Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Transcript

1

2 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, β) Να αποδείξετε ότι το, δεν είναι λύση του συστήματος x y 7 x y 8 είναι μια λύση της εξίσωσης x y 8 x y 4 88Δίνεται η εξίσωση x y 0 α) Ποια από τα ζεύγη,4, 4,7, 4, είναι λύση της εξίσωσης (); β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος x y 0 x y 888 Δίνεται η εξίσωση 4x y () α) Ποια από τα ζεύγη (, ),(0, ), (, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (); β) Είναι κάποιο από τα παραπάνω ζεύγη λύση του συστήματος 4x y ; x y 7 (Μονάδες ) (Μονάδες ) (Μονάδες ) (Μονάδες ) 88 Δίνονται οι εξισώσεις x y () και x 4 y 9 () α) Ποια από τα ζεύγη,,,, 0, της (); και x + 4y = β) Να βρείτε μια λύση του συστήματος x + 4y = 9 9,0 είναι λύσεις της εξίσωσης () και ποια (Μονάδες 6) (Μονάδες 9) 884α) Να αποδείξετε ότι:, 0, 0 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x + y = 0 x + y = (Μοναδες ) 887α) Να αποδείξετε ότι: 9, 9 6 9, 9 9 x y 9 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x y 9 9 (Μοναδες )

3 880α) Να αποδείξετε ότι: 0, 4 7 0, 4 x y 7 β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων : 4x y (Μονάδες 9) (Μονάδες 6) 88α) Να αποδείξετε ότι:,, 4 x y β)να λύσετε το σύστημα εξισώσεων x 4y 4 (Μονάδες 9) (Μονάδες 6) α) Να αποδείξετε ότι: 0, 8, 4 (Μονάδες 9) β) Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων: x y 8 6x y 8 (Μονάδες 6) x y 8 889α) Να λύσετε το σύστημα x y 7 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) επαληθεύει την εξίσωση 4x y 6 x y 7 884α) Να λύσετε το σύστημα 4x y 0 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) επαληθεύει την εξίσωση x 4y 4 x y 884α) Να λύσετε το σύστημα 4x 6y 0 β) Να εξετάσετε αν η λύση του συστήματος του ερωτήματος (α) επαληθεύει την εξίσωση 6x 4y 8848α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος των αριθμών x και y είναι λύση κάθε μιας από τις παρακάτω εξισώσεις: i) x y 6 ii) x y 7 (Μονάδες ) β) Δίνεται το σύστημα x y 6 x y 7 Είναι το ζεύγος (,) λύση του παραπάνω συστήματος; (Μονάδες ) 88α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x = 4 και y = είναι λύση κάθε μιας από τις παρακάτω εξισώσεις: i) 4x y 9 ii) x 6y 0 (Μονάδες ) 4x y 9 β) Δίνεται το σύστημα x 6y 0 Είναι το ζεύγος (4,) λύση του παραπάνω συστήματος; (Μονάδες ) 886α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος αριθμών x 4 και y είναι λύση κάθε μιας από τις παρακάτω εξισώσεις: i) 4x y ii) x y 0 (Μονάδες )

4 4x y β) Δίνεται το σύστημα x y 0 Είναι το ζεύγος (4,) λύση του παραπάνω συστήματος; (Μονάδες ) x y 889α) Να λύσετε το σύστημα 6x y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, επαληθεύει και τις δύο από τις παρακάτω εξισώσεις: 4 x y και 6x y x y 886α) Να λύσετε το σύστημα 6x y 6 β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, επαληθεύει τις παρακάτω εξισώσεις: x y και 6x y 6 x y 886α) Να λύσετε το σύστημα x 6y β) Να εξετάσετε αν το ζεύγος, επαληθεύει τις παρακάτω εξισώσεις: 7 x y και x 6y 98 Δίνεται το σύστημα x y 7 x y x, y,4 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος είναι λύση του παραπάνω συστήματος β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα 90 Δίνεται το σύστημα x y 4 x y α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (7, ) είναι λύση του παραπάνω συστήματος β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα x y 9 Δίνεται το σύστημα: x y 6 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (0, 7) είναι λύση του παραπάνω συστήματος β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα 9 Δίνεται το σύστημα x y 4x 4y 6 α) Να εξετάσετε αν το ζεύγος (, ) είναι λύση του παραπάνω συστήματος β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα

5 490Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη α) Μπορείτε να υπολογίσετε ε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες ) β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι χρόνια Με ποιο τρόπο θα χρησιμοποιούσατε την πληροφορία αυτή για να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; (Μονάδες ) x y 490Δίνεται το σύστημα, με παράμετρο λ λx y α) Να λύσετε το σύστημα για λ (Μονάδες ) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε την απάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες ) x y 497Δίνεται το σύστημα με παράμετρο λ 4x y λ α) Να λύσετε το σύστημα για λ 0 β) Να δώσετε μια τιμή στην παράμετρο λ ώστε το σύστημα που θα προκύψει να έχει άπειρες λύσεις γ) Να δώσετε μια τιμή στην παράμετρο λ ώστε η ευθεία 4x y λ που θα προκύψει να είναι παράλληλη με την ευθεία x y 490Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος x cm, πλάτος y cm, περίμετρο ίση με 8 cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν διπλασιάσουμε το μήκος του και διατηρήσουμε το πλάτος του ίδιο τότε, το νέο ορθογώνιο που προκύπτει έχει περίμετρο ρο ίση με 48 cm α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του αρχικού ορθογωνίου 4906Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν συνολικά 70 οχήματα (αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες) και εισπράχθηκαν 76 ευρώ Ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε ευρώ, ενώ ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε, ευρώ α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσυκλέτες 49Στον πίνακα της τάξης υπάρχουν γραμμένα δύο συστήματα 4x y x y (Σ ) και (Σ ) x 6y 0 4x y α) Ποιο από τα δύο συστήματα είναι αδύνατο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες ) β) Στον πίνακα της τάξης δίπλα στα συστήματα αυτά υπάρχουν και οι διπλανές γραφικές παραστάσεις δύο ευθειών σε σύστημα αξόνων Ο Κώστας θυμάται ότι όταν ο καθηγητής σχεδίασε αυτές τις δύο ευθείες είπε ότι είναι οι ευθείες ενός από τα δύο παραπάνω συστήματα Δε θυμάται όμως αν ήταν του (Σ ) ή του (Σ ) Σε ποιο από τα δύο συστήματα αντιστοιχούν οι ευθείες αυτές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 4

6 494 Δίνεται η ευθεία (ε ) με εξίσωση: x 8y 0 α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε ) με την (ε ) που έχει εξίσωση x y β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε ) που να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε ) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 49Δίνεται η ευθεία (ε ) με εξίσωση: x 8y α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε ) με την (ε ) που έχει εξίσωση x y β) Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας (ε ) που να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε ) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 496Δίνεται η ευθεία (ε ) με εξίσωση: 4x y 0 α) Να βρείτε το κοινό σημείο της ευθείας (ε ) με την (ε ) που έχει εξίσωση x y 4 9 β) Να δώσετε μια τιμή στον αριθμό λ ώστε η εξίσωση της ευθείας (ε ) : x y λ να μην έχει κανένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε ) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 490Στο διπλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες 4x y 4 και x y 6 που τέμνονται στο σημείο Α 4x y 4 α) Πόσες λύσεις έχει το σύστημα ; x y 6 β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα γ) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; (Μονάδες ) x y 49Δίνεται το σύστημα 4x y 6 α) Να λύσετε το β) Είναι το σημείο A, μια λύση του συστήματος ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Στο διπλανό σύστημα αξόνων έχουν σχεδιαστεί οι ευθείες (ε) με τύπο x y και (ζ) που τέμνονται στο σημείο Α Μπορεί ο τύπος της (ζ) να είναι 4x y 6 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

7 49Δίνεται το σύστημα α) Να λύσετε το β) Είναι το σημείο σας γ) Μπορείτε να βρείτε άλλη 4x y 9 x y 7 A, μια λύση του συστήματος λύση του συστήματος ; ; Να αιτιολογήσετεε την απάντησή x y 498 Δίνεται το σύστημα, με παράμετρο λ x λy α) Να λύσετε το για λ β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε την απάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες ) (Μονάδες ) 4x y 499 Δίνεται το σύστημα, με παράμετρο λ λx y 0 α) Να λύσετε το για λ (Μονάδες ) β) Να δώσετε μια τιμή στο λ, ώστε το σύστημα να έχει άπειρο πλήθος λύσεων και να επαληθεύσετε την απάντησή σας λύνοντάς το (Μονάδες ) Δίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση μήκους x cm, ενώ η κάθε μια από τις ίσες πλευρές του έχει μήκος y cm Η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με 9 cm Αν διπλασιάσουμε τα μήκη κάθε μιας από τις ίσες πλευρές του και διατηρήσουμε το μήκος της βάσης του τότε προκύπτει νέο τρίγωνο που έχει περίμετρο ίση με cm α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε τις τιμές των μηκών x, y του αρχικού τριγώνου 49 Για έναν αγώνα ποδοσφαίρου υπήρχαν δύο είδη εισιτηρίων Τα φτηνά των ευρώ και αυτά των 0 ευρώ που είναι σε λίγο καλύτερη θέση Συνολικά κόπηκαν 947 εισιτήρια και οι συνολικές εισπράξεις ήταν 60 ευρώ α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους β) Να βρείτε πόσα εισιτήρια των και πόσα των 0 ευρώ κόπηκαν στον αγώνα Μονοτονία - ακρότατα Ιδιότητες Συναρτήσεων 96 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το μέγιστο της f; β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας f x x, f x x 4, f x x 4 γ) Να βρείτε τις τιμές f και f 0 6

8 96 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας f x x, f x x 9, f x x 9 γ) Να βρείτε τις τιμές f και f Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α (Μονάδες 4) β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 4) 96 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε τα παρακάτω ε ρωτήματα: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες νες του σημείου Α (Μονάδες 4) β) Ποιο είναι το ελάχιστο της f ; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 4) 98 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Να βρείτε τις συντεταγμένες νες του σημείου Β (Μονάδες 4) β) Ποιο είναι το μέγιστο της f ; (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι i) γνησίως αύξουσα ii) γνησίως φθίνουσα (Μονάδες 4) 498 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το α) Να διατάξετε από το μικρ f 4, f, f 7 αφού τους α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς εντοπίσετε στο γράφημα β) Ένας συμμαθητής σας ισχυρίζεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο 7

9 ορισμού της (το ) Συμφωνείτε μαζί του; Αιτιολογήστε την απάντησή σας γ) Είναι το x θέση μεγίστου της συνάρτησης f ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 499Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια του σχήματος να απαντήσετε τα εξής α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f (α), f (β), f () αφού τους εντοπίσετε στο γράφημα 0 β) Παρουσιάζει η συνάρτησηη f ελάχιστο στο β; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση f x 0 Να βρείτε μια λύση της 49 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε στα ακόλουθα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f και για ποια τιμή του x το παρουσιάζει; (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι y γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να λύσετε την εξίσωση f x δ) Να δώσετε μια τιμή στον πραγματικό αριθμό κ ώστε η εξίσωση f x κ να έχει δύο λύσεις (Μονάδες 9) α f β 8

10 496 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το που παρουσιάζει μέγιστο στο x α) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να βρείτε ποιο είναι το μέγιστο της f; (Μονάδες 6) β) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; γ) Ποιος είναι ο τύπος της ευθείας (ε); (Μονάδες 7) δ) Αν η ευθεία (ζ) είναι παράλληλη στην (ε) και έχει τύπο y κ όπου κ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x κ είναι αδύνατη (Μονάδες 7 ) 494Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε στα ακόλουθα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f και για ποια τιμή του x το παρουσιάζει; (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x να αποδείξετε ότι ο τύπος της είναι y γ) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να λύσετε την εξίσωση f x δ) Να δώσετε μια τιμή στον πραγματικό αριθμό κ ώστε η εξίσωση f x κ να έχει δύο λύσεις (Μονάδες 9) 497 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το που παρουσιάζει μέγιστο το στο x α) Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α; β) Δίνεται ότι η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα x x Να βρείτε τον τύπο της γ) Αν μια ευθεία (ζ) έχει τύπο της μορφής y κ και έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της f, τι γνωρίζετε για τον πραγματικό αριθμό κ; Κατακόρυφη Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης 964 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Ποιο είναι το ελάχιστο της f; β) Ένας από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f Ποιος είναι; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας x, f x x f x x f x 9

11 γ) Να βρείτε τις τιμές f και f 0 Τριγωνομετρία Αναγωγή στο ο τετραρτημόριο 8486 Δίνεται ότι συνφ, με π φ π 4 α) Να υπολογίσετε το ημφ β) Αν η γωνία ω είναι παραπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες ) (Μονάδες ) 8487Δίνεται ότι ημφ 4 με π φ π α) Να υπολογίσετε το συνφ (Μονάδες ) β) Αν η γωνία ω είναι παραπληρωματική πληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες ) Δίνεται ότι συνφ 4 π με 0 φ α) Να υπολογίσετε το ημφ (Μονάδες ) β) Αν η γωνία ω είναι συμπληρωματική της φ, να βρείτε το ημω, το συνω και την εφω (Μονάδες ) π α) Να λύσετε την εξίσωση συνx στο διάστημα 0, (Μονάδες ) β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου του x του προηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες ) π 97α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες ) β) Ποια είναι η τιμή του ημιτόνου της παραπληρωματικής γωνίας της x του προηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες ) π 960α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, (Μονάδες ) β) Ποια είναι η τιμή του συνημιτόνου της συμπληρωματικής γωνίας της x που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα (Μονάδες ) 909 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ α) Ισχύει ότι το συνφ είναι θετικό και το συνθ είναι αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με i Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο ίσο με ; ii Να βρείτε το συνημίτονο ο της άλλης γωνίας 0

12 9Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γωνία θ α) Το συνθ είναι θετικό ή αρνητικό; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Αν ημθ 4 να βρείτε το συνθ 9 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με συνω και φ α) Να αποδείξετε ότι ημω (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 8) 94 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ με ημφ και θ α) Να υπολογίσετε το συνφ β) Να υπολογίσετε ημθ, συνθ 90 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες φ και θ Σας δίνεται ότι το συνημίτονο μιας από τις γωνίες φ και θ είναι ίσο με 4 α) Ποια εκ των γωνιών φ και θ έχει συνημίτονο και γιατί; 4 β) Να βρείτε το συνημίτονο της άλλης γωνίας 9Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία ε και οι 4 γωνίες θ και φ με συνφ α) Να υπολογίσετε το ημφ β) Να υπολογίσετε τα ημθ, συνθ 9 9 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η ευθεία (ε) και οι γωνίες θ με ημθ και φ 4 α) Να αποδείξετε ότι συνθ β) Να υπολογίσετε τα ημφ, συνφ

13 94 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η ορθή γωνία ΒΑΓ και οι γωνίες ω με ημω και φ α) Να αποδείξετε ότι συνω β) Να βρείτε τα ημφ, συνφ (Μονάδες 7) (Μονάδες 8) 490Δίνεται η εξίσωση: ημx ημx 0 α) Να βρείτε το ημx (Μονάδες 9) π β) Αν x 0,, να υπολογίσετε: i το συνx (Μονάδες 8) ii την εφx (Μονάδες 8) 4904Δίνεται η εξίσωση: ημx ημx 0 α) Να βρείτε το ημx (Μονάδες 9) π β) Αν x 0, να υπολογίσετε: i το συνx (Μονάδες 8) ii την εφx (Μονάδες 8) 4907Στον διπλανό κύκλο, οι γωνίες ω και φ είναι επίκεντρες, με συνφ 0,8 α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας ω β) Αν ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ = 0cm και το τόξο ΑΜ έχει μήκος cm, τότε: i) Να αποδείξετε ότι η γωνία ω είναι ίση με, rad (ακτίνια) ii) Nα βρείτε το συνημίτονο ο της γωνίας που έχει μέτρο ίσο με, rad (ακτίνια) 4908 Ο Βαγγέλης θέλει να κλείσει την πόρτα του συνεργείου του με αλυσίδα Μετρώντας είδε ότι θα χρειαστεί 8 μέτρα αλυσίδας Όταν πήγε να την αγοράσει, χρειάστηκε να πάρει δύο κομμάτια αλυσίδας για να φτάσει τα 8 μέτρα Μόνο που τα δύο κομμάτια αυτά δεν κόστιζαν το ίδιο Το ένα κόστιζε ευρώ το μέτρο και το άλλο 4 ευρώ το μέτρο Συνολικά πλήρωσε ευρώ α) Αν x και y είναι τα μήκη των δύο κομματιών πώς μπορείτε με μια εξίσωση να εκφράσετε το συνολικό μήκος της αλυσίδας; β) Πόσα μέτρα από το κάθε κομμάτι αγόρασε ο Βαγγέλης; (Μονάδες0) 490 Δίνεται η εξίσωση συνx συνx 0 α) Να βρείτε το συνx (Μονάδες 9) π β) Αν x,π να υπολογίσετε: i το ημx (Μονάδες 8) ii την εφx (Μονάδες 8) 49 Δίνεται η εξίσωση ημx ημx 0

14 α) Να βρείτε το ημx (Μονάδες ) π β) Αν x,π να υπολογίσετε: i το συνx (Μονάδες 6) ii την εφx (Μονάδες 6) 49 Δίνεται η εξίσωση συνx συνx 0 4 α) Να βρείτε το συνx (Μονάδες ) x 0,π να υπολογίσετε: β) Αν i το ημx (Μονάδες 6) ii την εφx (Μονάδες 6) Τριγωνoμετρικές συναρτήσεις 97 Δίνεται η συνάρτηση f x ημx με πεδίο ορισμού το α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 8π γ) Να αποδείξετε ότι 98 Δίνεται η συνάρτηση f x 4ημx με πεδίο ορισμού το α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 6π γ) Να αποδείξετε ότι 99Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με πεδίο ορισμού το α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f π γ) Να αποδείξετε ότι 940 Δίνεται η συνάρτηση f x συνx με πεδίο ορισμού το α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 4π γ) Να αποδείξετε ότι 94Δίνεται η συνάρτηση f ( x) ημx με πεδίο ορισμού το α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f π γ) Να αποδείξετε ότι: 94Δίνεται η συνάρτηση f x 0,ημx με πεδίο ορισμού το α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f π f 4π γ) Να αποδείξετε ότι

15 94-9Δίνεται η συνάρτηση α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f π f π γ) Να αποδείξετε ότι 948Δίνεται η συνάρτηση α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; f 0 f 4π γ) Να αποδείξετε ότι f x f x ημx με πεδίο ορισμού το συνx με πεδίο ορισμού το 90Δίνεται η συνάρτηση α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης; β) Να υπολογίσετε τις τιμές f 0,f π,f π γ) Να αποδείξετε ότι: f x f 0 f π 0 4συνx με πεδίο ορισμού το 9α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα π,π β) Ποια είναι η τιμή του συνημιτόνου του x του προηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες ) (Μονάδες ) 4909Οι μαθητές της Β Λυκείου ενός ΕΠΑΛ μπαίνοντας στο εργαστήριο ηλεκτρονικών εφαρμογών είδαν σε μια οθόνη προβολών σχεδιασμένη αυτή τη γραφική παράσταση και σε ένα πίνακα δίπλα γραμμένη τη φράση «συνάρτηση ημίτονο» α) Χρησιμοποιώντας το σχήμα να βρείτε ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης αυτής (Μονάδες 7) β) Ποιο είναι το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης; γ) i) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης (Μονάδες 8) ii) Να γράψετε τον τύπο μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης που η περίοδός της να είναι ίση με τη μισή περίοδο της συνάρτησης του σχήματος 490Ένας μαθητής του τμήματος Βηλ ενός ΕΠΑΛ σχεδίασε στο τετράδιό του το παρακάτω σχήμα, αντιγράφοντας από τον πίνακα στην ώρα των μαθηματικών Δεν πρόλαβε να σχεδιάσει όλο το σχήμα Θυμόταν όμως ότι πρόκειται για τη συνάρτηση ημίτονο α) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης και ποιο είναι το μέγιστο αυτής; β) Nα γράψετε τον τύπο της συνάρτησης γ) Να γράψετε την τετμημένη x του σημείου Α και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ 4

16 49 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνημιτονοειδούς συνάρτησης Επίσης δίνονται οι τύποι δύο οριζόντιων ευθειών και οι συντεταγμένες του σημείου Β α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α β) Να βρείτε την περίοδο και το μέγιστο της συνάρτησης Να βρείτε και μια τιμή του x για την οποία η παραπάνω συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο γ) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης 49α) Αν θεωρήσουμε ένα κύκλο ακτίνας cm, τότε πόσο μήκος (σε cm) αντιστοιχεί σε ένα τόξο: i) ακτινίου (rad); ii) π ακτινίων (rad); β) Στο διπλανό σχήμα έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση μιας ημιτονοειδούς συνάρτησης f Το μήκος του ΑΒ είναι εκατοστό και το μήκος του ΟΓ είναι 6 εκατοστά i) Ποια είναι η τετμημένη (το x) του σημείου Γ; (Μονάδες ) ii) Πόσο μήκος σε εκατοστά έχει το τμήμα ΟΔ; (Μονάδες 4) ii) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f; Μπορεί ο τύπος της f να είναι ο f(x) ημx ; (Μονάδες 8) Τριγωνομετρικές εξισώσεις π 94α) Να λύσετε την εξίσωση ημx στο διάστημα 0, β) Ποια είναι η τιμή του συνημιτόνου του x του προηγούμενου ερωτήματος (Μονάδες ) (Μονάδες ) π 96α) Αν για x,π ισχύει ότι συνx να αποδείξετε ότι ημx (Μονάδες ) β) Να βρείτε την τιμή του x του προηγουμένου ερωτήματος (Μονάδες )

17 49α) Να λύσετε την εξίσωση ημx, αν x 0,π π β) Αν ημx και x,0 ποια είναι η τιμή του x; 6