ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ, ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΟΝΑΔΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΟΗ ΡΕΥΣΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΦΑΣΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΑΕΡΙΟΥ ΥΓΡΟΥ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ ΜΕ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ν.Χ.ΜΑΡΚΑΤΟΣ ΑΘΗΝΑ 2012

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία εκπονήθηκε στη Μονάδα Υπολογιστικής Μηχανικής Ρευστών της Σχολής Χημικών Μηχανικών του Ε.Μ.Π. το χρονικό διάστημα από το Σεπτέμβριο του 2011 έως το Μάρτιο του Με την παρούσα εργασία περατώνονται οι σπουδές μου στο Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Υπολογιστική Μηχανική. Στο σημείο αυτό οφείλω να ευχαριστήσω θερμά τους ανθρώπους που συνέβαλλαν στην ολοκλήρωσή της. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή κύριο Νικόλαο Χ. Μαρκάτο για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε και τη δυνατότητα που μου προσέφερε να εκπονήσω την παρούσα μεταπτυχιακή εργασία, αλλά και για την πολύτιμη βοήθειά του καθ όλη τη διάρκεια αυτής. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω την υποψήφια διδάκτορα Δέσποινα Καραδήμου για την επίβλεψη και την καθοδήγηση σε όλα τα στάδια της εργασίας, καθώς και για τον πολύτιμο χρόνο που αφιέρωσε και τη συμπαράσταση σε όλες τις δυσκολίες που παρουσιάστηκαν στη διάρκεια της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου στους γονείς μου οι οποίοι μου συμπαραστάθηκαν ηθικά και οικονομικά, και διαμόρφωσαν γύρω μου ένα άνετο περιβάλλον μέσα στο οποίο μπόρεσα να εργαστώ. Παναγιώτης Παπαδόπουλος Αθήνα, Μάιος 2012

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία επιχειρείται η μελέτη και η αριθμητική προσομοίωση της τυρβώδους διφασικής ροής αερίου υγρού σε αντιδραστήρα (3D) πλήρους ανάδευσης με τεχνικές υπολογιστικής ρευστοδυναμικής. Ο αντιδραστήρας είναι ισοθερμοκρασιακός και αποτελείται από ένα κυλινδρικό δοχείο, το σύστημα ανάδευσης και τα ακροφύσια τροφοδοσίας και απομάκρυνσης του αερίου. Η αέρια φάση έχει τις ιδιότητες του αέρα και υγρή φάση τις αντίστοιχες του νερού. Το προτεινόμενο μαθηματικό μοντέλο βασίζεται στις μερικές διαφορικές εξισώσεις που διέπουν τη διφασική, τρισδιάστατη και μεταβατική ροή. Για τη προσέγγιση της διφασικής ροής χρησιμοποιείται η προσέγγιση Euler Euler. Ο αλγόριθμος που εφαρμόζεται για την επίλυση του υδροδυναμικού πεδίου του προβλήματος της διφασικής ροής καλείται IPSA (InterPhase Slip Algorithm), και αποτελεί μία επέκταση του αλγόριθμου SIMPLE. Για την προσομοίωση χρησιμοποιείται το εμπορικό πακέτο PHOENICS Η προσομοίωση γίνεται με την εφαρμογή τριών μοντέλων τύρβης: (α) του πρότυπου k ε, (β) του RNG k ε και του k ε με κατάλληλη προσθήκη για τη συνεισφορά του ιξώδους που οφείλεται στην κίνηση των φυσαλίδων. Για τη μοντελοποίηση της ροής χρησιμοποιείται η προσέγγιση του ολισθαίνοντος πλέγματος (sliding mesh approach), η οποία ενδείκνυται για την προσομοίωση μεταβατικών ροών σε αντιδραστήρες πλήρους ανάδευσης. Εξάγονται συμπεράσματα για τα διανύσματα αλλά και τις κατανομές των ταχυτήτων των δύο φάσεων, σε όλο το πεδίο ροής του αντιδραστήρα. Επίσης, προκύπτουν συμπεράσματα για τις κατανομές των κλασμάτων όγκων των δύο φάσεων, για την επίδραση της γωνιακής ταχύτητας των φτερωτών στην ανάμιξη και για την ακρίβεια των τριών μοντέλων τύρβης. Τέλος, γίνεται περιγραφή των διαφόρων φαινομένων που λαμβάνουν χώρα στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα, όπως είναι η ανάμιξη, η εναλλαγή των δύο φάσεων, η κεντρική δίνη, καθώς επίσης και η περιστροφική κίνηση. Σελ. i

4 ABSTRACT The present thesis attempts to study and investigate the numerical simulation of the turbulent gas liquid flow in a continuous stirred tank reactor (CSTR) with Computational Fluid Dynamics (CFD) techniques. The reactor is isothermal and consists of a cylindrical container, the mixing system and the supply nozzles of the gas. The gas phase has the properties of air and the liquid phase those of water. The proposed mathematical model is based on partial differential equations governing the two phase, three dimensional transient flow. The modelling method employed the Eulerian Eulerian two fluid equations. The algorithm used to solve the hydrodynamic field of the two phase flow problem is called IPSA (InterPhase Slip Algorithm), and is an extension of the SIMPLE algorithm. The problem is simulated using the commercial software PHOENICS. The simulation is done by applying three different turbulence models: (a) the standard k ε, (b) the RNG k ε and (c) the k ε with an appropriate additional term for the contribution of viscosity due to the motion of air bubbles. The sliding mesh approach is used for modelling the flow. This method is appropriate for simulating two phase transient flows in stirred reactors. Lessons learned for the vectors and distributions of velocities of two phases in the whole flow filed of the reactor. Moreover, conclusions derived for the distribution of volume fraction for each phase, the effect of the angular speed of the impellers in mixing and for the accuracy of the three different turbulence models. Finally, the various phenomena that occur in the critical region of the reactor such as mixing, the alternation of two phases, the central vortex, as well as the rotational motion, are described extensively. Σελ. ii

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1: Εισαγωγική παρουσίαση της εργασίας Εισαγωγή Σκοπός της εργασίας Συνοπτική παρουσίαση της εργασίας Βιβλιογραφικές αναφορές Ξενόγλωσσες 6 Κεφάλαιο 2: Διφασικές ροές Εισαγωγή Τρόποι προσέγγισης των διφασικών ροών Προσέγγιση κατά Euler Προσέγγιση κατά Lagrange Προσέγγιση του όγκου ρευστού Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Ξενόγλωσσες 15 Κεφάλαιο 3: Μοντελοποίηση της ροής σε αντιδραστήρες πλήρους ανάδευσης Εισαγωγή Βιβλιογραφική ανασκόπηση Βιβλιογραφικές αναφορές Ξενόγλωσσες 24 Κεφάλαιο 4: Η γεωμετρία του προβλήματος Εισαγωγή Γενική ταξινόμηση των χημικών αντιδραστήρων Αντιδραστήρες συνεχούς, ημι συνεχούς και ασυνεχούς λειτουργίας Ομοιογενείς και ετερογενείς αντιδραστήρες Αντιδραστήρες πλήρους ανάμιξης και εμβολικής ροής Ισοθερμοκρασιακοί και μη ισοθερμοκρασιακοί αντιδραστήρες Ο αντιδραστήρας του προβλήματός μας Γενική περιγραφή του αντιδραστήρα Λεπτομερής περιγραφή του αντιδραστήρα Αγωγός ελκυσμού 31 Σελ. iii

6 Διάμετροι των αναδευτήρων και του αγωγού ελκυσμού Απόσταση του κάτω αναδευτήρα από το πυθμένα του δοχείου Στάθμη υγρής φάσης Ο ρόλος των ανακλαστήρων και των δύο αναδευτήρων Η απεικόνιση του αντιδραστήρα Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Ξενόγλωσσες 37 Κεφάλαιο 5: Μαθηματική περιγραφή του προβλήματος Εισαγωγή Το μαθηματικό μοντέλο Εξαρτημένες και ανεξάρτητες μεταβλητές Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις Οι εξισώσεις συνέχειας Οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής Τύρβη Εισαγωγή Τύρβη και διφασική ροή Μοντελοποίηση της τύρβης Το μοντέλο k ε Το RNG k ε μοντέλο Οριακές συνθήκες Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Ξενόγλωσσες 55 Κεφάλαιο 6: Αριθμητική μέθοδος επίλυσης Εισαγωγή Μέθοδος πεπερασμένων όγκων ελέγχου Πλέγμα Όγκος ελέγχου Διακριτοποίηση Χειρισμός των όρων της εξίσωσης μεταφοράς Μεταβατικός όρος Όρος μεταφοράς συναγωγής Όρος διάχυσης 65 Σελ. iv

7 Όρος πηγής Επίλυση εξισώσεων Σύγκλιση Τεχνικές υποχαλάρωσης Γραμμική υποχαλάρωση Χαλάρωση ψευδοχρονικού βήματος Επίλυση του υδροδυναμικού πεδίου Διαδικασία επίλυσης μέσω του προγράμματος PHOENICS Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Ξενόγλωσσες 78 Κεφάλαιο 7: Μαθηματική επίλυση Αποτελέσματα Εισαγωγή Η μαθηματική επίλυση του προβλήματος Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης Ανεξαρτησία λύσεως από το πλέγμα Ανεξαρτησία λύσεως ως προς τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα Ανεξαρτησία λύσεως ως προς τον αριθμό των χρονικών βημάτων Βέλτιστα πλέγματα Διανύσματα ταχύτητας Κατανομές των κλασμάτων όγκων Κατανομές της κινητικής ενέργειας της τύρβης Βιβλιογραφικές αναφορές Ξενόγλωσσες 141 Κεφάλαιο 8: Συμπεράσματα Προτάσεις Συμπεράσματα Προτάσεις για μελλοντική έρευνα Βιβλιογραφικές αναφορές Ξενόγλωσσες 144 Παράρτημα 145 Α.1 Πίνακας συμβόλων 145 Α.1.1 Αγγλικά σύμβολα 145 Σελ. v

8 Α.1.2 Ελληνικά σύμβολα 149 Α.1.3 Δείκτες 151 Σελ. vi

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1.1 Εισαγωγή Η ανάμιξη δύο ή περισσότερων συστατικών είναι μία από τις συνήθεις διεργασίες που απαντώνται στις χημικές βιομηχανίες. Συχνά, η διεργασία της ανάμιξης συνοδεύεται από χημική αντίδραση, μεταφορά μάζας, ορμής και θερμότητας καθώς επίσης και από διάσπαση συσσωμάτωση της διασκορπισμένης φάσης. Ο χώρος στον οποίο πραγματοποιείται η διεργασία της ανάμιξης είναι ο αντιδραστήρας ανάδευσης, ο οποίος αποτελείται από το κυλινδρικό δοχείο, τους ανακλαστήρες, τον αναδευτήρα και τον άξονά του, όπως φαίνεται στην εικόνα 1.1 που ακολουθεί. Η παρουσία περιοχών με υψηλή διάτμηση, που οφείλεται στην περιστροφική κίνηση των αναδευτήρων και την ύπαρξη των ανακλαστήρων, έχει ως αποτέλεσμα την έντονη εμφάνιση τυρβώδους ροής. Κατά το παρελθόν, ο σχεδιασμός των αντιδραστήρων ανάδευσης βασίστηκε σε εμπειρικές τεχνικές και σε πειράματα δοκιμής και σφάλματος (Oldshue, 1983). Όμως, αυτού του είδους οι εμπειρικές μέθοδοι σχεδιασμού παρουσιάζουν μία σειρά από μειονεκτήματα. Αρχικά, τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τις εμπειρικές μεθόδους έχουν συνήθως ένα γενικό χαρακτήρα (π.χ. κατανάλωση ενέργειας του αναδευτήρα) και δεν παρέχουν καμία πληροφορία για τις τοπικές φυσικές διεργασίες που συμβαίνουν εντός της ροής. Επιπλέον, η προέκταση (extrapolation) των δεδομένων σε νέες μεθόδους ή ρευστά οδηγεί τις περισσότερες φορές σε υποβέλτιστους σχεδιασμούς των αντιδραστήρων. Για τους λόγους που αναφέρθηκαν προηγουμένως, η κατασκευή μιας πιλοτικής μονάδας ή η εκτέλεση μιας σειράς πειραμάτων αποτελούν τη συνηθισμένη οδό προκειμένου να προσδιοριστούν τα βέλτιστα χαρακτηριστικά του πρότυπου αντιδραστήρα. Όμως, η συνηθισμένη οδός έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση του κόστους και του χρόνου, και ενδεχόμενα αρνητικές επιπτώσεις στην ασφάλεια όσων συμμετέχουν στην κατασκευή της πιλοτικής μονάδας ή στην εκτέλεση πειραμάτων.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η εφαρμογή των μεθόδων Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής στη μελέτη της ροής σε αντιδραστήρες ανάδευσης συμβάλλει στο να ξεπεραστούν τα προαναφερθέντα μειονεκτήματα. Οι μέθοδοι της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής παρέχουν εξαιρετικά λεπτομερείς πληροφορίες τόσο για τα γενικά χαρακτηριστικά του αντιδραστήρα, όσο και για τα χαρακτηριστικά της ροής. Το κόστος των μεθόδων αυτών είναι σχετικά χαμηλό και μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα μεγάλο εύρος περιπτώσεων που σχετίζονται με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και τις συνθήκες λειτουργίας του αντιδραστήρα, τις ιδιότητες των ρευστών, καθώς επίσης και το βαθμό λεπτομέρειας. Ωστόσο, η προσομοίωση της ροής σε αντιδραστήρες ανάδευσης εμφανίζει αρκετές δυσκολίες. Η μεταβολή της ροής ως προς το χρόνο, το γεγονός ότι η προσομοίωση πραγματοποιείται στις τρεις διαστάσεις, καθώς επίσης και η παρουσία κινούμενων αντικειμένων, όπως είναι ο αναδευτήρας, αυξάνουν το υπολογιστικό κόστος της προσομοίωσης της ροής. Μέχρι τις αρχές του της δεκαετίας του 80, με την υπάρχουσα υπολογιστική ισχύ και τις δεδομένες υπολογιστικές τεχνικές και μεθόδους, δεν ήταν εφικτή ούτε η προσομοίωση της μονοφασικής στρωτής ροής σε αναδευόμενο δοχείο. Η προσομοίωση διφασικών ή πολυφασικών ροών σε αντιδραστήρα ανάδευσης αυξάνει το βαθμό πολυπλοκότητας του προβλήματος. Ο αριθμός των εξισώσεων, των μεταβλητών και των παραμέτρων αυξάνονται δραματικά, αφού αυξάνεται ο αριθμός των φάσεων. Επιπλέον, οι εξισώσεις μάζας, ορμής και ενέργειας επιλύονται και για τις δύο φάσεις, ενώ το μοντέλο τύρβης τροποποιείται κατάλληλα προκειμένου να ληφθεί υπόψη και η διαμόρφωση της τύρβης από τη διασκορπισμένη φάση. Τέλος, οι εξισώσεις που περιγράφουν την αλληλεπίδραση των φάσεων και οι δυνάμεις που ασκούνται στα πολυφασικά συστήματα πρέπει να ληφθούν υπόψη. Παρά τις δυσκολίες, πολλοί ερευνητές εφάρμοσαν με επιτυχία μία πληθώρα προσεγγιστικών τεχνικών οι οποίες περιγράφονται σε διάφορα κεφάλαια της παρούσας εργασίας. Με την εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών και την πρόοδο των μεθόδων Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής πολλές από τις δυσκολίες ξεπεράστηκαν. Σήμερα, υπάρχει μία μεγάλη ποικιλία προγραμμάτων Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής που μας επιτρέπουν την προσομοίωση διφασικής ροής σε αντιδραστήρες ανάδευσης, ακόμα και σε ένα συμβατικό προσωπικό υπολογιστή. Σελ. 2

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Εικόνα 1.1: Αντιδραστήρας ανάδευσης 1.2 Σκοπός της εργασίας Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη και η προσομοίωση της διφασικής ροής αερίου υγρού σε αντιδραστήρα πλήρους ανάδευσης με τεχνικές υπολογιστικής ρευστοδυναμικής. Ο αντιδραστήρας που χρησιμοποιείται είναι ο πειραματικός/πραγματικός αντιδραστήρας που σχεδίασαν και μελέτησαν οι Yang et al. (1999). Για τη μελέτη της διφασικής ροής χρησιμοποιείται η προσέγγιση των ρευστών δύο φάσεων, γνωστή και ως προσέγγιση Euler Euler. Οι Yang et al. (1999) εφάρμοσαν την προσέγγιση του όγκου ρευστού, γνωστή και ως προσέγγιση Volume of Fluid, μέσω της Σελ. 3

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ μεθόδου SEM (Scalar Equation Method) που περιλαμβάνεται στο λογισμικό πρόγραμμα PHOENICS. Ωστόσο, δεν ήταν εφικτή η σύγκριση των δύο προσεγγίσεων λόγω έλλειψης πειραματικών δεδομένων από την εργασία των Yang et al. (1999). Για τη μοντελοποίηση της ροής χρησιμοποιείται η προσέγγιση του ολισθαίνοντος πλέγματος (sliding mesh approach), η οποία ενδείκνυται για την προσομοίωση μεταβατικών ροών. Στη μέθοδο αυτή έχουμε τη δημιουργία δύο πλεγμάτων: ενός κινούμενου και ενός ακίνητου πλέγματος. Η μέθοδος αυτή περιγράφεται αναλυτικά στο Κεφάλαιο 3. Το προτεινόμενο μαθηματικό μοντέλο προσομοίωσης βασίζεται στις μερικές διαφορικές εξισώσεις που διέπουν τη διφασική, τρισδιάστατη, και μεταβατική ροή. Ο αντιδραστήρας λειτουργεί ισοθερμοκρασιακά, τα τοιχώματα είναι αδιαβατικά και δεν πραγματοποιείται χημική αντίδραση. Η αριθμητική μέθοδος που εφαρμόζεται είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων ελέγχου. Η επαναληπτική μέθοδος που χρησιμοποιείται για την επίλυση των εξισώσεων ονομάζεται ADI (Alternating Direction Implicit). Ο αλγόριθμος που εφαρμόζεται για την επίλυση του υδροδυναμικού πεδίου του προβλήματος της διφασικής ροής καλείται IPSA (InterPhase Slip Algorithm), ο οποίος αποτελεί μια επέκταση του αλγόριθμου SIMPLE και προσφέρεται για τη μελέτη διφασικών ροών. Για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιείται το εμπορικό πακέτο PHOENICS Εφαρμόζονται τρία μοντέλα τύρβης: το πρότυπο k ε, το RNG k ε και το k ε με κατάλληλη προσθήκη για τη συνεισφορά του ιξώδους που οφείλεται στην κίνηση των φυσαλίδων. Εξάγονται συμπεράσματα για τα διανύσματα των ταχυτήτων και των δύο φάσεων, και για τις κατανομές των κλασμάτων όγκων της υγρής και της αέριας φάσης. Παρουσιάζονται οι κατανομές της κινητικής ενέργειας της τύρβης για τα τρία διαφορετικά μοντέλα. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι το RNG k ε μοντέλο έδωσε αριθμητικά αποτελέσματα με μεγαλύτερη ακρίβεια. Μελετάται η επίδραση της γωνιακής ταχύτητας των φτερωτών στην κατανομή των δύο φάσεων καθώς και στην ανάμιξη. 1.3 Συνοπτική παρουσίαση της εργασίας Η διάρθρωση της υπόλοιπης μεταπτυχιακής εργασίας περιγράφεται περιληπτικά ως ακολούθως: Το Κεφάλαιο 2 αναφέρεται στις πολυφασικές ροές, και ιδιαίτερα στις διφασικές ροές, που αποτελούν και το αντικείμενο της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας. Επιπλέον, υπογραμμίζεται η σημασία, αλλά και το εύρος των εφαρμογών των διφασικών ροών σε Σελ. 4

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ποικίλες βιομηχανίες. Τέλος, παρουσιάζονται οι μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για την προσέγγιση των διφασικών ροών. Το Κεφάλαιο 3 περιγράφει τις διαφορετικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται για τη μοντελοποίηση της ροής σε αντιδραστήρες πλήρους ανάδευσης. Ακόμα, γίνεται μία σύντομη ανασκόπηση της βιβλιογραφίας και παρουσιάζονται προηγούμενες μελέτες με αντικείμενο την υπολογιστική προσομοίωση διασκορπισμένης διφασικής ροής αερίου υγρού σε αναδευόμενο δοχείο. Το Κεφάλαιο 4 αναφέρεται στους χημικούς αντιδραστήρες. Αρχικά, παρουσιάζεται η γενική ταξινόμηση των χημικών αντιδραστήρων, και στη συνέχεια περιγράφονται αναλυτικά τα μέρη και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αντιδραστήρα του προβλήματός μας. Στο τέλος του κεφαλαίου απεικονίζεται ο βέλτιστος αντιδραστήρας που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση της τυρβώδους διφασικής ροής. Το Κεφάλαιο 5 ασχολείται με τη μαθηματική περιγραφή του προβλήματος. Πιο αναλυτικά, παρουσιάζονται οι μεταβλητές του προτεινόμενου μαθηματικού μοντέλου, οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που διέπουν την τρισδιάστατη, μεταβατικής κατάστασης ροή δύο διακριτών φάσεων ρευστού, καθώς επίσης και οι παραδοχές. Στη συνέχεια, αναλύεται η σημασία της τύρβης στις διφασικές ροές και περιγράφονται τα μοντέλα τύρβης που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία. Τέλος, παρουσιάζονται οι οριακές συνθήκες που εφαρμόστηκαν σε διάφορα σημεία του αντιδραστήρα. Το Κεφάλαιο 6 δίνει μια εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων ελέγχου, δηλαδή στην αριθμητική μέθοδο που εφαρμόστηκε για την επίλυση του προβλήματος. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η μαθηματική ανάλυση των όρων της εξίσωσης μεταφοράς, καθώς επίσης και οι τεχνικές που εφαρμόστηκαν για την πλήρη διακριτοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς. Ακόμα, περιγράφονται οι αριθμητικές μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων και οι τεχνικές υποχαλάρωσης που εφαρμόστηκαν για τη βελτίωση της σύγκλισης. Τέλος, παρουσιάζεται ο αλγόριθμος IPSA που χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση του υδροδυναμικού πεδίου του προβλήματος της διφασικής ροής αερίου υγρού, καθώς επίσης και η διαδικασία επίλυσης μέσω του προγράμματος PHOENICS. Το Κεφάλαιο 7 παρουσιάζει τη διαδικασία που ακολουθήθηκε για την επίλυση του προβλήματος της προσομοίωσης διφασικής ροής αερίου υγρού που λαμβάνει χώρα σε αντιδραστήρα πλήρους ανάμιξης, καθώς και τα αποτελέσματα της προσομοίωσης. Πιο αναλυτικά, με τη βοήθεια διαγραμμάτων και σχημάτων, περιγράφονται η ανεξαρτησία της λύσης ως προς τον αριθμό των χρονικών βημάτων, αλλά και ως προς τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Τέλος, παρουσιάζονται οι κατανομές των ταχυτήτων, των Σελ. 5

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ κλασμάτων όγκου και της κινητικής ενέργειας της τύρβης στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Το Κεφάλαιο 8 συνοψίζει τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την υπολογιστική προσομοίωση της διφασικής ροής αερίου υγρού σε αντιδραστήρα πλήρους ανάδευσης και παρουσιάζει μια σειρά από προτάσεις για μελλοντική έρευνα, αλλά και περαιτέρω βελτίωση του προτεινόμενου μαθηματικού μοντέλου. 1.4 Βιβλιογραφικές αναφορές Ξενόγλωσσες Oldshue, J.Y. (1983), Fluid Mixing Technology, McGraw Hill. Yang, T.C.K., Peng, Y.W., Ke, C.S., Hsu, Y.C. & Fan, N.W. (1999), Computer Simulation of a New Gas Induced Ozone Reactor, The PHOENICS, 1, 12, pp Σελ. 6

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ 2.1 Εισαγωγή Οι πολυφασικές ροές αποτελούν μάλλον τον κανόνα παρά την εξαίρεση τόσο στα φυσικά φαινόμενα ροής ρευστών όσο και στις βιομηχανικές εφαρμογές. Ροές με περισσότερες της μίας φάσης συναντώνται σε ποικίλες βιομηχανίες, όπως η χημική βιομηχανία, η αεροδιαστημική βιομηχανία, η πυρηνική βιομηχανία, η βιομηχανία νερού και η βιομηχανία μεταφορών. Η ανάλυση και κατανόηση των πολυφασικών ροών είναι υψίστης σημασίας για το βέλτιστο και ασφαλή σχεδιασμό και έλεγχο των διεργασιών που απαντώνται στις προαναφερθέντες βιομηχανίες. Ο όρος πολυφασική ροή καλύπτει ένα εξαιρετικά ευρύ φάσμα περιοχών και πρότυπων ροής. Είναι χρήσιμο αυτές οι περιοχές και τα πρότυπα ροής να υποδιαιρεθούν σε διάφορες εύκολα αναγνωρίσιμες κατηγορίες. Γενικά, οι πολυφασικές ροές αρχικά κατηγοριοποιούνται με βάση τη φυσική (θερμοδυναμική) κατάσταση των συστατικών στοιχείων (επιμέρους φάσεις) και στη συνέχεια με βάση την τοπολογία των διεπιφανειών (Ishii, 1975). Έτσι, μια διφασική ροή, η οποία είναι υποκατηγορία των πολυφασικών ροών, μπορεί να είναι αερίου στερεού, αερίου υγρού, υγρού στερεού, ή στην περίπτωση μη αναμίξιμων ρευστών, υγρού υγρού. Ομοίως, οι ροές, ως προς την τοπολογία των διεπιφανειών, κατηγοριοποιούνται σε διαχωρισμένες, διασκορπισμένες και μικτές. Οι διαχωρισμένες ροές περιλαμβάνουν ροές με ελεύθερη επιφάνεια, όπως είναι οι στρωματοποιημένες ροές σε αγωγούς, όπου και οι δύο φάσεις χωρίζονται μεταξύ τους με μία συνεχή διεπιφάνεια. Οι διασκορπισμένες ροές χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι η μία φάση υφίσταται υπό τη μορφή σωματιδίων, σταγονιδίων ή φυσαλίδων τα οποία αιωρούνται σε μία συνεχή φάση. Οι δύο συνεχείς φάσεις είναι διασκορπισμένες η μία μέσα στην άλλη και διακριτές μεταξύ τους. Οι μικτές ροές, όπως υποδηλώνει το όνομά τους, αντιπροσωπεύουν εκείνες τις ροές που βρίσκονται μεταξύ των διαχωρισμένων και των

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ διασκορπισμένων ροών (Hill, 1998). Ο διαχωρισμός της ροής ως προς την τοπολογία των διεπιφανειών είναι πολύ πιο δύσκολος σε σχέση με το διαχωρισμό ως προς τη φυσική (θερμοδυναμική) κατάσταση των συστατικών στοιχείων, διότι οι μεταβολές ή οι μετασχηματισμοί ανάμεσα στις ευρέως αναγνωρίσιμες καταστάσεις είναι συνεχείς και ο χαρακτηρισμός των ενδιάμεσων καταστάσεων είναι σε μεγάλο βαθμό υποκειμενικός. Η μετάβαση από τη μία κατάσταση στην άλλη εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από πολλούς παράγοντες, όπως είναι η γεωμετρία, η ταχύτητα της ροής, η κατεύθυνση της ροής, η επιφανειακή τάση κ.ά. Επιπροσθέτως, σε μία δεδομένη συσκευή μπορούν να υπάρχουν περισσότερα του ενός είδη ροής. Για παράδειγμα, όσον αφορά στην περίπτωση της διφασικής ροής αερίου υγρού, πολλοί ερευνητές έχουν προσπαθήσει να προσδιορίσουν ολόκληρο το εύρος των ειδών ροής που εμφανίζονται στους κάθετους και οριζόντιους σωλήνες. Σχεδόν 100 διαφορετικοί τύποι ροής έχουν προσδιοριστεί για αυτήν την περίπτωση (Whalley, 1996). Στο σημείο αυτό, αξίζει να παρατηρηθεί ότι στην περίπτωση των αντιδραστήρων, που αποτελούν αντικείμενο μελέτης της παρούσας εργασίας και περιγράφονται σε επόμενο κεφάλαιο, το είδος της ροής καθώς επίσης και τα φαινόμενα μεταφοράς επηρεάζονται σημαντικά από τα γεωμετρικά και σχεδιαστικά χαρακτηριστικά του αντιδραστήρα, καθώς επίσης και από τις συνθήκες λειτουργίας. Ακόμα και μια μικρή σχεδιαστική λεπτομέρεια, όπως είναι η προσθήκη ενός ακροφυσίου τροφοδοσίας ή ενός συστήματος διανομής, μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά τη ροή του ρευστού (Ranade, 2002). Παρά τη μεγάλη ποικιλία συνδυασμών των φάσεων και των τύπων ροής που συναντώνται στις πολυφασικές ροές, όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί διέπονται από τους ίδιους θεμελιώδεις νόμους διατήρησης της μάζας, της ορμής και της ενέργειας. Η ανάπτυξη μεθόδων και τεχνικών πρόβλεψης της ροής των ρευστών οι οποίες βασίζονται στους νόμους διατήρησης της μάζας, της ορμής και της ενέργειας αποτελεί μέρος μιας γενικότερης τάσης απομάκρυνσης από εμπειρικούς συσχετισμούς οι οποίοι βασίζονται σε πειραματικά δεδομένα, και μετακίνησης σε μαθηματικά μοντέλα τα οποία είναι ιδιαίτερα ακριβή και βρίσκουν ευρεία εφαρμογή. Αυτού του είδους οι τεχνικές και μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προβλέψουν τόσο τη δυναμική όσο και τη στατική συμπεριφορά. Η μεγάλη πρόοδος στην ανάπτυξη μεθόδων και τεχνικών πρόβλεψης των πολυφασικών ροών σημειώθηκε τα τελευταία 30 χρόνια με την εμφάνιση των ψηφιακών υπολογιστών και των τεχνικών της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής για την αριθμητική πρόβλεψη της ροής. Παρά την πρόοδο που έχει επιτευχθεί, δε θα ήταν υπερβολή να λεχθεί ότι ο τομέας των τεχνικών πρόβλεψης των πολυφασικών ροών βρίσκεται ακόμα σε πρώιμο Σελ. 8

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ στάδιο. Παρά την εξαιρετική πρόοδο, απέχουμε αρκετά από την ανάπτυξη μιας γενικής μεθόδου για την προσομοίωση των πολυφασικών ροών. Η διασκορπισμένη διφασική ροή είναι ίσως η πιο σημαντική ροή που απαντάται στη βιομηχανία, ιδιαίτερα στη χημική βιομηχανία. Πιο συγκεκριμένα, αυτού του είδους η ροή συναντάται στη διεργασία της εκχύλισης, στην παραγωγή πολυμερών και χρωμάτων, στην παραγωγή γαλακτωμάτων και στην επεξεργασία νερού. Η διασκορπισμένη διφασική ροή αέρα νερού αποτελεί αντικείμενο της παρούσας εργασίας. Επιπλέον, οι τυρβώδεις διφασικές ροές υγρού υγρού και αερίου υγρού χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι οι μεμονωμένες φυσαλίδες ή τα μεμονωμένα σταγονίδια σπάνε σε μικρότερες οντότητες εξαιτίας των υψηλών ρυθμών διάτμησης στη συνεχή φάση ή εξαιτίας της πρόσκρουσής τους σε μία στέρεα επιφάνεια, όπως είναι οι φτερωτές και οι ανακλαστήρες, ή ακόμα εξαιτίας των μεταξύ τους συγκρούσεων. Με παρόμοιο τρόπο, η συνένωση των σταγονιδίων ή φυσαλίδων μπορεί να συμβεί όταν δύο σταγονίδια ή φυσαλίδες συγκρούονται μεταξύ τους και σχηματίζουν μία μεγαλύτερη οντότητα. Τέτοιου είδους φαινόμενα μπορεί να οδηγήσουν σε μία μεγάλη ποικιλία μεγεθών των σταγονιδίων και των φυσαλίδων, η οποία με τη σειρά της έχει σημαντική επίδραση στη συμπεριφορά της διασκορπισμένης φάσης. Τέλος, η ευελιξία και η κινητικότητα της διεπιφάνειας στα διφασικά συστήματα αερίου υγρού, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι το σχήμα της φυσαλίδας μπορεί να μεταβάλλεται, σημαίνει ότι οι δυνάμεις που ελέγχουν/περιγράφουν την αλληλεπίδραση μεταξύ της διασκορπισμένης και της συνεχούς φάσης είναι ισχυρά μη γραμμικές. Η μη γραμμικότητα κάνει πιο δύσκολη τη μελέτη της διασκορπισμένης διφασικής ροής αερίου υγρού, και ακόμα πιο δύσκολη την ανάπτυξη ενός ακριβούς υπολογιστικού μοντέλου για την επίλυση αυτού του είδους ροής (Hill, 1998). Στις παραγράφους που ακολουθούν οι μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για την προσέγγιση των διφασικών ροών. 2.2 Τρόποι προσέγγισης των διφασικών ροών Για την προσέγγιση των διφασικών ροών έχουν αναπτυχθεί τα παρακάτω θεωρητικά μοντέλα: Προσέγγιση κατά Euler ή προσέγγιση των ρευστών δύο φάσεων (προσέγγιση Euler Euler) Σελ. 9

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Προσέγγιση κατά Lagrange ή προσέγγιση των τροχιών (προσέγγιση Euler Lagrange) Προσέγγιση του Όγκου Ρευστού (προσέγγιση Volume of Fluid) Προσέγγιση κατά Euler Στην προσέγγιση Euler Euler, οι δύο φάσεις θεωρούνται δύο συνεχείς φάσεις που αλληλοδιεισδύουν η μία μέσα στην άλλη και μοιράζονται τον ίδιο χώρο. Κάθε φάση είναι διακριτή μέσα στο χώρο και το μερίδιο του χώρου που καταλαμβάνει κάθε φάση ονομάζεται κλάσμα του όγκου (Markatos, 1986; Spalding, 1980). Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή ως προσέγγιση των δύο ρευστών, και σε περίπτωση που έχουμε περισσότερες από δύο φάσεις, η προσέγγιση ονομάζεται προσέγγιση των πολλών ρευστών (Ishii, 1975). Κατά την απεικόνιση των πεδίων ροής κατά Euler παρακολουθείται η κινητική κατάσταση του πεδίου, σε κάποια θέση αυτού, χωρίς ουσιαστικά να ενδιαφέρει ποιο στοιχείο του ρευστού κατέχει τη θέση αυτή, στην οποιαδήποτε χρονική στιγμή t. Μια τέτοιου είδους παρακολούθηση του φαινομένου της ροής απαιτεί τον καθορισμό της συνάρτησης του διανύσματος της ταχύτητας κάθε στοιχείου, καθώς με την πάροδο του χρόνου, το ένα μετά το άλλο στοιχεία του ρευστού, σα μια αλυσίδα διέρχονται από τη θέση που εξετάζεται. Το πεδίο ροής των σωματιδίων υπολογίζεται όπως το πεδίο ροής του ρευστού. Συγκεκριμένα, οι εξισώσεις συνέχειας και ορμής επιλύονται και για τις δύο φάσεις, ενώ η εξίσωση που περιγράφει τη διαφασική τριβή ανά μονάδα όγκου στη διεπιφάνεια των δύο φάσεων εισάγεται απευθείας στις εξισώσεις ορμής (Markatos, 1983). Το μοντέλο τύρβης που χρησιμοποιείται τροποποιείται κατάλληλα, όταν αυτό είναι απαραίτητο, προκειμένου να ληφθεί υπόψη η διαμόρφωση της τύρβης από τη διασκορπισμένη φάση (Φούντη, 2005). Η προσέγγιση των ρευστών δύο φάσεων Euler Euler είναι γενικότερη από της προσέγγιση Lagrange, αφού οι εξισώσεις που περιγράφουν την τοπολογία και τη φύση της ροής δε βρίσκονται στη ρητή μορφή. Οι εξισώσεις Navier Stokes που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή μιας μονοφασικής ροής, τροποποιούνται κατάλληλα προκείμενου να προστεθούν όροι που περιγράφουν την επίδραση της διασκορπισμένης φάσης (μέγεθος, σχήμα, ταχύτητα σωματιδίων) και την επίδραση των δυνάμεων που εμφανίζονται λόγω της αλληλεπίδρασης των δύο φάσεων (Hill, 1998). Το μεγάλο μειονέκτημα της προσέγγισης Euler Euler είναι η αδυναμία της να περιγράψει τις δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια της διασκορπισμένης φάσης, όπως Σελ. 10

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ είναι η δύναμη αεροδυναμικής αντίστασης ή η δύναμη άνωσης. Επίσης, η μοντελοποίηση της κατά μέσο όρο επίδρασης των σωματιδίων της διασκορπισμένης φάσης στη ροή αυξάνει σημαντικά την πολυπλοκότητα των εξισώσεων, με αποτέλεσμα να αυξάνεται ο υπολογιστικός χρόνος. Από την άλλη, η προσέγγιση των ρευστών δύο φάσεων Euler Euler είναι συχνά πιο αποδοτική από την προσέγγιση Lagrange, αφού τα σωματίδια της διασκορπισμένης φάσης δεν παρακολουθούνται και οι υπολογισμοί δεν περιορίζονται στη μεταβατική ροή. Οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για τη διασκορπισμένη και τη συνεχή φάση διακριτοποιούνται χρησιμοποιώντας το ίδιο υπολογιστικό πλέγμα και λύνονται με τις ίδιες αριθμητικές μεθόδους που εφαρμόζονται στην περίπτωση της μονοφασικής ροής, λαμβάνοντας ωστόσο υπόψη τους όρους που περιγράφουν την αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο φάσεων. Επιπλέον, η προσέγγιση κατά Euler επιτρέπει τον εύκολο χειρισμό των αριθμητικών προβλημάτων που προκύπτουν από την αλληλεπίδραση των δύο φάσεων. Για όλους αυτούς του λόγους, η προσέγγιση των ρευστών δύο φάσεων είναι μια ιδιαίτερα δημοφιλής μέθοδος που προσφέρεται για τη μελέτη διφασικής ροής. Η παρούσα εργασία υιοθετεί τη μέθοδο αυτή Προσέγγιση κατά Lagrange Η απεικόνιση ενός πεδίου ροής κατά Lagrange αποτελεί επέκταση στη μηχανική ρευστών του τρόπου απεικόνισης της κίνησης των υλικών σημείων, όπως αυτή παρουσιάζεται στην κλασσική μηχανική. Στην περίπτωση αυτή παρακολουθούμε την κίνηση κάποιου στοιχείου του ρευστού καθώς διατρέχει την τροχιά του, από την αρχή μέτρησης του χρόνου t o, όπου το σημείο βρισκόταν στη θέση (x o, y o, z o ). Η σωματιδιακή φάση θεωρείται διακριτή και διασκορπιζόμενη στη συνεχή φάση του ρευστού μέσου. Η θεώρηση αυτή οδηγεί στον υπολογισμό των τροχιών των σωματιδίων μέσω των οποίων περιγράφεται το πεδίο της σωματιδιακής ροής. Οι τροχιές αυτές υπολογίζονται με επίλυση της στιγμιαίας εξίσωσης κίνησης των σωματιδίων. Η αλληλεπίδραση των δύο φάσεων (σύζευξη σωματιδίου δίνης) μοντελοποιείται με την εισαγωγή όρων πηγών στις εξισώσεις διατήρησης της συνεχούς φάσης (Φούντη, 2005). Η διαδικασία επίλυσης της διφασικής ροής αρχίζει με τον υπολογισμό του πεδίου ροής της συνεχούς φάσης. Οι εξισώσεις διατήρησης επιλύονται χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η παρουσία των σωματιδίων. Στη συνέχεια παρακολουθούνται οι τροχιές ενός Σελ. 11

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ αντιπροσωπευτικού αριθμού σωματιδίων και υπολογίζονται οι όροι πηγών. Το πεδίο ροής του ρευστού επανυπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους όρους πηγών. Κατόπιν, νέες τροχιές και νέοι όροι πηγών υπολογίζονται επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία μέχρι τελικής σύγκλισης του πεδίου ροής της συνεχούς φάσης (Φούντη, 2005). Η προσέγγιση Lagrange στηρίζεται στον υπολογισμό των τροχιών ενός αντιπροσωπευτικού αριθμού σωματιδίων. Οι τροχιές αυτές προκύπτουν από την επίλυση της στιγμιαίας εξίσωσης κίνησης των σωματιδίων λαμβάνοντας υπόψη το άθροισμα των δυνάμεων που επιδρούν σε κάθε σωματίδιο. Οι δυνάμεις αυτές είναι οι εξής: Δύναμη λόγω κλίσης πίεσης: Η επίδραση της τοπικής κλίσης της πίεσης του ρευστού στο σωματίδιο έχει σαν αποτέλεσμα την ανάπτυξη δύναμης σε αυτό κατά τη διεύθυνση της κλίσης πίεσης. Δύναμη αεροδυναμικής αντίστασης: Είναι η δύναμη που επηρεάζει περισσότερο από κάθε άλλη την κίνηση σωματιδίου. Λόγω της συνεκτικότητας του ρευστού αναπτύσσεται στην επιφάνεια του σωματιδίου, κλίση πίεσης η οποία είναι απαραίτητη για να μπορέσει να υπερνικήσει τις διατμητικές δυνάμεις και να ρεύσει γύρω από το σωματίδιο. Αυτό προκαλεί, την αύξηση της πίεσης στη μετωπική επιφάνεια του σωματιδίου με αποτέλεσμα την ανάπτυξη της δύναμης αεροδυναμικής αντίστασης. Δύναμη φαινόμενης μάζας: Η δύναμη αυτή σχετίζεται με τη μεταβολή της ταχύτητας ολίσθησης κατά την επιτάχυνση ενός σωματιδίου και εκφράζει το επιπλέον έργο που δαπανάται για την επιτάχυνση της μάζας του ρευστού που περικλείει το σωματίδιο. Η δύναμη αυτή ονομάζεται δύναμη φαινόμενης μάζας γιατί η επίδρασή της ισοδυναμεί με την προσθήκη μιας μάζας πάνω στο σωματίδιο. Δύναμη άνωσης λόγω περιστροφής του σωματιδίου (φαινόμενο Magnus): Σε μία διφασική ροή ένα σωματίδιο μπορεί να εκτελεί και περιστροφική κίνηση εκτός από τη μεταφορική. Η περιστροφή του σωματιδίου μπορεί να προέρχεται τόσο από τη στροβιλότητα της ροής όσο και από μία σύγκρουση του σωματιδίου με τα τοιχώματα της ροής. Κατά την περιστροφή του σωματιδίου η διαφορά ταχύτητας πάνω στην επιφάνειά του προκαλεί μία αντίστοιχη διαφορά πίεσης με αποτέλεσμα την ανάπτυξη της δύναμης άνωσης λόγω περιστροφής (φαινόμενο Magnus). Δύναμη άνωσης λόγω διάτμησης (δύναμη Saffman): Η δύναμη άνωσης λόγω διάτμησης (δύναμη Saffman) οφείλεται στην επιφανειακή κατανομή της πίεσης που προκαλείται από μία κλίσης της ταχύτητας του ρευστού. Συγκεκριμένα, όταν ένα Σελ. 12

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ σωματίδιο βρεθεί σε μία περιοχή της ροής όπου χαρακτηρίζεται από μία κλίση της ταχύτητας, τότε στην πλευρά της επιφάνειας του σωματιδίου όπου η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, η πίεση είναι τοπικά μικρότερη σε σχέση με την πλευρά της επιφάνειας όπου η ταχύτητα είναι μικρότερη. Αυτή η διαφορά πίεσης λόγω της κλίσης της ταχύτητας του ρευστού (διάτμηση) προκαλεί τη δύναμη άνωσης (Saffman, 1965). Δύναμη λόγω υδροστατικής άνωσης: Βασίζεται στην αρχή του Αρχιμήδη, σύμφωνα με την οποία στο σωματίδιο ασκείται δύναμη με φορά αντίθετη προς το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας και μέτρο ίσο με το βάρος του εκτοπιζόμενου από τον όγκο του σωματιδίου ρευστού. Δύναμη Basset: Η δύναμη Basset εκφράζει τη χρονική υστέρηση της ανάπτυξης του οριακού στρώματος γύρω από το σωματίδιο κατά την επιτάχυνσή του μέσα στη ροή και εξαρτάται από το ιστορικό της επιτάχυνσης αυτής. Επηρεάζει την κίνηση του σωματιδίου μόνο σε συνθήκες μη μόνιμης κατάστασης και οι τιμές που λαμβάνει είναι συνήθως πολύ μικρότερες από τις αντίστοιχες της δύναμης αεροδυναμικής αντίστασης, αποδεικνύοντας ότι η επίδρασή της στην κίνηση του σταγονιδίου είναι ιδιαίτερα μικρή. Δύναμη βαρύτητας: Είναι η δύναμη λόγω επίδρασης του βαρυτικού πεδίου. Δύναμη Coulomb: Στην περίπτωση που το σωματίδιο είναι ηλεκτρικά φορτισμένο και κινείται μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο, τότε πάνω στο σωματίδιο ασκείται η δύναμη Coulomb. Δύναμη αδράνειας. Ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα της προσέγγισης Lagrange έγκειται στην άμεση φυσική ερμηνεία των προαναφερθέντων δυνάμεων. Ένα άλλο σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι η δυνατότητα περιγραφής της κίνησης κάθε σωματιδίου, με αποτέλεσμα να είναι σχετικά εύκολος ο προσδιορισμός της κατανομής των μεγεθών των σωματιδίων. Επιπλέον, η μέθοδος Lagrange μπορεί να εφαρμοστεί εύκολα σε συστήματα αερίου υγρού, όπου οι φυσαλίδες μπορούν να διασπαστούν σε δύο ή περισσότερα μικρότερα κομμάτια ή να συγχωνευτούν σε μία μεγαλύτερη οντότητα (Hill, 1998). Η προσέγγιση κατά Lagrange φαίνεται να ταιριάζει περισσότερο στην επίλυση των αραιών διφασικών ροών, γιατί μπορεί εύκολα να περιγράψει τις φυσικές διαδικασίες που διέπουν το φαινόμενο. Πραγματικά, η ελλειπτική φύση της ροής του ρευστού και η παραβολική φύση της σωματιδιακής ροής εκφράζονται απόλυτα από αυτό το μοντέλο. Επίσης, η αλληλεπίδραση των σωματιδίων με τα τοιχώματα της ροής μπορεί εύκολα να Σελ. 13

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ ληφθεί υπόψη και να υπολογιστεί με την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές οι συνθήκες πρόσκρουσης αναπήδησης των σωματιδίων. Βάσει των υπολογισμών των συγκρούσεων αυτών είναι δυνατόν να εκτιμηθεί και το ποσό της μηχανικής διάβρωσης που υφίστανται τα τοιχώματα της ροής (Φούντη, 2005). Από την άλλη πλευρά, η μέθοδος Lagrange παρουσιάζει αρκετά προβλήματα στην περίπτωση πυκνών διφασικών ροών αερίου υγρού, όπου ο αριθμός των σωματιδίων είναι ιδιαίτερα μεγάλος. Η περιγραφή της κίνησης όλων των σωματιδίων συνεπάγεται έναν πολύ μεγάλο αριθμό εξισώσεων με αποτέλεσμα το υπολογιστικό κόστος να αυξάνεται δραματικά. Προκειμένου να ληφθούν χρήσιμες πληροφορίες και να έχουμε μια εικόνα της ροής, είναι απαραίτητος ο υπολογισμός των τροχιών ενός μεγάλου αριθμού σωματιδίων. Τέλος, η αύξηση του προκαθορισμένου αριθμού κύκλων σύζευξης, μεταξύ της διασκορπισμένης και της συνεχούς φάσης μπορεί να εισάγει αριθμητικά προβλήματα ευστάθειας (Kralj, 1993) Προσέγγιση του Όγκου Ρευστού Η προσέγγιση του όγκου ρευστού συνηθίζεται για την επίλυση προβλημάτων ελεύθερης επιφάνειας. Στη μέθοδο αυτή επιλύονται οι βασικές εξισώσεις διατήρησης (που προκύπτουν από τη βασική εξίσωση μεταφοράς), για τις υπολογιστικές φάσεις που συμμετέχουν στο πεδίο ροής. Το σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων διατήρησης επιλύεται μία φορά, θεωρώντας ουσιαστικά ότι όλες οι συμμετέχουσες υπολογιστικές φάσεις στο υπό εξέταση πεδίο ροής, αποτελούν συστατικά μείγματος μιας φάσης. Οι μέθοδοι που αναπτύσσονται στοχεύουν στον ακριβή υπολογισμό θέσεως της διεπιφάνειας μεταξύ των συστατικών του μείγματος σε κάθε υπολογιστικό. Συνήθη πρακτική αποτελεί, ο ορισμός ειδικών συναρτήσεων ορισμού θέσης διεπιφάνειας και η επίλυση κατάλληλων εξισώσεων μεταφοράς για τον υπολογισμό των τιμών τους (Φούντη, 2005). Η εφαρμογή των μεθόδων αυτών επιβάλλει την παρακολούθηση της θέσης διεπιφάνειας κάθε σωματιδίου, σε σχέση με το συνεχές μέσο. Η χρήση των μεθόδων αυτών περιορίζεται σε διφασικά πεδία ροής μικρού αριθμού στοιχείων διασκορπισμένης φάσης. Σε εφαρμογές μεγάλης κλίμακας ή μεγάλου αριθμού στοιχείων διασκορπισμένης φάσης, το υπολογιστικό κόστος που απαιτείται για την επίλυση των χαρακτηριστικών ροής, κρίνεται απαγορευτικό (Φούντη, 2005). Σελ. 14

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΔΙΦΑΣΙΚΕΣ ΡΟΕΣ 2.3 Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Φούντη, Μ. (2005), Υπολογιστικές Μέθοδοι σε Πολυφασικά Πολυσυστατικά Αντιδρώντα Συστήματα, ΔΠΜΣ Υπολογιστική Μηχανική, ΕΜΠ, Αθήνα Ξενόγλωσσες Hill, D.P. (1998), The Computer Simulation of Dispersed Two Phase Flows, PhD Thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, London, UK. Ishii, M. (1975), Thermo dynamic Theory of Two Phase Flow. Eyrolles, Paris. Kralj, C. (1993), Numerical simulation of diesel spray, PhD Thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, London, UK. Markatos, N.C. (1983), Computer simulation of turbulent fluid flow in chemical reactors, Adv. Eng. Software, Vol. 5, No. 1, pp Markatos, N.C. (1986), Modelling of two phase transient flow and combustion of granular propellants, Int. J. Multiphase Flow, Vol. 12, No. 6, pp Ranade, V.V. (2002), Computational Flow Modeling for Chemical Reactor Engineering, Process Systems Engineering, Volume 5, Academic Press, Bath, UK. Saffman, P.G. (1965), The lift on a small sphere in a slow shear flow, J. Fluid Mech., 22, pp Spalding, D.B. (1980), Numerical Computation of Multiphase Flow and Heat transfer, Contribution to Recent Advances in Numerical Methods in Fluids, pp , Eds. C. Taylor & K. Morgan, Pineridge Press, Swansea. Whalley, P.B. (1996), Two Phase Flow and Heat Transfer: Oxford Chemistry Primers, Oxford Science Publications. Σελ. 15

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγή Για τη μοντελοποίηση της ροής σε αντιδραστήρες πλήρους ανάδευσης έχουν χρησιμοποιηθεί διάφορες προσεγγίσεις οι οποίες κατατάσσονται σε τέσσερις κατηγορίες. Οι κατηγορίες αυτές απεικονίζονται στο σχήμα 3.1 που ακολουθεί. Σχήμα 3.1: Προσεγγίσεις για τη μοντελοποίηση της ροής σε αντιδραστήρες πλήρους ανάδευσης. α) Η προσέγγιση του μαύρου κουτιού, β) η προσέγγιση του ολισθαίνοντος πλέγματος, γ) η προσέγγιση των πολλαπλών συστημάτων αναφοράς, δ) η προσέγγιση του υπολογιστικού στιγμιότυπου (Ranade, 2002).

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ Στις περισσότερες προσομοιώσεις ροής σε αντιδραστήρες πλήρους ανάδευσης οι οποίες δημοσιεύθηκαν πριν το 1995 έγινε η παραδοχή ότι η ροή είναι μόνιμη. Στις προσομοιώσεις αυτές χρησιμοποιήθηκε η προσέγγιση του μαύρου κουτιού (black box approach) (Ranade, 1995). Η προσέγγιση αυτή προϋποθέτει τον πειραματικό προσδιορισμό οριακών συνθηκών στην κεκλιμένη επιφάνεια της φτερωτής. Παρά το ότι η προσέγγιση αυτή μπορεί να προβλέψει με επιτυχία τα χαρακτηριστικά της ροής στο δοχείο, η χρησιμότητά της είναι από τη φύση της περιορισμένη εξαιτίας της έλλειψης διαθέσιμων πειραματικών δεδομένων. Η επέκταση αυτής της προσέγγισης σε πολυφασικές ροές και σε αντιδραστήρες βιομηχανικής κλίμακας δεν είναι εφικτή αφού είναι σχεδόν αδύνατον να ληφθούν (από πειράματα) ακριβείς οριακές συνθήκες για τέτοια συστήματα. Η προσέγγιση του ολισθαίνοντος πλέγματος (sliding mesh approach) χρησιμοποιείται για την προσομοίωση μεταβατικών ροών. Στη μέθοδο αυτή έχουμε τη δημιουργία δύο πλεγμάτων. Το ένα πλέγμα περιλαμβάνει την περιοχή της περιστρεφόμενης φτερωτής ενώ το άλλο πλέγμα περιλαμβάνει εκείνη την περιοχή του αντιδραστήρα που περικλείεται από τα τοιχώματα του δοχείου και τους ακίνητους ανακλαστήρες. Μεταξύ των δύο αυτών πλεγμάτων σχηματίζεται μια διεπιφάνεια. Η μέθοδος αυτή προϋποθέτει μια λεπτομερή περιγραφή της γεωμετρίας της φτερωτής. Τα πτερύγια της φτερωτής μοντελοποιούνται σα συμπαγείς περιστρεφόμενοι τοίχοι. Η ροή εντός της περιοχής των πτερυγίων της φτερωτής επιλύεται εφαρμόζοντας τις γνωστές εξισώσεις μεταφοράς. Το μεγάλο πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι δεν απαιτεί την ύπαρξη πειραματικών δεδομένων. Ωστόσο, οι υπολογιστικές απαιτήσεις είναι ιδιαίτερα υψηλές γεγονός το οποίο θέτει ορισμένους περιορισμούς ως προς τον αριθμό των υπολογιστικών κελιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τις προσομοιώσεις. Λόγω αυτού του περιορισμού οι προβλέψεις ορισμένων χαρακτηριστικών της ροής, όπως ο ρυθμός απορρόφησης της τύρβης στερούνται υψηλής ακρίβειας. Για την προσέγγιση της μη μόνιμης ροής σε αντιδραστήρες πλήρους ανάδευσης χρησιμοποιούνται ως επί το πλείστον η μέθοδος των πολλαπλών συστημάτων αναφοράς (multiple frames of reference approach) και η μέθοδος του υπολογιστικού στιγμιότυπου (computational snapshot approach). Και στις δύο μεθόδους, ορίζεται μια νοητή κυλινδρική ζώνη με ακτίνα λίγο μεγαλύτερη από το μήκος των πτερυγίων της φτερωτής και μικρότερη από τις εσωτερικές πλευρές των ανακλαστήρων, και ύψος τόσο ώστε να περιλαμβάνεται μια ολόκληρη φτερωτή. Οι προσεγγίσεις αυτές προϋποθέτουν μια λεπτομερή περιγραφή της γεωμετρίας. Τα πτερύγια της φτερωτής μοντελοποιούνται σαν τοιχώματα. Στην προσέγγιση των πολλαπλών συστημάτων αναφοράς (multiple frames of Σελ. 17

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ reference approach), τα χαρακτηριστικά της ροής στην εσωτερική περιοχή (περιοχή φτερωτής) επιλύονται χρησιμοποιώντας ένα περιστρεφόμενο πλαίσιο. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των οριακών συνθηκών της εξωτερικής περιοχής, στην οποία η ροή επιλύεται χρησιμοποιώντας ένα σταθερό πλαίσιο. Η λύση της εξωτερικής περιοχής χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των οριακών συνθηκών της εσωτερικής περιοχής. Η μέθοδος αυτή εφαρμόστηκε με επιτυχία από τους Marshall et al. (1996). Η προσέγγιση του υπολογιστικού στιγμιότυπου (computational snapshot approach) βασίζεται στη λήψη ενός στιγμιότυπου της ροής στον αντιδραστήρα πλήρους ανάδευσης. Οι Ranade & Dommeti (1996) ήταν εκείνοι που πρότειναν την προσέγγιση του υπολογιστικού μετώπου, κατά την οποία τα πτερύγια της φτερωτής μοντελοποιούνται σα συμπαγείς τοίχοι και η ροή προσομοιώνεται χρησιμοποιώντας ένα σταθερό πλαίσιο για μια συγκεκριμένη θέση του πτερυγίου. Κατάλληλες πηγές προσδιορίζονται για την προσομοίωση της περιστροφικής κίνησης της φτερωτής. Και στη μέθοδο αυτή, ολόκληρο το πεδίο ροής χωρίζεται σε δύο περιοχές, με παρόμοιο τρόπο με αυτόν της μεθόδου των πολλαπλών συστημάτων αναφοράς. Στην εσωτερική περιοχή, όπου εμπεριέχεται η φτερωτή, οι όροι της χρονικής παραγώγου προσεγγίζονται με όρους χωρικής παραγώγου. Στην εξωτερική περιοχή, οι όροι της χρονικής παραγώγου είναι συνήθως αρκετά μικροί σε μέγεθος σε σχέση με τους υπόλοιπους όρους, και κατά συνέπεια αγνοούνται. Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται συνοπτικά προηγούμενες μελέτες με αντικείμενο τη διασκορπισμένη διφασική ροή αερίου υγρού σε αναδευόμενο δοχείο. 3.2 Βιβλιογραφική ανασκόπηση Όσον αφορά στη μελέτη διφασικών ή πολυφασικών ροών σε αναδευόμενα δοχεία με χρήση των μεθόδων και τεχνικών της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής, ο αριθμός των δημοσιεύσεων είναι σχετικά μικρός. Παρά τη μεγάλη σημασία και το μεγάλο εύρος εφαρμογών των διφασικών ή πολυφασικών ροών στη βιομηχανία, ο αριθμός των δημοσιεύσεων είναι περιορισμένος λόγω του υψηλού επιπέδου δυσκολίας και πολυπλοκότητας που παρουσιάζουν αυτού του είδους οι προσομοιώσεις. Η ερευνητική ανασκόπηση που παρουσιάζεται σε αυτό το κεφάλαιο περιορίζεται σε προσομοιώσεις διφασικών ροών αερίου υγρού, μιας και αποτελεί το αντικείμενο μελέτης της παρούσας Σελ. 18

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ εργασίας. Από την ερευνητική ανασκόπηση προκύπτει ότι έχει υιοθετηθεί ένα ευρύ φάσμα προσεγγίσεων προκειμένου να περιγραφεί η διφασική ροή αερίου υγρού σε αναδευόμενα δοχεία. Στην προσπάθειά τους να περιορίσουν το υπολογιστικό κόστος, πολλοί ερευνητές εισήγαγαν ποικίλες απλοποιήσεις στα μοντέλα τους. Άλλοι μελετητές προχώρησαν σε υποθέσεις και παραδοχές που σχετίζονται με τη μορφή των εξισώσεων που περιγράφουν τη διεπιφάνεια ή τις αλληλεπιδράσεις των δύο φάσεων. Μέσα από τη βιβλιογραφική ανασκόπηση μπορούμε να διακρίνουμε ότι τα κύρια ζητήματα που απασχόλησαν τους ερευνητές ήταν: η επίλυση της ροής σε αντιδραστήρα δύο ή τριών διαστάσεων, η μέθοδος για τη μοντελοποίηση της περιστροφικής κίνησης του αναδευτήρα, η μορφή των εξισώσεων μεταφοράς μάζας, ορμής και ενέργειας, οι εξισώσεις που περιγράφουν τις δυνάμεις μεταξύ των δύο φάσεων, το μοντέλο τύρβης, το μέγεθος των φυσαλίδων, η επικύρωση (validation) των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης με πειραματικά δεδομένα και η ακρίβεια της μεθόδου επίλυσης που χρησιμοποιήθηκε. Η πρώτη δημοσιευμένη εργασία που ασχολείται με το θέμα της προσομοίωσης διφασικής ροής αερίου υγρού σε αναδευόμενο δοχείο είναι αυτή των Issa & Gosman (1981). Στο μοντέλο αυτό, ο αντιδραστήρας είναι εξοπλισμένος με έναν αναδευτήρα τύπου Rushton, η περιστροφική κίνηση του οποίου προσεγγίζεται με τη μέθοδο του «μαύρου κουτιού» (black box approach). Επιπλέον, γίνεται η παραδοχή ότι όλες οι φυσαλίδες έχουν το ίδιο μέγεθος, ενώ για την περιγραφή της αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο φάσεων χρησιμοποιήθηκε η δύναμη αεροδυναμικής αντίστασης, γνωστή και ως δύναμη της οπισθέλκουσας, με το συντελεστή οπισθέλκουσας να δίνεται από standard συσχετίσεις. Το πρόβλημα επιλύθηκε στις τρεις διαστάσεις, ενώ το πλέγμα ήταν αρκετά αραιό (8x5x7 εσωτερικοί κόμβοι), πιθανότατα λόγω των περιορισμένων υπολογιστικών δυνατοτήτων εκείνης της εποχής. Εξαιτίας της έλλειψης κατάλληλων πειραματικών δεδομένων, η επικύρωση (validation) των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης δεν ήταν εφικτή. Οι Pericleous & Patel (1987) πραγματοποίησαν μία σειρά προσομοιώσεων διφασικής ροής αερίου υγρού σε αντιδραστήρα ανάδευσης χρησιμοποιώντας διάφορους τύπους αναδευτήρων. Το πεδίο ροής θεωρήθηκε αξονοσυμμετρικό, έτσι ώστε το πλέγμα να είναι δύο διαστάσεων. Η μέθοδος που εφαρμόστηκε για την περιγραφή της περιστροφικής κίνησης του αναδευτήρα, θεωρεί τον αναδευτήρα ως όρο πηγής της ορμής και τους ανακλαστήρες ως όρους καταβόθρας της ορμής. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται προσέγγιση του στιγμιότυπου (computational snapshot approach). Επίσης, γίνεται η παραδοχή ότι όλες οι φυσαλίδες έχουν το ίδιο μέγεθος και σταθερή ταχύτητα ολίσθησης. Το μοντέλο τύρβης που χρησιμοποιήθηκε Σελ. 19

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ βασίστηκε στην υπόθεση του μήκους ανάμιξης του Prandtl. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων δεν επικυρώθηκαν με αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα. Ο Tragardh (1988) χρησιμοποίησε ένα ζυμωτήρα ο οποίος ήταν εξοπλισμένος με δύο φτερωτές ακτινικής ροής. Το πεδίο ροής θεωρήθηκε αξονοσυμμετρικό και η μοντελοποίηση των φτερωτών και των ανακλαστήρων έγινε με τη μέθοδο των Harvey & Greaves (1982). Η μία φτερωτή τοποθετήθηκε, ως προς το ύψος, στο σημείο εισόδου του αερίου και η δεύτερη φτερωτή τοποθετήθηκε σε υψηλότερο σημείο, πάνω από την πρώτη. Και εδώ έγινε η παραδοχή ότι όλες οι φυσαλίδες έχουν το ίδιο μέγεθος. Από ποιοτική σκοπιά, τα αποτελέσματα της προσομοίωσης ήταν λογικά, ωστόσο δε συγκρίθηκαν με πειραματικά δεδομένα. Το 1992, οι Gosman et al., παρουσίασαν μία εκτενή σειρά προσομοιώσεων διασκορπισμένης διφασικής ροής αερίου υγρού σε δοχείο εξοπλισμένο με αναδευτήρα τύπου Rushton. Η μελέτη αυτή αποτελεί επέκταση προηγούμενης εργασίας που παρουσιάστηκε από τους Issa & Gosman (1981). Οι προσομοιώσεις πραγματοποιήθηκαν σε πλέγμα τριών διαστάσεων και σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Ο συνολικός αριθμός των κελιών που χρησιμοποιήθηκαν ήταν 8.100, ενώ η κατανομή των κελιών στις τρεις διαστάσεις ήταν: 27 κελιά στη διεύθυνση θ, 20 κελιά στη διεύθυνση r και 15 κελιά στη διεύθυνση z. Για να περιγράψουν την περιστροφική κίνηση του αναδευτήρα χρησιμοποίησαν πειραματικές τιμές για την εφαπτομενική ταχύτητα και για τις παραμέτρους k και ε της τύρβης. Οι τιμές της αξονικής και της ακτινικής ταχύτητας υπολογίστηκαν από τις εξισώσεις Navier Stokes. Η διάμετρος των φυσαλίδων θεωρήθηκε σταθερή και ίση με 4 mm. Η επιλογή της τιμής της διαμέτρου έγινε με δεδομένο ότι η ταχύτητα ανόδου των φυσαλίδων μέσα σε ένα υγρό δεν επηρεάζεται από μικρές διακυμάνσεις του μεγέθους των φυσαλίδων, με την προϋπόθεση ότι η διάμετρος των φυσαλίδων είναι 2 6 mm. Ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στην κατάστρωση των εξισώσεων που περιγράφουν τη διφασική ροή. Το μοντέλο των εξισώσεων περιλαμβάνει τη δύναμη αεροδυναμικής αντίστασης και τη δύναμη φαινόμενης μάζας, ενώ δεν περιλαμβάνει τις δυνάμεις άνωσης. Το μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για την περιγραφή της τύρβης ήταν το k ε, το οποίο τροποποιήθηκε κατάλληλα προκειμένου να ληφθεί υπόψη η διαμόρφωση της τύρβης από τη διασκορπισμένη φάση. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων συγκρίθηκαν με αντίστοιχα πειραματικά. Ενώ σε όλες τις προηγούμενες δημοσιευμένες μελέτες το μέγεθος των φυσαλίδων ήταν σταθερό, ο Bakker (1992) προκειμένου να προβλέψει το μέσο μέγεθος των φυσαλίδων σε κάθε σημείο του πεδίου ροής, εισήγαγε μία παράμετρο την οποία ονόμασε πυκνότητα αριθμού των φυσαλίδων. Η πυκνότητα αριθμού των φυσαλίδων υπολογίστηκε μέσω μιας Σελ. 20

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ επιπλέον εξίσωσης διατήρησης. Στην εξίσωση αυτή εισήχθηκε ένας όρος ο οποίος αντιπροσωπεύει το μέσο ρυθμό μεταβολής του μεγέθους των φυσαλίδων εξαιτίας των διεργασιών της συσσωμάτωσης και της διάσπασης, ενώ η πυκνότητα αριθμού των φυσαλίδων τείνει προς μια τιμή ισορροπίας η οποία εξαρτάται από τον κρίσιμο αριθμό Weber. Για τον υπολογισμό της οπισθέλκουσας δύναμης πάνω στις φυσαλίδες, ο Bakker χρησιμοποίησε ένα τροποποιημένο αριθμό Reynolds, τέτοιο ώστε το ιξώδες του νερού να αυξηθεί κατά ένα όρο ανάλογο του τυρβώδους ιξώδους. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης βρέθηκαν σε ικανοποιητική συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα, παρά την έλλειψη ακρίβειας της μεθόδου που εφαρμόστηκε για τη μοντελοποίηση του αντιδραστήρα. Οι Bakker & Van den Akker (1994) μελέτησαν τα χαρακτηριστικά της διάχυσης του αερίου χρησιμοποιώντας διάφορους τύπους αναδευτήρων αξονικής ροής. Οι αναδευτήρες που εξετάστηκαν ήταν: αναδευτήρας με επίπεδα πλάγια πτερύγια, αναδευτήρας Α315 και αναδευτήρας Leeuwrik. Άλλες παράμετροι που εξετάστηκαν ήταν ο ρυθμός ροής του αερίου, η ταχύτητα του αναδευτήρα, το ιξώδες του υγρού, η θέση και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του ακροφυσίου τροφοδοσίας. Οι μελετητές κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι ο τύπος του αναδευτήρα, καθώς επίσης και η θέση και τα χαρακτηριστικά του ακροφυσίου τροφοδοσίας επηρεάζουν σημαντικά το συνολικό συντελεστή μεταφοράς μάζας K L α. Οι Djebbar et al. (1996) μελέτησαν τη διφασική ροή αερίου υγρού σε αντιδραστήρα εξοπλισμένο με αναδευτήρα αξονικής ροής τύπου Lightnin A315. Οι ερευνητές υπέθεσαν ότι η παρουσία των φυσαλίδων δεν έχει καμία επίδραση στο είδος του πεδίου ροής του υγρού. Για τον υπολογισμό του μέσου μεγέθους των φυσαλίδων, χρησιμοποίησαν τη μέθοδο της πυκνότητας αριθμού των φυσαλίδων, όπως αυτή προτάθηκε από τον Bakker (1992). Το πεδίο ροής θεωρήθηκε αξονοσυμμετρικό, έτσι ώστε το πλέγμα να έιναι δύο διαστάσεων. Η αριθμητική μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε ήταν αυτή των πεπερασμένων στοιχείων, ενώ δεν αναφέρεται ο αριθμός των στοιχείων. Όσον αφορά στο συντελεστή μεταφοράς μάζας K L, τα αποτελέσματα της προσομοίωσης βρέθηκαν σε ικανοποιητική συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα. Οι Morud & Hjertager (1996) πραγματοποίησαν μία σειρά προσομοιώσεων διφασικής ροής αερίου υγρού σε αναδευόμενο δοχείο εξοπλισμένο με αναδευτήρα τύπου Rushton. Το πεδίο ροής θεωρήθηκε αξονοσυμμετρικό και η απεικόνιση της γεωμετρίας έγινε σε δύο διαστάσεις. Για τη μοντελοποίηση του αναδευτήρα και των ανακλαστήρων, οι μελετητές ακολούθησαν την προσέγγιση του στιγμιότυπου (computational snapshot approach), όπως αυτή εφαρμόστηκε από τους Pericleous & Patel (1987). Για την περιγραφή της αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο φάσεων χρησιμοποιήθηκε η δύναμη αεροδυναμικής Σελ. 21

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ αντίστασης. Οι μελετητές έκανα την παραδοχή ότι οι φυσαλίδες βρίσκονται στην ανάμεικτη περιοχή ροής (churn turbulent regime) και απέφυγαν να προσδιορίσουν τη διάμετρο των φυσαλίδων, διότι χρησιμοποίησαν για το συντελεστή οπισθέλκουσας το συσχετισμό των Ishii & Zuber (1979). Σύμφωνα με τους Ishii & Zuber (1979), ο συντελεστής οπισθέλκουσας είναι ανεξάρτητος της διαμέτρου των φυσαλίδων, για φυσαλίδες που βρίσκονται σε ηρεμούντα ρευστά. Ο συνολικός αριθμός των κελιών που χρησιμοποιήθηκαν ήταν 1.128, ενώ η κατανομή των κελιών στις δύο διαστάσεις ήταν: 47 κελιά στην αξονική διεύθυνση και 24 κελιά στην ακτινική διεύθυνση. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης συγκρίθηκαν ως προς τις συνιστώσες της ταχύτητας της αέριας φάσης με μετρήσεις που προέκυψαν από ταχύμετρο τύπου Doppler (LDV). Από ποιοτική σκοπιά, οι ακτινικές ταχύτητες βρέθηκαν σε καλή συμφωνία με τις μετρήσεις του ταχύμετρου LDV, ενώ οι αξονικές ταχύτητες δεν παρουσίασαν ανάλογη εικόνα. Οι Jenne & Reuss (1997) μελέτησαν τη διασκορπισμένη διφασική ροή αερίου υγρού σε δοχείο εξοπλισμένο με αναδευτήρα τύπου Rushton. Για μία ακόμη φορά, το πεδίο ροής θεωρήθηκε αξονοσυμμετρικό και η προσομοίωση πραγματοποιήθηκε σε δύο διαστάσεις. Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν το διφασικό μοντέλο δύο ρευστών ενώ για την περιγραφή του τρόπου αλληλεπίδρασης των δύο φάσεων χρησιμοποίησαν τη μέθοδο διπλής σύζευξης. Για ην υγρή φάση, το μοντέλο τύρβης που χρησιμοποιήθηκε ήταν το Chem Kim k ε μοντέλο. Για την περιγραφή της αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο φάσεων χρησιμοποιήθηκε η δύναμη αεροδυναμικής αντίστασης, ενώ δεν έγινε καμία αναφορά για την τυρβώδη διάχυση των φυσαλίδων. Για το συντελεστή οπισθέλκουσας χρησιμοποιήθηκε ο συσχετισμός των Ishii & Zuber (1979), κατά τους οποίους ο συντελεστής οπισθέλκουσας είναι ανεξάρτητος του μεγέθους των φυσαλίδων, ενώ η διάμετρος των φυσαλίδων δεν προσδιορίστηκε με ακρίβεια αλλά θεωρήθηκε ότι κυμαίνεται μεταξύ 2 και 6 mm. Οι μελετητές αφού δοκίμασαν αρκετά πλέγματα, κατέληξαν σε ένα δισδιάστατο πλέγμα με κελιά, η κατανομή των οποίων έγινε ως εξής: 43 κελιά στην ακτινική διεύθυνση και 225 κελιά στην αξονική διεύθυνση. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης συγκρίθηκαν με πειραματικά δεδομένα, και διαπιστώθηκε πολύ καλή συμφωνία. Οι Zhu & Stokes (1998) μελέτησαν τη διφασική ροή αερίου υγρού σε αντιδραστήρα με ημι ελλειπτικό πυθμένα εξοπλισμένο με αντιδραστήρα τύπου Rushton. Το πεδίο ροής θεωρήθηκε αξονοσυμμετρικό. Όσον αφορά στην περιοχή των πτερυγίων του αναδευτήρα, η συνιστώσα της επιφανειακής ταχύτητας θεωρήθηκε ως η ταχύτητα ενός συμπαγούς σώματος που περιστρέφεται, ενώ στην περιοχή των ανακλαστήρων, η συνιστώσα της επιφανειακής ταχύτητας θεωρήθηκε ίση με μηδέν. Με τη μέθοδο αυτή οι μελετητές Σελ. 22

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ απέφυγαν τη χρήση πειραματικών δεδομένων. Οι ερευνητές χρησιμοποίησαν ένα πλέγμα τριγωνικών στοιχείων, και έλυσαν τις εξισώσεις μεταφοράς μάζας, ορμής και ενέργειας και για τις δύο φάσεις χρησιμοποιώντας το γενικό επιλύτη μερικών διαφορικών εξισώσεων, Fastflo. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης συγκρίθηκαν με πειραματικά δεδομένα, αλλά μόνο για τις συνιστώσες της ταχύτητας. Οι ακτινικές ταχύτητες της αέριας φάσης βρέθηκαν σε καλή συμφωνία με τις αντίστοιχες πειραματικές, σε αντίθεση με τις αξονικές ταχύτητες της αέριας φάσης. Οι Lane et al. (1999) μελέτησαν τη διφασική ροή αερίου υγρού σε αναδευόμενο δοχείο το οποίο φέρει μία φτερωτή τύπου Rushton. Για την περιγραφή της κίνησης της φτερωτής χρησιμοποίησαν την προσέγγιση των πολλαπλών συστημάτων αναφοράς (multiple frames of reference). Η αριθμητική μέθοδος επίλυσης που χρησιμοποιήθηκε ήταν αυτή των πεπερασμένων όγκων. Για τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης, και συγκεκριμένα για τη δύναμη αεροδυναμικής αντίστασης, οι ερευνητές εξέτασαν πολλούς συσχετισμούς για το συντελεστή οπισθέλκουσας, C D. Για τον υπολογισμό της έκτασης της διεπιφάνειας και του συντελεστή μεταφοράς μάζας, ορμής και ενέργειας, οι Lane et al. προσδιόρισαν το μέσο μέγεθος των φυσαλίδων, βασιζόμενοι σε προηγούμενες μελέτες. Για την περιγραφή της τύρβης χρησιμοποιήθηκε το standard k ε μοντέλο. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης που προέκυψαν συγκρίθηκαν με πειραματικά δεδομένα και διαπιστώθηκε ικανοποιητική συμφωνία. Οι Ranade & Deshpande (1999) χρησιμοποίησαν δύο πλέγματα για τις προσομοιώσεις διασκορπισμένης διφασικής ροής αερίου υγρού σε αντιδραστήρα εξοπλισμένο με αναδευτήρα τύπου Rushton. Και τα δύο πλέγματα ήταν τριών διαστάσεων, με το πρώτο πλέγμα (αραιό) να έχει κελιά και κατανομή κελιών 17x32x32, και το δεύτερο πλέγμα (πυκνό) να έχει κελιά και κατανομή κελιών 35x63x80. Και στις δύο περιπτώσεις, ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε στην περιοχή του αναδευτήρα, όπου και τα δύο πλέγματα ήταν ιδιαίτερα πυκνά. Στο μοντέλο χρησιμοποιήθηκε η προσέγγιση του στιγμιότυπου (computational snapshot approach) κατά την οποία ο αναδευτήρας θεωρείται όρος πηγής ενώ οι ανακλαστήρες όροι καταβόθρας. Οι προσομοιώσεις πραγματοποιήθηκαν μέσω του εμπορικού κώδικα Fluent, όπου χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο ρευστών δύο φάσεων. Για την περιγραφή της αλληλεπίδρασης μεταξύ των δύο φάσεων χρησιμοποιήθηκε μόνο η δύναμη αεροδυναμικής αντίστασης, χωρίς να δίνονται πληροφορίες για τον τρόπο υπολογισμού του συντελεστή οπισθέλκουσας. Το μοντέλο των εξισώσεων δεν περιλαμβάνει κάποιο όρο για την τυρβώδη διάχυση των φυσαλίδων. Για τις φυσαλίδες έγινε η παραδοχή ότι η διάμετρος είναι σταθερή και ίση με 2 mm. Τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων Σελ. 23

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ αξιολογήθηκαν μόνο από ποιοτική σκοπιά. Οι ερευνητές παρατήρησαν ότι το αέριο έχει την τάση να συσσωρεύεται πίσω από τα πτερύγια της φτερωτής. Οι Deen et al. (2002) μελέτησαν τη διασκορπισμένη διφασική ροή αερίου υγρού σε δοχείο εξοπλισμένο με αναδευτήρα τύπου Rushton. Χρησιμοποίησαν δύο πλέγματα τριών διαστάσεων και κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Το πρώτο πλέγμα (αραιό) είχε κελιά και κατανομή κελιών ως προς τις τρεις διευθύνσεις 46x56x36, ενώ το δεύτερο πλέγμα (πυκνό) είχε κελιά. Το μέγεθος των φυσαλίδων θεωρήθηκε σταθερό ενώ για τον υπολογισμό του συντελεστή οπισθέλκουσας έγινε η παραδοχή ότι οι φυσαλίδες έχουν σχήμα σφαίρας. Για την περιγραφή της τύρβης χρησιμοποιήθηκε το standard k ε μοντέλο. Το επιπρόσθετο τυρβώδες ιξώδες λόγω της κίνησης των φυσαλίδων υπολογίστηκε από τη σχέση των Sato & Sekoguchi (1975). Για την περιγραφή της περιστροφικής κίνησης της φτερωτής χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος ολισθαίνοντος πλέγματος (sliding mesh method). Όσον αφορά στο πυκνό πλέγμα, η προσομοίωση πραγματοποιήθηκε σε υπολογιστή τύπου SGI Origin 2000 (8 επεξεργαστές) και διήρκεσε 54 ώρες (CPU time), γεγονός το οποίο αντανακλά τη σταδιακή βελτίωση της διαθέσιμης ταχύτητας και μνήμης των υπολογιστών. Οι ερευνητές παρατήρησαν το σχηματισμό κοιλοτήτων αέρα γύρω από τα πτερύγια της φτερωτής. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης συγκρίθηκαν με πειραματικά δεδομένα. Οι ακτινικές ταχύτητες της αέριας φάσης βρέθηκαν σε καλή συμφωνία με τις μετρήσεις που προέκυψαν από ταχύμετρο τύπου PIV, ενώ οι αξονικές ταχύτητες δεν παρουσίασαν ανάλογη εικόνα. 3.3 Βιβλιογραφικές αναφορές Ξενόγλωσσες Bakker, A. (1992), Hydrodynamics of Stirred Gas Liquid Dispersions, Ph.D. Thesis, Technical University of Delft, The Netherlands. Bakker, A. & Van den Akker, H.E.A. (1994), Gas Liquid Contacting with Axial Flow Impellers, Chemical Engineering Research and Design, Trans I ChemE, Vol. 72, Number A4, pp Deen, N.G., Solberg, T. & Hjertager, B.H. (2002), Flow Generated by an Aerated Rushton Impeller: Two phase PIV Experiments and Numerical Simulations, Can I Chem Eng, 80, pp Σελ. 24

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ Djebbar, R., Roustan, M. & Line, A. (1996), Numerical computation of turbulent gas liquid dispersion in mechanically agitated vessels, Trans I ChemE, 74, Part A., pp Gosman, A.D., Lekakou, C., Politis, S., Issa, R.I. & Looney, M.K. (1992), Multidimensional Modelling of Turbulent Two Phase Flows In Stirred Vessels, AIChE Journal, 38, No. 12, pp Harvey, P.S. & Greaves, M. (1982), Turbulent flow in an agitated vessel, Parts I & II, Trans I ChemE, 60, pp Ishii, M. & Zuber, N. (1979), Drag Coefficient and Relative Velocity in Bubbly, Droplet or Particulate Flows, AIChE Journal, 25, No.5, pp Issa, R.I. & Gosman, A.D. (1981), The Computation of Three Dimensional Turbulent Two Phase Flow in Mixer Vessels. In: Proc 2 nd Int Conf Numerical Methods in Laminar and Turbulent Flows, Venice, Italy, pp Jenne, M. & Reuss, M. (1997), Fluid dynamic modelling and simulation of gas liquid flow in baffled stirred tank reactors, Récents Progrès en Genie des Procédès, 11, No. 52, pp Lane, G.L., Schwarz, M.P. & Evans, G.M. (1999), Predicting Gas Liquid Flow in a Mechanically Stirred Tank, In: Second International Conference on CFD in the Minerals and Process Industries, CSIRO, Melbourne, Australia, 6 8 December 1999, pp Marshall, E., Haidari, A. & Subbiah, S. (1996), Presented at AIChE Annual Meeting, Chicago, November. Morud, K.E. & Hjertager, B.H. (1996), LDV Measurements and CFD Modelling of Gas Liquid Flow in a Stirred Vessel, Chem Eng Sci, 51, No. 2, pp Oldshue, J.Y. (1983), Fluid Mixing Technology, McGraw Hill. Pericleous, K.A. & Patel, M.K. (1987), The source sink approach in the modelling of stirred reactors, Phys Chem Hydrodynamics, 9, p.279. Σελ. 25

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΕΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΔΕΥΣΗΣ Ranade, V.V. (1995), Computational fluid dynamics for reactor engineering, Rev. Chem. Eng., 11, Ranade, V.V. (2002), Computational Flow Modeling for Chemical Reactor Engineering, Process Systems Engineering, Volume 5, Academic Press. Ranade, V.V. & Deshpande, V.R. (1999), Gas Liquid flow in stirred reactors: Trailing vortices and gas accumulation behind impeller blades, Chem Eng Sci, 54, pp Ranade, V.V. & Dommeti, S. (1996), Computational snapshot of flow generated by axial impellers, Chem. Eng. Res. Des., 74, Sato, Y. & Sekoguchi, K. (1975), Liquid Velocity Distribution in Two Phase Bubble Flow, Int J Multiphase Flow, 2, pp Tragardh, C. (1988), A Hydrodynamic Model for the Simulation of an Aerated Agitated Fed Batch Fermenter. In: Proc 2 nd Int Conf Bioreactor Fluid Dynamics, Cambridge, UK, September 21 23, pp Zhu, Z. & Stokes, N. (1998), Predicting Turbulent Gas Liquid and Solid Liquid Multi Phase Flows in a Stirred Mixing Tank, Chemeca 98, Port Douglas, Australia. Σελ. 26

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 4.1 Εισαγωγή Οι χημικοί αντιδραστήρες αποτελούν τις ζωτικότερες μονάδες μιας χημικής βιομηχανίας. Στους χημικούς αντιδραστήρες επιτελούνται φυσικοί και χημικοί μετασχηματισμοί των πρώτων υλών που έχουν σαν αποτέλεσμα την παραγωγή των επιθυμητών προϊόντων. Ο σχεδιασμός ενός χημικού αντιδραστήρα είναι ένα από τα σημαντικότερα και δυσκολότερα προβλήματα που ο χημικός μηχανικός καλείται να επιλύσει. Αυτό οφείλεται στη σύνθετη φύση του προβλήματος και απαιτεί την πλήρη κατανόηση και μελέτη όλων των φυσικών και χημικών φαινομένων που λαμβάνουν χώρα στον αντιδραστήρα. Ο χημικός μηχανικός στην προσπάθειά του να σχεδιάσει ένα χημικό αντιδραστήρα χρησιμοποιεί πληροφορίες, γνώσεις και προηγούμενη εμπειρία από πολλές γνωστικές περιοχές της επιστήμης του, όπως: Χημική Κινητική Θερμοδυναμική Μηχανική ρευστών Μεταφορά μάζας και θερμότητας Αριθμητική ανάλυση και προγραμματισμό Μηχανολογία Οικονομική ανάλυση Συχνά για το σχεδιασμό μιας νέας χημικής διεργασίας δύναται να προταθούν πολλές εναλλακτικές λύσεις από τις οποίες ο χημικός μηχανικός θα πρέπει να επιλέξει τη βέλτιστη. Για τον προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης ο χημικός μηχανικός θα πρέπει να λάβει υπόψη του όχι μόνο το κατασκευαστικό και λειτουργικό κόστος του αντιδραστήρα, αλλά και όλους εκείνους τους παράγοντες (π.χ. περιβαλλοντολογικούς, ασφάλειας και υγιεινής, οικονομικούς

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ και χωροταξικούς), που μπορούν να επηρεάσουν την οικονομική επιτυχία ή αποτυχία μιας χημικής διεργασίας (Κυπαρισσίδης, 2008). Με την ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών υψηλής απόδοσης και την πρόοδο στις υπολογιστικές τεχνικές και αλγόριθμους, οι χημικοί μηχανικοί συνειδητοποίησαν τη δύναμη των εργαλείων της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής. Λαμβάνοντας υπόψη τον κεντρικό ρόλο που κατέχουν οι αντιδραστήρες στις χημικές βιομηχανίες, οι χημικοί μηχανικοί έχουν αρχίσει να εφαρμόζουν και να αξιοποιούν τις δυνατότητες και τα εργαλεία της Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής για τη βελτίωση του σχεδιασμού των χημικών αντιδραστήρων. 4.2 Γενική ταξινόμηση των χημικών αντιδραστήρων Οι χημικοί αντιδραστήρες μπορούν να ταξινομηθούν σε ορισμένες γενικές κατηγορίες ανάλογα με: (1) τον τρόπο λειτουργίας τους, (2) τον αριθμό των φάσεων που συνυπάρχουν στον αντιδραστήρα, (3) τα πρότυπα ροής και ανάμιξης, και (4) τη μεταβολή ή όχι της θερμοκρασίας (Levenspiel, 1999) Αντιδραστήρες συνεχούς, ημι συνεχούς και ασυνεχούς λειτουργίας Ανάλογα με τον τρόπο τροφοδοσίας των αντιδρώντων και απομάκρυνσης των προϊόντων, οι χημικοί αντιδραστήρες διακρίνονται σε αντιδραστήρες συνεχούς, ημι συνεχούς και ασυνεχούς λειτουργίας. Στους αντιδραστήρες ασυνεχούς λειτουργίας τα αντιδρώντα και προϊόντα της αντίδρασης παραμένουν στον αντιδραστήρα χωρίς να έχουμε οποιαδήποτε εκροή ή εισροή μάζας στον αντιδραστήρα. Μετά το τέλος της αντίδρασης, το τελικό αντιδρών μίγμα απομακρύνεται, και στη συνέχεια ο αντιδραστήρας φορτώνεται με νέο αντιδρών υλικό. Στους αντιδραστήρες συνεχούς λειτουργίας, τα αντιδρώντα τροφοδοτούνται συνεχώς στην είσοδο του συστήματος και τα προϊόντα απομακρύνονται επίσης συνεχώς. Η λειτουργία των συνεχών αντιδραστήρων μπορεί να είναι μόνιμη ή δυναμική. Στους συνεχείς αντιδραστήρες μόνιμης λειτουργίας η εισροή μάζας στον αντιδραστήρα είναι σταθερή και ίση με την εκροή μάζας από αυτόν. Αντίθετα, στους συνεχείς αντιδραστήρες δυναμικής λειτουργίας η εισροή μάζας δεν είναι σταθερή και γενικά δεν είναι ίση με την εκροή μάζας από τον αντιδραστήρα (Κυπαρισσίδης, 2008). Σελ. 28

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Πολλές φορές η λειτουργία των αντιδραστήρων μπορεί να είναι ημι συνεχής. Στην περίπτωση αυτή, ο αντιδραστήρας φορτώνεται αρχικά με ένα ή περισσότερα συστατικά, ενώ τα υπόλοιπα αντιδρώντα προστίθενται συνεχώς στον αντιδραστήρα κατά τη διάρκεια της αντίδρασης από τον αντιδραστήρα Ομοιογενείς και ετερογενείς αντιδραστήρες Ανάλογα με τον αριθμό των φάσεων που συνυπάρχουν στον αντιδραστήρα, οι χημικοί αντιδραστήρες μπορούν να διακριθούν σε ομοιογενείς και ετερογενείς. Στους ομοιογενείς αντιδραστήρες τα αντιδρώντα και τα προϊόντα της αντίδρασης σχηματίζουν μία και μόνο ομοιογενή φάση. Αντίθετα, στους ετερογενείς αντιδραστήρες, δύο ή/και περισσότερες φάσεις συνυπάρχουν στο χώρο του αντιδραστήρα. Οι ετερογενείς αντιδραστήρες μπορεί να είναι καταλυτικοί ή μη καταλυτικοί. Η ύπαρξη δύο ή περισσότερων φάσεων στον αντιδραστήρα έχει σαν αποτέλεσμα την εμφάνιση φυσικών φαινομένων μεταφοράς μάζας, ορμής και θερμότητας, τα οποία θα πρέπει να ληφθούν σοβαρά υπόψη στην ανάλυση και στο σχεδιασμό ενός χημικού αντιδραστήρα (Σδούκος & Πομώνης, 2010) Αντιδραστήρες πλήρους ανάμιξης και αντιδραστήρες εμβολικής ροής Ανάλογα με τις συνθήκες ροής και ανάμιξης που επικρατούν στον αντιδραστήρα, οι χημικοί αντιδραστήρες διακρίνονται σε αντιδραστήρες πλήρους ανάμιξης και σε αντιδραστήρες εμβολικής ροής. Οι δύο παραπάνω ταξινομήσεις περιγράφουν τις δύο ακραίες ιδανικές καταστάσεις ανάμιξης στους χημικούς αντιδραστήρες. Συνθήκες πλήρους ανάμιξης μπορεί να επιτύχουμε σε αντιδραστήρες συνεχούς, ημι συνεχούς και συνεχούς λειτουργίας με τη χρησιμοποίηση κατάλληλου συστήματος ανάδευσης Ισοθερμοκρασιακοί και μη ισοθερμοκρασιακοί αντιδραστήρες Από άποψη μεταβολής ή όχι της θερμοκρασίας στον αντιδραστήρα, διακρίνουμε τους αντιδραστήρες σε ισοθερμοκρασιακούς, όταν η θερμοκρασία παραμένει αμετάβλητη, και σε μη ισοθερμοκρασιακούς, όταν η θερμοκρασία μεταβάλλεται με το χρόνο ή την απόσταση. Σελ. 29

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 4.3 Ο αντιδραστήρας του προβλήματός μας Οι προηγούμενες ταξινομήσεις περιλαμβάνουν τους περισσότερους τύπους βιομηχανικών αντιδραστήρων. Στην παρούσα εργασία πραγματοποιείται υπολογιστική προσομοίωση της διφασικής ροής νερού αέρα σε ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Η μεγάλης κλίμακας συνεχής παραγωγή, οι ομοιογενείς και ετερογενείς αντιδράσεις, καθώς και οι αντιδράσεις πολυμερισμού αποτελούν πεδία εφαρμογής αυτού του τύπου αντιδραστήρα Γενική περιγραφή του αντιδραστήρα Ο ισοθερμοκρασιακός αντιδραστήρας συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης του προβλήματός μας αποτελείται από: i. ένα κυλινδρικό δοχείο ii. το σύστημα ανάδευσης iii. τα ακροφύσια τροφοδοσίας και απομάκρυνσης του αερίου Το κυλινδρικό δοχείο έχει ύψος 0,7 m, διάμετρο 0,17 m και πάχος 0,005 m. Το σύστημα ανάδευσης αποτελείται από 4 ανακλαστήρες, 2 αναδευτήρες και 1 ηλεκτρικό κινητήρα. Οι ανακλαστήρες είναι επίπεδοι και έχουν πλάτος 0,004 m και ύψος 0,12 m. Είναι συμμετρικά τοποθετημένοι ανά 90 ο μοίρες, κάθετοι ως προς τη βάση του κυλινδρικού δοχείου και σε απόσταση 0,036 m από τον άξονα συμμετρίας και 0,075 m από τη βάση. Οι ανακλαστήρες είναι τοποθετημένοι σε αγωγό ελκυσμού ο οποίος έχει πάχος 0,005 m και ύψος 0,12 m. Οι αναδευτήρες είναι τύπου στροβίλου με επίπεδα πλάγια πτερύγια και κάθε αναδευτήρας αποτελείται από 6 πτερύγια. Τα πτερύγια είναι πλάγια τοποθετημένα με κλίση 45 ο και κατεύθυνση προς τα κάτω, και έχουν μήκος 0,03 m, ύψος 0,0075 m και πάχος 0,005 m. Οι δύο αναδευτήρες είναι ομοκεντρικά τοποθετημένοι και σε απόσταση, ως προς το ύψος, 0,075 m ο ένας από τον άλλον. Ο άξονας των αναδευτήρων έχει κυλινδρικό σχήμα, ύψος 0,7 m και διάμετρο 0,0075 m. Ο ηλεκτρικός κινητήρας είναι ισχύος 2 HP και είναι αυτός που παρέχει την απαραίτητη ενέργεια για την κίνηση του άξονα, και κατά συνέπεια των 2 αναδευτήρων. Ο ηλεκτρικός κινητήρας δεν αποτελεί αντικείμενο μελέτης της παρούσας εργασίας και γι αυτό το λόγο δεν απεικονίζεται στο σχέδιο του αντιδραστήρα. Το ακροφύσιο εισόδου είναι τοποθετημένο, ως προς το ύψος, ανάμεσα στους δύο Σελ. 30

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ αναδευτήρες και σε μικρή απόσταση πάνω από τον κάτω αναδευτήρα. Έχει σχήμα κυλίνδρου και διάμετρο 0,00375 m. Από το ακροφύσιο εισόδου εισέρχεται συνεχώς και με σταθερή ταχύτητα αέρας. Το ακροφύσιο απομάκρυνσης αερίου είναι τοποθετημένο στο επάνω άκρο του κυλινδρικού δοχείου, έχει σχήμα κυλίνδρου και διάμετρο 0,003 m. Οι παραπάνω διαστάσεις και αναλογίες αντιστοιχούν στον πρότυπο σχεδιασμό ενός αναδευόμενου δοχείου ή αντιδραστήρα. Στις επόμενες παραγράφους γίνεται η λεπτομερής περιγραφή του αντιδραστήρα του προβλήματός μας με βάση τα αποτελέσματα προηγούμενων ερευνών και πειραμάτων πολλών μελετητών σχετικά με το βέλτιστο σχεδιασμό του αναδευόμενου αντιδραστήρα Λεπτομερής περιγραφή του αντιδραστήρα Αγωγός ελκυσμού Στον αντιδραστήρα του προβλήματός μας, ο κάτω αναδευτήρας τοποθετήθηκε στο ίδιο επίπεδο με το κάτω μέρος του αγωγού ελκυσμού, ενώ η απόσταση ανάμεσα στους δύο αναδευτήρες ορίστηκε ίση με τη διάμετρο του αναδευτήρα. Εάν το μήκος του αγωγού ελκυσμού είναι πολύ μικρό τότε ο βαθμός ανάμιξης ελαττώνεται. Αντίθετα, εάν το μήκος του αγωγού ελκυσμού είναι πολύ μεγάλο, τότε η αντλητική ικανότητα των φτερωτών μειώνεται. Έχει διαπιστωθεί πειραματικά ότι το βέλτιστο μήκος του αγωγού ελκυσμού ισούται με 2 4 φορές τη διάμετρο του αναδευτήρα (Hsu & Huang, 1997). Στην περίπτωση του δικού μας αντιδραστήρα, το μήκος του αγωγού ελκυσμού ισούται με το διπλάσιο της διαμέτρου του αναδευτήρα Διάμετροι των αναδευτήρων και του αγωγού ελκυσμού Οι Joshi et al. (1982) και Mann (1986) ύστερα από αρκετές μελέτες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι προκειμένου να επιτευχθεί υψηλής απόδοση ανάδευση και διασκορπισμό, η διάμετρος των αναδευτήρων πρέπει να ισούται με το της διαμέτρου του κυλινδρικού δοχείου ή αντιδραστήρα. Στην παρούσα εργασία η διάμετρος των αναδευτήρων ισούται με το 0,35 της διαμέτρου του κυλινδρικού δοχείου. Η εσωτερική διάμετρος του αγωγού ελκυσμού είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από τη διάμετρο του αναδευτήρα, αφήνοντας έτσι ένα μικρό διάκενο προκειμένου να ενισχυθεί η κατακόρυφη αναρρόφηση του ρευστού από τον αναδευτήρα (Ζουμπούλης κ.ά., 2009). Οι Σελ. 31

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Hsu & Chang (1995) βρήκαν ότι το βέλτιστο πλάτος του ανακλαστήρα ισούται με το της εσωτερικής διαμέτρου του αγωγού ελκυσμού. Στην περίπτωση του αντιδραστήρα του προβλήματός μας, η εσωτερική διάμετρος του αγωγού ελκυσμού ισούται με το 0,47 της διαμέτρου του κυλινδρικού δοχείου και το πλάτος του κάθε ανακλαστήρα ισούται με το της εσωτερικής διαμέτρου του αγωγού ελκυσμού Απόσταση του κάτω αναδευτήρα από τον πυθμένα του δοχείου Η βέλτιστη απόσταση του κάτω αναδευτήρα από τον πυθμένα του δοχείου ισούται με το της διαμέτρου του δοχείου. Οι Hsu & Huang (1997) διαπίστωσαν ότι για απόσταση μεγαλύτερη από το της διαμέτρου του δοχείου έχουμε το σχηματισμό μιας νεκρής ζώνης πάνω από τον πυθμένα του δοχείου, ενώ για απόσταση μικρότερη από το, το εκτινασσόμενο από τον κάτω αναδευτήρα ρευστό, θα προσέκρουε στον πυθμένα του δοχείου, με αποτέλεσμα την αυξημένη κατανάλωση ενέργειας. Στην παρούσα εργασία, επιλέχθηκε η απόσταση του κάτω αναδευτήρα από τον πυθμένα του δοχείου να είναι ίση με το 0,45 της διαμέτρου του δοχείου Στάθμη υγρής φάσης Στους αντιδραστήρες όπου οι ανακλαστήρες τοποθετούνται έτσι ώστε να εφάπτονται των τοιχωμάτων του δοχείου, το ύψος ή η στάθμη της υγρής φάσης ισούται με τη διάμετρο του δοχείου (Mann, 1986). Ωστόσο, οι Abrardi et al. (1990) πρότειναν για την περίπτωση του αντιδραστήρα όπου οι ανακλαστήρες είναι τοποθετημένοι στον αγωγό ελκυσμού, ο οποίος με τη σειρά του ελέγχει ουσιαστικά τη ροή, η στάθμη της υγρής φάσης να ισούται με 1,8 2 φορές τη διάμετρο του δοχείου. Στην παρούσα εργασία επιλέχθηκε η στάθμη της υγρής φάσης να ισούται με 1,82 φορές τη διάμετρο του δοχείου Ο ρόλος των ανακλαστήρων και των δύο αναδευτήρων Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφερθεί ο ρόλος των ανακλαστήρων και των δύο αναδευτήρων. Η περιστροφική κίνηση του αναδευτήρα συμπαρασύρει και το ρευστό σε περιστροφική κίνηση, με αποτέλεσμα το σχηματισμό ενός έντονου στροβιλισμού στο κέντρο του δοχείου, με έναν κώνο χωρίς υγρό να εκτείνεται σταδιακά, καθώς αυξάνεται ο ρυθμός περιστροφής του, σχεδόν μέχρι τον αναδευτήρα. Μια τέτοια κατάσταση δεν προάγει την Σελ. 32

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ανάμιξη, γιατί το υγρό έχει την τάση απλώς να περιστρέφεται γύρω από το δοχείο ως μια ενιαία μάζα. Για την αντιμετώπιση παρόμοιων προβλημάτων χρησιμοποιούνται οι ανακλαστήρες. Ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος αυτού είναι η εγκατάσταση ενός αγωγού ελκυσμού (Ζουμπούλης κ.ά., 2009). Και οι δύο αυτοί τρόποι περιορίζουν την περιστροφική κίνηση του ρευστού και εξαφανίζουν τον κεντρικό στρόβιλο. Όσα αναφέρθηκαν απεικονίζονται στην εικόνα 4.1 που ακολουθεί: Εικόνα 4.1: Ο ρόλος των ανακλαστήρων. Στις περιπτώσεις (a) και (b) δεν έχουν τοποθετηθεί ανακλαστήρες στα δοχεία, ενώ στις περιπτώσεις (c) και (d) έχουν τοποθετηθεί. Η περίπτωση (c) αντιστοιχεί σε αναδευτήρα αξονικής ροής και η περίπτωση (d) αντιστοιχεί σε αναδευτήρα ακτινικής ροής (Ulbrecht & Patterson, 1985). Η μεταφορά μάζας καθώς επίσης και η διασπορά ενός αερίου σε ένα υγρό είναι δύο διεργασίες που λαμβάνουν χώρα σε ένα αναδευόμενο αντιδραστήρα και αποτελούν πολύ σημαντικό αντικείμενο ενδιαφέροντος για τις χημικές βιομηχανίες. Ύστερα από πολλά πειράματα, στα οποία μελετήθηκε η διφασική ροή αερίου υγρού σε αναδευόμενο αντιδραστήρα, οι Juarez & Orejas (2001), Wu et al. (1995) και Moucha et al. (1995) κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η εγκατάσταση δύο αναδευτήρων αυξάνει πάρα πολύ το συντελεστή μεταφοράς μάζας του αερίου. Με αυτό τον τρόπο το μεγαλύτερο μέρος της αέριας φάσης παραμένει ανάμεσα στους αναδευτήρες, κι ένα μικρό μόνο μέρος του αερίου κατευθύνεται προς το επάνω μέρος του αντιδραστήρα. Συνεπώς, παρατηρείται μια αύξηση στο χρόνο επαφής ανάμεσα στην αέρια και υγρή φάση, καθώς επίσης και υψηλά ποσοστά Σελ. 33

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ανάμιξης και διασποράς του αερίου. Στην εικόνα 4.2 που ακολουθεί απεικονίζεται η διασπορά ενός αερίου σε υγρό μέσα σε αντιδραστήρα με δύο αναδευτήρες: Εικόνα 4.2: Ο ρόλος των δύο αναδευτήρων στην ανάμιξη και τη διασπορά του αερίου (Hsu & Huang, 1998). Στην εικόνα 4.3 που ακολουθεί παρουσιάζονται δύο αντιδραστήρες, όπου στον έναν έχει εγκατασταθεί ένας αναδευτήρας ενώ στο δεύτερο δύο αναδευτήρες, για την περίπτωση διφασικής ροής αερίου υγρού. Και στις δύο περιπτώσεις έχουν χρησιμοποιηθεί ιδίου τύπου αναδευτήρες, συγκεκριμένα αναδευτήρες τύπου Rushton, και περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Σελ. 34

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Εικόνα 4.3: Σύγκριση του πεδίου διφασικής ροής αερίου υγρού σε αντιδραστήρα με ένα αναδευτήρα και σε αντιδραστήρα με δύο αναδευτήρες. Και στις δύο περιπτώσεις έχουν χρησιμοποιηθεί ιδίου τύπου αναδευτήρες, οι οποίοι περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα (Lu, 2004) Η απεικόνιση του αντιδραστήρα Οι εικόνες 4.4 και 4.5 που ακολουθούν απεικονίζουν τον αντιδραστήρα, καθώς επίσης και τα μέρη αυτού, που μελετήθηκαν στην παρούσα εργασία. Σελ. 35

44 33 mm 52,5 mm 310 mm 120 mm 700 mm 625 mm ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 7,5 mm 85 mm 49 mm 6 mm 4 mm Σχήμα 4.4: Ο αντιδραστήρας Σχήμα 4.5: Ο αγωγός ελκυσμού Σελ. 36

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 4.4 Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Ζουμπούλης, Α., Καραπάντσιος, Θ., Μάτης, Κ. & Μαύρος, Π. (2009), Στοιχεία Φυσικών Διεργασιών, Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη. Κυπαρισσίδης, Κ. (2008), Σχεδιασμός των Χημικών Αντιδραστήρων, Τόμος Ι, Πανεπιστημιακές Σημειώσεις, Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη. Σδούκος, Α.Θ. & Πομώνης, Φ.Ι. (2010), Χημικές Διεργασίες της Χημικής Τεχνολογίας, Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη Ξενόγλωσσες Abrardi, V., Rovero, G., Taldi, G., Sicardi, S. & Conti, R. (1990), Hydrodynamics of a gas liquid reactor stirred with a multi impeller system, Trans. IChemE., 68(A), Hsu, Y. C. & Chang, H. C. (1995), Onset of Gas Self Induction and Power Consumption after Gas Induction in an Agitated Tank, J.Chem.Tech.Biotechnol, 64, 137. Hsu, Y. C. & Huang, C. J. (1997), Ozone Transfer with Optimal Design of a New Gas Induced Reactor, AIChE Journal, Vol.43, No.9, pp Hsu, Y. C. & Huang, K. F. (1998), Effects of Geometrical Factors on Liquid Mixing in a Gas Induced Agitated Tank, J.Chem.Tech.Biotechnol, 68, Joshi, J.B., Pandit, A.B., & Sharma, M.M. (1982), Mechanically Agitated Gas Liquid Reactors, Chem. Eng. Sci., 37, 813. Juarez, P. & Orejas, J. (2001), Oxygen Transfer in a Stirred Reactor in Laboratory Scale, Latin American Applied Research, 31, Levenspiel, O. (1999), Chemical Reaction Engineering, Third Edition, John Wiley & Sons, Inc. Lu, W. M. (2004) Multiple Impeller Gas Liquid Contactors, RESI. Σελ. 37

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Mann, R. (1986), Gas Liquid Stirred Vessel Mixers: Towards a Unified Theory Based on Networks Of Zones, Chem.Eng.Res.Des, 64, 23. Moucha, T., Linek, V. & Sinkule, J. (1995), Measurement of K La in multiple impeller vessels with significant axial dispersion in both phases, Trans.IChemE, 73, part A, Ulbrecht, J.J. & Patterson, G.K. (1985), Mixing of Liquids by Mechanical Agitation, Gordon & Breach, New York. Wu, H., Arcella, V. & Malavasi, M. (1998), A study of gas liquid mass transfer in reactors with two disk turbines, Chem.Eng.Sci., 53(5), Σελ. 38

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 5.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται ένα πλήρες τρισδιάστατο διφασικό μοντέλο προσομοίωσης των φαινομένων ροής που λαμβάνουν χώρα σε ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης. Πιο αναλυτικά, παρουσιάζονται: Οι εξαρτημένες και ανεξάρτητες μεταβλητές του προτεινόμενου μοντέλου Το σύνολο των μερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την τρισδιάστατη διφασική ροή Οι παραδοχές του προτεινόμενου μαθηματικού μοντέλου Τα μοντέλα τύρβης Οι οριακές συνθήκες 5.2 Το μαθηματικό μοντέλο Εξαρτημένες και ανεξάρτητες μεταβλητές Οι ανεξάρτητες μεταβλητές του προτεινόμενου μοντέλου είναι οι τρεις διαστάσεις του χώρου, δηλαδή η γωνιακή, θ, η ακτινική, r, και η αξονική, z, απόσταση ενός πολικού συστήματος συντεταγμένων, και η διάσταση του χρόνου, δηλαδή η t. Το μοντέλο θεωρεί διφασική ροή αερίου υγρού, όπου οι δύο φάσεις είναι ο αέρας (g) και το νερό (l). Οι εξαρτημένες μεταβλητές του προτεινόμενου μοντέλου είναι: Η πίεση P η οποία είναι κοινή και για τις δύο φάσεις. Το κλάσμα όγκου που καταλαμβάνει η αέρια φάση και η υγρή φάση, R g και R l, αντίστοιχα.

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η γωνιακή, η ακτινική και η αξονική ταχύτητα του αέρα u g, v g, w g, και του νερού, u l, v l, w l. Η κινητική ενέργεια της τύρβης, k. Ο ρυθμός απορρόφησης της τύρβης, ε Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις Το προτεινόμενο μαθηματικό μοντέλο προσομοίωσης βασίζεται στις μερικές διαφορικές εξισώσεις που διέπουν την τρισδιάστατη, μεταβατικής κατάστασης ροή, δύο διακριτών φάσεων ρευστού (Markatos, 1983; Markatos & Spalding, 1983; Spalding, 1980; Spalding, 1981; Theologos et al., 1996). Η κατάστρωση των μερικών διαφορικών εξισώσεων διατήρησης στηρίζεται στις ακόλουθες παραδοχές (Markatos & Moult, 1979; Yang et al., 2000; Karadimou & Markatos, under preparation): Μη μόνιμη ροή Ασυμπίεστη ροή Νευτωνικά ρευστά Απουσία χημικής αντίδρασης Οι φυσικές ιδιότητες λαμβάνονται σταθερές στη θερμοκρασία των 25 ο C και για πίεση 1 atm Ο αντιδραστήρας λειτουργεί ισοθερμοκρασιακά, δηλαδή η θερμοκρασία παραμένει σταθερή σε όλο τον αντιδραστήρα Τα τοιχώματα του δοχείου είναι αδιαβατικά Δύο συνεχείς φάσεις, διασκορπισμένες η μία μέσα στην άλλη, που αλληλεπιδρούν πλήρως μεταξύ τους (προσέγγιση Euler Euler) Αμελούνται δευτερεύουσες δυνάμεις (δύναμη φαινόμενης μάζας, ηλεκτροστατικές δυνάμεις, δυνάμεις van der Waals) Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων Ανάντη σχήμα διαφορών Συνθήκη μη ολίσθησης για τα τοιχώματα Η επίδραση της διάχυσης θεωρείται αμελητέα Τυρβώδης ροή για το νερό και στρωτή ροή για τον αέρα Σελ. 40

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η παρουσία των φυσαλίδων λαμβάνεται υπόψη στην τυρβώδη κίνηση του νερού (αυτή η παραδοχή δεν αφορά τα μοντέλα τύρβης πρότυπο μοντέλο k ε και το μοντέλο RNG k ε) Οι συγκρούσεις μεταξύ των φυσαλίδων θεωρούνται αμελητέες Η κίνηση των φυσαλίδων δεν επηρεάζεται από τον ολκό των γειτονικών φυσαλίδων Σφαιρικές φυσαλίδες μίας διαμέτρου (μέση αεροδυναμική διάμετρος d p = 2, m) Δε συμβαίνει αλλαγή φάσης Οι εξισώσεις συνέχειας Το κλάσμα όγκου, η πυκνότητα και οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας της κάθε φάσης πρέπει να ικανοποιούν τις ακόλουθες εξισώσεις διατήρησης μάζας ή εξισώσεις συνέχειας: Εξίσωση συνέχειας της αέριας φάσης: Εξίσωση συνέχειας της υγρής φάσης: Τα κλάσματα όγκου σχετίζονται με τη σχέση: Οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι εξισώσεις διατήρησης της ορμής για τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας της αέριας φάσης, u g, v g, w g, και τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας της υγρής φάσης, u l, v l, w l. Σελ. 41

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Εξίσωση διατήρησης της ορμής για τη γωνιακή ταχύτητα της αέριας φάσης : Εξίσωση διατήρησης της ορμής για την ακτινική ταχύτητα της αέριας φάσης : Εξίσωση διατήρησης της ορμής για την αξονική ταχύτητα της αέριας φάσης : Εξίσωση διατήρησης της ορμής για τη γωνιακή ταχύτητα της υγρής φάσης : Σελ. 42

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Εξίσωση διατήρησης της ορμής για την ακτινική ταχύτητα της υγρής φάσης : Εξίσωση διατήρησης της ορμής για την αξονική ταχύτητα της υγρής φάσης : Για την περιγραφή της δύναμης της διεπιφάνειας χρησιμοποιείται η ακόλουθη εξίσωση (Phoenics, 2006): όπου: : η δύναμη της διεπιφάνειας : ο συντελεστής της διεπιφάνειας ανάμεσα στη φάση j και στη φάση i Στην παρούσα εργασία εφαρμόστηκε το dispersed flow drag model, σύμφωνα με το οποίο ο συντελεστής FIP υπολογίζεται από τη σχέση: : η πυκνότητα της υγρής φάσης : ο αδιάστατος συντελεστής οπισθέλκουσας. Για το συντελεστή οπισθέλκουσας επιλέχθηκε η σχέση που αντιστοιχεί στο spherical bubble dirty water drag correlation. Στην περίπτωση αυτού του μοντέλου, ο συντελεστής οπισθέλκουσας υπολογίζεται από τη σχέση (Kuo & Wallis, 1988): Σελ. 43

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ο αριθμός Reynolds υπολογίζεται από την εξίσωση (Ranade, 2002): όπου: : το στρωτό ιξώδες της υγρής φάσης : το κλάσμα όγκου που καταλαμβάνει η αέρια φάση : ισούται με εάν και με εάν. Στο μοντέλο της παρούσας εργασίας τέθηκε : είναι ο όγκος που καταλαμβάνει ο όγκος ελέγχου : η ταχύτητα ολίσθησης (σχετική ταχύτητα) μεταξύ της υγρής και της αέριας φάσης : παράμετρος η οποία χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ελάχιστης επιτρεπόμενης τιμής για την ταχύτητα ολίσθησης μεταξύ των δύο φάσεων < > : επιλέγει τη μέγιστη τιμή ανάμεσα στη και τη : η διάμετρος των σωματιδίων της αέριας φάσης. Στο μοντέλο της παρούσας εργασίας τέθηκε Η ταχύτητα ολίσθησης των δύο φάσεων, ως εξής (Ranade, 2002): υπολογίζεται με βάση τις έξι συνιστώσες των ταχυτήτων όπου: : η γωνιακή ταχύτητα της αέριας φάσης : η γωνιακή ταχύτητα της υγρής φάσης : η ακτινική ταχύτητα της αέριας φάσης Σελ. 44

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ : η ακτινική ταχύτητα της υγρής φάσης : η αξονική ταχύτητα της αέριας φάσης : η αξονική ταχύτητα της υγρής φάσης Στο μοντέλο της παρούσας εργασίας, για την εφαρμογή της δύναμης της άνωσης χρησιμοποιήθηκε η υδροστατική άνωση, η οποία βασίζεται στην αρχή του Αρχιμήδη. Η υδροστατική άνωση περιγράφεται μαθηματικά από την ακόλουθη εξίσωση (Phoenics, 2010): όπου: : η υδροστατική άνωση : η πυκνότητα της φάσης i : ο όγκος της φάσης i : η επιτάχυνση της βαρύτητας 5.3 Τύρβη Εισαγωγή Η τύρβη έχει τεράστια πρακτική σημασία, γιατί εμφανίζεται στις βιομηχανικές διεργασίες αλλά και στην ατμόσφαιρα της Γης, στους ωκεανούς, καθώς και στα βιολογικά συστήματα ανθρώπων, ζώων, ακόμα και μερικών φυτών. Όλα τα πεδία ροής πρακτικού ενδιαφέροντος είναι τυρβώδη. Το κύριο γνώρισμα της τυρβώδους ροής είναι η τυχαία διακύμανση των ιδιοτήτων του ρευστού σε τυχόν σημείο του πεδίου ροής. Οι μηχανικοί οφείλουν να κατανοούν τις τυρβώδεις ροές ώστε να τις ελέγχουν, να σχεδιάζουν συσκευές και διεργασίες έτσι ώστε να αποφεύγονται τα αρνητικά τους αποτελέσματα (όπως π.χ. στη ρύπανση περιβάλλοντος) ή να τις αξιοποιούν (όπως π.χ. στις διεργασίες ανάμιξης). Σε όλες τις περιπτώσεις η πρόβλεψη είναι ένα απολύτως απαραίτητο στοιχείο στους υπολογισμούς σχεδιασμού των μηχανικών. Η πρόβλεψη τυρβωδών φαινομένων είναι σήμερα εφικτή, με σχετική επιτυχία ανάλογη του Σελ. 45

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ προβλήματος, με χρήση μαθηματικών προτύπων ποικίλης πολυπλοκότητας (Μαρκάτος, 2010) Τύρβη και διφασική ροή Μία ακόμα πτυχή που πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά την προσομοίωση της διφασικής ροής είναι η τύρβη. Πολλοί ερευνητές προκειμένου να περιγράψουν την τύρβη που εμφανίζεται σε μία διφασική ροή, χρησιμοποιούν μοντέλα ανάλογα με αυτά που χρησιμοποιούνται στις περιπτώσεις μονοφασικής ροής. Ωστόσο, στα διφασικά συστήματα, όπου η τύρβη επηρεάζεται από την παρουσία στοιχείων διασκορπισμένης φάσης, όπως είναι οι φυσαλίδες, τα μοντέλα τύρβης τροποποιούνται κατάλληλα προκειμένου να λάβουν υπόψη τους την αλληλεπίδραση των δύο φάσεων. Εξαιτίας αυτής της αλληλεπίδρασης, η μαθηματική μοντελοποίηση της τύρβης σε ένα διφασικό σύστημα αποτελεί ένα πολύπλοκο θέμα (Lane, 2006). Στις μονοφασικές ροές, η γένεση της τύρβης προκαλείται από αστάθεια της ροής που οφείλεται είτε στις συνθήκες ροής είτε σε τυχαία διατάραξη και εμφανίζεται σε περιοχές σημαντικών δυνάμεων συνεκτικότητας, όπως είναι οι περιοχές των σημαντικών κλίσεων ή των ασυνεχειών της ταχύτητας. Με αυτό τον τρόπο η κινητική ενέργεια μεταβιβάζεται προς τα κάτω από τις μεγάλες δίνες σε όλο και μικρότερες, και φθάνει στην ελάχιστη κλίμακα όταν οι δίνες χάνουν ενέργεια, λόγω της άμεσης δράσης των ιξωδών τάσεων, που τη μετατρέπουν τελικά σε εσωτερική θερμική ενέργεια των ελάχιστης κλίμακας δινών. Αυτή η διεργασία παίρνει τη μορφή ενός ενεργειακού καταρράκτη (energy cascade) (Μαρκάτος, 2010; Lane, 2006). Από την άλλη, στην περίπτωση της διφασικής ροής υπάρχει μία σειρά από πρόσθετες πηγές διακυμάνσεων της ταχύτητας (Lathouwers, 1999). Οι πηγές αυτές είναι οι εξής: 1. Η παρουσία των φυσαλίδων και η κίνησή τους μέσα στο υγρό προκαλούν διαταραχές στην ταχύτητα του υγρού, οι οποίες συνήθως αναφέρονται ως ψευδο τύρβη. 2. Η παρουσία μικρών κυματισμών πίσω από τις φυσαλίδες προκαλεί μικρής κλίμακας διαταραχές στο υγρό. 3. Η παραμόρφωση της επιφάνειας της φυσαλίδας και η μεταβολή του μεγέθους της μπορεί να προκαλέσουν την εμφάνιση δινών στο υγρό. Σελ. 46

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Σύμφωνα με τους Chahed et al. (2003), οι φυσαλίδες μπορούν να μειώσουν αντί να αυξήσουν την τυρβώδη κινητική ενέργεια του υγρού Μοντελοποίηση της τύρβης Για να γίνει πλήρης πρόβλεψη της τυρβώδους ροής, το πλήρες σύνολο των μεταβατικής κατάστασης εξισώσεων Navier Stokes θα έπρεπε να επιλυθεί. Στην πράξη όμως αυτό δεν είναι εφικτό, διότι η τύρβη είναι ένα πλήρως τρισδιάστατο και μεταβατικό φαινόμενο, το οποίο λαμβάνει χώρα σε πολύ μικρά διαστήματα του χώρου και του χρόνου. Η αριθμητική επίλυση των μεταβατικής κατάστασης εξισώσεων Navier Stokes θα απαιτούσε απαγορευτικούς υπολογιστικούς χρόνους και χώρους αποθήκευσης. Στην πραγματικότητα, αυτό που ενδιαφέρει είναι ο, ως προς το χρόνο, μέσος όρος των αποτελεσμάτων της τύρβης. Τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να προσεγγιστούν μέσω στατιστικών συσχετίσεων, με βάση ποσότητες που μπορούν να μετρηθούν. Έχουν προταθεί αρκετά τυρβώδη μοντέλα, η εγκυρότητα των οποίων εξαρτάται από τη διεργασία για την προσομοίωση της οποίας εφαρμόζονται. Στις παραγράφους που ακολουθούν περιγράφονται τα τρία μοντέλα τύρβης τα οποία χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία. Τα μοντέλα αυτά είναι: το απλό μοντέλο k ε, το μοντέλο k ε με κατάλληλη προσθήκη για τη συνεισφορά του ιξώδους που οφείλεται στην κίνηση των φυσαλίδων, όπως προτάθηκε από τους Lopez de Bertodano et al. (1990); Svendsen et al. (1992) και το μοντέλο RNG k ε Το μοντέλο k ε Το πλέον διαδεδομένο μοντέλο, το οποίο είναι ενσωματωμένο σε αρκετούς κώδικες επίλυσης προβλημάτων ρευστοδυναμικής, είναι το συμβατικό μοντέλο k ε. Το συμβατικό μοντέλο k ε χρησιμοποιείται ευρύτατα για την περιγραφή της τύρβης, τόσο για μονοφασικά όσο και για διφασικά συστήματα, και απαιτεί την επίλυση δύο διαφορικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό δύο χαρακτηριστικών της τύρβης: της κινητικής ενέργειας k, και του ρυθμού σκέδασής της, ε. Το μοντέλο αυτό παρουσιάζει μία σειρά πλεονεκτημάτων που εξυπηρετούν ικανοποιητικά τις ανάγκες του μηχανικού. Ανάμεσα σε αυτά συγκαταλέγονται η απλότητά του, η ευστάθεια, η ευκολία στη σύγκλιση και ο μικρός υπολογιστικός χρόνος που απαιτεί. Ωστόσο, το μοντέλο τύρβης k ε αδυνατεί να διακρίνει την περιστροφική παραμόρφωση και τη διάτμηση, δε λαμβάνει υπόψη την ανισοτροπία της τύρβης και δεν Σελ. 47

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ υπολογίζει την ενίσχυση ή την υποχαλάρωση των στοιχείων του διανύσματος των τάσεων Reynolds. Όσον αφορά στις διφασικές ροές, αξίζει να σημειωθεί ότι πολλοί ερευνητές προτείνουν την εισαγωγή πρόσθετων όρων πηγής που περιγράφουν τη μεταφορά ορμής ανάμεσα στη συνεχή και τη διασκορπισμένη φάση (Elghobashi & Abou Arab, 1983; Bel F dhila & Simonin, 1992; Tu & Fletcher, 1994). Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι εξισώσεις του συμβατικού μοντέλου k ε για τη διφασική ροή αερίου υγρού (Lane, 2006; Launder & Spalding, 1972; Launder & Spalding, 1974; Markatos, 1986): Για την κινητική ενέργεια της τύρβης, k : Για το ρυθμό απορρόφησης, ε: Όπου: Οι,, και είναι εμπειρικές παράμετροι οι οποίες έχουν καθορισθεί μετά από λεπτομερειακή σύγκριση με πειραματικά δεδομένα, για ένα ευρύ φάσμα τυρβωδών ροών, και έχουν βελτιστοποιηθεί μετά από εκατοντάδες ώρες αριθμητικών πειραμάτων στον υπολογιστή (Μαρκάτος, 2010). Οι παράμετροι αυτές λαμβάνουν τις εξής τιμές: =1,44, =1,92, =1 και =1,3. Οι όροι και είναι οι επιπλέον όροι πηγής που σχετίζονται με την αλληλεπίδραση των δύο φάσεων. Ο όρος αντιπροσωπεύει το ρυθμό παραγωγής της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και δίνεται από την παρακάτω εξίσωση: Το τυρβώδες ιξώδες υπολογίζεται από την ακόλουθη εξίσωση: Για τον υπολογισμό των τάσεων Reynolds, χρησιμοποιείται μία τροποποιημένη σχέση Boussinesq: Σελ. 48

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στο ανωτέρω μοντέλο η πρώτη φάση αντιμετωπίζεται ως τυρβώδης, με αποτέλεσμα το μοντέλο k ε να λύνεται μόνο για i = 1. Επιπλέον, για τη διασκορπισμένη φάση, οι τάσεις Reynolds θεωρούνται αμελητέες, και επομένως η αέρια φάση αντιμετωπίζεται ως στρωτή (Bel F dhila & Simonin, 1992). Για το τυρβώδες ιξώδες της υγρής φάσης, οι Lopez de Bertodano et al. (1990) και Svendsen et al. (1992), λαμβάνοντας υπόψη και τη συνεισφορά του ιξώδους που οφείλεται στην κίνηση φυσαλίδων, εισήγαγαν τους ακόλουθους όρους στο συμβατικό μοντέλο k ε: όπου: : είναι ο ρυθμός παραγωγής της κινητικής ενέργειας της τύρβης k που οφείλεται στην οπισθέλκουσα δύναμη των φυσαλίδων καθώς κινούνται στην υγρή φάση, και δίνεται από τη σχέση: όπου: : είναι μια εμπειρική σταθερά. Οι Lopez de Bertodano et al. (1990) προτείνουν για το την τιμή 0,01 ενώ οι Johansen et al. (1988) και οι Svendsen et al. (1992) προτείνουν ένα εύρος τιμών για το που κυμαίνεται από 0,1 έως 0,75. : η δύναμη οπισθέλκουσας ανά όγκο η οποία υπολογίζεται από τη σχέση: Το στην παραπάνω σχέση υπολογίζεται από τη σχέση (5.11). Στον αντιδραστήρα ανάδευσης του προβλήματός μας, τα φαινόμενα τύρβης παρατηρούνται κυρίως στην περιοχή στην οποία γίνεται η είσοδος του αέρα (ακροφύσιο εισόδου) και στην περιοχή του αγωγού ελκυσμού όπου περιέχονται οι δύο φτερωτές. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση των αντιδραστήρων ανάδευσης, η Σελ. 49

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ γένεση της τύρβης οφείλεται κυρίως στην περιστροφική κίνηση της φτερωτής, και άρα η κινητική ενέργεια της τύρβης οφείλεται κύρια στην κίνηση του αναδευτήρα και δευτερευόντως στη ροή της αέριας φάσης. Επομένως, κάτω από αυτές τις συνθήκες, όπου η τύρβη της υγρής φάσης ελέγχεται από την περιστροφή της φτερωτής, οι διαταραχές που προκαλούν οι κινούμενες φυσαλίδες θεωρούνται αμελητέες. Επειδή λοιπόν η επίδραση της αέριας φάσης στην τύρβη της υγρής φάσης είναι αρκετά μικρή, το μοντέλο k ε μπορεί να απλοποιηθεί. Έτσι, στο απλοποιημένο μοντέλο k ε, οι επιπλέον όροι πηγής S k και S ε έχουν αφαιρεθεί. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί και στην ταχύτητα περιστροφής της φτερωτής. Συγκεκριμένα, εάν η ταχύτητα αυτή είναι μικρή τότε η επίδραση της αέριας φάσης στην τύρβη της υγρής φάσης γίνεται σημαντική, και πρέπει να ληφθεί υπόψη στο μοντέλο τύρβης Το RNG k ε μοντέλο Η εφαρμογή της στατιστικής μηχανικής οδήγησε σε νέες μαθηματικές τυποποιήσεις που μαζί με περιορισμένο αριθμό παραδοχών που αφορούν στη στατιστική της τύρβης μικρής κλίμακας, παρέχουν μια ισχυρή βάση για την επέκταση των μοντέλων ιξώδους δίνης (Μαρκάτος, 2010; Markatos, 1986). Το RNG (ReNormalization Group) μοντέλο των Yakhot & Orszag (1986) του Πανεπιστημίου του Princeton παριστάνει τις επιδράσεις της τύρβης μικρής κλίμακας με μία τυχαία συνάρτηση στις εξισώσεις Navier Stokes. Η διαδικασία RNG απομακρύνει συστηματικά από τις εξισώσεις τις μικρές κλίμακες της κίνησης, εκφράζοντας τις επιδράσεις τους σε όρους των κινήσεων μεγαλύτερης κλίμακας, με σκοπό να λάβει υπόψη τις διαφορετικές κλίμακες κίνησης, αρχικά στον καθορισμό του τυρβώδους ιξώδους, και κατ επέκταση στον υπολογισμό της τυρβώδους διάχυσης. Εφόσον το μοντέλο αυτό είναι ουσιαστικά μια παραλλαγή του k ε μοντέλου, οι υπολογισμοί του είναι μόνο ελαφρά πιο δαπανηροί από το κλασσικό μοντέλο k ε, ενώ οδηγεί σε βελτιώσεις στην πρόβλεψη περίπλοκων τυρβωδών ροών καθώς δίνει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα σε εφαρμογές, όπου η περιστροφή και η παραμόρφωση είναι σημαντικές. Ωστόσο, πρόκειται για ένα καινούριο μοντέλο για το οποίο απαιτείται η ευρεία εφαρμογή και πιστοποίησή του (Μαρκάτος, 2010). Στη συνέχεια παρουσιάζονται οι εξισώσεις του μοντέλου RNG k ε για τη διφασική ροή αερίου υγρού (Han & Reitz, 1995; Launder & Spalding, 1972; Launder & Spalding, 1974; Markatos, 1986): Σελ. 50

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Για την κινητική ενέργεια της τύρβης, k : Για το ρυθμό απορρόφησης, ε: Όπου: Ρυθμός παραγωγής: είναι το τυρβώδες ιξώδες Επιπρόσθετος όρος: και Εμπειρικές σταθερές του μοντέλου: Στην εξίσωση του επιπρόσθετου όρου, μόνο η σταθερά είναι τροποποιήσιμη και η τιμή της υπολογίζεται από δεδομένα τύρβης κοντά σε τοίχο. Όλες οι άλλες σταθερές υπολογίζονται ρητά ως τμήμα της μεθόδου RNG. Η εξίσωση του ε είναι μία από τις κύριες πηγές ανακρίβειας του κλασσικού k ε μοντέλου και του μοντέλου τάσεων Reynolds σε ροές που υφίστανται ισχυρούς ρυθμούς παραμόρφωσης. Ο επιπρόσθετος όρος στην εξίσωση απορρόφησης της τύρβης R, οδηγεί στην Σελ. 51

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ αποδοτική πρόβλεψη της στροβιλώδους ροής ιδιαίτερα σε περιοχές υψηλών τάσεων, π.χ. κοντά σε τοίχους. Σε τέτοιες περιοχές είναι, οπότε ο όρος R οδηγεί στην αύξηση της απορρόφησης της τύρβης ε και συνεπώς σε μείωση της κινητικής ενέργειας της τύρβης k. Έτσι, προκύπτουν χαμηλότερες τιμές τυρβώδους ιξώδους σε σχέση με αυτές που υπολογίζονται από το απλό k ε μοντέλο. Επομένως, το RNG k ε μοντέλο προβλέπει καλύτερα την επίδραση της απότομης αύξησης της τάσης και άρα την καμπυλότητα των ροϊκών γραμμών. 5.4 Οριακές συνθήκες Στα όρια του πεδίου, θα πρέπει να εφαρμοστούν ειδικές τεχνικές έτσι ώστε να εισαχθούν στις διακριτοποιημένες εξισώσεις η πληροφορία που περιέχεται στις οριακές συνθήκες. Στην παρούσα εργασία εφαρμόστηκαν οριακές συνθήκες στα τοιχώματα του αντιδραστήρα, στα πτερύγια των δύο φτερωτών, στον άξονα των αναδευτήρων, στους ανακλαστήρες και στα ακροφύσια εισόδου και εξόδου του αερίου. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται τα είδη των οριακών συνθηκών που χρησιμοποιήθηκαν για τις διάφορες μεταβλητές. Πίνακας 5.1: Οριακές συνθήκες Μεταβλητή Τοιχώματα αντιδραστήρα Ανακλαστήρες Πτερύγια φτερωτών Άξονας αναδευτήρων Ακροφύσιο εισόδου Ακροφύσιο εξόδου U1, U2 FIXFLU - V1, V W1, W2 FIXFLU - - k ε P P FIXP R FIXVAL R FIXVAL Στις παραγράφους που ακολουθούν αναλύονται τα είδη των οριακών συνθηκών που παρουσιάστηκαν στον πίνακα 5.1. Το GRND2 είναι μία λογαριθμική συνάρτηση τοίχου ισορροπίας. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα σε θέση πολύ κοντά στο τοίχωμα δεν επηρεάζεται από μεταφορά ορμής από την εξωτερική περιοχή του οριακού στρώματος. Επίσης, η διανομή ταχύτητας είναι ανεξάρτητη από ανάντη επιδράσεις. Το ότι η διανομή της τύρβης στην περιοχή κοντά στο τοίχωμα πρέπει να βρίσκεται σε τοπική ισορροπία σημαίνει ότι η διάρκεια ζωής μιας δίνης είναι μικρή Σελ. 52

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ συγκρινόμενη με το χρόνο που χρειάζεται για να συμβεί μεταβολή της ροής. Το τυρβώδες οριακό στρώμα στη γειτονιά μιας στερεής επιφάνειας αποτελείται από 2 περιοχές: 1. Την εσωτερική περιοχή, η οποία αποτελεί περίπου το 10 με 20% του συνολικού πάχους του στρώματος του τοίχου. Η διατμητική τάση είναι (σχεδόν) σταθερή και ίση με την τάση στον τοίχο, τ w. Μέσα σε αυτή την περιοχή υπάρχουν 3 ζώνες, που σε σειρά αυξανόμενης απόστασης από τον τοίχο είναι: Το γραμμικό οριακό υπόστρωμα, όπου οι ιξώδεις τάσεις υπερισχύουν στη ροή δίπλα στον τοίχο, και για το οποίο ισχύει:. Το μεταβατικό στρώμα, όπου οι ιξώδεις και τυρβώδεις τάσεις είναι παραπλήσιου μεγέθους. Το στρώμα του λογαριθμικού νόμου, όπου οι τυρβώδεις τάσεις υπερισχύουν και για το οποίο ισχύει:. 2. Την εξωτερική περιοχή ή στρώμα του νόμου του ολκού, όπου η ροή βρίσκεται μακριά από τον τοίχο που κυριαρχείται από αδρανειακές δυνάμεις, ελεύθερη από άμεσες επιρροές του ιξώδους. Όπου:, είναι η ταχύτητα τριβής και ισούται με, είναι η απόλυτη τιμή της παράλληλης συνιστώσας της ταχύτητας στον πρώτο κόμβο μετά τον τοίχο, είναι η διατμητική τάση στον τοίχο, είναι η απόσταση του πρώτου κόμβου από τον τοίχο, είναι η αδιάστατη απόσταση από τον τοίχο και ισούται με, είναι παγκόσμιες σταθερές που ισχύουν για όλες τις τυρβώδεις ροές κοντά σε λείους τοίχους σε υψηλούς ρυθμούς Re και έχουν υπολογιστεί πειραματικά ίσες με και Σελ. 53

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ για λείους τοίχους. Η FIXVAL είναι μία οριακή συνθήκη σταθερής τιμής. Στο λογισμικό PHOENICS, οι οριακές συνθήκες, όπως και οι πηγές, εμφανίζονται στο δεξί μέρος της διαφορικής εξίσωσης μεταφοράς της μεταβλητής φ. Έτσι, ισχύει ότι: Όπου είναι οι οριακές συνθήκες οι οποίες εμφανίζονται σε συγκεκριμένες περιοχές του πλέγματος. Μετά την ολοκλήρωση της διαφορικής εξίσωσης (5.33) σε έναν όγκου ελέγχου, η εξίσωση της οριακής συνθήκης παίρνει την παρακάτω γραμμικοποιημένη μορφή: Έτσι, η τελική μορφή της διακριτοποιημένης εξίσωσης μεταφοράς παίρνει την ακόλουθη μορφή: Όπου:, είναι οι όροι πηγής, είναι ένας συντελεστής, είναι η τιμή, είναι ένας γεωμετρικός πολλαπλασιαστής Η μεταβλητή υπολογίζεται από τη σχέση: Στην περίπτωση της οριακής συνθήκης σταθερής τιμής (FIXVAL), θέτουμε ένα μεγάλο αριθμό στο συντελεστή και την επιθυμητή τιμή στο. Έτσι, η εξίσωση (5.36) γράφεται ως εξής: Σελ. 54

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η FIXFLU είναι μια οριακή συνθήκη σταθερής ροής. Στην περίπτωση αυτή, θέτουμε ένα μικρό αριθμό στο συντελεστή και θεωρούμε ότι το ισούται με πηγή/. Στην περίπτωση αυτή, η μεταβλητή δίνεται από την εξίσωση: Η ONLYMS είναι μία οριακή συνθήκη η οποία δηλώνει ότι η συναγωγή επηρεάζει τη μεταφορά της μεταβλητής φ από το κέντρο του κελιού στο όριο, ενώ η επίδραση της διάχυσης είναι μηδενική. Η FIXP είναι μία οριακή συνθήκη σταθερής τιμής πεδίου. Συχνά, αντιμετωπίζεται η ανάγκη της διατήρησης της τιμής της φ σε κάποιο εσωτερικό κόμβο στην τιμή φ FIX, σταθερής και ανεξάρτητης των μεταβολών που επιβάλλει ο αλγόριθμος επίλυσης σε εσωτερικό κόμβο. Στην παρούσα εργασία, η τιμή της πίεσης της διασκορπισμένης αέριας φάσης (Ρ 2 ) θεωρήθηκε σταθερή και ανεξάρτητη των μεταβολών στο σημείο εξόδου αερίου από τον αντιδραστήρα. Η μεγάλη απόσταση του σημείου εξόδου του αερίου από την περιοχή του αγωγού ελκυσμού, όπου παρατηρούνται έντονες μεταβολές, δικαιολογεί την επιβολή της οριακής συνθήκης σταθερής τιμής πεδίου στον κόμβο αυτό. Σε μια τέτοια απόσταση η πίεση είναι σταθερή και δεν επηρεάζεται από τα φαινόμενα που εκδηλώνονται στον αγωγό ελκυσμού. 5.5 Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Μαρκάτος, Ν. (2010), Τυρβώδη Φαινόμενα Μεταφοράς και Μαθηματικά Πρότυπα Προσομοίωσής τους, ΕΜΠ, Αθήνα Ξενόγλωσσες Bel F dhila, R. & Simonin, O. (1992), Eulerian Prediction of Turbulent Bubbly Flow Downstream of a Sudden Pipe Expansion, Proc. 6 th Workshop on Two Phase Flow Prediction, Erlangen, Germany, pp Σελ. 55

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Chahed, J., Roig, V. & Masbernat, L. (2003), Eulerian Eulerian two fluid model for turbulent gas liquid bubbly flows, Int J Multiphase Flow, 29, pp Elghobashi, S.E. & Abou Arab, T.W. (1983), A two equation turbulence model for two phase flows, Phys Fluids, 26, No. 4, pp Fluent Inc (2006), Manual User s Guide, Version 6.3, Lebanon, NH, USA. Han, Z. & Reitz, R.D. (1995), Turbulence Modelling of Internal Combustion Engines Using RNG k ε Models, Combust. Sci. and Tech., 106, 4 6, p.267. Johansen, S.T., Robertson, D.G.C., Woje, K. & Engh, T.A. (1988), Fluid Dynamics in Bubble Stirred Ladles: Part I. Experiments. Metallurgical Transactions B, 19B, pp Karadimou, D.P. & Markatos, N.C., Modelling of two phase, transient airflow and particle distribution in the indoor environment and evaluation of a novel numerical scheme, under preparation. Kuo, J.T. & Wallis, G.B. (1988), Flow of bubbles through nozzles, Int. J. Multiphase Flow, Vol. 14, No. 5, p.547. Lane, G.L. (2006), Computational Modelling of Gas Liquid Flow in Stirred Tanks, Ph.D. Thesis, The University of Newcastle, UK. Lane, G.L., Schwarz, M.P. & Evans, G.M. (1999), Predicting gas liquid flow in a mechanically stirred tank, Second International Conference on CFD in the Minerals and Process Industries, CSIRO, Melbourne, Australia. Lathouwers, D. (1999), Modelling and Simulation of Turbulent Bubbly Flow, Ph.D. Thesis, Technical University of Delft. Launder, B.E. & Spalding, D.B. (1972), Lectures in Mathematical Models of Turbulence, Academic Press: London, England. Launder, B.E. & Spalding, D.B. (1974), The numerical computation of turbulent flows, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol.3, pp Lopez de Bertodano, M., Lahey, R.T.J & Jones, O.C. (1990), Development of a k ε model for bubbly two phase flow, Journal of Fluids Engineering, 116, pp Σελ. 56

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Markatos, N.C. (1983), Computer simulation of turbulent fluid flow in chemical reactors, Adv. Eng. Software, Vol.5, No.1, pp Markatos, N.C. (1986), The mathematical modelling of turbulent flows, Applied Mathematical Modelling, Volume 10, pp Markatos, N.C. & Moult, A. (1979), The computation of steady and unsteady turbulent, chemically reacting flows in axisymmetrical domains, Trans. Instn. Chem. Engrs., 57, No.3, pp Markatos, N.C. & Spalding, D.B. (1983), Computer simulation of fluid flow and heat/mass transfer phenomena. The Phoenics code system, A Lecture course, School of Mathematics, University of Greenwich, UK. PHOENICS (2010), VR Reference Guide: Documentation for Phoenics (TR 326), Version 2010, CHAM, London, UK. Ranade, V.V. (2002), Computational Flow Modeling for Chemical Reactor Engineering, Process Systems Engineering, Volume 5, Academic Press. Spalding, D.B. (1980), Mathematical Modelling of Fluid Mechanics, Heat transfer and Chemical Reaction Processes: A Lecture Course, Imperial College CFDU Report HTS/80/1. Spalding, D.B. (1981), Math. Computer Simulation XII, 267. Svendsen, H.F., Jakobsen, H.A., Torvik, R. (1992), Local flow structures in internal loop and bubble column reactors, Chemical Engineering Science, 47, pp Theologos, K.N., Nikou, I.D., Lygeros, A.I. & Markatos, N.C. (1996), Simulation and Design of Fluid Catalytic Cracking Riser Type Reactors, Computers Chem. Eng., Vol.20, pp Tu, J.Y. & Fletcher, C.A.J. (1994), An improved model for particulate turbulence modulation in confined two phase flows, Int Com Heat and Mass Transfer, 21, No.6, pp Yakhot, A. & Orszag, S. (1986), Renormalisation group analysis of turbulence: Basic Theory, Journal of Scientific Computing, 1 (1), pp Σελ. 57

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Yang, T.C.K., Hsu, Y.C. & Wang, S.F. (2000), Phonological studies of the new gas induced agitated reactor using computational fluid dynamics, Environmental Technology, Vol. 22, pp Σελ. 58

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Οι εξισώσεις του μαθηματικού μοντέλου που περιγράφουν το πρόβλημα της διφασικής ροής αερίου υγρού σε ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης δεν επιλύονται αναλυτικά, αλλά με αριθμητικές μεθόδους. Οι αριθμητικές μέθοδοι συνίστανται στη μετατροπή των διαφορικών εξισώσεων, με κατάλληλα σχήματα διακριτοποίησης, σε σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων που μπορεί να επιλυθεί. Πιο συγκεκριμένα, αν φ είναι η μεταβλητή που μας ενδιαφέρει, η αριθμητική επίλυση συνίσταται στην εύρεση ενός συνόλου αριθμητικών τιμών σε συγκεκριμένα σημεία του πλέγματος, από τις οποίες μπορεί να προκύψει η κατανομή της φ στο πεδίο ροής. Η διαδικασία επίλυσης περιλαμβάνει υποδιαίρεση του υπολογιστικού πεδίου σε μικρότερα υποχωρία (περιοχές), ώστε να δημιουργηθεί δομημένο πλέγμα. Η συστηματική διακριτοποίηση του χώρου και των εξαρτημένων μεταβλητών καθιστούν εφικτή την αντικατάσταση των διαφορικών εξισώσεων από απλές αλγεβρικές εξισώσεις. Η εξίσωση διακριτοποίησης είναι μια αλγεβρική εξίσωση που προέρχεται από μια διαφορική εξίσωση και μεταφέρει όσο το δυνατόν επικρατέστερα το φυσικό νόημα που αυτή εκφράζει. Όσο ο αριθμός των διακριτών σημείων του πλέγματος αυξάνεται, η λύση που αποδίδουν οι εξισώσεις διακριτοποίησης πλησιάζει την ακριβή λύση που θα έδιναν οι διαφορικές εξισώσεις. Στην παρούσα εργασία, για την επίλυση του προβλήματος εφαρμόζεται η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων ελέγχου, η οποία ανήκει στις ολοκληρωτικές μεθόδους αριθμητικής επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων (Spalding, 1980; Markatos, 1989; Markatos, 1993; Stavrakakis et al., 2008; Karadimou et al., 2009). Στις ολοκληρωτικές μεθόδους η διακριτοποιημένη εξίσωση, μέσω της οποίας προσδιορίζεται η αριθμητική λύση, προκύπτει από την ολοκλήρωση της εξίσωσης μεταφοράς πάνω σε κάποιο όγκο ελέγχου.

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Το πιο σημαντικό πλεονέκτημα της ανάλυσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων ελέγχου είναι ότι η προκύπτουσα λύση εμπεριέχει την εφαρμογή επακριβώς της εξίσωσης διατήρησης ποσοτήτων, όπως η μάζα, η ορμή και η ενέργεια, σε οποιοδήποτε υποσύνολο του υπολογιστικού πλέγματος και στο σύνολο του πλέγματος. 6.2 Μέθοδος πεπερασμένων όγκων ελέγχου Η αριθμητική μέθοδος που εφαρμόστηκε για την επίλυση του προβλήματος της διφασικής ροής αερίου υγρού σε ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης είναι η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων ελέγχου. Η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων ελέγχου ανήκει στις ολοκληρωτικές μεθόδους αριθμητικής επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Η μέθοδος είναι γενική και μπορεί να αντιμετωπίσει με επιτυχία προβλήματα μεταφοράς μάζας, ορμής και ενέργειας (Μαρκάτος & Ασημακόπουλος, 1995). Η παρουσίαση της μεθόδου των πεπερασμένων όγκων ελέγχου θα γίνει με τη βοήθεια του τρισδιάστατου πεδίου ροής Πλέγμα Όγκος ελέγχου Το πρώτο βήμα στην εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων όγκων ελέγχου είναι η διαίρεση του πεδίου σε πεπερασμένους όγκους τυχαίου μεγέθους αλλά πάντοτε τοπολογικά καρτεσιανού σχήματος. Ο τελευταίος περιορισμός δηλώνει ότι οι όγκοι ελέγχου μπορεί να είναι μη ορθογώνιου σχήματος αλλά θα έχουν πάντοτε έξι ακμές και έξι πλευρές, στη γενική τρισδιάστατη περίπτωση (Μαρκάτος & Ασημακόπουλος, 1995). Στην παρούσα εργασία το σύστημα όγκων ελέγχου είναι κυλινδρικό. Αρχικά ορίζεται η θέση των κόμβων του πλέγματος. Κάθε κόμβος περιέχεται σε έναν όγκο ελέγχου (Μαρκάτος, 1988). Στη συνέχεια, στη μέση της απόστασης δύο κόμβων και κάθετα στη γραμμή που τους ενώνει, τοποθετούνται τα μέτωπα των όγκων ελέγχου, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.1 που ακολουθεί. Με τον τρόπο αυτό δημιουργούνται οι όγκοι ελέγχου. Με τη μέθοδο αυτή, όταν το πλέγμα είναι ανομοιόμορφο τα υπολογιστικά σημεία δε βρίσκονται στο κέντρο των όγκων ελέγχου. Ο κόμβος που περιέχεται στο εσωτερικό του όγκου ελέγχου συμβολίζεται με P. Οι γειτονικοί κόμβοι συμβολίζονται ανάλογα με τη θέση τους ως E, W, S, N, T, B (σχήμα 6.1). Οι αντίστοιχες επιφάνειες των όγκων ελέγχου συμβολίζονται με Δe, Δw, Δs, Δn, Δt, Δb. Το σύστημα συντεταγμένων είναι κυλινδρικό. Στο Σελ. 60

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ σχήμα που ακολουθεί απεικονίζεται ο στοιχειώδης όγκος ελέγχου στις τρεις διαστάσεις του κυλινδρικού συστήματος συντεταγμένων. Στο σχήμα απεικονίζονται ο κεντρικός κόμβος, οι γειτονικοί κόμβοι και τα αντίστοιχα μέτωπα (επιφάνειες) όγκων ελέγχου. Σχήμα 6.1: Στοιχειώδης όγκος ελέγχου στις τρεις διαστάσεις του κυλινδρικού συστήματος συντεταγμένων (Josue Mora Acosta, 2001). Στους κόμβους P των όγκων ελέγχου (κόμβοι του πλέγματος) αποθηκεύονται τα βαθμωτά μεγέθη ρ 1, ρ 2, R1, R2, P1, P2, KE, EP. Στα μέτωπα των όγκων ελέγχου (staggered grid) αποθηκεύονται τα διανυσματικά μεγέθη των ταχυτήτων u θ1, u r1, u z1, u θ2, u r2, u z2 (Josue Mora Acosta, 2001). Οι δείκτες 1 και 2 αντιστοιχούν στην υγρή και αέρια φάση Διακριτοποίηση Το επόμενο βήμα στη μέθοδο πεπερασμένων όγκων ελέγχου είναι η ολοκλήρωση της εξίσωσης διατήρησης σε κάθε όγκο ελέγχου. Η διακριτοποιημένη εξίσωση, μέσω της οποίας προσδιορίζεται η αριθμητική λύση, προκύπτει από την ολοκλήρωση της διαφορικής Σελ. 61

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ εξίσωσης μεταφοράς πάνω σε κάποιο πεπερασμένο όγκο ελέγχου (Μαρκάτος & Ασημακόπουλος, 1995). Η γενική μορφή της εξίσωσης μεταφοράς είναι (Patankar & Spalding, 1972; Markatos & Moult, 1979; Markatos, 1983): Οι όροι που εμφανίζονται στην εξίσωση (6.1) είναι, από αριστερά προς τα δεξιά, ο μεταβατικός όρος, ο όρος συναγωγής, ο όρος διάχυσης και ο όρος παραγωγής ή κατανάλωσης (δηλαδή πηγή ή καταβόθρα) του φ i. Στην εξίσωση (6.1), R i, είναι το κλάσμα όγκου που καταλαμβάνει η κάθε φάση, ρ i, είναι η πυκνότητα της κάθε φάσης, φ, η εξαρτημένη μεταβλητή,, το διάνυσμα ταχύτητας για κάθε φάση, Γ φi, ο κατάλληλος συντελεστής διάχυσης και Sφ, ο αντίστοιχος όρος πηγής. Με ολοκλήρωση στον όγκο ελέγχου V και για μη μόνιμες συνθήκες ροής, η εξίσωση (6.1) γράφεται (Versteeg & Malalasekera, 1996): Στη συνέχεια, γράφοντας τους όρους της συναγωγής και της διάχυσης ως επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην επιφάνεια του όγκου ελέγχου, μέσω του θεωρήματος Gauss, η εξίσωση (6.2) γίνεται: Σελ. 62

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Χειρισμός των όρων της εξίσωσης μεταφοράς Στο σημείο αυτό αναλύονται οι όροι της εξίσωσης μεταφοράς: ο μεταβατικός όρος, ο όρος μεταφοράς συναγωγής, ο όρος διάχυσης και ο όρος πηγής. Η μαθηματική ανάλυση που ακολουθεί βασίζεται στο βιβλίο του Jakobsen (2007) και στη δημοσίευση των Versteeg & Malalasekera (1996) Μεταβατικός όρος Ο όρος της χρονικής παραγώγου (μεταβατικός όρος) προσεγγίζεται με πρώτης τάξης ανάντη διαφορές (first order backward differencing scheme). Με τον άνω δείκτη o συμβολίζεται η τιμή της μεταβλητής φ στο προηγούμενο χρονικό βήμα. Όπου: Για τον υπολογισμό του δεξιού όρου της εξίσωσης (6.4) χρειάζεται να γίνει μία υπόθεση για την κατανομή των με το χρόνο. Μία γενική προσέγγιση της κατανομής της μεταβλητής στο χρονικό διάστημα έχει ως εξής: Στην παρούσα εργασία εφαρμόστηκε η περίπτωση θ = 1, που αντιστοιχεί σε πρώτης τάξης έμμεσο σχήμα (first order fully implicit scheme), όπου για τον προσδιορισμό της τιμής της μεταβλητής χρησιμοποιούνται οι τιμές των γειτονικών συντελεστών στο επόμενο χρονικό βήμα. Σελ. 63

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Όρος μεταφοράς συναγωγής Για τον πρώτο όρο (r διεύθυνση) έχουμε: Όπου: Για το δεύτερο όρο (θ διεύθυνση) έχουμε: Όπου: Σελ. 64

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Για τον τρίτο όρο (z διεύθυνση) έχουμε: Όπου: Όρος διάχυσης Σελ. 65

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Για τον πρώτο όρο (r διεύθυνση) έχουμε: Όπου: Για το δεύτερο όρο (θ διεύθυνση) έχουμε: Όπου: Σελ. 66

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Για τον τρίτο όρο (z διεύθυνση) έχουμε: Όπου: Όρος πηγής Ο όρος πηγής προσεγγίζεται με τον κανόνα του μέσου σημείου (midpoint rule), όπου το S αντιστοιχεί σε μία μέση τιμή, αντιπροσωπευτική για όλο τον όγκο ελέγχου (κελί). Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη την προηγούμενη μαθηματική ανάλυση, η εξίσωση μεταφοράς γράφεται ως εξής: Διαιρούμε όλους τους όρους της εξίσωσης (6.33) με Δt: Σελ. 67

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Για την πλήρη διακριτοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς απαιτείται ο υπολογισμός των τιμών της μεταβλητής φ των όρων συναγωγής της στα μέτωπα των όγκων ελέγχου e, w, n, s, t και b, ως συνάρτηση των τιμών της στα υπολογιστικά σημεία E, W, N, S, T και B, αντίστοιχα. Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου μπορούν να υπολογιστούν με τους παρακάτω τρόπους (Μαρκάτος & Ασημακόπουλος, 1995; Καραδήμου, 2008): 1. Σχήμα κεντρικών διαφορών Στο σχήμα κεντρικών διαφορών γίνεται η υπόθεση της γραμμικής κατανομής της ποσότητας φ γύρω από τα μέτωπα των όγκων ελέγχου. Έτσι, η τιμή της φ στα μέτωπα του όγκου ελέγχου δίνεται από τις σχέσεις: 2. Σχήμα ανάντη διαφορών Το σχήμα των ανάντη διαφορών λαμβάνει υπόψη τη φορά της ροής r διεύθυνση: Αν η φορά της ροής είναι προς τη θετική κατεύθυνση, δηλαδή αν και ( και, τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου δίνονται από τις σχέσεις: Αν η φορά της ροής είναι προς την αρνητική κατεύθυνση, δηλαδή αν και ( και, τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου δίνονται από τις σχέσεις: θ διεύθυνση: Αν η φορά της ροής είναι προς τη θετική κατεύθυνση, δηλαδή αν και ( και, τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου δίνονται από τις σχέσεις: Σελ. 68

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Αν η φορά της ροής είναι προς την αρνητική κατεύθυνση, δηλαδή αν και ( και, τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου δίνονται από τις σχέσεις: z διεύθυνση: Αν η φορά της ροής είναι προς τη θετική κατεύθυνση, δηλαδή αν και ( και, τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου δίνονται από τις σχέσεις: Αν η φορά της ροής είναι προς την αρνητική κατεύθυνση, δηλαδή αν και ( και, τότε οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου δίνονται από τις σχέσεις: 3. Υβριδικό σχήμα Στο υβριδικό σχήμα η προσέγγιση των τιμών της φ στα μέτωπα του όγκου ελέγχου είναι συνάρτηση της απόλυτης τιμής του αριθμού Peclet, όπου: Όταν χρησιμοποιείται το σχήμα των κεντρικών διαφορών. Όταν χρησιμοποιείται το σχήμα των ανάντη διαφορών και αφαιρείται ο όρος της διάχυσης. Στην παρούσα εργασία, για τον υπολογισμό των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής φ στα μέτωπα των όγκων ελέγχου, για τους όρους συναγωγής, χρησιμοποιείται το σχήμα των ανάντη διαφορών πρώτης τάξης. Εκτελώντας τις πράξεις χρησιμοποιώντας το σχήμα των ανάντη διαφορών στον όρο της μεταφοράς συναγωγής, η σχέση (6.34) γράφεται ως εξής: Σελ. 69

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 6.3 Επίλυση εξισώσεων Κατά την επίλυση των μερικών διαφορικών εξισώσεων διατήρησης με αριθμητικές μεθόδους, προκύπτει ένα σύστημα τυπικά γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Η επίλυση του συστήματος αυτού, αποτελεί το σημαντικότερο σε υπολογιστικό χρόνο βήμα, στην πορεία επίτευξης της προσεγγιστικής λύσης του προβλήματος. Οι αλγεβρικές εξισώσεις που προκύπτουν ισχύουν για κάθε κόμβο του υπολογιστικού πεδίου. Στα όρια του υπολογιστικού πεδίου οι αλγεβρικές εξισώσεις τροποποιούνται για να συμπεριλάβουν τις οριακές συνθήκες. Το σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων που προκύπτει επιλύεται με χρήση επαναληπτικών μεθόδων. Αναφορικά, μερικές από αυτές τις μεθόδους είναι η μέθοδος Jacobi, η μέθοδος Gauss Seidel, η μέθοδος της διαδοχικής υπερχαλάρωσης, η μέθοδος επίλυσης γραμμή προς γραμμή, η μέθοδος SIP κ.ά. (Μαρκάτος & Ασημακόπουλος, 1995). Η χρήση επανάληψης, σε αντιδιαστολή με την απ ευθείας αντιστροφή πινάκων, είναι απαραίτητ γιατί οι εξισώσεις πεπερασμένων πεδίων είναι στην πραγματικότητα μη γραμμικές. Οι επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης, σε σχέση με τις άμεσες μεθόδους, είναι πολύ καλύτερες τόσο σε αποτελέσματα όσο και στην αποτελεσματικότητά τους. Οι επαναληπτικές μέθοδοι διακρίνονται για την καλύτερη αποτελεσματικότητά τους σε σχέση με τις άμεσες μεθόδους, διότι εκμεταλλεύονται την αραιή μορφή του πίνακα των συντελεστών. Επίσης, μεγάλο πλεονέκτημά τους είναι ότι δεν κουράζουν το υπολογιστικό δυναμικό αφού δεν πραγματοποιούν πράξεις με το μηδέν. Το κύριο πρόβλημα που υπάρχει σε αυτές τις μεθόδους είναι η σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας, δηλαδή οι συνθήκες στις οποίες είναι δυνατή η σύγκλιση (Παπαγεωργίου & Τσίτουρας, 2004). Η αρχή εφαρμογής των επαναληπτικών μεθόδων έγκειται στην αναδιάταξη του αρχικού συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων, έτσι ώστε η επίλυσή του να χρησιμοποιεί όσο γίνεται λιγότερο υπολογιστικό χρόνο. Η αναδιάταξη των εξισώσεων γίνεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε στο αριστερό σκέλος της κάθε εξίσωσης να εμφανίζεται ένας μόνο άγνωστος. Για το σχηματισμό του δεξιού σκέλους της εξίσωσης χρησιμοποιείται η πεπλεγμένη μέθοδος. Η πεπλεγμένη μέθοδος υπολογίζει τις άγνωστες τιμές των μεταβλητών σε κάθε κόμβο σε συνάρτηση με τις άγνωστες των μεταβλητών των γειτονικών κόμβων στην ίδια επανάληψη (Μαρκάτος & Ασημακόπουλος, 1995). Προκειμένου περί τρισδιάστατων ροών, ακολουθείται ένα ολοκληρωτικό σχήμα, που αποτελείται από επαναλαμβανόμενα περάσματα κατά τη διεύθυνση z κατά μήκος του πεδίου ολοκλήρωσης που προτάθηκε από το Spalding (1981). Σύμφωνα με το σχήμα αυτό, το Σελ. 70

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ σύνολο των κελιών του υπολογιστικού πλέγματος ομαδοποιείται σε μεγαλύτερα κελιά που εκτείνονται κατά τη x και y διεύθυνση και ονομάζονται slabs. Αυτά στοιβάζονται κατά τη z διεύθυνση του πεδίου ολοκλήρωσης καλύπτοντας όλο το χώρο ολοκλήρωσης. Ένα πλήρες πέρασμα (sweep) ξεκινά την επίλυση από το χαμηλότερο slab (αυτό που αντιστοιχεί στη μικρότερη τιμή του z), επιλύει για όλες τις μεταβλητές φ, και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι την επίλυση του ψηλότερου slab του πεδίου ενδιαφέροντος. Αυτή η διαδικασία περασμάτων επαναλαμβάνεται μέχρις ότου επιτευχθεί σύγκλιση τους αλγόριθμου επίλυσης (Θεολόγος, 1994). Η επαναληπτική μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία ονομάζεται ADI (Alternating Direction Implicit), υποστηρίζεται από το λογισμικό PHOENICS και είναι γενικά προτιμότερη των άλλων μεθόδων, καθώς επιτρέπει την ταχύτερη διασπορά των οριακών συνθηκών σε όλο το πεδίο. Είναι μέθοδος επίλυσης γραμμή προς γραμμή και χρησιμοποιήθηκε για τους όρους της ταχύτητας, ενώ για τη μάζα (πίεση P1) χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος πλήρους πεδίου (Μαρκάτος & Ασημακόπουλος, 1995; Ξενίδου, 2011). Κατά τη μέθοδο αυτή το αρχικό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων μετατρέπεται σε ένα σύνολο τριδιαγώνιων συστημάτων (αλγόριθμος Thomas) (Hoffman, 1992). 6.4 Σύγκλιση Στόχος είναι η λήψη ικανοποιητικών και ρεαλιστικών αποτελεσμάτων όσον αφορά τα φυσικά μεγέθη που διέπουν το φαινόμενο και τις εξισώσεις που επιλύονται. Προϋπόθεση της επιτυχούς λύσης του εκάστοτε προβλήματος με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων ελέγχου είναι η επίτευξη σύγκλισης. Η σύγκλιση είναι το αποτέλεσμα της μετάθεσης του λάθους και της εξάλειψής του στα όρια. Το αριθμητικό πρόβλημα θεωρείται ότι έχει συγκλίνει όταν: Έχει επιτευχθεί η απαιτούμενη ακρίβεια, δηλαδή η πτώση των υπολοίπων (residuals) κάτω από μία τιμή που έχει προεπιλεχθεί από το χρήστη και εκφράζει την απαιτούμενη ακρίβεια της σύγκλισης. Τα υπόλοιπα καθορίζονται για κάθε μεταβλητή που επιλύεται στο σύνολο των κόμβων του πλέγματος. Έχει επιτευχθεί η σταθεροποίηση της τιμής της μεταβλητής που επιλύεται, σε συγκεκριμένο σημείο (spot value), κατά τη διάρκεια των διαδοχικών επαναλήψεων. Σελ. 71

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Υπάρχει ανεξαρτησία λύσης από το πλέγμα και από το χρόνο, που σημαίνει ότι η λύση έχει επιτευχθεί για κάποιο πλέγμα και χρόνο αν αυτή δε μεταβάλλεται κατά την περαιτέρω πύκνωση του πλέγματος και των χρονικών βημάτων, αντίστοιχα. Ικανοποιούνται τα ισοζύγια μάζας, ορμής και ενέργειας, συνολικά σε όλο το πεδίο ροής. Το κριτήριο αυτό είναι η απαίτηση για τη σωστή επίλυση των εξισώσεων. 6.5 Τεχνικές υποχαλάρωσης Για την καλύτερη σύγκλιση και την αποφυγή μεγάλων διακυμάνσεων των μεταβλητών ανάμεσα σε δύο διαδοχικές επαναλήψεις, που θα μπορούσαν να προκαλέσουν απόκλιση της λύσης, χρησιμοποιείται η τεχνική της υποχαλάρωσης. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιήθηκαν η γραμμική υποχαλάρωση και η χαλάρωση ψευδοχρονικού βήματος (PHOENICS, 2010) Γραμμική υποχαλάρωση Στη γραμμική υποχαλάρωση, κατά την επαναληπτική διαδικασία ακολουθείται η εξής διαδικασία (PHOENICS, 2008): Όπου:, η νέα τιμή της μεταβλητής φ στους κόμβους του πλέγματος, η τιμή της μεταβλητής φ στην προηγούμενη επανάληψη στον ίδιο κόμβο του πλέγματος, ο συντελεστής υποχαλάρωσης Χαλάρωση ψευδοχρονικού βήματος Στα πραγματικά μεταβατικά προβλήματα, η χρονική διακριτοποίηση δρα σα χαλαρωτικός όρος. Τα χρονικώς εξαρτημένα προβλήματα δηλαδή ενέχουν υποχαλάρωση, η οποία ελέγχεται μεταβάλλοντας το βήμα της χρονικής διακριτοποίησης Δt. Έχοντας αυτό σαν Σελ. 72

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ιδέα, μπορούμε να εισάγουμε ψευδο χρονική εξάρτηση με το να προσθέσουμε στο δεξί μέλος των εξισώσεων μεταφοράς ένα ψευδο μεταβατικό όρο (PHOENICS, 2008): Όπου:, το εμβαδόν του όγκου ελέγχου, η μάζα στο εσωτερικό του όγκου ελέγχου, το ψευδοχρονικό βήμα Μικρή τιμή του ισχυροποιεί τον όρο ψευδο χρονικής χαλάρωσης και η νέα τιμή είναι πολύ κοντά στην προηγούμενη, ενώ μεγάλο ελαχιστοποιεί τον όρο και τις επιδράσεις του. Η χαλάρωση είναι μια διαδικασία αρκετά εξειδικευμένη στο εκάστοτε πρόβλημα, δε μπορεί δηλαδή κανείς με ασφάλεια να δώσει γενικευμένες συμβουλές ή οδηγίες, οι οποίες να εφαρμόζονται παντού. Εμπειρία και δοκιμές είναι ο μόνος σίγουρος τρόπος για να βελτιστοποιηθεί η επίδρασή της, αλλά και πάλι για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ειδικά για τον κώδικα που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία, μπορούμε να προσθέσουμε πως στην πίεση εφαρμόζουμε μόνο γραμμική χαλάρωση, ενώ για τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας της κάθε φάσης εφαρμόζουμε τη ψευδο χρονική χαλάρωση. Το υπολογίζεται, σα γενικός κανόνας, συνήθως αναλογικά με μια χρονική κλίμακα του προβλήματός μας. Στην περίπτωση μας: 6.6 Επίλυση του υδροδυναμικού πεδίου Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται για την επίλυση του υδροδυναμικού πεδίου του προβλήματος της διφασικής ροής αερίου υγρού ονομάζεται IPSA (InterPhase Slip Algorithm). Ο IPSA είναι ένας αλγόριθμος ο οποίος προβλέπει τα αποτελέσματα που επιφέρει μια αλλαγή σε μία τοπική ιδιότητα της μίας φάσης στις ιδιότητες της άλλης φάσης στην ίδια θέση (τοποθεσία). Σελ. 73

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Κατά τα μέσα και τέλη του 1970, ο Spalding άρχισε να επεκτείνει τους αλγόριθμους τύπου SIMPLE στις πολυφασικές ροές (Artemov et al., 2009). Οι ερευνητικές προσπάθειες του πρωτοπόρου Spalding οδήγησαν στις αρχές του 1980 στη δημιουργία του αλγόριθμου IPSA (InterPhase Algorithm, γνωστός και ως InterPhase Slip Analyser). Ο αλγόριθμος IPSA είναι ένας Eulerian Eulerian αλγόριθμος ο οποίος εφαρμόζεται στα διφασικά συστήματα και αποτελεί ουσιαστικά μια επέκταση του αλγόριθμου SIMPLE, ο οποίος χρησιμοποιείται για τη μελέτη μονοφασικών ροών (Spalding, 1980; Spalding, 1981; Patankar, 1980). Αρχικά, ο αλγόριθμος IPSA χρησιμοποιήθηκε για τη μελέτη διφασικών ροών, αλλά στη συνέχεια επεκτάθηκε και στις πολυφασικές ροές. Ο IPSA εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στη μελέτη διφασικής ροής ατμού νερού σε γεννήτριες ατμού, και παρουσιάστηκε κατά τη διάρκεια ενός σεμιναρίου στο Dubrovnik της πρώην Γιουγκοσλαβίας (Markatos et al., 1978). Ο Spalding θεώρησε ότι οι δύο φάσεις είναι συνεχή μέσα που αλληλοδιεισδύονται και αναμιγνύονται. Σε κάθε όγκο ελέγχου του πλέγματος (υπολογιστικό κελί) είναι δυνατόν να υπάρχουν και οι δύο φάσεις (π.χ. υγρό και αέριο). Σε κάθε κελί του πλέγματος η κατανομή των δύο φάσεων γίνεται βάση μιας συγκέντρωσης κατ όγκο της κάθε φάσης (κλάσμα όγκου). Ένα τέτοιο μοντέλο δε μπορεί να περιγράψει τον τρόπο με τον οποίο οι δύο φάσεις κατανέμονται σε τοπικό επίπεδο. Με άλλα λόγια, το κλάσμα όγκου δεν επιτρέπει τη διάκριση ανάμεσα στις μεγάλες ποσότητες υγρού και στις φυσαλίδες. Επομένως, η απλότητα του αλγόριθμου IPSA αλλά και η κύρια αδυναμία του οφείλονται στο κλάσμα όγκου. Ο Spalding παρουσίασε ορισμένες αλλαγές προκειμένου να ξεπεραστεί η αδυναμία της μεθόδου (Spalding, 1981). Για τα διφασικά συστήματα, ο Spalding πρότεινε δύο σετ εξισώσεων διατήρησης, ένα για κάθε φάση. Οι εξισώσεις αυτές είναι παρόμοιες με τις εξισώσεις που χρησιμοποιούνται στις μονοφασικές ροές, εκτός από το ότι εισάγονται επιπλέον όρη που περιγράφουν την αλληλεπίδραση των δύο φάσεων. Η μέθοδος IPSA υιοθετήθηκε πολύ γρήγορα από πολλούς ερευνητές από όλο τον κόσμο. Παραλλαγές της μεθόδου IPSA αποτελούν τη βάση για όλους σχεδόν τους εμπορικούς κώδικες Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής που χρησιμοποιούνται για τη μελέτη των πολυφασικών ροών. Ο αλγόριθμος IPSA περιέχεται στο λογισμικό PHOENICS, το οποίο χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα εργασία για την προσομοίωση της διφασικής ροής αερίου υγρού (Artemov et al., 2009; Markatos, 1986). Πριν προχωρήσουμε στην επίλυση των εξισώσεων που πρότεινε ο Spalding, θα πρέπει να απαντήσουμε στο εξής ερώτημα: πώς θα προσδιορίσουμε την κατανομή της πίεσης, δεδομένου ότι για τα διφασικά συστήματα υπάρχουν δύο εξισώσεις συνέχειας, στις οποίες όμως δεν εμφανίζεται καθόλου η πίεση (Pak & Lee, 1997). Η απάντηση βρίσκεται Σελ. 74

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ στο γεγονός ότι η μέθοδος IPSA θεωρεί ότι σε κάθε όγκο ελέγχου, οι δύο φάσεις έχουν την ίδια πίεση (κοινή πίεση) (Pak & Lee, 1997; Iguchi & Ilegbusi, 2010). Αν και η ιδέα της κοινής πίεσης των δύο φάσεων είναι θεμελιώδης για την επίλυση των εξισώσεων, ο αλγόριθμος IPSA παρέχει τη δυνατότητα προσδιορισμού δύο διαφορετικών πιέσεων, μία για κάθε φάση, με την προϋπόθεση ότι υπάρχει μία αλγεβρική σχέση όπου η πίεση της μίας φάσης είναι συνάρτηση της άλλης πίεσης της δεύτερης φάσης. Έτσι, οι εξισώσεις συνέχειας των δύο φάσεων επιλύονται προκειμένου να υπολογιστούν τα κλάσματα όγκου, και στη συνέχεια ακολουθείται μία διαδικασία ανάλογη του αλγόριθμου SIMPLE, όπου γίνεται εκτίμηση ενός πεδίου πίεσης (κοινή πίεση) και διόρθωση αυτού μέχρι οι ταχύτητες που προκύπτουν και για τις δύο φάσεις, να ικανοποιούν τις εξισώσεις συνέχειας (Artemov et al., 2009; Markatos, 1986). Σε κάθε χρονικό βήμα, η διαδικασία της επίλυσης με βάση τον αλγόριθμο IPSA προχωρά σύμφωνα με τα ακόλουθα στάδια: 1. Υπολογισμός των κλασμάτων όγκου r l και r g, της υγρής και της αέριας φάσης αντίστοιχα, από τις δύο εξισώσεις συνέχειας, με παράλληλη εξασφάλιση της ισότητας r l + r g = Εκτίμηση ενός κοινού πεδίου πίεσης, και υπολογισμός των συνιστωσών των ταχυτήτων των δύο φάσεων από την επίλυση των εξισώσεων ορμής. 3. Εισαγωγή των τιμών των r l, r g, και των ταχυτήτων στις εξισώσεις συνέχειας με σκοπό τον υπολογισμό του σφάλματος σε κάθε υπολογιστικό κελί. 4. Διαφόριση της κοινής εξίσωσης συνέχειας ως προς την πίεση με αποτέλεσμα την εμφάνιση γραμμικών εξισώσεων για τη διόρθωση της πίεσης. 5. Υπολογισμός της σωστής πίεσης μέσω του αλγόριθμου TDMA, με τον ίδιο τρόπο που ακολουθείται στον αλγόριθμο SIMPLE. 6. Διόρθωση των ταχυτήτων με παρόμοιο τρόπο με αυτόν που ακολουθείται στον αλγόριθμο SIMPLE. 7. Επανάληψη της προηγούμενης διαδικασίας μέχρι να μειωθούν αρκετά τα σφάλματα και να επιτευχθεί η σύγκλιση. 8. Μετάβαση στο επόμενο χρονικό βήμα, και επανάληψη όλων των σταδίων του αλγόριθμου IPSA, ξεκινώντας από το στάδιο 1. Σελ. 75

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 6.7 Διαδικασία επίλυσης μέσω του προγράμματος PHOENICS Ο τρόπος επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφηκε σε προηγούμενες παραγράφους, αποτελεί μέρος του προγράμματος PHOENICS. Το πρόγραμμα αυτό χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη διφασική ροή αερίου υγρού σε αντιδραστήρες ανάδευσης. Το λογισμικό PHOENICS, που κατασκευάστηκε από την εταιρεία CHAM, είναι ένας κώδικας ηλεκτρονικού υπολογιστή γενικής χρήσης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην προσομοίωση ενός μεγάλου εύρους φαινομένων ροής ρευστών, μεταφοράς θερμότητας και χημικών διεργασιών. Αποτελείται από τρία κυρίως τμήματα: το πρόγραμμα SATELLITE, το πρόγραμμα EARTH και την υπορουτίνα GROUND (Ξενίδου, 2011). Το πρόγραμμα SATELLITE είναι ένας προεπεξεργαστής ο οποίος χρησιμοποιείται για τον ορισμό του προβλήματος. Μέσω αυτού του προγράμματος προσδιορίζονται οι διαστάσεις του πεδίου ροής και το πλέγμα που θα χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος, οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που θα επιλυθούν και οι οριακές συνθήκες. Δίνονται επίσης στοιχεία που αφορούν τη μεθοδολογία σύγκλισης, όπως είναι οι αρχικές συνθήκες των μεταβλητών, ο αριθμός των επαναλήψεων και η απαραίτητη υποχαλάρωση. Το SATELLITE δέχεται τις εντολές από το χρήστη με τους εξής τρόπους: 1. Διαβάζοντας ένα αρχείο εντολών που λέγεται Q1, το οποίο ο χρήστης έχει προκατασκευάσει. 2. Κάνοντας χρήση ενός αρχείου εντολών από τη βιβλιοθήκη. 3. Με άμεση αλληλεπίδραση χρήστη προγράμματος μέσω πληκτρολογίου. 4. Με κάποιο συνδυασμό των παραπάνω τρόπων. Ο SATTELITE μετά την επεξεργασία των δεδομένων που δέχθηκε, παράγει το αρχείο δεδομένων EARDAT το οποίο διαβάζεται από το πρόγραμμα EARTH. Το πρόγραμμα EARTH είναι ένας επεξεργαστής ο οποίος χρησιμοποιείται για την επίλυση των εξισώσεων. Ο EARTH μετά την επίλυση των εξισώσεων δημιουργεί το αρχείο εξόδου RESULT, το οποίο μπορεί να διαβάσει ο χρήστης και να δει τα αποτελέσματα της προσομοίωσής του (Ξενίδου, 2011). Η υπορουτίνα GROUND είναι μία υπορουτίνα γραμμένη σε γλώσσα προγραμματισμού FORTRAN, η οποία μπορεί να συνδεθεί με το πρόγραμμα EARTH. Η κύρια λειτουργία του GROUND είναι να παρέχει την πληροφόρηση που αφορά φαινόμενα τα οποία δε μπορούν να καλυφθούν από τη χρήση του προγράμματος SATELLITE. Τέτοια Σελ. 76

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ πληροφόρηση μπορεί να αφορά τις ιδιότητες των ρευστών, μη γραμμικές οριακές συνθήκες, ρυθμούς χημικών αντιδράσεων και όρους πηγών. Τέλος, το πρόγραμμα PHOENICS περιλαμβάνει και τον κώδικα PHOTON που είναι ένας γραφικός επεξεργαστής. Στο σχήμα 6.2 που ακολουθεί παριστάνεται γραφικά η συνεργασία και η αλληλεξάρτηση μεταξύ των βασικών και των βοηθητικών κωδίκων. Σχήμα 6.2 : Το λογισμικό PHOENICS Διάγραμμα Ροής. Σελ. 77

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 6.8 Βιβλιογραφικές αναφορές Ελληνόγλωσσες Θεολόγος, Κ.Ν. (1994), Προσομοίωση διεργασιών καταλυτικής πυρόλυσης, Διδακτορική διατριβή, ΕΜΠ, Αθήνα. Καραδήμου, Δ.Π. (2008), Προσομοίωση φυσικού αερισμού σε γεωμετρία κτηριακής κλίμακας με Τεχνικές Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής, Μεταπτυχιακή Εργασία, ΕΜΠ, Αθήνα. Μαρκάτος, Ν. (1988), Υπολογιστική Ρευστομηχανική, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα. Μαρκάτος, Ν. & Ασημακόπουλος, Δ. (1995), Υπολογιστική Ρευστοδυναμική, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα. Ξενίδου, Θ.Χ. (2011), Το λογισμικό PHOENICS, υποστηρικτικό υλικό του μαθήματος Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών και Όγκων Ελέγχου, ΕΜΠ, Αθήνα. Παπαγεωργίου, Γ.Σ. & Τσίτουρας, Χ.Γ. (2004), Αριθμητική Ανάλυση με εφαρμογές σε Matlab και Mathematica, 3 η έκδοση, Εκδόσεις Συμεών, Αθήνα Ξενόγλωσσες Artemov, V., Beale, S.B., de Vahl Davis, G., Escudier, M.P., Fueyo, N., Launder, B.E., Leonardi, E., Malin, M.R., Minkowycz, W.J., Patankar, S.V., Pollard, A., Rodi, W., Runchal, A. & Vanka, S.P. (2009), A tribute to D.B. Spalding and his contributions in science and engineering, International Journal of Heat and Mass Transfer, 52, Hoffman, J.D. (1992), Numerical Methods for Engineers and Scientists, Mc Graw Hill, New York. Iguchi, M. & Ilegbusi, O.J. (2010), Modeling Multiphase Materials Processes, Gas Liquid Systems, Springer. Jakobsen, H.A. (2007), Chemical Reactor Modeling Multiphase Reactive Flows, Springer, Verlog Berlin and Heidelberg GmbH & Co. KG Σελ. 78

87 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Josue Mora Acosta (2001), Numerical Algorithms for Three Dimensional Computational Fluid Dynamic Problems, Doctoral Thesis, Universidad Politecnica de Catalunya, Spain. Karadimou, D.P., Stavrakakis, G.M. & Markatos, N.C. (2009), Computational prediction of airflow and thermal comfort in naturally ventilated real scale buildings. In: Nemecek, J. & Schulz, P. (Eds.), Buildings and the Environment, Nova Science Publishers Inc., ISBN: , pp Markatos, N.C. (1983), Computer simulation of turbulent fluid flow in chemical reactors, Adv. Eng. Software, Vol.5, No.1, pp Markatos, N.C. (1986), Modelling of two phase transient flow and combustion of granular propellants, Int. J. Multiphase Flow, Vol. 12, No. 6, pp Markatos, N.C. (1989), Computational fluid flow capabilities and software, Iron making and Steelmaking, 16 (4), pp Markatos, N.C. (1993), Mathematical Modelling of Single and Two Phase Flow Problems in the Process Industries, Revue de l Institute Français du Petrole, 48 (6), pp Markatos, N.C. & Moult, A. (1979), The computation of steady and unsteady turbulent, chemically reacting flows in axisymmetrical domains, Trans. Instn. Chem. Engrs., 57, No.3, pp Markatos, N.C., Moult, A., Phelps, P.J. & Spalding, D.B. (1978), The calculation of steady three dimensional two phase flow and heat transfer in steam generators. Proc. ICHMT Seminar 1978, Dubrovnik, Yugoslavia, pp Pak, E.T. & Lee, J.C. (1997), Performance and pressure distribution changes in a centrifugal pump under two phase flow. In: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part A: Journal of Power and Energy, Vol. 212, pp Patankar, S.V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flows, Hemisphere, Washington D.C. Σελ. 79

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Patankar, S.V. & Spalding, D.B. (1972), A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in parabolic flows, Int. J. Heat Mass Transfer, 15, pp PHOENICS (2008), POLIS Encyclopaedia Index: Convergence Monitoring and Control, CHAM, London, UK. PHOENICS (2010), VR Reference Guide: Documentation for Phoenics (TR 326), Version 2010, CHAM, London, UK. Spalding, D.B. (1980), Numerical computation of multi phase flow and heat transfer, in: C. Taylor (Ed.), Recent Advances in Numerical Methods in Fluids, Pineridge Press, pp Spalding, D.B. (1981), IPSA, New Developments and Computed Results, HTS/81/2, Imperial College, London. Spalding, D.B. (1981), The calculation of free convection phenomena in gas liquid mixtures. In: D.B. Spalding & N. Afgan (Eds.), Heat Transfer & Turbulent Buoyant Convection, vol.2, Hemisphere, Washington D.C. Stavrakakis, G.M., Koukou, M.K., Vrachopoulos, M.Gr & Markatos, N.C. (2008), Natural cross ventilation in buildings: Building scale experiments, numerical simulation and thermal comfort evaluation, Energy Buildings, 40, pp Versteeg, H.K. & Malalasekera, W. (1996), An Introduction to Computational Fluid Dynamics, The Finite Volume Method, Longman. Σελ. 80

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 7.1 Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται η διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυση του προβλήματος της προσομοίωσης διφασικής ροής αερίου υγρού που λαμβάνει χώρα σε ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα (3D) συνεχούς λειτουργίας και πλήρους ανάμιξης, καθώς επίσης και τα αποτελέσματα της προσομοίωσης. 7.2 Η μαθηματική επίλυση του προβλήματος Η διαδικασία που ακολουθείται για την επίλυση του προβλήματος περιλαμβάνει τα εξής στάδια: 1. Σχεδιασμός της γεωμετρίας του πεδίου Το πρώτο στάδιο περιλαμβάνει το σχεδιασμό του αντιδραστήρα, η γεωμετρία του οποίου περιγράφεται αναλυτικά στο Κεφάλαιο 4. Ο αντιδραστήρας που μελετάται στην παρούσα εργασία είναι ο πειραματικός αντιδραστήρας των Yang et al. (2000). 2. Χωρική διακριτοποίηση Το πρώτο βήμα για τη δημιουργία του πλέγματος είναι η υποδιαίρεση του πεδίου σε μικρότερα υποχωρία με βάση τη γεωμετρία του, με σκοπό να κατασκευαστεί δομημένο πλέγμα. Το δεύτερο βήμα είναι η εφαρμογή του πλέγματος. Στο πεδίο εφαρμόστηκε πλέγμα που αποτελείται από εξάεδρα στοιχειώδη κελιά κυλινδρικού συστήματος συντεταγμένων και επιβλήθηκε συγκεκριμένος βαθμός ανομοιομορφίας, με στόχο την πύκνωση του πλέγματος στις περιοχές με σημαντικές μεταβολές των μεγεθών (δομημένο ανομοιόμορφο πλέγμα πολλαπλών υποχωρίων).

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3. Χρονική διακριτοποίηση Πέρα από τη χωρική διακριτοποίηση, η εύρεση της προσεγγιστικής αριθμητικής λύσης των εξισώσεων που περιγράφουν τη διφασική ροή του προβλήματος προϋποθέτει και τη χρονική διακριτοποίηση. Κατά τη χρονική διακριτοποίηση, έγινε η υποδιαίρεση της χρονικής διάρκειας σε πεπερασμένα χρονικά βήματα Δt. Σε κάθε χρονικό βήμα πραγματοποιείται ένας συγκεκριμένος αριθμός επαναλήψεων. 4. Μαθηματική επίλυση Προσομοίωση της διφασικής ροής Το πρόβλημα της διφασικής ροής αερίου υγρού της παρούσας εργασίας προσεγγίζεται μαθηματικά (μοντελοποιείται) με τις εξισώσεις που περιγράφονται στο Κεφάλαιο 5. Η επίλυση του μαθηματικού προβλήματος πραγματοποιείται με την εφαρμογή της αριθμητικής μεθόδου των πεπερασμένων όγκων ελέγχου και του αλγόριθμου IPSA, όπως περιγράφονται στο Κεφάλαιο 6, στο ανεξάρτητο, τόσο ως προς το χώρο όσο και ως προς το χρόνο, πλέγμα του προβλήματος. Η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων πραγματοποιείται με επαναληπτικές μεθόδους επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, οι οποίες περιγράφονται στο Κεφάλαιο 6. Για τη μοντελοποίηση της διφασικής ροής εφαρμόστηκε η προσέγγιση του ολισθαίνοντος πλέγματος (sliding mesh approach), η οποία περιγράφεται στο Κεφάλαιο Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης Στις επόμενες ενότητες που ακολουθούν παρουσιάζονται τα αποτελέσματα του προβλήματος ως εξής: Ανεξαρτησία λύσεως από το πλέγμα Παρουσιάζεται η διαδικασία εύρεσης του ανεξάρτητου πλέγματος ως προς το χώρο, το χρόνο και τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα, για τον αντιδραστήρα του προβλήματος. Βέλτιστα πλέγματα Παρουσιάζονται οι όψεις του ανεξάρτητου πλέγματος του αντιδραστήρα σε τρι- και δι-διάστατο επίπεδο. Σελ. 82

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διανύσματα ταχύτητας Παρουσιάζονται τα διαγράμματα που εμφανίζουν τα διανύσματα της ταχύτητας και των δύο φάσεων, σε διαμήκη τομή και σε τομή επί της κάτοψης του αντιδραστήρα με εφαρμογή των μοντέλων τύρβης: standard k ε μοντέλο, μοντέλο k ε με κατάλληλη προσθήκη για τη συνεισφορά του ιξώδους που οφείλεται στην κίνηση των φυσαλίδων και RNG k ε μοντέλο. Κατανομές των κλασμάτων όγκου Παρουσιάζονται οι κατανομές των κλασμάτων όγκου της υγρής και της αέριας φάσης στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Κατανομές της κινητικής ενέργειας της τύρβης Παρουσιάζονται οι κατανομές της κινητικής ενέργειας της τύρβης στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα Ανεξαρτησία λύσεως από το πλέγμα Για τον καθορισμό της ανεξαρτησίας της λύσης, ως προς το χώρο, οι Yang et al. (2000) δοκίμασαν διάφορα πλέγματα και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι το ανεξάρτητο πλέγμα αποτελείται από κελιά ( 34 κελιά στη θ διεύθυνση, 30 κελιά στη r διεύθυνση και 50 κελιά στη z διεύθυνση). Το σημείο ως προς το οποίο οι Yang et al. (2000) εξέτασαν την πύκνωση του πλέγματος είναι κρίσιμο. Το σημείο αυτό θεωρείται κρίσιμο, διότι βρίσκεται στην περιοχή άμεσου ενδιαφέροντος, δηλαδή ανάμεσα στις δύο φτερωτές του αντιδραστήρα και πολύ κοντά στο ακροφύσιο εισόδου του αέρα. Στην παρούσα εργασία δεν εξετάσθηκε η ανεξαρτησία της λύσης ως προς το χώρο, αλλά υιοθετήθηκε το ανεξάρτητο πλέγμα των Yang et al. (2000), λόγω του ήδη μεγάλου αριθμού κελιών του συγκεκριμένου πλέγματος ( κελιά). Για να εξασφαλιστεί η ανεξαρτησία της λύσης ως προς το χρόνο εξετάσθηκαν τρία διαφορετικά πεπερασμένα χρονικά βήματα Δt. Επιπλέον, μελετήθηκε και η ανεξαρτησία της λύσης ως προς τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Για το σκοπό αυτό εξετάσθηκαν τρεις διαφορετικοί αριθμοί επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι ο συνολικός χρόνος λειτουργίας του αντιδραστήρα ισούται με t = 3 sec. Όλες οι περιπτώσεις ανεξαρτησίας της λύσης που μελετήθηκαν στην παρούσα εργασία συνοψίζονται στον πίνακα 7.1 που ακολουθεί: Σελ. 83

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Πίνακας 7.1: Μελέτη της ανεξαρτησίας της λύσης ως προς τον αριθμό των χρονικών βημάτων και ως προς τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Αριθμός επαναλήψεων ανά Αριθμός χρονικών βημάτων (N) και μήκος χρονικού βήματος (Δt) χρονικό βήμα (SN) Ν = 800, Δt = 3, s SN = 10, 15, 20 Ν = 1000, Δt = s SN = 10, 15, 20 Ν = 1200, Δt = 2, s SN = 10, 15, 20 Στα διαγράμματα που ακολουθούν, παρουσιάζονται οι κατανομές των μεταβλητών της ταχύτητας στη z διεύθυνση και στη r διεύθυνση (U1 z, V1 z, W1 z, U1 r, V1 r, W1 - r), του κλάσματος όγκου στη z διεύθυνση και στη r διεύθυνση (R1 z, R1 r) και της πίεσης στη z διεύθυνση και στη r διεύθυνση (P1 z, P1 r), ως προς το κρίσιμο σημείο που σχολιάστηκε προηγουμένως, για τους διάφορους αριθμούς χρονικών βημάτων και για τους διάφορους αριθμούς επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Όλες οι κατανομές των μεταβλητών που παρουσιάζονται αφορούν στην υγρή φάση. Οι αντίστοιχες κατανομές των μεταβλητών της αέριας φάσης, δεν παρουσιάζονται στα διαγράμματα που ακολουθούν, καθώς οδηγούν στα ίδια συμπεράσματα. Στο σημείο αυτό αξίζει να σημειωθεί ότι στην εργασία των Yang et al. (2000) δεν αναφέρεται κάτι σχετικό με την ανεξαρτησία της λύσης ως προς το χρόνο ή/και τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Οι Yang et al. (2000) έλυσαν το πρόβλημα με τη μέθοδο SEM (Scalar Equation Method) και θεώρησαν 1000 χρονικά βήματα και 7 επαναλήψεις ανά χρονικό βήμα για τις προσομοιώσεις τους Ανεξαρτησία λύσεως ως προς τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα Για 800 χρονικά βήματα: Κατανομές ταχυτήτων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας U1, V1 και W1 κατά τη z διεύθυνση δεν επηρεάζονται σημαντικά από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Οι όποιες μικροδιαφορές, εντοπίζονται κυρίως στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα (0,08m < z < 0,18m), όπου παρατηρούνται έντονες Σελ. 84

93 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ κλίσεις της ταχύτητας, μικρές και μεγάλες δίνες, και έντονες διαταραχές. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται SN = 10. Κατά τη y διεύθυνση, οι συνιστώσες U1 και W1 δεν επηρεάζονται σημαντικά από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Ωστόσο, στην περίπτωση της συνιστώσας V1 παρατηρούνται σημαντικές μεταβολές ως προς τον αριθμό SN στην περιοχή του αγωγού ελκυσμού (0,017m < y < 0,037m). Για το λόγο αυτό προτείνεται SN = 20. 0,70 Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,10 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 U1 (m/s) 1,10 1,30 1,50 1,70 Σχήμα 7.1: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Σελ. 85

94 Z (m) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 0,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,40 0,00 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80 V1 (m/s) Σχήμα 7.2: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 SN=10 SN=15 SN=20 0,70 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-1,20-1,00-0,80-0,60-0,40-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 W1 (m/s) Σχήμα 7.3: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Σελ. 86

95 V1 (m/s) U1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 SN=10 SN=15 SN=20 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00-0,200,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.4: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 1,60 SN=10 SN=15 SN=20 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,40 0,20 0,00 0,00-0,20 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,40 Y (m) Σχήμα 7.5: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Σελ. 87

96 W1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 1,00 SN=10 SN=15 SN=20 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50-1,00-1,50-2,00 Y (m) Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y Σχήμα 7.6: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Κατανομές κλασμάτων όγκων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, τόσο κατά τη z διεύθυνση όσο και κατά τη y διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται SN = 10. Σελ. 88

97 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 0,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 Σχήμα 7.7: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) R1 Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 1,00 SN=10 SN=15 SN=20 0,90 0,80 0,70 0,60 R1 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.8: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Σελ. 89

98 P1 (Pa) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομές πιέσεων Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 800 SN=10 SN=15 SN=20 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-260,00-220,00-180,00-140,00-100,00-60,00-20,00 20,00 60,00 100,00 140,00 180,00 P1 (Pa) Σχήμα 7.9: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 0,00 SN=10 SN=15 SN=20-20,000,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-40,00-60,00-80,00-100,00-120,00-140,00-160,00-180,00-200,00-220,00-240,00-260,00-280,00-300,00-320,00 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y Y (m) Σχήμα 7.10: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=800) Σελ. 90

99 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Για 1000 χρονικά βήματα: Κατανομές ταχυτήτων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας U1, V1 και W1 κατά τη z διεύθυνση δεν επηρεάζονται σημαντικά από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Οι όποιες μικροδιαφορές, εντοπίζονται κυρίως στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα (0,08m < z < 0,18m), όπου παρατηρούνται έντονες κλίσεις της ταχύτητας, μικρές και μεγάλες δίνες, και έντονες διαταραχές. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται SN = 10. Κατά τη y διεύθυνση, οι συνιστώσες U1 και W1 δεν επηρεάζονται σημαντικά από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Ωστόσο, στην περίπτωση της συνιστώσας V1 παρατηρούνται σημαντικές μεταβολές ως προς τον αριθμό SN στην περιοχή του αγωγού ελκυσμού (0,017m < y < 0,037m). Για το λόγο αυτό προτείνεται SN = 20. Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00-0,10 U1 (m/s) Σχήμα 7.11: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Σελ. 91

100 Z (m) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-0,40 0,10 0,60 1,10 1,60 2,10 2,60 V1 (m/s) Σχήμα 7.12: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 1000 SN=10 SN=15 SN=20 0,70 0,60 0,50 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00-1,20-1,00-0,80-0,60-0,40-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 W1 (m/s) Σχήμα 7.13: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Σελ. 92

101 V1 (m/s) U1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,50 SN=10 SN=15 SN=20 3,00 2,50 2,00 1,50 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 1,00 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50 Y (m) Σχήμα 7.14: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,80 SN=10 SN=15 SN=20 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00-0,20 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,40 Y (m) Σχήμα 7.15: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Σελ. 93

102 W1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 SN=10 SN=15 SN=20 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50-1,00-1,50-2,00 Y (m) Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y Σχήμα 7.16: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Κατανομές κλασμάτων όγκων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, τόσο κατά τη z διεύθυνση όσο και κατά τη y διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται SN = 10. Σελ. 94

103 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 Σχήμα 7.17: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) R1 Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 SN=10 SN=15 SN=20 R1 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.18: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Σελ. 95

104 P1 (Pa) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομές πιέσεων Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 1000 SN=10 SN=15 SN=20 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-300,00-250,00-200,00-150,00-100,00-50,00 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00-0,10 P1 (Pa) Σχήμα 7.19: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 SN=10 SN=15 SN=20 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-50,00-100,00-150,00-200,00-250,00-300,00-350,00 Y (m) Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y Σχήμα 7.20: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1000) Σελ. 96

105 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Για 1200 χρονικά βήματα: Κατανομές ταχυτήτων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας U1 και V1 κατά τη z διεύθυνση δεν επηρεάζονται σημαντικά από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Έντονες διαφορές, εντοπίζονται στη συνιστώσα W1 κυρίως στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα (0,15m < z < 0,30m). Επομένως, προτείνεται SN = 20. Κατά τη y διεύθυνση, η συνιστώσα W1 δεν επηρεάζεται σημαντικά από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Ωστόσο, στην περίπτωση των συνιστωσών U1 και V1 παρατηρούνται σημαντικές μεταβολές ως προς τον αριθμό SN στην περιοχή του αγωγού ελκυσμού (0,017m < y < 0,037m). Για το λόγο αυτό προτείνεται SN = 20. Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 U1 (m/s) Σχήμα 7.21: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Σελ. 97

106 Z (m) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 V1 (m/s) Σχήμα 7.22: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 1200 SN=10 SN=15 SN=20 0,70 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-1,20-1,00-0,80-0,60-0,40-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 W1 (m/s) Σχήμα 7.23: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Σελ. 98

107 V1 (m/s) U1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 SN=10 SN=15 SN=20 2,50 2,00 1,50 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 1,00 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50 Y (m) Σχήμα 7.24: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,60 SN=10 SN=15 SN=20 1,40 1,20 1,00 0,80 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,20 Y (m) Σχήμα 7.25: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Σελ. 99

108 W1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 SN=10 SN=15 SN=20 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50-1,00-1,50-2,00 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y -2,50 Y (m) Σχήμα 7.26: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Κατανομές κλασμάτων όγκων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, τόσο κατά τη z διεύθυνση όσο και κατά τη y διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται SN = 10. Σελ. 100

109 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,70 SN=10 SN=15 SN=20 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 Σχήμα 7.27: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) R1 Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 SN=10 SN=15 SN=20 0,90 0,80 0,70 0,60 R1 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.28: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Σελ. 101

110 P1 (Pa) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομές πιέσεων Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: 1200 SN=10 SN=15 SN=20 0,70 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-300,00-250,00-200,00-150,00-100,00-50,00 0,00 50,00 100,00 150,00 P1 (Pa) Σχήμα 7.29: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός χρονικών βημάτων: ,00 SN=10 SN=15 SN=20-20,000,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-70,00-120,00-170,00-220,00-270,00-320,00-370,00 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y -420,00 Y (m) Σχήμα 7.30: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (TS=1200) Σελ. 102

111 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ανεξαρτησία λύσεως ως προς τον αριθμό των χρονικών βημάτων Για 10 επαναλήψεις ανά χρονικό βήμα: Κατανομές ταχυτήτων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας U1, V1 και W1 κατά τη z διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται TS = Κατά τη y διεύθυνση, η συνιστώσα W1 δεν επηρεάζεται από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Ωστόσο, οι συνιστώσες U1 και V1, και ιδιαίτερα η τελευταία παρουσιάζουν σημαντικές μεταβολές ως προς τον αριθμό TS στην περιοχή του αγωγού ελκυσμού (0,017 m < y < 0,037 m). Για το λόγο αυτό προτείνεται TS = Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 0,70 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,20 0,20 0,60 1,00 1,40 1,80 U1 (m/s) Σχήμα 7.31: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Σελ. 103

112 Z (m) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 0,70 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 V1 (m/s) Σχήμα 7.32: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,70 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-1,00-0,80-0,60-0,40-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 W1 (m/s) Σχήμα 7.33: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Σελ. 104

113 V1 (m/s) U1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 TS=800 TS=1000 TS=1200 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,200,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.34: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 1,60 TS=800 TS=1000 TS=1200 1,40 1,20 1,00 0,80 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,20 Y (m) Σχήμα 7.35: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Σελ. 105

114 W1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 1,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,20-0,200,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,60-1,00-1,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y -1,80 Y (m) Σχήμα 7.36: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Κατανομές κλασμάτων όγκων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, τόσο κατά τη z διεύθυνση όσο και κατά τη y διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται TS = Σελ. 106

115 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 0,70 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 Σχήμα 7.37: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) R1 Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 1,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,90 0,80 0,70 0,60 R1 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.38: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Σελ. 107

116 P1 (Pa) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομές πιέσεων Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-300,00-250,00-200,00-150,00-100,00-50,00 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 P1 (Pa) Σχήμα 7.39: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 10 20,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,00-20,000,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-40,00-60,00-80,00-100,00-120,00-140,00-160,00-180,00-200,00-220,00-240,00-260,00-280,00-300,00-320,00-340,00 Y (m) Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y Σχήμα 7.40: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=10) Σελ. 108

117 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Για 15 επαναλήψεις ανά χρονικό βήμα: Κατανομές ταχυτήτων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας U1, V1 και W1 κατά τη z διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται TS = Κατά τη y διεύθυνση, η συνιστώσα W1 δεν επηρεάζεται από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Ωστόσο, οι συνιστώσες U1 και V1, και ιδιαίτερα η τελευταία, παρουσιάζουν σημαντικές μεταβολές ως προς τον αριθμό TS στην περιοχή του αγωγού ελκυσμού (0,017 m < y < 0,037 m). Για το λόγο αυτό προτείνεται TS = Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 0,70 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 U1 (m/s) Σχήμα 7.41: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Σελ. 109

118 Z (m) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 0,70 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 V1 (m/s) Σχήμα 7.42: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,70 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-1,00-0,80-0,60-0,40-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 W1 (m/s) Σχήμα 7.43: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Σελ. 110

119 V1 (m/s) U1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 3,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 2,50 2,00 1,50 1,00 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50 Y (m) Σχήμα 7.44: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 1,60 TS=800 TS=1000 TS=1200 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,40 0,20 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,20 Y (m) Σχήμα 7.45: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Σελ. 111

120 W1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 1,00 Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50-1,00-1,50 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y -2,00 Y (m) Σχήμα 7.46: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Κατανομές κλασμάτων όγκων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, τόσο κατά τη z διεύθυνση όσο και κατά τη y διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται TS = Σελ. 112

121 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 0,70 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 Σχήμα 7.47: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) R1 Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 1,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,90 0,80 0,70 0,60 R1 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.48: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Σελ. 113

122 P1 (Pa) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομές πιέσεων Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,70 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-300,00-250,00-200,00-150,00-100,00-50,00 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 P1 (Pa) Σχήμα 7.49: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 15 50,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-50,00-100,00-150,00-200,00-250,00-300,00-350,00 Επίπεδο y - z Y (m) Επίπεδο x - y Σχήμα 7.50: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=15) Σελ. 114

123 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Για 20 επαναλήψεις ανά χρονικό βήμα: Κατανομές ταχυτήτων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι οι συνιστώσες της ταχύτητας U1 και V1 κατά τη z διεύθυνση δεν επηρεάζονται σημαντικά από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Έντονες διαφορές, εντοπίζονται στη συνιστώσα W1 κυρίως στην κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα (0,15 m < z < 0,30 m). Επομένως, προτείνεται TS = Κατά τη y διεύθυνση, η συνιστώσα W1 δεν επηρεάζεται σημαντικά από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Ωστόσο, στην περίπτωση των συνιστωσών U1 και V1, και ιδιαίτερα της τελευταίας, παρατηρούνται σημαντικές μεταβολές ως προς τον αριθμό TS στην περιοχή του αγωγού ελκυσμού (0,017 m < y < 0,037 m). Για το λόγο αυτό προτείνεται TS = ,70 Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 U1 (m/s) Σχήμα 7.51: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Σελ. 115

124 Z (m) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 0,70 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-0,40 0,00 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80 3,20 V1 (m/s) Σχήμα 7.52: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,70 0,60 0,50 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,30 0,20 0,10 0,00-1,20-1,00-0,80-0,60-0,40-0,20 0,00 0,20 0,40 0,60 W1 (m/s) Σχήμα 7.53: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Σελ. 116

125 V1 (m/s) U1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας U του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 3,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50 Y (m) Σχήμα 7.54: Η κατανομή της ταχύτητας U του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Συνιστώσα της ταχύτητας V του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 1,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,80 0,60 0,40 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,20 Y (m) Σχήμα 7.55: Η κατανομή της ταχύτητας V του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Σελ. 117

126 W1 (m/s) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Συνιστώσα της ταχύτητας W του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 1,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,50 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-0,50-1,00-1,50-2,00 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y -2,50 Y (m) Σχήμα 7.56: Η κατανομή της ταχύτητας W του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Κατανομές κλασμάτων όγκων Από τα διαγράμματα που ακολουθούν, προκύπτει ότι η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, τόσο κατά τη z διεύθυνση όσο και κατά τη y διεύθυνση δεν επηρεάζονται από τον αριθμό των χρονικών βημάτων. Επομένως, από τη σκοπιά του υπολογιστικού κόστους προτείνεται TS = Σελ. 118

127 Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 0,70 Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 Σχήμα 7.57: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) R1 1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 Κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 TS=800 TS=1000 TS=1200 R1 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y (m) Σχήμα 7.58: Η κατανομή του κλάσματος όγκου R του υγρού, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Σελ. 119

128 P1 (Pa) Z (m) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομές πιέσεων Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 Επίπεδο y - z Επίπεδο x - y 0,20 0,10 0,00-250,00-200,00-150,00-100,00-50,00 0,00 50,00 100,00 150,00 P1 (Pa) Σχήμα 7.59: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα z, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Κατανομή της πίεσης P στην περιοχή της άνω φτερωτής Αριθμός επαναλήψεων ανά χρονικό βήμα: 20 50,00 TS=800 TS=1000 TS=1200 0,00 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-50,00-100,00-150,00-200,00-250,00 Επίπεδο y - z Y (m) Επίπεδο x - y Σχήμα 7.60: Η κατανομή της πίεσης, ως προς τον άξονα y, στην περιοχή της άνω φτερωτής (SN=20) Σελ. 120

129 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Από τα προηγούμενα διαγράμματα , προκύπτει ότι για 1200 χρονικά βήματα και για 15 επαναλήψεις ανά χρονικό βήμα το φαινόμενο της διφασικής ροής αερίου υγρού περιγράφεται ικανοποιητικά. Αξίζει να παρατηρηθεί ότι τα αποτελέσματα αυτά είναι παρόμοια με τα αντίστοιχα των Yang et al. (2000) (1000 χρονικά βήματα και 7 επαναλήψεις ανά χρονικό βήμα) Βέλτιστα πλέγματα Το ανεξάρτητο πλέγμα το οποίο χρησιμοποιήθηκε για τη μαθηματική επίλυση του προβλήματος απεικονίζεται στα σχήματα που ακολουθούν. Σχήμα 7.61: Όψη συνολικού πλέγματος στο επίπεδο Y Z Σελ. 121

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 7.62: Όψη συνολικού πλέγματος στο επίπεδο X Z Σελ. 122

131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 7.63: Όψη συνολικού πλέγματος στο επίπεδο X Y Σελ. 123

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 7.64: Όψη πλέγματος στην κρίσιμη περιοχή στο επίπεδο Y Z Σελ. 124

133 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 7.65: Όψη πλέγματος στην κρίσιμη περιοχή στο επίπεδο X Z Σελ. 125

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 7.66: Όψη πλέγματος στην κρίσιμη περιοχή στο επίπεδο X Y Σελ. 126

135 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 7.67: Όψη συνολικού πλέγματος χωρίς εσωτερικά αντικείμενα στο επίπεδο Z Y Σχήμα 7.68: Όψη συνολικού πλέγματος χωρίς εσωτερικά αντικείμενα στο επίπεδο X Y Σελ. 127

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διανύσματα ταχύτητας Στα διαγράμματα που ακολουθούν παρουσιάζονται τα διανύσματα ταχύτητας της υγρής και της αέριας φάσης στα επίπεδα y z, x z και x y για ταχύτητα εισόδου του αέρα στον αντιδραστήρα ίση με V2 = - 10 m/s και με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Σε όλες τις περιπτώσεις οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 1200 rpm. Από τα πεδία ροής των ταχυτήτων των δύο φάσεων που βρίσκονται στο αναδευόμενο δοχείο παρατηρούμε το σχηματισμό δύο βρόχων κυκλοφορίας ρευστού γύρω από τις δύο φτερωτές και μία σχετικά περιορισμένη κυκλοφορία του ρευστού στο πάνω μέρος του αγωγού ελκυσμού. Στην περιοχή των δύο φτερωτών εντοπίζονται οι πιο έντονες μεταβολές των διανυσμάτων των ταχυτήτων των δύο ρευστών και παρατηρούνται σχετικά υψηλές ταχύτητες, οι οποίες προσεγγίζουν την περιφερειακή ταχύτητα περιστροφής των φτερωτών. Η περιοχή αυτή χαρακτηρίζεται από τις έντονες συνθήκες ανάδευσης. Αντιθέτως, στις πιο απομακρυσμένες περιοχές, όπως για παράδειγμα στο πάνω μέρος του αγωγού ελκυσμού ή στην κορυφή του αναδευόμενου δοχείου, οι ταχύτητες του υγρού και του αερίου είναι πολύ μικρότερες. Έτσι, παρατηρούνται περιοχές με έντονη κυκλοφορία και άρα και έντονη ανάμιξη ή/και εναλλαγή ρευστού, και περιοχές με σχετικά περιορισμένη κυκλοφορία, όπου το ρευστό φαίνεται να είναι κάπως στάσιμο. Επιπλέον, παρατηρούνται σημαντικές μεταβολές στην τοπική διαφορική κλίση της ταχύτητας (ρυθμός διάτμησης) τόσο στο εσωτερικό του αγωγού ελκυσμού όσο και γύρω από αυτόν, και συγκεκριμένα στην περιοχή που σχηματίζεται από τα πλευρικά τοιχώματα του δοχείου, τα εξωτερικά τοιχώματα του αγωγού ελκυσμού και τον πυθμένα του δοχείου. Μετά την είσοδο του αέρα στον αντιδραστήρα από το ακροφύσιο εισόδου, οι φυσαλίδες συμπαρασύρονται από τη ροή του υγρού μέσα στην κύρια μάζα του υγρού, σχηματίζοντας τη διασπορά του αερίου στο υγρό. Η διασπορά αυτή υπόκειται σε διατμητικές τάσεις, ειδικά στην περιοχή των δύο φτερωτών. Από την κατεύθυνση των διανυσμάτων των ταχυτήτων προκύπτει ότι οι δύο αναδευτήρες λειτουργούν ουσιαστικά ως αντλίες: αναρροφούν το ρευστό από κάποια πλευρά και το εκτινάσσουν από κάποια άλλη. Αναλυτικότερα, η κεντρική δίνη του αερίου συμπαρασύρεται από την περιστροφική κίνηση της άνω φτερωτής, και στη συνέχεια τραβιέται προς τα κάτω στη δεύτερη φτερωτή. Με τη σειρά της, η κάτω φτερωτή διανέμει το αέριο μέσα στο υγρό. Σελ. 128

137 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διάγραμμα 7.69: Διάνυσμα ταχύτητας της υγρής φάσης στο επίπεδο Y Z με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Διάγραμμα 7.70: Διάνυσμα ταχύτητας της αέριας φάσης στο επίπεδο Y Z με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Σελ. 129

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διάγραμμα 7.71: Διάνυσμα ταχύτητας της υγρής φάσης στο επίπεδο X Z με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Διάγραμμα 7.72: Διάνυσμα ταχύτητας της αέριας φάσης στο επίπεδο X Z με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Σελ. 130

139 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διάγραμμα 7.73: Διάνυσμα ταχύτητας της υγρής φάσης στο επίπεδο X Y με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Διάγραμμα 7.74: Διάνυσμα ταχύτητας της αέριας φάσης στο επίπεδο X Y με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Σελ. 131

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διάγραμμα 7.75: Διάνυσμα ταχύτητας της υγρής φάσης στο επίπεδο Y Z με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Η κόκκινη μπάλα αντιστοιχεί στο σημείο όπου παρατηρείται η μέγιστη ταχύτητα. Διάγραμμα 7.76: Διάνυσμα ταχύτητας της αέριας φάσης στο επίπεδο Y Z με εφαρμογή του συμβατικού μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Η κόκκινη μπάλα αντιστοιχεί στο σημείο όπου παρατηρείται η μέγιστη ταχύτητα. Σελ. 132

141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Κατανομές των κλασμάτων όγκου Στα διαγράμματα που ακολουθούν παρουσιάζονται οι κατανομές των κλασμάτων όγκου της υγρής και της αέριας φάσης στα επίπεδα y z, x z και x y με εφαρμογή του μοντέλου τύρβης k ε. Απεικονίζεται μόνο η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Εξετάστηκαν τρεις περιπτώσεις: 1. οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 800 rpm. 2. οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 1000 rpm. 3. οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 1200 rpm. Διάγραμμα 7.77: Κατανομή του κλάσματος όγκου της υγρής φάσης στο επίπεδο Y Z. Οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 800 rpm. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Σελ. 133

142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διάγραμμα 7.78: Κατανομή του κλάσματος όγκου της υγρής φάσης στο επίπεδο X Z. Οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 800 rpm. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Διάγραμμα 7.79: Κατανομή του κλάσματος όγκου της υγρής φάσης στο επίπεδο X Y. Οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 800 rpm. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Σελ. 134

143 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διάγραμμα 7.80: Κατανομή του κλάσματος όγκου της υγρής φάσης στο επίπεδο Y Z. Οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 1000 rpm. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Σελ. 135

144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Διάγραμμα 7.81: Κατανομή του κλάσματος όγκου της υγρής φάσης στο επίπεδο X Z. Οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 1000 rpm. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Διάγραμμα 7.82: Κατανομή του κλάσματος όγκου της υγρής φάσης στο επίπεδο X Y. Οι φτερωτές περιστρέφονται με ταχύτητα 1000 rpm. Απεικονίζεται η κρίσιμη περιοχή του αντιδραστήρα. Σελ. 136