Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις."

Transcript

1 Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglkos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων f () d g() Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το βαθμό του παρονομαστή τότε κάνε διαίρεση και το μεγαλύτερο μέρος των ασκήσεων πέφτει στην επόμενη κατηγορία Αν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από παρονομαστή τότε εξετάζω αν λύνεται με τεχνική του θέτω αλλιώς κάνω την τεχνική Α,Β αναλύοντας τον παρονομαστή όσο περισσότερο μπορούμε δημιουργώντας όρους της μορφής : A A B A B G... A B... rctn d c rctn d c g g d d d...

3 τηλ. Οικίας : κινητό : Θυμίζω Ημίτονο : sin sine Συνημίτονο : cos cosine Εφαπτομένη : tn tngent Συνεφαπτομένη : cot contgent Τέμνουσα : sec cos Συντέμνουσα : csc sin Secnt consecnt sin ' cos cos ' sin t cos cot ' csc sin n ' sec sec ' sec tn cs c ' csc cot sin cos tn rcsin rccos rctn sec d tn c cs c d cot c d rcsin c d rccos c d rctn c d rc cot c rc sec d c & d rcsin c rc csc d c

4 τηλ. Οικίας : κινητό : Υπερβολικές συναρτήσεις e sinh e cosh e tnh e e coth e e e e e e e sec h e e csc h e e sinh ' cosh cosh d sinh c cosh ' sinh tnh ' sech rcsin h ln rccos h ln rctn h ln coth ' csc sh rc cot h ln sech ' sec h tn rc sec h ln 0 csch ' cs c h cot rc csc h ln 0 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos tn tn tn sin sin 4sin cos 4cos cos cos cos sin cos sin tn tn tn sin,cos f d θέτω t t tn t rctn t, d dt,sin,cos t t t

5 τηλ. Οικίας : κινητό : O : d O : d n θέτω t Περίεργες ρητές μορφές O : d Αν Δ>0:τεχνική Α,Β, αν Δ=0 τότε O, αν Δ<0 τότε rctn g c d O : d προσπάθησε να κατασκευάσεις στον αριθμητή την παράγωγο του παρονομαστή, g 4 σπάσε το κλάσμα και μετά θα χρειαστείς κάποια μορφή από O, O, O O O d χρησιμοποιώ τον τύπο : g 5 : n c d 6 : n g d t n dt t t n t n n n προσπάθησε να κατασκευάσεις στον αριθμητή την παράγωγο του παρονομαστή, σπάσε το κλάσμα και μετά θα χρειαστείς μορφή από O5 dt d θέτω sin Άρρητες συναρτήσεις w d θέτω tn w d θέτω sec w, d θέτω... t c d EK,, d θέτω... t c d c d. 4 d Ασκήσεις Υπολόγισε τα ολοκληρώματα 4

6 τηλ. Οικίας : κινητό : d 5 6 d d d 6 9 d 6 d 6 5 d 4 d ln 0 d d 4 4 d 4 d 4 d d 4 5 d d d d d d 0 (διαίρεσε με 4 και θέσε) 5

7 τηλ. Οικίας : κινητό : d 6 8 d 6 d d 4 d 4 d 5 d e d d d d d 7 d d d ln d ln d 4 d 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : e d e 4. rcsin d 4. rctn d 4. ln d d 4 d d d (με παραγοντική) (με παραγοντική) Καταχρηστικά ολοκληρώματα ου τύπου : f () d lim() c c f () d lim() c c f d f d f ()()() d f d f d 48. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : dt, dt, sin tdt t t 0 Καταχρηστικά ολοκληρώματα ου τύπου : f () d lim() f d c c f () d lim() c c f d 49. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : 50. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : dt, dt t t 0 0 / t dt, dt, dt 4 t t t t sin t

9 τηλ. Οικίας : κινητό : Υπολόγισε τα ολοκληρώματα : 5. Υπολόγισε τα ολοκληρώματα :, kt, t dt e dt te dt k t 0 0 t t dt, dt, dt, dt t t logt t 0 t Ίχνος καμπύλης : ορίζουμε το σύνολο των σημείων όπου διέρχεται η καμπύλη, δηλαδή το σύνολο των σημείων R, :(),(), f t, g t t 5. Να βρεις τα ίνχη των σχημάτων : f () t cos,() t g tsin,0 t t 54. Ομοίως : f () t cos,() t g tsin,0 t t 55. Ομοίως : f () t cos,() t g tsin,0 t t 56. Ομοίως : f () t t cos,() t g t sin t,0 t t 57. Ομοίως : f () t,() t g t, t t 58. Ομοίως : f () t,() t g tsin,0 t t 59. Ομοίως : f () t cos,() t g tsin,0 t t Μήκος καμπύληςσε συνάρτηση f () ή με d : L d d ή αν το εκφράσω το χ d d σε σχέση με το : L d,() f,() c f d d c Μήκος τόξου καμπύλης με παραμετρικές εξισώσεις : g(),(), u h u, u u u u υπολογίζεται με τύπο : '() '(),, S g u h u du g u g u u τότε f () log cos, 0, μπορώ να κάνω 6 παραμετροποίηση ως εξής : θεωρώ () t,()() t t f t και χρησιμοποιώ τον δεύτερο τύπο Προσοχή : αν ζητηθεί μήκος καμπύλης με f Μήκος τόξου καμπύλης με πολικές συντεταγμένες :,, τότε υπολογίζεται με τύπο : ',, d S d f f d d 60. Υπολόγισε το μήκος του τόξου της μεταξύ των σημείων A(0,0),(4,8) B 8

10 τηλ. Οικίας : κινητό : Υπολόγισε το μήκος της καμπύλης r cosu 6. Υπολόγισε το μήκος τόξου της καμπύλης 6. Υπολόγισε το μήκος τόξου της καμπύλης : 64. Υπολόγισε το μήκος του τόξου της σπείρας : ln μεταξύ των σημείων με =,= 4 t t t t,, 0, 4 r e, 0, 65. Υπολόγισε το μήκος της καμπύλης : f () t cos,() t g tsin,0 t t f () t t sin t,() g t cos,0t t 66. Ομοίως : 67. Ομοίως : f () t cos,() t g tsin,0 t t 68. Να βρεις μήκος τόξου της 69. Ομοίως, 0, 4, 0, Ομοίως, 0, Ομοίως t cos t, sin t, t 0, t 7. Ομοίως,(0,0),(,6) 7. Ομοίως ln,, 74. Ομοίως t t e cos t, e sin t, t 0, t 4 Όγκος από περιστροφή συνάρτησης f (),, περιστροφή γίνει γύρω από τον : V () f d γύρω από : V f () d ενώ αν η Όγκος από περιστροφή δύο συναρτήσεων : f (),(),()()()() g f g V f g d Εμβαδό από περιστροφή f (),, γύρω από τότε d E () f d d, ενώ d d αν περιστραφεί γύρω από τότε E () g d d c όπου η f () g() και f (),() c f d λύνεται ως προς χ 75. Να βρεις το εμβαδό της επιφάνειας που παράγεται από την περιστροφή του τόξου 8, 0, γύρω από τον 9

11 τηλ. Οικίας : κινητό : Ομοίως για την, 0, 77. Ομοίως για την ( t sin), t ( cos), t t 0, t 78. Ομοίως για την t t t t t,, 0, 79. Να βρεις τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα του χωρίου που ορίζεται από 80. Ομοίως για την 8. Ομοίως για την 8. Ομοίως για 8. Ομοίως για 84. Ομοίως για 8, 4, 0, 6 t t t t,,0 sin, 0, 6, 4 4, Να βρεις τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ο της καμπύλης 86. Ομοίως για 8,,, 0 Κέντρο βάρους επίπεδη καμπύλης : M d d d d d d, M, d d d d d d Κέντρο βάρους επίπεδου χωρίου : M, M, f ()() d f ()() d f d f d Επικαμπύλια ολοκληρώματα ου είδους: (,)(),() '() '() AB f ds f t t t t dt με παραμετρικές εξισώσεις (),() t t. AB η καμπύλη πάνω στην οποία κινούμαστε και α,β η αρχική και τελική χρονική στιγμή. Για παραμετρική παράσταση πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα τότε θεωρώ τυχαίο σημείο Μ και χρησιμοποιώ σχέση AM t AB, οπότε δημιουργώ τις παραμετρικές εξισώσεις. Για παραμετρική παράσταση τόξου κύκλου με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα R τότε Rcos t, Rsin t. Για παραμετρική παράσταση τόξου έλλειψης με κέντρο το (0,0) και ημιάξονες α,β τότε cos t, sin t. Προσοχή το t εκφράζει τη γωνία όπου θα κινηθείς AB f (,)( d,)(),() g '()(),() d '() f t t t dt g t t g t dt 0

12 τηλ. Οικίας : κινητό : Μάζα :,, M f z dl όπου η συνάρτηση εκφράζει την πυκνότητα AB Κέντρο μάζας : C c, c, zc, c f,, zdl, c f,, zdl, zc zf,, zdl M AB M AB M AB Έργο δύναμης : W τύπος W L L Fdl f, g, h d, d, dz KL K K L K L Fdl, όπου F...,...,..., dl d, d, dz K = οπότε θα σου χρειαστεί ο f (,)( d,)(,)(),() g '()(),() h dz '() f t t t dt g t t g t dt 87. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της t, t, z t, t, t A B 88. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της ΑΒ με Α(,0,0) και Β(,,-) 89. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της, αρχή των αξόνων, ακτίνα που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο 90. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f,, z z πάνω στην καμπύλη ΑΒ με f,, z z z πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα f πάνω σε τεταρτοκύκλιο με κέντρο την f, πάνω στη τρίγωνο ΚΑΒΚ με κορυφές Κ(0,0), Α(6,) και Β(,5) (Υπόδειξη: κάνε τρία επικαμπύλια πάνω στις διαδρομές) 9. Δίνεται σύρμα (τόξο) ΑΒ με παραμετρική παράσταση t, t, z t t 0, t πυκνότητα f,, z και γραμμική z, να υπολογίσεις μάζα και κέντρο μάζας 4 9z 9. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της τμήμα ΑΒ, Α(,,) και Β(,,-) A f,, z z πάνω στο ευθύγραμμο 9. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f, πάνω σε τεταρτοκύκλιο με ακτίνα B 94. Να υπολογίσεις ο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της στην καμπύλη t, t, z t, A0,0,0, B,4,4 I z d d 7z dz A B πάνω (Υπόδειξη : θα αντικαταστήσεις απλά τις μεταβλητές ως συνάρτηση του χρόνου και να μην ξεχάσεις : d dt, d dt, dz tdt, η ρίζα '() t '() t δε θα σου χρειαστεί και έτσι υπολογίζεις απλά ολοκληρώματα) 95. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της f, πάνω σε τεταρτοκύκλιο με ακτίνα Να υπολογίσεις ο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της I 4 dl πάνω στην καμπύλη AB z z A B,,,,,, 4,8 (υπόδειξη : θέτω t )

13 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεις το έργο της δύναμης F,, z, z, 98. Λ(,,) για τη μετακίνηση από το σημείο Κ(0,0,0) στο Επικαμπύλια ολοκληρώματα ου είδους : κατά μήκος του τόξου AB συμβολίζεται : F(,)( dr,)(,) P d Q d με διανυσματική συνάρτηση F γίνεται AB AB AB F(,)() dr '()((),()) F r t'()((),()) r t dt '() P t t t Q t t t dt 99. Να βρεις το έργο της δύναμης F,, z, z, ευθύγραμμα στο σημείο Λ(,,) για την μετακίνηση από το σημείο Κ(0,0,0) B 00. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της καμπύλης t t z t A B,,,(0,0,0),(,4,4) I z d d 7z dz A 0. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του τμήματος ΑΒ με Α(,),Β(0,) 0. Να υπολογίσεις το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του 0. με παραμετρική παράσταση cos t, sin t, t 0, κατά μήκος F, i j κατά μήκος του ευθυγράμμου F, i j κατά μήκος του κυκλικού τόξου Αν f (,) 0 τότε το διπλό ολοκλήρωμα Διπλά ολοκληρώματα : γράφημα της f (,) και πάνω (μέσα) από το χωρίο (Τ) Αν f (,) το χωρίο (Τ) τότε το διπλό ολοκλήρωμα () () f (,) dd παριστάνει όγκο που βρίσκεται κάτω από το f (,) dd παριστάνει εμβαδό που περικλείεται από Πρέπει να κάνεις ένα πολύ καλό σχήμα για να μπορέσεις να εκφράσεις το εμβαδό συναρτήσει των χ και και να δεις τον όγκο. Χρήση πολικών συντεταγμένων : πολλές φορές ένα διπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα με αλλαγή συντεταγμένων από καρτεσιανές σε πολικές : r cos, r sin οπότε ()() f (,)( dd cos, sin) f r r rdrd g u v J u v dudv όπου f, g u, v και Αλλαγή μεταβλητών : f (,)( dd,), J u, v u u v v ()() D

14 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις το διπλό ολοκλήρωμα από τις ευθείες χ=-,χ=,=,=4 05. Να υπολογίσεις το dd όπου (Τ) ο τόπος που περικλείεται από τις γραμμές () =,=,=,=4 06. Να σχεδιασθεί ο τόπος ολοκλήρωσης και να υπολογισθεί : 07. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 08. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 09. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 0. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 5. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 6. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : :,,, 0, e dd () όπου (Τ) ο τόπος του επιπέδου που περικλείεται I d d 0 e dd για :, 4, e dd για :,, ' e dd για :,, e dd για :,, ' e dd για :,, ' e dd για :, 6, ' e dd για :, 4, ' e dd για :, 4 e dd για :, 4, 0, 0 e dd για : 4, 0, 0 7. Να γράψεις τα όρια ολοκλήρωσης με τρόπους f (,) dd για 8. Να υπολογιστεί ο όγκος του πρίσματος που έχει ως βάση το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που καθορίζεται στο -επίπεδο από τις σχέσεις 0 < <, 0 < < και προς τα άνω φράσσεται από το επίπεδο z=4--., 5, ' dd 4 4 dd Να υπολογιστεί το ολοκλήρω 6 dd ωμα f (,) da, f, 6, R 0 R,

15 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογιστεί ο όγκος του πρίσματος του οποίου βάση είναι το τρίγωνο που δημιουργείται στο -επίπεδο από τον -άξονα και τις ευθείες = και = και προς τα άνω φράσσεται από το επίπεδο f (,) Μπορείς να το δεις με τρόπους : 0 0 dd... ή 0 dd.... Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα sin f (,) da, f,, R ',, R sin sin dd 0 0 d... cos 0. Να γίνει το γράφημα του πεδίου ολοκλήρωσης του 0 4 dd Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα αφού πρώτα γίνει αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης. Προφανώς η περιοχή που θα δουλέψεις : 0< <, < < dd 4 dd Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του -επιπέδου που περικλείεται από την = και την = στο πρώτο τεταρτημόριο. 0 dd... 6 ή... 0 dd 6 4. Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του -επιπέδου που περικλείεται από την =+ και την =. 9 dd... ή 9 dd dd

16 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του πρώτου τεταρτημορίου του -επιπέδου που περικλείεται από την = = και την =. 0 dd... 0 ή 0 dd Να βρεθεί το εμβαδόν της περιοχής του πρώτου τεταρτημορίου του -επιπέδου που περικλείεται από την = = και την = και το <. 0 dd... ή dd... 0 dd 7. Να υπολογιστεί το e ολοκλήρωσης 0 e dd e dd με αλλαγή της σειράς 9 e dd Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 9. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 0. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : u. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :με αλλαγή μεταβλητών : v :,, 0 Υπόδειξη: Θα λύσεις το σύστημα u u v.... v u v u f (,) e... e g, u v J u, v u u v v dd 5 για :, e dd για :,, dd για :,, e κάνε σχήμα στην παρακάτω περιοχή, 4, 4 dd για

17 τηλ. Οικίας : κινητό : D : u v, u 0, u u u u 4 Οπότε θα βρεις το διπλό ολοκλήρωμα e dudv... e dvdu... e () D u. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα :με αλλαγή μεταβλητών : v :,,,. Δίνεται 0 d d Να σχεδιάσεις τόπο ολοκλήρωσης Να το υπολογίσεις dd για Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα με αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης z 4. Να βρεις τον όγκο του στερεού που έχει τις έδρες του στο επίπεδο,,, c 0 και στα c επίπεδα : z 0, z : 0, z : 0 Λύση : Με διπλό ολοκλήρωμα : z z c c c. Θα βρω την προβολή πάνω στο επίπεδο c O : για z 0 άρα το χ θα πάρει τιμές από 0 έως α και το από 0 έως c c Άρα V f (,) dd zdd c dd () Με τριπλό ολοκλήρωμα : ()() V f (,,) z dddz dddz V Οπότε κάνοντας ένα καλό σχήμα : c c c V dddz dzdd... () V Να βρεις τον όγκο που περικλείεται από το επίπεδο z 0 και τα επίπεδα συντεταγμένων 6. Να βρεις τον όγκο στερεού που περικλείεται από τα επίπεδα z 0, 0,,, z 7. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : dd για : 4, 4, 0 8. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 4 dd για : 4 9. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : dd για :, 6

18 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : :, 0 περιοχή 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : dd για :,, 0 dd για την ευθεία που διέρχεται από Α(,0) και Β(0,) και την dd για :,, 4 4. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : dd για : 44. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : sin dd για : 0,, 45. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : 46. Να υπολογίσεις το ολοκλήρωμα : dd για :,,, Να βρεις το εμβαδό με διπλό ολοκλήρωμα για :, dd για :,,, Να βρεις το εμβαδό με διπλό ολοκλήρωμα για : ln, ln, e, e Να βρεις το εμβαδό με διπλό ολοκλήρωμα για : 0, 4 8, 6 Το τριπλό ολοκλήρωμα () V Τριπλά ολοκληρώματα : f (,,) z dddz είναι χρήσιμο για υπολογισμό όγκων, μαζών, ροπών στερεών σωμάτων. Έστω ένα στερεό το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες z g(,),(,) z h και (Τ) η προβολή του στο επίπεδο O, τότε Αν f (,,) z από το χωρίο (Τ) τότε το τριπλό ολοκλήρωμα f (,,)( z dddz,,) h(,) ()()( V,) g () V f z dzdd f (,,) z dddz παριστάνει όγκο που περικλείεται Πρέπει να κάνεις ένα πολύ καλό σχήμα για να μπορέσεις να εκφράσεις το εμβαδό συναρτήσει των χ και, z και να δεις τον όγκο. Χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων : πολλές φορές ένα τριπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα με αλλαγή συντεταγμένων από καρτεσιανές σε κυλινδρικές : r cos, r sin, z z οπότε ()( V ') f (,,)( z dddz cos, sin,) f r r z rdrd dz V Χρήση σφαιρικών συντεταγμένων : πολλές φορές ένα τριπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ευκολότερα με αλλαγή συντεταγμένων από καρτεσιανές σε σφαιρικές : r sin cos, r sin sin, z r cos οπότε ()( V ') f (,,)( z dddz sin cos, sin f r sin, cos) r sin r r drd d V 7

19 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεις τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από 4 και φράσσεται από πάνω από το επίπεδο z 0 5. Να βρεις τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται πάνω από την z 4 και κάτω από το επίπεδο z z 5. Να βρεις τον όγκο του στερεού που έχει τις έδρες του στο επίπεδο,,, c 0 και στα c επίπεδα : z 0, z : 0, z : Λύση : Με διπλό ολοκλήρωμα : z z c c c. Θα βρω την προβολή πάνω στο επίπεδο c O : για z 0 άρα το χ θα πάρει τιμές από 0 έως α και το από 0 έως c c Άρα V f (,) dd zdd c dd () Με τριπλό ολοκλήρωμα : ()() V Οπότε κάνοντας ένα καλό σχήμα : f (,,) z dddz dddz () V V c c c V dddz dzdd... 8

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις. Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ( ) 6e ) ( + ) ) 3) ( + ) 3 + + ( 5) 3 5 ) + 3 6) + 3 ( + ) Ασκηση. Να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα: ) cos sin ) cos ( 3) cos sin

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα 5. Διπλά Ολοκληρώματα σε ορθογώνιο χωρίο. 5.. Εισαγωγή Έστω ότι η f (, ) είναι ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d (, ) A c a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3 Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

DIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA

DIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Kefˆlio 8 IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ. 8. iplˆ oloklhr mt 8.. iplì olokl rwm se orjog nio Ορίζουμε πρώτα το διπλό ολοκλήρωμα (double integrl), R[,b]X[,d] d f(, ) da R πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης ) Το ύψος h σε χιλιόμετρα ενός βουνού δίνεται από την σχέση h 4 == 4. α) Ένας πεζοπόρος βρίσκεται στο σημείο (,,) και κινείται προς την διεύθυνση της μεγίστης κατάβασης.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Για αρχή 598 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Για αρχή 598 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Παράγωγοι Κώστας Γλυκός Για αρχή 598 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88

Διαβάστε περισσότερα

x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V

x y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V HY 111, Απειροστικός Λογισμός Εαρινό Εξάμηνο 011 01 Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 8 ο Φροντιστήριο (18/5/01) Τριπλά Ολοκληρώματα Συνοπτική Θεωρία Έστω ένα στερεό, το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 5 / / 6 Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & και τεχνικές σε σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.

ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση --8 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Άσκηση η Υπολογίστε τα κάτωθι όρια: cos α) β) γ) δ) ε) sin 5 α) Εφαρμόζουμε τον κανόνα L Hospital μια φορά (απροσδιοριστία της μορφής /)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος /4/05 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Αν z z 0 δείξτε ότι: z z ( z ) Παραγωγίζουμε την z z 0 ως προς θεωρώντας ότι η z είναι συνάρτηση των και : z z z z z z 0 () z

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις.

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 6 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΕΠΑΛ Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 εκδόσεις / / 0 8 Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για παραγώγους (ΕΠΑΛ) Να βρεις τα πεδία

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Για αρχή 598 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Για αρχή 598 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Παράγωγοι Κώστας Γλυκός Για αρχή 598 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglyks.gr 8 / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα είναι παράγωγοι Παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος 3/4/6 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Έστω το ολοκλήρωμα: I da {(, ) :, } 3 ( + 3 ) Να εκφράσετε το ολοκλήρωμα σε νέες συντεταγμένες, οι οποίες ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )

Διαβάστε περισσότερα

x 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5

x 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5 1 Επαναληπτικές Ασκήσεις 19-1-18 Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x.

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & και τεχνικές σε σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = x e + z dv όπου = [, ] [,] [,] Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο 4 83 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο 4 83 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 / Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 4 / 7 / 8 Κατεύθυνση κεφάλαιο 4 8 ασκήσεις και τεχνικές σε 9 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωτικός Λογισμός

Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα Αόριστο Ολοκλήρωμα o Ιδιότητες Αόριστου Ολοκληρώματος o Βασικά Αόριστα ολοκληρώματα o Τεχνικές Ολοκλήρωσης o Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Εφαρμογές Ολοκληρώματος

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων. Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 8-9. Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.. (i) Βρείτε μία παράγουσα της + στο (, + ). Ποιές είναι όλες οι παράγουσες της + στο (, + ); (ii) Βρείτε μία παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το

Διαβάστε περισσότερα

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos. Κώστας Γλυκός Γενικής κεφάλαιο Κατεύθυνση Κεφάλαιο Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 87 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7 0 0 8 8 8 8 Kglykosgr / / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε

Διαβάστε περισσότερα

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β. Γραμμικές Εξισώσεις. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + β διέρχεται από το σημείο Α(, ). Να βρείτε τον αριθμό. ίνεται η ευθεία = + (α ). Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,

Διαβάστε περισσότερα

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.

8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6. 1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,

Διαβάστε περισσότερα

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος

MAΘΗΜΑΤΙΚΑ. κριτήρια αξιολόγησης B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Πέτρος Μάρκος B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πέτρος Μάρκος κριτήρια αξιολόγησης MAΘΗΜΑΤΙΚΑ Διαγωνίσματα σε κάθε μάθημα και επαναληπτικά σε κάθε κεφάλαιο Διαγωνίσματα σε όλη την ύλη για τις τελικές εξετάσεις Αναλυτικές απαντήσεις σε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ds ds ds = τ b k t (3)

ds ds ds = τ b k t (3) Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k

Διαβάστε περισσότερα

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα 6. Γενικά Ορισμοί Έστω ότι η f() είναι συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [,]. Χωρίζουμε το διάστημα [,] σε n υποδιαστήματα επιλέγοντας n+ σημεία τέτοια ώστε = < < < n-

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 / Παράγωγοι Κώστας Γλυκός ΕΠΑΛ Κεφάλαιο 59 ασκήσεις σε 9 σελίδες 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 εκδόσεις / / 0 8 Καλό πήξιμο Τα πάντα για παραγώγους (ΕΠΑΛ) Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων :. f ( ) 9. f(

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Περιεχόμενα Συνδυαστικά Θέματα... Προβλήματα... 6 Επιμέλεια

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΑΣΟΛΟΓΙΑΣ για Γενική Επανάληψη Πολυχρόνη Μωυσιάδη, Καθηγητή ΑΠΘ ΟΜΑΔΑ 1. Συναρτήσεις 1. Δείξτε ότι: και υπολογίστε την τιμή 2. 2. Να υπολογισθούν οι τιμές και 3. Υπολογίστε τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1 Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα...................... i Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Παρασκευή, 19/05/2017 8:00 11:00

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ) dx. 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα. 2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα I 1

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ) dx. 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα. 2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα I 1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα d d d y y d 7 d sin d / y dy d d 8 os d sin d d d d / d. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα d d d d 7 d d. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα

Ανασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 4, 5 Διπλό ολοκλήρωμα Στο μαθήματα 4 και 5 ( //8, 6 //8 ), μιλήσαμε για το διπλό ολοκλήρωμα.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

= x + στο σηµείο της που

= x + στο σηµείο της που Ασκήσεις στην εφαπτοµένη καµπύλης 1. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) = + στο σηµείο της που έχει τετµηµένη.. Σε ποια σηµεία της γραφικής παράστασης της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος /8/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες.5) Υπολογίστε το διπλό ολοκλήρωμα / I y dyd συντεταγμένες. Επίσης σχεδιάστε το χωρίο ολοκλήρωσης. Λύση: Το

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες)

s(t) = + 1 γ 2 (2 µονάδες) . ύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται σε ευθύ δρόµο µε την ίδια σταθερή ταχύτητα προς την ίδια κατεύθυνση. Την στιγµή t = (ο χρόνος µετρείται σε δευτερόλεπτα) το αυτοκίνητο Β προπορεύεται κατά s =3 (η απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 6 185 ασκήσεις και τεχνικές σε 16 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 1 / / 0 1 7 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (2.3). Στο σημείο Ρ 1 ισχύει

Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (2.3). Στο σημείο Ρ 1 ισχύει ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.. Σταθερό ρεύμα 5 Α μέσω χάλκινου σύρματος ρέει προς δεξαμενή ανοδείωσης. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το τμήμα του σύρματος μήκους, cm, σε ένα σημείο που

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου

Εμβαδά. 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α2=2, να. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου 1 Εμβαδά 1) Με βάση το παρακάτω διάγραμμα όπου το εμβαδόν των περιοχών είναι Α1=8 και Α=, να υπολογιστεί η παράσταση: 9 9 f ( x) dx f ( x) dx 1 6 ) Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου μέρους του

Διαβάστε περισσότερα