Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου."

Transcript

1 Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr

2 Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06

3 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις Κάθε εξίσωση ου βαθμού με αγνώστους ονομάζεται γραμμική Η γενική της μορφή είναι y, 0 ή 0 και παριστάνει μια ευθεία γραμμή Σύστημα γραμμικών εξισώσεων Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις y και y και ζητάμε τις κοινές λύσεις αυτών, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους ή, y πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα και γράφουμε y Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστήματος λέγεται λύση του συστήματος Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος Αν: οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, y 0 0,που είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία στις δύο ευθείες Μέθοδος της Αντικατάστασης Λύνουμε μία από τις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στην η εξίσωση Έτσι προκύπτει μία εξίσωση με ένα μόνον άγνωστο Μέθοδος των Αντίθετων Συντελεστών Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο εξισώσεις με κατάλληλο αριθμό, ώστε να προκύψουν αντίθετοι συντελεστές σε κάποιον άγνωστο Στη συνέχεια, προσθέτουμε τις εξισώσεις κατά μέλη και προκύπτει μία εξίσωση με ένα μόνον άγνωστο Λύση γραμμικού συστήματος με ορίζουσες y Έστω το γραμμικό σύστημα : y Ορίζουσα D του συστήματος ονομάζεται η παράσταση Την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: D Ομοίως, την ορίζουσα που προκύπτει από την D, αν στη θέση των συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους, συμβολίζουμε με: D y

4 D, y, όπου και D, το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις Αν D 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση Αν D 0 y D y D Γραμμικό σύστημα Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους,y,z y z y z και θέλουμε y z να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδος αντικατάστασης Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις δύο άλλες εξισώσεις Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους Αφού προσδιορίσουμε τους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ όπου υπολογίζουμε την τιμή και του τρίτου αγνώστου Ασκήσεις Να λύσετε το σύστημα y με όλες τις μεθόδους επίλυσης συστήματος y Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: 4y 0 5 y 9 α) β) 7y 6 y 0 y y 5 ε) 4 στ) 7 y 4 y 4 9y 4 γ) 6 7y 6 y 5 ζ) 5 y y δ) 4 7y 7 4 y 8 η) 7 4y 4 4 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (,) και (-, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης y Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) y y 8 β) y y 7 5 Να λύσετε τα συστήματα: y α) 0 y y δ) y y β) y 5 4 y ε) 4 y γ) y 4 y 5 6 Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών: : y : y α) β) : 4y 8 : 4y 8 7 Δίνονται τα συστήματα: y : y και : y y

5 Να αποδείξετε ότι αν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις, τότε το δεύτερο είναι αδύνατο 8 Για ποιες τιμές των, y και 8 y τα συστήματα: y 5 9y είναι συγχρόνως αδύνατα; y 9 Δίνεται το σύστημα:, 5y 7 α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ β) Να βρείτε τη μοναδική λύση 59 γ) Για ποια τιμή του λ η λύση (, y) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: y y 4 0 Για ποια τιμή του λ, το σύστημα έχει λύση η οποία επαληθεύει την εξίσωση y 5 5y 7 ; Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή D Dy D Αν το D Dy D Σε ένα γραμμικό σύστημα χ με αγνώστους,y, για τις ορίζουσες του D, D, Dyισχύουν οι D Dy D σχέσεις: Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε ότι είναι D Dy 5D μοναδική Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D D D D και D 0 Αν y 6, να βρεθούν τα, y y y 4 Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους, y ισχύει: D D D 4D D 5 y y α) Να αποδείξετε ότι: D D D 0 β) Να βρείτε τη λύση του συστήματος 5 Να λύσετε γραμμικό σύστημα με αγνώστους χ,y και ορίζουσες D, D, D y για τις οποίες ισχύει: D D D D 8D 4D 56 0 y y 6 Σε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους,y, για τις ορίζουσες του D, D, D y ισχύει η σχέση: μοναδική D D D D 0 Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε ότι είναι y y 7 Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι 48 cm Αν αυξήσουμε συγχρόνως τη μία πλευρά κατά 5 cm και την άλλη κατά cm, τότε το εμβαδόν του αυξάνεται κατά 65 cm Ποιες είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου; 8 Το άθροισμα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθμού είναι 4 Αν εναλλάξουμε τη θέση των ψηφίων του παίρνουμε αριθμό κατά 8 μικρότερο Να βρείτε τον αριθμό 9 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:

6 α) δ) y y 6 y 5 y 6 5y y 6 y β) y 8 y 4y 0 ε) y 5 y 4 y γ) 4 y 5 y 5 y 0 στ) y y 0 0 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: y y 8 α) y 0 β) 4 4 y γ) y 6 y 4 8 δ) y 4 0 y Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής y διέρχεται από τα σημεία A,8, B,,5 Μη Γραμμικά Συστήματα, της οποίας η γραφική παράσταση Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά y 0 y 4 y α) β) γ) δ) 6 y 4 y 0 y y y 4 y y 8 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η ευθεία y 4 τέμνει την παραβολή y Ιδιότητες συναρτήσεων Μονοτονία - Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με είναι f f Συμβολισμός: Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, γράφουμε: f Δ - Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με είναι f f Συμβολισμός: Για να δηλώσουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, γράφουμε: f Δ y O y y O y 4

7 Ασκήσεις 4 Με τη βοήθεια των γραφικών τους παραστάσεων να γράψετε τα διαστήματα στα οποία κάθε συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα ή σταθερή h t() = Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις α) f β) f 5 γ) f δ) f 6 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R να λύσετε τις ανισώσεις f f 5 f f 5 0 α) f f β) γ) 5 δ) f f 7 Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: f f 4 f f f f 0 α) β) γ) 8 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η C f τέμνει τον άξονα ' στο να λύσετε τις ανισώσεις α) f 0 β) f 0 γ) δ) f 0 9 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο να λύσετε τις εξισώσεις f f f f α) f f f 0 β) γ) δ) f f Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R και η γραφική της παράσταση διέρχεται,,5 Να λύσετε την ανίσωση f ( ) από τα σημεία και Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R Αν f f και η C f διέρχεται από το σημείο, να λύσετε την ανίσωση f Δίνεται η συνάρτηση f 4 5, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f 0 8 Δίνεται η συνάρτηση f 4, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f 7

8 5 4 Δίνεται η συνάρτηση f 06, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση f 06 5 Δίνεται η συνάρτηση f() 8, α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση 6 Δίνεται η συνάρτηση f () 5, f f 8 8 α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση Θεωρητικές ασκήσεις 7 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α να δείξετε ότι η g f φθίνουσα στο Α 8 Έστω η συνάρτηση f με δείξετε ότι η συνάρτηση g f f 7 είναι γνησίως f 0, για κάθε Α Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α, να είναι γνησίως φθίνουσα στο Α f 9 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η g γνησίως φθίνουσα στο Α να δείξετε ότι η h f g είναι γνησίως αύξουσα στο Α 40 Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, η g f 0, g 0 να δείξετε ότι η γνησίως αύξουσα στο και για κάθε είναι h f g είναι γνησίως φθίνουσα Ακρότατα Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 A, όταν: f f 0 για κάθε A Το 0 λέγεται θέση ελαχίστου, ενώ το f ολικό ελάχιστο 0 ή απλά ελάχιστο της f και το συμβολίζουμε με minf y Ο y Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 0 A, όταν: f f 0 για κάθε A Το 0 λέγεται θέση μεγίστου, ενώ το f ολικό μέγιστο 0 ή απλά μέγιστο της f και το συμβολίζουμε με ma f y Ο y Ασκήσεις 4 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: 06 α) f β) f γ) 0 δ) f 4 f 4 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: α) f 0 β) g 0 γ) h 4 6

9 δ) f ε) f 4 στ) f Να αποδείξετε ότι: f 6 4 α) Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο το g 4 4 β) Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για f 5 44 Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το διάστημα,5, να βρείτε τα ακρότατα της Άρτιες Περιττές συναρτήσεις Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε Aισχύει: A f f και Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον y y Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε Aισχύει: A f f και Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων Ασκήσεις 45 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές y y y y O y O - y - O - y - O - y 46 Να συμπληρώσετε την διπλανή γραμμή ώστε να παριστάνει γραφική παράσταση: i άρτιας συνάρτησης ii περιττής συνάρτησης O 47 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές: 4 5 α) f β) g 4 γ) h δ) t ε) 5 4 στ) 9 48 Δίνεται η συνάρτηση f 5 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια

10 49 Αν η συνάρτηση f είναι περιττή και τα σημεία,,, ανήκουν στη γραφική παράσταση της f να βρείτε το λ 50 Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το είναι άρτια και τέμνει τον άξονα στα σημεία,0,,0 4f f f 9f 0, να δείξετε ότι 5 Να βρείτε το για το οποίο η συνάρτηση f : 4, είναι άρτια 5 Αν η συνάρτηση f :, είναι περιττή, να λύσετε την εξίσωση 5 Να βρείτε το για το οποίο η συνάρτηση f είναι άρτια Θεωρητικές ασκήσεις 8 f f 54 Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση f είναι περιττή στο, τότε η συνάρτηση g f είναι άρτια 55 Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν πεδίο ορισμού το Α και είναι περιττές να δείξετε ότι η συνάρτηση: h f g f g είναι άρτια α) είναι περιττή β) 56 Δίνεται συνάρτηση f: Να αποδείξετε ότι: g f f είναι άρτια α) η συνάρτηση β) η συνάρτηση h f f είναι περιττή Κατακόρυφη & Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g f c, c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω και η γραφική παράσταση της h f c, c 0 συνάρτησης προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα κάτω Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης g f c, c 0, προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα αριστερά Η γραφική παράσταση της συνάρτησης h f c, c 0, προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά c c c c c c c y O y y c c c O y y O y c c y f c y f c c y f c c c c c c

11 Ασκήσεις 57 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g f h f α) και β) g f και h f γ) g f και h f y O y 58 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Στο ίδιο σύστημα αξόνων να f παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: g α) g, β) h h 4 γ) 4 59 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση f Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g,h 9

12 Μελέτη της συνάρτησης f α f Η γραφική παράσταση της συνάρτησης λέγεται παραβολή με κορυφή το Ο και άξονα συμμετρίας τον y y Αν 0η παραβολή είναι ανοιχτή προς τα πάνω, ενώ αν 0 είναι ανοιχτή προς τα κάτω Καθώς το μεγαλώνει, η παραβολή κλείνει και πλησιάζει τον y y Μελέτη της συνάρτησης f α β γ, α 0 Επειδή f, η γραφική 4 παράσταση της f προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της παραβολής y Μιας οριζόντιας κατά και μιας κατακόρυφης κατά Επομένως η γραφική παράσταση 4 της f είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο, 4 και άξονα συμμετρίας την ευθεία 60 Να παραστήσετε γραφικά της συναρτήσεις: f και g α) Ασκήσεις β) f 4 και 0 g 4 γ) f και g δ) f και g ε) f και g στ) f και g 6 Να παραστήσετε γραφικά της συναρτήσεις: f β) f 4 α) γ) f δ) f 4 6 ε) f 5 6 στ) 6 Να παραστήσετε γραφικά της συναρτήσεις: f

13 α) f β) f 4 4 γ) f 6 9 δ) f 6 ε) f 4 στ) 6 Δίνεται η συνάρτηση: f 4 Επαναληπτικές ασκήσεις f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας τον y'y γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων,0 0, 64 Δίνεται η συνάρτηση: f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα και f 0 06 γ) Να λύσετε την ανίσωση δ) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f 8 45f 45 f 8 45f 45 f α) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή, να βρείτε τα ακρότατα και τις θέσεις ακροτάτων της f 65 Δίνεται η συνάρτηση: β) Αφού αποδείξετε ότι f f f γ) Να λύσετε την ανίσωση 66 Δίνεται η συνάρτηση, f της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο α) Να δείξετε ότι β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες δ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g ε) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στ) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i f ii 0 0 iii 0 67 Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα [β,α] [,8] και είναι περιττή Η μελέτη της στο διάστημα [,8] έδωσε το διπλανό πίνακα f, f 4 f 8 0 : β α 4 8 Αν α) Να βρείτε τα α,β β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα για όλο το πεδίο ορισμού γ) Να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών ε) Να εξετάσετε αν η f έχει ακρότατα f

14 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας Οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου Γ Αν ω οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, τότε από το Γυμνάσιο γνωρίζουμε ότι: έ ά ί ά, ί ί και έ ά ί ά Α ω Β Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0 ω 60 Επίσης στο Γυμνάσιο γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω με 0 60 Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Οy θεωρούμε την ημιευθεία Οt και τη γωνία ω που παράγεται από τη περιστροφή της Οχ κατά τη θετική φορά (αντίθετη από τους δείκτες του ρολογιού) έως ότου συμπέσει με την Οt Έστω Μ(,y) σημείο της τελικής πλευράς Οt της γωνίας ω, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση ρ από την αρχή Ο των αξόνων Είναι OM y Ορίζουμε τους παρακάτω αριθμούς: y y,, και, y τους οποίους ονομάζουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας μεγαλύτερης από 60 Αν ο ημιάξονας Ο κάνει μια πλήρη περιστροφή κατά τη θετική φορά και διαγράψει επιπλέον μια γωνία ω, τότε η συνολική γωνία είναι 60 και έχει την ίδια τελική πλευρά με την γωνία ω, οπότε οποιοιδήποτε σημείο της τελικής πλευράς αν χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ω και 60 θα προκύψουν τα ίδια αποτελέσματα και για τις δύο γωνίες Τριγωνομετρικοί αριθμοί αρνητικών γωνιών Αν τώρα ο ημιάξονας O, στραφεί γύρω από το Ο κατά την αρνητική φορά, πραγματοποιήσει μια πλήρη περιστροφή και στη συνέχεια διαγράψει γωνία ω τότε συνολικά θα έχει διαγράψει γωνία Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των αρνητικών ή γωνιών ορίζονται όπως και των γωνιών από 0 ως 60 Δηλαδή y y,, και, y y Γενικά οι γωνίες 60, και ω έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς Δηλαδή:

15 Τριγωνομετρικός κύκλος Για να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας, χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο Είναι ο κύκλος που έχει το κέντρο του στην αρχή Ο των αξόνων, ακτίνα ρ = και στον οποίο έχει ορισθεί ως αρχή μέτρησης των τόξων και των γωνιών, το σημείο Α που τέμνει ο κύκλος τον θετικό ημιάξονα Ο M, y το σημείο τομής Έστω μια γωνία ω και της τελικής της πλευράς με το τριγωνομετρικό κύκλο Τότε για τη γωνία ω ισχύει: y y y,, δηλαδή έ και y έ Για το λόγο αυτό ο άξονας λέγεται άξονας συνημιτόνων και ο άξονας y y άξονας ημιτόνων Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τη γωνία των 60 της οποίας η τελική πλευρά τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο Μ Από το σύστημα συντεταγμένων βρίσκουμε ότι η τετμημένη του Μ είναι: 0,5 και η τεταγμένη του είναι: y 0,866, οπότε: 60 0,5 και 60 0,866 Όμως και οι γωνίες , και γενικά οι γωνίες της μορφής βρίσκονται στον τριγωνομετρικό κύκλο στο Μ, οπότε: και ,866 Παρατήρηση Επειδή οι τιμές του ημίτονου και του συνημίτονου μιας γωνίας δεν μπορούν κατά απόλυτη τιμή να υπερβούν την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, ισχύει ότι: και Οι άξονες των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων Θεωρούμε τις εφαπτομένες, του τριγωνομετρικού κύκλου στα σημεία Α και Β αντίστοιχα Στο τρίγωνο ΟΑΚ ισχύει ότι: y Δηλαδή y έ Για το λόγο αυτό η ευθεία :, ονομάζεται άξονας των εφαπτομένων

16 Όμοια έ, και γι αυτό η ευθεία : y λέγεται άξονας συνεφαπτομένων Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Για το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών παρατηρούμε ότι ισχύει ο παρακάτω πίνακας: ο ο ο 4ο ημω συνω εφω σφω Παρατηρούμε ότι στο ο τεταρτημόριο Όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί, για το λόγο αυτό στο κύκλο στο ο τεταρτημόριο έχουμε το γράμμα Ο Στο ο τεταρτημόριο μόνο το ημίτονο είναι θετικό, για το λόγο αυτό έχουμε το γράμμα Η Στο ο τεταρτημόριο η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι θετικοί, οπότε προκύπτει το γράμμα Ε για το τεταρτημόριο αυτό Τέλος στο 4ο τεταρτημόριο το συνημίτονο είναι θετικό, οπότε προκύπτει το γράμμα Σ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Έστω κύκλος (Ο,ρ) Ένα τόξο ΑΒ του κύκλου αυτού που το μήκος του είναι ίσο με την ακτίνα του κύκλου, λέγεται τόξο του ενός ακτινίου ή rad Ακτίνιο ή rad είναι η γωνία η οποία όταν γίνει επίκεντρη βαίνει στο τόξο ενός ακτινίου Έστω ότι μια γωνία ω είναι και α rad Επειδή το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ είναι πρ,η γωνία 60 είναι ίση με π rad οπότε,η γωνία rad είναι ίση με 60 μοίρες Επομένως, η γωνία α rad είναι ίση με 80 μοίρες 80 Επειδή όμως η γωνία ω είναι, θα ισχύει 80 Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί μοίρες rad ημω συνω εφω σφω Δεν ορίζεται Δεν 0 ορίζεται 0 80 π 0-0 Δεν ορίζεται 70 Δεν - 0 ορίζεται 0 4

17 Σημείωση Επειδή στο τριγωνομετρικό κύκλο το τόξο rad έχει μήκος, αντί να γράφουμε ημ( rad), θα γράφουμε απλά ημ, και αντίστοιχα για τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς: συν, εφ, σφ Ασκήσεις 68 Να αποδειχτεί ότι : Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: α) 70 β) -π rad γ) 890 δ) rad 70 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας: 5 4 α) rad β) -5 γ) rad δ) Να αποδείξετε ότι: ημ405 - ημ750 συν5 + συν860 7 Να αποδειχθεί ότι τα παρακάτω ζεύγη γωνιών έχουν τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς: 7 7 α) β) γ) 60 0, 60 0 και δ) 60 40, Αν 9 4 να αποδείξετε ότι: 74 Αν 5 να αποδείξετε ότι: 75 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε :, 76 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τέτοιος ώστε: α) 7 β) 5 77 Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad όταν: α) 0 β) 5 5

18 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες Ασκήσεις 78 Αν 4 και, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad 5 79 Αν και 4, να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας rad 80 Να αποδείξετε ότι: α) β) 8 Να αποδείξετε ότι: α) β) γ) ε) ε) 8 Να αποδείξετε ότι: α) γ) ε) β) δ) 4 4 στ) 8 Να αποδείξετε ότι : α) β), 0, γ) y y Να βρείτε το, ώστε η παράσταση να είναι ανεξάρτητη του και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ 85 Να αποδειχτεί ότι Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι 0,, \ 6

19 Παραπληρωματικές γωνίες θ, π θ Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς,, Γωνίες που διαφέρουν κατά πθ, π θ Οι γωνίες που διαφέρουν κατά π έχουν την ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη και αντίθετα ημίτονα και συνημίτονα Αντίθετες γωνίες θ, θ Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 4 Συμπληρωματικές γωνίες π θ, θ Αν δύο γωνίες έχουν άθροισμα 90, το ημίτονο της μιας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη της μιας ισούται με τη συνεφαπτομένη της άλλης 7

20 Ασκήσεις 87 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: α) 0 β) -050 γ) 5 δ) 750 ε) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: α) 7 β) γ) 04 δ) Να δείξετε ότι: α) β) ( ) 0 90 Να αποδείξετε ότι: 9 Να απλοποιήσετε τη παράσταση 9 Να αποδείξετε ότι 9 Να αποδείξετε ότι: 94 Να αποδείξετε ότι: 95 Να αποδείξετε ότι: Αν Α,Β,Γ γωνίες τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) 0 β) γ) γ) 0 97 Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 8 7 και 4, να αποδειχτεί 4 98 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g

21 Να αποδείξετε ότι: α) g g β) 99 Να αποδείξετε ότι: α) β) γ) f f 00 Αν, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: 4 4 και Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Η συνάρτηση f ρημ ω, ρ,ω 0 Στη συνάρτηση f το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή της, που είναι ίση με ρ και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με Το ω καθορίζει την περίοδο Τ της συνάρτησης Είναι Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση g,, 0 9

22 Ασκήσεις 0 Να βρείτε το μέγιστο το ελάχιστο και την περίοδο των συναρτήσεων: f 4 f 5 f 4 α) β) γ) δ) 0 Το διπλανό σχήμα παριστάνει τη γραφική παράσταση της g, 0, 0 Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών ω, f 5 0 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση f,, 0 της συνάρτησης Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών ω, 04 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f, 0,4 Να συνάρτησης βρείτε τα α, β, ω 05 Δίνεται η συνάρτηση: f f α) Να αποδείξετε ότι β) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση f, όταν 0 f και 06 Δίνονται οι συναρτήσεις g,, 0 Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων κ, λ, ώστε η μέγιστη τιμή της f να είναι διπλάσια από τη μέγιστη τιμή της g και η περίοδος της g να είναι διπλάσια από την περίοδο της f 07 Δίνεται η συνάρτηση f, 0 Να βρείτε τα α,β, αν η f έχει μέγιστο το 4 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο 5, 6 08 To βάθος του νερού σε μέτρα κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της ημέρας t δίνεται από τη συνάρτηση f t 0 4, όπου t ο χρόνος σε ώρες 0 t 4 α) Να βρείτε τη περίοδο της συνάρτησης β) Ποιο είναι το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο βάθος του νερού; γ) Αν το ύψος της γέφυρας είναι 0m (από τον πυθμένα του νερού), να εξετάσετε αν ένα σκάφος ύψους 8m από την επιφάνεια του νερού μπορεί να περάσει από τη γέφυρα στις το μεσημέρι; δ) Να βρεθεί το βάθος του νερού στης πμ και στις 5 πμ Ποιες άλλες ώρες της ημέρας το νερό θα έχει το ίδιο βάθος; 09 Έχει διαπιστωθεί ότι η ακτινοβολία που απορροφά το ανθρώπινο σώμα κατά την έκθεση του t στον ήλιο δίνεται από τη συνάρτηση t 4, όπου 0 t 4 ο χρόνος σε ώρες που αντιστοιχεί από τις πμ έως και τις μμ α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της Α β) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση γ) Ποια ώρα της ημέρας έχουμε τη μέγιστη ακτινοβολία; 0

23 δ) Αν η απορρόφηση της ακτινοβολίας ήταν επικίνδυνη για το ανθρώπινο σώμα όταν η τιμή S της At είναι πάνω από 4 μονάδες, τότε ποιες ώρες της ημέρας θα πρέπει να αποφύγουμε τον ήλιο; 0 Από ένα ταξιδιωτικό γραφείο διοργανώνονται εκδρομές σε κάποιο εξωτικό νησί και η συμμετοχή ατόμων (σε δεκάδες) κατά τη διάρκεια όλης της χρονιάς δίνεται από τη συνάρτηση t t 6, όπου t ο χρόνος σε μήνες ( t = αντιστοιχεί στον Ιανουάριο, t = αντιστοιχεί 6 στον Φεβρουάριο ) α) Υπολογίστε πόσα άτομα συμμετέχουν τον Ιούλιο β) Να βρείτε πόσο είναι η μέγιστη μηνιαία συμμετοχή εκδρομέων γ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση όταν 0 t δ) Να βρείτε ποιους μήνες έχουμε μειωτική τάση στη συμμετοχή των εκδρομέων Τριγωνομετρικές εξισώσεις k ή k k k k k Ειδικές περιπτώσεις k, k k, k k, k 4 k, k 5 0 k, k 6 0 k, k Ασκήσεις Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) ε) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) 4 δ) 0 ε) 0 4 ζ) 4 η) 0 γ) στ) 0 θ) 6 4 Να λύσετε τις εξισώσεις:

24 α) β) 0 6 γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α ) 0 0 β) γ) 0 0 δ) 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 γ) 4 4 ε) 6 ζ) 4 4 θ) 6 κ) β) 6 6 δ) 0 5 στ) 6 6 η) 0 5 ι) 6 6 λ) 0 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: π 5 α) ημ συν β) 6 π π π π γ) συν ημ 0 δ) ημ συν π π ε) εφ σφ στ) εφ σφ ζ) η) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) δ) ε) 9 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) δ) ε) 5 γ) 8 0 στ) γ) 0 στ) 4 0 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 0 γ) δ) 0 Να λύσετε την εξίσωση: 7 4

25 Να λύσετε την εξίσωση: Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) Να λύσετε την εξίσωση: 4 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 6 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις στα αντίστοιχα διαστήματα: α) 0 στο, 4 β) στο 0, 5 γ) στο 0, δ) 4 στο, ε) στο, στ) 0 στο, 7 Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 0, 8 Δίνεται η συνάρτηση β) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή f 9 Έστω η συνάρτηση : f γ) Να λύσετε την εξίσωση : 0 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να λύσετε την εξίσωση f 0 Τριγωνομετρικοί αριθμοί α β

26 Αν y και y Να αποδείξετε ότι: Ασκήσεις, να βρείτε το y α) β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση του α είναι ανεξάρτητη 4 Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: α) β) γ) 0 δ) 5 Στο διπλανό τρίγωνο δίνεται ότι ΓΔ=,ΑΔ= και ΑΒ=4Να δείξετε ότι: 8 α) β) 9 6 Δίνεται μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, για το οποίο ισχύει ότι: αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 7 Αν για τις γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι γωνία Α και Να, να υπολογίσετε τη 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6 β) 4 γ) Να λύσετε την εξίσωση 0 40 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α 4

27 Τύποι αποτετραγωνισμού: Τύποι συναρτήσει του : Ασκήσεις 4 Αν να υπολογιστεί το και το αν γνωρίζουμε ότι Για τη γωνία α ισχύει ότι: α) Να αποδείξετε ότι 5 β) Αν επιπλέον ισχύει:, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημα, συνα, εφα 4 Να δείξετε ότι: + συν4α + συνα α) ημ4α + ημα = σφα β) 44 Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει ότι: 0 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 46 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) γ) Γενικές Ασκήσεις Τριγωνομετρίας 5

28 47 Δίνεται η συνάρτηση f 5 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες γ) Να λύσετε την εξίσωση f 8 f Δίνονται οι συναρτήσεις f και g οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε: α) να αποδείξετε ότι β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g 4 γ) Να λύσετε την εξίσωση f g στο διάστημα 49 Δίνεται η συνάρτηση f,,, 0 Αν, α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f β) Να υπολογίσετε τις τιμές της f για 0,,,, και να σχεδιάσετε την γραφική 4 4 παράσταση της f για 0 5 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y δ) Να λύσετε την εξίσωση 50 Η συνάρτηση f από το σημείο, 4 f f 0, 0, έχει περίοδο π και η γραφική της παράσταση διέρχεται α) Να βρείτε τα ρ,ω β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστημα 0, δ) Να λύσετε την εξίσωση f f 6 f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 5 Δίνεται η συνάρτηση β) Να δείξετε ότι γ) Να λύσετε την εξίσωση f στο διάστημα 0, 5 Δίνεται η συνάρτηση: f συν α) Να αποδείξετε ότι f β) Να βρείτε την περίοδο Τ της συνάρτησης f,τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου f 0 δ) Nα λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση 6

29 συν f 4 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο δ) Να λύσετε την εξίσωση f 5 Δίνεται η συνάρτηση: f α) Να δείξετε ότι 54 Δίνεται η παράσταση: f, α) Να παραγοντοποιήσετε την f f 0, β) Να αποδείξετε ότι γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες f 0 δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο π στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4, 0, 55 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α) Να λύσετε την εξίσωση f 0 β) Αν η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι: Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της β) Για ποιες τιμές του παίρνει ελάχιστη τιμή η συνάρτηση; γ) Να λύσετε την εξίσωση: f δ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση ανεξάρτητη του 9 f 8 f f f 7 f f είναι α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι f γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια 4k δ) Να αποδείξετε ότι f f ε) Να λύσετε την εξίσωση f 57 Δίνεται η συνάρτηση f 7

30 58 Δίνεται η συνάρτηση f 4 α) Να αποδείξετε ότι f f f 0 β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g f καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του, για τις οποίες η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή 59 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f 60 Δίνεται η συνάρτηση f β) Να αποδείξετε ότι γ) Να λύσετε την εξίσωση f f Δίνονται οι συναρτήσεις f και α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους f g β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να αποδείξετε ότι f 6 και g δ) Να λύσετε την εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι f 4 8 g f 4 4 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών και τη περίοδο της f f γ) Να λύσετε την εξίσωση f, 0, η οποία έχει μέγιστο το και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο α) Να αποδείξετε ότι και β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα 6 Δίνεται η συνάρτηση γ) Να αποδείξετε ότι f f 4 4 f 6 f δ) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα 64 Δίνονται οι συναρτήσεις f 0, 4 και g 8 α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδικές με περίοδο π β) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών τους παραστάσεων γ) Να αποδείξετε ότι f f f f δ) Να αποδείξετε ότι f g 6

31 65 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι f β) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τη περίοδο της f και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα 0, γ) Να λύσετε την εξίσωση f δ) Να αποδείξετε ότι 66 Δίνεται η συνάρτηση f στο 0, f f 9 4,, της οποίας η γραφική 4 παράσταση διέρχεται από τα σημεία A,, B, 4 4, τότε: α) Να αποδείξετε ότι και β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό της γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f δ) Να λύσετε την εξίσωση f ε) Να αποδείξετε ότι: f f f f f Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα 0, με τεταγμένη δ) Να λύσετε την εξίσωση: f f 68 Δίνεται η συνάρτηση f, α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 8 γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ε) Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση: f f 69 Δίνεται η συνάρτηση 9 f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Αφού αποδείξετε ότι, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f f 0 γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να λύσετε την εξίσωση

32 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Μονώνυμο Μονώνυμο του λέγεται κάθε παράσταση της μορφής, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος Μονώνυμο του καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό Πολυώνυμο Πολυώνυμο του λέγεται κάθε παράσταση της μορφής + όπου ν είναι 0 ένας φυσικός αριθμός και 0,,, είναι πραγματικοί αριθμοί Τα μονώνυμα,,,, 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου και οι αριθμοί 0,,, συντελεστές του Τα πολυώνυμα της μορφής 0, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα Ειδικά το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο Αν 0, τότε ο αριθμός ν λέγεται βαθμός του πολυωνύμου Είναι φανερό ότι κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός Αριθμητική τιμή ή απλά τιμή του πολυωνύμου για λέγεται ο αριθμός ρ ρ ρ+ Αν είναι 0 0 τότε ο ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου Ίσα πολυώνυμα Δύο πολυώνυμα + και με είναι ίσα 0 όταν: 0 0,,, και 0 0 Πράξεις πολυωνύμων Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του είναι ίσος ή μικρότερος από το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών Ασκήσεις 69 Δίνονται τα πολυώνυμα P και πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς α, β, γ, δ, ώστε το πολυώνυμο P Q Q Να βρείτε τι, να είναι: α) ου βαθμού β) το πολύ ου βαθμού γ) μηδενικού βαθμού 70 Να αναλύσετε τη κλασματική παράσταση 9 παρονομαστές σε άθροισμα δύο κλασμάτων με πρωτοβάθμιους 7 Να βρείτε τα,,, για τα οποία το πολυώνυμο 4 τετράγωνο του Q 0 P 6 είναι τέλειο 7 Να εξετάσετε αν υπάρχει πολυώνυμο P δεύτερου βαθμού, για το οποίο ισχύει P P για κάθε 7 Να βρείτε πολυώνυμο P το πολύ ου βαθμού, για το οποίο ισχύει ότι κάθε 74 Να βρείτε πολυώνυμο P, για το οποίο ισχύει ότι P P 5 6 P P για για κάθε

33 75 Δίνονται τα πολυώνυμα P και Q α) Να βρείτε το πολυώνυμο PQ β) Να βρείτε τα,,,, για τα οποία ισχύει ότι: PQ 76 Έστω πολυώνυμο P Αν το ρ είναι ρίζα του P PP 77 Έστω πολυώνυμο P Αν το είναι ρίζα του P PP 78 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι P0 0 Να υπολογίσετε το P5 για κάθε, να αποδείξετε ότι είναι ρίζα και του, να αποδείξετε ότι είναι ρίζα και του 79 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι P0 0 Να αποδείξετε ότι P Έστω 0 ρίζα του πολυωνύμου 4 α) Να αποδείξετε ότι το P έχει ρίζα και το P P για κάθε και P P για κάθε και P, 0 β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα για, τα οποία το πολυώνυμο έχει 4 ρίζες 8 Αν ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές έχει ρίζα άρτιο αριθμό, να αποδείξετε ότι ο σταθερός του όρος είναι άρτιος 8 Δίνονται τα πολυώνυμα P και Να αποδείξετε ότι: P και Q είναι σταθερά πολυώνυμα α) τα β) PQ 4 Q P Q για τα οποία ισχύει ότι 8 Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα P και ρίζα P 84 Δίνεται το πολυώνυμο 00 το άθροισμα των συντελεστών του 85 Να βρείτε τα, P Q Q 5 8 δεν έχουν κοινή Να βρείτε τον σταθερό του όρο καθώς και για τα οποία το πολυώνυμο P έχει άθροισμα των συντελεστών πέντε και ο σταθερός του όρος είναι μηδέν

34 Διαίρεση πολυωνύμων Θεώρημα (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων και 0 για τα οποία ισχύει: όπου το βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του Το λέγεται διαιρετέος, το διαίρεσης Παρατηρήσεις Αν υπάρχει μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων διαιρέτης, το πηλίκο και το και είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει υπόλοιπο της 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και η ταυτότητα της διαίρεσης γίνεται Στη περίπτωση αυτή λέμε ότι το Θεώρημα Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου πολυωνύμου για Δηλαδή Θεώρημα Ένα πολυώνυμο αν και μόνο αν διαιρεί το P ή ότι το είναι παράγοντας του P με το είναι ίσο με την τιμή του P έχει παράγοντα το αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P 0 Ασκήσεις 86 Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο των παρακάτω διαιρέσεων: 4 : 5 : 4 α) β) 4 γ) 4 : δ) 4 k 4 : k P, δηλαδή 87 Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης 7 4 : 4 χωρίς να κάνετε τη διαίρεση 88 Δίνεται το πολυώνυμο P Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης: α) P : β) P : 89 Δίνονται τα πολυώνυμα P, και Q P P Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q με το είναι, να βρείτε το μ 90 Δίνεται το πολυώνυμο P P έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το,να είναι 8 Να βρείτε τα α, β για τα οποία το Να βρείτε τα α, β, ώστε το πολυώνυμο να έχει παράγοντα το 9 Το πολυώνυμο P διαιρούμενο με υπόλοιπο 5 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αφήνει υπόλοιπο 0 και διαιρούμενο με αφήνει P με το

35 9 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης πολυωνύμου P με το είναι 8 και με το είναι 7, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P : 94 Το πολυώνυμο P διαιρούμενο με αφήνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με αφήνει υπόλοιπο 7 4 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: P : 4 95 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι για κάθε α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το P P 4 P με το και με το 96 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P με το και P : υπόλοιπο των διαιρέσεων P : είναι, να βρείτε το 97 Αν πολυώνυμο P έχει παράγοντες τα και, τότε έχει παράγοντα και το 98 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης P : είναι και το υπόλοιπο της διαίρεσης P : είναι, Να αποδείξετε ότι και το υπόλοιπο της διαίρεσης P : είναι 99 Αν πολυώνυμο Q P 8 έχει ρίζα το P έχει παράγοντα το, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 00 Δίνεται πολυώνυμο P και ρ ρίζα της εξίσωσης P Q PP P έχει παράγοντα το Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 0 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το είναι και με το είναι, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q PP έχει ρίζες τα και 0 Δίνεται πολυώνυμο P του οποίου το υπόλοιπο της διαίρεσης με το είναι, με το είναι και με το είναι Να αποδείξετε ότι τα α,β,γ είναι ρίζες του πολυωνύμου Q P P P Δίνεται το πολυώνυμο P α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Q είναι πολλαπλάσιο του Δίνεται το πολυώνυμο P 4 5 α) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του P 40 5 β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του γ) Να αποδείξετε ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 9 είναι το

36 05 Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι P P Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το είναι, τότε: α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το 4 β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το γ) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το δ) Αν το P είναι ου βαθμού, τότε να βρεθεί για κάθε Δίνεται πολυώνυμο P για το οποίο ισχύει ότι Αν ο σταθερός όρος του πολυωνύμου είναι μηδέν, να βρείτε: P με το α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το 8 γ) Το πολυώνυμο P, αν γνωρίζετε ότι είναι δευτέρου βαθμού P P για κάθε Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου +, δηλαδή κάθε αριθμό ρ, για τον οποίο ισχύει 0 0 Θεώρημα ακέραιων ριζών Έστω η πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές Αν ο ακέραιος 0είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0 Ασκήσεις 07 Να λύσετε τις εξισώσεις : α) β) γ) δ) α)αν η εξίσωση β) Αν η εξίσωση έχει ρίζα το, να αποδείξετε ότι: 5 0 έχει ρίζα το, να αποδείξετε ότι: 5 09 Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση τουλάχιστον μία ακέραια ρίζα 0 Δίνεται το πολυώνυμο P,, Αν το και, τότε: α) Να αποδείξετε ότι: 5 και έχει P έχει παράγοντες τα P 0 β) Να λύσετε την εξίσωση Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f 5 4 και g 4 4

37 Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο να έχει για παράγοντα το P 0 4 Δίνεται το πολυώνυμο P 5 4,, Αν το P έχει παράγοντα το, τότε: α) Να αποδείξετε ότι και P 0 β) Να λύσετε την ανίσωση 4 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 4 α) 0 γ) δ) β) 5 9 ε) στ) 5 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον 6 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 8 4 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ Δίνεται το πολυώνυμο P 8 του οποίου δύο ρίζες είναι οι και α) Να αποδείξετε ότι: και 9 P 0 β) Να λύσετε την ανίσωση 4 8 Δίνεται το πολυώνυμο f, α) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του διαίρεσης του f με το f και να βρείτε το πηλίκο της β) Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του με το γ) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα 9 Δίνεται το πολυώνυμο P 5 4, Αν το του πραγματικού αριθμού, τότε: α) να βρείτε τη ρίζα β) να βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες του γ) Αν, να λύσετε την εξίσωση P 6P Δίνεται το πολυώνυμο P 6 4 το οποίο έχει παράγοντα το α) Να αποδείξετε ότι και 4 β) Να λύσετε την ανίσωση P Δίνεται το πολυώνυμο P α) Να βρείτε το βαθμό του β) Να λύσετε την εξίσωση P 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση P 0 δ) Να λύσετε την ανίσωση P 0 Έστω P πολυώνυμο ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με P α) Να αποδείξετε ότι P έχει ρίζα για κάθε τιμή, έχει ρίζα το 0 και του 5

38 β) Να λύσετε την ανίσωση Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) 4 γ) 7 δ) 4 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) 6 γ) 6 δ) Να λύσετε τις ανισώσεις: ε) - = + στ) 5 α) 7 β) 5 γ) 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: β) α) 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 α) β)

39 Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α,β είναι θετικοί πραγματικοί Εκθετική συνάρτηση αριθμοί και,,,τότε : : Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε,στη δύναμη,ορίζουμε την συνάρτηση : f : οποία στην περίπτωση που είναι,λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση Αν είναι,τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση f Για κάθε συνάρτηση της μορφής f με, ισχύει ότι : Έχει πεδίο ορισμού το Έχει σύνολο τιμών το διάστημα 0, Είναι γνησίως αύξουσα στο Δηλαδή για κάθε, με είναι Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα των Για κάθε συνάρτηση της μορφής f με 0, ισχύει ότι : Έχει πεδίο ορισμού το Έχει σύνολο τιμών το διάστημα 0, Είναι γνησίως φθίνουσα στο Δηλαδή για κάθε, με είναι Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,) και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα των με f, η Ο αριθμός e Αποδεικνύεται ότι lim,7880 Τον αριθμό στον οποίο τείνει η ποσότητα καθώς το ν αυξάνεται απεριόριστα τον συμβολίζουμε με e (Euler) Ασκήσεις 9 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 46 β) 7 γ) 4 δ) ε) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 7

40 45 7 α) 48 β) γ) δ) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 5 β) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) γ) δ) e e Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 5 β) 7 49 γ) 9, 0 δ) 5 Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 8 β) γ) 6 Να λύσετε την ανίσωση: Δίνεται η συνάρτηση f 9 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία γ) Να λύσετε την ανίσωση f 78 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f e και g e e α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,g β) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της g βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της f 9 Να λύσετε τις ανισώσεις: 4 α) 5 5 β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f e 9 4 Να λύσετε τα συστήματα: y 4 04 α) y 5 5 δ) y y 4 5 β) ε) 6 4 y y y 5 5 5y 5 y f Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η f, είναι: α) Εκθετική συνάρτηση β) γ) Γνησίως φθίνουσα στο δ) Γνησίως αύξουσα στο 8 4 Δίνεται η συνάρτηση γ) στ) y y y 0 4 5y

41 4 Δίνεται η συνάρτηση f f για κάθε 0 44 Δίνεται η συνάρτηση f 6 8 f f Δίνεται η συνάρτηση f, 0, 46 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρείτε τις τιμές του αν γνωρίζετε ότι Να βρείτε τις τιμές του αν γνωρίζετε ότι Να συγκρίνεται τους αριθμούς e, α) Να αποδείξετε ότι f f f β) Να συγκρίνεται τους αριθμούς e και e για κάθε, 47 Δίνονται οι συναρτήσεις f e e και g e e α) Να αποδείξετε ότι: f f y g g y f y β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g γ) Να αποδείξετε ότι f για κάθε 48 Να λύσετε την εξίσωση α) 5 β) 49 η συνάρτηση f 5 α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ β) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο γ) Να λύσετε την εξίσωση ,, 50 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 8 β) Δίνεται η συνάρτηση f α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 46 β) Να λύσετε την ανίσωση Δίνονται οι συναρτήσεις: f 4 και g 6 6 α) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g f g β) Να λύσετε την ανίσωση γ) Να λύσετε την εξίσωση f 9

42 Λογάριθμοι Ορισμός Ο log είναι o εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ Δηλαδή: Συνέπειες log log log 0 4 log log Ιδιότητες λογαρίθμων Αν 0 και τότε για οποιαδήποτε,, και k ισχύουν: log log log log log log log k k log Ασκήσεις 5 Να βρεθούν οι αριθμοί: α) log 8 β) log55 γ) log 54 Να υπολογίσετε το ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: α) log 8 4 β) log 7 γ) log δ) log Να υπολογίσετε τη τιμή των παραστάσεων: α) A log 7 log 4 log 4 log5 5 β) A log 4 56 log608 log6 log Να αποδείξετε ότι: log αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) log log 6 log 7 β) log 6 log 4 log 5 log 4 log5 58 Αν f log f f f, δείξτε ότι Λογαριθμική συνάρτηση Ορισμός Αν 0 και τότε η συνάρτηση f : 0, με f συνάρτηση με βάση το α log λέγεται λογαριθμική Επειδή y log y, αν το, τότε το, είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y log θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, Μ και Ν είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy ˆ και Oy ˆ Επομένως: 40

43 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες ˆ Oy και Oy ˆ log και y είναι συμμετρικές ως προς την Αν α >, τότε η λογαριθμική συνάρτηση Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο Είναι γνησίως αύξουσα, που σημαίνει ότι αν τότε log log Για κάθε 0 είναι log 0 και για κάθε είναι log 0 Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy' Αν 0, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g =log : Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο Είναι γνησίως φθίνουσα, που σημαίνει ότι: αν τότε log log Για κάθε 0 είναι log 0 και για κάθε είναι log 0 Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Α(,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy Τέλος, από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει ότι: αν τότε log log και με απαγωγή σε άτοπο έχουμε ότι: αν log log τότε Επομένως ισχύει η ισοδυναμία: log log 59 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α) f log β) f log 4 log9 γ) f log Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: g =log : Ασκήσεις δ) f 4 log 8 5 6

44 α) log 5 6 β) log log 5 0 γ) ln δ) 6 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: log log 6 log α) γ) log 8 7 β) log log 9 log log log δ) log log log log log 4 log 6 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 β) γ) log 0 ln e 6 α) Να αποδείξετε ότι: 64 Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: log 0 log α) log log, 0 β) Να λύσετε την εξίσωση β) 4 65 Δίνεται η συνάρτηση α) Αν f 0 5, να αποδείξετε ότι β) Έστω log log log f log 8log log 00, 0, i Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή ii Να λύσετε την εξίσωση f 0 f log 4log 66 Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών log, log 4, log, ln 67 Έστω συνάρτηση f 0 αριθμούς: α) log f και 4 68 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: log log 6 η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο Να συγκρίνετε τους log f 5 β) 4 ln f e και ln f e α) log β) log log 0 γ) 69 Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: log 50 6 β) α) ln log log e γ) ln e 70 Να λύσετε τα συστήματα: α) y 65 log log y β) log log y log log y 7 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές: α) f ln f ln 7 Δίνεται η συνάρτηση β) f log k k k α) Να βρείτε τις τιμές του k για τις οποίες η f έχει πεδίο ορισμού το 4

45 β) Αν k, να αποδείξετε ότι f 0 f log f Δίνεται η συνάρτηση f log log α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι f kf 6 γ) Να βρείτε το k για το οποίο ισχύει ότι k 74 Δίνεται η συνάρτηση f log α) Για ποιες τιμές του α είναι f 0 για κάθε ; Έστω log β) Να συγκρίνεται τους αριθμούς f 8 και f 45 γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g f f log 75 Δίνεται η συνάρτηση f log α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να γράψετε την f χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f 76 Δίνεται η συνάρτηση f ln e e 5 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα Γενικές ασκήσεις στην Εκθετική και την Λογαριθμική συνάρτηση 77 Δίνεται η συνάρτηση f α) Να βρείτε το σημείο τομής της με τον άξονα f 0 5 f 0 f 0 40 f 0 05 β) Να αποδείξετε ότι log log log log 0 f 0 f 0 f 0 77 f 0 78 α) Να λύσετε την εξίσωση: β) Δίνονται οι συναρτήσεις f 4 5 και g 4 5 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της 79 Δίνεται η συνάρτηση f log log α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα f 7 f log γ) Να λύσετε την ανίσωση δ) Να αποδείξετε ότι f 0 f 00 f 000 log8 80 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln e και g ln e α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g β) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο

46 γ) Να λύσετε την ανίσωση f g δ) Να αποδείξετε ότι g f ln και g log 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f log log 44 α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g β) Να βρείτε τη τετμημένη του σημείου τομής των γραφικών τους παραστάσεων f 0 g 0 γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: i και ii δ) Να αποδείξετε ότι: f 4 g 4 log0 8 Δίνεται η συνάρτηση f log 4 4 log α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες f f f γ) Να λύσετε την εξίσωση f δ) Να αποδείξετε ότι f 8 Δίνεται η συνάρτηση log και να λύσετε την εξίσωση f ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή f f 0 f γ) Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς f, f, f 0 δ) Να λύσετε την εξίσωση: 4 84 Δίνεται η συνάρτηση f log 8 log log 00, 0, α) Να βρείτε τη τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο M 0,5 β) Αν α =, τότε: i να αποδείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή: ii να λύσετε την εξίσωση 85 Δίνεται η συνάρτηση f 0 f ln e e 5 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ln β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση f 0 f δ) Έστω η συνάρτηση g e 5 e f log 4log i Να αποδείξετε ότι η g είναι - ii Να λύσετε την εξίσωση g g 86 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln e e και g ln ln e α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g f g β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να λύσετε την ανίσωση f g δ) Να αποδείξετε ότι η g είναι g g f 0 ε) Να λύσετε την εξίσωση log

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη Ειρήνη Μαρωνίτης Λάμπρος Μπουρούνης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (22/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρας Β τάξης Γενικού Λυκείου 4o Θέμα Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (//04) Οι απαντήσεις και οι λύσεις είναι αποτέλεσμα συλλογικής δουλειάς των Επιμελητών των φακέλων του Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

2o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: ώρες ΘΕΜΑ A A Να αποδείξετε ότι αν δύο συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο του πεδίου ορισμού τους, τότε και η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα