ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟΜΗΧΑΝΩΝ ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΙΞΩΔΟΥΣ ΤΥΡΒΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ REYNOLDS ΣΕ ΕΠΙΛΥΤΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΡΟΩΝ ΒΛΑΧΟΣΤΕΡΓΙΟΣ ΖΗΝΩΝ MSc. Μηχανολόγος Μηχανικός Α.Π.Θ. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 9

2

3 Ευχαριστίες Η ολοκλήρωση μιας διδακτορικής διατριβής αποτελεί ένα σημαντικό επίτευγμα που αντικατοπτρίζει τις προσπάθειες και τους κόπους πολλών ετών συστηματικού και εντατικού ερευνητικού έργου. Λόγω των εγγενών δυσκολιών που εμπεριέχει μια τέτοια προσπάθεια, είναι εξαιρετικής σημασίας η άριστη συνεργασία σε υψηλό επιστημονικό επίπεδο. Κατά συνέπεια και στην περίπτωση αυτή, η θετική και επιτυχής έκβαση της παρούσας εργασίας κατέστη δυνατή χάρη στην αμέριστη στήριξη, συμπαράσταση και αρμονική συνεργασία του υποφαινόμενου και των μελών του Εργαστηρίου Μηχανικής Ρευστών και Στροβιλομηχανών του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ. Για το λόγο αυτό αισθάνομαι την υποχρέωση να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ κ. Απόστολο Γούλα για την πολύτιμη βοήθεια που μου παρείχε σε όλη τη διάρκεια της διδακτορικής διατριβής και χωρίς την οποία δε θα ήταν δυνατή η επιτυχής έκβαση της ερευνητικής προσπάθειας που πραγματοποιήθηκε. Ταυτόχρονα, θα ήθελα να τον ευχαριστήσω ειλικρινά για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε και την ευκαιρία που μου έδωσε για περαιτέρω και εκ βαθέως ενασχόληση με το ερευνητικό έργο στο ανώτατο επίπεδο, με την ανάθεση στο πρόσωπό μου του θέματος της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τα υπόλοιπα μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής. Τους Καθηγητές του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ κ. Νικόλαο Μουσιόπουλο και κ. Ζήση Σαμαρά για τη βοήθεια και τις συμβουλές τους. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή του Πανεπιστημίου του Manchester και Επίτιμο Διδάκτορα του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ κ. Brian Launder για τις καθοδηγητικές συμβουλές και υποδείξεις του στην ανάπτυξη των μοντέλων τύρβης. Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω ολόψυχα τον Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ κ. Κύρο Υάκινθο για τη στήριξη, τις γνώσεις σε θέματα ρευστομηχανικής που μου προσέφερε όλα αυτά τα χρόνια μέσα από τη συνεργασία σε επίπεδο δασκάλου-μαθητή και τη φιλία του. Επίσης, τον ευχαριστώ για το ρυθμό εργασίας και τον επαγγελματισμό που μου έμαθε να έχω, μέσα από τις συχνές συναντήσεις και τις εκθέσεις προόδου, δίνοντάς μου την ευκαιρία να τελειώσω μέσα στα απαιτούμενα χρονικά πλαίσια. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον Επίκουρο Καθηγητή του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του ΑΠΘ κ. Ανέστη Κάλφα για τη βοήθεια και τις συμβουλές του που μου προσέφερε απλόχειρα. Επίσης, ευχαριστώ και τα υπόλοιπα μέλη του Εργαστηρίου Μηχανικής Ρευστών και Στροβιλομηχανών και συγκεκριμένα τους Δρ. Δημήτρη Μισηρλή και Χρήστο Αλμπανάκη, τους Διπλ. Μηχ. Μηχ. Ιωάννη Αιδαρίνη, Αναστάσιο Σωτηρόπουλο, Κοσμά Κρητικό, Αθανάσιο Σιδερίδη και Ανέστη Τσορμπατζίδη. Πέρα όμως από την επιστημονική συνεργασία θα ήθελα να ευχαριστήσω όλα τα μέλη του Εργαστηρίου Μηχανικής Ρευστών και Στροβιλομηχανών του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών, κυρίως, για την ειλικρινή διάθεση συνεργασίας και την εμπιστοσύνη με την οποία με περιέβαλαν και η οποία πιστεύω ότι βοήθησε τα μέγιστα στην απόκτηση ενός ολοκληρωμένου και αποτελεσματικού τρόπου σκέψης. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω από βάθος ψυχής την οικογένειά μου και όλους τους φίλους μου για την υπομονή που έδειξαν και για την συμπαράσταση και την ηθική και υλική στήριξη που μου παρείχαν όλο αυτό διάστημα. Ζήνων Βλαχοστέργιος 3

4 Η παρούσα διδακτορική διατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια ερευνητικού προγράμματος με τίτλο Διερεύνηση διατάξεων εναλλακτών θερμότητας σε ακροφύσια καυσαερίων αεροπορικών κινητήρων για τη μείωση των ρύπων. Το έργο συγχρηματοδοτείται 75% της Δημόσιας Δαπάνης από την Ευρωπαϊκή Ενωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο καθώς και από τον Ιδιωτικό Τομέα, MTU Aero Engines Gmbh, Munich, Germany 5% της Δημόσιας Δαπάνης από το Ελληνικό Δημόσιο Υπουργείο Ανάπτυξης Γενική Γραμματεία Ερευνας και Τεχνολογίας στο πλαίσιο του Μέτρου 8.3 του Ε.Π. Ανταγωνιστικότητα Γ Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης. 4

5 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο... 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο... 3 ΤΥΡΒΩΔΕΙΣ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΤΥΡΒΗΣ Εισαγωγή - Γενικά Το low-reynolds μοντέλο τύρβης Launder Sharma Το low-reynolds μη-γραμμικό μοντέλο τύρβης CLS Μοντελοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς των τάσεων Reynolds Μοντελοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς των τάσεων Reynolds στο μοντέλο τύρβης του Craft Διασπορά των τάσεων Reynolds ε ij στο μοντέλο τύρβης του Craft Οι συσχετίσεις Φ ij μεταξύ των τάσεων και των διακυμάνσεων της πίεσης Οι συσχετίσεις Φ ij μεταξύ των τάσεων και των διακυμάνσεων της πίεσης στο μοντέλο τύρβης του CRAFT (συσχέτιση πίεσης-τάσεων) Μοντελοποίηση της διάχυσης D ij Μοντελοποίηση της τυρβώδους διάχυσης t D ij στο μοντέλο τύρβης του Craft Η εξίσωση μεταφοράς της διασποράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης ε% για το μοντέλο RSM του Craft ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΟΡΙΑΚΩΝ ΣΤΡΩΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ Το γραμμικό μοντέλο ιξώδους τύρβης και στρωτής κινητικής ενέργειας (k-ε-k laminar ) Το γραμμικό μοντέλο k-ω-k laminar Το προτεινόμενο μη-γραμμικό μοντέλο k-ε-k laminar ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΤΥΡΒΩΔΕΙΣ ΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ ΣΤΑΘΜΙΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ (FAVRE - AVERAGING) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΜΗΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΓΙΑ ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΜΟΡΙΑΚΟ ΙΞΩΔΕΣ (Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ SUTHERLAND) ΤΥΡΒΩΔΗ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΕ ΣΥΜΠΙΕΣΤΕΣ ΡΟΕΣ ΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΥΡΒΗΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΘΗΚΑΝ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΡΟΩΝ Το γραμμικό low-reynolds μοντέλο ιξώδους τύρβης των Launder- Sharma για συμπιεστές ροές Το μη-γραμμικό low-reynolds μοντέλο ιξώδους τύρβης των Craft Launder και Suga για συμπιεστές ροές To low-reynolds μοντέλο RSM του CRAFT για συμπιεστές ροές ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΟΓΚΩΝ) ΤΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΧΗΜΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ZHU ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIP (STRONGLY IMPLICIT PROCEDURE) Ο ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLE Η εισαγωγή των φαινομένων συμπιεστότητας στον υπολογισμό της πίεσης Οριακές συνθήκες στα διηχητικά και υπερηχητικά προβλήματα Υποηχητική έξοδος Υπερηχητική έξοδος

6 4.5 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΕΠΙΛΥΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ T3L ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΡΟΪΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ T3L ΜΕ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΑΣΕΩΝ REYNOLDS ΤΟΥ CRAFT Λεπτομέρειες της υπολογιστικής μοντελοποίησης Έλεγχος της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα... 9 (Grid Dependency Study) Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις Συμπεράσματα ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΡΟΪΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΤΩΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ T3L ΜΕ ΤΟΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΤΟΥ ΜΗ- ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ CLS ΜΕ ΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΗΣ ΣΤΡΩΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ Λεπτομέρειες της υπολογιστικής μοντελοποίησης - Έλεγχος της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα (Grid Dependency Study) Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΑΣ 9 Ο Λεπτομέρειες της υπολογιστικής μοντελοποίησης Έλεγχος της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα... 4 (Grid Dependency Study) Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις Αριθμητικά αποτελέσματα στη θέση των 45 ο Αριθμητικά αποτελέσματα στη θέση D Αριθμητικά αποτελέσματα στη θέση D ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΗΧΗΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ ΔΙΑΧΥΤΗ Αριθμητικά αποτελέσματα ΡΟΗ ΣΕ ΠΤΕΡΥΓΑ ΔΕΛΤΑ Μοντελοποίηση της ροής σε πτέρυγα Δέλτα Αριθμητικά αποτελέσματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο... 5 ΣΥΝΟΨΗ, ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ... 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

7 Κεφάλαιο ο Εισαγωγή Ένα από τα βασικότερα και δύσκολα προβλήματα που αντιμετωπίζει ο μελετητής μηχανικός, είναι η σωστή πρόβλεψη των ρευστομηχανικών φαινομένων που από τη φύση τους είναι πολυσύνθετα. Μέχρι σήμερα, εκτός από την πειραματική προσέγγιση, έχουν αναπτυχθεί πολλές αριθμητικές μεθοδολογίες για την επίλυση των ρευστομηχανικών προβλημάτων με αρκετά θετικά και αρνητικά στοιχεία που αφορούν τόσο την εύκολη ενσωμάτωση τους σε ένα υπολογιστικό κώδικα επίλυσης όσο και τη ρεαλιστική φυσική απεικόνιση του εκάστοτε προβλήματος και του πεδίου ροής από το οποίο περιγράφεται. Το μεγάλο πρόβλημα που αντιμετωπίζουν οι ερευνητές είναι η κατάλληλη απεικόνιση των τυχαίων φαινομένων του πεδίου ροής που ονομάζεται τύρβη. Η τύρβη είναι τρισδιάστατη, χρονικά εξαρτώμενη και διέπεται από έντονη ακανόνιστη κίνηση και στροβιλότητα. Η πρώτη προσπάθεια μοντελοποίησης και περιγραφής της τύρβης έγινε από τον Leonardo Da Vinci το 495, ο οποίος περιέγραψε μέσα από τους πίνακές του τον τρόπο εξέλιξης των δομών της τύρβης και έδωσε μια αρχική περιγραφή της ενεργειακής απώλειας και της μεταφοράς της ενέργειας από τις μεγάλες δίνες στις μικρότερες. Παρόλα αυτά δεν είχε προτείνει κάποια μαθηματική έκφραση της κίνησης των ρευστών. Τον 7 ο και 8 ο αιώνα, οι I. Newton, L. Euler, D. Bernoulli και J. d Alembert πρότειναν ένα μαθηματικό μοντέλο περιγραφής της κίνησης των ρευστών αλλά για ατριβείς ροές, ροές με αμελητέο το μοριακό ιξώδες, βασισμένοι στον δεύτερο νόμο του Ι. Newton. Η μαθηματική περιγραφή ενός πραγματικού ρευστού έγινε τον 9 ο αιώνα από τους L. M. H. Navier, J. B. Fourier, B. De St. Venant και G. G. Stokes. Παρόλο που η μαθηματική ανάλυση ήταν συνεπής ως προς την περιγραφή και των δυνάμεων λόγω του μοριακού ιξώδους του ρευστού, οι τυρβώδεις διακυμάνσεις των ροών δεν ήταν δυνατόν να περιγραφούν και να ενσωματωθούν στο τελικό μαθηματικό μοντέλο. Το πρώτο ολοκληρωμένο μαθηματικό μοντέλο περιγραφής της συμπεριφοράς των δομών της τύρβης, δόθηκε τον 9 ο και ο αιώνα από τους O. Reynolds, L. Prandtl, T. Von Karman και τον G. I. Taylor. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, τα φυσικά μεγέθη που αντιπροσωπεύουν τα τυρβώδη φαινόμενα μπορούν με τη βοήθεια της στατιστικής να περιγραφούν από τη χρονική μέση τιμή και την τυχαία διακύμανσή τους. Οι τελικές εξαγόμενες μαθηματικές σχέσεις βασιζόταν στη φυσική του συνεχούς μέσου και στα βασικά αξιώματα που διέπουν τις τυρβώδεις ροές και αναλύονται στο επόμενο κεφάλαιο. Αν και οι τελικές εξισώσεις έδιναν μια αρχική περιγραφή των ροϊκών φαινομένων η ανάπτυξη ενός πλήρους μοντέλου τύρβης δεν είχε ολοκληρωθεί. Η μοντελοποίηση της τύρβης, αποτελεί ένα βασικό στοιχείο της ανάπτυξης και εξέλιξης της υπολογιστικής ρευστομηχανικής, όπως αντίστοιχα η ανάπτυξη μεθοδολογιών διακριτοποίησης του χώρου (grid generation), καθώς και η ανάπτυξη κατάλληλων αλγορίθμων επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη ροή. Ο βασικός στόχος των μοντέλων τύρβης είναι η δημιουργία κατάλληλων μαθηματικών εκφράσεων, εμπειρικών και μη, οι οποίες μπορούν να περιγράφουν όσο το δυνατόν ακριβέστερα τα σύνθετα στοχαστικά φαινόμενα που διέπουν τις τυρβώδεις ροές. 7

8 Οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός πραγματικού ρευστού είναι οι στιγμιαίες εξισώσεις μεταφοράς ορμής που ισχύουν για κάθε χρονική στιγμή (στιγμιαίες εξισώσεις Navier Stokes). Επειδή η άμεση επίλυση των εξισώσεων είναι απαγορευτική από θέμα υπολογιστικής ισχύς με τους σημερινούς συμβατικούς υπολογιστές, προκύπτει η ανάγκη περιγραφής του ροϊκού πεδίου με τη βοήθεια των μέσων τιμών των αγνώστων μεγεθών και κατά κύριο λόγο των ταχυτήτων. Οι τελικές εξισώσεις μεταφοράς που προκύπτουν με τη βοήθεια στατιστικής ανάλυσης και περιγράφουν την κίνηση του ρευστού, έχουν σαν άγνωστες μεταβλητές τις μέσες τιμές της ταχύτητας. Το μεγάλο και σημαντικότερο μειονέκτημα αυτής της προσέγγισης είναι ότι από τη στατιστική επεξεργασία δημιουργούνται άγνωστες συσχετίσεις των στιγμιαίων διακυμάνσεων των ταχυτήτων μεγαλύτερης τάξης από αυτή των βασικών αγνώστων μεταβλητών. Για να προσδιοριστούν οι άγνωστες συσχετίσεις, απαιτείται κατάλληλη μοντελοποίησή τους με μαθηματικές σχέσεις και μοντέλα. Τα μαθηματικά αυτά μοντέλα πρέπει να είναι συνεπή τόσο ως προς τη μαθηματική τους έκφραση όσο και ως προς τη φυσική απεικόνιση των ροϊκών φαινομένων. Τα μοντέλα αυτά ονομάζονται μοντέλα τύρβης και προκύπτουν από τις στιγμιαίες εξισώσεις Navier-Stokes με κατάλληλη μαθηματική και στατιστική επεξεργασία, Wilcox (998), Γούλας (986) και Υάκινθος (5). Οι πρώτες προσπάθειες μοντελοποίησης των τυρβωδών διακυμάνσεων έγινε από τον Boussinesq το 877 ο οποίος πρότεινε έναν αντίστοιχο μηχανισμό περιγραφής τους με αυτόν της μοριακής διάχυσης. Οι τυρβώδεις διακυμάνσεις έχουν την υφή τάσεων λόγω μοριακού ιξώδους του ρευστού και ονομάζονται τάσεις Reynolds. Βασισμένος σε αυτή τη σκέψη, πρότεινε την ιδέα του ιξώδους της τύρβης που αποτελεί την πιο διαδεδομένη έκφραση μοντελοποίησης. Ο Prandtl τo 95, εισήγαγε τον ορισμό του μήκους ανάμιξης για να περιγράψει το ιξώδες της τύρβης. Για να βελτιώσει την ικανότητα της μελέτης των ιδιοτήτων των τυρβωδών ροών και να εξάγει μια πιο συνεπή μαθηματική περιγραφή για το ιξώδες της τύρβης, ο Prandtl το 945 πρότεινε ένα μαθηματικό μοντέλο σύμφωνα με το οποίο το ιξώδες της τύρβης είχε άμεση εξάρτηση από την κινητική ενέργεια της τύρβης k για την περιγραφή της οποίας κατέληξε σε μια διαφορική εξίσωση μεταφοράς. Παρόλα αυτά, ο ορισμός κάποιου χαρακτηριστικού μήκους παρέμενε, καθώς το μοριακό ιξώδες έχει διαστάσεις ταχύτητας επί μήκος και το ιξώδες της τύρβης απαιτεί για την περιγραφή του κάποιο χαρακτηριστικό μήκος που σχετίζεται με το μήκος των δινών του πεδίου ροής. Το ιδανικό μαθηματικό μοντέλο περιγραφής της τύρβης είναι αυτό που ενσωματώνει και περιγράφει την ουσία της φυσικής της, εισάγοντας όσο το δυνατόν λιγότερη πολυπλοκότητα, Spalart (). Η απλότητα των μαθηματικών εκφράσεων συνδυασμένη με την καθολική φυσική περιγραφή των τυρβωδών φαινομένων αποτελεί ένα σημαντικό πεδίο έρευνας και ανάπτυξης μέχρι τις μέρες μας. Ανάλογα με την ακρίβεια και την ποιότητα της μοντελοποίησης που γίνεται, εμφανίζονται διάφορες μορφές μοντέλων τύρβης. Το πρώτο σαφώς μαθηματικά ορισμένο μοντέλο τύρβης προτάθηκε από τον Kolmogorov το 94. Στην εξίσωση μεταφοράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης πρόσθεσε και την εξίσωση μεταφοράς μίας επιπλέον ποσότητας ω που σχετίζεται με το ρυθμό σκέδασης της ενέργειας ανά μονάδα όγκου και χρόνου. Η ποσότητα ω αντιπροσωπεύει έναν τυρβώδη χαρακτηριστικό χρόνο, η ποσότητα k είναι ανάλογη του ω απαιτούμενου χαρακτηριστικού μήκους και η ποσότητα kω εκφράζει τη σκέδαση της κινητικής ενέργειας της τύρβης που συμβολίζεται με ε. Το μοντέλο αυτό και γενικότερα τα αντίστοιχης μορφής μοντέλα τύρβης που εξήχθησαν μεταγενέστερα, ονομάζονται μοντέλα ιξώδους τύρβης (eddy viscocity models, EVM) δύο εξισώσεων. 8

9 Τα μοντέλα ιξώδους τύρβης υποθέτουν μια συναρτησιακή σχέση των τάσεων Reynolds με την παραμόρφωση και τη στροβιλότητα του ρευστού, η οποία ενσωματώνει την ιδέα του ιξώδους της τύρβης που έχει το ρόλο του συντελεστή αναλογίας στη σχέση τάσηςπαραμόρφωσης. Βασικό άγνωστο αποτελεί το ιξώδες της τύρβης, το οποίο είναι καθαρά υπολογιστικό μέγεθος και ισούται με το συνδυασμό της κινητικής ενέργειας της τύρβης, που η εξίσωση μεταφοράς της προκύπτει από μοντελοποίηση, και τη σκέδαση της κινητικής ενέργειας της τύρβης, που προκύπτει από στατιστική επεξεργασία. Η εξίσωση μεταφοράς της προκύπτει επίσης από μοντελοποίηση. Τα μοντέλα της κατηγορίας αυτής χωρίζονται στα γραμμικά και τα μη-γραμμικά. Τα συνθετότερα μη-γραμμικά διαφέρουν από τα γραμμικά μοντέλα στην πολυπλοκότητα των συναρτησιακών σχέσεων που συνδέουν την τάση με την παραμόρφωση. Ο συνδυασμός των γινομένων της στροβιλότητας και παραμόρφωσης των στοιχείων του ρευστού καθορίζουν την ακρίβεια και την πολυπλοκότητα των μη-γραμμικών μοντέλων. Από τη σύγκριση των δύο αυτών κατηγοριών μοντέλων ιξώδους τύρβης προκύπτει η σαφής υπεροχή των μη-γραμμικών, που αν και περιγράφονται από συνθετότερες μαθηματικές εκφράσεις, υπερτερούν στον υπολογισμό ροών σε πολυσύνθετες γεωμετρίες με έντονα φαινόμενα ανακυκλοφορίας, στροβιλότητας, έντονες καμπυλότητες και κλίσεις πίεσης και σημεία ανακοπής. Τέλος, λόγω της μη-γραμμικής έκφρασης των τάσεων Reynolds, προβλέπεται ορθά η ανισοτροπία των τυρβωδών κυρίων τάσεων, κάτι που είναι αδύνατο με τα γραμμικά μοντέλα τύρβης τα οποία υπολογίζουν αφύσικα ίδιες τιμές στις κύριες τυρβώδεις τάσεις σε απλές περιπτώσεις ροών. Τα EVM λόγω της απλότητάς τους, σε σχέση με τις άλλες αριθμητικές μεθόδους προσομοίωσης και μοντελοποίησης της τύρβης, είναι κατάλληλα για βιομηχανική χρήση και για γρήγορους υπολογισμούς επίλυσης ροών με μειωμένη όμως ακρίβεια. Οι Chou (945) και Rotta (95) θεμελίωσαν μία νέα προσέγγιση στη μοντελοποίηση της τύρβης η οποία δε χρησιμοποιεί τη σχέση του Boussinesq και το ιξώδες της τύρβης, αλλά χρησιμοποιεί εξισώσεις μεταφοράς για να περιγράψει όλα τα άγνωστα μεγέθη που απαιτούνται για την πλήρη περιγραφή ενός τυρβώδους πεδίου ροής και κατεπέκταση των τάσεων Reynolds. Τα μοντέλα τύρβης που προκύπτουν με αυτήν τη προσέγγιση αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως stress-transport models ή Reynolds stress models (RSM) ή second moment closures. Το πλεονέκτημα της χρησιμοποίησης ενός μοντέλου RSM, είναι ότι η επίλυση του κάθε στοιχείου του τανυστή των τάσεων, με ξεχωριστή εξίσωση μεταφοράς, επιτρέπει την πιο σωστή περιγραφή του συνολικού τρισδιάστατου φαινομένου της τύρβης και του συνολικού ροϊκού πεδίου, καθώς περιγράφει καλύτερα την ανισοτροπία των τάσεων Reynolds και την τρισδιάστατη φύση των τυρβωδών δινών. Παρόλα αυτά, το μεγάλο μειονέκτημα των μοντέλων αυτών είναι ότι απαιτούν πολύ καλή κατανόηση της φυσικής του φαινομένου καθώς προκύπτει το πρόβλημα της μοντελοποίησης περισσότερων όρων, οι οποίοι αν δεν μοντελοποιηθούν σωστά τα αποτελέσματα της επίλυσης αποκλίνουν τελικά από την πραγματικότητα. Συμπερασματικά παρόλο που τα μοντέλα RSM απεικονίζουν ρεαλιστικότερα το τελικό πεδίο επίλυσης καθώς είναι πιο καλά δομημένα από μαθηματικής και φυσικής άποψης, είναι πολύ πολύπλοκα, ασταθή, απαιτούν περισσότερη υπολογιστική ισχύ από τα απλούστερα μοντέλα ιξώδους τύρβης και συνεπώς δεν ενδείκνυται για βιομηχανική χρήση. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να αναφερθούν οι δύο βασικές κατηγορίες στις οποίες χωρίζονται τα μοντέλα τύρβης ανάλογα με τον τρόπο επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων της μοντελοποίησης. Η πρώτη δεν επιλύει τις εξισώσεις μεταφοράς ορμής μέχρι το τοίχωμα και τα όρια του πεδίου ροής, αλλά χρησιμοποιεί συναρτήσεις τοιχωμάτων οι οποίες ενσωματώνουν κάποιους εμπειρικούς νόμους, που ισχύουν σε πλήρως ανεπτυγμένες τυρβώδεις ροές για το στρωτό οριακό υπόστρωμα. Τα μοντέλα αυτά ονομάζονται μοντέλα υψηλού αριθμού Reynolds. Το αρνητικό σημείο της χρησιμοποίησής τους είναι ότι παρόλο που είναι πιο απλά 9

10 από πλευράς μαθηματικών και ενσωμάτωσης τους σε κάποιο υπολογιστικό κώδικα, δεν είναι σε θέση να περιγράψουν από φυσικής άποψης το ροϊκό πεδίο σε περιπτώσεις όπου το μοριακό ιξώδες κοντά στο τοίχωμα παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της ροής, όπως για παράδειγμα σε προβλήματα ροών με φαινόμενα μετάβασης του οριακού στρώματος από στρωτό σε τυρβώδες. Η δεύτερη κατηγορία, ολοκληρώνει τις διαφορικές εξισώσεις μεταφοράς μέχρι το τοίχωμα χρησιμοποιώντας κατάλληλες εξισώσεις απόσβεσης της τύρβης και κάποιους επιπλέον όρους στις προς επίλυση διαφορικές εξισώσεις. Τα μοντέλα αυτά ονομάζονται μοντέλα χαμηλού αριθμού Reynolds. H εξαγωγή και η ενσωμάτωση ενός μοντέλου χαμηλού αριθμού Reynolds σε έναν επιλυτή, απαιτεί πολύ καλή γνώση της φυσικής του φαινομένου κυρίως στην περιοχή της ροής κοντά στο τοίχωμα. Στην περιοχή αυτή η επίδραση του μοριακού ιξώδους του ρευστού και συνεπώς των δυνάμεων συνοχής του, παίζουν πολύ πιο σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της ροής σε σχέση με τις δυνάμεις αδράνειας μακριά από το οριακό στρώμα και το στρωτό οριακό υπόστρωμα. Το μεγάλο μειονέκτημα είναι ότι απαιτείται κατάλληλη πολύπλοκη μαθηματική μοντελοποίηση έτσι, ώστε η εγγύτητα των τοιχωμάτων να ενσωματωθεί σωστά από μαθηματικής και φυσικής άποψης στις προς επίλυση τελικές εξισώσεις ορμής. Η χρήση μοντέλων χαμηλού αριθμού Reynolds σε περιπτώσεις όπου η περιοχή που ενδιαφέρει το μελετητή έχει σχέση με μεταφορά θερμότητας ή περιπτώσεις μετάβασης και προσδιορισμού διατμητικών τάσεων, είναι αναπόφευκτη. Εκτός από τις προαναφερθείσες μεγάλες κατηγορίες μοντελοποίησης της σύγχρονης υπολογιστικής ρευστομηχανικής, υπάρχουν και κάποιες άλλες μαθηματικές προσεγγίσεις επίλυσης των τυρβωδών ροών. Οι προσεγγίσεις αυτές είναι ουσιαστικά μέθοδοι αριθμητικής προσομοίωσης και αναλύονται με συντομία στη συνέχεια. Η πρώτη ονομάζεται άμεση αριθμητική προσομοίωση (Direct Numerical Simulation, DNS). Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτή δεν απαιτείται η μοντελοποίηση κάποιων αγνώστων στατιστικών μεγεθών. Όλες οι άγνωστες κλίμακες των δομών της τύρβης που ζητούνται επιλύονται και προσδιορίζονται από τις στιγμιαίες εξισώσεις ορμής. Ο τρόπος με τον οποίο μεταφέρεται διαχέεται και αποδομείται η κινητική ενέργεια της τύρβης εξαρτάται από τη συμπεριφορά των μεγάλων και των μικρότερων δινών αντίστοιχα, Hartel (996). Το μεγάλο μειονέκτημα είναι ότι απαιτείται τεράστια υπολογιστική ισχύς για τον προσδιορισμό όλων των δομών της τύρβης που χρειάζεται να υπολογιστούν. Επειδή το φάσμα των απαιτούμενων δομών της τύρβης για την πλήρη επίλυση του ροϊκού πεδίου αυξάνει απότομα με την αύξηση του αριθμού Reynolds, η μεθοδολογία DNS εφαρμόζεται σε απλές ροές και για μικρούς αριθμούς Reynolds αφού στην αντίθετη περίπτωση απαιτούνται ακόμα πιο πυκνά πλέγματα επίλυσης και μικρότερο βήμα χρονικής διακριτοποίησης. Για αυτόν το λόγο η μεθοδολογία επίλυσης με DNS χρησιμοποιείται για να παρέχει βάση δεδομένων για την αξιολόγηση μοντέλων τύρβης και χρησιμοποιείται μόνο σαν εργαλείο για έρευνα και όχι για βιομηχανικές εφαρμογές. Η δεύτερη ονομάζεται προσομοίωση μεγάλων δινών (LES). Η τεχνική αυτή επιλύει χωρίς τη βοήθεια των παραδοχών της στατιστικής τις, μεγάλης κλίμακας, δομές της τύρβης που εμπεριέχουν και το μεγαλύτερο μέρος της τυρβώδους ενέργειας και συνεισφέρουν σε μεγαλύτερο ποσοστό στην παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας καθώς και στη μεταφορά μάζας και ορμής. Χρησιμοποιεί αρκετά πυκνό πλέγμα και μικρό βήμα χρονικής διακριτοποίησης για την περιγραφή των ασταθών μεγάλων δινών, αρκετά μεγαλύτερο σε σχέση με το DNS. Η επίδραση και τα τυρβώδη φαινόμενα των μικρότερων δινών που είναι υπεύθυνες για την σκέδαση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας μοντελοποιούνται ώστε τελικά να εφαρμοστεί η προσομοίωση για μεγάλους αριθμούς Reynolds και πολύπλοκες γεωμετρίες. Παρόλα αυτά και αυτή η μεθοδολογία προσομοίωσης δεν ενδείκνυται για βιομηχανικές εφαρμογές, καθώς απαιτεί με τη σειρά της αρκετή υπολογιστική ισχύ για τους

11 χρονοβόρους υπολογισμούς της επίλυσης και της αριθμητικής προσομοίωσης των μεγάλων δινών της ροής. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή γίνεται η ανάπτυξη και ενσωμάτωση εξελιγμένων μοντέλων τύρβης (EVM και RSM) σε έναν τρισδιάστατο παραλληλοποιημένο επιλυτή ροής. Τα πολύπλοκα φαινόμενα της στοχαστικής διακύμανσης των μεγεθών της ροής μοντελοποιούνται με τα αναπτυσσόμενα μοντέλα τύρβης, που είναι χαμηλού αριθμού Reynolds (EVM και RSM), ενώ γίνεται έλεγχος της αξιοπιστίας τους και άμεση σύγκριση των προς επίλυση μεταβλητών με διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα σε πολυσύνθετες ροές. Παράλληλα, εξάγεται ένα μη-γραμμικό μοντέλο ιξώδους τύρβης που βασίζεται σε βασικές αρχές μοντελοποίησης κυρίως για μεταβατικές ροές. Τέλος, ενσωματώνεται με κατάλληλες μεθοδολογίες και η μεταβολή της πυκνότητας ώστε να είναι δυνατή η εφαρμογή του επιλυτή και στην περιοχή των συμπιεστών ροών.

12

13 Κεφάλαιο ο Τυρβώδεις ασυμπίεστες ροές. Εξισώσεις μεταφοράς για ασυμπίεστες ροές Βασικά θεμέλια για τη μοντελοποίηση της τύρβης αποτελούν η εξίσωση της συνέχειας και οι εξισώσεις Navier-Stokes (N-S). Η μεθοδολογία εξαγωγής των εξισώσεων αυτών προϋποθέτει την ισχύ κάποιων βασικών αξιωμάτων του Stokeς που θεμελίωσε το 845, τα οποία αφορούν τις εσωτερικές τάσεις του ρευστού που αναπτύσσονται εξαιτίας των δυνάμεων συνοχής του μοριακού ιξώδους. Τα βασικά θεμελιώδη αξιώματα που πρέπει να ισχύουν για την κατάλληλη μαθηματική απεικόνιση της φυσικής των ροϊκών πεδίων είναι τα εξής:. Το ρευστό θεωρείται συνεχές, ισότροπο και ομογενές μέσο.. Η διάχυση της ταχύτητας λόγω ιξώδους είναι ανάλογη της κλίσης της ταχύτητας (ρυθμός παραμόρφωσης). 3. Όταν το ρευστό βρίσκεται σε ηρεμία, η τάση είναι υδροστατική. 4. Όταν το υπό εξέταση ροϊκό πρόβλημα είναι καθαρή διαστολή λόγω θερμοκρασίας, η μέση τάση είναι ίση με την πίεση (υπόθεση του Stokes). 5. Οι σταθερές του ρευστού εξάγονται από πειράματα (μοριακό δυναμικό ιξώδες μ και πυκνότητα ρ ). Εφόσον δεν παραβιάζονται αυτές οι παραδοχές, οι εξισώσεις ισχύουν τόσο για στρωτές όσο και για τυρβώδεις ροές, Ching et al. (998). Οι τελικές εξισώσεις ορμής των στιγμιαίων ταχυτήτων που περιγράφουν ένα ασυμπίεστο ροϊκό πεδίο είναι η εξίσωση της συνέχειας και οι στιγμιαίες εξισώσεις ορμής Navier-Stokes που σε τανυστική μορφή θα είναι: Εξίσωση συνέχειας: u x ' j j = (.) Στιγμιαίες εξισώσεις Navier-Stokes: ' ' ui ' ui p σ ij + u j = + t x ρ x ρ x j i j (.) Όπου σ ij είναι το αποκλίνον μέρος (deviatoric part) της τάσης που δημιουργείται λόγω του μοριακού ιξώδους και δίνεται από τη Νευτώνια σχέση σ = μs, όπου ij ij 3

14 ' ' u u i j ' Sij = + είναι ο τανυστής του ρυθμού παραμόρφωσης και u i η στιγμιαία x j x i ταχύτητα του ρευστού. Οι προαναφερθείσες παραδοχές και οι τελικές εξισώσεις αναφέρονται σε ασυμπίεστες ροές, συνεπώς, η πυκνότητα ρ και το μοριακό δυναμικό ιξώδες μ θεωρούνται σταθερά σε όλο το ροϊκό πεδίο. Οι εξισώσεις ορμής (.) και η εξίσωση της συνέχειας (.) αναφέρονται σε στιγμιαίες τιμές ταχυτήτων. Σύμφωνα με τη στάθμιση του Reynolds (Reynolds averaging), σε ένα τυρβώδες ροϊκό πεδίο οποιαδήποτε μεταβλητή της ροής f ' μπορεί να αναλυθεί σε μία μέση τιμή f και μία τυχαία διακύμανση f γύρω από τη μέση τιμή, f ' = f + f. H μέση τιμή της διακύμανσης είναι μηδέν, f = και η μέση τιμή του γινομένου δύο μεγεθών θα είναι f ' g' = fg + fg, Ching et al. (998). Εφαρμόζοντας την προαναφερθείσα διαδικασία στάθμισης του Reynolds στην εξίσωση συνέχειας και στις στιγμιαίες εξισώσεις ορμής, προκύπτουν οι αντίστοιχες εξισώσεις μεταφοράς που περιγράφουν τις μέσες τιμές των ταχυτήτων και δίνονται από τις σχέσεις: Εξίσωση συνέχειας: U x j j = (.3) Σταθμισμένες κατά Reynolds εξισώσεις Navier-Stokes: U j Ui P σ ij σ ij + U j = + t x ρ x ρ x x j i j j t (.4) όπου με κεφαλαία είναι τα μέσα μεγέθη πίεσης και ταχύτητας και ισχύει u' = U + u και p ' = P+ p. Οι εξισώσεις (.4) είναι οι σταθμισμένες κατά Reynolds Navier Stokes εξισώσεις ορμής (Reynolds Averaged Navier Stokes equations, RANS). Έχουν την ίδια μορφή με τις t στιγμιαίες εξισώσεις (.), με διαφορά τον τανυστή συσχετίσεων δεύτερης τάξης σ ij uu i j. Είναι εμφανές ότι οι εξισώσεις (.4) δεν μπορούν να επιλυθούν γιατί ο τανυστής των συσχετίσεων δεύτερης τάξης που είναι ένα καθαρά στατιστικό μέγεθος, είναι άγνωστος και συνεπώς το σύστημα των εξισώσεων δεν μπορεί να κλείσει. t Η ποσότητα σ ij uu i j, έχει διαστάσεις τάσεων και σε αντιστοιχία με τις τάσεις λόγω μοριακού ιξώδους αποτελεί τον τανυστή των τάσεων Reynolds ο οποίος εκφράζει τις τάσεις λόγω των τυρβωδών διακυμάνσεων. Βασικός στόχος των μοντέλων τύρβης είναι ο υπολογισμός των τυρβωδών διακυμάνσεων είτε μέσω απλών ή σύνθετων αλγεβρικών σχέσεων, είτε μέσω διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τη μεταφορά των συσχετίσεων uu i j. Οι τελικές εκφράσεις που θα προκύψουν θα προσδιορίσουν τον άγνωστο τανυστή των συσχετίσεων και συνεπώς θα κλείσουν το σύστημα των εξισώσεων (.3) και (.4). Σε συνδυασμό με τις εξισώσεις ορμής και την εξίσωση της συνέχειας θα δώσουν την τελική αριθμητική επίλυση του ροϊκού πεδίου προσδιορίζοντας όλες τις άγνωστες μεταβλητές της ροής. 4

15 . Μοντελοποίηση της τύρβης.. Εισαγωγή - Γενικά Οι άγνωστες συσχετίσεις δεύτερης τάξης που εμφανίζονται στο δεξί μέλος της εξίσωσης (.4) θα πρέπει με κατάλληλη ανάλυση να περιγραφούν μαθηματικά. Μια πρώτη μαθηματική περιγραφή δόθηκε από τον Boussinesq (877), σύμφωνα με την οποία οι τάσεις Reynolds είναι ανάλογες με την παραμόρφωση του ρευστού και δίνονται από τη σχέση: U U i uu i j = kδij vt + 3 x j xi j (.5) Όπου k είναι η κινητική ενέργεια της τύρβης και v t είναι το ιξώδες της τύρβης. Το ζητούμενο ιξώδες της τύρβης που αποτελεί και το βασικό άγνωστο για τα μοντέλα ιξώδους k τύρβης, δίνεται από μια σχέση της μορφής vt :, όπου ε είναι η σκέδαση της κινητικής ε ενέργειας της τύρβης. Η κινητική ενέργεια της τύρβης ορίζεται ως το ημιάθροισμα της κυρίας διαγωνίου του τανυστή των τάσεων Reynolds, k = uu. Η σκέδαση της κινητικής ενέργειας της τύρβης ε i i είναι στην ουσία ο ρυθμός με τον οποίο δαπανάται η κινητική ενέργεια της τύρβης και εκφράζει το ρυθμό με τον οποίο σκεδάζεται η κινητική ενέργεια από τις μεγάλες δίνες στις μικρότερες. Από τις θεμελιώδεις εξισώσεις ορμής (.), εξάγεται με στατιστική επεξεργασία μία εξίσωση μεταφοράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης από την οποία εξάγεται μία εξίσωση μεταφοράς της σκέδασης της κινητικής ενέργειας της τύρβης, Wilcox (). Οι τελικές εξισώσεις μεταφοράς που προκύπτουν αποτελούν τη βάση όλων των μοντέλων ιξώδους τύρβης δύο εξισώσεων k ε και έχουν την ακόλουθη γενική μορφή: Η εξίσωση του k : Dk U u i j uj = dk uu i j v Dt x j xi x i P k ε (.6) όπου: Dk : Ο όρος που εκφράζει τη συναγωγή και τη χρονική μεταβολή του k. Dt d : O όρος που εκφράζει τη διάχυση. k P k : Η παραγωγή της κινητικής ενέργειας της τύρβης. ε : Η σκέδαση της κινητικής ενέργειας τη τύρβης. Όλοι οι όροι της εξίσωσης (.6), εκτός από την παραγωγή της κινητικής ενέργειας της τύρβης, P, απαιτούνε μοντελοποίηση. Η συνολική διάχυση της κινητικής ενέργειας της k τύρβης d, αποδομείται σε τρεις βασικές συνιστώσες σύμφωνα με την εξίσωση (.7). Την k 5

16 t k τυρβώδη διάχυση d, τη διάχυση λόγω των δυνάμεων συνοχής του μοριακού ιξώδους p τη διάχυση λόγω της επίδρασης των συσχετίσεων των διακυμάνσεων της πίεσης d k. v d k και k p dk = v ( uk i ) ui xi xi xi xi ρ d v k d t k p d k (.7) Σύμφωνα με τους Prandtl και Kolmogorov, η τυρβώδης διάχυση αναλογία με τη μοριακή, ενώ η διάχυση t d k εξελίσσεται σε p d k λόγω της επίδρασης της πίεσης μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα η να ενσωματωθεί στην συνολική τυρβώδη διάχυση. Η τελική συνολική σχέση της τυρβώδους διάχυσης της κινητικής ενέργειας της τύρβης μοντελοποιείται συνήθως με τη σχέση που πρότειναν οι Hanjalic και Launder (97) και είναι: d k v k t = x j σ k x j (.8) Η εξίσωση του ε : Dε = dε + Hε Dt (.9) όπου, Dε : Ο όρος που εκφράζει τη συναγωγή και τη χρονική μεταβολή του ε. Dt d ε : O όρος που εκφράζει τη διάχυση του ε. H ε : Εκφράζει την παραγωγή και την καταστροφή του ε. Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία μοντελοποίησης με αυτή του k για τη διάχυση του ε, η ποσότητα d ε αποτελείται επίσης από τρεις συνιστώσες και δίνεται από την ακόλουθη σχέση: ε ui u i v p u k dε = v vuk xk xk x k xj x j xk ρ xi x i d v ε d t ε p dε (.) ενώ αντίστοιχα η ποσότητα H ε αναλύεται σε πέντε όρους σύμφωνα με τη σχέση: 6

17 Ui ui uk U u i j uj ui Ui Hε = v v vuk xk xj xj xk xi xk xj xj x k Pε Pε Pε3 ui ui u k u i v v xj xk x j xj x k Pε 4 Υ (.) v t Η σχέση (.) εκφράζει τη μοριακή διάχυση d ε, την τυρβώδη διάχυση d ε και την p διάχυση λόγω επίδρασης της πίεσης d ε της διασποράς ε. Η εξίσωση (.) αποτελείται από όρους που αφορούν την παραγωγή και καταστροφή της διασποράς ε. Οι βασικοί όροι που επικρατούν και συνεισφέρουν στην παραγωγή και καταστροφή της διασποράς, για ροές μακριά από τοιχώματα, είναι η παραγωγή εξαιτίας της ίδιας της τύρβης, όρος P ε 4, και η καταστροφή της, όρος Υ. Ο όρος P ε 3 αφορά την επίδραση των τοιχωμάτων και των δυνάμεων του μοριακού ιξώδους στην παραγωγή του ε. Οι υπόλοιποι όροι που αναφέρονται στην παραγωγή του ε λόγω του συνδυασμού της επίδρασης της τύρβης και της ταχύτητας, P ε, καθώς και η παραγωγή λόγω της μέσης ταχύτητας, P ε, θεωρούνται αμελητέοι. Η τελική μορφή των μοντελοποιημένων όρων για την διάχυση, την παραγωγή και την καταστροφή της διασποράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης προτάθηκε από τους Hanjalic και Launder (97) και δίνεται αντίστοιχα από τις σχέσεις: d v ε t ε = x j σε x j (.) και ε ε Hε = cε Pk cε (.3) k k.. Το low-reynolds γρσμμικό μοντέλο τύρβης Launder Sharma Οι προαναφερθείσες θεωρήσεις αναφέρονται σε μοντέλα υψηλού αριθμού Reynolds και δεν εμπεριέχουν την έντονη επίδραση του μοριακού ιξώδους η οποία κυριαρχεί στις περιοχές κοντά στα τοιχώματα. Επομένως, δεν είναι δυνατή η επίλυση των εξισώσεων μεταφοράς (.6) και (.9) με αυτή τη μορφή στις περιοχές αυτές. Προχωρώντας ένα βήμα πιο πέρα, οι Jones και Launder (97) εξήγαγαν μία εκδοχή μοντέλου k ε χαμηλού αριθμού Reynolds. k Βασισμένοι στον τυρβώδη αριθμό Reynolds R t, όπου Rt =, προσθέσανε κάποιους vε επιπλέον όρους, οι οποίοι ενσωματώνουν στη φυσική απεικόνιση της επίλυσης των εξισώσεων την επίδραση των δυνάμεων του μοριακού ιξώδους του ρευστού. Εξήγαγαν και ενσωμάτωσαν επίσης κάποιες κατάλληλες συναρτήσεις απόσβεσης. Σκοπός των συναρτήσεων αυτών, με τη βοήθεια του τυρβώδους αριθμού Reynolds, είναι να καθιστούν το μοντέλο τύρβης ικανό να αντιληφθεί και να αποσβέσει την επίδραση των τυρβωδών όρων που είναι ισχυροί στην ελεύθερη ροή και πρέπει σταδιακά να αποσβεστούν όσο πλησιάζει το 7

18 όριο του τοίχου. Επίσης, θα πρέπει να ισχυροποιούν έμμεσα τις δυνάμεις λόγω μοριακού ιξώδους και τους αντίστοιχους όρους που εμπλέκονται με αυτές και υπερισχύουν μέσα στο στρωτό οριακό υπόστρωμα. Συνεπώς οι τελικές εξαγόμενες εξισώσεις μεταφοράς θα έχουν τη μορφή: Dk v k v Dt x x t = + + k j σ k j d k P ε (.4) και Pε 3 vt U i v cε f Pk cεf vvt Sε j σ ε j i j D% ε % ε % ε % ε = Dt x x k k x x d% ε H% ε (.5) Η τελική εξίσωση μεταφοράς (.5) της σκέδασης της τύρβης που προτείνεται από τους Craft et al. (996), αφορά την ποσότητα ε%, που αποτελεί το ισοτροπικό μέρος της διασποράς ε. Η διασπορά την κινητικής ενέργειας της τύρβης συνδέεται με την ποσότητα ε% σύμφωνα με τη σχέση: ε = εο + % ε (.6) k όπου η έκφραση που προτείνεται από τους Launder και Sharma (974) είναι εο = v x j και δίνει την τιμή της ποσότητας ε επάνω στο τοίχωμα όπου το ισοτροπικό μέρος ε% μηδενίζεται. Λύνοντας την εξίσωση μεταφοράς του ισοτροπικού μέρους διευκολύνονται οι υπολογισμοί καθώς αυτό μηδενίζεται πάνω στο τοίχωμα και δεν απαιτείται να εισαχθεί κάποια επιπλέον οριακή συνθήκη. Τέλος, βάση των τελικών ποσοτήτων του k και του ε%, υπολογίζεται το ιξώδες της τύρβης σύμφωνα με τη σχέση: v t = c f k % μ μ ε (.7) Oι τελικές τιμές των σταθερών συντελεστών και οι εκφράσεις των συναρτήσεων απόσβεσης που πολλαπλασιάζουν τους όρους στις εξισώσεις μεταφοράς του k, εξίσωση (.4) και του ε%, εξίσωση (.5), καθορίζονται σύμφωνα με τους Launder και Spalding (974) και Launder και Sharma (974) αντίστοιχα και δίνονται στον ακόλουθο πίνακα: 8

19 c μ c ε c ε σ k σ ε f f μ f exp 3.4 ( + R % 5) t -.3 exp( R % t ) Πίνακας..Οι εκφράσεις και οι συντελεστές του γραμμικού μοντέλου τύρβης των Launder και Sharma. όπου R % k t ο τυρβώδης αριθμός Reynolds R% t, ο οποίος υπολογίζεται με βάση το vε % ισοτροπικό μέρος της σκέδασης της κινητικής ενέργειας της τύρβης. Το τελικό μοντέλο ελέγχθηκε για την αξιοπιστία του σε ένα μεγάλο αριθμό ροών. Ένα βασικό μειονέκτημα είναι ότι προβλέπει μεγάλη τιμή της χαρακτηριστικής κλίμακας μήκους (length scale) σε ροές με ανακυκλοφορία. Η κλίμακα αυτή σχετίζεται με τη μέγιστη πιθανή δομή (δίνη, περιοχή ανακυκλοφορίας) που μπορεί να εμφανιστεί στη ροή και συνδέεται άμεσα με τη σκέδαση της κινητικής ενέργειας τη τύρβης. Με σκοπό τη διόρθωση αυτής της συμπεριφοράς ο Yap (987), εισήγαγε έναν επιπλέον όρο πηγής στης εξίσωση μεταφοράς της ισότροπης διασποράς της τύρβης (.5), που σκοπός του είναι να μειώσει την τιμή της κλίμακας μήκους και δίνεται από τη σχέση: S ε 3 3 k k % ε = max.83,.5% εy.5% εy k (.8) όπου y η ελάχιστη απόσταση κάθε σημείου του πεδίου ροής από το πιο κοντινό τοίχωμα. Αν και ο όρος αυτός βελτιώνει την πρόβλεψη της κλίμακας μήκους, είναι δύσκολος στο χειρισμό του κυρίως σε πολύπλοκες γεωμετρίες. Η εισαγωγή του απαιτεί πολύπλοκο προγραμματιστικό χειρισμό και δημιουργεί πολλές αριθμητικές αστάθειες καθώς απαιτεί τον υπολογισμό του μεγέθους y...3 Το low-reynolds μη-γραμμικό μοντέλο τύρβης CLS Το γραμμικό μοντέλο τύρβης, παρόλο που είναι σχετικά εύκολο στο χειρισμό του, αριθμητικά ευσταθές και είναι εύκολη η ενσωμάτωση του σε έναν επιλυτή, δίνει σε πολλές περιπτώσεις ροών κάποιες μη-φυσικές τελικές λύσεις, Yakinthos (999). Η αδυναμία του αυτή επικεντρώνεται κατά βάση στη μαθηματική περιγραφή των τάσεων Reynolds, η οποία έχει άμεση σχέση με την έκφραση της παραγωγής της τυρβώδους κινητικής ενέργειας, Ui Pk = uu i j. Η γραμμική έκφραση των τάσεων Reynolds, σχέση (.5), δεν είναι σε θέση x j να προβλέψει την ανισοτροπία των τάσεων Reynolds που παρατηρείται στη φύση, ενώ υπολογίζει ίσες όλες τις κύριες τάσεις. Σύμφωνα με τους Craft και Launder () και τη συνθήκη των δύο συνιστωσών (two component limit), θα πρέπει καθώς προσεγγίζεται το τοίχωμα με βάση την εξίσωση της συνέχειας, η κάθετη συνιστώσα να είναι μικρή σε σχέση με τις άλλες δύο παράλληλες στο τοίχωμα, ενώ η μεγαλύτερη θα είναι αυτή που βρίσκεται κατά τη διεύθυνση της ροής. Με σκοπό να ξεπεραστεί αυτό το πρόβλημα και να επεκταθεί η γραμμική σχέση των τυρβωδών τάσεων σε μια ποιο γενική μη-γραμμική έκφραση, ο Pope (975) με τη χρήση του θεωρήματος Cayley-Hamilton, πρότεινε μια συνάρτηση μέχρι 9

20 πέμπτου βαθμού οι όροι της οποίας αποτελούνται από γινόμενα της παραμόρφωσης και της στροβιλότητας του ρευστού. Σύμφωνα με τη θεώρηση αυτή, η κλασσική γραμμική σχέση τάσης παραμόρφωσης μετατρέπεται σε μία πιο πολύπλοκη μη-γραμμική συνάρτηση της τάσης με την συνολική παραμόρφωση να εκφράζεται με γινόμενα της παραμόρφωσης και της στροβιλότητας του ρευστού. Η τάξη της μη-γραμμικότητας της σχέσης καθορίζεται από το μέγιστο αριθμό των στοιχείων (παραμόρφωση ή στροβιλότητα) του κάθε γινομένου και έχει την ακόλουθη μορφή: a ij λ= λ λ ij = G T (.9) όπου, T ij = S ij ij = ijωkj Ω ik kj 3 ij = ik kj lk kl ij T S S T S S S S δ 3 4 ij =ΩikΩkj ΩlkΩ klδij T 3 5 T =Ω S S S S Ω ij il lm mj il lm mj 6 ij =ΩilΩ lm mj + ilωlmωmj lmωmnω nl ij T S S S δ 3 7 T =Ω S Ω Ω Ω Ω S Ω ij ik kl lm mj ik kl lm mj 8 ij = ikωkl lm mj ik klω lm mj 9 ij =ΩikΩ kl lm mj + ik klωlm mj kl lmωmnω nk ij T S S S S S S T S S S S S S S δ 3 T =Ω S S Ω Ω Ω Ω S S Ω ij ik kl lm mn nj ik kl lm mn nj (.) Οι συντελεστές G λ της εξίσωσης (.9) είναι συναρτήσεις που αποτελούνται από το συνδυασμό των k,ε% και αναλλοίωτων ποσοτήτων της μορφής: SikS ki, ΩikΩ ki, SikSklS li, ΩikΩ klsli, ΩikΩ klslmsmi. Διάφοροι ερευνητές εισήγαγαν μέχρι γινόμενα δεύτερης τάξης για να εκφράσουν τις τάσεις Reynolds των μη-γραμμικών μοντέλων. Οι τιμές και οι εκφράσεις των συντελεστών που προκύπτουν καθορίζονται από κατάλληλες βαθμονομήσεις από πειραματικά η αριθμητικά δεδομένα καθώς και όρια που προκύπτουν από φυσικούς περιορισμούς, Gatski (4). Οι τετραγωνικές εκφράσεις που προκύπτουν, καθιστούν το εξαγόμενο τετραγωνικό μη-γραμμικό μοντέλο τύρβης ικανό να προβλέπει δευτερογενείς ροές τις οποίες αδυνατεί να προβλέψει το γραμμικό μοντέλο. Οι Craft, Launder και Suga (996), επεκτείναν την ιδέα αυτή σε όρους έως τρίτης τάξης. Απέδειξαν ότι η κυβική μη-γραμμικότητα των εκφράσεων δίνει καλύτερη φυσική απεικόνιση των ροϊκών πεδίων κυρίως σε περιοχές με έντονη καμπυλότητα, στροβιλότητα και επίσης έντονα φαινόμενα διάτμησης της ροής. Το μοντέλο αυτό, που στη βιβλιογραφία ονομάζεται και μοντέλο CLS, είναι αυτό που χρησιμοποιείται στην παρούσα διδακτορική διατριβή. Οι τελικές μη-γραμμικές εκφράσεις που προκύπτουν

21 για την περιγραφή των τάσεων Reynolds μετά από κατάλληλη μεθοδολογία, που περιγράφεται αναλυτικά από τους Craft et al. (996), δίνονται στη συνέχεια: uu i j = kδij vs t ij 3 vk t + c SikSkj SklSklδij % ε 3 vk t + c ( Ω ikskj +ΩjkSki ) % ε vk t + c3 ΩikΩjk ΩlkΩlkδij % ε 3 vk t 4 vk t 5 ( ) + c S Ω + S Ω S % ε ki lj kj li kl + c ΩilΩ lmsmj + SilΩlmΩmj SlmΩmnΩnlδij % ε 3 vk t vk t 6 ij kl kl 7 Sij Ω Ω kl kl + c S Ω Ω + c % ε % ε (.) όπου, U U i j U U i j Sij = + και Ω ij = οι τανυστές που εκφράζουν τη μέση παραμόρφωση x j xi x j xi k και στροβιλότητα του ρευστού αντίστοιχα, S% k = SijSij και Ω= % Ω % ijωij οι ε % ε βαθμωτές αδιάστατες αναλλοίωτες ποσότητες παραμόρφωσης και στροβιλότητας και k vt = c μ f μ % ε το ιξώδες της τύρβης. Οι βέλτιστες τιμές και εκφράσεις των συντελεστών του μη-γραμμικού μοντέλου που προτείνεται από τους Craft et al. (996), ώστε οι τελικές εκφράσεις που περιγράφουν τα τυρβώδη μεγέθη να είναι εφαρμόσιμες και συνεπείς ως προς τη φυσική απεικόνιση γενικών τρισδιάστατων ροών, παρατίθενται στον ακόλουθο πίνακα: c c c 3 c 4 c 5 c 6 c c μ -5 c μ 5c μ Πίνακας..Οι συντελεστές του μη- γραμμικού μοντέλου τύρβης των Craft Launder και Suga. Μια σημαντική βελτίωση του μη-γραμμικού μοντέλου τύρβης είναι η έκφραση του συντελεστή c μ. Το γραμμικό μοντέλο k ε δίνει στο συντελεστή μία σταθερή τιμή ίση με.9. Η τιμή αυτή επιλέχθηκε για ροές που βρίσκονται κοντά σε καταστάσεις ισορροπίας στις οποίες η παραγωγή της κινητικής ενέργειας της τύρβης είναι ίση με την καταστροφή της, P = ε, ενώ σε αντίθετη περίπτωση η τιμή του αποκλίνει σημαντικά από την αρχική σταθερή k τιμή.9. Αρχικά, ο Rodi (97), πρότεινε μία συναρτησιακή σχέση για το c μ που ήταν μια

22 Pk συνάρτηση της μορφής cμ = f ε και αφορούσε λεπτά διατμητικά στρώματα. Οι Cotton et al. (99), επέκτειναν την ιδέα αυτή δίνοντας μία έκφραση για το c μ που ήταν συνάρτηση k της αναλλοίωτης ποσότητας S = SijSij η οποία ήταν συνεπής με τα δεδομένα DNS των ε Rogers και Moin (987) και Lee et al. (99), καθώς και με πειραματικά δεδομένα των Champagne et al. (97) και Tavoularis και Corrsini (98) τα οποία αφορούν ομογενείς διατμητικές ροές και δίνεται από τη σχέση: c μ { ( S )}.3 exp.36 exp, 75 = S (.) Η τελική μορφή που εξάγεται και προτείνεται από τους Craft et al. (996) για το μηγραμμικό μοντέλο CLS, βασίζεται στην αρχική έκφραση (.) και έχει τη μορφή: c μ ({ ( ( S% %))} ) +.35max ( S%, Ω% ).5.3 exp.36 exp.75 max, Ω = (.3) Η σχέση (.3) είναι όμοια με την (.) με τη διαφορά ότι στη θέση της αναλλοίωτης ποσότητας S υπεισέρχεται η ποσότητα max ( S%, Ω% ) η οποία αυξάνει την ευαισθησία του μοντέλου στην καμπυλωμένη γεωμετρία της ροής. Η αναλλοίωτη ποσότητα της στροβιλότητας υπερισχύει σε κυρτούς τοίχους όπου η παραγωγή της τύρβης με τη χρήση των εκφράσεων του γραμμικού μοντέλου είχε την τάση να υπερεκτιμάται. Συνεπώς, σε περιπτώσεις όπου υπερισχύει η μία αναλλοίωτη ποσότητα έναντι της άλλης θα πραγματοποιηθεί και η επιθυμητή από φυσικής άποψης σκέδαση της τύρβης. Σε υψηλούς αριθμούς Reynolds απλών διατμητικών ροών, οι αναλλοίωτες S και Ω είναι ίσες με την S και συνεπώς δεν υπάρχει καμία αλλαγή στην αρχική προτεινόμενη έκφραση (.). Η έκφραση (.3) έχει πολύ μικρή τιμή κοντά στο τοίχωμα και συγκεκριμένα στην περιοχή buffer του οριακού στρώματος. Στην περιοχή αυτή η τιμή της ποσότητας S γίνεται έως και πέντε φορές μεγαλύτερη από αυτή σε συνθήκες τοπικής ισορροπίας, Lee et al. (99). Από την άλλη, θα πρέπει κοντά στο τοίχωμα το ιξώδες της τύρβης να αποσβένεται με το συντελεστή απόσβεσης f μ, όπως προβλέπει η θεωρία της μοντελοποίησης για τα μοντέλα τύρβης low-reynolds. Η έκφραση που προτείνεται και χρησιμοποιείται στο μοντέλο CLS από τους Craft et all (996) για το συντελεστή απόσβεσης f μ έχει τη μορφή: Rt R % % t f μ exp = 9 4 (.4) Τέλος, η έκφραση της παραγωγής της σκέδασης της τύρβης λόγω της επίδρασης του μοριακού ιξώδους δίνεται από τη σχέση:

23 Sv % tk U i Pe3 =. % ε xk xl, R% 5 t (.5) και ο συντελεστής c ε παίρνει τη μορφή: { ( R )} cε =.9.3exp % t (.6)..4 Μοντελοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς των τάσεων Reynolds Η ακριβής εξίσωση μεταφοράς του τανυστή των τάσεων Reynolds, uu i j, εξάγεται από την εξίσωση μεταφοράς της στιγμιαίας ταχύτητας, εξίσωση Navier-Stokes. Η εξίσωση (.) πολλαπλασιάζεται με την στιγμιαία ταχύτητα u i και εφαρμόζεται στη συνέχεια η στάθμιση κατά Reynolds, Hanjalic και Jakirlic (), Wilcox (998). Η τελική έκφραση όπου οι όροι δεν έχουν μοντελοποιηθεί, συμπεριλαμβανομένων και της επίδρασης των εξωτερικών δυνάμεων και των δυνάμεων λόγω περιστροφής αν υπάρχουν, δίνεται στη συνέχεια: Duiu j uiu j uiu j U j Ui = + Uk = uu i k + ujuk + ( fu i j + fjui) Dt { t xk xk xk Lij C ij Pij G ij p u u i j Ω k ( uu i kεikm+ uu i kε jkm) ρ xj x 4444 i R ij D ij Φij uu i j p + v uu i juk ( uiδjk + ujδik) xk x k ρ D t v ij p D ij D ij u u i j v x k x j εij (.7) όπου, L : Η τοπική χρονική μεταβολή. ij C : Συναγωγή λόγω μεταφοράς. ij P : Παραγωγή των τάσεων Reynolds λόγω παραμόρφωσης των στοιχείων του ρευστού. ij G : Παραγωγή τάσεων Reynolds λόγω επίδρασης εξωτερικών δυνάμεων. ij R : Παραγωγή ή καταστροφή των τάσεων Reynolds λόγω της εξωτερικής δύναμης ij περιστροφής. Φ : Η ανακατανομή των τάσεων Reynolds λόγω της διακύμανσης της πίεσης. ij ε : Ο ρυθμός καταστροφής των τάσεων Reynolds λόγω των δυνάμεων συνοχής του ιξώδους ij του ρευστού. 3

24 D ij : Διάχυση λόγω μεταφοράς. Οι όροι της εξίσωσης (.7) που βρίσκονται σε πλαίσιο χρειάζονται μοντελοποίηση ενώ οι υπόλοιποι μπορούν να αναλυθούν και να χρησιμοποιηθούν με τις ακριβείς τους εκφράσεις. Οι κανόνες μοντελοποίησης της εξίσωσης (.7) και κατ επέκταση των μοντέλων μεταφοράς των τάσεων Reynolds, που στη βιβλιογραφία αναφέρονται ως RSM, ακολουθούν τις ίδιες αρχές με τα μοντέλα ιξώδους τύρβης, καθώς απαιτείται μία χαρακτηριστική κλίμακα 3 χρόνου, τ = k ε και μια χαρακτηριστική κλίμακα μήκους l = k ε της τύρβης. Η παραγωγή - καταστροφή λόγω εξωτερικών δυνάμεων ή φυγοκεντρικών δυνάμεων λόγω περιστροφής θεωρούνται αμελητέες. Το μοντέλο μεταφοράς των τάσεων Reynolds που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα διατριβή είναι το μοντέλο του Craft (998). Το μοντέλο αυτό βασίζεται στις αρχικές προτάσεις των Craft και Launder (996) που πρότειναν κάποιες μαθηματικές εκφράσεις, με σκοπό να βελτιώσουν το μοντέλο του Fu (988) που είχε αναπτυχθεί στο UMIST (University of Manchester Institute of Science and Technology). Τελικός στόχος τους ήταν να ενσωματώσουν στις τελικές εξισώσεις μεταφοράς τις ιδιότητες των μοντέλων χαμηλού αριθμού Reynolds και να εκφράσουν την επίδραση των τοιχωμάτων στην εξέλιξη της ροής χωρίς την ανάγκη του υπολογισμού των γεωμετρικών χαρακτηριστικών του εκάστοτε προβλήματος. Ο τρόπος μοντελοποίησης των όρων της εξίσωσης (.7) καθώς και οι τελικές εκφράσεις του μοντέλου του Craft (998) που χρησιμοποιήθηκαν παρουσιάζονται λεπτομερέστερα στη συνέχεια...5 Μοντελοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς των τάσεων Reynolds στο μοντέλο τύρβης του Craft Η εξίσωση μεταφοράς των τάσεων Reynolds που χρησιμοποιεί το μοντέλο του Craft (998), προκύπτει από την γενική εξίσωση μεταφοράς (.7) και έχει τη γενική μορφή: Du u i Dt j = P +Π ε + d (.8) ij ij ij ij όπου, P : Παραγωγή των τάσεων Reynolds λόγω παραμόρφωσης των στοιχείων του ρευστού. ij Π : Η ανακατανομή των τάσεων Reynolds λόγω της διακύμανσης της πίεσης. ij ε ij : Ο ρυθμός καταστροφής των τάσεων Reynolds λόγω των δυνάμεων συνοχής του ιξώδους του ρευστού. d ij : Η διάχυση λόγω μεταφοράς. Οι όροι της εξίσωσης (.8) βρίσκονται σε αντιστοιχία με αυτούς της εξίσωσης (.7) με κάποιες μικρές διαφοροποιήσεις λόγω των παραδοχών που έγιναν για να ενσωματωθεί η φυσική των φαινομένων και των αλληλεπιδράσεων των διαφόρων μεγεθών, καθώς και της στατιστικής επεξεργασίας της αρχικής γενικής εξίσωσης. Προκειμένου να γίνει το μοντέλο ευαίσθητο στην έντονη ανισοτροπία των τάσεων που εμφανίζεται σε περιοχές κοντά σε τοιχώματα και να ικανοποιείται η συνθήκη του two component limit, υιοθετεί μαθηματικές εκφράσεις που προτάθηκαν από τους Craft και Launder (996). Οι προτεινόμενες αυτές σχέσεις είναι κανονικοποιημένες εκφράσεις των παραγωγίσεων της κλίμακας μήκους της τύρβης και είναι της μορφής: 4

25 d i Ni =.5 + ( NN) k k.5 όπου, N i.5 ( k / ε ) = (.9) x i και d A A i A A k k Ni =.5 + ( N N ).5 όπου N A i.5.5 ( k A / ε ) = (.3) x i Οι παραπάνω σχέσεις είναι σχεδιασμένες έτσι, ώστε να υποδεικνύουν την κατεύθυνση στην οποία επικρατεί ισχυρή ανομοιογένεια της τύρβης. Αν οι παραγωγίσεις της κλίμακας μήκους τύρβης είναι μεγάλες, οι τιμές των d και d είναι κοντά στη μονάδα ενώ γίνονται i αμελητέες σε περιοχές με μικρή ανομοιογένεια. Η ιδιότητά τους αυτή δίνει την ευελιξία και την υπεροχή στο μοντέλο να αντιλαμβάνεται την παρουσία τοιχωμάτων καθώς στην κατεύθυνση κάθετη στα τοιχώματα επικρατεί ισχυρή ανομοιογένεια σε αντίθεση με τις παράλληλες κατευθύνσεις ή μακριά από τα τοιχώματα, όπου η ανομοιογένεια είναι σχετικά αμελητέα. Το μειονέκτημα της σχέσης (.9), που χρησιμοποιεί την κλίμακα μήκους k ε, είναι ότι στην μεταβατική περιοχή του οριακού στρώματος (περιοχή buffer), όπου τα έντονα φαινόμενα λόγω μοριακού ιξώδους παραχωρούν τη θέση τους σταδιακά στη ισχυρή επίδραση της τύρβης, η τιμή της ποσότητας d i μειώνεται απότομα καθώς η κλίμακα μήκους παίρνει.5 πολύ μικρές αμελητέες τιμές. Με τη χρήση της τροποποιημένης κλίμακας μήκους k A.5 / ε A και τη χρησιμοποίηση του d i το μειονέκτημα αυτό εξαλείφεται. Η παράμετρος A είναι μία αναλλοίωτη ποσότητα του τανυστή ανισοτροπίας της τύρβης και είναι ένας δείκτης της ανισοτροπίας της. Προτάθηκε από τον Lumley (978) (συναντάται στη βιβλιογραφία ως flatness parameter of Lumley). Παίρνει τιμές από, σε περιοχές κοντά στα τοιχώματα όπου οι συνιστώσες της κινητικής ενέργειας της τύρβης είναι μόνο οι παράλληλες στο τοίχωμα κύριες τάσεις Reynolds και σε περιοχές όπου η τύρβη A= 9 8 A A. Τα βαθμωτά αναλλοίωτα μεγέθη είναι ισότροπη. Δίνεται από τη σχέση ( ) A i 3 A και A 3 είναι επίσης δείκτες του βαθμού ανισοτροπίας της τύρβης. Δίνονται από τις σχέσεις A = aijaij και A3 = aijajkaki αντίστοιχα, όπου aij = uu i j k 3δij ο τανυστής ανισοτροπίας της τύρβης. Συμπερασματικά η χρησιμοποίηση των σχέσεων (.9) και (.3) δίνει υπεροχή στο εν λόγω RSM μοντέλο σε σχέση με τα άλλα μοντέλα, π.χ. των Hanjalic και Jakirlic (998). Τα τελευταία, για την περιγραφή και υπολογισμό των φαινομένων της τύρβης κοντά στα τοιχώματα ενσωματώνουν συντελεστές που συνδέονται με γεωμετρικά χαρακτηριστικά των προβλημάτων και τα καθιστούν δύσκολα στην επίλυση ροϊκών πεδίων σε σύνθετες γεωμετρίες..5 / 5

26 ..6 Διασπορά των τάσεων Reynolds ε ij στο μοντέλο τύρβης του Craft Η κίνηση των μεγάλων δινών είναι ανεπηρέαστη από την επίδραση του ιξώδους στις περιοχές υψηλού αριθμού Reynolds ενώ ταυτόχρονα οι μικρότερες δομές είναι τοπικά ισότροπες και ανεπηρέαστες από την κίνηση των μεγάλων δινών. Η μαθηματική έκφραση του μοντέλου του Craft για την περιγραφή του τανυστή διασποράς που ενσωματώνει την παραπάνω φυσική συμπεριφορά της τύρβης δίνεται από τις ακόλουθες σχέσεις: ( ε )( ) ε = f ε + ε + ε D+ 3 f δ (.3) ij ij ij ij ε ij όπου, uu i j uu l n k k uu l i k k uu l j k k εij = ε + v δij + v + v k k x x k x x k x x uu l k uu uu l i l j ε = ε d d δ d d d d k k k A A A A εij = cε svk δij + xk xk xi x j l n j l i l A A A A A A ij l k ij l j l i (.3) (.33) (.34) και D ( ε ε ε ) ( ε) = + +, με συντελεστές c ε =. και kk kk kk s.5 fε = A...7 Οι συσχετίσεις Φ ij μεταξύ των τάσεων και των διακυμάνσεων της πίεσης Οι διακυμάνσεις της πίεσης αναμιγνύουν τις δομές της τύρβης και ανακατανέμουν τις τυρβώδεις τάσεις με τελικό αποτέλεσμα να έχουν την τάση να κάνουν την τύρβη περισσότερο ισότροπη. Παίρνοντας την εξίσωση Poisson για την πίεση, η οποία προκύπτει από τη διαφόριση της εξίσωσης μεταφοράς της στιγμιαίας ταχύτητας u l () ως προς x l, Hanjalic και Jakirlic (), προκύπτει: l ( l k l k) p uu uu Ul u = ρ x x x x x l k k l k (.35) Η λύση της εξίσωσης αυτής, όπως απέδειξε ο Chou (945) μετά από ολοκλήρωση, χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση του Green της μορφής r r θα είναι: ( uu l k uu l k) Ul uk dv p = V 4π xk xl xl x r r k r gradp ds r S r r + S pgrad r r ds (.36) 6

27 Το διάνυσμα r δηλώνει το σημείο όπου υπολογίζεται η πίεση, V είναι ο όγκος της r περιοχής της ροής που έχει όριό του επιφάνεια S και r είναι το σημείο στο οποίο γίνεται η r ολοκλήρωση. Οι ποσότητες με τόνο υπολογίζονται στο σημείο r. Με πολλαπλασιασμό της ui εξίσωσης (.36) με στο r και παίρνοντας τη μέση τιμή προκύπτει η ακριβής εξίσωση x j που περιγράφει τις συσχετίσεις των τάσεων και των διακυμάνσεων της πίεσης η οποία έχει τη μορφή: p ui uu l k ui Ul uk ui dv = V x j 4π + x x x x x x r r l k j k l j Φ ό Ό ij = Αργ ς ρος Φ ij = Γρήγορος Όρος u r i ui r S r r gradp ds + S p grad r r ds 4π xj xj Φ W ij = Συνεισϕορά των τοιχωμάτων επιϕανειών (.37) Ο κάθε όρος της σχέσης (.37) συνδέεται με διαφορετικές μεμονωμένες φυσικές διεργασίες. Η εξίσωση (.37) έχει συνιστώσες τρεις διαφορετικούς φυσικούς μηχανισμούς και αναφέρονται στη βιβλιογραφία ως ο αργός όρος Φ, ο γρήγορος όρος Φ και η συνεισφορά των τοιχωμάτων W Φ ij ij. Ο καθένας μπορεί να μοντελοποιηθεί ξεχωριστά και ανεξάρτητα από τους άλλους. Η τελική γενική σχέση μοντελοποίησης των συσχετίσεων τάσης - πίεσης έχει τη μορφή: W Φ ij =Φ ij +Φ ij +Φ (.38) ij ij Αναλυτικότερα οι τρεις βασικοί μηχανισμοί αναλύονται στη συνέχεια ως εξής: - Ο αργός όρος Φ ij : Ο όρος αυτός έχει την τάση να επαναφέρει την μη-ισότροπη τύρβη σε ισότροπη. Σε περιοχές της ροής όπου δεν είναι έντονες οι παραμορφώσεις, δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάμεις να ασκούνται στο ρευστό και τα όρια των τοιχωμάτων δεν επηρεάζουν άμεσα την εξέλιξη της ροής, οι διακυμάνσεις της πίεσης που αναφέρονται στον αργό όρο μετατρέπουν την τύρβη σε ισότροπη. Μία πρώτη απλοποιημένη έκφραση μοντελοποίησης του όρου αυτού, η οποία βασίζεται στην πρόταση ότι οι διακυμάνσεις της πίεσης ελαττώνουν την ανισοτροπία uu i j της τύρβης, δόθηκε από τον Rotta (95) και έχει τη μορφή Φ ij = Cε δij, όπου k 3 C μια σταθερά που συνήθως έχει τιμή.8. 7

28 - Ο γρήγορος όρος Φ ij. Ο όρος αυτός κάνει ισότροπη τη διαδικασία μετατροπής της παραγωγής των τάσεων, λόγω της κλίσης της ταχύτητας. Οι διακυμάνσεις της πίεσης ισοκατανέμουν τη συνεισφορά της παραμόρφωσης του ρευστού στην παραγωγή της τύρβης, σε όλες της συνιστώσες της. Ακολουθώντας την βασική ιδέα ότι η πίεση (pressure scrambling) επηρεάζει την παραγωγή της τύρβης, που κατά κύριο λόγο συνδέεται με το μέσο ρυθμό παραμόρφωσης του ρευστού οι Naot et al. (97) πρότειναν την ακόλουθη σχέση Φ ij = C Pij δijp 3, όπου C =.6, P η παραγωγή της τύρβης που συνδέεται με την μέση παραμόρφωση και P η πίεση. ij - Η συνεισφορά των τοιχωμάτων-επιφανειών W Φ ij. Ο όρος αυτός αναφέρεται κατά βάση στην ανάκλαση της πίεσης από τα όρια του πεδίου ροής (τοιχώματα ελεύθερες επιφάνειες) και συνδέεται άμεσα με τους δύο προηγούμενους όρους (αργό και γρήγορο όρο). Οι τοίχοι και οι ελεύθερες επιφάνειες καταστρέφουν τις γειτονικές δίνες και οδηγούν την τύρβη σε μεγαλύτερη ανισοτροπία. Το εμπόδιο που δημιουργούν τα τοιχώματα στη ροή του ρευστού έχει σαν αποτέλεσμα την απόσβεση των διακυμάνσεων της ταχύτητας στην κάθετη στον τοίχο κατεύθυνση. Από την άλλη οι διακυμάνσεις της πίεσης που προκύπτουν από την ανάκλαση της πίεσης στην επιφάνεια των ορίων, αυξάνουν την ανακατανομή (ανακάτεμα) των τάσεων. Η φύση των φαινομένων αυτών δεν έχει να κάνει με τις δυνάμεις του μοριακού ιξώδους του ρευστού και έχει σχέση με την απόσταση και τη γεωμετρία των ορίων του ροϊκού πεδίου. Το φρενάρισμα που προκαλούν τα τοιχώματα στη ροή είναι εμπόδιο στην τάση προς ισότροπη τύρβη που εισάγουν οι διακυμάνσεις της πίεσης. Συνεπώς, λόγω αυτού του μηχανισμού, η ανισοτροπία των τάσεων κοντά στα τοιχώματα είναι μεγαλύτερη από αυτήν των ελεύθερων ροών σε ίδιους ρυθμούς παραμόρφωσης του ρευστού, Launder et al. (975). Η απόσβεση που εισάγουν τα τοιχώματα επηρεάζουν και την αργή και τη γρήγορη διαδικασία ανακατανομής των τάσεων. Ο όρος W W W ij ij, ij, W W ij Φ μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, Φ =Φ +Φ. Η συνιστώσα Φ ij,, διορθώνει τις τιμές των τάσεων επιβραδύνοντας την ανακατανομή τους και τη μείωση της διατμητικής τάσης και εξαλείφει την κάθετη στον τοίχο συνιστώσα σε κέρδος των άλλων δύο ορθών τάσεων παράλληλων στο τοίχωμα. Η συνιστώσα W Φ βελτιώνει τη διαδικασία της παραγωγής των τάσεων κοντά στο τοίχωμα. ij, W Η επίδραση του όρου Φ ij θα πρέπει να μειώνεται όσο μεγαλώνει η απόσταση από το τοίχωμα. Η επίδραση των τοιχωμάτων ενσωματώνεται σε μαθηματικές σχέσεις με εμπειρικές συναρτήσεις απόσβεσης καθώς και με τη χρήση συνημιτόνων κατεύθυνσης, μοναδιαίων διανυσμάτων και ελάχιστων αποστάσεων από το τοίχωμα. Κάποιες απλοποιημένες σχέσεις που ενσωματώνουν την παραπάνω φυσική θεώρηση δόθηκαν από τους Shir (973) και Gibson και Launder (978) και έχουν αντίστοιχα τη μορφή Φ = ε 3 3 k και w w ε 3 3 Φ ij, = C Φkmnknmδ ij Φiknknj Φ jknk ni fw. k w w ij, C ukumnknmδ ij uu i mnknj ukujnkni fw 8

29 w w Οι σταθεροί συντελεστές παίρνουν τις τιμές C =.5, C =.3, η συνάρτηση 3.4k απόσβεσης fw =, όπου x n και n k είναι η ελάχιστη απόσταση από το τοίχωμα και τα ε xn μοναδιαία συνημίτονα κατεύθυνσης αντίστοιχα...8 Οι συσχετίσεις Φ ij μεταξύ των τάσεων και των διακυμάνσεων της πίεσης στο μοντέλο τύρβης του CRAFT (συσχέτιση πίεσης-τάσεων) Στο μοντέλο τύρβης του Craft (998) η συσχέτιση της διακύμανσης της πίεσης και των τάσεων χωρίζεται σε δύο βασικούς όρους, σε έναν που ανακατανέμεται (redistributive part) και σε έναν όρο που δεν ανακατανέμεται (non-redistributive part) και δίνεται από τη σχέση: uu i j p Π ij =Φij d (.39) k k p Το γινόμενο ( ρ ) ( ) dk = puk xk εκφράζει τη διάχυση, λόγω της διακύμανσης της πίεσης, της κινητικής ενέργειας της τύρβης. Ο διαχωρισμός της συσχέτισης πίεσηςτάσεων σε δύο συνιστώσες βελτιώνει τη συμπεριφορά του Φ τόσο κοντά σε τοιχώματα όσο και σε ελεύθερες επιφάνειες, όπως διαπιστώθηκε από τους Craft και Launder (996). Η συσχέτιση στην στιγμιαία διακύμανση της πίεσης και ταχύτητας μοντελοποιείται από την πρόταση των Craft και Launder και δίνεται από τη σχέση ij A (,5, )( ε ) 4 exp( 4) puk = ρ dk + dk v AA cpd A + cpd Rt Rt (.4) όπου, cpd = + exp( Rt 4) και c pd =.4. Η σχέση μοντελοποίησης (.4) και οι συντελεστές της έχουν τέτοια μορφή που συμφωνεί με σύγκριση που έγινε με διαθέσιμα αριθμητικά δεδομένα με επίλυση με DNS, Kawamura et al. (995). Σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλυση των όρων της συσχέτισης πίεσης-τάσεων, ο πρώτος όρος της σχέσης (.39) αντιστοιχεί στον κλασσικό διαχωρισμό της συσχέτισης πίεσης-τάσεων που προαναφέρθηκε, διαιρείται σε τέσσερα μέρη και δίνεται από τη σχέση: inh inh ij ij ij ij ij Φ =Φ +Φ +Φ +Φ (.4) Οι πρώτοι δύο όροι αντιστοιχούν στον αργό και γρήγορο όρο της σχέσης (.38), ενώ οι δύο τελευταίοι εκφράζουν την επίδραση των τοιχωμάτων και των ορίων του πεδίου ροής. Έχουν εξαχθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να υπολογίζουν τη φυσική ανισοτροπία των τάσεων Reynolds. Αναλυτικότερα, οι όροι αυτοί δίνονται από τις σχέσεις: Φ = % + 3 % ij cε aij c aikakj Aδij ε faaij (.4) 9

30 και Φ = + 3 ij.6 Pij δijpkk.3aijpkk uu k j uu l i Uk Ul uu l k U j Ui. + uu i k + ujuk k xl xk k xl xl ( ij ij ) 3 mi nj ( mn mn ) c A P D + a a P D 7 A + c { Pij δijpkk a a a δ A P.5a a P 3 ij ik kj ij kk ij lk kl uu uu i m j m uu l m +. P + P δ P k k 3 k uu u u uu u u +. k 3 k l i k j l m k m δ ij Ul Uk uu l i ukuj 6Dlk + 3k + +. ( Dlk Plk )} xk xl k mj mi ij ml (.43) για τον αργό και τον γρήγορο όρο αντίστοιχα και inh ε A 3 A 3 A A Φ ij = fw ( uu l kdl δij uu i kdj ujukdi ) dk k ε A 3 A 3 A A + fw uu ( ) l n unukdkδij uu i nd j ujundi dl k k k k k k k 4 k k + fw3ν ail + ajl anl δij a ij xl xj xl xi 3 xl xn 3 xl xl k A A 3 + fw ukul δij uu i ε xk xl A A 3 A A uu xk xj xk x i k j k (.44) και U Φ = inh l ij fk I dd l n dd i j dd k kδij xn 3 (.45) για τη μοντελοποίηση της επίδρασης των τοιχωμάτων και των ορίων του ροϊκού πεδίου. Οι συντελεστές των όρων και η ανάλυση των μαθηματικών εκφράσεων παρατίθενται στον πίνακα που ακολουθεί: 3

31 .5 3. A Rt k U % ε = ε ν D = uu + u u x j c = f f A c =. k ij i k j k x j fr = min( Rt /6.),5 t c = min(.55( exp( A Rt /)),3. A/ ( + S)) c = min(.6, A) + 3.5( S Ω ) / (3 + S+Ω) S I fw = f Rt U x.5 fw =.+.8Af Rt fw3 =.5A f w =. fi =.5 f A f = min(, max(. ( R 55) / )) f = min(,max(. ( R 5) / 85)) Rt / A A< ( /4).5 / fa = A/.7,5< A<.7 / A A>.7 S = ( k / ε ) SijS ij U U i j Sij = + x x j i / S = S S S /(.5 S S ) I ij jk ki ln t ln.5 Rt f = A f + A( f ).5 A Rt Rt Ω= ( k / ε ) Ω Ω U U i j Ω ij = x x j ij ij i / t k i inh Πίνακας.3.Οι συντελεστές του μοντέλου τύρβης RSM του Craft. Ο όρος Φ ij, εξίσωση (.43), αποτελεί την διόρθωση της ανομοιογένειας της τύρβης του αργού όρου Φ ij της συσχέτισης πίεσης-τάσεων. Οι πρώτοι δύο όροι της εξίσωσης (.44), μοντελοποιήθηκαν με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι σε θέση να αποσβένουν την κάθετη κύρια τάση στο τοίχωμα. Η μοντελοποίηση έγινε με σημείο αναφοράς τα πειραματικά δεδομένα των Perot και Moin (993), όπως αναφέρεται από τον Craft (996), που αφορούν οριακά στρώματα χωρίς διατμητική τάση (shear-free boundary layer). Ο τελευταίος όρος έχει την ίδια επίδραση για ελεύθερες επιφάνειες. O τρίτος όρος αυξάνει την εγκάρσια κύρια τάση (spanwise stress component) πολύ κοντά στον τοίχο και προστέθηκε για να συμφωνεί με τα πειραματικά δεδομένα για ροή σε αγωγό του Kim (989), όπως αναφέρεται από τον Craft inh (996). Τέλος, η διόρθωση της ανομοιογένειας Φ ij του γρήγορου όρου Φ ij, προστέθηκε από τους Craft και Launder για να βελτιώσει τη συμπεριφορά του μοντέλου σε περιοχές με σημεία ανακοπής...9 Μοντελοποίηση της διάχυσης D ij Η αρχική μαθηματική έκφραση της διάχυσης, όπως προκύπτει από τη διαδικασία εξαγωγής της εξίσωσης μεταφοράς των τάσεων Reynolds, εξίσωση (.7), αποτελείται από τρεις όρους και δίνεται από τη σχέση: 3

32 uu i j p Dij = v uu i juk ( uiδ jk + ujδ (.46) ik ) x k x k ρ D t v ij p D ij D ij όπου D η μοριακή διάχυση λόγω του μοριακού ιξώδους. v ij t D ij : η τυρβώδης διάχυση λόγω των διακυμάνσεων της ταχύτητας. p D ij : η τυρβώδης διάχυση λόγω των διακυμάνσεων της πίεσης. Η μαθηματική έκφραση του D ij είναι τέτοια ώστε η ολοκλήρωσή της σε μία κλειστή περιοχή με αδιαπέραστα όρια, με βάση το θεώρημα του Gauss που ανάγει την ολοκλήρωση ως προς τον όγκο σε επιφανειακό ολοκλήρωμα, θα είναι V DdV= ij και η εξέλιξή της στο ροϊκό πεδίο χαρακτηρίζεται σαν ένα φαινόμενο μεταφοράς, Hanjalic και Launder (97). Η μοριακή διάχυση μπορεί να αναλυθεί ακριβώς και δε χρειάζεται μοντελοποίηση σε αντίθεση με τις άλλες δύο τυρβώδεις διαχύσεις που περιγράφονται από τις συσχετίσεις των στιγμιαίων διακυμάνσεων της ταχύτητας και της πίεσης. Η πιο διαδεδομένη σχέση μοντελοποίησης της t ij τυρβώδους διάχυσης D είναι αυτή των Daly και Harlow (97) και ονομάζεται γενικευμένη υπόθεση κλίσης της διάχυσης (generalized gradient diffusion hypothesis) που στη βιβλιογραφία αναφέρεται ως GGDH. Σύμφωνα με τη υπόθεση αυτή, για τη συσχέτιση ενός ϕ βαθμωτού μεγέθους ϕ και της διακύμανσης της ταχύτητας θα είναι ϕuk = Cϕτukul, xl όπου τ ένας χαρακτηριστικός χρόνος και C ϕ μια σταθερά. Η εφαρμογή της στην τυρβώδη διάχυση των τάσεων Reynolds θα δώσει τη μαθηματική έκφραση με τη μορφή: t k uu i j Dij = ( uu i juk ) = Cs ukul xk x k ε x k (.47) k k όπου τ =. Η ποσότητα uu k l έχει διαστάσεις ιξώδους και αποτελεί μια έκφραση ενός ε ε ανισότροπου ιξώδους τύρβης. Οι Hanjalic και Launder (97) πρότειναν μια συνθετότερη μαθηματική έκφραση των τριπλών συσχετίσεων της μορφής: uu u C k uu uu u u uu u u uu j k i k j i i j k = a i l + j l + k l ε xl xl xl (.48) Τέλος, μια απλοποιημένη έκφραση, ονομαζόμενη simpler gradient diffusion (SGD) με ένα ισότροπο ιξώδες τύρβης, δόθηκε από τον Shir (973) και δίνεται από τη σχέση: t k uu i j Dij = ( uu i juk ) = Cs xk x k ε x k (.49) 3

33 p Η τυρβώδης διάχυση λόγω των διακυμάνσεων της πίεσης D ij αφορά τη μεταφορά των προς επίλυση μεγεθών στο πεδίο ροής εξαιτίας της διάδοσης των διαταραχών και δεν μπορεί να μοντελοποιηθεί με αντίστοιχο τρόπο. Συνήθως στις περισσότερες ροές, ενσωματώνεται στην έκφραση της τυρβώδους διάχυσης D με κατάλληλη τιμή των σταθερών συντελεστών... Μοντελοποίηση της τυρβώδους διάχυσης t ij t D ij στο μοντέλο τύρβης του Craft Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ενότητα, η μοντελοποίηση της τυρβώδους διάχυσης στα μοντέλα RSM αφορά κατά βάση τη σωστή μαθηματική περιγραφήμοντελοποίηση των τριπλών συσχετίσεων της ταχύτητας. Στο υπό εξέταση μοντέλο τύρβης του Craft, προτείνεται ο υπολογισμός των τριπλών συσχετίσεων από την εξίσωση μεταφοράς τους η οποία προκύπτει με κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία και ακολουθώντας αντίστοιχη μεθοδολογία με αυτή που προέκυψε η εξίσωση μεταφοράς των τάσεων Reynolds από τις στιγμιαίες εξισώσεις Navier-Stokes. Η τελική εξαγόμενη εξίσωση θα έχει τη γενική μορφή: Du u u i j k Dt ijk ijk ϕijk ijk εijk = P + P + + d (.5) όπου, P ij και P ij : Η παραγωγή των τριπλών συσχετίσεων. ϕ : Η συσχέτιση πίεσης-τριπλών συσχετίσεων. d ijk ijk : Η διάχυση των τριπλών συσχετίσεων λόγω μεταφοράς. ε ijk : Η καταστροφή-διασπορά των τριπλών συσχετίσεων. Οι όροι της παραγωγής δε χρειάζονται μοντελοποίηση και υπολογίζονται απευθείας από τις σχέσεις uu uu k l j l uu i l Pijk = uu i j + uu i k + ukuj xl xl xl και U U k j Ui Pijk = uuu i j l + uuu i k l uuu k j l αντίστοιχα. xl xl xl Η συσχέτιση των uu i ju k με την πίεση, που συσχετίζει την παραγωγή τους με τον μέσο ρυθμό παραμόρφωσης και τις τυρβώδεις τάσεις, μοντελοποιείται βάση αντίστοιχων παραδοχών που έγιναν και για τη μοντελοποίηση των συσχετίσεων πίεσης-τάσεων Reynolds. inh Διαιρείται σε τρεις όρους ϕijk = ϕijk+ ϕijk + ϕijk που αφορούν αντίστοιχα το μηχανισμό της επιστροφής της τύρβης στην ισοτροπία, με την εξάρτηση από το μέσο ρυθμό παραμόρφωσης του ρευστού και την ανομοιογένεια λόγω των ορίων του ροϊκού πεδίου. Οι σχέσεις που περιγράφουν αυτά τα φαινόμενα είναι οι 33

34 uu i juk ϕijk = ctε, k Ul Ul U l ϕijk = ct Pijk + ct uuu i j l + uuu i k l + uuu k j l, xk xj x i inh uu uu l n j n uku n A A ϕijk = ctw δ jk + δik + δ ji uu l rdl dn και οι συντελεστές τους έχουν τιμές xr xr x r c t = 4., c t =.8, ct =.A και c tw =.5. Οι τιμές αυτές των συντελεστών καθορίστηκαν έτσι, ώστε να υπάρχει συμφωνία με αντίστοιχα πειραματικά δεδομένα, Craft (998). Άμεση συνέπεια της στατιστικής επεξεργασίας για την εξαγωγή των συναρτήσεων μεταφοράς της ταχύτητας, τάσεων Reynolds και τριπλών συσχετίσεων, είναι η εμφάνιση στο δεξί μέλος των αντίστοιχων εξισώσεων μεταφοράς, συσχετίσεων μιας τάξης μεγαλύτερης από αυτή των προς επίλυση μεγεθών. Οι συσχετίσεις αυτές περιγράφουν τη διάχυση λόγω μεταφοράς και για να επιλυθούν πρέπει να μοντελοποιηθούν. Στη σχέση (.5), εξίσωση μεταφοράς των τριπλών συσχετίσεων, η διάχυση d ijk εμπλέκει συσχετίσεις τέταρτης τάξης uu i jukul με τη μορφή. Για τη μοντελοποίησή της χρησιμοποιείται η πρόταση του xl Millionshtchikov (94), όπως αναφέρεται από τον Craft (996), που συνδέει τη διάχυση με συσχετίσεις δεύτερης τάξης και έχει τη μορφή dijk = ( uu i jukul + uu i k ujul + ukujuu i l ). xl Τέλος, για τη μοντελοποίηση της διασποράς χρησιμοποιείται η απλοποιημένη σχέση των Kawamura et al. (995) εijk = εuu i juk k. Οι τελικές τιμές των τριπλών συσχετίσεων προκύπτουν από τη σχέση (.5) αμελώντας τη συναγωγή τους λόγω μεταφοράς, αριστερό μέλος της εξίσωσης και επιλύοντας το σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων που προκύπτει. Το μεγάλο μειονέκτημα της μεθοδολογίας αυτής είναι ότι εισάγονται κατά την επίλυση πολλές αριθμητικές αστάθειες κυρίως σε ροές με πολύπλοκές γεωμετρίες και συνεπώς η χρήση πιο κλασσικών και απλών μαθηματικών εκφράσεων, όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις (.47), (.48) και (.49) ενδύκνειται για γενικευμένα πολυσύνθετα ροϊκά προβλήματα, Vlahostergios et al. (7)... Η εξίσωση μεταφοράς της διασποράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης ε% για το μοντέλο RSM του Craft Η γενική αρχική εξίσωση μεταφοράς της διασποράς της ενέργειας της τύρβης, οι οποία περιέχει όρους που απαιτούν μοντελοποίηση είναι η ίδια με αυτή που ισχύει και για τα μοντέλα ιξώδους τύρβης, εξίσωση (.9). Αφορά την καταστροφή της κινητικής ενέργειας της τύρβης και στη συνολική της μορφή παρατίθεται στη συνέχεια: 34

35 Dε ε ui u i v p u k Ui ui uk = v vuk v Dt xk xk x k x j x j xk ρ xi xi xk x j x j d v t p P ε d d ε ε ε U u i j u j ui Ui ui ui u k u i v vuk v v x k x i x k xj xj xk xj xk x j xj x 4 k Pε Pε3 Pε4 Υ (.5) Η εξίσωση αυτή είναι αναγκαία και για τα μοντέλα τύπου RSM, καθώς χρειάζεται για να κλείσει το σύστημα των εξισώσεων που περιγράφουν τη μεταφορά των τάσεων Reynolds. Η αρχή της μοντελοποίηση και σε αυτή την περίπτωση βασίζεται στην εύρεση μίας χαρακτηριστικής κλίμακας χρόνου, τ = k ε και μιας χαρακτηριστικής κλίμακας μήκους 3 l = k ε της τύρβης με σκοπό να περιγραφεί το μέγεθος των δινών καθώς και η μεταφορά και η σκέδαση της ενέργειας μεταξύ των δινών από τις μεγαλύτερες στις μικρότερες. Οι βασικές ιδέες για την μοντελοποίηση της παραπάνω εξίσωσης είναι αυτές που προκύπτουν από τη φυσική του προβλήματος και ακολουθούν τις βασικές αρχές μοντελοποίησης της τύρβης. Το πλεονέκτημα με τα RSM μοντέλα είναι ότι επειδή τα προς επίλυση βασικά μεγέθη είναι οι ίδιες οι τάσεις Reynolds, οι ακριβείς τιμές των τάσεων uu i j μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μοντελοποίηση κάποιων μεγεθών. Στην περίπτωση των μοντέλων RSM δεν χρειάζεται η εύρεση κάποιου ιξώδους της τύρβης. Οι τάσεις υπολογίζονται άμεσα από της εξισώσεις μεταφοράς τους και δεν είναι πλέον αναγκαία η ύπαρξη κάποιας αλγεβρικής σχέσης τάσης παραμόρφωσης. Η τελική εξίσωση μεταφοράς της σκέδασης της κινητικής ενέργειας της τύρβης για το μοντέλο του Craft, όπως προτάθηκε από τους Craft και Launder (996), θα είναι: ε 3 ( ε ) D% ε % ε Pkk % ε %% ε ε k % ε = cε cε c ε + vδ lk + cεuu l k Dt k k k xl ε xk k Uk Uk i j YE ε xi xl xj xl + c vuu + (.5) όπου ε% είναι το ισοτροπικό μέρος της διασποράς ε, του οποίου τα πλεονεκτήματα της χρήσης είναι αντίστοιχα με αυτά των μοντέλων ιξώδους τύρβης. Στην εξίσωση (.5) οι πρώτοι δύο όροι περιγράφουν την παραγωγή και την καταστροφή του ε% αντίστοιχα, ενώ ο τρίτος όρος προστέθηκε για να βελτιώσει τον υπολογισμό της σκέδασης κοντά στα τοιχώματα. Τέλος, ο τελευταίος όρος βελτιώνει τον υπολογισμό της κλίμακας μήκους της τύρβης, σε αντιστοιχία με τη διόρθωση του Yap (987) για τα μοντέλα ιξώδους τύρβης και είναι μια πρόταση των Iacovides και Raisee (997). Η μαθηματική του έκφραση έχει τη μορφή: % ε max εl ( ), (.53) YE = c F F + k 35

36 όπου, l l F = c B R + B c R B R xj x j { l exp( ε t) ε l t exp( ε t) } (.54) 3 k k με l = η χαρακτηριστική κλίμακα μήκους και Rt = ο τυρβώδης αριθμός Reynolds ε vε εκφρασμένος με τη συνολική διασπορά της τύρβης ε. Οι συντελεστές και οι συναρτήσεις των τελικών εκφράσεων της εξίσωσης μεταφοράς της σκέδασης της τύρβης στο μοντέλου RSM του Craft δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: c ε c ε c ε c ε 3 c ε l c ε A d.9,5 +.7AA d max ( A,.5) Πίνακας.4.Οι συντελεστές της εξίσωσης μεταφοράς της σκέδασης της κινητικής ενέργειας της τύρβης στο μοντέλο τύρβης RSM του Craft..3 Μοντελοποίηση οριακών στρωμάτων υπό συνθήκες μετάβασης Η μετάβαση του οριακού στρώματος από στρωτό σε τυρβώδες είναι ένα σύνθετο και στοχαστικό φαινόμενο. Από τις πιο σημαντικές μηχανολογικές εφαρμογές που εμπεριέχουν φαινόμενα μετάβασης, είναι η ανάπτυξη ροής σε αεροτομές, πτέρυγες καθώς και πτερύγια στροβιλομηχανών. Ο διαχωρισμός των οριακών στρωμάτων σε στρωτά και τυρβώδη αναφέρεται στον τρόπο κίνησης του ρευστού και την ύπαρξη τρισδιάστατων διαταραχών. Στα στρωτά οριακά στρώματα, που εμφανίζονται συνήθως σε ροές με μικρούς αριθμούς Reynolds, η ροή κινείται κατά μήκος των ροϊκών γραμμών ενώ δεν υπάρχουν διαταραχές ως προς τις δύο άλλες διευθύνσεις. Σε ροές με μεγαλύτερους αριθμούς Reynolds, το οριακό στρώμα μπορεί να μετατραπεί σε τυρβώδες. Στα τυρβώδη οριακά στρώματα εμφανίζονται τυχαίες έντονες διαταραχές της ταχύτητας ως προς το χώρο και το χρόνο και επηρεάζουν σημαντικά την εξέλιξη του πεδίου ροής. Οι τυχαίες διαταραχές ευθύνονται για τη μεταφορά της ορμής από την εξωτερική κύρια ροή έως το τοίχωμα και συνεπώς η ενέργεια και η κατανομή των ταχυτήτων στις περιοχές αυτές έχουν υψηλότερες τιμές σε σχέση με τα στρωτά οριακά στρώματα. Το μεγάλο μειονέκτημα των μοντέλων τύρβης που αναπτύχθηκαν στις προηγούμενες ενότητες, είναι ότι οι μαθηματικές εξισώσεις και οι συντελεστές που τα περιγράφουν είναι σχεδιασμένοι με τέτοιο τρόπο ώστε να μοντελοποιούν ροϊκά φαινόμενα σε πλήρως ανεπτυγμένες τυρβώδης ροές και οριακά στρώματα. Συνεπώς, δεν είναι σε θέση να περιγράψουν και να επιλύσουν σωστά ένα πεδίο ροής όπου επικρατούν φαινόμενα μετάβασης των οριακών στρωμάτων από στρωτά σε τυρβώδη καθώς οι εξισώσεις της μοντελοποίησης δεν περιγράφουν πλήρως τους μηχανισμούς που διέπουν τις μεταβατικές ροές. Έχουν παρατηρηθεί τρεις βασικοί μηχανισμοί μετάβασης, Mayle (99). Η φυσική μετάβαση, η μετάβαση παράκαμψης (by-pass) και η μετάβαση λόγω αποκόλλησης του οριακού στρώματος. Κατά τη φυσική μετάβαση αρχικά δημιουργούνται κάποια δισδιάστατα κύματα διαταραχών που είναι γνωστά ως Tolmien-Schlichting. Στη συνέχεια οι διαταραχές αυτές γίνονται τρισδιάστατες και μετατρέπονται σε δίνες οι οποίες δημιουργούν έντονες Β ε c l 36

37 διακυμάνσεις. Στο τελευταίο στάδιο οι διαταραχές μετατρέπονται σε τυρβώδεις περιοχές και αφού ενωθούν όλες μαζί σχηματίζουν το τυρβώδες οριακό στρώμα. Σχήμα. Φυσική Μετάβαση. Ο μηχανισμός της μετάβασης by-pass, συναντάται σε περιοχές που υπάρχουν έντονα ποσοστά τύρβης και είναι σημαντικός σε ροές γύρω από πτερύγια στροβιλομηχανών. Οι έντονες αστάθειες δημιουργούνται από την επίδραση της τύρβης και των διακυμάνσεων της ταχύτητας από την ελεύθερη ροή. Οι διαταραχές αυτές, όπως και στην περίπτωση της φυσικής μετάβασης συνενώνονται και δημιουργούν το τυρβώδες οριακό στρώμα. Σχήμα. Μετάβαση by-pass. Η μετάβαση λόγω αποκόλλησης, συναντάται συνήθως σε κάποια απόσταση μετά την ακμή προσβολής αεροτομών και πτερυγίων στροβιλομηχανών και είναι πιο σύνθετο φαινόμενο από τα δύο προηγούμενα. Από το σημείο ανακοπής και μετά, το οριακό στρώμα αναπτύσσεται σαν στρωτό καθώς έχει μεγάλη ευστάθεια λόγω της επιτάχυνσης που δέχεται εξαιτίας της καμπυλότητας και της αρνητικής κλίσης πίεσης κατά τη ροή του ρευστού. Η αστάθεια του στρωτού οριακού στρώματος εμφανίζεται σταδιακά καθώς η κλίση της πίεσης γίνεται θετική ως προς την κατεύθυνση ροής και το ρευστό επιβραδύνεται καθώς δεν υπάρχει πλέον επίδραση από την καμπυλότητα της γεωμετρίας. Κάτω από κατάλληλες αρχικές συνθήκες το ρευστό λόγω των παραπάνω φαινομένων αποκολλάται και σχηματίζεται μια περιοχή ανακυκλοφορίας. Το οριακό στρώμα μπαίνει στην περιοχή μετάβασης και σταδιακά γίνεται τυρβώδες. Οι φυσαλίδες της αποκόλλησης που δημιουργούνται εξαρτώνται άμεσα και σε μεγάλο βαθμό από τις συνθήκες ταχύτητας και έντασης της τύρβης που επικρατούν στην ελεύθερη ροή. Το συνολικό φαινόμενο περιγράφεται από στρωτή αποκόλληση και τυρβώδη επανακόλληση του οριακού στρώματος και ο μηχανισμός της είναι συνδυασμός των δύο προηγούμενων ειδών μετάβασης. Σχήμα.3 Μετάβαση Αποκόλλησης 37

38 Η πρόβλεψη και τα χαρακτηριστικά της μετάβασης είναι πολύ σημαντικό να είναι καθορισμένα και γνωστά για το σωστό σχεδιασμό των αεροτομών στην αεροναυπηγική καθώς και των πτερυγίων στροβιλομηχανών. Συνεπώς, είναι επιβεβλημένη η ύπαρξη μεθοδολογιών που προβλέπουν και περιγράφουν σωστά τα σύνθετα φαινόμενα της μετάβασης. Οι μεθοδολογίες θα πρέπει να είναι σωστά δομημένες ως προς τη σωστή φυσική περιγραφή του φαινομένου έτσι, ώστε η χρησιμοποίηση εμπειρικών νόμων να μην είναι απαραίτητη. Η πιο ακριβής μαθηματική προσέγγιση της μετάβασης γίνεται με τη θεωρία ευστάθειας, σύμφωνα με την οποία εξετάζεται η εξέλιξη μικρών διαταραχών σε ένα στρωτό πεδίο ροής με τη χρήση της εξίσωσης Orr-Sommerfield. Το μεγάλο μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η δυσκολία στην εφαρμογής της σε σύνθετες ροές που εμπεριέχουν ανακυκλοφορίες και οι λύσεις της εξυπηρετούν μόνο τα δύο πρώτα είδη μετάβασης. Ένας άλλος διαδεδομένος τρόπος προσέγγισης του φαινομένου της μετάβασης είναι και η μοντελοποίησή του με τις σταθμισμένες κατά Reynolds Navier-Stokes εξισώσεις. Μια τέτοιου είδους μοντελοποίηση βασίζεται στη χρησιμοποίηση είτε μοντέλων ιξώδους τύρβης, είτε μοντέλων RSM με τις χαμηλού αριθμού Reynolds εκφράσεις τους. Η χρησιμοποίηση μοντέλων ιξώδους τύρβης χαμηλού αριθμού Reynolds βοηθάει στη μοντελοποίηση του φαινομένου της μετάβασης, κατά βάση της μετάβασης by-pass, καθώς χρησιμοποιεί κατάλληλους συντελεστές απόσβεσης των τυρβωδών μεγεθών κοντά στα τοιχώματα και συνεπώς κάνει το οριακό στρώμα πριν τη μετάβαση να συμπεριφέρεται σαν στρωτό, Savil (α,β). Επιπλέον δίνει τη δυνατότητα της επίλυσης της ροής έως το τοίχωμα καθώς ολοκληρώνει τις εξισώσεις μέχρι τα όρια του πεδίου ροής, χωρίς τη χρησιμοποίηση επιπλέον οριακών συνθηκών που περιγράφουν τα ρευστομηχανικά φαινόμενα στην περιοχή κοντά στα τοιχώματα. Ο Wilcox (994), χρησιμοποίησε το γραμμικό μοντέλο χαμηλού αριθμού Reynolds k-ω εισάγοντας συναρτήσεις απόσβεσης με σκοπό να περιγράψει τα φαινόμενα κοντά στους τοίχους και να προβλέψει πιο καλά τη μετάβαση by-pass. Οι Craft et al. (997), εξήγαγαν μία ακόμη εξίσωση μεταφοράς της αναλλοίωτης ποσότητας A, του τανυστή ανισοτροπίας a ij των τάσεων Reynolds, για τη μοντελοποίηση της μετάβασης by-pass. Η χρησιμοποίηση της μεταφοράς μιας αναλλοίωτης ποσότητας του τανυστή των τάσεων Reynolds απεικονίζει την ανισοτροπία των τάσεων Reynolds κοντά στα τοιχώματα, γεγονός που βοηθάει τη μοντελοποίηση της μετάβασης. Μία εναλλακτική προσέγγιση στη μοντελοποίηση του φαινομένου της μετάβασης, είναι αυτή που συνδυάζει τις σταθμισμένες κατά Reynolds Navier-Stokes εξισώσεις, ενός συνήθως γραμμικού μοντέλου τύρβης, με την ιδέα του συντελεστή διακοπής (intermittency factor). Πρώτη απόπειρα εφαρμογής αυτής της ιδέας έγινε από τους Cho και Chung (99), οι οποίοι συνδύασαν το κλασσικό γραμμικό μοντέλο k-ε με το συντελεστή διακοπής. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτή, ο συντελεστής διακοπής πολλαπλασιάζεται με την τελική έκφραση του ιξώδους της τύρβης και ενεργεί σαν ένας συντελεστής απόσβεσης. Πριν το σημείο αρχής της μετάβασης, παίρνει τιμή μηδέν και από το σημείο ολοκλήρωσης της μετάβασης και έπειτα στο πλήρως τυρβώδες πλέον οριακό στρώμα, παίρνει τιμή ίση με τη μονάδα. Στην ενδιάμεση περιοχή της μετάβασης παίρνει τιμές μεταξύ μηδέν και ένα. Όπως απέδειξαν οι Suzen και Huang (999) και οι Suzen et al. (3) για ροές όπου συναντάται η μετάβαση by-pass, η χρησιμοποίηση συνδυασμού μοντέλου ιξώδους τύρβης και εξίσωσης μεταφοράς του συντελεστή διακοπής μπορεί να είναι αρκετά αποτελεσματική όσον αφορά τη πρόβλεψη αυτών των ροών. Παρόλα αυτά, όπως τονίστηκε από τους Hadzic και Hanjalic (999), τέτοιου είδους προσεγγίσεις εμπεριέχουν συντελεστές και παραμέτρους που βασίζονται σε εμπειρικούς κανόνες και εξαρτώνται κάθε φορά από τη γεωμετρία και τη φυσική του προβλήματος, χάνοντας έτσι τη γενικότητα στην ευρύτερη εφαρμογή τους. 38

39 Στη βιβλιογραφία, οι περισσότερες μελέτες αφορούν τη μοντελοποίηση της μετάβασης by-pass, καθώς η μετάβαση λόγω αποκόλλησης είναι ένα πολύ σύνθετο φαινόμενο και οι δυσκολίες μοντελοποίησής της είναι πολύ περισσότερες από τις άλλες περιπτώσεις μετάβασης, καθώς εισέρχονται πολλές παράμετροι που κυβερνούν το πρόβλημα ενώ αυξάνονται και οι εμπειρικές σχέσεις που πρέπει να εφαρμοστούν. Αποτελέσματα μοντελοποίησης ροών με αποκόλληση που παρουσίασαν την αποτυχία του απλού γραμμικού μοντέλου k-ε στην πρόβλεψη τους, παρουσιάστηκαν από τους Palikaras et al. (,3). Οι Vicedo et al. (99) παρουσίασαν μια λεπτομερή ανάλυση του συνδυασμού ενός γραμμικού k-ε μοντέλου και της εξίσωσης μεταφοράς του συντελεστή διακοπής σε μετάβαση λόγω αποκόλλησης πάνω σε πλάκα. Τα πιο ακριβή αποτελέσματα πρόβλεψης της μετάβασης λόγω αποκόλλησης, δόθηκαν από τους Hadzic (999) και Hadzic και Hanjalic (999). Για τη μοντελοποίηση της ροής χρησιμοποίησαν ένα χαμηλού αριθμού Reynolds RSM μοντέλο βασισμένο στο αρχικό μοντέλο τύρβης που αναπτύχθηκε από τους Hanjalic και Jakirlic (998). Επίσης οι Vlahostergios et al (7) παρουσίασαν εξίσου ποιοτικά αποτελέσματα χρησιμοποιώντας το πιο εξελιγμένο μοντέλο τύρβης χαμηλού αριθμού Reynolds RSM του Craft (998). Παρόλο που τα RSM μοντέλα είναι αρκετά ακριβή και καταφέρνουν να περιγράψουν ικανοποιητικά το μηχανισμό της μετάβασης, είναι αρκετά πολύπλοκα, ασταθή και απαιτούν μεγάλη υπολογιστική ισχύ. Το γεγονός αυτό τα καθιστά δύσκολα στο χειρισμό τους, καθώς απαιτούν μεγάλη εμπειρία στην εφαρμογή κατάλληλων μέτρων ευστάθειας, ενώ τα υπολογιστικά πλέγματα που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των πολύπλοκων ροϊκών πεδίων έχουν μεγάλο αριθμό κελιών και αυξάνουν την ανάγκη μεγάλης υπολογιστικής ισχύς. Επίσης, η συνολική διαδικασία επίλυσης είναι περισσότερο χρονοβόρα καθώς για να υπολογιστεί πλήρως ο τανυστής των τάσεων Reynolds απαιτείται η επίλυση έξι (για τρισδιάστατη ροή) επιπλέον εξισώσεων μεταφοράς του κάθε στοιχείου του τανυστή. Μία εναλλακτική μεθοδολογία προσέγγισης και περιγραφής αρχικά της by-pass μετάβασης, δόθηκε από τους Mayle και Schultz (997) οι οποίοι εισήγαγαν το σκεπτικό της στρωτής κινητικής ενέργειας και εξήγαγαν μια εξίσωση μεταφοράς της. Η στρωτή κινητική ενέργεια περιγράφει τις διακυμάνσεις της ροής, που είναι αντίστοιχες των κυμάτων Tolmien- Schlichting που συναντώνται κυρίως στη φυσική μετάβαση και αναπτύσσονται πριν και μέχρι το τέλος της μεταβατικής περιοχής. Οι διακυμάνσεις αυτές και συνεπώς η στρωτή κινητική ενέργεια, συνεισφέρουν στο συνολικό μηχανισμό της μετάβασης και είναι έντονες κυρίως στην στρωτή περιοχή της ροής. Κατά τη διάρκεια της μετάβασης σταδιακά υποχωρούν δίνοντας τη θέση τους στην κινητική ενέργεια της τύρβης. Η επίδραση της στρωτής κινητικής ενέργειας και η αλληλεπίδρασή της με τα υπόλοιπα μεγέθη της τύρβης, γίνεται μέσω του ιξώδους της τύρβης και μιας ολικής κινητικής ενέργειας. Αρχικά οι Walters και Leylek (4) παρουσίασαν μια πρακτική εφαρμογή της ιδέας της στρωτής κινητικής ενέργειας. Μοντελοποίησαν τη μετάβαση by-pass σε θερμαινόμενο τοίχωμα και σε στατικά πτερύγια στροβιλομηχανής με τη χρησιμοποίηση ενός γραμμικού μοντέλου τύρβης k-ε χαμηλού αριθμού Reynolds. Στη γραμμική έκφραση των τάσεων Reynolds, χρησιμοποίησαν ένα συνολικό ιξώδες τύρβης που κατά τον υπολογισμό του λαμβάνονται υπόψη και οι στρωτές και οι τυρβώδεις διακυμάνσεις ενώ η τελική κινητική ενέργεια της τύρβης είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας της τύρβης και της στρωτής κινητικής ενέργειας. Οι όροι που αφορούν την παραγωγή και των δύο ειδών κινητικής ενέργειας στις χρησιμοποιούμενες εξισώσεις, βασίζονται στους κανόνες που διέπουν τα γραμμικά μοντέλα τύρβης με κατάλληλο διαχωρισμό της τυρβώδους κινητικής ενέργειας μέσω κάποιας κατάλληλης κλίμακας μήκους. Οι Holloway et al. (4) προχώρησαν στο συνδυασμό της ιδέας της στρωτής κινητικής ενέργειας με ένα γραμμικό μοντέλο τύρβης k-ω χαμηλού αριθμού Reynolds και στην εφαρμογή του στη μοντελοποίηση της μετάβασης της ροής γύρω από σταθερό σώμα. Το ίδιο μοντέλο χρησιμοποίησαν και οι Walters και Leylek (5) στη μοντελοποίηση της ροής γύρω από πλάκα προσομοιώνοντας της συνθήκες 39

40 μετάβασης σε συμπιεστή. Τα αποτελέσματα που εξήχθησαν ήταν ικανοποιητικά και απέδειξαν ότι η ιδέα της στρωτής κινητικής ενέργειας μπορεί να εφαρμοστεί με ευκολία και να προβλέψει με μεγάλη ακρίβεια φαινόμενα μετάβασης by-pass. Οι Cutrone et al. (7, 8) εφάρμοσαν τη μεθοδολογία μοντελοποίησης των Walters και Leylek (5), με κάποιες διαφοροποιήσεις και τη συνέκριναν με την τυπική μοντελοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς του συντελεστή διακοπής, στην πρόβλεψη μετάβασης σε πλάκα συγκρίνοντας τα αποτελέσματά τους με τα πειράματα των Coupland και Brierley (996). Το πρόβλημα το οποίο εξετάστηκε είναι πολυσύνθετο και συνδυάζει τόσο φαινόμενα by-pass μετάβασης, όσο και φαινόμενα μετάβασης λόγω αποκόλλησης του οριακού στρώματος. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, με στόχο την πιο λεπτομερή απεικόνιση και πρόβλεψη του φαινομένου της μετάβασης, επιχειρείται η εξαγωγή ενός νέου μοντέλου τύρβης το οποίο θα χρησιμοποιεί την ιδέα της στρωτής κινητικής ενέργειας σε συνδυασμό με την ιδιότητα που έχουν τα μη-γραμμικά μοντέλα στην πιο ρεαλιστική απεικόνιση του πεδίου ροής. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιείται το εξελιγμένο κυβικό μη-γραμμικό μοντέλο των Craft et al. (996) και συνδυάζεται με το γραμμικό μοντέλο των Walters και Leylek (4). Η χρησιμοποίηση του μη-γραμμικού μοντέλου των Craft et al. (996) στην αρχική του μορφή, υπολογίζει στη μεταβατική περιοχή μικρότερες τιμές της κινητικής ενέργειας της τύρβης από τις μετρούμενες πειραματικές όπως έχει διαπιστωθεί από τους Lardeau et al. (4). Οι μαθηματικές εξισώσεις του τελικού εξαγόμενου μη-γραμμικού μοντέλου είναι τέτοιες ώστε να συμφωνούν στη γενικότητά τους με αυτές των δύο επιμέρους μοντέλων τύρβης. Η ρεαλιστική απεικόνιση της ανισοτροπίας στην κατανομή των τάσεων Reynolds κοντά στα τοιχώματα και η ενσωμάτωση της φυσικής της στρωτής κινητικής ενέργειας σε ένα μοντέλο τύρβης, δίνει την δυνατότητα της σωστής, από φυσικής άποψης, πρόβλεψης της κατανομής της τύρβης και συνεπώς καλύτερη περιγραφή του φαινομένου της μετάβασης. Στην επόμενη ενότητα παρουσιάζονται λεπτομερώς τα δύο γραμμικά μοντέλα ιξώδους τύρβης, που συνδυάζουν την ιδέα της στρωτής κινητικής ενέργειας. Αναπτύσσεται η μεθοδολογία ανάπτυξης του προτεινόμενου μη-γραμμικού μοντέλου που συνδυάζει το μηγραμμικό μοντέλο τύρβης CLS, με την εξίσωση μεταφοράς της στρωτής κινητικής ενέργειας..3. Το γραμμικό μοντέλο ιξώδους τύρβης και στρωτής κινητικής ενέργειας (k-εk laminar ) Το μοντέλο k-ε-k laminar, είναι ένα low-reynolds γραμμικό μοντέλο τριών εξισώσεων. Επιλύει εκτός από τις βασικές εξισώσεις της κυρίας ροής, που είναι οι μέσες ταχύτητες U i και η μέση πίεση P και τις βασικές εξισώσεις των μοντέλων τύρβης δύο εξισώσεων, που είναι η κινητική ενέργεια της τύρβης k και τη διασπορά της ε, μία ακόμα εξίσωση μεταφοράς, αυτή της στρωτής κινητικής ενέργειας. Για το διαχωρισμό στο συμβολισμό των δύο ενεργειών, η κινητική ενέργεια της τύρβης συμβολίζεται με k T και η στρωτή κινητική ενέργεια με k L. Η επίδραση των διακυμάνσεων των δύο ενεργειών στον υπολογισμό των βασικών μεγεθών της ροής, υπεισέρχεται με τον τελικό προσδιορισμό μιας συνολικής κινητικής ενέργειας της τύρβης και ενός συνολικού ιξώδους τύρβης. Έτσι, οι συνολικές διακυμάνσεις των ταχυτήτων προσδιορίζονται από τα συνολικά μεγέθη και με αυτή τη μορφή ενσωματώνονται στις τελικές εξισώσεις ορμής. Η γραμμική σχέση που περιγράφει τις τάσεις Reynolds είναι: Ui U i uu = v + k xj x j 3 i j TOT TOT ij δ (.55) 4

41 όπου v TOT και k TOT είναι το ολικό ιξώδες και η ολική κινητική ενέργεια της τύρβης αντίστοιχα. Η κινητική ενέργεια k T χωρίζεται κοντά στα τοιχώματα σε δύο μέρη. Στην ενέργεια, που συνεισφέρει άμεσα στην παραγωγή της κινητικής ενέργειας της μικρής κλίμακας k Ts, τύρβης και σε αυτή της μεγάλης κλίμακας k Tl,, που συνεισφέρει στην παραγωγή της στρωτής κινητικής ενέργειας. Ο διαχωρισμός των ενεργειών βασίζεται στην κατανομή που προκύπτει από το ενεργειακό φάσμα του Kolmogorov. Σύμφωνα με τη θεώρηση του Kolmogorov, υπάρχει ένα εύρος δινών, μεταξύ των μεγαλύτερων και των μικρότερων, όπου η διαδικασία της μεταφοράς ενέργειας από ενεργειακά υψηλότερες δομές σε χαμηλότερες είναι ανεξάρτητη των μεγάλων δινών, που εμπεριέχουν υψηλή ενέργεια καθώς και ανεξάρτητη του μοριακού ιξώδους του ρευστού. Στην περιοχή αυτή η μεταφορά - σκέδαση της τυρβώδους ενέργειας κυριαρχείται εξολοκλήρου από τη σκέδαση της κινητικής ενέργειας της τύρβης ε και ονομάζεται αδρανειακή υποπεριοχή (inertial subrange), Davidson (6). H ενέργεια δίνεται από μία σχέση της μορφής: 3 53 E( κ) = Cκε κ, = κ = l η 3 όπου C κ η σταθερά του Kolmogorov και η ( v ε ) 4 = ένα χαρακτηριστικό μήκος (χαρακτηριστικό μήκος του Kolmogorov). Σχηματικά το ενεργειακό φάσμα μιας τυρβώδους ροής φαίνεται στο σχήμα.4. Σχήμα.4 Ενεργειακό φάσμα τυρβώδους ροής κατά Kolmogorov Σύμφωνα με την ανάλυση των Walters και Leylek (4), ορίζεται μια χαρακτηριστική 3 k κλίμακα μήκους που δίνεται από τη σχέση λeff = MIN ( C λ d, λt ), όπου λt = η ε χαρακτηριστική κλίμακα μήκους της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και d η ελάχιστη απόσταση από το τοίχωμα. 4

42 Θεωρώντας ότι το ενεργειακό φάσμα του Kolmogorov για την τύρβη εφαρμόζεται για όλους τους κυματαριθμούς μεγαλύτερους του / λ T, προκύπτουν οι επιμέρους ενέργειες που συνθέτουν τη συνολική κινητική ενέργεια της τύρβης και δίνονται από τις σχέσεις: k Ts, και 3 λeff = kt λt (.56) k λeff = λt Tl, kt 3 (.57) με kt kt, s kt, l = +. Οι εξισώσεις μεταφοράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης, της στρωτής κινητικής ενέργειας και της διασποράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: Dk a k = P + R+ R ε D + v+ Dt x x T T T T NAT T j σκ j (.58) DkL k P R R D v Dt x x L = L NAT L + j j (.59) Dε ε ε ε ε a T ε = Cε ( PT + RNAT ) + CεRR CεR DT + v+ Dt kt kk k T L T kt x j σε x j (.6) Όπως προαναφέρθηκε, η παραγωγή της κινητικής ενέργειας της τύρβης και της στρωτής κινητικής ενέργειας συνδέεται άμεσα με την μικρής και μεγάλης κλίμακας ενέργεια της τύρβης αντίστοιχα. Σύμφωνα με την μοντελοποίηση του όρου παραγωγής της τύρβης, που ισχύει γενικά για τα μοντέλα ιξώδους τύρβης, πρέπει να οριστούν ένα ιξώδες τύρβης μικρής και μεγάλης κλίμακας αντίστοιχα. Τα ιξώδη αυτά θα δίνονται από τις σχέσεις: v = f f C k (.6) Ts, v τ, s μ Ts, λeff και v f C k v Ωλeff Tl, = τ, l l Tl, λeff (.6) 4

43 Οι σχέσεις αυτές που εκφράζουν τα δύο ιξώδη της τύρβης, είναι όμοιες με την εξίσωση (.7). Οι ποσότητες k, λ και k, λ αντιστοιχούν στην έκφραση k ε και έχουν Ts eff Tl eff Re Ts, μονάδες ιξώδους. Ο όρος fv = exp στη σχέση (.6) είναι ένας συντελεστής Av απόσβεσης ο οποίος τείνει στο μηδέν καθώς προσεγγίζεται το τοίχωμα και χρησιμοποιείται στα low-reynolds μοντέλα για να ενσωματώσει την επίδραση των τοιχωμάτων, όπου kts, ReTs, = ο τυρβώδης αριθμός Reynolds για τις μικρές κλίμακες τύρβης. Ο συντελεστής vε C μ δίνεται από τη σχέση Cμ = σύμφωνα με τους Shih et al. (995) και είναι SkT A + As ε σημαντικός για την φυσικά σωστή περιγραφή των φαινομένων της τύρβης σε συνθήκες μη ισορροπίας. Από τη σχέση (.6), του ιξώδους τύρβης μεγάλης κλίμακας, είναι εμφανές ότι για την παραγωγή της στρωτής κινητικής ενέργειας είναι υπεύθυνη η παρουσία στροβιλότητας. Η στροβιλότητα βοηθάει στην ανάπτυξη των διακυμάνσεων κατά τη διεύθυνση της ροής που είναι υπεύθυνες για την παραγωγή της k L. Οι συντελεστές τ m fτ, s = exp C τ, s τ Ts, και τ m fτ, l = exp C τ, l τ Tl, είναι επίσης συντελεστές απόσβεσης βασισμένοι σε χαρακτηριστικές κλίμακες χρόνων που λeff λeff δίνονται από τις σχέσεις τ m =, τ Ts, = και τ Tl, =. Ποσοτικοποιούν την S k Ts, k Tl, απόσβεση που εισάγεται από την αδυναμία των αργών τυρβωδών δινών να ακολουθήσουν τις απότομες αλλαγές του ρυθμού παραμόρφωσης των στοιχείων του ρευστού μέσα στο οριακό στρώμα. Η χρησιμοποίησή τους είναι σημαντική για την μοντελοποίηση του φαινομένου της μετάβασης και στην ουσία είναι συντελεστές διακοπής (intermittency factors). Στην περίπτωση που το φαινόμενο εμπεριέχει και φαινόμενα φυσικής μετάβασης προστίθεται στην έκφραση (.6), του ιξώδους των μεγάλων δινών που κυριαρχεί στην ανάπτυξη του φαινομένου, ένας επιπλέον όρος ο οποίος μοντελοποιεί και ενσωματώνει το μηχανισμό της φυσικής μετάβασης και της ανάπτυξης των κυμάτων Tolmien Schlichting στο μοντέλο τύρβης. Συνεπώς η σχέση (.6) θα γίνει: Ωλ eff vtl, = fτ, lcl ktl, λeff + βtsclϕnatd Ω v (.63) όπου, max, βts = exp ATS και ( ϕ ) NAT CTS, crit 43

44 d S ϕ NAT =. v Τέλος, S = S ij S ij και Ω= Ω ij Ω ij είναι τα μέτρα των τανυστών του μέσου ρυθμού παραμόρφωσης και στροβιλότητας αντίστοιχα, όπου S ij U U i = + x j xi j ο τανυστής του U U i j ρυθμού παραμόρφωσης και Ω ij = ο τανυστής του ρυθμού περιστροφής των x j x i στοιχείων του ρευστού. Λαμβάνοντας υπ όψη όλα τα παραπάνω, οι τελικές εκφράσεις για την παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και της στρωτής κινητικής ενέργειας λόγω παραμόρφωσης θα δίνονται από τις αντίστοιχες γραμμικές σχέσεις: T = (.64) T, s P v S και L = (.65) T, l P v S Το τελικό συνολικό ιξώδες της τύρβης το οποίο θα χρησιμοποιηθεί στις εξισώσεις ορμής και στον προσδιορισμό των τάσεων Reynolds από την εξίσωση (.55) θα είναι: v = v + v (.66) TOT T, s T, l Καθώς το παρόν μοντέλο είναι χαμηλού αριθμού Reynolds, η περιγραφή της φυσικής και της συμπεριφοράς των δύο κινητικών ενεργειών κοντά στο τοίχωμα δίνεται άμεσα από κατάλληλες μαθηματικές εκφράσεις που εμπεριέχουν την έντονη συνεισφορά του μοριακού ιξώδους στην περιοχή αυτή. Η διασπορά των δύο κινητικών ενεργειών κοντά στα τοιχώματα, λόγω της ύπαρξης του μοριακού ιξώδους, είναι οι όροι D T και D L στις εξισώσεις μεταφοράς kt kt τους, (.58) και (.59). Οι μαθηματικές τους εκφράσεις είναι DT = v και x x D L k = v x j L k x j L αντίστοιχα. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η σχέση j D T είναι το τμήμα της διασποράς που μαζί με το ισοτροπικό μέρος της διασποράς τη κινητικής ενέργειας της τύρβης όπως ορίστηκε και προηγουμένως στο μη-γραμμικό μοντέλο CLS, σχέση (.6) και στο μοντέλο τάσεων Reynolds του Craft, θα δώσει τη συνολική διασπορά της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Η στρωτή κινητική ενέργεια από τον τρόπο που ορίζεται και μοντελοποιείται παίζει σημαντικό ρόλο κοντά στα τοιχώματα και μακριά από αυτά τείνει στο μηδέν. Συνεπώς η διασπορά της ορίζεται μόνο κοντά στα τοιχώματα και δεν χρειάζεται να περιγραφεί με κάποια εξίσωση μεταφοράς κάποιο ισοτροπικό κομμάτι της αφού είναι εξ ορισμού μηδενικό. Έτσι, η τελική διασπορά της συνολικής ενέργειας που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των τάσεων Reynolds, k TOT θα είναι εtot = ε + DT + DL. j 44

45 Οι όροι R και R NAT που εμφανίζονται στις εξισώσεις μεταφοράς (.58) και (.59) αφορούν στην παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας λόγω της καταστροφής των διακυμάνσεων κατά τη διεύθυνση της ροής, που είναι υπεύθυνες για της παραγωγή της στρωτής κινητικής ενέργειας. Αναφέρονται αντίστοιχα στην μετάβαση by-pass και στη φυσική μετάβαση. Εμφανίζονται με διαφορετικά πρόσημα στις εξισώσεις μεταφοράς γιατί όσο συνεισφέρουν στην παραγωγή του ενός μεγέθους, τόσο θα πρέπει να καταστρέφουν το άλλο και με τέτοιο τρόπο ώστε η συνολική διακύμανση της ενέργειας να παραμένει σταθερή. Η εμφάνισή τους στην εξίσωση μεταφοράς της ισοτροπικής διασποράς (.6) διορθώνει, στην ουσία ελαττώνει, την τιμή της χαρακτηριστικής κλίμακας μήκους της τύρβης όσο προσεγγίζονται τα τοιχώματα. Επειδή οι όροι R και R NAT αναφέρονται στις διακυμάνσεις που είναι υπεύθυνες για την παρουσία της στρωτής κινητικής ενέργειας, οι μαθηματικές εκφράσεις που τους περιγράφουν θα εμπεριέχουν άμεσα την επίδρασή της και θα δίνονται από τις σχέσεις: R και k L = CRβ (.67) BP τt R = C β k S (.68) NAT R, NAT NAT L όπου λ ϕbp τ T = η χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου της τύρβης, βbp = exp A BP eff k T kd T συνάρτηση που ελέγχει την by-pass μετάβαση με ϕbp = max CBP, crit, και v.75.5 max ( ϕnatϕmix CNAT, crit,) βnat = exp η συνάρτηση που ελέγχει τη φυσική ANAT kl d μετάβαση με ϕ MIX =. v Η ενσωμάτωση των φαινομένων της μετάβασης με την παρουσία της εξίσωσης μεταφοράς της στρωτής κινητικής ενέργειας, επηρεάζει και την εξίσωση μεταφοράς της διασποράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης. Οι διακυμάνσεις της στρωτής κινητικής ενέργειας αποσβένονται καθώς η κινητική ενέργεια της τύρβης περάσει κάποια οριακή τιμή που εξαρτάται από το κινηματικό ιξώδες του ρευστού και την απόσταση από το τοίχωμα. Για να διασφαλιστεί η μικρή τιμή στην χαρακτηριστική κλίμακα μήκους στα αρχικά στάδια της.5λ T μετάβασης, ο συντελεστής C ε R στην εξίσωση (.6) θα είναι C ε R =.. λ eff Τροποποίηση έγινε και στο συντελεστή C ε που αφορά την παραγωγή του μεγέθους ε, ο λeff λeff οποίος παίρνει την έκφραση C ε = Σύμφωνα με τη σχέση λt λt αυτή μειώνεται επίσης η χαρακτηριστική κλίμακα μήκους κοντά στο τοίχωμα καθώς η 45

46 παράγεται η τυρβώδης κινητική ενέργεια ενώ μακριά από τα τοιχώματα παίρνει την τυπική C ε =.44, τιμή που αντιστοιχεί σε υψηλούς αριθμούς Reynolds. Τέλος, ο συντελεστής τυρβώδους διάχυσης (turbulent scalar diffusivity) εκφράζεται με βάση τη μικρής κλίμακας κινητική ενέργεια της τύρβης και το χαρακτηριστικό μήκος κλίμακας τύρβης λ eff και δίνεται από τη σχέση: a = f C k λ (.69) T v μ, std T, s eff Ο συντελεστής αυτός είναι στην ουσία η επίδραση του ιξώδους της τύρβης στη διάχυση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και της διασποράς της, εξισώσεις (.58) και (.6). Παρόλο που ο συντελεστής C μ είναι εξαρτώμενος της παραμόρφωσης του ρευστού και το ιξώδες της τύρβης που σχετίζεται με την παραγωγή της υπολογίζεται με αυτόν, στη σχέση (.69) χρησιμοποιείται η τιμή που παίρνει στα γραμμικά μοντέλα για πλήρως τυρβώδη οριακά στρώματα. Οι τελικές τιμές των συντελεστών του μοντέλου k-ε-k laminar δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: A = 4.4 C NAT, crit = 46 C τ, s = 436 A =. C, = C ε =.9 s TS crit A = 5.5 C, = 4 C λ =.495 v RNAT A = 8 C =.34 C μ, =.9 BP l A = C l = 6 σ = NAT A = C =. σ =.4 TS C = C τ, = 436 BP, crit 35 R l Πίνακας.5. Οι συντελεστές του γραμμικού μοντέλου ιξώδους τύρβης k-ε-k laminar. std ε k.3. Το γραμμικό μοντέλο k-ω-k laminar Η ιδέα ανάπτυξης του μοντέλου αυτού, βασίζεται στις ίδιες φυσικές αρχές και στις ίδιες παραδοχές στις οποίες βασίστηκε και το μοντέλο k-ε-k laminar. Χρησιμοποιεί τις ίδιες εξισώσεις για την περιγραφή της μεταφοράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης και της στρωτής κινητικής ενέργειας, εξισώσεις (.58) και (.59). Η σημαντική διαφορά είναι ότι στη θέση της διασποράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης ε, επιλύει την ποσότητα ω που είναι το αντίστροφο της χαρακτηριστικής κλίμακας χρόνου της τύρβης. Στην ουσία, πρόκειται για μία μέση συχνότητα, το αντίστροφο της οποίας δίνει την κλίμακα χρόνου στην οποία γίνεται η διάχυση της τύρβης Wilcox (). Σε αντίθεση με την σκέδαση της τύρβης ε που η φυσική της αφορά την καταστροφή των μικρών δινών, η συχνότητα ω αναφέρεται στον ρυθμό καταστροφής της τύρβης, που στην ουσία είναι η μεταφορά ενέργειας από τις μεγαλύτερες στις μικρότερες δίνες. Η σχέση που συνδέει τη σκέδαση της τύρβης ε με τη μέση συχνότητα ω είναι ε = ωkt. Συνεπώς, από τον τρόπο που ορίζονται τα παραπάνω μεγέθη αναμένεται η σωστή μοντελοποίηση του ω και η ενσωμάτωσή του στην ιδέα της στρωτής κινητικής ενέργειας, να περιγράψει καλύτερα τη διαδικασία μετάβασης και μεταφοράς της στρωτής κινητικής ενέργειας σε τυρβώδη. Η μοντελοποιημένη σχέση που χρησιμοποιείται από το τελικό μοντέλο k-ω-k laminar για την περιγραφή της μεταφοράς του ω είναι η εξής: 46

47 Dω ω = P + C ( R+ R ) C ω + Dt ω ωr NAT ω kt 43 λeff kt a T ω3 ωαt λt d x j σω x j C f v ω (.7) Όσον αφορά τη φυσική προσέγγιση ως προς το διαχωρισμό των κινητικών ενεργειών σε στρωτή και τυρβώδη, τους ορισμούς της μικρής και μεγάλης κλίμακας κινητικής ενέργειας της τύρβης, τον ορισμό των χαρακτηριστικών κλιμάκων λ T και λ eff αλλά και τον τελικό προσδιορισμό των τάσεων Reynolds, ισχύουν όλα όσα αναλύθηκαν στην προηγούμενη ενότητα. Ισχύουν δηλαδή οι σχέσεις (.55), (.56) και (.57). Η βασική διαφοροποίηση είναι στη βελτίωση των συντελεστών των ιξωδών της τύρβης, σχέσεις (.6) και (.6), τα οποία θα δίνονται από τις εκφράσεις:.5ε TOT vts, = min fvfintcμ kts, λeff, S (.7) και v.5ktl, = min, S * Tl, vtl, (.7) k L όπου, fint = min, είναι μια βελτίωση του συντελεστή διακοπής f τ,s και CINT ktot εμποδίζει την υπερεκτίμηση των ταχυτήτων στα τελευταία στάδια της by-pass μετάβασης. Το όριο στη σχέση (.7) μπαίνει για να εμποδίσει την πολύ γρήγορη παραγωγή της k T σε περιοχές που παρατηρείται αποκόλληση του οριακού στρώματος και σε περιοχές όπου υπάρχει μεγάλη παραμόρφωση του ρευστού. Τέλος, το όριο στη σχέση (.7) εξασφαλίζει την σωστή, από άποψη φυσικής ( realizability ), ανάπτυξη του οριακού στρώματος στις περιοχές πριν τη μετάβαση, όπου * Ωλ eff vtl, = fτ, lcl ktl, λeff + βtsclϕnatd Ω σε αντιστοιχία με τη σχέση (.63). Τέλος, η v παραγωγή των δύο κινητικών ενεργειών, της τυρβώδους και της στρωτής, δίνεται αντίστοιχα από τις σχέσεις P = v S και P = v S. T T, s L Πρέπει να σημειωθεί η διαφοροποίηση στις εκφράσεις των 3 λ T = RβBP Lω λ eff R C k T, l τ =, Ω m ϕ NAT d Ω =, v και RNAT = CR, NAT βnat klω. Οι εκφράσεις των R και R NAT χρησιμοποιούνται με τον ίδιο τρόπο όπως και στο μοντέλο k-ε-k laminar, για την ανακατανομή και την διατήρηση της συνολικής δυναμικής ισορροπίας μεταξύ των δύο κινητικών ενεργειών. Παρατηρείται ότι στις παραπάνω σχέσεις έχει αντικατασταθεί το μέτρο του τανυστή του μέσου ρυθμού παραμόρφωσης του ρευστού S, με το μέτρο του τανυστή του 47

48 μέσου ρυθμού περιστροφής Ω του ρευστού, καθώς και η χαρακτηριστική κλίμακα χρόνου στην έκφραση του R με την ποσότητα ω. Η εξίσωση μεταφοράς του ω, σχέση (.7), επίσης έχει κατάλληλη μορφή για να συμπεριλάβει τα φαινόμενα της επίδρασης της στρωτής κινητικής ενέργειας. Ο συντελεστής 3 λ T C ω R =.5 ενισχύει τη μείωση του χαρακτηριστικού μήκους κατά τη διάρκεια του λ eff 43 λeff τέλους της μετάβασης, ενώ ο συντελεστής C ω =.9 έχει αντίστοιχο ρόλο για τις λt περιοχές κοντά στα τοιχώματα. Η χρήση του ω για τον προσδιορισμό των χαρακτηριστικών κλιμάκων της τύρβης μπορεί να οδηγήσει σε ελλιπή πρόβλεψη της μετάβασης στο εξωτερικό μέρος του οριακού στρώματος και συνεπώς εσφαλμένο υπολογισμό της τελικής εξέλιξης της κατανομής των ταχυτήτων. Ο τέταρτος όρος της εξίσωσης (.7) διορθώνει αυτήν την αφύσικη συμπεριφορά του μοντέλου και εισάγεται στην εξίσωση μεταφοράς μαζί με τον συντελεστή απόσβεσης f exp.4( ) 4 ω = λ eff λ T. Τέλος, ο πρώτος όρος της εξίσωσης μεταφοράς αφορά την παραγωγή του ω λόγω της παραγωγής της τύρβης και λόγω των ανωμαλιών του ροϊκού πεδίου και δίνεται από τη σχέση: ( l T, ΔP ΔP T, l ) ω Pω = Cω v ωs + f C k Ω (.73) k T Η συσχέτιση της παραγωγής του ω με την παραγωγή της τύρβης ενσωματώνεται με τη χρήση του ιξώδους της τύρβης που είναι το ίδιο με τη σχέση (.7) χωρίς την επιβολή κάποιου περιορισμού και θα είναι: v = f f C k (.74) T, ω v INT μ T, sλeff O δεύτερος όρος της σχέσης (.73) μοντελοποιεί την παραγωγή του ω σε ασταθείς περιοχές του οριακού στρώματος που υπόκεινται σε θετικές κλίσεις πίεσης. Ο συντελεστής f Δ P είναι ένας συντελεστής απόσβεσης και εξαρτάται από την κλίση του μέτρου του τανυστή του ρυθμού περιστροφής ως προς την κάθετη απόσταση από το τοίχωμα. Δίνεται από τη σχέση: f P = fτ, l αν Ω d > f Δ ΔP = αν Ω d (.75) Οι καινούργιοι συντελεστές του μοντέλου k-ω-k laminar και αυτοί που έχουν τροποποιηθεί, σε σχέση με το μοντέλο k-ε-k laminar, ώστε να έχει καλύτερη συμπεριφορά παρατίθενται στον πίνακα που ακολουθεί: 48

49 C = σ =.7 RNAT, 4 C l = 6 C ω 3 =.3 C =. C Δ =.5 R C =.75 C ω =.44 INT ω P Πίνακας.6. Οι συντελεστές του γραμμικού μοντέλου ιξώδους τύρβης k-ω-k laminar..3.3 Το προτεινόμενο μη-γραμμικό μοντέλο k-ε-k laminar Στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής, εξάγεται ένα καινούργιο μοντέλο τύρβης το οποίο ενσωματώνει στην ιδέα της στρωτής κινητικής ενέργειας της τύρβης τα πλεονεκτήματα που προσφέρει η μη-γραμμική έκφραση των τάσεων Reynolds, όσον αφορά την απεικόνιση της ανισοτροπίας των τάσεων Reynolds κοντά στα τοιχώματα. Το μοντέλο αυτό βασίζεται στο μοντέλο τύρβης των Walters και Leylek (4), που συνδυάζει το γραμμικό μοντέλο k-ε με την έννοια της στρωτής κινητικής ενέργειας με τις μη-γραμμικές εκφράσεις των τάσεων Reynolds όπως προτάθηκε από τους Craft et al. (996). Η βασική ιδέα αρχικά επικεντρώνεται στην τροποποίηση της γραμμικής έκφρασης των τάσεων Reynolds, σχέση (.55), στην αντίστοιχή της μη-γραμμική, σχέση (.), χρησιμοποιώντας τις ολικές ποσότητες του ιξώδους της τύρβης και της κινητικής ενέργειας και στην εισαγωγή μιας μη-γραμμικής έκφρασης στον όρο παραγωγής της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Η εξίσωση μεταφοράς της τυρβώδους κινητικής ενέργειας δίνεται από τη σχέση: DkT ats, k = Pks, + R+ RNAT % ε DT + v+ Dt x j σκ x T j (.76) Η σχέση αυτή βασίζεται στην αρχική μοντελοποίηση που προτάθηκε από τους Craft et al. (996) και έχει δύο επιπλέον όρους παραγωγής, τους R και R NAT, ο οποίοι βασίζονται στην πρόταση των Walters και Leylek (4) για την στρωτή κινητική ενέργεια. Ο συντελεστής τυρβώδους διάχυσης (turbulent scalar diffusivity) a Ts, είναι στην ουσία το ιξώδες της τύρβης όπως δίνεται από την αντίστοιχη σχέση του μη-γραμμικού μοντέλου CLS και θα είναι: a Ts, = kts, μ μ % ε s f c (.77) Η ουσιαστική διαφοροποίησή τους είναι στην ποσότητα k Ts, και ε% s που αντιστοιχούν στη μικρής κλίμακας τυρβώδη κινητική ενέργεια, όπως ορίστηκε από τους Walters και Leylek (4) και στη διασπορά της. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι δεν έχει οριστεί η διασπορά k αλλά χρησιμοποιείται για να συμβαδίζει με τους προηγούμενους συμβολισμούς. Συνεπώς, ορίζεται ένα μέγεθος, βασισμένο στο ενεργό μήκος κλίμακας λ eff και στην k Ts,, το της Ts, 49

50 οποίο έχει ίδιες διαστάσεις με τη διασπορά της τυρβώδους κινητικής ενέργειας και θα είναι 3 kts, % ε s =. λeff Η παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας δίνεται πλέον με μία μη-γραμμική έκφραση που βασίζεται στην αντίστοιχη μη-γραμμική έκφραση των τάσεων Reynolds σύμφωνα με το μοντέλο CLS και τις κατάλληλες τροποποιήσεις για να ενσωματωθεί η ιδέα του διαχωρισμού της τυρβώδους κινητικής ενέργειας σε μικρές και μεγάλες δίνες και θα δίνεται από μία σχέση της μορφής : P = uu U i ks, i j s x j (.78) όπου, vts, kts, uu i j = kt, sδij vt, ssij + c SikSkj SklSklδij s 3 % ε s 3 v k v k + c Ω S +Ω S + c Ω Ω Ω Ω ( ) Ts, Ts, Ts, Ts, ik kj jk ki 3 ik jk lk lkδij % εs % εs 3 vts, kts, 4 % ε s vts, kts, 5 % ε s ( ) + c S Ω + S Ω S ki lj kj li kl + c ΩilΩ lmsmj + SilΩlmΩmj SlmΩ 3 vts, kts, vts, kts, 6 ij kl kl 7 ij kl kl % εs % εs + c S Ω Ω + c S Ω Ω Ω δ mn nl ij (.79) Οι όροι που συνθέτουν τη σχέση παραγωγής της τυρβώδους κινητικής ενέργειας (.78) αντιστοιχούν ακριβώς στις ίδιες ποσότητες που βασίστηκε και η παραγωγή της τυρβώδους κινητικής ενέργειας του γραμμικού μοντέλου k-ε-k laminar, εκφρασμένες στη μη-γραμμική μορφή τους. Το καινούργιο μοντέλο απαιτεί επίσης το διαχωρισμό του ιξώδους της τύρβης σε ένα μικρής και μεγάλης κλίμακας αντίστοιχα. Αυτό της μεγάλης κλίμακας δίνεται από τη σχέση (.6), ενώ αντίστοιχα το ιξώδες τύρβης της μικρής κλίμακας θα δίνεται από την έκφραση: kts, Ts, = μ Ts, μ % ε s v f f C (.8) όπου οι συντελεστές απόσβεσης f μ και f Ts, δίνονται από τις ίδιες εκφράσεις που χρησιμοποιούνται από το αντίστοιχο μη-γραμμικό και γραμμικό μοντέλο τύρβης, ενώ ο,3 exp( {.36 exp(.75 max ( S%, Ω% ))}) συντελεστής Cμ = είναι εξαρτώμενος των +.35max ( S%, Ω% ).5 παραμορφώσεων όπως προτείνεται από τους Craft et al. (996). Οι αδιάστατες ποσότητες της 5

51 kt παραμόρφωσης και της στροβιλότητας, S% k T SijSij, Ω ij ij % % Ω Ω ε % ε υπολογίζονται από την συνολική κινητική ενέργεια της τύρβης και του ρυθμού διασποράς της. Η εξίσωση μεταφοράς της διασποράς της κινητικής ενέργειας τη τύρβης που προτείνεται δίνεται από τη σχέση: D% ε % ε % ε % ε % ε = C P + C R + C R C R Dt k k k ε k, ε ε NAT εr ε T T kk T L T ats, % ε + v+ + Pε3 + S xj σε xj ε (.8) λeff λeff όπου C ε = λt λt Η εξίσωση αυτή είναι η ίδια με την εξίσωση (.5) με δύο επιπλέον όρους που μοντελοποιούν την επίδραση της φυσικής μετάβασης, R NAT και την απότομη μείωση του ε% χαρακτηριστικού μήκους στα πρώτα στάδια της μετάβασης Cε RR. kk T L Οι τελικές προτεινόμενες μη-γραμμικές εκφράσεις των συνολικών τάσεων Reynolds θα δίνονται από την ακόλουθη έκφραση που εμπεριέχει τα ολικά μεγέθη του ιξώδους της τύρβης και της κινητικής ενέργειας και είναι: uu i j = uu TOT i j + T 3 klδij (.8) όπου, uu i j = ktδij vtotsij T 3 vtot kt + c Sik Skj SklSklδij % ε 3 vtot kt + c ( Ω ikskj +ΩjkSki ) % ε vtot kt + c3 ΩikΩjk ΩlkΩlkδij % ε 3 vtot kt 4 vtot kt 5 6 ( ) + c S Ω + S Ω S % ε + c ki lj kj li kl + c ΩilΩ lmsmj + SilΩlmΩmj SlmΩmnΩnlδij % ε 3 TOT T TOT T S ijωklω kl + c7 S ijωklωkl v k v k % ε % ε (.83) 5

52 5

53 Κεφάλαιο 3 ο Τυρβώδεις συμπιεστές ροές 3. Στάθμιση ως προς τη χρονικά μεταβαλλόμενη πυκνότητα (Favré - Averaging) Στη γενική περίπτωση που δεν αμελούνται τα φαινόμενα συμπιεστότητας θα πρέπει να ληφθούν υπόψη, εκτός από τις διακυμάνσεις της πίεσης και οι διακυμάνσεις της πυκνότητας και της θερμοκρασίας του ρευστού. Αν εφαρμοστεί η κλασσική χρονική στάθμιση, στάθμιση Reynolds, που εφαρμόζεται στα ασυμπίεστα ρευστά, τότε λόγω της διακύμανσης της πυκνότητας θα προκύψουν από την εξίσωση της συνέχειας και τις εξισώσεις ορμής συσχετίσεις δεύτερης και τρίτης τάξης αντίστοιχα μεταξύ των στιγμιαίων διακυμάνσεων των ταχυτήτων και της πυκνότητας. Οι διακυμάνσεις αυτές είναι πολύ δύσκολο να μοντελοποιηθούν. Για να επιλυθεί αυτό το πρόβλημα, η χρονική στάθμιση κατά Reynolds αντικαθίσταται με τη στάθμιση ως προς τη χρονικά μεταβαλλόμενη πυκνότητα. Η διαδικασία αυτή προτάθηκε από τον Favré το 965 και συναντάται στη βιβλιογραφία ως Favré - averaging. Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτή θα ισχύει για την ταχύτητα lim t + u% T i = t ρ ( x, τ) ui( x, τ) dτ, όπου ρ είναι η μέση πυκνότητα με τη συμβατική ρ T T στάθμιση κατά Reynolds. Συνεπώς προκύπτει ότι ρu i = ρu i και η εξίσωση της συνέχειας που προκύπτει έχει τη μορφή: ρ + ( ρu i ) = t x i (3.) Η στιγμιαία ταχύτητα του ρευστού χωρίζεται πλέον στη μέση ταχύτητα βάση της χρονικά μεταβαλλόμενης πυκνότητας και στη διακύμανσή της και θα είναι: u = u + u i i i (3.) Mε την εφαρμογή της διαδικασίας του Favré - averaging και τη χρησιμοποίηση της μέσης πυκνότητας, η επίδραση των διακυμάνσεων της πυκνότητας απαλείφεται από τις τελικές εξισώσεις ορμής και ενσωματώνεται έμμεσα στην προς επίλυση μεταβλητή στις τελικές εξισώσεις ορμής. 53

54 3. Εξισώσεις ορμής και ενέργειας για ασυμπίεστες ροές Εφαρμόζοντας τη διαδικασία στάθμισης του Favré από τις στιγμιαίες εξισώσεις ορμής και ενέργειας προκύπτουν οι εξισώσεις στις οποίες άγνωστες μεταβλητές είναι πλέον οι σταθμισμένες ποσότητες της ταχύτητας και της ολικής ενέργειας του ρευστού. Από τη στάθμιση του Favré παρατηρείται ότι εκτός από την επιθυμητή μέση πυκνότητα που προκύπτει, δημιουργούνται και κάποιες συσχετίσεις ανώτερης τάξης ανάμεσα στις διακυμάνσεις της πυκνότητας και των προς επίλυση μεγεθών. Ανάλογα με το μοντέλο τύρβης που χρησιμοποιείται, απαιτείται και αντίστοιχη προσέγγιση στον τρόπο μοντελοποίησης. Η μοντελοποίηση της τύρβης σε συμπιεστές ροές και κυρίως σε υψηλούς αριθμούς Mach είναι ένα πρόβλημα δύσκολο που οι μεθοδολογίες προσέγγισης για τη λύση του βρίσκονται σε συνεχή εξέλιξη. Πρέπει να τηρούνται κάποιες βασικές αρχές έτσι ώστε οι προσεγγίσεις που γίνονται να οδηγούν σε σωστά από φυσικής και μαθηματικής άποψης μοντέλα. Θα πρέπει οι τιμές των εκφράσεων της μοντελοποίησης να πλησιάζουν στις σωστές οριακές τιμές καθώς οι διακυμάνσεις της πυκνότητας τείνουν στο μηδέν (ασυμπίεστες ροές). Όλες οι μοντελοποιημένες σχέσεις θα πρέπει να είναι γραμμένες σε σωστή τανυστική μορφή έτσι, ώστε να μην εξαρτώνται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του εκάστοτε προβλήματος. Τέλος, να παραμένουν αναλλοίωτες αν εφαρμοστεί σε αυτές ο μετασχηματισμός κατά Γαλιλαίο (Galilean Transformation), Wilcox (998). Στη συνέχεια παρατίθενται οι λεγόμενες Favré averaged εξισώσεις συνέχειας, ορμής και ενέργειας από την εφαρμογή της προαναφερθείσας διαδικασίας, Gatski (996). Εξίσωση συνέχειας: ( ρ ρui + ) = t x i (3.3) Εξισώσεις μεταφοράς ορμής: ( ρu ) ( i ρuiuj) + = pδ ± ij + σij + σ { ij ρu i u j t xj xj (3.4) Εξίσωση μεταφοράς της ολικής ενέργειας: ( ρe ) ( ρeuj ) + = t x j ± μ T μ T ρuuu j i i uj p+ uiσij + u { i σij + u { iσij + Cp + Cp Cpρu jt uiρuu i j xj Pr xj Pr x j (3.5) όπου οι τάσεις λόγω του μοριακού ιξώδους δίνονται από τη σχέση: u% k σ = μs ij ij + ζ δij και u% u% i j u% k Sij = + ij xk xj x i 3 x δ (3.6) k 54

55 Παρατηρείται ότι πλέον οι τάσεις συνδέονται, εκτός από την κλασσική γραμμική παραμόρφωση και με μια άλλη ποσότητα που δεν υπήρχε στην προηγούμενη έκφρασή τους για την περίπτωση της ασυμπίεστης ροής. Η έκφραση αυτή αναφέρεται στη χωρική παραμόρφωση των στοιχείων του ρευστού η οποία συνδέεται με την τάση μέσω του δευτερεύοντος ιξώδους ζ που συσχετίζεται με το μοριακό ιξώδες του ρευστού με τη σχέση ζ = μ, Schlichting (979). Η υπόθεση αυτή είναι σωστή για μονατομικά αέρια και 3 χρησιμοποιείται γενικά για όλα τα αέρια στις εφαρμογές της υπολογιστικής ρευστομηχανικής. Οι όροι () μέχρι (8) των εξισώσεων (3.4) και (3.5) είναι συσχετίσεις της στιγμιαίας πυκνότητας, των ταχυτήτων και της θερμοκρασίας και για να ενσωματωθούν στη διαδικασία επίλυσης θα πρέπει να μοντελοποιηθούν. Οι όροι () και (7) αφορούν τη συσχέτιση της πυκνότητας με τις τάσεις Reynolds και μοντελοποιούνται ανάλογα με το μοντέλο τύρβης που χρησιμοποιείται. Η πιο συνηθισμένη έκφρασή τους είναι αυτή που τις συνδέει (χρησιμοποιώντας κάποιο γραμμικό μοντέλο ιξώδους τύρβης), με την παραμόρφωση και την κινητική ενέργεια της τύρβης με τη σχέση: turb σ ij = ρuu i j μtsij ρkδij 3 (3.7) Οι όροι () και (4) είναι οι διακυμάνσεις της παραμόρφωσης που προκύπτουν από τη μαθηματική διαδικασία της στάθμισης του Favré και μπορούν να αμεληθούν καθώς ουσιαστικά για όλες τις ροές ισχύει ότι ± σ ij? σ ij. Ο όρος (6) είναι οι τυρβώδεις διακυμάνσεις της θερμοκρασίας και αναφέρεται στη μεταφορά θερμοκρασίας λόγω της συσχέτισης της διακύμανσης της ταχύτητας με τη θερμοκρασία. Αυτή η συσχέτιση μοντελοποιείται ανάλογα με το μοντέλο τύρβης που θα επιλεγεί. Η πιο κλασική προσέγγιση είναι με τη χρησιμοποίηση της κλίσης της θερμοκρασίας, (προσέγγιση του Reynolds) και δίνεται από τη σχέση: q C u T C turb j = pρ j p μ t T Pr x t j (3.8) Ο αριθμός Pr t είναι ο αδιάστατος τυρβώδης αριθμός Prandtl ο οποίος όπως προκύπτει από πειραματικά δεδομένα συνήθως παίρνει τιμές από.85 με.9 και T η θερμοκρασία μετά από τη στάθμιση κατά Favré. Οι όροι (3) και (8) αντιπροσωπεύουν τη μοριακή διάχυση και την τυρβώδη μεταφορά αντίστοιχα. Πολλοί ερευνητές μηχανικοί αμελούν αυτούς τους όρους από την εξίσωση της ενέργειας για αριθμούς Mach μέχρι και την υπερηχητική περιοχή. Η προσέγγιση αυτή είναι αρκετά καλή καθώς για την περιοχή αυτή ισχύει ρ k P (συνεπώς και k = % h ) για τις περισσότερες μηχανολογικές εφαρμογές. Όπου P η μέση στατική πίεση και % h η ειδική ενθαλπία σταθμισμένη κατά Favré. Παρόλα αυτά, είναι πιθανό σε συνθήκες υπέρ-υπερηχητικής ροής η ποσότητα ρ k να είναι σημαντική σε σχέση με την P. Συνεπώς για να υπάρχει συνοχή στη συνολική διατήρηση της ενέργειας, που περιλαμβάνει και τις τυρβώδεις διακυμάνσεις που είναι πλέον σημαντικές, πρέπει να μοντελοποιηθεί με κατάλληλη προσέγγιση. Η πιο συνηθισμένη προσέγγιση ανεξάρτητα από το μοντέλο τύρβης 55

56 που χρησιμοποιείται είναι αυτή που γίνεται για τις χαμηλές ταχύτητες με μικρούς αριθμούς Mach και δίνεται από τη σχέση: μt k σijui ρu j uu i i μ+ σ k x j (3.9) όπου σ k είναι μια σταθερά που η τιμή της εξαρτάται από το εκάστοτε μοντέλο τύρβης. Τέλος, ο όρος (5) αναφέρεται στη διάχυση των διακυμάνσεων που προκύπτει από την εφαρμογή της στάθμισης του Favré και μπορεί να αμεληθεί καθώς για όλες τις περιπτώσεις T T ροών ισχύει ότι?. x j x j Συνοψίζοντας και λαμβάνοντας υπόψη όλες τις εξισώσεις, (3.4)-(3.9) και τις προαναφερθείσες παραδοχές μοντελοποίησης, παρατίθενται στη συνέχεια οι τελικές εξισώσεις ορμής και της ολικής ενέργειας που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διδακτορική διατριβή. Εξισώσεις μεταφοράς ορμής: ( ρu ) ( ρu u ) ² ² + = pδij + σij + σij t x x ( ) i i j lam tur j j (3.) Εξίσωση μεταφοράς της ολικής ενέργειας: ( ρe ) ( ρe u ) ² ² + = u ² ² j p qj qj + uiσij + uiσij t x x ( ) j lam tur lam tur j j (3.) όπου: lam u% u% i j u% k σ ij = μ + δij είναι οι γραμμικές και χωρικές παραμορφώσεις των xj xi 3 x k στοιχείων του ρευστού. tur u% u% i j u% k σ ij = ρuu i j = μt + δij ρkδij είναι η μοντελοποίηση των τυρβωδών xj xi 3 x k 3 τάσεων με την προσέγγιση ενός γραμμικού μοντέλου ιξώδους τύρβης. Στη συνέχεια θα δοθεί μια πιο λεπτομερής ανάλυση στην επίδραση της συμπιεστότητας στη μοντελοποίηση της τύρβης. lam μ T tur μt T qj = Cp και qj = Cpρu jt = Cp είναι η διάχυση της θερμότητας που Pr x j Prt x j προκύπτει από το νόμο της θερμικής αγωγιμότητας του Fourier και η μοντελοποίηση της συσχέτισης της ταχύτητας με τη θερμοκρασία με τη χρήση κάποιου γραμμικού μοντέλου τύρβης αντίστοιχα. Για να ολοκληρωθεί η διαδικασία μοντελοποίησης και να κλείσει το σύστημα των εξισώσεων, πρέπει να προσδιοριστεί η πυκνότητα μέσω της καταστατικής εξίσωσης των αερίων που είναι: 56

57 p = ρrt (3.) Σε όλη την προαναφερθείσα διαδικασία μοντελοποίησης χρησιμοποιήθηκαν οι παρακάτω σταθερές: C pμ Pr = είναι ο αριθμός Prandtl, όπου C p η ειδική θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή λ πίεση, λ ο συντελεστής αγωγιμότητας και μ το μοριακό ιξώδες του ρευστού. C p γ =, όπου C v η ειδική θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση. Cv R = Cp Cv, η παγκόσμια σταθερά των αερίων. % e= C v T και % h= C p T η ειδική εσωτερική ενέργεια και η ειδική ενθαλπία αντίστοιχα. Η ολική ενέργεια και η ολική ενθαλπία εμπεριέχουν και τις τυρβώδεις διακυμάνσεις και δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις: ± ± uu k k e = % e+ + k (3.3) και ± ± uu k k H = % h+ + k (3.4) 3.3 Η επίδραση της θερμοκρασίας στο μοριακό ιξώδες (Ο νόμος του Sutherland) Στη διαδικασία επίλυσης των συμπιεστών ροών, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η επίδραση της αλλαγής της θερμοκρασίας στο μοριακό ιξώδες. Ο William Sutherland το 893 εξήγαγε μία συσχέτιση του δυναμικού μοριακού ιξώδους μ με την απόλυτη θερμοκρασία T σε ένα ιδανικό αέριο. Ο νόμος αυτός ο οποίος ονομάζεται νόμος του Sutherland για το ιξώδες και βασίζεται στην κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων, χρησιμοποιείται και στις σύγχρονες υπολογιστικές εφαρμογές περιγράφοντας ικανοποιητικά την επιθυμητή συσχέτιση μοριακού ιξώδους με τη θερμοκρασία, δίνοντας αμελητέο σφάλμα σε ένα μεγάλο εύρος θερμοκρασιών. Η μαθηματική σχέση με την οποία εκφράζεται είναι: 3 μ T Tref = μ + ref ref + T T S S (3.5) όπου, T ref είναι μία θερμοκρασία αναφοράς, μ ref είναι το αντίστοιχο ιξώδες στη θερμοκρασία αναφοράς και S είναι μια σταθερά με μονάδες θερμοκρασίας που συνήθως παίρνει τιμή.4( K ). Επειδή ο νόμος εκφρασμένος με τη σχέση (3.5) εισάγει αρκετές αστάθειες κατά τη διάρκεια της επίλυσης του εκάστοτε ροϊκού πεδίου, κυρίως σε προβλήματα υπερηχητικών 57

58 ροών και στην περιοχή των κρουστικών κυμάτων όπου είναι έντονες οι θερμοκρασιακές μεταβολές, χρησιμοποιείται σε πολλές περιπτώσεις και μία εναλλακτική απλοποιημένη έκφραση που έχει τη μορφή 3 μ =.458 T T + S. 3.4 Τυρβώδη φαινόμενα σε συμπιεστές ροές Στην προηγούμενη ενότητα παρουσιάστηκε ο τρόπος μοντελοποίησης των εξισώσεων ορμής και ενέργειας όπου οι τυρβώδεις διακυμάνσεις και επιδράσεις προσεγγίστηκαν με απλό τρόπο με σκοπό να δοθεί μια συνολική εικόνα των τελικών εξισώσεων. Συγκεκριμένα το πρόβλημα της μοντελοποίησης της τύρβης και η εύρεση μιας εξίσωσης μεταφοράς που να την περιγράφει, είναι πολύ σύνθετο αφού πλέον οι διακυμάνσεις της πίεσης και της πυκνότητας είναι σημαντικές. Οι εξισώσεις μεταφοράς των μοντέλων τύρβης δύο εξισώσεων προκύπτουν από την εξίσωση μεταφοράς των τυρβωδών τάσεων, σε αντιστοιχία με τις ασυμπίεστες ροές. Οι τυρβώδεις τάσεις είναι οι συσχετίσεις πρώτης τάξης των διακυμάνσεων των ταχυτήτων που προκύπτουν από τη στάθμιση του Favré και δίνονται από τη σχέση τ ² ij = uu i j. Η τελική εξίσωση μεταφοράς των τυρβωδών τάσεων η οποία είναι σταθμισμένη σύμφωνα με τη διαδικασία στάθμισης του Favré και προκύπτει από τις εξισώσεις ορμής των ταχυτήτων θα είναι σύμφωνα με τον Gatski (996): ( ρτ ) ( ρu± ) kτij u u + = + Π + t x x x ij j i ρτ ik ρτ jk ρε ij ρ ij k k k P P t u + t u + C + u + u x x x x ( ) ( ρ ) kj i ki j ijk i j k k j i (3.6) όπου: ρ u i Π ij = p + x j u ρε = t + t και i ij kj ki xk u j είναι η συσχέτιση πίεσης τάσεων, x i u j είναι ο ρυθμός καταστροφής των τυρβωδών τάσεων x ijk i j k i jk j ik k ρc = ρuu u + pu δ + pu δ είναι η τυρβώδης διάχυση uk u i u j με t = μs ij ij μ δij ο τανυστής των τάσεων και sij = + ο τανυστής του 3 xk x j x i ρυθμού των γραμμικών παραμορφώσεων λόγω μοριακού ιξώδους εκφρασμένος με τις στιγμιαίες ταχύτητες του ρευστού. Οι πρώτοι δύο όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης (3.6) εκφράζουν την παραγωγή των τυρβωδών τάσεων, οι δύο τελευταίοι το παραγόμενο έργο λόγω της επίδρασης της πίεσης ενώ ο πέμπτος όρος εκφράζει την διάχυση λόγω του μοριακού ιξώδους. 58

59 Στην περίπτωση που το ζητούμενο μοντέλο τύρβης που θα χρησιμοποιηθεί είναι δύο εξισώσεων και απαιτείται η εξίσωση μεταφοράς της κινητικής ενέργειας τη τύρβης, αυτή προκύπτει από την εξίσωση (3.6)και θα έχει τη μορφή: ( ρ ) ( ρ ) k ujk u j ui P ui ρτ ij t ij tjiui ρuj uu i i pu + = + j ui + p t xj xj xj xk xi xi (3.7) όπου ο πρώτος όρος του δεξιού μέλους είναι η παραγωγή της κινητικής ενέργειας, ο τρίτος εκφράζει τη διάχυση λόγω του μοριακού ιξώδους των τυρβωδών διακυμάνσεων και των διακυμάνσεων της πίεσης, ενώ οι τέταρτος και πέμπτος εκφράζουν το παραγόμενο έργο λόγω της πίεσης και τη συσχέτιση πίεσης τάσεων λόγω παραμόρφωσης των στοιχείων του ρευστού αντίστοιχα. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στη διασπορά της κινητικής ενέργειας της τύρβης που είναι ο δεύτερος όρος της εξίσωσης (3.7) και δίνεται από τη σχέση: ui u i u j tji = ρε = tji + = tjisij xj xj x i (3.8) t ij Με κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία με χρήση του ορισμού του uk = μsij μ δij προκύπτει ότι: 3 x k ρε uk ui = μ sjisij 3 xk xi (3.9) και υποθέτοντας ότι οι συσχετίσεις μεταξύ των συσχετίσεων των ταχυτήτων και του μοριακού ιξώδους είναι αμελητέες τελικά προκύπτει η σχέση: μ uk ui ρε = ρsjis ρ ij ρ 3 xk xi (3.) ε ijk Ο ορισμός της στροβιλότητας είναι ω = ε για i=j, j=k, k=i = + για (i,j,k)=(,,3),(,3,),(3,,) για (i,j,k)=(,3,),(3,,),(,,3) i ijk u x k j όπου Παίρνοντας τη διακύμανση της στροβιλότητας μαθηματικές πράξεις θα είναι: μ ui u j ui ui ρε = ρωi ωi + ρ ρ ρ x j xi 3 xi x i ω i και κάνοντας τις αντίστοιχες (3.) 59

60 ui u j u i Τέλος, υποθέτοντας ότι που ισχύει για ομογενή τύρβη και για μηομογενή σε υψηλούς αριθμούς Reynolds σύμφωνα με τους Tennekes και Lumley (983), x j x i x j όπως αναφέρεται και στον Wilcox (), προκύπτει η τελική εξίσωση που περιγράφει τη συνολική διασπορά της κινητικής ενέργειας της τύρβης και έχει τη γενική μορφή: ρε = ρε + ρε (3.) s d μ 4 μ u όπου ρεs = ρωω i i i ui και ρε d = ρ. ρ 3 ρ xi xi Συμπερασματικά, στην περίπτωση που είναι έντονα τα φαινόμενα συμπιεστότητας, η διασπορά της κινητικής ενέργειας της τύρβης μπορεί να εκφραστεί σε δύο μέρη. Στο ασυμπίεστο μέρος, που στη βιβλιογραφία συναντάται ως solenoidal dissipation ε s και το συμπιεστό μέρος που συναντάται ως dilatation dissipation ε d. Είναι φανερό ότι το συμπιεστό μέρος της διασποράς της κινητικής ενέργειας είναι μηδέν σε ασυμπίεστες ροές και η συνολική συνεισφορά στη διαδικασία καταστροφής της τύρβης δίνεται από το μέρος ε s. Η μοντελοποίηση του συμπιεστού μέρους, όπως προτάθηκε από τους Sarkar et al. (989) και Zeman (99) εμπεριέχει τη συσχέτισή της με τον τυρβώδη αριθμό Mach που ορίζεται ως k Mt =, όπου k η κινητική ενέργεια τη τύρβης και a η ταχύτητα του ήχου. Η εισαγωγή a του συμπιεστού μέρους της διασποράς της τύρβης βοηθάει στη φυσική περιγραφή της παρατηρούμενης μείωσης του ρυθμού διασποράς με την αύξηση του αριθμου Mach. Οι τελικές εκφράσεις μοντελοποίησης του μεγέθους ε d που δίνονται είναι εμπειρικές και συνδέουν το συμπιεστό μέρος με το ασυμπίεστο με σχέσεις αναλογίας και συντελεστές που εκφράζονται με τη βοήθεια του τυρβώδους αριθμό Mach. Οι εκφράσεις αυτές είναι σχέσεις * * αναλογίας της μορφής εd = ξ F( Mt) εs, όπου ξ ένας σταθερός συντελεστής και F( M t ) συναρτήσεις του τυρβώδους αριθμού Mach και η ενσωμάτωσή τους γίνεται με την πρόσθεσή τους σαν έναν επιπλέον όρος πηγής στην εξίσωση μεταφοράς της κινητικής ενέργειας τη τύρβης. Με βάση τα αριθμητικά δεδομένα DNS που υπάρχουν στη βιβλιογραφία και όπως προτείνουν οι Kreuzinger et al. (6), εξάγεται ότι το συμπιεστό μέρος της διασποράς είναι αμελητέο για υπερηχητικές ροές με αριθμό Mach έως και 3. Συνεπώς, η συνολική συνεισφορά στη διάχυση της τύρβης θα είναι συνάρτηση του ασυμπίεστου μέρους της διασποράς ε s και για τις διηχητικές ροές. Τέλος, θα πρέπει να μοντελοποιηθούν οι όροι που αφορούν την διάχυση λόγω της συσχέτισης της διακύμανσης της πίεσης ( p u j ), τη συσχέτιση διακυμάνσεων της πίεσης xk με τις τάσεις λόγω του μοριακού ιξώδους η οποία ονομάζεται στη βιβλιογραφία pressure ui P dilatation p, καθώς και το έργο που παράγεται λόγω της επίδρασης της πίεσης ui x i x i που εμφανίζονται στη σχέση (3.7). Όσον αφορά τη διάχυση λόγω της συσχέτισης της πίεσης, αξαιτίας της έλλειψης δεδομένων στη βιβλιογραφία και λόγω της μικρής της συνεισφοράς στο συνολικό μηχανισμό της διάχυσης, παραλείπεται και συνήθως ενσωματώνεται στην κατάλληλη μοντελοποίηση 6

61 των τριπλών συσχετίσεων όπως αναλύθηκε και για τις ασυμπίεστες ροές. Η μοντελοποίηση των δύο άλλων όρων και κυρίως του έργου της πίεσης γίνεται βάσει εμπειρικών παραδοχών οι οποίες δεν είναι πάντοτε αποδεκτές από το ευρύ επιστημονικό κοινό και δεν είναι μαθηματικά συνεπείς με τις γενικές αρχές μοντελοποίησης, Wilcox (). Οι πιο συνηθισμένες μαθηματικές προσεγγίσεις γίνονται με τη χρησιμοποίηση του τυρβώδους αριθμού Mach και τη χρησιμοποίηση κατάλληλων αριθμητικών συντελεστών. Παρόλα αυτά, σε πλήθος προηγούμενων μελετών όπως για παράδειγμα των Abid et al. (996), Speziale et al. (99) και Leschziner () οι συνεισφορές αυτές αμελούνται ειδικά για ροές με αριθμούς Mach μικρότερες του Τα μοντέλα τύρβης που χρησιμοποιήθηκαν για τη μοντελοποίηση των συμπιεστών ροών Λαμβάνοντας υπόψη όλες τις προηγούμενες παραδοχές για τη μοντελοποίηση της τύρβης σε συμπιεστές ροές, κυρίως σε διηχητικές και ανατρέχοντας σε αντίστοιχες προηγούμενες μελέτες, τα τελικά μοντέλα τύρβης που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διδακτορική διατριβή λαμβάνουν υπόψη τα φαινόμενα συμπιεστότητας με την ενσωμάτωσή των διακυμάνσεων της πίεσης στον τελικό αλγόριθμο επίλυσης της πίεσης, με κατάλληλη μεθοδολογία που θα αναλυθεί στη συνέχεια. Οι τυρβώδεις τάσεις είναι αυτές που προκύπτουν με τη διαδικασία στάθμισης του Favré ενώ πλέον είναι μεταβλητή η πυκνότητα, που προκύπτει από την καταστατική εξίσωση των αερίων καθώς και το μοριακό ιξώδες που δίνεται από το νόμο του Sutherland. Τα τρία μοντέλα τύρβης που χρησιμοποιήθηκαν είναι τα αντίστοιχα που χρησιμοποιήθηκαν και στις ασυμπίεστες ροές και είναι το γραμμικό μοντέλο ιξώδους τύρβης των Launder και Sharma (974) (LS-LEVM), το μη γραμμικό μοντέλο τύρβης των Craft Launder και Suga (996) (CLS-NLEVM) και το μοντέλο τάσεων Reynolds του Craft (998) με κατάλληλες τροποποιήσεις για να ληφθούν υπόψη τα φαινόμενα συμπιεστότητας. Στη συνέχεια παρατίθενται οι εξισώσεις μεταφοράς και οι εκφράσεις των τυρβωδών μεγεθών και τάσεων με τη χρήση των σταθμισμένων κατά Favré ταχυτήτων και τα μέσα μεγέθη πυκνότητας και μοριακού ιξώδους. Οι σταθεροί συντελεστές που χρησιμοποιούνται είναι οι ίδιοι με αυτούς των ασυμπίεστων περιπτώσεων. Η διόρθωση που απαιτείται στην διάχυση της τυρβώδους κινητικής ενέργειας λόγω της ύπαρξης της ε, * ενσωματώνεται με τη σχέση f ( M ) εd = ξ t εs και προστίθεται σαν ένας επιπλέον όρος πηγής στην εξίσωση μεταφοράς της. Οι τιμές των μεγεθών δίνονται από την πρόταση του Sarkar * (99) και είναι ξ =.5 και f ( M ) = M. t t 3.5. Το γραμμικό low-reynolds μοντέλο ιξώδους τύρβης των Launder- Sharma για συμπιεστές ροές Η εξίσωση μεταφοράς της κινητικής ενέργειας της τύρβης, που δίνεται από το ημιάθροισμα των σταθμισμένων κατά Favré συσχετίσεων της ταχύτητας K = uu ² λαμβάνοντας υπόψη τα φαινόμενα συμπιεστότητας θα δίνεται από τη σχέση: ( ) ( j ) ρk ρu K μ K + = + + P + t x x x ( ) t μ ρ K ρ εs εd j j σ k j d i i (3.3) 6

62 Για την περιγραφή του ρυθμού καταστροφής της τύρβης χρησιμοποιήθηκε η μεταφορά του ασυμπίεστου μέρους ε s (solinoidal dissipation). Σε αντιστοιχία με το ασυμπίεστο μοντέλο των Craft Launder και Suga μοντελοποιείται η μεταφορά του ισότροπου μέρους του ε, που συμβολίζεται με ε και η εξίσωση που την περιγράφει θα είναι: s * s * ( ) ( * s u j s) ρε ρ ε * μt ε s + = μ + t xj xj σ ε xj * * ε s ε s u i + ρc f ρpk ρc f + ρμμt + ρs K K xi x j ε ε ε (3.4) Όλα τα μεγέθη και οι συναρτήσεις απόσβεσης που προκύπτουν από το συνδυασμό των συμπιεστών τυρβωδών μεγεθών και των σταθμισμένων κατά Favré ποσοτήτων θα δίνονται από τις ίδιες σχέσεις με το ασυμπίεστο μοντέλο με κατάλληλες τροποποιήσεις. Τα μεγέθη αυτά θα είναι: * K εs = εs + v, ο ρυθμός καταστροφής της κινητικής ενέργειας της τύρβης. x j K μt = cμ fμ ρ, το δυναμικό ιξώδες της τύρβης * ε s ² ± * * u u i j uk ρuu i j = Kρδij μtsij, οι γραμμικές τυρβώδεις τάσεις με Sij + ij 3 xj xi 3 x δ. k 3 3 * K K ε s Sε = max.83, * *, η διόρθωση κατά Yap (987) της.5εsy.5εsy K χαρακτηριστικής κλίμακας μήκους. K Τέλος, ο τυρβώδης αριθμός Reynolds θα δίνεται από τη σχέση R% ρ t. * με 3.5. Το μη-γραμμικό low-reynolds μοντέλο ιξώδους τύρβης των Craft Launder και Suga για συμπιεστές ροές Οι εξισώσεις μεταφοράς του συμπιεστού μη-γραμμικού μοντέλου ιξώδους τύρβης είναι οι ίδιες με αυτές του αντίστοιχου γραμμικού, σχέσεις (3.3) και (3.4). Η διαφοροποίηση έγκυται στη μη-γραμμική έκφραση των τάσεων Reynolds, στην έκφραση του συντελεστή του ιξώδους της τύρβης c μ που συνδέεται πλέον με τις αναλλοίωτες ποσότητες των παραμορφώσεων και στην σχέση του συντελεστή απόσβεσης f μ για την έκφραση του ιξώδους της τύρβης. Οι μη-γραμμικές εκφράσεις των τυρβωδών τάσεων θα δίνονται από τη σχέση: s 6

63 ² * ρuu i j = Kρδij μtsij 3 μtk + c S S S S * ε 3 s t * ε s t 3 * ε s μtk 4 * ε s μtk 5 * ε s * * * * ik kj kl klδij * * * * ( ik kj jk ki ) μ K + c Ω S +Ω S μ K + c Ω Ω Ω Ω 3 * * * * ik jk lk lkδij ( ) * * * * * ki lj kj li kl + c S Ω + S Ω S * * * * * * * * + c ΩilΩ lmsmj + SilΩlmΩmj SlmΩmnΩ * nlδij 3 μtk * * * μtk * * * 6 ij kl kl 7 * * ij kl kl εs εs + c S Ω Ω + c S Ω Ω (3.5) με τους αντίστοιχους συντελεστές οι οποίοι παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα: c μ f μ c ε * * ({ ( ( S% % ))}).5 * * +.35 max ( S%, Ω% ).3 exp.36 exp.75 max, Ω R% t % exp 9 4 Rt Πίνακας 3.. Οι συντελεστές του γραμμικού μοντέλου ιξώδους τύρβης k-ω-k laminar. { ( R % )}.9.3exp t όπου * u u i j Ωij, x x j i K S% και * * * S * ijsij ε s K Ω %. * * * Ω * ijωij ε s To low-reynolds μοντέλο RSM του CRAFT για συμπιεστές ροές Η ίδια διαδικασία ενσωμάτωσης των φαινομένων συμπιεστότητας ακολουθήθηκε και στην περίπτωση του low-reynolds μοντέλου RSM του Craft. Αντίστοιχη μελέτη της μοντελοποίησης συμπιεστών ροών με μοντέλα RSM έχει πραγματοποιηθεί από τους Batten et al. (998). Στη μελέτη αυτή έγινε σύγκριση τεσσάρων μοντέλων τύρβης γραμμικών και RSM, μεταξύ των οποίων ήταν το low-reynolds μοντέλο RSM των Hanjalic και Jakirlic (998) καθώς και ένα κατάλληλα τροποποιημένο μοντέλο RSM, με σκοπό να προβλέψει με μεγαλύτερη ακρίβεια τα φαινόμενα συμπιεστότητας, βασισμένο στο αρχικό μοντέλο RSM των Craft και Launder (996). Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται το μοντέλο RSM του Craft λαμβάνοντας υπόψη όλες τις προαναφερθείσες τροποποιήσεις για να συμπεριληφθούν τα φαινόμενα συμπιεστότητας. Τα βασικά τυρβώδη μεγέθη που επιλύονται είναι οι σταθμισμένες κατά Favré τυρβώδεις τυρβώδεις τάσεις uu ² i j και το ισότροπο μέρος της * συμπιεστής συνιστώσας του ρυθμού διασποράς της τυρβώδους κινητικής ενέργειας ε s. 63

64 Στη συνέχεια γίνεται μια σύντομη παρουσίαση των εξισώσεων που χρησιμοποιήθηκαν για το συμπιεστό μοντέλο RSM. Οι συντελεστές και η ερμηνεία της φυσικής των όρων είναι η ίδια με αυτή που έγινε για το αντίστοιχο ασυμπίεστο μοντέλο RSM. Η εξίσωση μεταφοράς των τυρβωδών τάσεων δίνεται από τη σχέση: ρuu ² ² ± i j ρuu i juk + = P +Π ε + d t x k ij ij ij ij (3.6) Η παραγωγή των τυρβωδών τάσεων δε χρειάζεται μοντελοποίηση και υπολογίζεται άμεσα από τη σχέση: ² u j ² u i Pij = uu i k + ujuk xk x k (3.7) Για τη μοντελοποίηση της διάχυσης των τυρβωδών τάσεων χρησιμοποιήθηκε η generalized gradient diffusion hypothesis (GGDH) πρόταση των Daly και Harlow (97): ( ² K ² ) ² uu i j dij = uu i juk = Cs u * kul xk x k ε s x k (3.8) Ο τανυστής διασποράς των τάσεων θα είναι: ( ε )( ) ε = f ε + ε + ε D+ 3 f δ (3.9) ij ij ij ij ε ij όπου uu ² ² ² ² i j uu l n K K uu l i K K uu l j K K εij = εs + v δij + v + v K K x x K x x K x x uu ² ² ² l k uu uu l i l j ε = ε d d δ d d d d K K K A A A A A A ij s l k ij l j l i l n j l i l, και A A A A εij = cε s vk δij + xk xk xi x j D = ε + ε + ε ε. με ( ) ( ) kk kk kk s 64

65 Η συσχέτιση των τυρβωδών τάσεων με τις διακυμάνσεις της πίεσης περιγράφονται από τη σχέση: uu ² i j p ij ij d k Π =Φ (3.3) K Όπου ο όρος που ανακατανέμεται θα είναι: inh inh ij ij ij ij ij Φ =Φ +Φ +Φ +Φ (3.3) με Φ = + 3 και * * ij cεs aij c aik akj Aδij εs faaij Φ ij =.6 Pij δijpkk +.3aijPkk 3 uu ² ² ± ² k j uu l i uk u l uu l k. ² uj ² u i + uu i k + ujuk K xl xk K xl x l c A( Pij Dij ) + 3amianj ( Pmn Dmn ) 7 A + c { Pij δijpkk aij aikakj δij A.5 3 Pkk aijalk Pkl uu ² uu ² ² i m j m uu l m +. Pmj + Pmi δij Pml K K 3 K uu ² ² ² ² l i ukuj uu l m uku m +. δ ij K 3 K u ± l u uuu ² ² k l i kuj 6Dlk + 3k + +. ( Dlk Plk )} xk xl k και με την ανισοτροπία που εισάγεται στη συσχέτιση πίεσης τάσεων λόγω των τοιχωμάτων να δίνεται από τη σχέση: 65

66 inh ε s ² A 3² A 3² A A Φ ij = fw ( uud l k l δij uud i k j uud j k i ) dk K ε s ² ² A 3² A 3² A A + fw uu ( ) l n unukdkδij uu i ndj ujundi dl K K K K K K K 4 K K + fw3ν ail + ajl anl δij a ij xl xj xl xi 3 xl xn 3 xl xl K ² A A 3 + fw ukul δij ² A A 3 ² A A uu i k uju k ε s xk xl xk xj xk x i και inh ul Φ ij = fk I dd l n dd i j dd k kδij x 3 n ± ± με ² uk ² u k * K Dij = uu i k + ujuk και ε x j x s = εs ν. i x j Στις περιπτώσεις που απαιτείται ο υπολογισμός της παραμόρφωσης, αυτή δίνεται πλέον ± * u u i j uk από τη σχέση Sij = Sij + ij xj xi 3 x δ έτσι, ώστε να συμπεριληφθούν τα φαινόμενα k της ογκομετρικής παραμόρφωσης των στοιχείων του ρευστου. Τέλος, η εξίσωση μεταφοράς του ασυμπίεστου μέρους της ισότροπου ρυθμού διασποράς θα είναι: * * u± P ( ) * * * * ρε s ρε s k ε s kk ε εs εs ε s s + = cερ cερ c ερ t xk K K K * ± ± ² K ε s ² K uk uk + μδ + cερuu + cε3 μuu + ρy x l εs x k εs xi xl xj xl lk l k i j E (3.3) Στην περίπτωση του μοντέλου RSM για τη μοντελοποίηση της συσχέτισης των διακυμάνσεων της ταχύτητας και της θερμοκρασίας δεν χρησιμοποιήθηκε η σχέση ² μt T ρut j ρut j. Η εξίσωση αυτή απαιτεί τον υπολογισμό ενός ιξώδους τύρβης Prt x j και χρησιμοποιείται στα αντίστοιχα μοντέλα ιξώδους τύρβης. Μια πιο λεπτομερής αλλά πολύπλοκη μοντελοποίηση θα ήταν να προστεθεί στη διαδικασία επίλυσης και η εξίσωση μεταφοράς της παραπάνω συσχέτισης. Στην παρούσα εργασία ακολουθήθηκε μια κοινή τακτική μοντελοποίησης, Batten et al. (999), η οποία χρησιμοποιεί την GGDH για να περιγράψει τη συσχέτιση ut ² j και έχει τη μορφή: ² ρk ² T ρut j ρut j cθ uu * l k ε x s k (3.33) 66

67 όπου ο συντελεστής c θ είναι μία σταθερά και συνήθως παίρνει την τιμή.3. Η σχέση (3.33) αν και δεν είναι τόσο ακριβής όσο μία εξίσωση μεταφοράς, προβλέπει ικανοποιητικά την ανιστροπία που απαιτείται για τη μοντελοποίηση της διάχυσης της θερμοκρασίας μέσω των υπολογισμένων τυρβωδών τάσεων. 67

68 68

69 Κεφάλαιο 4 ο Υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης 4. Διαδικασία ολοκλήρωσης των εξισώσεων μεταφοράς (Μέθοδος πεπερασμένων όγκων) Στην παρούσα εργασία, οι εξισώσεις μεταφοράς των μεγεθών ολοκληρώνονται αριθμητικά και επιλύονται με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων. Η μέθοδος αυτή ανήκει στις ολοκληρωτικές μεθόδους αριθμητικής επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων. Η γενική μεθοδολογία είναι ότι η τελική διακριτοποιημένη εξίσωση, μέσω της οποίας υπολογίζεται η αριθμητική λύση, προκύπτει από την ολοκλήρωση της εκάστοτε εξίσωσης μεταφοράς πάνω σε κάποιο πεπερασμένο όγκο ελέγχου. Η μέθοδος των πεπερασμένων όγκων είναι γενική και αντιμετωπίζει με επιτυχία προβλήματα μεταφοράς μάζας, ορμής και θερμότητας, Ferziger και Peric (), Μαρκάτος (995). Παρουσιάζεται σε συντομία στη συνέχεια: Η γενική εξίσωση μεταφοράς ενός βαθμωτού μεγέθους ϕ, σε ένα ρευστό πυκνότητας ρ δίνεται από τη σχέση: ( ρϕ ) t r (4.) + div u Γ grad = S ( ρ ϕ ϕ ϕ) ϕ όπου, u r το διάνυσμα της ταχύτητας του ρευστού. Γ ϕ ο συντελεστής διάχυσης του ρευστού που στις εξισώσεις μεταφοράς της ορμής που επιλύονται αντιστοιχεί στο μοριακό δυναμικό ιξώδες του ρευστού. S ϕ είναι η επίδραση όλων των υπόλοιπων εξωτερικών παραγόντων που επηρεάζουν τη μεταφορά του μεγέθους ϕ. Συνυπολογίζονται στη συνολική διαδικασία επίλυσης με την εισαγωγή τους στο δεξί μέλος της εξίσωσης μεταφοράς και ονομάζονται όροι πηγής. Για να επιλυθεί η εξίσωση (4.) αρχικά ολοκληρώνεται πάνω σε έναν όγκο ελέγχου V με σύνορό του μια επιφάνεια A : ( ρϕ ) r (4.) dv + div( ρuϕ Γ ϕgradϕ) dv = SϕdV t V V V και: r ( ρϕ ) dv + div( ρuϕ Γ ϕgradϕ ) dv = SϕdV (4.3) t V V V 69

70 μορφή [ ] t Ορίζοντας τη μέση τιμή των διαφόρων ποσοτήτων στον όγκο ελέγχου (κελί) V με τη ϕ = ϕdv προκύπτει: ΔV V r Δ V + div u Γ grad dv = Sϕ ΔV (4.4) [ ρϕ] ( ρ ϕ ϕ ϕ ) V Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Gauss, το ολοκλήρωμα όγκου της απόκλισης του ρυθμού ροής της μεταβλητής ϕ μετατρέπεται σε επιφανειακό ολοκλήρωμα ροής της μορφής: t r r Δ V + u Γ grad nds = Sϕ ΔV [ ρϕ] ( ρ ϕ ϕ ϕ ) S (4.5) όπου n r το μοναδιαίο διάνυσμα, κάθετο στην επιφάνεια S. Η ολοκλήρωση του επιφανειακού ολοκληρώματος της σχέσης (4.5) για να γίνει, απαιτεί τον ορισμό των όγκων ελέγχου. Οι όγκοι ελέγχου μπορούν να έχουν τυχαίο μέγεθος αλλά τοπολογικά πρέπει να έχουν ορθογωνικό σχήμα. Αυτό σημαίνει ότι στη γενική τρισδιάστατη περίπτωση μπορούν να είναι μη ορθογώνιου σχήματος αλλά θα πρέπει να έχουν έξι πλευρές και δώδεκα ακμές. Για τη δημιουργία των όγκων ελέγχου υπολογίζεται η θέση των κόμβων ενός αρχικού καρτεσιανού πλέγματος και πλέον όλα τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των όγκων ελέγχου που απαιτούνται υπολογίζονται από τις συντεταγμένες των κορυφών τους. Οι έξι ονομασίες που δίνονται σε κάθε πλευρά είναι θέμα σύμβασης και είναι αντίστοιχα east (e), west (w), south (s), north (n), bottom (b) και top (t). Έτσι, με την ολοκλήρωση της εξίσωσης μεταφοράς (4.5) για έναν όγκο ελέγχου θα προκύψει η εξίσωση μεταφοράς που θα έχει τη μορφή: t [ ρϕ] e w n s t b Δ V + F F + F F + F F = Sϕ ΔV (4.6) όπου οι ποσότητες F εκφράζουν τη ροή της ποσότητας ϕ από κάθε επιφάνεια και θα είναι αντίστοιχα: ϕ Fe = ρuxϕ Γ dse A e x ϕ F = ρu ϕ Γ ds w x w A w x ϕ F = ρu ϕ Γ ds n y n A n y ϕ Fs = ρuyϕ Γ dss A s y ϕ Fb = ρuzϕ Γ dsb A b z ϕ F = ρu ϕ Γ ds t z t A t z η ροή από την ανατολική επιφάνεια του όγκου ελέγχου. η ροή από την δυτική επιφάνεια του όγκου ελέγχου. η ροή από την βόρεια επιφάνεια του όγκου ελέγχου. η ροή από την νότια επιφάνεια του όγκου ελέγχου. η ροή από την κάτω επιφάνεια του όγκου ελέγχου. η ροή από την πάνω επιφάνεια του όγκου ελέγχου. 7

71 Στην παραπάνω διακριτοποίηση οι ποσότητες u i, με i = x, y, z είναι οι συνιστώσες του διανύσματος της ταχύτητας στις τρεις καρτεσιανές διευθύνσεις, ενώ η αντιστοιχία των πλευρών του όγκου ελέγχου με τις καρτεσιανές συνιστώσες είναι θέμα σύμβασης. Συνήθως ταυτίζονται οι πλευρές e-w με τη x, n-s με τη y και t-b w με τη z κατεύθυνση. Για να ολοκληρωθεί η διακριτοποίηση της εξίσωσης μεταφοράς με τη χρησιμοποίηση της έννοιας των όγκων ελέγχου, θα πρέπει να ισχύουν οι εξής παραδοχές: Ομοιόμορφη κατανομή των ποσοτήτων στο εσωτερικό των όγκων ελέγχου. Να ισχύει δηλαδή: [ ρϕ] V P = ρ P ϕ P V P και Sϕ VP = Sϕ, PVP, όπου P το κέντρο του όγκου ελέγχου και V P ο όγκος του. Ομοιόμορφη κατανομή των ποσοτήτων στις πλευρές των όγκων ελέγχου. Ο όρος της χρονικής παραγώγου μπορεί να προσεγγιστεί με ανάντη διαφορές πρώτης τάξης: t t ( ρϕ P P ρp ϕp ) [ ρϕ] VP = ( ρpϕp) VP = όπου η τιμές που έχουν τον δείκτη t t t Δt συμβολίζουν τη μεταβλητή στο προηγούμενο χρονικό βήμα. Με τη βοήθεια των παραδοχών αυτών η τελική διακριτοποιημένη εξίσωση μεταφοράς θα δίνεται από τη σχέση: t t ( ρϕ P P ρ P ϕ P ) όπου, Δt C D ( ρ ) + Q Q + Q Q + Q Q = S V Q = Q + Q = u Sϕ Γ S i i i x i i i i i C D ( ρ ) Q = Q + Q = u Sϕ Γ S i i i y i i i i i C D ( ρ ) Q = Q + Q = u Sϕ Γ S i i i z i i i i i Οι ποσότητες e w n s t b ϕ, P P C Q i και ϕ, με i = e, w x i ϕ, με i = n, s y i ϕ, με i = t, b z i (4.7) D Q i εκφράζουν τη συναγωγή και τη διάχυση της ποσότητας ϕ στην αντίστοιχη επιφάνεια του όγκου ελέγχου. Ο υπολογισμός των ποσοτήτων της μεταβλητής ϕ και των παραγωγίσεών της στις επιφάνειες των όγκων ελέγχου, αλλά και ο τρόπος που επηρεάζουν και διαμορφώνουν την τελική διακριτοποιημένη εξίσωση μεταφοράς, καθώς και το τελικό γραμμικό σύστημα επίλυσης που προκύπτει, εξαρτάται από το σχήμα διακριτοποίησης που θα επιλεγεί. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή επιλέχθηκε το αριθμητικό σχήμα διακριτοποίησης του Zhu (99) το οποίο είναι ακρίβειας δεύτερης τάξης με σκοπό να μειωθούν τα αριθμητικά σφάλματα κατά τη διαδικασία της επίλυσης, κυρίως σε περιπτώσεις μετάβασης, όπως έχει επισημανθεί από τους Chen et al. (998). 4. Το αριθμητικό σχήμα επίλυσης του Zhu Το αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση όλων των εξισώσεων μεταφοράς ονομάζεται HLPA (Hybrid Linear/Parabolic Approximation). Ο υπολογισμός της τιμής της προς επίλυση μεταβλητής στις επιφάνειες των όγκων ελέγχου είναι πολύ σημαντικός για την ακρίβεια και τη σταθερότητα της αριθμητικής επίλυσης. Η εφαρμογή του 7

72 σχήματος HLPA είναι σχετικά απλή και για μια άγνωστη ποσότητα ϕ στη γενική τρισδιάστατη περίπτωση αναλύεται ως εξής: Αρχικά ορίζονται οι συντελεστές διακοπής a + i και a i, με i= e, w, n, s, t, b που αναφέρεται στις αντίστοιχες επιφάνειες του όγκου ελέγχου. Ορίζεται ότι: αν ui τότε αν u i < τότε ϕ ϕ + ϕ < ϕ ϕ = αν ϕp ϕp + ϕp < ϕp ϕp = για κάθε άλλη περίπτωση + αν P P P P P a i για κάθε άλλη περίπτωση + + a i Η προς επίλυση μεταβλητή στην πλευρά του όγκου ελέγχου συνδέεται με τις τιμές των μεταβλητών στα κέντρα των γειτονικών όγκων ελέγχου με τη σχέση: + ϕ = u ϕ + u ϕ +Δ ϕ i i P i P i όπου, u ui ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a ( ϕ ϕ ) ϕ Δ = ϕ i + P P P P+ i.5 ai P P.5 i P P ui ϕp ϕp ui ϕp ϕp+ Όπου u i είναι η κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας στη αντίστοιχη επιφάνεια του όγκου ελέγχου και ϕ P η τιμή της προς επίλυση μεταβλητής εκφρασμένη στο κέντρο του. Οι τιμές των γειτονικών όγκων ελέγχου, ϕ ϕ και ϕ και συνεπώς το είδος του γειτονικού P P P+ όγκου ελέγχου, καθορίζεται κάθε φορά από τον δείκτη i. Ακολουθώντας αυτή τη διαδικασία διακριτοποίησης των όρων συναγωγής και διάχυσης και ενσωματώνοντας τους όρους της χρονικής παραγώγισης καθώς και τους όρους της διόρθωσης Δ ϕi στους όρους πηγής S P, από την εξίσωση (4.7) προκύπτει η ακόλουθη τελική διακριτοποιημένη εξίσωση μεταφοράς: Aϕ = Aϕ + S (4.8) i i P i i P i D C ui με Ai = Qi + Qi,5 +. ui Η τελική εξίσωση (4.8) που αποτελεί ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, επιλύεται χρησιμοποιώντας κάποια επαναληπτική μέθοδο επίλυσης γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Στην παρούσα εργασία χρησιμοποιείται η μέθοδος SIP (Strongly Implicit Procedure) που αναπτύχθηκε από τον Stone (968) και αναλύεται στη συνέχεια. 7

73 4.3 Επαναληπτική μέθοδος SIP (Strongly Implicit Procedure) Η μέθοδος SIP είναι μία επαναληπτική διαδικασία επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων η οποία εκμεταλλεύεται την αραιή μορφή του πίνακα των συντελεστών ώστε η επίλυση να είναι οικονομικότερη από θέμα υπολογιστικού χώρου και χρόνου. Το τελικό σύστημα των γραμμικών εξισώσεων για μία τρισδιάστατη ροή στη γενική περίπτωση θα είναι με ανάπτυξη της εξίσωσης (4.8): A ϕ = Aϕ + S p P i I P A ϕ = Aϕ + A ϕ + Aϕ + Aϕ + Aϕ + Aϕ + S p P e E w W n N s S t T b B P (4.9) όπου Ap = Ae + Aw + An + As + At + Ab. H ποσότητα A i εκφράζει τη ροή από την επιφάνεια i του όγκου ελέγχου που περιλαμβάνει τα φαινόμενα συναγωγής, κατά κύριο λόγο και διάχυσης. Το i εκφράζει την επιφάνεια του κελιού, με i= e, w, n, s, t, b ενώ το I, με I = EW,, N, ST,, B, εκφράζει το κέντρο του γειτονικού όγκου ελέγχου που εφάπτεται στον όγκο ελέγχου με κέντρο P με την αντίστοιχη επιφάνεια i. Σε ένα υπολογιστικό πλέγμα διακριτοποίησης του πεδίου ροής γίνεται συμβατικά η εξής αντιστοίχηση των κέντρων ενός τυχαίου όγκου ελέγχου με τους γειτονικούς του: P (, i j, k) E ( i+, j, k), W ( i, j, k) N (, i j+, k), S (, i j, k) T (, i j, k+ ), B (, i j, k ) Συνεπώς η διακριτοποιημένη εξίσωση (4.9) θα πάρει τη μορφή: A ϕ = Aϕ + A ϕ + Aϕ + Aϕ + Aϕ + Aϕ + S P ijk e i+ jk w i jk n ij+ k s ij k t ijk+ b ijk P και σε μορφή μητρώων: (4.) AΦ= B O πίνακας A n nείναι ένας επταδιαγώνιος πίνακας των συντελεστών των αγνώστων στη γενική τρισδιάστατη περίπτωση. Η κύρια διαγώνιος αντιστοιχεί στους συντελεστές των τιμών της προς επίλυση μεταβλητής του κέντρου των όγκων ελέγχου του διακριτοποιημένου πεδίου ροής. Οι υπόλοιποι σταθεροί συντελεστές ανήκουν στις υπόλοιπες διαγωνίους και η θέση τους στον πίνακα καθορίζεται από τον τρόπο σάρωσης των κελιών του πεδίου ροής. Ο Φ n είναι ένας πίνακας-στήλη των αγνώστων προς επίλυση μεταβλητών και ο B n είναι ένας πίνακας-στήλη των σταθερών όρων που αποτελείται από όλους τους όρους πηγής όπου n είναι ο συνολικός αριθμός των υπολογιστικών κελιών του πεδίου. Η συνολική διαδικασία επίλυσης αναπτύσσεται ως εξής. Αρχικά επιλέγεται ένας πίνακας N = LU ο οποίος μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο δύο πινάκων και διαφέρει ελάχιστα από τον A, ( N ; A ). Ο πίνακας U περιέχει μη μηδενικές διαγώνιους 73

74 τις αντίστοιχες των A p, A e, A n, A t που είναι οι B p, B e, B n, B t και είναι τριγωνικός άνω, ενώ ο L έχει μοναδιαία κύρια διαγώνιο με μη μηδενικές διαγώνιους τις αντίστοιχες των A w, A s, A b που είναι οι B w, B s, B b και είναι τριγωνικός κάτω. Αρχικά εξισώνονται οι διαγώνιοι των πινάκων A και N και προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις : B B B = A bi (, jk, ) bi (, jk, ) = A sijk (,, ) sijk (,, ) = A wi (, jk, ) wi (, jk, ) B B + B B + B B + B = A wi (, jk, ) ei (, jk, ) si (, jk, ) ni (, j, k) bi (, jk, ) ti (, jk, ) Pi (, jk, ) pi (, jk, ) B B = A ei (, jk, ) bi (, jk, ) ei (, jk, ) B B = A ni (, jk, ) bi (, jk, ) ni (, jk, ) B B = A ti (, jk, ) bi (, jk, ) ti (, jk, ) (4.) Από τον πολλαπλασιασμό των πινάκων L και U προκύπτουν κάποιες επιπλέον διαγώνιοι οι οποίες δεν αντιστοιχούν σε αντίστοιχες διαγωνίους του πίνακα A και θα δίνονται από τις σχέσεις: B = B B wn(, i j, k) w(, i j, k) n( i, j, k) B = B B wt(, i j, k) w(, i j, k) t( i, j, k) B = B B se( i, jk, ) si (, jk, ) ei (, j, k) B = B B st(, i j, k) s(, i j, k) t(, i j, k) B = B B be(, i j, k) b(, i j, k) e(, i j, k ) B = B B bn(, i j, k) b(, i j, k) n(, i j, k ) (4.) Συνεπώς για έναν όγκο ελέγχου (i,j,k) οι τελικές εξισώσεις που επιλύονται σε κάθε επανάληψη m θα είναι: m m m Pi (, jk, ) ϕ(, i jk, ) = ei (, jk, ) ϕ( i+, jk, ) + wi (, jk, ) ϕ( i, jk, ) A A A m m nijk (,, ) ϕ(, ij+, k) Asijk (,, ) ϕ(, ij, k) + A + m m t(, i j, k) ϕ(, i j, k+ ) Ab(, i j, k) ϕ(, i j, k ) + A + B m m wn(, i j, k) ϕ( i, j+, k) Bwt(, i j, k) ϕ( i, j, k+ ) m m Bse(, i j, k) ϕ( i+, j, k) Bst( i, j, k) ϕ( i, j, k+ ) m m be(, i j, k) ϕ( i+, j, k ) bn(, i j, k) ϕ(, i j+, k ) (, i j, k) B B + B (4.3) Παρατηρείται ότι εμφανίζονται κάποιοι επιπλέον όροι στην εξίσωση (4.3) οι οποίοι περιέχουν τις τιμές ϕ( i, j+, k), ϕ( i, jk, + ), ϕ( i+, j, k), ϕ( i+, jk, ), ϕ( i, j, k+ ), ϕ( i, j+, k ). Για να μειωθεί η επίδραση των όρων αυτών θα πρέπει να αφαιρεθούν από το δεξί μέλος της (4.3) ισοδύναμοι όροι. Οι τιμές της μεταβλητής από τους όρους που θα αφαιρεθούν θα πρέπει να έχουν τιμές που αντιστοιχούν στις διαγώνιους του πίνακα N. Χρησιμοποιώντας αναπτύξεις 74

75 Taylor γύρω από το σημείο (i,j) και κατάλληλες προσεγγίσεις, Μαρκάτος (995), τελικά καταλήγουμε στις παρακάτω σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές σε αυτές τις θέσεις με τις μεταβλητές στις επιθυμητές κάθε φορά θέσεις στο πεδίο διακριτοποίησης: ϕ = ϕ + ϕ + ϕ ( i, j+, k) (, i j, k) (, i j+, k) ( i, j, k) ϕ = ϕ + ϕ + ϕ ( i, j, k+ ) ( i, j, k) ( i, j, k) ( i, j, k+ ) ϕ = ϕ + ϕ + ϕ ( i+, j, k) ( i, j, k) ( i+, j, k) ( i, j, k) ϕ = ϕ + ϕ + ϕ ( i+, j, k ) ( i, j, k) ( i+, j, k) ( i, j, k ) ϕ = ϕ + ϕ (, i j, k ) + ϕ (, i j, k ) (, i j, k+ ) (, i j, k) + ϕ = ϕ + ϕ + ϕ (, i j+, k ) (, i j, k) (, i j+, k) (, i j, k ) (4.4) Για παράδειγμα η προσεγγιστική σχέση για την ϕ( i, j +, k) προκύπτει, αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor την τιμή ϕ( i, j +, k), αφαιρώντας παρόμοια αναπτύγματα των ϕ (, i j +, k) και ϕ( i, j, k) και αποκόπτοντας όρους μεγαλύτερης τάξης. Όταν οι αποστάσεις των υπολογιστικών κόμβων είναι μικρές, η σχέση (4.4) αποτελεί πολύ καλή προσέγγιση για τον υπολογισμό αυτών των ποσοτήτων. Οι όροι αυτοί πριν αφαιρεθούν, πολλαπλασιάζονται για ευστάθεια με μία σταθερά a, με < a <. Η ανασχηματισμένη πλέον εξίσωση (4.3) παίρνει τελικά τη μορφή: m m m P( i, j, k) ϕ( i, j, k) = e( i, j, k) ϕ( i+, j, k) + w( i, j, k) ϕ( i, j, k) A A A m m nijk (,, ) ϕ(, ij+, k) Asijk (,, ) ϕ(, ij, k) + A + m m t(, i j, k) ϕ(, i j, k+ ) Ab(, i j, k) ϕ(, i j, k ) + A + m m m m Bwn( i, j, k )( ϕ( i, j+, k) a( ϕ + ϕ + ϕ (, i j, k) (, i j+, k) ( i, j, k ))) m m m m Bwt(, i j, k) ( ϕ( i, j, k+ ) a( ϕ + ϕ + ϕ (, i j, k) ( i, j, k) (, i j, k+ ) )) m m m m Bse(, i j, k) ( ϕ( i+, j, k) a( ϕ + ϕ + ϕ (, i j, k) ( i+, j, k) (, i j, k) )) m m m m Bst(, i j, k) ( ϕ(, i j, k+ ) a( ϕ + ϕ + ϕ (, i j, k) (, i j, k) (, i j, k+ ) )) m m m m Bbe(, i j, k )( ϕ( i+, jk, ) a ( ϕ + ϕ + ϕ ( i, j, k) ( i+, j, k) ( i, j, k ) )) m m m m ϕ + ( ϕ ϕ ϕ (, i j, k) (, i j+, k) (, i j, k ) ) ( ) B a B bn(, i j, k) (, i j, k ) (, i j, k) (4.5) Από την εξίσωση (4.5) και συλλέγοντας του όρους που πολλαπλασιάζονται με την ίδια μεταβλητή προκύπτουν οι συντελεστές του πίνακα N. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (4.) καταλήγουμε τελικά στις αναδρομικές σχέσεις υπολογισμού των συντελεστών των πινάκων L και U, που θα είναι: 75

76 B B B B B B bijk (,, ) sijk (,, ) wi (, jk, ) tijk (,, ) nijk (,, ) eijk (,, ) A = + a B + bijk (,, ) ( ei (, jk, ) Bni (, jk, ) ) A = + a B + sijk (,, ) ( eij (,, k) Btij (,, k) ) A = + a B + wi (, jk, ) ( ni (, jk, ) Bti (, jk, )) + ( + ) ) A a B B B B = B ti (, jk, ) wi (, jk, ) ti (, jk, ) si (, jk, ) ti (, j, k Pijk (,, ) ( ) A + a B B + B B = B nijk (,, ) wijk (,, ) ni (, jk, ) bijk (,, ) nijk (,, ) Pijk (,, ) ( ) A + a B B + B B = B ei (, jk, ) si (, jk, ) ei (, j, k) bi (, jk, ) ei (, jk, ) Pijk (,, ) ( ( B )) s( i, j, k) ( e( i, j, k) t( i, j, k) n( i, j, k) ) bi (, jk, )( ei (, jk, ) ni (, jk, ) ti (, jk, ) ) B = A + a B B + B Pi (, jk, ) Pi (, jk, ) wi (, jk, ) ni (, jk, ) ti (, jk, ) ei (, jk, ) ( ) ( ) + a B B + B B + a B B + B B (4.6) Η συνολική τελική διαδικασία επίλυσης για μία μεταβλητή του πεδίου ροής έχει ως εξής: Ξεκινώντας από τη τελική διακριτοποιημένη σχέση AΦ =Β θεωρείται ότι A= N +Ρ, όπου P ένας πίνακας τέτοιος ώστε ο πίνακας N να μη διαφέρει πολύ από τον A αλλά να είναι εύκολη η παραγοντοποίησή του. Οι τιμές στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης υπολογίζονται από το προηγούμενο επαναληπτικό βήμα, για μία επανάληψη m προκύπτει ότι: m m NΦ = ΡΦ + B ( ) m m m m N Φ Φ = AΦ + B m NΔ = R m m LUΔ = R m m m m m όπου Δ =Φ Φ ο πίνακας των διορθώσεων και R = AΦ B ο πίνακας των υπολοίπων στην m επανάληψη. Το τελικό σύστημα είναι ισοδύναμο με τα δύο τριγωνικά συστήματα: m m Το πρώτο είναι το LY = R, όπου με αντικατάσταση προς τα εμπρός προκύπτει: Y m (, i j, k) m m m m ( i, j, k) w( i, j, k) ( i, j, k) s( i, j, k) ( i, j, k) b( i, j, k) ( i, j, k ) R B Y B Y B Y = B Pijk (,, ) (4.7) 76

77 και το δεύτερο m m UΔ = Y, όπου με αντικατάσταση προς τα πίσω προκύπτει: m m m m m (, i jk, ) Y(, i jk, ) Bei (, jk, ) ( i+, jk, ) Bni (, j+, k) (, i jk, ) Bti (, jk, ) (, i jk, + ) Δ = Δ Δ Δ (4.8) Ο τελικός υπολογισμός της άγνωστης μεταβλητής ολοκληρώνεται με τον προσδιορισμό των αγνώστων μεταβλητών στο τρέχων βήμα της επαναληπτικής διαδικασίας από τη σχέση m m m Φ =Δ +Φ. Για την έναρξη της επαναληπτικής διαδικασίας απαιτείται μία αρχική πρόβλεψη του πίνακα των αγνώστων Φ. Κατά τη διάρκεια της επίλυσης καθώς προσεγγίζεται η πραγματική m λύση, η ποσότητα R τείνει στο μηδέν. Συνήθως, για την παρακολούθηση της πορείας i, j, k i, j, k των επαναλήψεων και το καθορισμό της ακρίβειας της τελικής λύσης, χρησιμοποιείται ένα m κριτήριο σύγκλισης της μορφής R < ε, όπου ε ένας θετικός αριθμός που δηλώνει την ακρίβεια της τελικής λύσης. 4.4 Ο αλγόριθμος SIMPLE i, j, k i, j, k Για την τελική επίλυση του πεδίου ροής απαιτείται και ο προσδιορισμός της πίεσης που εμφανίζεται στις εξισώσεις ορμής των ταχυτήτων. Σε αντίθεση με τις ταχύτητες και τις υπόλοιπες μεταβλητές, η πίεση δεν περιγράφεται από κάποια εξίσωση μεταφοράς. Για τον προσδιορισμό της χρησιμοποιείται σαν βασική εξίσωση που την περιγράφει η εξίσωση της συνέχειας. Παρόλο που η πίεση δεν εμφανίζεται άμεσα στην εξίσωση της συνέχειας, με τη βοήθεια των διακριτοποιημένων εξισώσεων της ορμής και με την έκφραση των ταχυτήτων στην εξίσωση της συνέχειας σαν συνάρτηση των διορθώσεων της στατικής πιέσης, παίρνει τέτοια μορφή όπου η βασική προς επίλυση μεταβλητή είναι πλέον οι διορθώσεις της στατικής πίεσης. Ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται στην παρούσα διδακτορική διατριβή για την επίλυση της εξίσωσης διόρθωσης της πίεσης είναι ο αλγόριθμος SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) που προτάθηκε από τους Patankar και Spalding (97) και έχει αναπτυχθεί αναλυτικά σε προηγούμενη διδακτορική διατριβή του εργαστηρίου μηχανικής ρευστών, Υάκινθος (997). Στηρίζεται στην εκτίμηση ενός πεδίου πίεσης και στη διόρθωσή του ώσπου οι ταχύτητες που υπολογίζονται να ικανοποιούν την εξίσωση της συνέχειας και τις εξισώσεις ορμής. Συνοπτικά τα βήματα του αλγόριθμου SIMPLE είναι τα εξής:. Γίνεται μια αρχική εκτίμηση του πεδίου της πίεσης.. Με την εκτίμηση αυτή της πίεσης επιλύονται οι εξισώσεις ορμής για τις ταχύτητες. 3. Από τις διακριτοποιημένες εξισώσεις ορμής και με τη βοήθεια της εξίσωσης της συνέχειας, καταστρώνεται η εξίσωση μεταφοράς της πίεσης. 4. Από τη διακριτοποιημένη εξίσωση της πίεσης καταστρώνεται ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων της μορφής AΦ= B από την επίλυση του οποίου εξάγεται η διόρθωση της πίεσης. 5. Υπολογίζεται η καινούργια πίεση του πεδίου ροής από τη διόρθωσή της, δηλαδή από το βήμα 4 και την αρχική εκτίμηση. 6. Διορθώνεται το πεδίο των ταχυτήτων με την τιμή της καινούργιας πίεσης από το βήμα Επιλύονται όλες οι υπόλοιπες μεταβλητές και η αλγοριθμική διαδικασία επιστρέφει στο βήμα. 77

78 Η διαδικασία επίλυσης επαναλαμβάνεται μέχρι να πραγματοποιηθεί σύγκλιση και ικανοποίηση των εξισώσεων ορμής και συνέχειας Η εισαγωγή των φαινομένων συμπιεστότητας στον υπολογισμό της πίεσης Η διαδικασία που χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία για την ενσωμάτωση των φαινομένων συμπιεστότητας λόγω μεταβολής της πυκνότητας, ακολουθεί τη βασική μεθοδολογία που προτάθηκε από τους Karki και Patankar (989), οι οποίοι παρατήρησαν ότι σε συμπιεστές ροές η εξίσωση της συνέχειας είναι στην ουσία μια εξίσωση μεταφοράς της πυκνότητας. Η βασική ιδέα επίλυσης είναι αντίστοιχη με αυτή των ασυμπίεστων ροών όπου η κύρια μεταβλητή η οποία θα επιλυθεί, μέσω της εξίσωσης της συνέχειας είναι η πίεση. Οι μεθοδολογίες επίλυσης αμιγώς συμπιεστών ροών θεωρούν ως κύρια μεταβλητή την πυκνότητα και προσδιορίζουν την πίεση από την εξίσωση της συνέχειας. Σε ροές με χαμηλούς αριθμούς Mach η μεταβολές στην πυκνότητα είναι πολύ μικρές και η συσχέτιση πυκνότητας πίεσης δεν είναι πολύ ισχυρή με αποτέλεσμα οι μεθοδολογίες αυτές να καθυστερούν στη σύγκλιση κατά την επίλυση του ροϊκού πεδίου. Χρησιμοποιώντας σαν βασική μεταβλητή την πίεση, η διαδικασία επίλυσης είναι πιο ευέλικτη. Η πίεση είναι ποσότητα που συνεχώς αλλάζει σημαντικά ασχέτως του αριθμού Mach. Συνεπώς μια τέτοια προσέγγιση είναι πιο εύχρηστη για την επίλυση ενός μεγάλου αριθμού ροών με μεγάλο εύρος αριθμού Mach και κυρίως για διηχητικές ροές. Στις ασυμπίεστες ροές με βάση τη μεθοδολογία του αλγόριθμου SIMPLE, η άγνωστη στατική πίεση προσδιορίζεται από μία εξίσωση ελλειπτικής μορφής. Τα φαινόμενα συμπιεστότητας εισάγονται στην εξίσωση της συνέχειας μέσω της εκτίμησης της πυκνότητας. Οι επιπλέον όροι λόγω της συμπιεστότητας που εμφανίζονται προκύπτουν από τις διορθώσεις της πυκνότητας που πρέπει να εισαχθούν. Συνεπώς, βρίσκοντας μια κατάλληλη συσχέτιση πυκνότητας πίεσης, οι άγνωστες διορθώσεις της πυκνότητας μπορούν να συνδεθούν με την άγνωστη διόρθωση της πίεσης η οποία είναι και η προς επίλυση μεταβλητή. Με την εισαγωγή των φαινομένων της συμπιεστότητας στις υπερηχητικές και διηχητικές ροές, οι εξισώσεις της διόρθωσης της πίεσης πρέπει να έχουν μια υπερβολική μορφή σε αντίθεση με την ελλειπτική που έχουν στις ασυμπίεστες ροές χαμηλού αριθμού Mach. Οι Karki και Patankar (989) πρότειναν ένα σχήμα διακριτοποίησης των όρων συμπιεστότητας το οποίο θα επηρεάζεται αποκλειστικά από την ανάντη πληροφορία. επίδραση από εμπρός (upwinding), της μορφής: P I u P i p u i ρi = max, + max,, για I = W, S, B και i= w, s, b RT I u i RT p u (4.9) i και P u i P Ι u i ρi = max, + max,, για I = ENT,, και i = e, n, t RT P u i RT Ι u (4.) i όπου ρ η πυκνότητα, P η στατική πίεση, T η θερμοκρασία του ρευστού και R η παγκόσμια σταθερά των αερίων. Οι δείκτες I αναφέρονται στα κέντρα των γειτονικών όγκων ελέγχου, ο P στο κέντρο του τρέχοντος όγκου ελέγχου και οι i στις έξι πλευρές του. Ένα τέτοιο σχήμα διακριτοποίησης, παρόλο που δίνει την απαιτούμενη πληροφορία για διηχητικές και υπερηχητικές ροές που ένα καθαρά υπερβολικής υφής, παρουσιάζει πολλές αστάθειες σε περιπτώσεις υποηχητικών ροών. Ο Tamamidis (99), πρότεινε μια απλή 78

79 γραμμική παρεμβολή, αντίστοιχη των σχέσεων (4.9) και (4.) η οποία είναι αποτελεσματική μόνο σε περιπτώσεις υποηχητικών ροών. Για να προκύψει μία σχέση η οποία να μπορεί να σταθμίζει την επίδραση των εκάστοτε παραμέτρων που καθορίζουν τη φύση της ροής, εισάγεται μία συνάρτηση στάθμισης σύμφωνα με την πρόταση των Mc Guirk και Page της μορφής: M ref μ = max, k M (4.) όπου k, M ref και M ο τοπικός αριθμός Mach. Η ιδέα της συνάρτησης στάθμισης υιοθετήθηκε από τους Lien και Leschziner (993) οι οποίοι χρησιμοποίησαν μία σχέση έκφρασης της πυκνότητας χρησιμοποιώντας ένα μικτό σχήμα που συνδυάζει το κεντρικό-γραμμικό των υποηχητικών ροών με το upwinding των διηχητικών και υπερηχητικών ροών. Η έκφραση της παρεμβολής από εμπρός στις σχέσεις (4.9) και (4.) αντικαθίσταται από σχέσεις που συνδέουν τον τοπικό αριθμό Mach με το απαιτούμενο ποσοστό του upwinding. Ορίζεται ο αριθμός Mach κατεύθυνσης (directional Mach number) ο οποίος αντιλαμβάνεται την κατεύθυνση της ροής και έχει τη μορφή: sgn( M P ) M + + P = (4.) και M P sgn( M P ) = (4.3) όπου M U P P =, P ap U η τοπική ταχύτητα και ap ειδικό λόγο θερμοχωρητικοτήτων και sgn ( M ) = γ RT η ταχύτητα του ήχου με γ =.4 τον εάν M P P =. Συνεπώς οι τελικές εάν M P < εκφράσεις συσχέτισης της πυκνότητας με την πίεση θα έχουν τη μορφή: P ( ) p PI P P I p + ρi = μi fi + ( fi) + μi MP + MP, R Tp TI TI Tp γραμμική παρεμβολή upwind για I = W, S, B και i= w, s, b (4.4) και PI P + P PI ρi = ( μi) fi + ( fi) + μi MP + MP, R TI TP TP TI γραμμική παρεμβολή upwind για I = ENT,, και i = e, n, t (4.5) 79

80 όπου οι συντελεστές f i είναι συναρτήσεις γραμμικής παρεμβολής. Από τις εξισώσεις (4.4) και (4.5) προκύπτει ότι η πυκνότητα υπολογίζεται με απλή γραμμική παρεμβολή για υποηχητικές ροές, όπου διατηρεί την ελλειπτική της μορφή με τις συναρτήσεις μ i ίσες με το μηδέν και σταδιακά προχωρώντας σε υπερηχητικές ροές, υπολογίζεται με διόρθωση από την ανάντη πληροφορία ενισχύοντας την υπερβολική μορφή των εξισώσεων. Ρυθμίζοντας κατάλληλα την τιμή των συντελεστών k και M ref μπορεί να γίνει πολύ ομαλή η μεταβολή του είδους της ροής με την αύξηση του αριθμού Mach. Η διαδικασία ολοκληρώνεται με αντικατάσταση των συμπιεστών μερών της πυκνότητας, που είναι οι διορθώσεις της πυκνότητας, στην εξίσωση της συνέχειας. Οι διορθώσεις της πυκνότητας συνδέονται με τις διορθώσεις της στατικής πίεσης μέσω των σχέσεων (4.4) και (4.5). Η άγνωστη κύρια μεταβλητή είναι οι διορθώσεις της στατικής πίεσης P που προκύπτει για το ασυμπίεστο μέρος από τις εξισώσεις ορμής και για το συμπιεστό από τις εκφράσεις της διόρθωσης της πυκνότητας. Το τελικό γραμμικό σύστημα που τελικά πρέπει να επιλυθεί με άγνωστη τη διόρθωση της στατικής πίεσης είναι της μορφής AΦ= B. Η πορεία της επαναληπτικής διαδικασίας είναι η ίδια που ακολουθείται και για τις ασυμπίεστες ροές χρησιμοποιώντας με την ίδια μεθοδολογία τον αλγόριθμο SIMPLE μέχρι να επιτευχθεί η τελική σύγκλιση και επίλυση όλων των μεταβλητών του ροϊκού πεδίου Οριακές συνθήκες στα διηχητικά και υπερηχητικά προβλήματα Στην περίπτωση των προβλημάτων διηχητικών και υπερηχητικών ροών θα πρέπει να καθοριστούν ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος αντίστοιχες κατά περίπτωση οριακές συνθήκες επίλυσης του πεδίου ροής. Δύο είναι οι βασικές κατηγορίες στις οποίες χωρίζονται αυτού του είδους τα προβλήματα που εξαρτώνται από το είδος των συνθηκών της ροής στην έξοδο του πεδίου, Υάκινθος (997). Αναλυτικότερα θα είναι: - Υποηχητική έξοδος Στην περίπτωση που το πρόβλημα προδιαγράφεται από υποηχητικές συνθήκες στην έξοδο, για τον πλήρη ορισμό του για την τελική του επίλυση θα πρέπει να είναι γνωστές οι in in ολικές συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας στην είσοδο, P και T αντίστοιχα, η στατική ex πίεση εξόδου P και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά, οι γωνίες εισόδου τις ροής. Με αυτά τα δεδομένα καθορίζονται πλήρως όλες οι άγνωστες ποσότητες στην είσοδο. Η στατική πίεση εισόδου προσδιορίζεται σε όλη τη διάρκεια της επίλυσης με προεκβολή από τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ροής με σκοπό να υπολογίζεται ο ισεντροπικός αριθμός Mach από τη σχέση: M in γ in P γ = in γ P (4.6) Στη συνέχεια προσδιορίζεται η στατική θερμοκρασία εισόδου T in από τη σχέση: 8

81 T in in T = γ + M γ in (4.7) και η ταχύτητα εισόδου του ήχου από τη σχέση: a in in γ P = = ρ γ RT in (4.8) Τέλος το μέτρο της ταχύτητας εισόδου καθορίζεται άμεσα από τον ορισμό του αριθμού Mach από την εξίσωση: U = M α in in in (4.9) Από το μέτρο της ταχύτητας και τις γωνίες εισόδου της ροής προσδιορίζονται οι συνιστώσες του διανύσματος της ταχύτητας εισόδου. Στην έξοδο, καθορίζεται μόνο η πίεση ex εξόδου P ενώ όλες οι απαιτούμενες μεταβλητές υπολογίζονται με προεκβολή από το εσωτερικό του πεδίου ροής. - Υπερηχητική έξοδος Στην περίπτωση που το ροϊκό πεδίο προδιαγράφεται από υπερηχητική έξοδο, δεν μπορεί καμία πληροφορία που θα δοθεί στην έξοδο, να επηρεάσει το πεδίο ροής πίσω από αυτή μέχρι την είσοδο. Συνεπώς οι μοναδικές συνθήκες που απαιτούνται για να οριστούν οι in οριακές συνθήκες του πρόβληματος είναι η ολική πίεση και θερμοκρασία εισόδου, P και in T αντίστοιχα, η στατική πίεση εισόδου in P και τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά, οι γωνίες εισόδου της ροής. Η διαδικασία που ακολουθείται για τον προσδιορισμό των υπόλοιπων ποσοτήτων στην είσοδο καθορίζονται επίσης από τις σχέσεις (4.6) έως (4.9) όπως και στην περίπτωση της υποηχητικής εξόδου. 4.5 Γενικευμένα καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων Για την εφαρμογή των μεθοδολογιών διακριτοποίησης του πεδίου ροής και την ολοκλήρωση των εξισώσεων μεταφοράς, απαιτείται η διαίρεση του χώρου σε επιμέρους όγκους ελέγχου. Η διακριτοποίηση αυτή γίνεται με τη σχεδίαση ενός υπολογιστικού πλέγματος το οποίο στη γενική τρισδιάστατη περίπτωση είναι στρεβλό και πιο πυκνό κυρίως σε σημεία που βρίσκονται κοντά σε τοιχώματα. Στην περίπτωση που το πλέγμα δακριτοποίησης είναι ορθογωνικό, οι όγκοι ελέγχου που σχηματίζονται είναι κύβοι και οι διαδικασίες χωρικής διακριτοποίησης είναι εύκολο να εφαρμοστούν άμεσα. Το πρόβλημα είναι ότι τα τρισδιάστατα ρευστομηχανικά προβλήματα για την επίλυσή τους απαιτούν τη χρήση πλεγμάτων τα οποία αποτελούνται από γραμμές που δεν αντιστοιχούν στις καρτεσιανές διευθύνσεις και οι όγκοι ελέγχου που σχηματίζουν είναι γενικευμένα εξάεδρα. Η γενική μεθοδολογία που χρησιμοποιείται, Anderson (995), είναι ο μετασχηματισμός του χώρου και συνεπώς των γενικευμένων εξάεδρων σε κύβους, διακριτοποίηση και επίλυση των εξισώσεων μεταφοράς στον μετασχηματισμένο κανονικοποιημένο υπολογιστικό χώρο και τελική έκφραση των αποτελεσμάτων στον αρχικό φυσικό χώρο του πεδίου ροής. 8

82 Για να υλοποιηθεί η προαναφερθείσα διαδικασία κανονικοποίησης θα πρέπει να γίνει αντιστοίχηση ένα προς ένα των σημείων του υπολογιστικού χώρου με αυτά του φυσικού χώρου. Αρχικά οι καρτεσιανές συντεταγμένες συσχετίζονται με τις υπολογιστικές καθώς = όπου ο δείκτης i =,,3 αντιστοιχεί στις καρτεσιανές συντεταγμένες και ο j =,, 3 αντιστοιχεί στις κανονικοποιημένες συντεταγμένες. Η συσχέτιση αυτή είναι συνεπής ως προς την ένα προς ένα αντιστοίχηση, καθώς το υπολογιστικό πλέγμα αποτελείται από γραμμές σταθερού ξ j των οποίων τα σημεία τομής έχουν μοναδική αντιστοίχηση στον φυσικό χώρο με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x i, που είναι και η μοναδική σύνδεση μεταξύ του υπολογιστικού με τον φυσικό χώρο. Η μεθοδολογία που χρησιμοποιείται είναι η διατήρηση των καρτεσιανών συνιστωσών των ταχυτήτων και έκφραση των παραγωγίσεων των προς επίλυση μεταβλητών στον υπολογιστικό κανονικοποιημένο χώρο, Ferziger και Peric (). Συνεπώς για μία άγνωστη μεταβλητή ϕ και με κανονικοποίηση της χωρικής της παραγώγου προκύπτουν οι σχέσεις: ισχύει μία σχέση αντιστοίχησης της μορφής xi xi( ξ j) ϕ ϕ x j = ξ x ξ i j i (4.3) Οι εξισώσεις (4.3) αποτελούν ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους τις ϕ ποσότητες. Επιλύοντας το με τη μέθοδο του Cramer προκύπτει τελικά: x j ϕ ϕ β = x ξ J i j ij (4.3) x i ij όπου J = det η Ιακωβιανή ορίζουσα και β η ελάσσονα ορίζουσα της Ιακωβιανής για ξ j το σημείο ij. Συνεπώς, αν εκφραστεί η γενική εξίσωση μεταφοράς ενός μεγέθους ϕ σε καρτεσιανές συντεταγμένες, θα είναι: ( ρϕ ) ϕ + ρujϕ Γ ϕ = S t x j x j ϕ (4.3) και στη συνέχεια εάν εφαρμοστεί η διαδικασία κανονικοποίησης, θα προκύψει η τελική εξίσωση μεταφοράς εκφρασμένη στον υπολογιστικό χώρο η οποία θα έχει τη μορφή: ( ρϕ ) kj Γϕ ϕ kj km J u + ρ kβ ϕ β β = t ξ JS j J ξm ϕ (4.33) Η εξίσωση (4.33) είναι η τελική εξίσωση μεταφοράς του μεγέθους ϕ, οι χωρικές παραγωγίσεις της οποίας είναι εκφρασμένες στον κανονικοποιημένο υπολογιστικό χώρο. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο ολοκλήρωσης των πεπερασμένων όγκων και τη γενική αλγοριθμική διαδικασία που αναπτύχθηκε στις προηγούμενες ενότητες, στον υπολογιστικό πλέον χώρο, 8

83 προκύπτουν τελικά οι τιμές των αγνώστων μεταβλητών και επιτυγχάνεται τελική επίλυση του πεδίου ροής. 4.6 Αποσύνθεση πεδίου τιμών παραλληλοποίηση της υπολογιστικής διαδικασίας Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, ο υπολογιστικός κώδικας αναπτύχθηκε με τέτοιο τρόπο, ώστε να επιλύει τα προβλήματα σε παράλληλη συστοιχία επεξεργαστών, Vlahostergios et al (5). Η παραλληλοποίησή του έγινε με την τεχνική της διακριτοποίησης του υπολογιστικού πεδίου και επίλυση της κάθε υποπεριοχής ξεχωριστά, η οποία συναντάται στη βιβλιογραφία ως domain decomposition. Ο αριθμός των υποπεριοχών καθορίζεται από τον αριθμό των επεξεργαστών που αποτελούν τη συστοιχία των υπολογιστών που λειτουργούν παράλληλα, ενώ για τη μεταξύ τους επικοινωνία επιλέχθηκε το πρωτόκολλο MPI. Ο υπολογιστικός κώδικας εκτελείται τόσες φορές όσες είναι και ο αριθμός των επεξεργαστών στους οποίους έχει διαιρεθεί και το πεδίο της ροής, αλλά ταυτόχρονα σε όλους τους επεξεργαστές σε ένα συνολικό επαναληπτικό βήμα. Ο κάθε επεξεργαστής έχει έναν κατάλληλο αριθμό επιπλέον υπολογιστικών κελιών στις περιοχές που συνορεύει με τους υπόλοιπους επεξεργαστές, τα οποία ονομάζονται εικονικά κελιά (ghost cells), όπου αποθηκεύεται ότι πληροφορία απαιτείται από τις γειτονικές περιοχές κατά τη διάρκεια της επίλυσης. Σε κάθε περιοχή επιλύεται το πρόβλημα με έναν διαφορετικό αλγόριθμο SIP και η σύνδεση τους γίνεται μέσω των εικονικών κελιών. Το βασικό πρόβλημα που προκύπτει με τη μέθοδο του domain decomposition είναι στον τρόπο που θα περάσει η πληροφορία μέσα στον αλγόριθμο SIP, Ferziger και Peric (). Αναλυτικότερα θα είναι: Ο κάθε επεξεργαστής επιλύει ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων της μορφής APϕijk = Aeϕi + jk + Awϕi jk + Anϕij+ k + Asϕij k + Atϕijk+ + Abϕijk + SP. Οι συντελεστές A f που εκφράζουν τη ροή λόγω συναγωγής και διάχυσης από την αντίστοιχη επιφάνεια f, όπου f = wesnbt,,,,,, του υπολογιστικού κελιού, πρέπει να μηδενίζονται στα όρια όπου σταματάει η υπολογιστική περιοχή. Αν δεν ικανοποιηθεί η συνθήκη αυτή, η συναγωγή και διάχυση A f της επιφάνειας θα πολλαπλασιαστεί με τιμή της προς επίλυση μεταβλητής που αντιστοιχεί σε όγκο ελέγχου που δεν είναι σε επαφή με την επιφάνεια A f. Συνεπώς ο αλγόριθμος SIP πρέπει να μηδενίζει τις τιμές A f των επιφανειών στα όριά του. Η πληροφορία που χάνεται με αυτόν τον τρόπο, θα πρέπει να εισέρχεται στη διαδικασία επίλυσης σαν ένας πρόσθετος όρος πηγής. Η μεθοδολογία που ακολουθείται στη γενική περίπτωση στην οποία ο επεξεργαστής συνορεύει με άλλες έξι περιοχές είναι η εξής. Για να κλείσει ο αλγόριθμος SIP θα πρέπει η ροή A f των επιφανειών στα όρια να μη συμπεριληφθεί στον υπολογισμό των υπολοίπων ροών αλλά με κάποιο τρόπο η πληροφορία που μεταφέρει να εισαχθεί στον αλγόριθμο και να ληφθεί υπόψη κατά την επίλυση. Η συνεισφορά της A f προστίθεται στο συντελεστή A P και στον όρο πηγής S P, ενώ από τους υπόλοιπους συντελεστές αφαιρείται. Η τελική μορφή του τελικού γραμμικού συστήματος στη γενική περίπτωση θα έχει τη μορφή: 83

84 ( AP + Afe + Afw + Afn + Afs + Aft + Afb) ϕijk = ( Ae Afe) ϕi+ jk + ( Aw Afw) ϕi jk + ( An Afn) ϕij+ k + ( As Afs) ϕij k + ( At Aft ) ϕijk+ + ( Ab Afb ) ϕijk + ( SP + AfeϕE + AfwϕW + AfnϕN + AfsϕS + AftϕT + AfbϕB ) (4.34) όπου με f συμβολίζονται η τιμές της μεταβλητής ϕ στις γειτονικές περιοχές, όγκους ελέγχου, του εκάστοτε επεξεργαστή. Η μεθοδολογία αυτή εφαρμόζεται και σε όλες τις επιφάνειες που υπάρχουν οριακές συνθήκες αλλά και στα όρια του συνολικού υπολογιστικού πεδίου. Επίσης εφαρμόζεται και σε περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούνται πολλαπλές τοπολογίες πλεγμάτων οι οποίες επιλύονται από έναν επεξεργαστή σειριακά. 84

85 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρμογές του τρισδιάστατου επιλυτή Η αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes και των εξισώσεων μεταφοράς των εκάστοτε μοντέλων τύρβης, έγινε με τη χρησιμοποίηση ενός παραλληλοποιημένου ελλειπτικού κώδικα που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διδακτορικής διατριβής. Για το χειρισμό των όρων πηγής, συναγωγής και διάχυσης σε όλες τις περιπτώσεις χρησιμοποιήθηκε το αριθμητικό σχήμα του Zhu (99) το οποίο είναι ακρίβειας δεύτερης τάξης έτσι ώστε να αποφευχθούν προβλήματα αριθμητικής αστάθειας, όπως περιγράφεται από τους Chen et al (998) και Hadzic (999). Οι υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν σε συστοιχία επεξεργαστών και για τη μεταξύ τους επικοινωνία χρησιμοποιήθηκε το πρωτόκολλο MPI. 5. Περιγραφή των πειραματικών διατάξεων T3L Η κατανόηση του μηχανισμού της μετάβασης στα πτέρυγια των στροβιλομηχανών είναι πολύ σημαντική και πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά το σχεδιασμό τους. Σε κάποιους σχεδιασμούς στροβίλων τα πτερύγια έχουν ημι-κυκλική ακμή προσβολής, η οποία αποτελεί σημείο ανακοπής της ροής. Από το σημείο ανακοπής ξεκινά η ανάπτυξη του οριακού στρώματος και σταδιακά η μετάβασή του από στρωτό σε τυρβώδες. Με σκοπό την ευρεία μελέτη και κατανόηση του μηχανισμού αυτού, πραγματοποιήθηκε από την ERCOFTAC ( ένας μεγάλος αριθμός πειραματικών μετρήσεων που αφορούν την ανάπτυξη του οριακού στρώματος σε πλάκες με ημικυκλικές και αιχμηρές γωνίες προσβολής που αντιπροσωπεύουν την ανάπτυξη της ροής σε πτερύγια στροβιλομηχανών. Η διαθέσιμη βάση πειραματικών μετρήσεων που υπάρχει παρέχει πολύ καλή πληροφόρηση για τη φυσική του φαινομένου και αποτελεί καλή πιστοποίηση και βελτίωση της συμπεριφοράς των διαφόρων μοντέλων τύρβης. Για τις περιπτώσεις όπου πραγματοποιείται μετάβαση by-pass, που είναι οι περιπτώσεις με αιχμηρή ακμή προσβολής και είναι οι πειραματικές διατάξεις με τις ονομασίες T3A και T3B της ERCOFTAC, έχουν γίνει αρκετές υπολογιστικές προσεγγίσεις με τη χρησιμοποίηση των εξισώσεων RANS συνδυασμένων με γραμμικά και μη-γραμμικά μοντέλα τύρβης όπως των Craft et al. (997), Abe et al. (997) και Chen et al. (998), καθώς και μοντελοποίηση με τη χρησιμοποίηση του συντελεστή διακοπής όπως παρουσιάζεται από τους Steelant και Dick (996, ), Suzen και Huang (999) και Suzen et al. (3). Όσον αφορά τη μοντελοποίηση της μετάβασης λόγω αποκόλλησης του οριακού στρώματος, που είναι οι πειραματικές διατάξεις με τις ονομασίες T3L έως T3L6 της ERCOFTAC, αρχικά παρουσιάστηκαν από τους Palikaras et al. (, 3) και Corsini και Rispoli (5) αποτελέσματα με τη χρησιμοποίηση γραμμικού και μη-γραμμικού μοντέλου τύρβης. Εν συνεχεία οι Borello et al. (5), παρουσίασαν ικανοποιητικά αποτελέσματα με τη χρησιμοποίηση ενός μοντέλου RSM. Τέλος, λεπτομερείς υπολογισμοί στη μετάβαση λόγω αποκόλλησης για τις πειραματικές διατάξεις T3L έως T3L6 έγιναν από τους Vlahostergios et al. (7) με τη χρήση του εξελιγμένου μοντέλου RSM του Craft, τα αποτελέσματα των οποίων αποτελούν μέρος της παρούσας διδακτορικής διατριβής και παρουσιάζονται στη συνέχεια. 85

86 T urb ule nc e Grid Οι πειραματικές διατάξεις T3L αφορούν την ανάπτυξη της ροής στην επιφάνεια επίπεδης πλάκας με ημικυκλική ακμή προσβολής ακτίνας 5 mm σε έξι διαφορετικά ζεύγη ταχυτήτων και εντάσεων τύρβης. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται η πειραματική διάταξη που χρησιμοποιήθηκε για τις πειραματικές μετρήσεις. Για την επίτευξη των διαφορετικών εντάσεων τύρβης στην είσοδο τοποθετείται ανάλογο πλέγμα το οποίο δημιουργεί στη ροή τις κατάλληλες διαταραχές με σκοπό να επιτευχθεί η απαιτούμενη ένταση της τύρβης. Boundary Layer Bleed Turbulence Grid Test Plate Φ Movable Vanes 6 mm 3 mm Mesh X Probe Support on Vertical & axial Traverse Σχήμα 5.. Η πειραματική διάταξη T3L Το οριακό στρώμα αρχίζει να αναπτύσσεται από το σημείο ανακοπής του ρευστού αρχικά σαν στρωτό. Επιταχύνεται λόγω της κυρτής καμπυλότητας καθώς δημιουργείται μία αρνητική κλίση πίεσης μέχρι κάποια μέγιστη τιμή. Σταδιακά λόγω της γεωμετρίας η κλίση πίεσης γίνεται θετική και τόσο έντονη ώστε να επιβραδύνει το ρευστό, το οριακό στρώμα να αποκολληθεί και να δημιουργηθεί μία περιοχή ανακυκλοφορίας. Το σημείο επανακόλλησης της ροής και το πάχος της περιοχής ανακυκλοφορίας εξαρτάται από την ταχύτητα στην κύρια ροή καθώς και από την ένταση της τύρβης. Οι πειραματικές μετρήσεις που πραγματοποιήθηκαν από τους Coupland και Brierley (996) δίνουν μεγάλη και αξιοποιήσιμη πληροφορία για την πιστοποίηση και την αξιοπιστία των μοντέλων τύρβης σε πολύπλοκα φαινόμενα μετάβασης λόγω αποκόλλησης του οριακού στρώματος. Οι διαφορετικές συνθήκες εισόδου για κάθε πειραματική περίπτωση T3L παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα. Πειραματική Περίπτωση Ένταση τύρβης στην ελεύθερη ροή στα 6 mm από το σημείο ανακοπής Ταχύτητα αέρα στην ελεύθερη ροή T3L.% 5m/s T3L.65% 5m/s T3L3.3% 5m/s T3L4 5.5% 5m/s T3L5.3%.5m/s T3L6.3% m/s Πίνακας 5..Συνθήκες εισόδου για τις πειραματικές διατάξεις T3L. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, τα εξαγόμενα των πειραμάτων από τις διατάξεις T3L χρησιμοποιήθηκαν για τον έλεγχο της αξιοπιστίας διαφόρων μοντέλων τύρβης όσον αφορά τη συμπεριφορά τους σε συνθήκες μετάβασης καθώς και για τον έλεγχο της συμπεριφοράς του προτεινόμενου νέου μοντέλου. Τα μοντέλα που χρησιμοποιήθηκαν είναι 86

87 το μοντέλο τάσεων Reynolds του Craft, το γραμμικό μοντέλο Launder Sharma, το μηγραμμικό μοντέλο των Craft Launder και Suga, το γραμμικό μοντέλου k-ω-k laminar και τέλος το προτεινόμενο μη-γραμμικού μοντέλου CLS συνδυασμένο με την εξίσωση της στρωτής κινητικής ενέργειας. 5. Επίλυση του ροϊκού πεδίου των περιπτώσεων T3L με το μοντέλο τάσεων Reynolds του CRAFT 5.. Λεπτομέρειες της υπολογιστικής μοντελοποίησης Το βασικό υπολογιστικό πλέγμα διακριτοποίησης του χώρου που χρησιμοποιήθηκε είναι τοπολογίας O (O-type), και αποτελείται από 5 υπολογιστικά κελιά κάθετα στην επιφάνεια του τοιχώματος και 64 υπολογιστικά κελιά στη διεύθυνση της ροής. Στους αρχικούς υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε το πλέγμα του παρακάτω σχήματος το οποίο έχει κάθετη ευθεία είσοδο. Σχήμα 5.. Το πλέγμα των αρχικών υπολογισμών Το πλέγμα αυτό εξαιτίας των στρεβλώσεων που έχει κυρίως στα γωνιακά σημεία δημιουργούσε πολλές αριθμητικές αστάθειες και έντονα προβλήματα στην τελική σύγκλιση. Για αυτό το λόγο αντικαταστάθηκε από το πλέγμα του επόμενου σχήματος το οποίο είναι περισσότερο ομαλό εξαιτίας της κυκλικής περιοχής εισόδου Σχήμα 5.3. Το πλέγμα των τελικών υπολογισμών 87

88 Για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας των τελικών αποτελεσμάτων από τη διακριτοποίηση του χώρου, πραγματοποιήθηκαν υπολογισμοί με δύο επιπλέον πλέγματα τα οποία είχαν αντίστοιχα τα διπλάσια και μισά κελιά του αρχικού πλέγματος. Όλα τα πλέγματα των υπολογισμών ήταν τόσο πυκνά κοντά στα τοιχώματα ώστε να διασφαλίζεται η τιμή του y + γύρω στην τιμή. τουλάχιστον για τον πρώτο υπολογιστικό κόμβο. Για την επίτευξη της ευστάθειας κατά την επίλυση του πεδίου ροής από το μοντέλο τύρβης RSM χρησιμοποιήθηκαν διάφορες υπολογιστικές τεχνικές στα αρχικά στάδια της μελέτης και κυρίως με τη χρήση της κάθετης εισόδου. Χρησιμοποιήθηκε η τεχνική του τεχνητού ιξώδους στους όρους της διάχυσης, η αλλαγή των συντελεστών χαλάρωσης για την πιο ομαλή πορεία προς την τελική λύση καθώς και μέθοδοι επιβολής μη αρνητικών τιμών στα μεγέθη της τύρβης που είναι εξορισμού θετικά και μπορεί να γίνουν αρνητικά κυρίως στις πρώτες επαναλήψεις των υπολογισμών, όπου το πεδίο ροής δεν έχει ακόμα αναπτυχθεί. Με τη χρήση της κυκλικής εισόδου οι τεχνικές αυτές αποδείχθηκε ότι δεν συνεισέφεραν στην τελική ευστάθεια και ότι τα αριθμητικά προβλήματα εισάγονταν λόγω των έντονα στρεβλών υπολογιστικών κελιών. Οι συνθήκες εισόδου για το εκάστοτε πρόβλημα επιλέχθηκαν με προσοχή καθώς εισάγοντας λάθος αρχική ένταση τύρβης ή αρχική εκτίμηση κλίμακας μήκους στην είσοδο, περιγράφεται άλλο πρόβλημα και οδηγούμαστε σε τελικές λύσεις που δεν ανταποκρίνονται στη ζητούμενη πειραματική περίπτωση T3L. Στο σχήμα 5.4 παρατηρείται η επίδραση της μικρής αλλαγής της κλίμακας μήκους στο μέγεθος της περιοχής αποκόλλησης και σαν αποτέλεσμα λανθασμένη μοντελοποίηση και περιγραφή του ζητούμενου κάθε φορά φυσικού φαινομένου. Σχήμα 5.4. Η επίδραση της διαφορετικής κλίμακας μήκους στο μέγεθος της αποκόλλησης για την περίπτωση T3L4 για τιμές της κλίνακας μήκους, 3, 4 mm στην είσοδο Οι τελικές τιμές αρχικοποίησης και οι συνθήκες εισόδου που χρησιμοποιήθηκαν για κάθε περίπτωση καθώς και οι τιμές που προέκυψαν από τις πειραματικές μετρήσεις δίνονται στον πίνακα 5.. Οι υπολογιστικές τιμές στην είσοδο είναι υψηλότερες από τις πειραματικές καθώς αυτές μετρήθηκαν στα έξι χιλιοστά μετά την ακμή προσβολής. Από την είσοδο μέχρι και εκείνο το σημείο παρατηρείται μία σταδιακή ομαλή μείωση της τύρβης. Οι οριακές υπολογιστικές τιμές στην είσοδο είναι αυτές που προβλέπουν αυτή τη μείωση μέχρι το σημείο αναφοράς των μετρήσεων. Λόγω της έλλειψης πειραματικών δεδομένων των τάσεων 88

89 vv και ww, στην είσοδο έγινε η υπόθεση της ισότροπης τύρβης σε συμφωνία και με τους αντίστοιχους υπολογισμούς του Hadzic (999) αν και ο ίδιος σημείωσε ότι η προσέγγιση αυτή δεν ανταποκρίνεται πλήρως στην πραγματικότητα. Πειραματικές τιμές uu Πειραματικές τιμές l ε Υπολογιστικές τιμές uu T3L 7.E-5 N/A.E-4 mm T3L. 4.7mm.5 5mm T3L mm.6 4m T3L mm. 3mm T3L mm.8 3mm Πειραματική περίπτωση Υπολογιστικές τιμές l ε Πίνακας 5.. Πειραματικές και υπολογιστικές συνθήκες εισόδου για τις πειραματικές διατάξεις T3L. Τέλος, για το επάνω όριο καθώς και για την περιοχή στην ακμή προσβολής επιλέχθηκαν οριακές συνθήκες συμμετρίας για ευστάθεια της πορείας της αριθμητικής επίλυσης και εξοικονόμηση της υπολογιστικής μνήμης αντίστοιχα. Με την εισαγωγή του πλήρους μοντέλου RSM του Craft δεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί σύγκλιση για όλες τις περιπτώσεις T3L. Το γεγονός αυτό συνδέεται με τη δυσκολία επίλυσης του αλγεβρικού συστήματος των τριπλών συσχετίσεων που περιγράφει την τυρβώδη διάχυση των τάσεων Reynolds. Για την επίλυση του γραμμικού συστήματος των τριπλών συσχετίσεων χρησιμοποιήθηκαν διάφορες μεθοδολογίες, όπως η Gauss-Siedel και η Gauss-Jordan, οι οποίες όμως σε όλες τις περιπτώσεις οδηγούσαν σε έντονες αριθμητικές αστάθειες. Επειδή με την προτεινομένη έκφραση της διάχυσης δεν ήταν δυνατή η επίτευξη σύγκλισης, προγενέστερες εκφράσεις της τυρβώδους διάχυσης των τάσεων Reynolds χρησιμοποιηθήκαν όπως αυτές των Shir(973), Daly και Harlow(97) (GGDH) και η πιο σύνθετη σε σχέση με αυτές τις δύο των Hanjalic και Launder (97). Με στόχο την εισαγωγή της έκφρασης με τη μεγαλύτερη ακρίβεια στον επιλυτή, έγιναν επιπλέον υπολογισμοί μόνο για τη περίπτωση T3L4 με όλες τις προηγούμενες εκφράσεις. Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζονται οι κατανομές των ταχυτήτων και των ορθών τάσεων Reynolds κατά τη διεύθυνση της ροής για τις τρεις διαφορετικές εκφράσεις της τυρβώδους διάχυσης. Επιλέχθηκαν ενδεικτικά τέσσερις θέσεις, δύο στην περιοχή ανακυκλοφορίας και δύο στην πλήρως τυρβώδη περιοχή. 89

90 x=.m.35 x=.5m.35 x=.m.35 x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.m.35 x=.5m.35 x=.m.35 x=.3m u'/u max (%) u'/u max (%) 5 5 u'/u max (%) 5 5 u'/u max (%) Σχήμα 5.5. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων της ταχύτητας με τις τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις μοντελοποίησης της τυρβώδους διάχυσης των τάσεων σε σύγκριση με τα πειραματικά. Συνεχής γραμμή GGDH, Διάστικτη γραμμή Hanjalic και Launder, Αξονική γραμμή Shir. Από το σχήμα παρατηρείται ότι οι δύο προσεγγίσεις των Daly και Harlow και των Hanjalic και Launder, δίνουν παρόμοια αποτελέσματα ενώ αυτή του Shir υπερεκτιμά το μέγεθος της περιοχής ανακυκλοφορίας. Στην πλήρως τυρβώδη περιοχή, η έκφραση του Shir υστερεί στην εκτίμηση της κύριας τάσης, ενώ και οι τρεις εκφράσεις αδυνατούν να προβλέψουν την κατανομή της ταχύτητας. Αυτό οφείλεται στην υποεκτίμηση της τύρβης και συνεπώς στον υπολογισμό περισσότερο στρωτών οριακών στρωμάτων. Η τελική έκφραση που προτιμήθηκε να χρησιμοποιηθεί είναι η GGDH, που βγάζει αντίστοιχα ποιοτικά αποτελέσματα με αυτή των Hanjalic και Launder ενώ παράλληλα είναι πιο ευσταθής κατά τη διάρκεια της επίλυσης. 9

91 5.. Έλεγχος της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα (Grid Dependency Study) Ο έλεγχος της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα έγινε για όλες τις περιπτώσεις T3L, εκτός της περίπτωσης T3L5 για την οποία δεν μπορούσε να επιτευχθεί σύγκλιση. Οι κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεων κατά τη διεύθυνση της ροής παρουσιάζονται στο σχήμα 5.6 μόνο για την περίπτωση T3L. Επιλέχθηκε αυτήν η περίπτωση γιατί είναι η πιο δύσκολη καθώς έχει πολύ χαμηλό ποσοστό τύρβης και είναι πολύ ασταθής κατά τη διάρκεια της επίλυσης. Επιλέχθηκαν τέσσερις περιοχές δύο στην περιοχή της ανακυκλοφορίας και δύο στην πλήρως τυρβώδη περιοχή. Για τις κατανομές των ταχυτήτων δεν παρατηρούνται έντονες διαφοροποιήσεις ενώ στις κατανομές των διακυμάνσεων παρατηρείται κάποια διαφοροποίηση κυρίως στην περιοχή ανακυκλοφορίας x=.m x=.3m x=.3m x=.75m x=.m U/U max U/U max U/U max U/U max U/U max x=.m x=.3m x=.3m x=.75m x=.m u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) Σχήμα 5.6. Κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους για τα τρία πλέγματα. Συνεχής γραμμή βασικό πλέγμα, Διακεκομμένη γραμμή αραιό πλέγμα, Διάστικτη γραμμή πυκνό πλέγμα. 9

92 Για τις υπόλοιπες περιπτώσεις T3L και για τα τρία πλέγματα επιλέχθηκαν τα χαρακτηριστικά μήκη του οριακού στρώματος, το πάχος μετάθεσης και το πάχος απώλειας ορμής, καθώς και ο συντελεστής μορφής του οριακού στρώματος. Τα αποτελέσματα των υπολογισμών παρουσιάζονται στο σχήμα BLDT(m).5.4 BLMT(m) 5 H x(m) x(m) x(m) BLDT(m).5.4 BLMT(m) 5 H x(m) x(m) x(m) BLDT(m).5.4 BLMT(m) 4 H x(m). x(m) x(m) BLDT(m).5.4 BLMT(m) H x(m) x(m) x(m) BLDT(m).5.4 BLMT(m) H x(m) x(m) x(m) Σχήμα 5.7. Πάχος μετάθεσης, πάχος απώλειας ορμής και συντελεστής μορφής για τα τρία πλέγματα. Συνεχής γραμμή βασικό πλέγμα, Διακεκομμένη γραμμή αραιό πλέγμα, Διάστικτη γραμμή πυκνό πλέγμα. Από τα αποτελέσματα εξάγεται το συμπέρασμα ότι σε γενικές γραμμές υπάρχει ανεξαρτησία των αποτελεσμάτων από την ακρίβεια της χωρικής διακριτοποίησης του υπολογιστικού πεδίου. Στις περιπτώσεις με τα χαμηλότερα ποσοστά τύρβης, T3L-T3L3, το αραιό πλέγμα προβλέπει το σημείο έναρξης της μετάβασης λίγο πιο νωρίς, στις περιπτώσεις T3L4 και T3L6 υπάρχει πολύ καλή ταύτιση της περιοχής μετάβασης. Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί ότι για το πυκνό πλέγμα στην περίπτωση T3L6 δεν επιτεύχθηκε ικανοποιητική σύγκλιση. 9

93 5..3 Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις - Περίπτωση T3L Η πρώτη περίπτωση (T3L), έχει την χαμηλότερη ένταση τύρβης και για αυτό το λόγο αποτελεί δύσκολο πρόβλημα για την επίλυσή του με κάποιο μοντέλο τύρβης. Τα μοντέλα τύρβης αποτυγχάνουν στην εκτίμηση των πεδίων ροής σε συνθήκες μετάβασης ή συνθήκες χαμηλής έντασης τύρβης, καθώς οι εξισώσεις τους είναι με τέτοιο τρόπο δομημένες με σκοπό να επιλύουν συνθήκες ροών με έντονα τυρβώδη χαρακτηριστικά. Για την κατάλληλη αρχικοποίηση του ροϊκού πεδίου, ο επιλυτής χρειάστηκε κάποιους αρχικούς υπολογισμούς με το γραμμικό μοντέλο k ε μέχρι να επιτευχθεί ένα ομαλό πεδίο σαν αρχική συνθήκη για το μοντέλο RSM. Οι συγκρίσεις των αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις σε κάποιες χαρακτηριστικές θέσεις κατά μήκος της πλάκας φαίνονται στο σχήμα

94 x=.8m x=.5m x=.3m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.35m x=.m x=.m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.8m x=.5m x=.3m x=.3m u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) x=.35m x=.m x=.m x=.3m u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) Σχήμα 5.6. T3L. Κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους σε σχέση με τις πειραματικές μετρήσεις 94

95 Το μοντέλο RSM προβλέπει μεγαλύτερη περιοχή ανακυκλοφορίας από τη μετρούμενη. Το οριακό στρώμα υπολογίζεται να επανακολλάται σε απόσταση x =.4m μετά την ακμή προσβολής ενώ η πειραματικές μετρήσεις δίνουν το σημείο επανακόλλησης στο σημείο x =.35m. Παράλληλα υπερεκτιμάται και το συνολικό πάχος της ανακυκλοφορίας. Οι κατανομές των ταχυτήτων συμφωνούν με τα πειραματικά αποτελέσματα εκτός από τις τελευταίες θέσεις στην πλήρως τυρβώδη περιοχή όπου υπάρχουν κάποιες αποκλίσεις στην ανάπτυξη του οριακού στρώματος. Όσον αφορά τις κατανομές των διακυμάνσεων της ταχύτητας στις πρώτες θέσεις μέσα στην περιοχή ανακυκλοφορίας όπου ξεκινάει η μετάβαση, το μοντέλο προβλέπει μεγαλύτερες τιμές εκτός από την πρώτη θέση όπου το οριακό στρώμα είναι στρωτό και αποτυγχάνει στην πρόβλεψη της σωστής κατανομής. Χρήσιμες πληροφορίες για την πρόβλεψη της πορείας της μετάβασης εξάγονται και από τα ολοκληρωτικά μεγέθη του οριακού στρώματος που είναι το πάχος μετάθεσης, το πάχος απώλειας ορμής και ο συντελεστής μορφής του οριακού στρώματος. Η σύγκρισή τους με τα αντίστοιχα πειραματικά φαίνονται στο σχήμα 5.7. Είναι φανερό ότι το μοντέλο για την περίπτωση T3L προβλέπει μεγαλύτερες τιμές του συντελεστή μορφής και υπερεκτιμά τη θέση της μετάβασης καθώς και το σημείο της ολοκλήρωσής της..5.4 BLDT(m)..5 BLMT(m) 5 H x(m) x(m) x(m) Περίπτωση T3L Σχήμα 5.7. T3L Πάχος μετάθεσης, πάχος απώλειας ορμής και συντελεστής μορφής Η συμπεριφορά του μοντέλου RSM ήταν καλύτερη για την περίπτωση T3L που έχει μεγαλύτερη ένταση τύρβης από την περίπτωση T3L. Ο επιλυτής χρειάστηκε και στην περίπτωση αυτή για την αρχικοποίηση του πεδίου επιπλέον αρχικούς υπολογισμούς με το γραμμικό μοντέλο k ε. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις αντίστοιχες πειραματικές μετρήσεις παρουσιάζονται στο σχήμα

96 x=.6m x=.5m x=.3m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max ,5 x=.36m x=.m x=.m x=.3m.4.4.4, ,3...,..., U/U max U/U max U/U max U/U max ,,4,6,8, x=.6m x=.5m x=.3m x=.3m u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) x=.36m x=.m x=.m x=.3m u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) Σχήμα 5.8. T3L Κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους σε σχέση με τις πειραματικές μετρήσεις 96

97 Προβλέψεις υψηλότερης ακρίβειας εξάγονται για την περίπτωση T3L όσον αφορά κυρίως την κατανομή των διακυμάνσεων μέσα στη μεταβατική περιοχή ανακυκλοφορίας ενώ στην πλήρως τυρβώδη περιοχή το μοντέλο αδυνατεί να προβλέψει τις μέγιστες τιμές των κατανομών. Η περιοχή επανακόλλησης προβλέπεται στη θέση x =.3m ενώ η μετρούμενη αντιστοιχεί στη x =.34m. Η αποτυχία του μοντέλου να προβλέψει ακριβώς την περιοχή της έναρξης της μετάβασης φαίνεται και από τα γραφήματα των χαρακτηριστικών μεγεθών του οριακού στρώματος που παρουσιάζονται στο σχήμα BLDT(m)..5 BLMT(m) 5 H x(m) x(m) x(m) Περίπτωση T3L3 Σχήμα 5.9. T3L Πάχος μετάθεσης, πάχος απώλειας ορμής και συντελεστής μορφής Η επόμενη περίπτωση, T3L3, έχει ακόμα υψηλότερη ένταση τύρβης. Δε χρειάστηκε αρχικοποίηση του πεδίου ροής για να ομαλοποιηθεί με αρχικούς υπολογισμούς με το γραμμικό μοντέλο και αυτό οφείλεται στην αρχική υψηλότερη ένταση της τύρβης του ροϊκού πεδίου. Οι προβλέψεις για την περίπτωση αυτή έδειξαν ικανοποιητική συμφωνία με τα πειράματα σε όλο το πεδίο ροής εκτός της πλήρους τυρβώδους περιοχής όπου όπως και στις προηγούμενες περιπτώσεις το πεδίο της αξονικής ταχύτητας υποεκτιμάται από το μοντέλο. Το υπολογισμένο σημείο επανακόλλησης είναι στα x =.8m ενώ αυτό που μετρήθηκε πειραματικά στα x =.7m. Οι κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεων της ταχύτητας για την περίπτωση T3L3 φαίνονται στο σχήμα 5.. Τέλος, η καλύτερη συμπεριφορά με την αύξηση του ποσοστού τύρβης φαίνεται και από τα χαρακτηριστικά μήκη του οριακού στρώματος που είναι πιο κοντά στις πειραματικές μετρήσεις, όπως φαίνεται στο σχήμα

98 .4.4, x=.6m.35 x=.5m,35 x=.7m.35 x=.m.3.3, ,5.5..,..5.5,5.5..,..5.5,5.5 U/U max U/U max U/U max U/U max ,,,4,6,8, x=.56m.35 x=.m.35 x=.m.35 x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.6m.35 x=.5m.35 x=.7m.35 x=.m u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%) x=.56m.35 x=.m.35 x=.m.35 x=.3m u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%) Σχήμα 5.. T3L3. Κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους σε σχέση με τις πειραματικές μετρήσεις 98

99 .5.4 BLDT(m)..5 BLMT(m) H x(m) x(m) x(m) Περίπτωση T3L4 Σχήμα 5.. T3L3 Πάχος μετάθεσης, πάχος απώλειας ορμής και συντελεστής μορφής Η επόμενη περίπτωση T3L4, χαρακτηρίζεται από ακόμα μεγαλύτερη ένταση τύρβης και αναμένεται ακόμα καλύτερη συμπεριφορά του μοντέλου RSM στον υπολογισμό του πεδίου των ταχυτήτων, όπως και συμβαίνει. Παρόλο που το πρόβλημα της υποεκτίμησης των ταχυτήτων στην πλήρως τυρβώδη περιοχή υπάρχει και σε αυτή την περίπτωση, η περιοχή της επανακόλλησης εκτιμάται πολύ κοντά στην θέση που δίνεται από τις πειραματικές μετρήσεις και είναι στα x =.3m από το σημείο ανακοπής, ενώ το πάχος της φυσαλίδας είναι και αυτό πολύ κοντά στα πειραματικά δεδομένα. Ίδια συμπεριφορά μέσα στη φυσαλίδα και στην πλήρως τυρβώδη περιοχή παρατηρείται και στον υπολογισμό των διακυμάνσεων της ταχύτητας όπως φαίνεται στο σχημα 5.. Τα διαγράμματα των χαρακτηριστικών μηκών του οριακού στρώματος είναι και αυτά σε πιο καλή συμφωνία με τα πειραματικά και παρουσιάζονται στο σχήμα

100 x=.6m.35 x=.m.35 x=.3m.35 x=.5m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.m x=.m x=.m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.6m x=.m x=.3m x=.5m u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) x=.m x=.m x=.m x=.3m u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%) Σχήμα 5.. T3L4 Κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους σε σχέση με τις πειραματικές μετρήσεις

101 .5.4 BLDT(m)..5 BLMT(m) H x(m) x(m) x(m) Περίπτωση T3L6 Σχήμα 5.3. T3L4 Πάχος μετάθεσης, πάχος απώλειας ορμής και συντελεστής μορφής Η τελευταία περίπτωση που εξετάστηκε είναι η T3L6 η οποία έχει το ίδιο ποσοστό τύρβης με την T3L3 αλλά διπλάσια ταχύτητα. Η μεγάλη ταχύτητα έχει σαν συνέπεια και τη δημιουργία μικρότερης περιοχής αποκόλλησης η οποία βρίσκεται στα x =.m από το σημείο ανακοπής και προβλέπεται ακριβώς από το μοντέλο. Η συμφωνία των υπολογιστικών αποτελεσμάτων με τα πειραματικά δεδομένα είναι εξαιρετική σε όλο το εύρος της περιοχής ανακυκλοφορίας ενώ στις τελευταίες θέσεις παρατηρείται το αντίστοιχο πρόβλημα με τις προηγούμενες περιπτώσεις της υποεκτίμησης του πεδίου των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους. Τα αποτελέσματα αυτά καθώς και τα χαρακτηριστικά της εξέλιξης του οριακού στρώματος φαίνονται στα σχήματα 5.4 και 5.5 αντίστοιχα.

102 x=.6m x=.8m x=.m x=.m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.3m x=.m x=.m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max ,4.35 x=.6m.35 x=.8m.35 x=.m,35 x=.m.3.3.3, ,5...,.5.5.5,5...,.5.5.5,5 u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) u'/u max (%) x=.3m.35 x=.m.35 x=.m.35 x=.3m u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%) Σχήμα 5.4. T3L6. Κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους σε σύγκριση με τις πειραματικές μετρήσεις

103 BLDT(m) x(m) BLMT(m) x(m) H x(m) Συμπεράσματα Σχήμα 5.5. T3L6 Πάχος μετάθεσης, πάχος απώλειας ορμής και συντελεστής μορφής Aπό όλα τα παραπάνω εξαγόμενα αποτελέσματα είναι φανερό ότι το μοντέλο RSM του Craft μπορεί να προβλέψει τη συμπεριφορά της εξέλιξης του φαινομένου της μετάβασης λόγω αποκόλλησης του οριακού στρώματος. Οι εξαιρετικά πολύπλοκες μαθηματικές σχέσεις του μοντέλου RSM, είναι σε θέση να περιγράψουν μαθηματικά το σύνθετο πρόβλημα της μετάβασης λόγω αποκόλλησης του οριακού στρώματος, κυρίως μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας και ανεξαρτήτως της έντασης τύρβης της κάθε περίπτωσης. Η εφαρμογή και άλλων σύνθετων μοντέλων τύρβης έχουν δείξει από αντίστοιχες μελέτες, όπως των Borello et al (5), Hadzic and Hanjalic (999) και Palikaras et al. (3), ότι υπάρχει η τάση της υπερεκτίμησης της περιοχής ανακυκλοφορίας. Στο σχήμα 5.6 παρουσιάζονται και τα αποτελέσματα του κυβικού μη-γραμμικού μοντέλου των Craft et al. (997) σε αντιπαραβολή με τα πειραματικά δεδομένα και αυτά του μοντέλου RSM του Craft για την περίπτωση T3L x=.6m x=.m x=.m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.6m x=.m x=.m x=.3m u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%).5 u'/u max (%) Σχήμα 5.6. Κατανομές των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών τους με το μοντέλο RSM του Craft (συνεχής γραμμή) και το μη-γραμμικό μοντέλο των Craft et al. (διάστικτή γραμμή) 3

104 Όσον αφορά της κατανομές των ταχυτήτων, το μη-γραμμικό μοντέλο υπολογίζει μεγαλύτερη και πιο εκτεταμένη περιοχή ανακυκλοφορίας υπολογίζοντας μεγάλες περιοχές ανακυκλοφορίας, ενώ αποτυγχάνει στην εκτίμηση των διακυμάνσεων της ταχύτητας κατά τη διάρκεια της μετάβασης. Για την περίπτωση των τυρβωδών διακυμάνσεων, στην πλήρως τυρβώδη περιοχή το μη-γραμμικό μοντέλο προβλέπει ικανοποιητικά το μέγιστο της κατανομής των διακυμάνσεων, κάτι που δεν είναι εφικτό με το μοντέλο RSM. Η συμπεριφορά του χρησιμοποιούμενου μοντέλου RSM ως προς τον υπολογισμό του σημείου επανακόλλησης της ροής (και συνεπώς προσδιορισμού του σημείου έναρξης της μετάβασης), κρίνεται πολύ καλή. Στο σχήμα 5.7 παρουσιάζεται η ακρίβεια των υπολογιστικών αποτελεσμάτων σε σχέση με τις πειραματικές μετρήσεις στον υπολογισμό του σημείου επανακόλλησης με αυξανόμενη την ένταση της τύρβης. Σχήμα 5.7. Πειραματικές και υπολογιστικές τιμές του σημείου επανακόλλησης. Κύκλοι πειραματικά, -xυπολογιστικά Γνωρίζοντας το σημείο επανακόλλησης μπορούμε να προβλέψουμε με πολύ μεγάλη ακρίβεια το σημείο έναρξης της μετάβασης καθώς από τη θεωρία είναι γνωστό ότι αυτό βρίσκεται περίπου στο μέσο της περιοχής ανακυκλοφορίας. Τέλος, στο σχήμα 5.8 φαίνεται η περιοχή ανακυκλοφορίας των πέντε περιπτώσεων T3L όπου είναι εμφανής η επίδραση της ταχύτητας και της έντασης της τύρβης στο μέγεθός της φυσαλίδας και της περιοχής ανακυκλοφορίας. 4

105 T3L T3L T3L3 T3L4 T3L6 Σχήμα 5.8. Υπολογιστικές ισοϋψείς γραμμές της αξονικής ταχύτητας, εκτός του T3L5 5

106 5.3 Επίλυση του ροϊκού πεδίου των περιπτώσεων T3L με τον προτεινόμενο συνδυασμό του μη-γραμμικού μοντέλου CLS με την εξίσωση μεταφοράς της στρωτής κινητικής ενέργειας Επόμενο βήμα στη μελέτη του φαινομένου της μετάβασης είναι η επίλυση της ροής των περιπτώσεων T3L με μοντέλα τύρβης τα οποία είναι δομημένα με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να προβλέπουν τα φαινόμενα μετάβασης χρησιμοποιώντας επιπλέον εξισώσεις μεταφοράς. Με βάση το γραμμικό μοντέλο k ε k laminar (k ε kl), που ανήκει στην κατηγορία των μοντέλων που περιγράφουν τη μετάβαση και το μη-γραμμικό CLS, επιχειρείται η εξαγωγή ενός νέου μοντέλου που περιγράφει το φαινόμενο της μετάβασης καθώς εμπεριέχει και την εξίσωση μεταφοράς της στρωτής κινητικής ενέργειας ενώ παράλληλα διατηρεί τα πλεονεκτήματα των μη-γραμμικών εκφράσεων των τάσεων Reynolds ως προς τη ρεαλιστική πρόβλεψη των κατανομών των αγνώστων μεταβλητών που περιγράφουν τη ροή. Αρχικά ελέγχεται η αποτελεσματικότητα ενός απλού γραμμικού και ενός μη-γραμμικού μοντέλου τύρβης για την περίπτωση T3L4 όπου και διαπιστώνονται η αποτυχία των μοντέλων αυτών στην περιγραφή του φαινομένου της μετάβασης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της επίλυσης όλων των περιπτώσεων T3L με το γραμμικό μοντέλο k ω k laminar (k ω kl) των Walters και Laylek (5) και το προτεινόμενο μηγραμμικό μοντέλο CLS- k laminar ( NL k ε kl ) Λεπτομέρειες της υπολογιστικής μοντελοποίησης - Έλεγχος της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα (Grid Dependency Study) Το βασικό πλέγμα που χρησιμοποιήθηκε φαίνεται στο σχήμα 5.9. Είναι τοπολογίας O- type και είχε 449 κόμβους, 3 στην κάθετη διεύθυνση και 564 κατά τη διεύθυνση της ροής. Σχήμα 5.9. Το υπολογιστικό πλέγμα και η ακμή προσβολής της πλάκας Για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από τη διακριτοποίηση του χώρου, χρησιμοποιήθηκαν δύο επιπλέον πλέγματα, ένα με το διπλάσιο και ένα με το μισό αριθμό κελιών, ενώ για όλα τα πλέγματα οι τιμές του y + κρατήθηκαν στην τιμή. τουλάχιστον για τον πρώτο υπολογιστικό κόμβο. Η διερεύνηση επικεντρώθηκε στον έλεγχο των κατανομών της αξονικής ταχύτητας και της διακύμανσής της κατά τη διεύθυνση της ροής. Όπως φαίνεται από το σχήμα 5. τα αποτελέσματα και των δύο μοντέλων τύρβης είναι 6

107 ανεξάρτητα της χωρικής διακριτοποίησης. Επιλέχθηκε να παρουσιαστούν δύο σημεία ένα μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας και ένα στην πλήρως τυρβώδη περιοχή της ροής x=.3m x=.m x=.3m x=.m U/U max U/U u'/u (%) max u'/u (%) max x=.3m x=.m x=.3m x=.m U/U max U/U u'/u (%) max u'/u (%) Σχήμα 5.. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων, μοντέλο k-ω-k l επάνω και μοντέλο NL-k-ε-k l κάτω. Ευθεία γραμμή: Βασικό πλέγμα, Διακεκομμένη γραμμή: Πυκνό πλέγμα, Διάστικτη γραμμή: Αραιό πλέγμα 7

108 5.3. Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις Πρώτο βήμα της μελέτης ήταν να διαπιστωθεί η αποτελεσματικότητα ενός απλού γραμμικού μοντέλου τύρβης. Για το σκοπό αυτό έγιναν υπολογισμοί με το γραμμικό μοντέλο των Launder και Sharma μόνο για την περίπτωση T3L4. Στο σχήμα 5. φαίνονται οι κατανομές της ταχύτητας και της διακύμανσης της στην διεύθυνση κατά μήκος της πλάκας για δύο θέσεις μέσα στην περιοχή της ανακυκλοφορίας και δύο στην πλήρως τυρβώδη περιοχή x=.6m x=.m x=.m x=.3m U/U max U/U max U/U U/U x=.6m x=.m x=.m x=.3m u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων για την περίπτωση T3L4 για το μοντέλο Launder-Sharma. Κύκλοι: πειραματικά Από τις κατανομές συμπεραίνεται ότι το γραμμικό μοντέλο υπολογίζει πιο τυρβώδη οριακά στρώματα και συνεπώς προβλέπει πολύ μικρή αποκόλληση και υπολογίζει πιο νωρίς το σημείο επανακόλλησης της ροής. Αυτό έχει σαν συνέπεια την γρηγορότερη έναρξη της μετάβασης όπως διαπιστώνεται και από τον συντελεστή μορφής του οριακού στρώματος του σχήματος 5.. 8

109 7 H x(m).3 Σχήμα 5.. Συντελεστής μορφής του οριακού στρώματος της περίπτωσης T3L4 για το γραμμικό μοντέλο Launder- Sharma Η λανθασμένη συμπεριφορά που παρατηρείται οφείλεται στην έκφραση της παραγωγής της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Η έκφραση αυτή υπερεκτιμά την παραγωγή της τύρβης δίνοντας λανθασμένα έντονα τυρβώδεις κατανομές. Η χρησιμοποίηση εναλλακτικών εκφράσεων της παραγωγής της τύρβης οι οποίες εμπεριέχουν το μέσο ρυθμό παραμόρφωσης αλλά και γινόμενα παραμόρφωσης και στροβιλότητας, Kato και Launder (993), έχει αποδειχθεί ικανοποιητική λύση, παρόλο που εξακολουθεί να έχει τα μειονεκτήματα ενός ισότροπου μοντέλου τύρβης, σε περιπτώσεις όπου παρατηρείται μετάβαση του οριακού στρώματος από στρωτό σε τυρβώδες, Yakinthos και Goulas (999). Στη συνέχεια, εξήχθησαν αποτελέσματα με το μοντέλο CLS στην αρχική του μορφή, για την ίδια περίπτωση T3L, με σκοπό να εξεταστεί ο τρόπος που επηρεάζει μια πολύπλοκη μη-γραμμική έκφραση των τάσεων Reynolds την παραγωγή της τύρβης σε τέτοιου είδους φαινόμενα μετάβασης του οριακού στρώματος. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα

110 x=.m x=.3m x=.m x=.3m U/U max U/U U/U U/U x=.m x=.3m x=.m x=.3m u'/u (%) max u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.3. Αποτελέσματα της ταχύτητας και της διακύμανσής της για την περίπτωση T3L4 με το μοντέλο CLS Διαπιστώνεται ότι το αυθεντικό μη-γραμμικό μοντέλο τύρβης δεν μπορεί να υπολογίσει τις κλίσεις και τις κορυφές των κατανομών, κυρίως μέσα στην περιοχή ανακυκλοφορίας, δίνοντας λανθασμένα αποτελέσματα για τις διακυμάνσεις της ταχύτητας. Το πρόβλημα αυτό των μη-γραμμικών μοντέλων σε περιπτώσεις μετάβασης by-pass, έχει επισημανθεί στο παρελθόν από τους Lardeau et al. (4). Όπως φαίνεται και από το σχήμα 5.3 η περιοχή ανακυκλοφορίας που υπολογίζεται είναι πολύ μεγαλύτερη καθώς η τιμή της προβλεπόμενης κινητικής ενέργειας της τύρβης είναι πολύ μικρότερη από την πραγματική. Αντίθετα στην πλήρως τυρβώδη περιοχή το μη-γραμμικό μοντέλο CLS δίνει μια πολύ καλή κατανομή των ταχυτήτων και των διακυμάνσεών της που είναι σε ταύτιση με τις πειραματικές μετρήσεις. Η μη-φυσική συνολική συμπεριφορά του μοντέλου, οφείλεται στην έκφραση του συντελεστή απόσβεσης του ιξώδους της τύρβης. Η έκφραση αυτή υπερεκτιμά την απόσβεση της τύρβης σε περιοχές μετάβασης, ταπεινώνοντας την κινητική ενέργεια της τύρβης, δίνοντας αποτελέσματα με μη φυσική συμπεριφορά. Οι Coutrone et al. (8) παρουσίασαν μία λεπτομερή μελέτη του μοντέλου k-ω-k laminar μόνο για τρεις περιπτώσεις T3L (T3L, T3L3, T3L5) καθώς και άλλων μοντέλων που εμπεριείχαν και τη συνάρτηση μεταφοράς του συντελεστή διακοπής και κατέληξαν στο συμπέρασμα της υπεροχής του μοντέλου των Walters και Laylek (5). Στην παρούσα εργασία με σκοπό να ελεγθεί η συμπεριφορά στην πρόβλεψη της μετάβασης του προτεινόμενου συνδυασμού του μη-γραμμικού μοντέλου με την εξίσωση μεταφοράς της κινητικής ενέργειας, γίνεται μια λεπτομερής σύγκριση του γραμμικού μοντέλου k ω klκαι του μη-γραμμικού k ε kl, των κατανομών της ταχύτητας και των τάσεων Reynolds για όλες τις περιπτώσεις T3L.

111 Τα αριθμητικά αποτελέσματα της μοντελοποίησης σε επιλεγμένες θέσεις πάνω στην πλάκα και η σύγκριση των δύο μοντέλων με τις πειραματικές μετρήσεις παρουσιάζονται στη συνέχεια στα σχήματα 5.5 έως 5.3.

112 x=.8m x=.5m x=.3m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.35m x=.m x=.m x=.3m U/U max U/U U/U U/U x=.8m x=.5m x=.3m x=.3m u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max x=.35m x=.m x=.m x=.3m u'/u (%) max u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.5. T3L. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων των μοντέλων k-ω-kl και NL-k-ε-kl. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL k-ε-kl.

113 x=.6m x=.5m x=.3m x=.3m U/U max U/U max U/U max U/U x=.36m x=.m x=.m x=.3m U/U U/U U/U U/U x=.6m x=.5m x=.3m x=.3m u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) x=.36m x=.m x=.m x=.3m u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.6. T3L. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων των μοντέλων k-ω-kl και NL-k-ε-kl. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL k-ε-kl. 3

114 x=.6m x=.5m x=.7m x=.m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.56m x=.m x=.m x=.3m U/U U/U U/U U/U x=.6m x=.5m x=.7m x=.m u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max x=.56m x=.m x=.m x=.3m u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.7. T3L3. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων των μοντέλων k-ω-kl και NL-k-ε-kl. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL k-ε-kl. 4

115 x=.6m x=.m x=.3m x=.5m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.m x=.m x=.m x=.3m U/U max U/U U/U U/U x=.6m x=.m x=.3m x=.5m u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max x=.m x=.m x=.m x=.3m u'/u (%) max u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.8. T3L4. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων των μοντέλων k-ω-kl και NL-k-ε-kl. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL k-ε-kl. 5

116 x=.6m x=.m x=.7m x=.6m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.4m x=.m x=.m x=.4m U/U max U/U U/U U/U x=.6m x=.m x=.7m x=.6m u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max x=.4m x=.m x=.m x=.4m u'/u (%) max u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.9. T3L5. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων των μοντέλων k-ω-kl και NL-k-ε-kl. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL k-ε-kl. 6

117 x=.6m x=.8m x=.m x=.m U/U max U/U max U/U max U/U max x=.3m x=.m x=.m x=.3m U/U U/U U/U U/U x=.6m x=.8m x=.m x=.m u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max u'/u (%) max x=.3m x=.m x=.m x=.3m u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) u'/u (%) Σχήμα 5.3. T3L6. Κατανομές ταχυτήτων και διακυμάνσεων των μοντέλων k-ω-kl και NL-k-ε-kl. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL k-ε-kl. 7

118 Από τα τελικά αριθμητικά αποτελέσματα παρατηρείται ότι το μοντέλο NL k ε kl είναι σε θέση να προβλέψει με μεγαλύτερη ακρίβεια τις κατανομές των διακυμάνσεων της ταχύτητας μέσα στην περιοχή ανακυκλοφορίας όπου το αρχικό γραμμικό μοντέλο k ω kl αποτυγχάνει. Οι κατανομές της ταχύτητας κατά μήκος της ροής είναι πιο κοντά στις πειραματικές μετρήσεις και συνεπώς προβλέπεται με μεγαλύτερη ακρίβεια και η περιοχή ανακυκλοφορίας. Το γραμμικό μοντέλο έχει την τάση να υπολογίζει πιο τυρβώδεις κατανομές μέσα στην περιοχή ανακυκλοφορίας και πιο συγκεκριμένα στις περιοχές πριν τη μετάβαση, κυρίως για τις περιπτώσεις με χαμηλή ένταση τύρβης (T3L, T3L, T3L3), γεγονός που συνδέεται με την γραμμική έκφραση της παραγωγής της τυρβώδους κινητικής ενέργειας. Αυτό έχει σαν συνέπεια την πιο γρήγορη επανακόλληση του οριακού στρώματος και η συμπεριφορά αυτή είναι ίδια με του γραμμικού μοντέλου LEVM, όπως φαίνεται χαρακτηριστικά για τις περιπτώσεις T3L, T3L, T3L3 για x = 5mm. Το μοντέλο NL k ε kl συμπεριφέρεται στα πρώτα στάδια της μετάβασης όπως το αντίστοιχο μηγραμμικό μοντέλο CLS δίνοντας λίγο πριν την ολοκλήρωσή της, κατανομές με μικρότερες μέγιστες τιμές. Αυτό οφείλεται στην έκφραση του συντελεστή απόσβεσης Rt R % % t f μ = exp και στην έκφραση της ποσότητας exp( {.36 exp(.75 max ( S%, Ω% ))}) cμ =. Οι εκφράσεις αυτές παρόλο που +.35max ( S%, Ω% ).5 περιγράφουν πιο σωστά τη φυσική της ροής κυρίως σε κυρτές και κοίλες γεωμετρίες έχουν εξαχθεί για πλήρως τυρβώδεις περιοχές και έχουν το μειονέκτημα να ενισχύουν λανθασμένα την απόσβεση της τύρβης όπου παρατηρείται μετάβαση και να δίνουν μη-φυσικές κατανομές των τυρβωδών μεγεθών. Τα παραπάνω συμπεράσματα για τη συμπεριφορά των μοντέλων ως προς τον προσδιορισμό του σημείου έναρξης της μετάβασης είναι εμφανή και με την εξέταση των συντελεστών μορφής των οριακών στρωμάτων που φαίνονται στο σχήμα

119 5 H T3L H T3L x(m) x(m) H T3L3 8 H T3L4 6 5 x(m) x(m) H T3L5 H T3L x(m) x(m) Σχήμα 5.3. Συντελεστές μορφής του οριακού στρώματος για όλες τις περιπτώσεις T3L. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL-k-ε-kl. Το γραμμικό μοντέλο υπολογίζει την έναρξη του σημείου μετάβασης πιο γρήγορα σε σχέση με αυτό που προβλέπεται από τη θεωρία και αυτό που καταγράφεται από τα πειράματα. Από την άλλη, το μη-γραμμικό μοντέλο είναι πιο κοντά στις πειραματικές μετρήσεις αν και αποτυγχάνει στον προσδιορισμό του πάχους της φυσαλίδας, κάτι που επιβεβαιώνεται πέρα από τις κατανομές των ταχυτήτων και από τις τιμές των κορυφών του συντελεστή μορφής. Στη γενικότερη συνολική εικόνα, το προτεινόμενο μη-γραμμικό μοντέλο κρίνεται πιο αποτελεσματικό και ακριβές στην περιγραφή του συνολικού φαινομένου. Για να ολοκληρωθεί πλήρως ο έλεγχος της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων του προτεινόμενου μοντέλου τύρβης και να μελετηθεί πληρέστερα η φυσική των προβλημάτων της γεωμετρίας των περιπτώσεων T3L, έγινε και σύγκριση του συντελεστή τριβής των δύο μοντέλων με τα πειραματικά δεδομένα, ο οποίος δίνεται από τη σχέση: C f u p μ y = ρu y= (5.) όπου: μ και ρ το δυναμικό ιξώδες και η πυκνότητα του ρευστού u p η παράλληλη ταχύτητα στο τοίχωμα U η ταχύτητα στην ανεμπόδιστη ροή y η κάθετη απόσταση στο τοίχωμα 9

120 Οι περιπτώσεις για τις οποίες είναι διαθέσιμες οι πειραματικές μετρήσεις αφορούν μόνο τις περιπτώσεις T3L, T3L3 και T3L5 και τα συγκριτικά αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα Cf T3L.4.3 Cf T3L x(m) x(m) Cf T3L x(m) Σχήμα 5.3. Συντελεστές τριβής των περιπτώσεων T3L, T3L3 και T3L5. Κύκλοι: Πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: k-ω-kl, Ευθεία γραμμή NL k-ε-kl. Είναι εμφανές ότι το μοντέλο NL-k-ε-k laminar υπολογίζει ακριβέστερα το σημείο επανακόλλησης της ροής και συνεπώς το σημείο έναρξης της μετάβασης, κυρίως για τις περιπτώσεις T3L και T3L5. Τέλος, το μεγαλύτερο πλεονέκτημα του προτεινόμενου μοντέλου έγκειται στη μη-γραμμική έκφραση των τάσεων Reynolds, η οποία δίνει τη δυνατότητα της σωστής περιγραφής της ανισοτροπίας των ορθών τάσεων Reynolds κοντά στο τοίχωμα. H αποτυχία του γραμμικού μοντέλου και η υπεροχή του μη-γραμμιμού, στην προβλέψη της ανισοτροπίας της κατανομής των τάσεων Reynolds, παρουσιάζεται στο σχήμα 5.33 για την περίπτωση T3L4 στην πλήρως ανεπτυγμένη ροή.

121 .. x=.3m x=.3m uu vv ww [m /s ] uu vv ww [m /s ] Σχήμα Κατανομές κυρίων τάσεων Reynolds κοντά στο τοίχωμα. Αριστερά με το γραμμικό k-ω-kl δεξιά με το μη-γραμμικό NL- k-ε-kl. Ευθεία γραμμή uu, αξονική γραμμή ww, Διάστικτη γραμμή: vv 5.4 Μοντελοποίηση της ροής σε αγωγό ορθογωνικής διατομής καμπυλότητας 9 ο Σε πολλές μηχανολογικές εφαρμογές είναι αναγκαία η μοντελοποίηση της ροής μέσα σε απλές γεωμετρίες οι οποίες εμπεριέχουν σύνθετα ρευστομηχανικά φαινόμενα όπως είναι οι ροές σε κλειστούς καμπυλωμένους αγωγούς πεπερασμένων τοιχωμάτων. Τα τρισδιάστατα φαινόμενα που αναπτύσσονται σε τέτοιου είδους γεωμετρίες είναι μεγάλες περιοχές ανακυκλοφορίας, δευτερογενείς ροές και έντονες κλίσεις πίεσης λόγω της καμπυλότητας της κατασκευής. Συνήθως οι περιπτώσεις αυτές αναφέρονται σε πλήρως τυρβώδεις ροές και σε συνδυασμό με την τρισδιάστατη ανάπτυξη της ροής η χρησιμοποίηση ενός μοντέλου τύρβης υψηλής ακρίβειας είναι απαραίτητη. Η καμπυλωμένη γεωμετρία ενός κλειστού αγωγού, έχει σαν συνέπεια τη δημιουργία έντονης διαφοράς πιέσεων μεταξύ του κοίλου (concave) και του κυρτού (convex) τοίχου η οποία έχει άμεση σχέση με την εξέλιξη της ροής στον αγωγό. Η σημαντικότητα των φαινομένων που αναπτύσσονται σε καμπυλωμένο αγωγό έχει μελετηθεί στο παρελθόν από πολλούς ερευνητές με πειραματικές διατάξεις και υπολογιστικές προσεγγίσεις οι οποίες αναφέρονται σε αγωγούς διαφορετικών διατομών, μηκών και καμπυλοτήτων. Για παράδειγμα τα πειράματα και οι μελέτες των Ellis και Joubert (974) και των Smits et al. (979) για καμπυλομένο αγωγό, των Monson et al. (99) για δισδιάτατο αγωγό σχήματος (U), οι πειραματικές μελέτες των Davis και Gessner (99) για ροή από κυκλικό σε τετραγωνικό αγωγό και των Cheah et al. (994) που διερεύνησαν τη ροή σε περιστρεφόμενο αγωγό σχήματος (U). Στην παρούσα εργασία εξετάζεται η ανάπτυξη της ροής σε αγωγό ορθογωνικής διατομής και καμπυλότητας 9 ο. Τα πειραματικά δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν είναι από τη βάση δεδομένων της ERCOFTAC και αναφέρονται στις μετρήσεις των Kim και Patel (993). Οι πειραματικές μετρήσεις είναι πολύ ακριβείς και καλύπτουν τις κρίσιμες περιοχές του αγωγού όπου αναπτύσσονται τα τρισδιάστατα φαινόμενα. Ο αριθμός Reynolds βασισμένος στο πλάτος του αγωγού, που είναι H =.3m και στην ταχύτητα εισόδου του ρευστού, όπου U = 6m s, είναι 4. Οι λεπτομερείς πειραματικές μετρήσεις χρησιμοποιούνται ως σημείο αναφοράς της πιστοποίησης και βελτίωσης των μοντέλων τύρβης. Παραδείγματα προηγούμενων εργασιών που

122 μοντελοποίησαν περιστρεφόμενους και θερμαινόμενους αγωγούς είναι των Craft et al. (996) και των Iacovides et al. (996a,b). Οι Tamamidis και Assanis (993) πραγματοποίησαν υπολογισμούς σε τετραγωνικό αγωγό αντίστοιχης καμπυλότητας αλλά επικέντρωσαν την έρευνά τους περισσότερο στην ακρίβεια των αριθμητικών σχημάτων σε συνδυασμό με έναν ελλειπτικό κώδικα επίλυσης των εξισώσεων Navier-Stokes. Για την περίπτωση αγωγού καμπυλότητας 8 ο (U-duct), οι Rumsey et al. () παρουσίασαν αποτελέσματα με τη χρήση του μοντέλου μίας εξίσωσης των Spalart-Almaras, το διαδεδομένο μοντέλο δύο εξισώσεων SST, Menter (993) και το αλγεβρικό μοντέλο τάσεων Reynolds των Gatski και Speziale (993). Αριθμητικά αποτελέσματα για τον αγωγό της παρούσας μελέτης έγιναν από τους Sotiropoulos και Ventikos (998) οι οποίοι χρησιμοποίησαν δύο γραμμικά μοντέλα, τα k ε και k ω και δύο μη-γραμμικά μοντέλα βασισμένα στις κατάλληλες αλλαγές του μοντέλου k ω των Abid et al. (995). Oι Sofialidis και Prinos (996), μελέτησαν την ίδια γεωμετρία με τη χρήση του τετραγωνικού μη-γραμμικού μοντέλου των Gatski και Speziale (993) και του κυβικού μη-γραμμικού μοντέλου των Craft et al (996). Στην παρούσα μελέτη η μοντελοποίηση της ροής γίνεται με τρία διαφορετικά μοντέλα τύρβης που αναπτύχθηκαν σε προηγούμενες ενότητες και είναι το γραμμικό μοντέλο LS- LEVM, το μη-γραμμικό μοντέλο CLS-NLEVM και το μοντέλο RSM του Craft. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με τα πειραματικά και γίνεται σύγκριση τόσο με την ταχύτητα όσο και με κάθε στοιχειό του τανυστή των τάσεων Reynolds Λεπτομέρειες της υπολογιστικής μοντελοποίησης Η υπολογιστική περιοχή ξεκινάει από απόσταση 4.5H από την καμπυλότητα και εκτίνεται σε απόσταση 3H μετά από αυτή. Στη διάρκεια των αρχικών υπολογισμών των μοντέλων CLS και RSM παρουσιάστηκε έντονη ασταθής συμπεριφορά. Για αυτό το λόγο εισήχθησαν στον επιλυτή διάφορες αριθμητικές τεχνικές σταθερότητας που αφορούν τον κατάλληλο χειρισμό των όρων πηγής των εξισώσεων μεταφοράς έτσι, ώστε να ισχυροποιείται η κύρια διαγώνιος του τελικού προς επίλυση γραμμικού συστήματος, Craft et al. (999). Παρόλο που η έντονη ασταθής συμπεριφορά βελτιώθηκε σημαντικά, αποδείχθηκε στην πορεία των υπολογισμών ότι η αρχικοποίηση του πεδίου με το γραμμικό μοντέλο τύρβης έδινε πολύ καλή εκτίμηση για μια ευσταθή τελική σύγκλιση. Όσον αφορά το μοντέλο RSM η πιο ευσταθής συμπεριφορά παρουσιάστηκε με τον περιορισμό των συντελεστών ανισοτροπίας A και A στις αντίστοιχες τιμές τους που προβλέπεται από τη θεωρία καθώς και στον περιορισμό των μη αρνητικών τιμών των θετικών παραμέτρων που περιγράφουν την τύρβη, οι οποίες παρατηρήθηκε ότι έπαιρναν μη φυσικές αρνητικές τιμές κυρίως στα πρώτα στάδια της επίλυσης. Ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στις αρχικές συνθήκες εισόδου οι οποίες εξήχθησαν από τα πειραματικά δεδομένα με παρεμβολή για όλο το ορθογωνικό επίπεδο εισόδου και αφορούσαν το διάνυσμα των ταχυτήτων και όλες τις συνιστώσες του τανυστή των τάσεων Reynolds. Για την αρχικοποίηση της σκέδασης της κινητικής ενέργειας τη τύρβης, χρησιμοποιήθηκε χαρακτηριστική κλίμακα μήκους ίση με.5h. Οι παρεμβολές για όλα τα μεγέθη εισόδου φαίνονται στο σχήμα 5.34.

123 U/U o V/U o W/U o uu/u o vv/u o ww/u o uv/u o uw/u o Σχήμα Συνθήκες εισόδου για τα μεγέθη της ταχύτητας και των τάσεων Reynolds. Η τοπολογία του τελικού χρησιμοποιούμενου πλέγματος φαίνεται στο σχήμα 5.35 όπου διακρίνεται το επίπεδο συμμετρίας, ο διαχωρισμός του πλέγματος στους αντίστοιχους επεξεργαστές και μία τομή του πλέγματος στο κάθετο επίπεδο στον άξονα συμμετρίας. Επίπεδο συμμετρίας Είσοδος Πλάτος αγωγού H (κατεύθυνση y) Κάτω τοίχωμα Έξοδος Σχήμα Τοπολογία του πλέγματος Οι διαστάσεις του βασικού πλέγματος είναι 7x93x84. Οι συνολικοί χρόνοι για να επιτευχθεί σύγκλιση με τα τρία μοντέλα ήταν ώρες για το LEVM,.5 ώρες για το NLEVM και 7 ώρες για το RSM. Το RSM χρειάζεται υπερβολικά μεγαλύτερο χρόνο μέχρι την τελική σύγκλιση, γεγονός που οφείλεται στους χαμηλούς συντελεστές χαλάρωσης έτσι ώστε να υπάρχει σταθερή πορεία σύγκλισης. 3

124 5.4. Έλεγχος της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα (Grid Dependency Study) Για τον έλεγχο της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων από το πλέγμα χρησιμοποιήθηκαν δύο επιπλέον πλέγματα διαστάσεων 7x38x3 και 7x48x5. Λόγω του περιορισμού στην υπολογιστική ισχύ δεν κατασκευάστηκε πλέγμα που να έχει διπλάσιο αριθμό κελιών και στην αξονική κατεύθυνση κατά μήκος του αγωγού. Στις περιπτώσεις των δύο πιο πυκνών πλεγμάτων, διασφαλίστηκε το y + να έχει τιμή. τουλάχιστον για τα πρώτα δέκα κελιά κοντά στα τοιχώματα. Στο αραιό πλέγμα οι τιμές του y + για τα αντίστοιχα κελιά κυμαινόταν από.5 μέχρι. Αν και η τιμή αυτή του y + είναι αρκετά μικρή συγκρινόμενη με μια τυπική τιμή μοντέλου χαμηλού αριθμού Reynolds, δεν ήταν επαρκής για να γίνει σωστά ο υπολογισμός των σύνθετων εκφράσεων και παραγωγίσεων του μοντέλου RSM κοντά στο τοίχωμα έτσι, ώστε να αποφευχθεί τελική απόκλιση στην επαναληπτική διαδικασία. Οι έλεγχοι ανεξαρτησίας από το πλέγμα πραγματοποιήθηκαν για τα πιο σύνθετα μοντέλα, το μη-γραμμικό και το RSM. Στα σχήματα 5.36 φαίνονται τα συγκριτικά αποτελέσματα του συντελεστή τριβής για τα τρία πλέγματα που χρησιμοποιήθηκαν. Συγκεκριμένα για το RSM ήταν αδύνατη η σύγκλιση για το αραιό πλέγμα. Σχήμα Μελέτη ανεξαρτησίας του πλέγματος με το συντελεστή τριβής για τους τρεις τοίχους. Κύκλοι: Πειραματικά, Ευθεία γραμμή: Πυκνό πλέγμα, Αξονική γραμμή: Βασικό πλέγμα, Διάστικτη γραμμή: Αραιό πλέγμα. Αριστερά: RSM, Δεξιά: NLEVM Και για τα δύο μοντέλα τύρβης τα αποτελέσματα είναι αντίστοιχα. Η ταύτιση με τις πειραματικές μετρήσεις είναι ικανοποιητική και το τελικό συμπέρασμα είναι ότι 4

125 παρουσιάζουν αντίστοιχα καλή συμπεριφορά στην αλλαγή της διακριτοποίησης του υπολογιστικού χώρου. Στη μεταξύ τους σύγκριση παρατηρούμε ότι στην περιοχή της καμπυλότητας και κυρίως στον κάτω τοίχο (bottom), το NLEVM προβλέπει την τοπική διακύμανση του συντελεστή τριβής ενώ το RSM υπολογίζει πιο ομαλή κατανομή αποτυγχάνοντας στην πρόβλεψη των τοπικών διακυμάνσεων. Το γεγονός αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το ότι για το μοντέλο RSM και τη μοντελοποίηση της τυρβώδους διάχυσης δεν χρησιμοποιήθηκε η αρχική έκφραση των τριπλών συσχετίσεων που προτάθηκε από τον Craft (998), αλλά η απλοποιημένη έκφραση της τυρβώδους διάχυσης των Daly και Harlow (97) GGDH Σύγκριση των αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις Ο βασικός μηχανισμός της ανάπτυξης της ροής συνδέεται άμεσα με την καμπυλότητα της γεωμετρίας του αγωγού, η οποία δημιουργεί ένα πεδίο θετικής κλίσης πίεσης από τη κυρτή στην κοίλη πλευρά. Αντίστοιχα κατά την αξονική διεύθυνση και κατά μήκος της κυρτής πλευράς δημιουργείται μια αρνητικής κλίση πίεσης η οποία είναι υπεύθυνη για την επιτάχυνση του ρευστού. Αυτό φαίνεται στο σχήμα 5.37α σε σύγκριση των διανυσμάτων της ταχύτητας όλων των μοντέλων με τις πειραματικές μετρήσεις. Επίσης, στο ίδιο σχήμα φαίνονται οι ισοϋψείς της ταχύτητας σε κάθετη τομή σε τρεις θέσεις κατά μήκος του αγωγού. Οι θέσεις αναφέρονται στις 45 ο στη θέση μέγιστης καμπυλότητας, στις 9 ο (θέση D) στο σημείο όπου τελειώνει η καμπυλότητα και στις 9 ο (θέση D) που αντιστοιχεί στην έξοδο του αγωγού. Στις κάθετες τομές η αριστερή πλευρά αντιστοιχεί στο κυρτό τοίχωμα, η δεξιά στο κοίλο και η πάνω και κάτω στους αντίστοιχους τοίχους του αγωγού. Η ροή αρχίζει σταδιακά και σχηματίζει μετά την καμπυλότητα δύο συμμετρικές δίνες η οποίες διατηρούνται μέχρι και την έξοδο του αγωγού. Το μέγεθος και η θέση της δίνης σε σχέση με το τοίχωμα που υπολογίζεται από το κάθε μοντέλο διαφέρει όπως φαίνεται και από τα σχήματα 5.37β, γ και δ. Παρατηρείται ότι το γραμμικό μοντέλο στις 45 ο υπολογίζει τη δίνη πιο κοντά στον κυρτό τοίχο ενώ μετά τη θέση D η συμπεριφορά των μοντέλων αλλάζει και τα δύο μοντέλα ιξώδους τύρβης υπολογίζουν το κέντρο της δίνης ποιο κοντά στο επίπεδο συμμετρίας σε σχέση με το RSM. Πειραματικά LEVM 5

126 α) NLEVM RSM β) 45 o LEVM NLEVM RSM γ) D LEVM NLEVM RSM 6

127 δ) D LEVM NLEVM RSM Σχήμα Γραφήματα των διανυσμάτων της ταχύτητας και ισοϋψείς γραμμές σε τρεις τομές του αγωγού Με σκοπό να υπάρχει απόλυτη συμφωνία στη σύγκριση κατανομών των υπολογιστικών αποτελεσμάτων με τις πειραματικές μετρήσεις, των οποίων το σύστημα συντεταγμένων ακολουθεί τη διεύθυνση της ροής, πραγματοποιήθηκε μετασχηματισμός των καρτεσιανών ταχυτήτων και των τάσεων Reynolds με τις σχέσεις r r Vμετασχηματισμένη = A Vκαρτεσιαν ή και T Tμετασχηματισμένη = A Tκαρτεσιαν ή A, όπου A = [ a ij ] ο πίνακας μετασχηματισμού που συνδέει τα συνημίτονα κατεύθυνσης των δύο συστημάτων συντεταγμένων Αριθμητικά αποτελέσματα στη θέση των 45 ο Καθώς αναπτύσεται η ροή, η αξονική ταχύτητα στο κέντρο του αγωγού μεγαλώνει ενώ το ρευστό αρχίζει να επιταχύνεται καθώς διανύει το κυρτό τοίχωμα του αγωγού. Η χαρακτηριστική δίνη που φαίνεται στα σχήματα 5.37β, γ και δ σχηματίζεται σταδιακά καθώς αθξάνονται οι δύο κάθετες στην κύρια ροή συνιστώσες της ταχύτητας λόγω της επίδρασης της καμπυλότητας. Στο σχήμα 5.38 φαίνονται τα υπολογιστικά αποτελέσματα σε σχέση με τις πειραματικές μετρήσεις στην εγκάρσια θέση των 45 ο. Το κάθε διάγραμμα αντιστοιχεί σε διαφορετική θέση από το κάτω τοίχωμα προς τον άξονα συμμετρίας, που αντιστοιχεί στην αδιάστατη απόσταση z/ H, ενώ στο καθένα παρουσιάζεται η κατανομή των μεγεθών από τον κυρτό προς τον κοίλο τοίχο του αγωγού. Παρατηρείται από το σχήμα ότι το μοντέλο RSM προβλέπει με καλύτερη ακρίβεια την κατανομή της αξονικής ταχύτητας κοντά στο κυρτό τοίχωμα ενώ ικανοποιητική ταύτιση με τα πειραματικά αποτελέσματα δίνει και το μοντέλο NLEVM. Το γραμμικό μοντέλο LEVM υπολογίζει μεγαλύτερα οριακά στρώματα σε όλο το μήκος των υπολογισμών προς την κατεύθυνση του άξονα συμμετρίας. Στην πλειοψηφία τους τα αποτελέσματα των κατανομών των τάσεων Reynolds καταδεικνύουν την ανωτερότητα του μοντέλου RSM. Το μοντέλο RSM είναι σε θέση να προβλέψει με μεγάλη ακρίβεια τις κατανομές των ορθών τάσεων κοντά στο κυρτό τοίχωμα ενώ τα άλλα δύο μοντέλα δίνουν μεγαλύτερες τιμές και περισσότερο τυρβώδη οριακά στρώματα. Όσον αφορά το κοίλο τοίχωμα και το μοντέλο RSM, οι μέγιστες υπολογισμένες τιμές των τάσεων υπερεκτιμώνται και μετατοπίζονται προς τη γραμμή συμμετρίας του αγωγού. Στην ίδια περιοχή του προβλήματος παρατηρείται μεγάλη απόκλιση των υπολογισμένων τιμών του 7

128 NLEVM καθώς δίνει λανθασμένες τιμές για όλες τις διατμητικές τάσεις. Τέλος, είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι το γραμμικό μοντέλο υπερέχει του μη-γραμμικού στην πρόβλεψη των κατανομών των τάσεων σε ένα μεγάλο αριθμό θέσεων U/U o U/U o αδιάστατη u (αξονική) ταχύτητα U/U o U/U o V/U o αδιάστατη v ταχύτητα V/U o V/U o V/U o W/U o αδιάστατη w ταχύτητα W/U o W/U o W/U o

129 uu/u o uu/u o αδιάστατη uu τάση Reynolds uu/u o uu/u o vv/u o vv/u o αδιάστατη vv τάση Reynolds vv/u o vv/u o ww/u o ww/u o αδιάστατη ww τάση Reynolds ww/u o ww/u o

130 uv/u o uv/u o αδιάστατη uv τάση Reynolds uv/u o uv/u o uw/u o uw/u o αδιάστατη uw τάση Reynolds uw/u o uw/u o Σχήμα Αδιάστατες κατανομές ταχυτήτων και τάσεων Reynolds στις 45 ο Κύκλοι: πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: LEVM, Αξονική γραμμή: NLEVM, ευθεία γραμμή: RSM Από αριστερά προς τα δεξιά: επίπεδα z/h στις θέσεις.65,.5,.75 και Αριθμητικά αποτελέσματα στη θέση D Αμέσως μετά το τέλος της καμπυλότητας, η ροή είναι πλήρως τρισδιάστατη. Η δύο συμμετρικές δίνες που εμφανίζονται, αναπτύσσονται κατά μήκος της ροής και του εγκάρσιου επιπέδου προς τη γραμμή συμμετρίας. Οι λεπτομερείς συγκρίσεις με τα πειραματικά δεδομένα φαίνονται στο σχήμα Το μοντέλο NLEVM μπορεί και αντιλαμβάνεται πιο καλά από το RSM τις έντονες αλλαγές στην κλίση της κατανομής της αξονικής ταχύτητας. Αυτή η υπεροχή του μη-γραμμικού μοντέλου παρατηρείται και στις άλλες δύο συνιστώσες της ταχύτητας. Όσον αφορά το μοντέλο RSM, η υπεροχή του μοντέλου RSM είναι εμφανής στον υπολογισμό του πεδίου των τάσεων Reynolds για τις περισσότερες από τις επιλεγμένες θέσεις. Όσον αφορά τις κύριες τάσεις, για την πρώτη θέση κοντά κάτω τοίχωμα το μοντέλο υπολογίζει μικρότερες τιμές στο μέσο της ροής. Σε όλες τις άλλες περιοχές το μοντέλο RSM συμπεριφέρεται καλύτερα κυρίως στην κυρτή περιοχή όπου τα μοντέλα ιξώδους τύρβης προβλέπουν τα οριακά στρώματα περισσότερο τυρβώδη. Υπάρχει μία εξαίρεση στη θέση z/ H.65,.5 και.75, όπου το NLEVM δίνει καλύτερα αποτελέσματα για την τάση ww. Η συμπεριφορά του RSM είναι αντίστοιχη με αυτή στο επίπεδο των 45 ο. Τέλος, το LEVM συμπεριφέρεται καλύτερα στην κυρτή περιοχή του τοιχώματος. 3

131 U/U o U/U o αδιάστατη u (αξονική) ταχύτητα U/U o U/U o V/U o αδιάστατη v ταχύτητα V/U o V/U o V/U o W/U o W/U o αδιάστατη w ταχύτητα W/U o W/U o

132 uu/u o uu/u o αδιάστατη uu τάση Reynolds uu/u o uu/u o vv/u o vv/u o αδιάστατη vv τάση Reynolds vv/u o vv/u o ww/u ww/u o o αδιάστατη ww τάση Reynolds ww/u o ww/u o

133 uv/u o αδιάστατη uv τάση Reynolds uv/u o uv/u o uv/u o uw/u o uw/u o αδιάστατη uw τάση Reynolds uw/u o uw/u o Σχήμα Αδιάστατες κατανομές ταχυτήτων και τάσεων Reynolds στη θέση D Κύκλοι: πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: LEVM, Αξονική γραμμή: NLEVM, ευθεία γραμμή: RSM Από αριστερά προς τα δεξιά: επίπεδα z/h στις θέσεις.65,.5,.75 και Αριθμητικά αποτελέσματα στη θέση D Για το τελευταίο επίπεδο μετά την καμπυλότητα δεν υπάρχουν διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα για τις τάσεις Reynolds. Τα πειραματικά δεδομένα δίνουν μόνο τις κατανομές των ταχυτήτων. Στην πρώτη θέση ( z/ H =.65 ) και κοντά στον κυρτό τοίχο και τα τρία μοντέλα αποτυγχάνουν στην πρόβλεψη της κλίσης των κατανομών και για τις τρεις συνιστώσες της ταχύτητας. Το RSM και το NLEVM δίνουν αντίστοιχα αποτελέσματα και δεν είναι σε θέση να υπολογίσουν το τοπικό ελάχιστο της αξονικής ταχύτητας. Καθώς προσεγγίζεται το επίπεδο συμμετρίας του αγωγού ( z/ H = 3), τα τρία μοντέλα έχουν μεγαλύτερη τάση να ακολουθούν τις κατανομές των πειραματικών μετρήσεων. Στην περιοχή του κοίλου τοιχώματος οι κατανομές της αξονικής ταχύτητας που προβλέπει το RSM είναι σε ταύτιση με τα πειραματικά και είναι σε θέση να δώσει με μεγάλη ακρίβεια το πάχος του οριακού στρώματος. 33

134 U/U o U/U o αδιάστατη u (αξονική) ταχύτητα U/U o U/U o V/U o αδιάστατη v ταχύτητα V/U o V/U o V/U o W/U o αδιάστατη w ταχύτητα W/U o W/U o W/U o Σχήμα 5.4. Αδιάστατες κατανομές ταχυτήτων στη θέση D Κύκλοι: πειραματικά, Διάστικτη γραμμή: LEVM, Αξονική γραμμή: NLEVM, ευθεία γραμμή: RSM Από αριστερά προς τα δεξιά: επίπεδα z/h στις θέσεις.65,.5,.75 και 3. Η επιλογή ενός κατάλληλου μοντέλου τύρβης σε μια γεωμετρία βιομηχανικής εφαρμογής είναι πολύ σημαντική για τη σωστή απεικόνιση του πεδίου ροής, κυρίως όταν στη ροή εμπεριέχονται τρισδιάστατα σύνθετα φαινόμενα λόγω των καμπυλοτήτων της γεωμετρίας. Όσον αφορά τις κατανομές των ταχυτήτων μια γρήγορη και αρκετά αξιόπιστη λύση αποτελεί η χρησιμοποίηση του μη-γραμμικού μοντέλου CLS-NLEVM το οποίο προσεγγίζει ικανοποιητικά και τις κατανομές των τάσεων Reynolds. Στην περίπτωση που απαιτείται μια πιο ποιοτική απεικόνιση του πεδίου των κατανομών των τάσεων Reynolds, 34

135 κυρίως των διατμητικών, είναι προτιμότερη η χρήση ενός πιο εξελιγμένου μοντέλου τύρβης, όπως το RSM. Στην περίπτωση του μοντέλου RSM που εφαρμόστηκε στην παρούσα μελέτη, αναμένονται ακόμα ποιοτικότερα αποτελέσματα εάν τελικά ενσωματωθεί η συνολική έκφραση του μοντέλου όπως προτάθηκε από τον Craft (998) με τη σύνθετη αλγεβρική σχέση των τριπλών συσχετίσεων για την τυρβώδη διάχυση των τάσεων Reynolds. Τέλος, το γραμμικό μοντέλο LS-LEVM αποτελεί μια καλή αρχική εκτίμηση του σύνθετου τρισδιάστατου πεδίου ροής, το οποίο παρόλο που υστερεί στον υπολογισμό των αγνώστων μεγεθών σε αρκετές περιοχές της ροής, λόγω των απλουστευμένων εξισώσεων περιγραφής των τάσεων Reynolds, δίνει πολύ καλή ποσοτική απεικόνιση της εξέλιξης του συνολικού τρισδιάστατου πεδίου. 5.5 Μοντελοποίηση διηχητικής ροής σε διαχύτη Στην παρούσα ενότητα, εξετάζεται η αποτελεσματικότητα του επιλυτή και των τριών μοντέλων τύρβης, του γραμμικού LEVM, του μη-γραμμικού CLS-NLEVM και του RSM, σε περιπτώσεις όπου το ρευστό είναι συμπιεστό. Η περίπτωση που επιλέγεται είναι η μελέτη της διηχητικής ροής σε διαχύτη. Η ροή περιγράφεται από την αλληλεπίδραση του κρουστικού κύματος με το τυρβώδες οριακό στρώμα σε συνδυασμό με μία υποηχητική θετική κλίση πίεσης μετά το κρουστικό κύμα. Τέτοιου είδους ροές συναντώνται σε υπερηχητικές εισόδους των ατμοσφαιρικών συστημάτων προώθησης αεροσκαφών και πυραύλων, Salmon et al (983), Georgiadis et al. (994), σε διηχητικές ροές αεροτομών, Bogar et al. (983) και σε διηχητικές διόδους του δρομέα συμπιεστών, Kerrebrock (98) και Knight (98). Τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του διαχύτη που χρησιμοποιήθηκε για τη μοντελοποίηση φαίνονται στο σχήμα 5.4. Το ύψος της μέγιστης στένωσης του διαχύτη είναι htr = 44mm και βρίσκεται σε απόσταση 4.4h tr από τη είσοδο. Η είσοδος έχει ύψος.4 φορές μεγαλύτερο του ύψους h tr και καταλήγει σε έξοδο με ύψος.5 φορές το ύψος h tr. Για τη συγκεκριμένη γεωμετρία έχουν διεξαχθεί εκτεταμένες πειραματικές μετρήσεις σε διάφορες συνθήκες ροής όπως των Chen et al (979), Bogar et al. (983), Salmon et al (983), Sajben et al. (984) και Bogar (986). Σχήμα 5.4. Γεωμετρικά χαρακτηριστικά του διαχύτη Στην συγκεκριμένη υπολογιστική μελέτη μοντελοποιούνται οι περιπτώσεις του ασθενούς κρουστικού κύματος που μελετήθηκαν πειραματικά από τους Bogar et al. (983). Η εξέλιξη της ροής και η θέση εμφάνισης του κρουστικού κύματος χαρακτηρίζεται από την τιμή του λόγου R της εξωτερικής στατικής πίεσης με την ολική πίεση εισόδου, που είναι και η βασική παράμετρος που καθορίζει την τελική διαμόρφωση του πεδίου ροής. Το υπολογιστικό πλέγμα που χρησιμοποιήθηκε για τη διακριτοποίηση του χώρου της ροής είναι τοπολογίας H-type. Η ροή που εξετάζεται στο διαχύτη είναι δύο διαστάσεων και για τη σωστή μοντελοποίηση και περιγραφή του προβλήματος από τον τρισδιάστατο επιλυτή χρησιμοποιήθηκε μοναδιαίος όγκος ελέγχου στην τρίτη διάσταση, κάθετη στο επίπεδο του 35

136 αγωγού, με επιβολή συνθηκών συμμετρίας εκατέρωθεν στην ίδια κάθετη κατεύθυνση. Το τελικό υπολογιστικό πλέγμα είναι διαστάσεων 8x5x και φαίνεται στο σχήμα 5.4 και είναι το ίδιο που χρησιμοποιήθηκε και στις υπολογιστικές μοντελοποιήσεις του Mohler (5), που περιγράφονται αναλυτικά στην ιστοσελίδα της ERCOFTAC. Σχήμα 5.4. Το υπολογιστικό πλέγμα της γεωμετρίας του διαχύτη Μεγάλη προσοχή δόθηκε στην πύκνωση του πλέγματος κοντά στα τοιχώματα. Λόγω της μεγάλης ταχύτητας του ρευστού τα πρώτα σημεία του πλέγματος, που αναφέρονται σε σημεία που βρίσκονται μέσα στο στρωτό οριακό υπόστρωμα και στην περιοχή buffer του οριακού στρώματος, πρέπει να είναι πολύ κοντά στα τοιχώματα του διαχύτη έτσι ώστε να επιτευχθεί χαμηλή τιμή του y +. Για το πρώτο υπολογιστικό κελί διατηρήθηκε τέτοια πύκνωση που έδινε μία τελική τιμή του y + περίπου ίσο με.5 για όλα τα μοντέλα τύρβης. Αναλυτικότερα, τα αριθμητικά αποτελέσματα παρατίθενται στη συνέχεια Αριθμητικά αποτελέσματα Η εξωτερική στατική πίεση στην έξοδο του διαχύτη, καθορίζεται σε τέτοια τιμή που αντιστοιχεί σε λόγο πιέσεων R ίσο με.8, ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή ανάπτυξη της ροής. Κατά τη διαδικασία της επίλυσης η διαμόρφωση του πεδίου ροής καθορίζεται από την επιβαλλόμενη στατική πίεση στην έξοδο. Η ροή λόγω της στένωσης του αγωγού επιταχύνεται και λόγω των οριακών συνθηκών εμφανίζεται κρουστικό κύμα λίγο μετά τη στένωση. Σύμφωνα με τις πειραματικές μετρήσεις, αμέσως μετά την εμφάνιση υπερηχητικής ταχύτητας, το ρευστό επιταχύνεται λίγο κάτω από τα.3 Mach και έπειτα απότομα επιβραδύνεται στα.78 Mach, ενώ τελικά φεύγει με ταχύτητα εξόδου που δίνει τιμή.5 Mach. Τα μοντέλα τύρβης που χρησιμοποιήθηκαν για τη μοντελοποίηση της ροής είναι μοντέλα χαμηλού αριθμού Reynolds και είναι το γραμμικό μοντέλο k-ε των Launder και Sharma, το μη-γραμμικό μοντέλο k-ε των Craft Launder και Suga και το μοντέλο τάσεων Reynolds του Craft. Οι αρχικές και οι οριακές συνθήκες που χρησιμοποιήθηκαν για την αριθμητική επίλυση και για τα τρία μοντέλα δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Ολική πίεση εισόδου (Pa) Ολική θερμοκρασία εισόδου και αρχικοποίησης του πεδίου ροής (K) Γωνία εισόδου o Στατική πίεση εξόδου (Pa) Αριθμός Mach εισόδου και αρχικοποίησης του πεδίου ροής.46 Πίνακας 5.3. Αρχικές και οριακές συνθήκες του προβλήματος. 36

137 Οι ισοϋψείς γραμμές του αριθμού Mach και για τα τρία μοντέλα τύρβης καθώς και οι αντίστοιχες πειραματικές τιμές του στις περιοχές εισόδου, εξόδου και εκατέρωθεν του υπολογιζόμενου κρουστικού κύματος παρατίθενται στο σχήμα Σχήμα 5.43 Πειραματικές μετρήσεις και υπολογιστικές ισοϋψείς γραμμές του αριθμού Mach των τριών μοντέλων τύρβης, γραμμικό k-ε (LEVM), μη-γραμμικό k-ε (NLEVM) και μοντέλο τάσεων Reynolds (RSM). Οι ενδεικτικές τιμές του αριθμού Mach στις τέσσερις περιοχές εισόδου, εξόδου, πριν και μετά το κρουστικό κύμα αντίστοιχα, παρέχουν χρήσιμη πληροφορία για τη συμπεριφορά του κάθε μοντέλου τύρβης. Παρατηρείται, ότι το γραμμικό και το μη-γραμμικό μοντέλο προβλέπουν μεγαλύτερη τιμή του αριθμού Mach μετά το κρουστικό κύμα, αλλά αποτυγχάνουν στον υπολογισμό του αριθμού Mach πριν από αυτό δίνοντας μικρότερη τιμή ταχύτητας, ενώ παράλληλα υπολογίζουν μεγαλύτερη ταχύτητα εξόδου του ρευστού. Το ασθενέστερο κρουστικό κύμα υπολογίζεται από το μη-γραμμικό μοντέλο ενώ το RSM προβλέπει τιμές του αριθμού Mach σε απόλυτη ταύτιση με τις πειραματικές μετρήσεις τόσο πριν και μετά το κρουστικό κύμα όσο και στο σημείο εξόδου του διαχύτη. Το μη-γραμμικό μοντέλο τύρβης, παρόλο που αδυνατεί να υπολογίσει τις μέγιστες τιμές της ταχύτητας και έχει το μεγαλύτερο σφάλμα στην απόκλιση των τιμών από τις αντίστοιχες μετρούμενες πειραματικά, υπολογίζει με μεγάλη ακρίβεια τη θέση του κρουστικού κύματος στο σημείο λίγο μετά τη στένωση του διαχύτη σε αντίθεση με τα άλλα δύο μοντέλα που δίνουν τη θέση του κρουστικού κύματος πιο κοντά στην έξοδο. Τα διαθέσιμα πειραματικά δεδομένα των Sajben et al. (984), δίνουν τις κατανομές των ταχυτήτων σε τέσσερις θέσεις μετά το σημείο της μέγιστης στένωσης καθώς και τις κατανομές των πιέσεων κατά μήκος του διαχύτη στο πάνω και κάτω τοίχωμα αντίστοιχα. Οι θέσεις αυτές των μετρήσεων αντιστοιχούν σε x = 76.mm, x = 6.7mm, x3 =.84mm και x4 = 78.96mm. Οι κατανομές των ταχυτήτων σε απόλυτες τιμές και 37

138 των αδιαστατοποιημένων πιέσεων με την στατική πίεση εισόδου P των δύο τοιχωμάτων, δίνονται στα σχήματα 5.44 και 5.45 αντίστοιχα. x x x3 x4 Y Y Y Y U U U 5 5 U 5 5 Σχήμα Κατανομές ταχυτήτων στις τέσσερις θέσεις μετά το σημείο μέγιστης στένωσης. Κύκλοι: Πειραματικά, Αξονική γραμμή RSM, Διάστικτη γραμμή:nlevm, Ευθεία γραμμή LEVM Από τις κατανομές των ταχυτήτων είναι εμφανές ότι και τα τρία μοντέλα τύρβης υπολογίζουν ικανοποιητικά τη μέγιστη ταχύτητα της κυρίας ροής σε όλες τις θέσεις μετά το κρουστικό κύμα. Η ταύτιση είναι πολύ καλή με τα πειραματικά σε όλες τις θέσεις στο κάτω τοίχωμα του αγωγού, σε αντίθεση με το επάνω, όπου το μοντέλο RSM έχει πιο καλή συμπεριφορά και υπολογίζει με μεγαλύτερη ακρίβεια το πάχος του οριακού στρώματος..9 ΚΑΤΩ ΤΟΙΧΩΜΑ ΕΠΑΝΩ ΤΟΙΧΩΜΑ P/P.8 P/P X/H X/H Σχήμα Κατανομές της πίεσης στο επάνω και κάτω τοίχωμα του διαχύτη. Κύκλοι: Πειραματικά, Αξονική γραμμή RSM, Διάστικτη γραμμή:nlevm, Ευθεία γραμμή LEVM Από τις κατανομές των πιέσεων στα δύο τοιχώματα του διαχύτη, παρατηρείται η μεγάλη απόκλιση του γραμμικού και του μοντέλου RSM σε σχέση με τα πειραματικά, στον υπολογισμό της ανάκτησης της πίεσης αμέσως μετά το κρουστικό κύμα. Το γραμμικό μοντέλο, αποτυγχάνει πλήρως δίνοντας πολύ χαμηλότερη τιμή. Το RSM, παρόλο που υπολογίζει καθυστερημένα την εμφάνιση του κρουστικού κύματος, όπως διαπιστώθηκε και από της ισουψείς καμπύλες του αριθμού Mach, είναι σε θέση να προβλέψει τελικά σωστά την 38

139 κατανομή των πιέσεων μέχρι την έξοδο του αγωγού. Τέλος, το μη-γραμμικό μοντέλο τύρβης, υπολογίζει μικρότερο αριθμό Mach αλλά προβλέπει με μεγάλη ακρίβεια την κατανομή της πίεσης και στα δύο τοιχώματα σε όλο το μήκος του αγωγού εκατέρωθεν της περιοχής του κρουστικού κύματος. 5.6 Ροή σε πτέρυγα Δέλτα Οι πτέρυγες Δέλτα αποτελούν μια ειδική κατηγορία της οικογένειας των οπισθοκλινών πτερύγων και έχουν κατά βάση τριγωνική μορφή. Οι βασικές τους γεωμετρίες που χρησιμοποιούνται στη σύγχρονες εφαρμογές της αεροναυπηγικής φαίνονται στο σχήμα Σχήμα Βασικές γεωμετρίες πτερύγων Δέλτα. Οι πτέρυγες αυτού του τύπου σε πολλά αεροσκάφη υψηλών ταχυτήτων, και κυρίως σε αεροσκάφη που πετούν σε υπερηχητικές ταχύτητες με σκοπό να μειώσουν τα φαινόμενα της συμπιεστότητας και να αυξήσουν την ικανότητα της ευσταθούς πλοήγησης. Η ακριβής πρόβλεψη της εξέλιξης των σύνθετων δομών που αναπτύσσονται πάνω στην επιφάνεια μιας πτέρυγας Δέλτα είναι μεγάλης σημασίας για την επιστήμη της αεροδυναμικής. Η ακρίβεια στην ικανότητα ελιγμών των αεροσκαφών επηρεάζεται άμεσα από τα αποκολλώμενα διατμητικά οριακά στρώματα που είναι και η αιτία της δημιουργίας των πρωτογενών και δευτερογενών δινών της ακμής προσβολής, οι οποίες εξελίσσονται κατά μήκος της πτέρυγας. Παρά το γεγονός ότι οι πτέρυγες Δέλτα χρησιμοποιούνται σε αεροσκάφη υψηλών ταχυτήτων όπου κυριαρχούν έντονες συνθήκες συμπιεστότητας, πολύ σημαντική είναι η μελέτη της ροής σε περιπτώσεις χαμηλών ταχυτήτων σε ασυμπίεστες ροές. Εκτός από τα υπερηχητικά επιβατικά αεροσκάφη, όπως το Concorde, τα οποία καταναλώνουν τον περισσότερο χρόνο της πτήσης τους σε υπερηχητικές ταχύτητες και τα διαστημικά λεωφορεία τα οποία υποβάλλονται σε έντονες συνθήκες μεταβολής της πυκνότητας και υπερηχητικής ροής κατά την είσοδό τους στη γήινη ατμόσφαιρα, τα υπόλοιπα αεροσκάφη τέτοιου είδους πετούν την περισσότερη ώρα της πτήσης τους σε συνθήκες υποηχητικής ροής. Επίσης πολύ σημαντική είναι και η προσγείωση και απογείωση των αεροσκαφών όπου επικρατούν συνθήκες χαμηλών ταχυτήτων. Στο σχήμα 5.47, Andersnon (4), φαίνεται η εξέλιξη του πεδίου ροής σε μία πτέρυγα Δέλτα υπό γωνία προσβολής α ως προς την κύρια ροή. 39

140 Σχήμα Εξέλιξη του πεδίου ροής πάνω σε πτέρυγα Δέλτα υπό γωνία προσβολής. Το κυρίαρχο χαρακτηριστικό της ροής στην επιφάνεια της πτέρυγας Δέλτα όταν αυτή βρίσκεται υπό κλίση, είναι οι δύο βασικές συμμετρικές δίνες που σχηματίζονται στο όριο των ακμών προσβολής της. Η πίεση στην κάτω πλευρά, πλευρά κατάθλιψης, είναι μεγαλύτερη από την επάνω, πλευρά αναρρόφησης, με αποτέλεσμα το ρευστό να τείνει να περιστραφεί από την κάτω πλευρά προς την επάνω πλευρά γύρω από την ακμή προσβολής. Στην περίπτωση που η ακμή προσβολής είναι αιχμηρή, η αποκόλληση του ρευστού είναι πιο έντονη. Το ρευστό αποκολλάται και λόγω της συστροφής του σχηματίζεται μία κύρια, κυρίαρχη, δίνη που ακολουθεί την κλίση της ακμής προσβολής σε όλο το μήκος της πτέρυγας. Όπως φαίνεται και στο σχήμα 5.47 το ρευστό σχηματίζει έναν κλειστό βρόγχο που περιορίζεται από την αρχική γραμμή αποκόλλησης S και από την αρχική γραμμή επανακόλλησης A. Λόγω της αρχής διατήρησης της στροφορμής, δημιουργείται μία δευτερογενής δίνη κάτω από την κύρια που περιορίζεται από την δευτερεύουσα γραμμή αποκόλλησης S και από τη δευτερεύουσα γραμμή επανακόλλησης A. Η ροή στην επιφάνεια της πτέρυγας έχει την τάση να απομακρύνεται από τις γραμμές επανακόλλησης, να ρέει προς τις γραμμές αποκόλλησης και να αποκολλάται από την επιφάνεια κατά μήκος των γραμμών αποκόλλησης. Η ροή επάνω στην επιφάνεια της πτέρυγας και κάτω από τις κύριες δίνες είναι πλήρως προσκολλημένη ενώ ανάμεσα στις δίνες είναι ουσιαστικά ανεπηρέαστη σε όλο το μήκος της πτέρυγας από την γωνία του ισοσκελούς τριγώνου μέχρι την ακμή φυγής. Οι κύριες δίνες που σχηματίζονται είναι ισχυρές και ευσταθείς καθώς εμπεριέχουν ρευστό με υψηλή ενέργεια και έντονη στροβιλότητα. Για αυτό το λόγο η τοπική στατική πίεση κοντά στις δίνες και συνεπώς κοντά στις ακμές προσβολής τη πτέρυγας είναι πολύ χαμηλή, ενώ αυξάνεται και σταθεροποιείται στην περιοχή μεταξύ των δινών, όπως φαίνεται στο σχήμα

141 Σχήμα Κατανομή του συντελεστή πίεσης κατά μήκος του εκπετάσματος μιας πτέρυγας Δέλτα. Στην ουσία οι σχηματιζόμενες δίνες στις ακμές προσβολής δημιουργούν μία πολύ ισχυρή αναρρόφηση στην περιοχή σχηματισμού τους, η οποία έχει σαν αποτέλεσμα την συνολική αύξηση της δυναμικής άνωσης. Το μεγάλο πλεονέκτημα των πτερύγων Δέλτα είναι η αύξηση του συντελεστή άνωσης σε γωνίες προσβολής όπου οι συμβατικές πτέρυγες θα είχαν εμφανίσει απώλεια στήριξης. Η επίδραση των δινών στη συνολική δυναμική άνωση αυξάνεται με την αύξηση της γωνίας προσβολής καθώς οι δίνες γίνονται ενεργειακά ισχυρότερες και η συνολική διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο πλευρών μεγαλύτερη. Οι δίνες παρουσιάζουν μία οργανωμένη σταθερή δομή όπου η αξονική ταχύτητα είναι πολύ μεγαλύτερη από την ακτινική. Σε πολύ υψηλές όμως γωνίες προσβολής, οι δίνες αποδομούνται σταδιακά από κάποιο σημείο και μετά πάνω στην πλευρά αναρρόφησης. Το φαινόμενο αυτό αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως vortex breakdown. Όταν εμφανιστεί αυτήν η αποδόμηση των δινών τότε η δυναμική άνωση της πτέρυγας μειώνεται απότομα, η ροή στην επιφάνεια γίνεται ασταθής, εμφανίζει μία έντονη ακαθόριστη κίνηση προς όλες τις κατευθύνσεις και παρατηρείται τελικά απώλεια στήριξης. Τα βασικά είδη του τρόπου της αποδόμησης των δινών είναι δύο, φαίνονται στα σχήματα 5.49 και 5.5. Ονομάζονται αντίστοιχα αποδόμηση με ελικοειδή μορφή και αποδόμηση με μορφής φυσαλίδας. Σχήμα Αριστερά: Αποδόμηση με ελικοειδή μορφή. Δεξιά: Αποδόμηση με μορφή φυσαλίδας. 4

142 Σχήμα 5.5. Αριστερά: Αποδόμηση με ελικοειδή μορφή. Δεξιά: Αποδόμηση με μορφή φυσαλίδας. Η μορφή της αποδόμησης των δινών επάνω στην πτέρυγα διαδέχεται περιοδικά η μία την άλλη ανάλογα με την κατανομή της στροβιλότητας και τον αριθμό Reynolds της ροής. Ο έλεγχος της αποδόμησης των δινών, είτε καθυστερώντας την είτε ενισχύοντας την, είναι πολύ σημαντικός και δίνει πολλά πλεονεκτήματα στην απόδοση της πτήσης και στη συνολική ευχέρεια πλοήγησης των αεροσκαφών. Μία χαρακτηριστική μεταβλητή ελέγχου της αποδόμησης των δινών είναι ο λόγος της ακτινικής προς την αξονική ταχύτητα της κύριας δίνης που ονομάζεται λόγος στροβιλισμού. Όταν ο λόγος αυτός ξεπεράσει την τιμή.3 τότε εμφανίζεται η αποδόμηση. Γενικότερα μειωμένη ακτινική ταχύτητα και αυξημένη αξονική ταχύτητα της δίνης συνεπάγεται και την καθυστέρηση της αποδόμησης. Επίσης μείωση της πίεσης στην επιφάνεια αναρρόφησης της πτέρυγας συντελεί στην καθυστέρηση της εμφάνισης της αποδόμησης των δινών. Με την καθυστέρηση ή την πλήρη καταστολή της αποδόμησης επιτυγχάνεται αυξημένη δυναμική άνωση, μείωση της αντίστασης, προσκολλημένα οριακά στρώματα και ευστάθεια στην πτήση του αεροσκάφους. Από την άλλη, εμφάνιση της αποδόμησης σε μία πλευρά της πτέρυγας Δέλτα σε επιθυμητό χρόνο, βοηθάει στον έλεγχο των ελιγμών κυρίως των μαχητικών αεροσκαφών λόγω της ασσυμετρίας των πιέσεων που δημιουργείται στην πλευρά αναρρόφησης της πτέρυγας Δέλτα. Δύο είναι οι βασικές κατηγορίες στις οποίες χωρίζονται οι μέθοδοι ελέγχου του σημείου αποδόμησης των δινών. Η πρώτη είναι ο έλεγχος με μηχανικά μέρη (μηχανικές μέθοδοι) και η δεύτερη είναι ο έλεγχος της ροής με αναρρόφηση ή έγχυση αέρα (πνευματικές μέθοδοι). Παρόλο που οι κατασκευές ελέγχου με μηχανικά μέρη είναι στιβαρές, όπως strakes, canards, fillets, επεκτάσεις των ακμών προσβολής, μηχανικά flaps και φράχτες δινών, προσθέτουν βάρος στο αεροσκάφος και αυξάνουν τη συνολική αντίσταση. Επίσης, σε ελιγμούς σε υψηλές ταχύτητες υπόκεινται σε έντονα ασταθή πεδία ροής και περιορίζεται η αποτελεσματικότητά τους καθώς ο χρόνος απόκρισής τους σε υψηλές ταχύτητες και μεγάλες γωνίες προσβολής δεν είναι ο επιθυμητός, Shih και Ding (996). Οι πνευματικές μέθοδοι είναι στην ουσία η σταθερή ή περιοδική έγχυση ή αναρρόφηση αέρα σε κατάλληλα σημεία της πτέρυγας που αποσκοπούν στη μείωση της στατικής πίεσης στην επιφάνεια της πλευράς αναρρόφησης. Έχουν γίνει αρκετές μελέτες όσον αφορά τον έλεγχο της αεροδυναμικής συμπεριφοράς των πτερύγων Δέλτα με τις πνευματικές μεθόδους. Η μελέτη των Visser et al. (988) εξέτασε τις συνέπειες έγχυσης αέρα κοντά στην ακμή προσβολής και στην ακμή φυγής της πτέρυγας Δέλτα. Τα συμπεράσματα έδειξαν ότι η έγχυση αέρα κοντά στην ακμή προσβολής ήταν πιο αποτελεσματική. Οι Magness et al (989) χρησιμοποίησαν αναρρόφηση καθώς και έγχυση αέρα για τον έλεγχο της αποδόμησης της κυρίαρχης δίνης της πτέρυγας. Οι προηγούμενες μεθοδολογίες έγχυσης και αναρρόφησης ρευστού είναι στην ουσία μεθοδολογίες ελέγχου του οριακού στρώματος καθώς η ποσότητα της μάζας του ρευστού που ανταλλάσσεται είναι πολύ μικρή. Οι Roos και Kegelman (99) εξέτασαν την επίδραση της αναρρόφησης του ρευστού μετά την ακμή φυγής και απέδειξαν ότι είναι εφικτός με αυτόν τον τρόπο ο έλεγχος του σημείου της αποδόμησης των δινών. 4

143 Στην παρούσα μελέτη μοντελοποιείται και εξετάζεται ο έλεγχος στην καθυστέρηση της αποδόμησης των κυρίως δινών με την απότομη έγχυση μεγάλης ποσότητας ρευστού από την ακμή φυγής μέσω ακροφυσίων που στη βιβλιογραφία ονομάζονται jet flaps. Όπως έχει αποδειχθεί και από τα πειράματα των Helin και Watry (994), με αυτό τον τρόπο δεν είναι εφικτός μόνο ο έλεγχος της αποδόμησης αλλά και ο καθορισμός της ασσυμετρίας των κυρίως δινών στην επιφάνεια αναρρόφησης μιας πτέρυγας Δέλτα. Η υπεροχή των jet flaps σε σχέση με τις μηχανικές μεθόδους μελετήθηκε και από τους Hoerner και Borst (985) οι οποίοι επέδειξαν ότι η χρήση ενός jet flap στη θέση ενός μηχανικού μπορεί να δώσει πολύ πιο σημαντική βελτίωση στο συντελεστή δυναμικής άνωσης, καθώς προσφέρει πλεονεκτήματα τόσο σε χαμηλές όσο και σε υψηλές ταχύτητες πτήσης Μοντελοποίηση της ροής σε πτέρυγα Δέλτα Τα δεδομένα για τη μοντελοποίηση της ροής και τη μελέτη της αποτελεσματικότητας του κάθε μοντέλου τύρβης βασίστηκαν στην πειραματική διάταξη και τις πειραματικές μετρήσεις των Shih και Ding (996). Για τη διεξαγωγή των πειραμάτων χρησιμοποιήθηκε δεξαμενή νερού μήκους 3.6m και διατομή.55.4m. Η πτέρυγα Δέλτα είχε γωνία o οπισθόκλισης 6, που είναι η γωνία της κορυφής του ισοσκελούς τριγώνου και χορδή μήκους 3mm. Ο αριθμός Reynolds είναι υπολογισμένος με βάση τη χορδή της πτέρυγας 3 και για ταχύτητα νερού ίση με.748m sec είναι 9.8. Το πάχος της πτέρυγας είναι 5.4mm και είναι σχετικά μεγάλο σε σχέση με τη χορδή έτσι ώστε να είναι εφικτή η τοποθέτηση των δεξαμενών για την έγχυση του ρευστού στην ακμή φυγής. Η έγχυση του ρευστού γίνεται από δύο ακροφύσια ορθογωνικής διατομής διαστάσεων mm από τα οποία καθορίζεται η ταχύτητα και η γωνία εξόδου του ρευστού. Στο σχήμα 5.5 φαίνεται η γεωμετρία της πτέρυγας Δέλτα και των ακροφύσιων της ακμής φυγής. Σχήμα 5.5 Γεωμετρία της πτέρυγας Δέλτα. Με σκοπό την εξοικονόμηση υπολογιστικής ισχύος, χρησιμοποιήθηκαν συνθήκες συμμετρίας ως προς το επίπεδο συμμετρίας της πτέρυγας και διακριτοποιήθηκε χωρικά το μισό πρόβλημα. Το τελικό υπολογιστικό τρισδιάστατο πλέγμα διακριτοποίησης του πεδίου ροής που χρησιμοποιήθηκε, είναι διαστάσεων και φαίνεται στο σχήμα 5.5. Το ρευστό που χρησιμοποιήθηκε ήταν αέρας και η ταχύτητα εισόδου τέθηκε ίση με.4 msec έτσι, ώστε να προκύπτει ο ίδιος αριθμός Reynolds. Για την υπολογιστική μελέτη o επιλέχθηκε η περίπτωση με τη μεγαλύτερη γωνία προσβολής της πτέρυγας, ίση με 3 ενώ η ταχύτητα του ρευστού στο ακροφύσιο της ακμής φυγής τέθηκε ίση με τη μέγιστη αντίστοιχη o ταχύτητα των πειραμάτων, της οποίας το μέτρο είναι 8.3m sec με γωνία 3 με φορά προς τα κάτω σε σχέση με την επιφάνεια αναρρόφησης. Για τη μοντελοποίηση της ροής χρησιμοποιήθηκαν δύο μοντέλα ιξώδους τύρβης χαμηλού αριθμού Reynolds, το γραμμικό 43

144 μοντέλο LS-LEVM και το μη-γραμμικό CLS-NLEVM. Η πύκνωση σε όλα τα τοιχώματα του αγωγού καθώς και στις επιφάνειες της πτέρυγας ήταν τέτοια που έδινε στην τελική επίλυση y + ίσο με και για τα δύο μοντέλα τύρβης Αριθμητικά αποτελέσματα Σχήμα 5.5. Τομή υπολογιστικού πλέγματος στο επίπεδο συμμετρίας. Όπως διαπιστώνεται από τις πειραματικές μετρήσεις, στην περίπτωση που δεν εισάγεται ρευστό από το ακροφύσιο, το σημείο έναρξης της αποδόμησης βρίσκεται περίπου στο 3% από την κορυφή της γωνίας της χορδής της πτέρυγας και στην ουσία πρόκειται για μία μαζική αποκόλληση του ρευστού, ενώ στην περίπτωση λειτουργίας του ακροφυσίου το σημείο έναρξης της αποδόμησης μετατοπίζεται περίπου στο 5%. Τα αριθμητικά αποτελέσματα της μοντελοποίησης με τα δύο μοντέλα ιξώδους τύρβης με και χωρίς τα jet flaps παρουσιάζονται στη συνέχεια. Από τις ισοϋψείς καμπύλες του μέτρου στροβιλότητας είναι εμφανής η μεγάλη μαζική αποκόλληση του ρευστού από την αρχή της πτέρυγας Δέλτα όπως προβλέπεται και από τις πειραματικές μετρήσεις για την περίπτωση χωρίς τα ακροφύσια και για τα δύο μοντέλα τύρβης. Στην περίπτωση της έγχυσης ρευστού με το ακροφύσιο, η συνολική δομή της αποκόλλησης και το φαινόμενο της απόδόμησης περιορίζεται χωρικά σε μία πιο σταθεροποιημένη και οργανωμένη δομή, όπως φαίνεται και στο σχήμα

145 LEVM NLEVM Σχήμα Ισοϋψείς γραμμές πεδίου στροβιλότητας. Αριστερά: χωρίς jet flap. Δεξιά: με jet flap Το μη-γραμμικό μοντέλο τύρβης υπολογίζει ένα διανυσματικό πεδίο ταχυτήτων με πιο απότομές κλίσεις και για τις δύο περιπτώσεις, ενώ και τα δύο μοντέλα είναι σε θέση να υπολογίσουν και τις δευτερογενείς δίνες που σχηματίζονται στην επιφάνεια της πτέρυγας όπως προβλέπεται από τη θεωρία. Αυτό είναι εμφανές από τα διαγράμματα των διανυσμάτων της ταχύτητας σε κάποιο επίπεδο κάθετο στην επιφάνεια της πτέρυγας κοντά και παράλληλα στην ακμή φυγής, όπως φαίνεται στο σχήμα

146 LEVM NLEVM Σχήμα Διανύσματα ταχύτητας κοντά και παράλληλα στην ακμή φυγής της πτέρυγας. Αριστερά: χωρίς jet flap. Δεξιά: με jet flap Στο σχήμα 5.55 παρουσιάζεται το πεδίο ταχυτήτων σε μία πλάγια τομή της πτέρυγας σε επίπεδο κάθετο στην επιφάνεια αναρρόφησης κοντά σε μία από της δύο ακμές προσβολής. Με την ενεργοποίηση των jet flaps, το σημείο έναρξης της αποδόμησης μετατοπίζεται περίπου στο 5% από την κορυφή της πτέρυγας. Ο περιορισμός της έντονης ανακυκλοφορίας του ρευστού στην επιφάνεια της πτέρυγας Δέλτα, καθώς και η μείωση εμφάνισης των τυρβωδών δομών λόγω της αποδόμησης των δινών έρχονται σε συμφωνία και με τις πειραματικές παρατηρήσεις των Shih και Ding (996). Η ενέργεια που προσδίδεται από το ακροφύσιο με την έγχυση του ρευστού, αυξάνει τη συνολική ταχύτητα του ρευστού επάνω στην πλευρά αναρρόφησης με συνέπεια τη συνολική μείωση της πίεσης στην πλευρά αναρρόφησης που είναι και το επιθυμητό αποτέλεσμα. Η μείωση της πίεσης σταθεροποιεί τις αποκολλώμενες δομές και τις περιορίζει σε μια πιο οργανωμένη ελεγχόμενη εξέλιξη προς τον απόρρου της πτέρυγας. 46

147 LEVM NLEVM Σχήμα Διανύσματα ταχύτητας σε κάθετο επίπεδο στην πλευρά αναρρόφησης, παράλληλο με μία ακμή προσβολής. Αριστερά: χωρίς jet flap. Δεξιά: με jet flap Από τα τελικά αριθμητικά αποτελέσματα δεν μπορεί να εξαχθεί κάποιο συμπέρασμα για το ποιο μοντέλο υπολογίζει πιο ρεαλιστικά το πεδίο των ταχυτήτων και την εξέλιξη των δινών επάνω στην πτέρυγα Δέλτα, καθώς τα πειραματικά δεδομένα βασίζονται περισσότερο σε παρατηρήσεις, απλές καταγραφές και μετρήσεις αποστάσεων για τον καθορισμό των σημείων αποκόλλησης και έναρξης της αποδόμησης των δινών. Το ρευστομηχανικό πρόβλημα είναι ισχυρά ασταθές και τα εξαγόμενα αποτελέσματα είναι απλά στιγμιότυπα σε κάποια χρονική στιγμή της επίλυσης. Η επίδραση της έγχυσης ρευστού στον καθορισμό της αρχής και της εξέλιξης της αποδόμησης των δινών φαίνεται και από τις ισοϋψείς επιφάνειες της αρνητικής ταχύτητας στα σχήματα 5.56 και