 Β. 3π 4 Γ. ii. Το μέτρο της γωνίας θ = π 9 7π 1 Δ. π 1 Ε. 3 σε μοίρες είναι: Α. 100 Β. 105 ο Γ. 50 ο Δ. 00 ο Ε. 300 ο iii. Αν ημx = λ λ - λ ο λ παίρνει τιμές: Α. λ 1 Β. λ > 1 Γ. λ = 1 Δ. λ < -1 iv. Αν συν x = λ λ IR ο λ παίρνει τιμές: λ + 1 Α. -1 λ 1 Β. λ > Γ. λ 0 Δ. λ < -1 v. Η μεγίστη τιμή της παράστασης Κ = 3συνθ + ημθ είναι: Α. 4 Β. -4 Γ. 3 Δ. 0 Ε Σελίδα 18
20 Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να βρεθούν πάνω στο τριγωνομετρικό κύκλο: Τα σημεία που ορίζονται από την τελική πλευρά της γωνίας i) π 3 + Κπ, ii) - π 4 + Kπ π, iii) 3 + Κπ 6 Κ Ζ. ΑΣΚΗΣΗ η Για κάθε γωνία θ να βρείτε τις τιμές που παίρνουν οι παραστάσεις: Α = 3 - ημθ, Β = ημθ - 5συνθ, Γ = ημ θ + 3συνθ Δ = 3 συν θ - 4. ΑΣΚΗΣΗ3 η Nα βρείτε το πρόσημο των παρακάτω τριγωνομετρικών αριθμών: i) ημ550 ο, ii) συν80 ο, iii) εφ(-1000 ο ), iv) συν(-300 ο ). ΑΣΚΗΣΗ 4 η Αν π < θ < παραστάσεων: 3π Α= εφθ - ημθ - συνθ, Β = να βρείτε το πρόσημο των ημθ - εφθ συνθ - σφθ. ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: Α = - συν100 εφ780, Β = ημ4000 εφ00 συν5000 Δ ΑΣΚΗΣΗ 6 η Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ = 30 ο. Φέρουμε το ύψος ΑΔ, αν ΒΔ = 1cm, ΔΓ = 3cm να βρεις την περίμετρο του ΑΒΓ. Δ ΑΒΓ ΑΣΚΗΣΗ 7 η Δίνεται τρίγωνο με B = 8 ο, Γ = 50 ο. Φέρουμε το ύψος ΑΔ, αν ΔΓ = 8cm να βρείτε την πλευρά ΑΒ. Σελίδα 19
21 ΑΣΚΗΣΗ 8 η Σε ένα κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R να εγγράψετε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Εστω Μ το μέσο της ΒΓ. Να δείξετε ότι: i) ΒΓ = RημΑ, ii) ΑΜ = R (1 + συνα). ΑΣΚΗΣΗ 9 η Ενας ζωγράφος παρατηρεί άγαλμα ύψους 4,70m και βρίσκεται σε απόσταση 8m από αυτό. Αν το ύψος του ζωγράφου είναι 1,70m να βρείτε το μέτρο της γωνίας ω υπό την οποία ο ζωγράφος βλέπει το άγαλμα. ΑΣΚΗΣΗ 10 η Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: π - εφπ Α = 3ημ - 4(συνπ - 5ημπ) + ημ 3π. Σελίδα 0
22 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. Αν ημω = 0 τότε συνω = 0. ii. Αν ημω = 1 τότε συνω = 0. iii. Αν ημω = 0 τότε συνω = 1 ή συνω = -1. iv. Αν εφω = v. Αν εφω = vi. Αν ημω = 5 4 τότε σφω = α α τότε συνω = 1 + α. 1 τότε συνω = 3. vii. Αν ημω < 0 και συνω < 0 τότε εφω < 0. viii. Για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω = ix. Για κάθε γωνία ω ισχύει συν ω = 1 1+ εφ 1 1+ σφ ω. ω. Σελίδα 1
23 Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Αν x = συνθ και y = 3ημθ τότε ισχύει: y Α. x + 9 = 1, y Β. x - 9 = 1, y Γ. x + 3 = 1, Δ. x - y = 3. ii.αν x = 3ημθ και y = 4συνθ τότε ισχύει: x y x y Α. - = 1, Β. + = 1, Γ. 9x y = 1, Δ. x - y = 1. iii. H παράσταση Α = ημ 3 x συνx + συν 3 xημx είναι ίση με: Α. ημx, Β. συνx, Γ. ημxσυνx, Δ. εφx iv. H παράσταση Α = σφx συνxημx είναι ίση με: Α. ημx Β. ημ x Γ. συνx Δ. συν x v. Αν ημx = ο < x < 70 ο τότε συνx είναι ίσο με: Α. 4 5, Β. 5 4, Γ , Δ vi. Αν 0 < x < π και ημx + συνx = ημ 3 x + συν 3 x είναι: Α. 8 8 Β. Γ Δ Ε η τιμή της παράστασης π vii. Αν 0 < x < ημx + συνx είναι: και ημxσυνx = 5 8 η τιμή της παράστασης Α. 1, Β. 3, Γ., Δ. 3 8,Ε Σελίδα
24 Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 ΑΣΚΗΣΗ 1 η Αν σφx - και 3 παράσταση A = 1 + ημxσυνx 1 + ημx 3π < x < π να υπολογίσετε την π ΑΣΚΗΣΗ η Αν 9εφ x = 4 και < x < π να υπολογίσετε την εφx παράσταση A = 1 - ημx + εφx 1 + ημx.. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: α) συν 4 x - ημ 4 x = συν x - ημ x = συν x - 1 = 1 - ημ x β) (ημx + συνx) = 1 + ημx συνx. γ) ημ 4 x + συν 4 x = 1 - ημ xσυν x δ) ημ 6 x + συν 6 x = 1-3ημ xσυν x. ΑΣΚΗΣΗ 4 η Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες: α) εφα + σφβ εφβ + σφα = εφα εφβ β) (1 + εφ α) (1 - συν α) = εφ α γ) (ημα + εφα) (συνα + σφα) = (1 + ημα) (1 + συνα) Σελίδα 3
25 ΑΣΚΗΣΗ 5 η Να δείξετε ότι: Τριγωνομετρικός κύκλος α) 1 ημ θ - 1 εφ θ 1 β) εφ θ - ημ θ = εφ θ ημ θ γ) σφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ 1 δ) εφ θ εφ θ + σφ θ εφ θ ε) 1 + ημθ - συνθ 1 + ημθ + συνθ ημθ + συνθ 1 + ημθ - συνθ ημθ. ΑΣΚΗΣΗ 6 η Αν 0 < x < π να δείξετε ότι: α) 1 + ημx ημx 1 + ημx ημx = 1 + συνx ημx β) 1 + ημx 1 - ημx ημx 1 + ημx = εφx. ΑΣΚΗΣΗ 7 η Να δείξετε ότι: 4 α) ημ x + 4συν x = - ημ x β) ημ x + 4συν x + συν x + 4ημ x = Σελίδα 4
26 ΑΣΚΗΣΗ 8 η Εστω f(x) = 3 (ημ 4 x +συν 4 x) - (ημ 6 x + συν 6 x) με x R. Nα δείξετε ότι η f(x) είναι σταθερή. ΑΣΚΗΣΗ 9 η Αν είναι x = ημθ - συνθ το x ως συνάρτηση του y. και y = εφθ + σφθ να βρείτε ΑΣΚΗΣΗ 10 η Αν ημx + συνx = α του α οι παραστάσεις: να υπολογιστούν ως συνάρτηση Α. ημx συνx, Β. ημ 4 x + συν 4 x, Γ. ημ 3 x + συν 3 x, Δ. ημ 6 x + συν 6 x. ΑΣΚΗΣΗ 11 η Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = (ασυνx - βημx) +(αημx+ βσυνx) f(x) είναι σταθερή. με x ΙR. Να δείξετε ότι η ΑΣΚΗΣΗ 1 η Αν για τη γωνία θ ισχύει 4ημθ + 3συνθ = 5 i) Να δείξετε ότι εφθ = 4 3 ii) Να δείξετε ότι εφθ 1 + σφθ + εφθ 1 + εφθ = 4 3 ΑΣΚΗΣΗ 13 η Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε να ισχύει ημω = κ - κ + και συνω = κ κ +. ΑΣΚΗΣΗ 14 η Για κάθε γωνία x να αποδείξετε ότι: 1 α) ημx συνx, β) ημx + συνx 1, γ) ημ 4 x + συν 4 x π, δ) ημ x - 3ημx + 3 > 0 στ) ημx + συνx>1 με 0<x <. Σελίδα 5
27 ΑΣΚΗΣΗ 15 η Δίνεται η εξίσωση x - x - εφ θ = 0, συνθ 0. i) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, οι οποίες να βρεθούν. ii) Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε την τιμή της A = παράστασης x - x 1 1. iii) Αν f(x) = x x - 1 να δείξετε ότι f(x 1 ) f(x ) = - εφ θ ημ θ. ΑΣΚΗΣΗ 16 η Δίνεται η εξίσωση x - x ημθ - συν θ = 0. i) Να λύσετε την εξίσωση. ii) Αν x 1, x οι ρίζες της εξίσωσης να αποδείξετε ότι : x 1 + x 4. iii) Να υπολογίσετε την παράσταση 1 x + 1 x 1 ΑΣΚΗΣΗ 17 η Δίνεται η εξίσωση x - (λ + 1)x + λ = 0 βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες: α) ρ 1 = ημθ, ρ = συνθ β) ρ 1 = εφθ, ρ = σφθ. ΑΣΚΗΣΗ 18 η Αν είναι ημx + συνx = α με 0 < x < Α = ημx + συνx + ημ 3 x + συν 3 x + ημ 4 x + συν 4 x τότε: i) Να βρείτε τι τιμές παίρνει ο α.. π και ii) Να βρείτε την παράσταση Α ως συνάρτηση του α. iii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης Α για x = λ ΙR. Να π 4. Σελίδα 6
28 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Α) Ερωτήσεις Σωστού (Σ) - Λάθους (Λ) i. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου ισχύουν: α. ημ(α + Β) = - ημγ β. συν A + B Γ = ημ γ. συν (Α + Β) = - συνγ A δ. εφ + B Γ = - σφ ε. εφ(β + Γ) = εφα στ. σφ(β + Γ) = - σφα ii. ισχύει ημ600 ο = -συν30 ο iii. ισχύει ημ(180 ο + ω) = ημω iv. ισχύει συν(360 ο - ω) = συνω v. ισχύει εφ(90 ο + ω) = - σφω vi. ισχύει σφ(70 ο + ω) = - σφω vii. ισχύει ημ(90 ο - ω) = - συνω viii. ισχύει συν(70 ο + ω) = ημω ix. ισχύει σφ(70 ο - ω) = εφω x. ισχύει ημ 50 ο + ημ 40 ο = 1 xi. ισχύει ημ 70 ο + ημ 0 ο = 1 xii. ισχύει συν 80 ο + συν 170 ο = 1 Σελίδα 7
29 Β) Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής i. Το συν(180 + ω) είναι ίσο με: Α. συνω Β. - συνω Γ. ημω Δ. - ημω ii.η εφ(90 + ω) είναι ίση με: Α. - εφω Β. σφω Γ.- σφω Δ. εφω iii. Η σφ(360 + ω) είναι ίση με: Α. - εφω Β. εφω Γ. - σφω Δ. σφω 3π iv.το ημ + ω είναι ίσο με: Α. - συνω Β. συνω Γ. ημω Δ. - ημω 3π v.το συν - ω είναι ίσο με: Α. - ημω Β. ημω Γ. συνω Δ. - συνω 15π vi.το συν + ω είναι ίσο με: Α. ημω Β. συνω Γ. - ημω Δ. - συνω 19π vii.h εφ - ω είναι ίση με: Α. - σφω Β. σφω Γ. εφω Δ. - εφω 1π viii.το ημ + ω είναι ίσο με: Α. -ημω Β. ημω Γ. - συνω Δ. συνω Σελίδα 8
30 ix. Αν Α, Β, Γ γωνίες τριγώνου τότε: α) Το ημ(β + Γ) είναι ίσο με: Α. - συνα Β. συνα Γ. - ημα Δ. ημα β) Το συν A + B είναι ίσο με: Α. ημ Γ Β. - ημ Γ Γ. συν Γ Δ. - συν Γ B γ) Η εφ + Γ είναι ίση με: Α. εφ A Β. - σφ A Γ. - εφ A Δ. σφ A δ) Η σφ Γ + Α είναι ίση με: Α. σφ B Β. - εφ B Γ. εφ B Δ. - σφ B. x. H παράσταση συν ω + συν π - ω είναι ίση με: Α. συν ω Β.0 Γ.1 Δ. Ε. ημ ω xi. π H παράσταση συν 4 + x π - ημ 4 - x είναι ίση με: Α. ημx Β.συνx Γ.- Δ.0 Ε. Σελίδα 9
31 xii. Τριγωνομετρικός κύκλος π ημ(π + θ) ημ + θ H παράσταση συν (π - θ) συν(π + θ) είναι ίση με: Α. 1 Β. -1 Γ. σφθ Δ.- σφθ Ε. εφθ xiii. H παράσταση: π συνx +συν + x + συν(π + x) + συν 3π + x είναι ίση με: Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. ημx Ε. συνx Σελίδα 30
32 ΑΣΚΗΣΗ 1 η 187π 6 Τριγωνομετρικός κύκλος Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών:, 04π 4, 105π 3. ΑΣΚΗΣΗ η Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: ο, 50 ο, ο. ΑΣΚΗΣΗ 3 η ι. ημ 71π 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 η A = Να υπολογίσετε τα:, ιι) συν - 5π 3, Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 3π συν (π + x) συν - x συν(π - x) ημ(π - x), ιιι) εφ 41π 6 B = Γ = ΑΣΚΗΣΗ 5 η ημ x - 3π 3 συν π- x εφ x - π συν x - 3π 3 3 π ημ - x ημ (- x) συν(- x) συν(π - x). Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: Α = ημ - 14π 3 + σφ - 9π 4 3π - εφ Β = 6συν - 3π 6 8π + σφ 4 - εφ 16π Σελίδα 31
33 ΑΣΚΗΣΗ 6 η π Αν ημ 4 + x π + ημ 4 - x = κ να αποδείξετε ότι: π συν 4 - x συν π 4 + x κ - 1 =. π ΑΣΚΗΣΗ 7 η Αν εφ 4 - α π + εφ 4 + α = 3 να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: π i) εφ 4 - α εφ π 4 + α ii) εφ ΑΣΚΗΣΗ 8 η παραστάσεις: i) συν π 4 - α + εφ π Αν ημ 4 + α + ημ π 4 + α +συν π 4 - α π 4 + α. π 4 - α 3 = να υπολογίσετε τις ii) ΑΣΚΗΣΗ 9 η π συν 4 + α συν π 4 - α. Να δείξετε ότι οι παραστάσεις: Α = συν(x + 40 ο ) + συν(x ο ) + συν(x +0 ο ) + συν(x +310 ο ) π B = συν + x συν(π - x) [εφ (π +x) + εφ 3π - x ]. 7π Γ = ημ - x ημ(π - x) + ημ(3π +x) ημ 3π + x είναι ανεξάρτητες του x. Σελίδα 3
34 ΑΣΚΗΣΗ 10 η Τριγωνομετρικός κύκλος π Αν εφ 3 - x + εφ την τιμή της παράστασης Α = εφ π 6 + x = 4 να υπολογίσετε π 3 - x + εφ π 6 + x. ΑΣΚΗΣΗ 11 η Να βρεθούν οι τιμές του ημ κπ 3 όταν κ ακέραιος. ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδειχθεί ότι: i) 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 ii) 0 < σφ (π +x) σφ (5π +x) + εφ(x - π) < 1 ΑΣΚΗΣΗ 13 η Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι γωνίες του είναι ανάλογες των αριθμών, 3, 4 και 15 αντίστοιχα. i) Να βρείτε τα μέτρα των γωνιών Α, Β, Γ, Δ. ii) Να δείξετε ότι: α. 3εφΑ - εφ(-β) - εφγ + εφ(-α) = 0 β. ημα + συν (-Β) - συν(-γ) - ημ (-Δ) = 0 Σελίδα 33
35 ΑΣΚΗΣΗ 14 η Δίνεται ότι ημ π 1 = 6-4. i) Να υπολογίσετε τους συν π π 1, εφ 1 ii) Να υπολογίσετε τους ημ 5π 5π 1, συν 1 iii) iv) Να υπολογίσετε το ημ Να υπολογίσετε το ημ 11π 1 13π 1 v) Μπορείτε να υπολογίσετε το ημ 7π 1. Σελίδα 34
36 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (1 ώρας ) ΑΣΚΗΣΗ 1 η Α. Να βρείτε το συνημίτονο των γωνιών: i) 300 ο ii) -40 ο iii) 10 ο (15 μονάδες) Β. Αν συν π 5 = να βρείτε το συν 4π 5. ΑΣΚΗΣΗ η (10 μονάδες) π Α. Δίνεται ότι ημ 4 - x + ημ π 4 + x = κ. π i) Δείξτε ότι ημ 4 - x = συν π ii) Δείξτε ότι συν 4 - x συν π 4 + x. π 4 + x κ - 1 =. (8 μονάδες) (7 μονάδες) π Β. Αν ημ 1 = 6-4 υπολόγισε το συν 13π 1. (10 μονάδες) Σελίδα 35
37 ΑΣΚΗΣΗ 3 η Α. Να απλοποιήσετε την παράσταση: A = εφ 3π - θ συν π + θ ημ π - θ σφθ ημ(π + θ) ημ(15π + θ) (10 μονάδες) Β. Να δείξετε ότι η παράσταση: 7π Α = ημ - x ημ (π - x) + ημ(3π +x) ημ είναι ανεξάρτητη του x. 3π + x (15 μονάδες) ΑΣΚΗΣΗ 4 η π Α. Η παράσταση ημ - x + συν(π +x) + συν x - π είναι ίση με: Α. 0 Β. 1 Γ. ημx Δ. συνx Ε. -1. (10 μονάδες) Β. Να αποδείξετε ότι 0 < εφ (π +x) εφx - σφ(π -x) < 1 (15 μονάδες) Σελίδα 36
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη
1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)
Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί
Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί
Ασκήσεις Τριγωνοµετρικοί Αριθµοί. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ο ) φέρουµε το ύψος Α. Ν.δ.ο. Γ ηµβ σφγ =. ΑΒ. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 5 ο. 3. Να υολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 78 Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1ο ΣΧΕ ΙΟ Η γενικευµένη γωνία Το ηµίτονο και το συνηµίτονό της ιάρκεια: Ολιγόλεπτο Θέµατα: ΘΕΜΑ 1ο 8 µονάδες 1. Με βάση το
1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία
Τριγωνομετρία. Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο
Τριγωνομετρία Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Να προσέχεις: ημ(-x)= - ημx εφ(-x)= - εφx σφ(-x)= - σφx συν(-x)= συνx να θυμάμαι όταν έχω - συνx γράφω συν(π-x) δηλαδή συν(π-x)= - συν x ημ(π-x)=ημx δηλαδή ημ10=ημ60
1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται
Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών
ΜΕΡΟΣ Β. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 491. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 8 Μ(x,y) 6 ρ 4 180-ω -10-5 5 Ο ω - -4 Οι παραπληρωματικές
Β Γενική Τριγωνομετρία
Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α Τριγωνοµ ετρικοί αριθµ οί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου 18 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί που συνδέονται µε τις οξείες γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου 1. α) Με βάση το διπλανό σχήµα να χαρακτηρίσετε
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα
3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ
TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α ) η μ + συν = γ ) εφ + =, ¹ κπ+ sun hm β ) εφ =, ¹ κπ+ sun sun δ ) σφ =, ¹
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ου ΒΑΘΜΟΥ α + β + γ 0, α 0 β 4 αγ Αν >0, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγµατικές ρίζες: 1, β ± α Αν 0, τότε η εξίσωση έχει µια ρίζα διπλή: β
ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν π 18 συνπ 9 - ηµ π. 18 ηµπ 9. β) συν18 ο συν27 ο - ηµ18 ο ηµ27 ο
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : α) συν
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ
Γ ΩΝΙΕΣ Π ΟΥ Σ ΥΝΔΕΟΝΤΑΙ Μ ΕΤΑΞΥ Τ ΟΥΣ Γωνίες με την ίδια τελική λευρά Γωνίες με άθροισμα 180 - Γωνίες με διαφορά 180 - Γωνίες αντίθετες Γωνίες με άθροισμα 90 - Γωνίες με διαφορά 90 Γωνίες με την ίδια
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ
Υπολογισμός παραστάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : 4 6 6 4 δ) ε) 4 6 4. Να υπολογίσετε τις τιμές των
1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3ο Κεφάλαιο - Τριγωνομετρία - Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. , να βρεθούν
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν 3 και < x < 3, να βρεθούν οι ΠΡΟΣΟΧΗ : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο
Αµυραδάκη, Νίκαια (1-493576) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο
3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του
Δ ςυνφ Α ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ. Β, 90 ο Α, Δ, 180 ο 360 ο Ν, 270 ο. Τριγωνομετρικός κύκλος. θμφ. , εφφ. ςφφ
ΤΙΓΩΝΟΜΕΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β θμφ, εφφ ςφφ Μ Δ ςυνφ Α Ν Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 1 ο Τεταρτθμόριο : { Πλα κετικά. ο Τεταρτθμόριο : { Ημφ κετικό. 3
Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"
Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3
Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα
ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ. 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ογελ ΣΥΚΕΩΝ ο ΓΕΛ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΥΚΕΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β Λυκει ου ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ Ειμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)
ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.
2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
ΜΕΡΟΣ Β.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 97.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 8 6 y Μ(x,y) ρ Ο ω x 1 Σ ε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων
3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας
. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας αέναντι κάθετη λευρά ημβ υοτείνουσα ημγ ΑB ροσκε ίμενη κάθετη λευρά συνβ υοτείνουσα συνγ αέναντι κάθετη λευρά εφβ ροσκε ίμενη κάθετη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής
Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας. . Τότε ορίζουμε: ί ά ά.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Αό το Γυμνάσιο ξέρουμε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ημβ = = έάά ί Γ συνβ = = ίάά ί β α εφβ = = έάά ίάά Τριγωνομετρικοί
ΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ
ΜΑΝΟΣ ΔΟΥΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΥΡΕΜΠΑΝΑΣ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.. Να συμπληρώσετε τα κενά : i) (α μ ) ν = ii) (κ.λ) ν = iii) α μ.α ν = iv) α μ : α ν =. v) (α : β) ν =.. vi) α -ν = a vii)... viii) a...
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1.Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ ii)συν( ) ΛΥΣΗ i)διαιρώντας το 1125 με το 360 βρίσκω.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Να βρείτε τους αριθμούς: i)ημ5 0 ii)συν(-660 0 ) i)διαιρώντας το 5 με το 60 βρίσκω και εομένως 0 0 0 5 60 5 5 60 5 5 0 0 0 0 0 ii) ( 660 ) ( 70 60 ) ( 60 60 ) 0 (60 ) Να
Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος
8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Χωρίς να λάβουμε υπόψη το πρόσημο: Αν οι δυο γωνιές έουν άθροισμα ή διαφορά, 18, 6 μοίρες τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει: ημ
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος 2ος 1η ΕΚΔΟΣΗ
Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος 1η ΕΚΔΟΣΗ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης
Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);
8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν
Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 16950 16954
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2
Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω
ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008
ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας
Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {
ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=
Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε
ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε
Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 4
Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μθηµτικός ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μορφές: Α. ηµ x, συνx, εφx, σφx. Β. ηµ x συνx, εφx σφx. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ηµ x ( συνx + ) (συν x 3)εφx ηµ 3 x ηµ x συν x 3 3 3 x σφ x εφx óõí çì x 3 3 3εφ x
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β E.M.E. (τεύχος 4) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κώστα Βακαλόουλου ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αν κάοιος θέλει να άψει να φοβάται το κεφάλαιο της Τριγωνομετρίας, ρέει ν αοφασίσει να διαβάσει ροσεκτικά τους
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας
7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω Αν πάνω στη µία από τις δύο πλευρές της γωνίας
2.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ
.3 ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες : ηµ ω + συν ω εφω συνω ΣΧΟΛΙΑ. Χρησιµότητα των τύπων : Ξέρω έναν τριγωνοµετρικό αριθµό και βρίσκω τους
3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 6 6 A OΜΑ ΑΣ. Αν ηµ και π <
Ελευθέριος Πρωτοπαπάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ)
Ελευθέρις Πρωταάς ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ) Να βρείτε την τιµή των αραστάσεων: o o συν 90 + ηµ 0 -σφ75 α) A =, ηµ o o 0 + συν 80
1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.
Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την
Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq. wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑ.Λ. uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiop
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΘΕΩΡΙΑ. Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες:
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: Γ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Τι λέγεται ταυτότητα; Β. Να συμπληρώσετε στο γραπτό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν ταυτότητες: Γ. Να αποδείξετε
ΘΕΜΑ 1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ)
1 Ο Α. i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σαν σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) α) Για την εξίσωση 6x 3x 1 0 ισχύει α = 3, β = -6, γ = 1 β) Η εξίσωση 3 0 δέχεται σαν λύση τον αριθμό. x 3x 3 ιι) Να συμπληρώσετε
ΟΝΟΜ/ΜΟ :... ΟΜΑ Α Α. 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : Σχῆµα 1: Ασκηση 1δ.
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 oυ 4 νoυ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΟΜΑ Α Α 1. Χαρακτηρίστε µε ΣΩΣΤΟ (Σ) ή ΛΑΘΟΣ (Λ) τις παρακάτω προτάσεις : (α ) Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = 3συν x 5 είναι 5π... (ϐ ) Η συνάρτηση f(x)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες
Νίκος Ζανταρίδης. Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας. Λυμένες Ασκήσεις. Προτεινόμενες Ασκήσεις
Νίκος Ζανταρίδης ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Χρήσιμες γνώσεις Τριγωνομετρίας Λυμένες Ασκήσεις Προτεινόμενες Ασκήσεις Αύγουστος 04 Πρόλογος Στο μικρό αρόν όνημα καταβλήθηκε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ 1. Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 8cm και η γωνία Β = 64 0. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΓ. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 9cm και εφγ
3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ
1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικοι αριθμοι οξειων γωνιων 9 ΑΥΓΟΥΣΤΟΥ 016 Κλίση ευθείας Όλοι έχουμε στο δρόμο τα παρακάτω σήματα, που από την εμπειρία μας καταλαβαίνουμε ότι πλησιάζουμε σε ανηφόρα.
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (Γ ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 1 1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος του Α είναι ίσο µε το µισό της λευράς ΒΓ. να αοδείξετε ότι ισχύει εφβ + εφγ εφβ εφγ και σφβ +
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 015 Περιεχόµενα 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ................................................
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί
Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες
Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο 29 Δεκεμβρίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1 Α2 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι: 4 4. Αν x, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x x. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 8 8 8, 7 48 4. 4. Να υπολογίσετε τα αναπτύγματα: i. x ii. α β
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
1.3 Εσωτερικό Γινόμενο
1 Εσωτερικό Γινόμενο 1 Αν α = ( 1, ) i α β iii και β = ( 1, ), να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα: ii ( α )( β ) α β α + β α iv Αν α =, β = 1 και ( αβ, ) = 15 ο, να υπολογίσετε το α β Με βάση το διπλανό
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.
ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε εριοδική συνάρτηση Μια συνάρτηση ƒ με εδίο ορισμού το Α λέγεται εριοδική όταν υάρχει ραγματικός αριθμός Τ, Τ > 0 τέτοιος ώστε για κάθε χ Α να ισχύει α) χ+τ Α, χ -
Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων
9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν
ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β
ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1. Να αναπτύξετε τις ταυτότητες: α. (α+8) β. (-) γ. (γ+k) δ. (+γ) ε. (3k-5λ) ζ. (5/κ - 4/λ) η. (/3-χ/4) θ. (χ - 3/χ) ι. (χ/3+3ψ/4) κ. (3χ+χ/) λ. (χ+8)(χ-8)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Συστήµατα 1.1 Μη γραµµικά συστήµατα........................ Ιδιότητες συναρτήσεων 3.1 Μονοτονία,
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: ΘΕΜΑ 1 ο. A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ;
ΓΡΑΠΣΕ ΑΝΑΚΕΥΑΛΑΙΩΣΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΕΡΙΟΔΟΤ ΜΑΪΟΤ ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ: B ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο A. Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού α ; B. Να αντιγράψετε και να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: i. Αν α 0,
ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις
με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).
Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να
Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.
Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις
Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.
Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 60. Α. α) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελίδα 3. β) Θεωρία από το σχολικό
Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου
Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά B Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά