Εντοπισµός θέσης Q 3 : = = = Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εντοπισµός θέσης Q 3 : = = = 22. 5 Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90)"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ Ο Πίνακας. δίνει την κατανοµή συχνότητας των µισθών σε χρηµατικές µονάδες τριάντα υπαλλήλων µιας δηµόσιας υπηρεσίας. Πίνακας. Μισθός (χρ. µον.) Αριθµός Υπαλλήλων ίνεται επίσης ότι η τυπική απόκλιση των µισθών τους είναι 0.5 χρ. µον. α. Να υπολογισθούν ο αριθµητικός µέσος και η τεταρτηµοριακή απόκλιση των µισθών. β. Αν υποθέσουµε ότι για την κατανοµή των µισθών 50 υπαλλήλων µιας άλλης δηµόσιας υπηρεσίας ο αριθµητικός µέσος και η τυπική απόκλιση είναι χ. µ. και 3.7 χ.µ. αντίστοιχα να εξετασθεί σε ποια από τις δύο οµάδες υπαλλήλων παρατηρείται µεγαλύτερη διασπορά των µισθών τόσο σε απόλυτους όσο και σε σχετικούς όρους. Μισθός (χ. µ.) Κεντρική Τιµή m Αριθµός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F f m ΣΥΝΟΛΑ α) x n f m n x n * 30 * 30 Εντοπισµός θέσης Q : Άρα το Q ανήκει στην η τάξη (διάστηµα 70 - < 80) n * 30 *3 90 Εντοπισµός θέσης Q 3 :. 5 Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90) Υπολογισµός τιµής Q :

2 Q Q fq Q ( 7.5 7) δ n* 0.5 Q L + F ( 0.036) Υπολογισµός τιµής Q 3 : Q3 ΠQ 3 fq 3 3 (,5 ) δ n* 5 Q3 L + F (0,3) Q 83 Υπολογισµός τεταρτηµοριακής απόκλισης: Q3 Q Q 6.3 Q 6.3 β) s 0.5 C *00 *00 C 3.5% x s 3.7 C *00 *00 V.0% x < : Άρα σε απόλυτες τιµές η αρχική οµάδα παρουσιάζει µικρότερη διασπορά. C > C : Άρα σε σχετικές τιµές η αρχική οµάδα παρουσιάζει µεγαλύτερη διασπορά. ΑΣΚΗΣΗ Τα ακόλουθα δεδοµένα εκφράζουν τον αριθµό των αυτοκινήτων που φτάνουν σε ένα σταθµό διοδίων σε 0 τυχαία επιλεγµένα χρονικά διαστήµατα 0 λεπτών. Να υπολογιστούν:. η διάµεσος. το εύρος το τρίτο τεταρτηµόριο των δεδοµένων Κατατάσσω τα δεδοµένα κατά αύξουσα τάξη: 5, 8, 0,, 4, 6, 7, 30, 33, 34

3 . M n n+ n + n + ( 6 4) 4 + * M 5. R max mn 34 5 R 9 n 5 + ( ) 6 5 Q 3 3( n+ ) 4 3* * Q ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια αλυσίδα καταστηµάτων έχει κατατάξει τα προϊόντα που διαθέτει σε 5 βασικές κατηγορίες. Ο παρακάτω Πίνακας παρουσιάζει την αξία των ετησίων πωλήσεων της εταιρείας ανά κατηγορία προϊόντων για το έτος 997 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΞΙΑ ΠΩΛΗΣΕΩΝ (σε χ.µ.) Να υπολογιστεί ο βαθµός συγκέντρωσης και να σχολιαστεί. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ () ΣΥΝΟΛΑ Θα χρησιµοποιήσω το συντελεστή Gn Hrschman ο οποίος εκφράζει το βαθµό συγκέντρωσης για δεδοµένα ταξινοµηµένα µε βάση κάποιο ποιοτικό χαρακτηριστικό. Η γενική του µορφή είναι : C 00 n

4 Στην προκειµένη περίπτωση: C C 00*0.57 C 57.0 Όπως είναι γνωστό ο συντελεστής C παίρνει γενικά τιµές στο διάστηµα: 00 [ : τέλεια ισοκατανοµή, 00: απόλυτη συγκέντρωση]. n Στη συγκεκριµένη περίπτωση ο συντελεστής C παίρνει τιµές στο διάστηµα: [ , 00]. 5 Συνεπώς συµπεραίνουµε ότι υπάρχει ελαφρά συγκέντρωση των ετησίων εξαγωγών της βιοµαχανίας. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ο Πίνακας 4. δίνει την κατανοµή συχνοτήτων των µηνιαίων υπερωριακών αποδοχών 00 εργαζοµένων µιας επιχείρησης. Μηνιαίες Αποδοχές (χ.µ.) Πίνακας 4. Αριθµός Εργαζοµένων 0-< < < <60 60-<70 70-<80 30 ι. Το Σωµατείο των εργαζοµένων της εταιρείας καταγγέλλει τη ιοίκηση για άνιση κατανοµή των υπερωριών µεταξύ των εργαζοµένων. Με βάση τα στοιχεία του Πίνακα 4. θα συµφωνούσατε ή όχι µε τις καταγγελίες του Σωµατείου; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. ιι. Να προσδιοριστεί το διάστηµα το οποίο δεν περιλαµβάνει το 30% των µικρότερων παρατηρήσεων και το 5% των µεγαλυτέρων.

5 Μισθός (χ. µ.) Κεντρική Τιµή m Αριθµός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F f m n F ( n F) F 0 < < < < < < ΣΥΝΟΛΑ () Για να διαπιστωθεί αν ευσταθούν οι καταγγελίες του Σωµατείου περί ανισοκατανοµής των αποδοχών θα πρέπει να υπολογισθεί ο Συντελεστής Gn, για δεδοµένα ταξινοµηµένα µε βάση κάποιο ποσοτικό χαρακτηριστικό. Η γενική του µορφή είναι: g d / x k δ F (d: µέση διαφορά Gn) n όπου d ( n F ) Στη προκειµένη περίπτωση: d k f m n *0 *0 * * *00 50 d Άρα g g (Γενικά: 0 g ) * Συνεπώς συµπεραίνουµε ότι η ανισοκατανοµή των αποδοχών είναι περίπου το 5% της µέγιστης δυνατής ανισοκατανοµής και κατά συνέπεια οι ισχυρισµοί του Σωµατείου ευσταθούν σε µεγάλο βαθµό. ) Εντοπισµός θέσης D 3 : n 00*3 30 Άρα το D3 ανήκει στην η τάξη 0 0 (διάστηµα 0-<30) Υπολογισµός τιµής D 3 : δ n* 0 30 D L + F 0 + ( 30 0) 0 + D D D3 3 fd Εντοπισµός θέσης Q 3 :

6 n * 4 00 * Άρα το Q 3 ανήκει στην 6 η τάξη (διάστηµα 60 - < 70) Υπολογισµός τιµής Q 3 : δ n* 0 50 Q L + F 70+ ( 75 70) Q3 Q3 fq 3 Q Άρα το ζητούµενο διάστηµα είναι (7.5, 7.67). ΑΣΚΗΣΗ 5 Τα ποσοστά κέρδους των 4 δραστηριοτήτων ( - 4 ) µιας εταιρείας για το 998 ήταν 4.%, 5.5%, 7.4%, και 0.% επί των εσόδων αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το µέσο ποσοστό κέρδους της εταιρείας αν γνωρίζουµε ότι τα έσοδα της από τις τέσσερις αυτές δραστηριότητες για το 998 ήταν 300, 00, 50 και 30 εκ. δρχ. αντίστοιχα. Προϊόν % Κέρδους (Χ ) Έσοδα Πωλήσεων (W ) W ΣΥΝΟΛΑ Θα χρησιµοποιήσω σταθµικό αριθµητικό µέσο: Άρα µ 5.9 µ 5.% 58 µ Ν N W W Ν 7. Σηµείωση: Ο (απλός) αριθµητικός µέσος δίνει µ µ 6.8%. N 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 6 Τα ακόλουθα δεδοµένα εκφράζουν τα βάρη (σε κιλά) 6 τυχαία επιλεγµένων φοιτητών από αυτούς που είναι µέλη του αθλητικού τµήµατος της Σχολής τους. Να κατασκευαστεί το ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου των βαρών και να σχολιαστεί Κατατάσσω τα δεδοµένα κατά αύξουσα τάξη 57, 58, 64, 65, 68, 70, 7, 73, 80, 8, 8, 85, 85, 86, 88, , 8 6 4, 5, 8 7 0,, 3 8 0,,, 5, 5, 6, Το ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου µας δείχνει ότι οι περισσότεροι από τους φοιτητές του Αθλητικού Τµήµατος έχουν βάρος µεταξύ 80 και 90 κιλά. ΑΣΚΗΣΗ 7 Ο Πίνακας 7. δίνει την κατανοµή συχνότητας του αριθµού εργατικών ατυχηµάτων ανά εργατοώρες σε ένα τυχαίο δείγµα 50 επιχειρήσεων ενός βιοµηχανικού κλάδου. Πίνακας 7. Ατυχήµατα ανά 000 εργατοώρες.45 -< < < < < < 3.5 Αριθµός Επιχειρήσεων Επιπλέον γνωρίζουµε ότι για τα δεδοµένα του Πίνακα η διάµεσος του αριθµού των εργατικών ατυχηµάτων ανά 000 εργατοώρες είναι.6. Με βάση τα παραπάνω:. Να υπολογισθεί η τεταρτηµοριακή απόκλιση του αριθµού των ατυχηµάτων.. Να διερευνηθεί η κατανοµή ως προς τη συµµετρία της και να σχολιασθεί.

8 Ατυχήµατα Ανά 000 εργατώρες Αριθµός επιχειρήσεων.45- < < < < < < ΣΥΝΟΛΑ 50 f F Τεταρτηµοριακή απόκλιση: Q 3 Q Q Εντοπισµός θέσης Q : n * 4 50*.5 4 Άρα το Q ανήκει στην η τάξη (διάστηµα.75 - <.05) Υπολογισµός τιµής Q : δ n 0.3 Q LQ +.75 (.5 3) FQ Q Εντοπισµός θέσης Q 3 : n * 4 3 * Άρα το Q 3 ανήκει στην 4 η τάξη (διάστηµα.35 - <.65) Υπολογισµός τιµής Q 3 : Q δ n * 0.3 LQ + Φ.35 + (37.5 9) ΠQ Q f Q 3

9 Άρα Q Q Q Q β) Συµµετρία (.63.6) (.6.98) ( Q M) ( M Q ) Q3 Q Όπως είναι γνωστό ο συντελεστής παίρνει γενικά τιµές στο διάστηµα [-: έντονη αρνητική ασυµµετρία, +: έντονη θετική ασυµµετρία]. Παρατηρούµε ότι υπάρχει ελαφρά θετική ασυµµετρία και συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν οριακά περισσότερες επιχειρήσεις µε µικρό αριθµό εργατικών ατυχηµάτων. ΑΣΚΗΣΗ 8 Μια βιοµηχανία Β προµηθεύεται ανταλλακτικά για τις µηχανές της από δύο προµηθευτές Π και Π σε ποσοστό 65% και 35% αντίστοιχα. Η ποιότητα των ανταλλακτικών διαφέρει ανάµεσα στις δύο εταιρείες όπως διαπιστώνεται από τα ιστορικά στοιχεία που τηρούνται στο τµήµα Ποιοτικού Ελέγχου της βιοµηχανίας Β (Πίνακας 8.). Πίνακας 8. % Αποδεκτών % Ελαττωµατικών Ανταλλακτικών Ανταλλακτικών Προµηθευτής Π 98 Προµηθευτής Π 95 5 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία: α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β είναι αποδεκτό. β. Αν ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β κριθεί ως ελαττωµατικό να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι προέρχεται από τον Προµηθευτή Π. Έστω Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Α το ενδεχόµενο αποδεκτού προϊόντος Ε το ενδεχόµενο ελαττωµατικού προϊόντος

10 ίνονται ότι: Ρ(Π )0,65, Ρ(Π )0,35 Ρ(Α/Π )0.8, Ρ(Ε/Π )0.0, Ρ(Α/Π )0.95,Ρ(Ε/Π )0.05 α) Ζητάµε Ρ(Α) Από το Θεώρηµα της Ολικής Πιθανότητας έχουµε: Ρ(Α) Ρ(Π )Ρ(Α/Π )+Ρ(Π )Ρ(Α/Π )(0.65)(0.98)+( 0.35)(0.95) Ρ(Α) Άρα Ρ(Ε) Ρ(Ε) β)ζητάµε Ρ(Π /Ε) Από το Θεώρηµα ayes έχουµε: Ρ( Π Ρ( Π Ρ( Π ) Ρ( Ε / Π / Ε) Ρ( Ε) / Ε) ) (0.35)(0.05) ΑΣΚΗΣΗ 9 Έρευνα σχετικά µε τα αίτια των τροχαίων ατυχηµάτων αποκάλυψε ότι: - 60% του συνόλου των ατυχηµάτων γίνονται τη νύκτα. - Από τα νυκτερινά ατυχήµατα 65% οφείλονται στο αλκοόλ ενώ από τα ατυχήµατα που γίνονται κατά τη διάρκεια της ηµέρας µόνο το 35% οφείλεται στο αλκοόλ. Να υπολογισθούν:. Το ποσοστό του συνόλου των ατυχηµάτων που οφείλονται στο αλκοόλ.. Από τα ατυχήµατα που οφείλονται στο αλκοόλ το ποσοστό εκείνων που γίνονται νύκτα. Ενδεχόµενα και αντίστοιχες πιθανότητες Ν: το ενδεχόµενο ατυχήµατος κατά τη διάρκεια της νύχτας Ν : το ενδεχόµενο ατυχήµατος κατά τη διάρκεια της ηµέρας Α: το ενδεχόµενο ατυχήµατος που οφείλεται στο αλκοόλ ίνεται ότι : P(/N) 0.65, P(/N ) 0.35, P(N) 0.6, P(N ) Ζητάµε P() Από το θεώρηµα ολικής πιθανότητας έχουµε: P() P(N) * P(/N) + P(N ) + Ρ(Α/Ν ) 0.6 * *0.35 P() P() 0.53 Άρα το ποσοστό των ατυχηµάτων που οφείλονται στο αλκοόλ είναι 53%.. Ζητάµε Ρ(Ν/Α) Από το θεώρηµ α του ayes έχουµε:

11 P( N) P(N/) ( I ) P( ) Πρέπει να υπολογίσω το P( N) P( / N) P( N) P( N) P( N) 0.39 P( N) P( / N) * P( N) 0.65* Από ( I ) P(N/) P ( n / ) Άρα από τα ατυχήµατα που οφείλονται στο αλκοόλ το ποσοστό εκείνων που γίνονται τη νύχτα είναι 74%. ΑΣΚΗΣΗ 0 α. Να υπολογισθεί το πλήθος των αριθµών κυκλοφορίας αυτοκινήτων που µπορούν να σχηµατισθούν από 3 γράµµατα του ελληνικού αλφαβήτου και ένα τετραψήφιο αριθµό. β. Ένα κουτί περιέχει 6 κόκκινους κύβους αριθµηµένους από 6 και 6 µαύρους κύβους επίσης αριθµηµένους από 6. Αν επιλεγούν τυχαία κύβοι να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι έχουν διαφορετικό χρώµα και αριθµό. γ. Πόσοι τετραψήφιοι αριθµοί µπορούν να σχηµατισθούν από τα ψηφία 0,,...,9 αν το τελευταίο ψηφίο του σχηµατιζόµενου αριθµού πρέπει να είναι πέντε και δεν επιτρέπονται επαναλήψεις του ίδιου ψηφίου µέσα σε έναν αριθµό α) υνατά γράµµατα:4 (Α-Ω) - υνατοί αριθµοί:0 (0-9) Η σειρά µας ενδιαφέρει (ΑΒΓ 34 ΑΓΒ34) Άρα θα χρησιµοποιήσουµε. ιατάξεις: Πλήθος αριθµών 4! 0! Ρ(4,3) * Ρ(0,4) * *3* 4*7*8*9* 0! 6! Πλήθος αριθµών β) Επιλέγουµε τυχαία κύβους Έστω Α το ενδεχόµενο να έχουν διαφορετικό χρώµα και αριθµό Ρ(Α) υνατοί Τρόποι επιλογής κύβων µε διαφορετικό χρώµα και αριθµό

12 υνατοί τρόποι επιλογής κύβων από τους 6! 5! * C(6,) * C(5,)!5!!!4! C(,)! 0! 6*5 * * Ρ( Α) 0, γ)χ Χ Χ Χ Ψηφίο (0-9, εκτός 0,5) Τρόπος επιλογής Ρ(8,)C(8,) ο Ψηφίο (0-9, εκτός ψηφίο,5)τρόπος επιλογής Ρ(8,)C(8,) 3 ο Ψηφίο (0-9, εκτός, ψηφίο,5) Τρόπος επιλογής Ρ(7,)C(7,) 4 ο Ψηφίο οπωσδήποτε 5. Τρόπος επιλογής Άρα οι δυνατοί τρόποι σχηµατισµού του 4ψήφιου αριθµού : Ρ(8,)*Ρ(8,)*Ρ(7,)* 8! 8! 7! * * * (8 )! (8 )! (7 )! ο 8! * 7! ο ο ο 8! 7! * 8*8*7 * 448 7! 6! ΑΣΚΗΣΗ Ένα πολυκατάστηµα έγινε κατά τους τελευταίους µήνες στόχος πολλών µικροκλοπών από υποτιθέµενους πελάτες. Η ιεύθυνση του καταστήµατος αύξησε τα µέτρα ασφαλείας και αυτό είχε σαν αποτέλεσµα να συλληφθούν επ αυτοφώρω οι δράστες 50 τέτοιων µικροκλοπών. Σύµφωνα µε τα στοιχεία της Υπηρεσίας Ασφάλειας του καταστήµατος 0 από τους συλληφθέντες είναι άντρες και 30 γυναίκες. Επιπλέον, από τους άνδρες 5 είναι κάτω των 0 ετών, 50 µεταξύ 0 και 40 ετών και 45 πάνω από 40 ετών. Οι αντίστοιχοι αριθµοί για τις γυναίκες είναι 30, 65 και 35. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθούν: α. β. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης είναι άνδρας. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης άνω των 40 ετών είναι γυναίκα. γ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος άνδρας δράστης είναι κάτω των 0 ετών. δ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών.

13 Πινακοποιώντας τα δεδοµένα της άσκησης παίρνουµε τον ακόλουθο πίνακα. Κατανοµή δραστών κατά φύλο / ηλικία Ηλικία Κάτω των 0 ( 0 ) Φύλο Άνδρες 5 (Α) 0.0 Γυναίκες 30 (Γ) 0. Σύνολα Μεταξύ 0 και 40 (0 40) Άνω των 40 (40 + ) Σύνολα α) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι άνδρας )Ρ(Α) 0.48 β) Ρ(ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης πάνω από 40 να είναι γυναίκα ) Ρ( τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι Γ / 40 + ) Ρ( Γ / 40 + ) + P( Γ 40 ) P(40 ) 0.3 γ) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος άνδρας δράστης να είναι κάτω των 0 ετών ) Ρ( τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι 0 / Α ) Ρ'( 0 / Α ) P(0 Α) P( ) δ) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών ) Ρ( Α ή 0 ) Ρ(Α 0 ) Ρ(Α)+ Ρ( 0 )-Ρ(Α 0 ) ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογισθούν πόσοι αριθµοί µικρότεροι από το 500 µπορούν να σχηµατισθούν χρησιµοποιώντας όλα ή ορισµένα από τα ψηφία 3,4,5,6 και. 7. Επανάληψη του ίδιου ψηφίου σ' έναν αριθµό δεν επιτρέπεται. Οι µικρότεροι από το 500 αριθµοί (Α) που µπορούν να σχηµατισθούν είναι:

14 Όλοι οι µονοψήφιοι Όλοι οι διψήφιοι Όλοι οι τριψήφιοι που αρχίζουν από 3 ή ( Μ) ( ) ( Τ) Οι µονοψήφιοι είναι 5 (όσα και τα ψηφία: 3, 4, 5, 6, 7) Μ 5 5! (ή Μ Ρ (5,) 5 4! 5! Οι διψήφιοι είναι: Ρ(5,) 5* 4 0 3! 5! 4! Ρ ) 4! 3! ( ή Ρ ( 5,)* ( 4,) * 5* 4 0 4! Οι τριψήφιοι είναι: Τ * Ρ(4,) * * 4 * 3 Τ 4! 4! 3! ( ή Τ *Ρ(4,)* Ρ(3,) * * *4*3 4) 3!! Άρα το σύνολο των αριθµών είναι Α Μ + + Τ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχετικές έρευνες έχουν δείξει ότι το 45% των τηλεθεατών που παρακολουθούν µια εκποµπή παρακολουθούν επίσης και τα διαφηµιστικά µηνύµατα που προηγούνται της εκποµπής. Με βάση τα αποτελέσµατα των ερευνών αυτών και χρησιµοποιώντας ένα τυχαίο δείγµα 3 τηλεθεατών που παρακολούθησαν µια τηλεοπτική εκποµπή να βρεθεί η κατανοµή πιθανότητας του αριθµού των ατόµων που παρακολούθησαν και τα διαφηµιστικά µηνύµατα που προηγήθηκαν και στη συνέχεια να υπολογισθούν ο αριθµητικός µέσος και η διακύµανση της. Κατανοµή Πιθανότητας Στοιχεία για τον υπολογισµό Ε(Χ), V() Αριθµός Τηλεθεατών Ρ(Χ ) P( ) P( ) Χ Σύνολα Αριθµητικός Μέσος: µ E x) P( ) (

15 ιακύµανση: σ P( ) µ V ( ) 0, (.35) ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας πωλητής επισκέπτεται καθηµερινά διάφορους υποψήφιους πελάτες για να πουλήσει τα δύο προϊόντα Π και Π που αντιπροσωπεύει. Από ιστορικά στατιστικά στοιχεία που έχει συγκεντρώσει ο πωλητής εκτιµά ότι σε κάθε του επίσκεψη. Η πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π είναι τριπλάσια από την πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π.. Η πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π είναι διπλάσια από την πιθανότητα πώλησης και των δύο προϊόντων.. Η πιθανότητα πώλησης και των δύο προϊόντων είναι ίση µε την πιθανότητα αποτυχίας ( µη πώλησης). Με βάση τα στοιχεία αυτά και δεδοµένου ότι το κέρδος από την πώληση του καθενός από τα προϊόντα Π και Π είναι 00 και 00 δραχµές αντίστοιχα, α Να βρεθεί η κατανοµή πιθανότητας του κέρδους του πωλητή ανά επίσκεψη και να υπολογισθεί ο αριθµητικός µέσος και η τυπική απόκλιση. β Να υπολογισθεί η πιθανότητα σε δύο τυχαία επιλεγµένες επισκέψεις ο πωλητής να έχει µηδενικό κέρδος στην πρώτη και κέρδος 300 δραχµών στη δεύτερη. Έστω Χ το κέρδος της επίσκεψης του πωλητή. Τα δυνατά ενδεχόµενα µιας τυχαίας επίσκεψης του πωλητή και τα αντίστοιχα κέρδη είναι τα ακόλουθα: Ενδεχόµενο Π : Πώληση προϊόντος Π Κέρδος 00δρχ. Ενδεχόµενο Π : Πώληση προϊόντος Π Κέρδος 00δρχ. Ενδεχόµενο Β: Πώληση προϊόντων Π και Π Κέρδος 300δρχ. Ενδεχόµενο Α: Αποτυχία επίσκεψης (Μη πώληση) Κέρδος 0δρχ. Σύµ φωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε: Ρ(Π ) 3Ρ(Π ) () Ρ(Π ) Ρ(Β) () Ρ(Β) Ρ(Α) (3) Άρα η σχέση Ρ(Π ) + Ρ(Π ) + Ρ(Β) + Ρ(Α) γίνεται:

16 3Ρ(Π ) + Ρ(Π ) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 3 * Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 6Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 0Ρ(Β ) Ρ(Β) /0 Συνεπώς: Από (3) Ρ(Α) Ρ(Β) /0 Ρ(Α) /0 Από () Ρ(Π ) Ρ(Β) * /0 Ρ(Π ) /0 Από () Ρ(Π ) 3Ρ(Π ) 3 * /0 Ρ(Π ) 6/0 Με βάση τα παραπάνω η κατανοµή πιθανότητας της µεταβλητής Χ δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί: Κατανοµή Πιθανότητας Στοιχεία για τον υπολογισµό Ε(Χ), V() Κέρδος Πιθανότητα Ενδεχόµενο Επ ίσκεψης Κέρδους Χ P( ) P( ) Επίσκεψης ( ρχ.) P() Χ Π 00 6/ *6/ *6/ Π 00 / */ */ Β 300 / */ */ Α 0 / Σύνολα x P x ) 30 x P( x ) 3000 ι Α ριθµητικός Μέσος: µ Ε 4 ( x ) P( ) 30 µ Ε( x) 30 Τ υπική Απόκλιση: σ 4 ι P ( ) µ σ 3000 ( 30) σ 6.00 σ V ( ) 78. β) Ζητάµε τη πιθανότητα Ρ(Μηδενικό Κέρδος στη η επίσκεψη και κέρδος 300δρχ. στη η ) Ρ(Α Β) Ρ(Α) * Ρ(Β) /0*/0 /00 0.0

17 ΑΣΚΗΣΗ 5 Σε έρευνα που έγινε από τη ιεύθυνση Μελετών της Τράπεζας Τ διαπιστώθηκε ότι το ύψος των λογαριασµών όψεως που τηρούνται σ αυτή ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 500 χ. µ. και τυπική απόκλιση 50 χ. µ. α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος λογαριασµός έχει ύψος µεταξύ 300 και 700 χ. µ. β. Η Τράπεζα στο πλαίσιο της πολιτικής προσέλκυσης νέων πελατών προγραµµατίζει να προσφέρει υψηλότερο επιτόκιο σε πελάτες που το µέσο ύψος του λογαριασµού τους υπερβαίνει κάποιο µέσο Π. Αν το µέτρο αυτό δεν πρέπει να επεκταθεί σε περισσότερους από το 5% των πελατών της να υπολογισθεί ποιο θα πρέπει να είναι το ποσό Π. Έστω Χ το ύψος ενός τυχαίου λογαριασµού Χ ~ Ν (µ500, σ50) Γνωρίζουµε ότι το Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή. α) Ζητάµε: Ρ 37 µ µ 770 µ σ σ σ ( 37 < < 770) Ρ < < Ρ < Ζ < Ρ < Ζ < Ρ (. < Ζ <.80) Ρ( Ζ <.8) Ρ( Ζ <.) ( Ζ <.8) ( Ρ( Ζ <.) ) Ρ( Ζ <.8) + Ρ( Ζ <.) Ρ ( 37 < < 770) Ρ β) Έστω Π το ζητούµενο ποσό. Θέλουµε Ρ(Χ>Π) 0.0 Ρ( > Π) 0.0 Ρ( < Π) 0.99 µ Ρ < σ Π µ Π µ 0.99 Ρ Ζ < 0.99 σ σ Π µ.33 σ Π µ.33* σ Π µ +.33* σ Π *50 Π Π

18 ΑΣΚΗΣΗ 6 Μία στρατιωτική µονάδα θα δεχθεί την νεοσύλλεκτους για κατάταξη και πρέπει να προετοιµάσει τις στολές τους. Σύµφωνα µε τα υπάρχοντα ιστορικά στοιχεία για να καλυφθούν οι ενδυµατολογικές ανάγκες όλων των νεοσύλλεκτων οι στολές τους θα πρέπει να χωρισθούν στις παρακάτω τέσσερις κατηγορίες: α. Στολές για άνδρες ύψους µικρότερου των 65 εκ. β Στολές για άνδρες ύψους µεταξύ 65 εκ. και 7 εκ. γ Στολές για άνδρες ύψους µεταξύ 7 εκ. και 80 εκ. δ Στολές για άνδρες ύψους µεγαλυτέρου των 80 εκ. Αν από ιστορικά στοιχεία γνωρίζουµε επίσης ότι το ύψος των νεοσύλλεκτων ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 68 εκ. και τυπική απόκλιση 5 εκ. να προσδιοριστεί ο αριθµός των στολών που θα χρειασθούν για τις κατηγορίες β και δ. Έστω Χ η τυχαία µεταβλητή η οποία εκφράζει το ύψος των νεοσύλλεκτων. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος Χ Ν (µ68cm, σ5cm) α) 65 µ µ 7 µ P(65 7) P Ρ Ζ σ σ σ Ρ Ζ Ρ( 0,6 Ζ 0,8) Ρ( Ζ 0,8) Ρ( Ζ 0,6) Ρ( Ζ 0,8) 5 5 Ρ( Ζ 0,8) + Ρ( Ζ 0,6) 0,788+ 0,757,538 Ρ(65 7) 0,538 [ Ρ( Ζ 0,6) ] Άρα θα χρειαστούν 0000*0, στολές για την κατηγορία β, δηλαδή για νεοσύλλεκτους ύψους µεταξύ 65 και 7 εκατοστών. β) µ 80 µ Ρ( > 80) Ρ( Χ 80) Ρ Ρ Ζ Ρ( Ζ,4) σ σ 5 0,998 0,008 Ρ( Χ > 80) 0,008 Άρα θα χρειαστούν 0000*0,00864 στολές για την κατηγορία δ, δηλαδή για νεοσύλλεκτους ύψους µεγαλύτερου των 80 εκατοστών

19 ΑΣΚΗΣΗ 7 Έρευνες έδειξαν ότι το 40% των επισκεπτών µουσείων αγοράζουν και κάποιο αναµνηστικό αντικείµενο. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι σε τυχαία επιλεγµένους επισκέπτες ενός µουσείου. το πολύ αγόρασαν κάποιο αναµνηστικό. τουλάχιστον 3 αγόρασαν κάποιο αναµνηστικό. Έστω Χ ο αριθµός των επισκεπτών που αγοράζουν κάποιο αναµνηστικό. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Χ ~ ιωνυµική Κατανοµή µε p P(x /n,p0.40) Ρ(x0/n,p0,40) + P(x/n,p0,40) + P(x/n,p0,40) 0,00+0,074+0, P(x 3/n, p0.40) P(x<3/n, p0.40) -[P(x0/n, p0.40)+ P(x/n, p0.40)+p(x/n, p0.40)] -[ ] ΑΣΚΗΣΗ 8 Μία νέα γραµµή παραγωγής παρουσιάζει µέσο όρο 7 βλαβών ανά βδοµάδα (5 εργασίµων ηµερών). Να υπολογιστεί η πιθανότητα: ) Σε µια τυχαία επιλεγµένη εβδοµάδα να παρουσιαστούν το πολύ τρεις βλάβες ) Ότι σε ένα τυχαία επιλεγµένο διήµερο θα παρουσιαστούν τουλάχιστον βλάβες Έστω Χ ο αριθµός βλαβών ανά εβδοµάδα Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Χ ~ Κατανοµή Posson µε λ 7. P(x 3/ λ7) P(x 0/ λ7)+ P(x/ λ7)+ P(x/ λ7)+ P(x3/ λ7) λ 7 βλάβες ανά εβδοµάδα 5 ηµερών λ. 4 βλάβες ανά ηµέρα 5 λ.4 *.8 βλάβες ανά διήµερο Έστω Υ ο αριθµός βλαβών ανά διήµερο Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Υ ~ Κατανοµή Posson µε λ.8 P(x / λ.8) - P(x</ λ.8) -[ P(x0/ λ.8) + P(x/ λ.8)] -[ ]

20 ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο καθηγητής Στατιστικής ενός Τµήµατος ιοίκησης Επιχειρήσεων θέλει να συγκρίνει τη διασπορά των βαθµολογιών των φοιτητών του Τµήµατος στα µαθήµατα Λογιστική και Κοινωνιολογία. Μελετώντας το θέµα διαπίστωσε ότι σε ένα τυχαίο δείγµα 6 φοιτητών που είχαν εξεταστεί στην Λογιστική η µέση βαθµολογία ( σε κλίµακα 0 00 ) ήταν 75 µονάδες και η τυπική απόκλιση 5 µονάδες. Αντίστοιχα σ ένα τυχαίο δείγµα 3 φοιτητών που είχαν εξεταστεί στην Κοινωνιολογία η µέση βαθµολογία ήταν 70 µονάδες και η διακύµανση 00 µονάδες. Με βάση τα στοιχεία αυτά και µε δεδοµένο ότι οι βαθµολογίες και στα δυο µαθήµατα ακολουθούν κανονική κατανοµή να κατασκευασθεί ένα 95% διάστηµ α εµπιστοσύνης για το λόγο των διακυµάνσεων των βαθµολογιών στα δύο µαθήµατα. Έστω Χ και Υ τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν τη βαθµολογία των φοιτητών στα µαθήµ ατα Λογιστική και Κοινωνιολογία αντίστοιχα. Οι µεταβλητές αυτές ακολουθούν κανονική κατανοµή και επιπλέον δίνεται ότι: Για τη Λογιστική n 6, 5, 75 και Για την Κοινωνιολογία: m3, 00, Y 70. Y Με βάση τα δεδοµένα αυτά θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λόγο διακυµάνσεων των βαθµολογιών. Γενικός τύπος : F a *, Fa, n, m y *, n, m y α Από τα δεδοµένα του προβλήµατος έχω: α α n 6 n- 5, m3 m-, x 5 5, 00, Y,5 y Y 5 00 Άρα ο γενικός τύπος γίνεται: [ F0. 975,5, *.5, F 0.05,5, *.5] *.5, *.5 F0.97 5,5, F 0.975,,5 F 0.975,5, *.5, F 0.975,,5 *.5 *.5, *.5 0.7, [ 6.66] Άρα το 95% ιάστηµα Εµπιστοσύνης των διακυµάν σεων της βαθµολογίας των φοιτητών στα δύο µ 0.7, 6.66 αθήµατα είναι: [ ]

21 ΑΣΚΗΣΗ 0 ύο φαρµακοβιοµηχανίες έχουν παράγει ανεξάρτητα δύο διαφορετικά φάρµακα Α και Β για την ανακούφιση ασθενών που πάσχουν από αρθριτικά. Πριν τα θέσουν σε κυκλοφορία θέλησαν να δοκιµάσουν την αποτελεσµατικότητα τους. Το φάρµακο Α δοκιµάστηκε σε 00 ασθενείς και έδωσε µέσο χρόνο ανακούφισης 8.9 ώρες µε τυπική απόκλιση. ώρες. Το φάρµακο Β δοκιµάστηκε σε 8 ασθενείς και έδωσε µέσο χρόνο ανακούφισης 7.9 ώρες µε τυπική απόκλιση.8 ώρες. α. Να διερευνηθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας 0.05 αν ο χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Α είναι σηµαντικά µεγαλύτερος από αυτόν του Β. β. Σε περίπτωση που αποδειχθεί ότι ο χρόνος ανακούφισης του Α είναι πράγµατι µεγαλύτερος από αυτόν του Β να εξετασθεί ποιος θα έπρεπε να ήταν ο µέσος χρόνος ανακούφισης του δείγµατος στο οποίο χορηγήθηκε το φάρµακο Β ώστε να µην υπάρχει σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο φαρµάκων. α) Έστω Χ Α και Χ Β οι τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν το µέσο χρόνο ανακούφισης που δίνουν τα φάρµακα Α και Β αντίστοιχα. ίνεται ότι: Για το φάρµακο Α: n 00, 8,9, Α Για το φάρµακο Β: n 8, 7.9,,8 Β Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η µ µ 0( µ µ ) 0 Α Β Α Β έναντι της εναλλακτικής: ( ) Η : µ µ 0 µ µ Α Β > Α> Β σε επίπεδο σηµαντικότητας α0.05 Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Β ήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Από το σχετικό διάγραµµα έχουµε: σα,σ Β γνωστές; ΟΧΙ σ Α σ Β ΟΧΙ n Α 30 ΝΑΙ n 30 ΝΑΙ

22 Χ Α, Χ Β ~ Ν ΝΑΙ Άρα η Συνάρτηση Ελέγχου είναι: Z n n Το αντίστοιχο Κριτήριο Ελέγχου είναι: Αποδοχή της Η 0 αν Ζ 0 <Ζ -α, διαφορετικά Απόρριψη της Η 0 Β ήµα : Υπολογισµός των Ζ, Ζ -α n n 8 9 Z o + (0.) ( 0.0) Z o 3.45 Άρα α0.05 α 0.95 Ζ -α Ζ Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Ζο3.45>.64Ζ -α Άρα απορρίπτουµε την Η 0 και αποδεχόµαστε την Η. Με άλλα λόγια αποδεχόµαστε ότι ο χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Α είναι σηµαντικά µ εγαλύτερος από αυτόν του Β β)για να µην υπήρχε διαφορά µεταξύ των χρόνων ανακούφισης των δυο φαρµάκων θα έπρεπε Ζ 0 <.64 Z,64 <, <.64*0.9 <.64*0.9 0 < >.9.64* > > 8.64*0.9 > 8.43 Άρα θα έπρεπε ο µέσος χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Β να είναι µεγαλύτερος από 8.43 ΑΣΚΗΣΗ

23 Η εταιρεία Χ παρασκευάζει και συσκευάζει στιγµιαίο καφέ σε βάζα των οποίων η ετικέτα γρά φει «καθαρό βάρος 500 γραµµάρια». Για τη συσκευασία, η οποία γίνεται αυτόµατα, χρησιµοποιείται η µηχανή Κ η οποία σύµφωνα µε τις προδιαγραφές του κατασκευαστή της σε κάθε βάζο καφέ τοποθετεί κατά µέσο όρο 500 γραµµάρια. Πρόσφατα η εταιρεία δέχτηκε καταγγελίες πολλών καταναλωτών ότι το περιεχόµενο βάζων καφέ που αγόρασαν ήταν µ ικρότερο από το αναγραφόµενο. Προκειµένου να διερευνήσει τις καταγγελίες αυτές η εταιρεία χρησιµοποίησε δείγµα 5 βάζων και διαπίστωσε ότι το µέσο βάρος τους ήταν 480 γρα µµάρια και η δειγµατική απόκλιση 30 γραµµάρια. α. Με βάση τα στοιχεία αυτά και αν υποτεθεί ότι το περιεχόµενο των βάζων που συσκευάζει η µηχανή ακολουθεί κανονική κατανοµή να εξετασθεί αν ευσταθούν οι καταγγελίες των καταναλωτών σε επίπεδο σηµαντικότητας β. Σε περίπτωση που διαπιστωθεί ότι οι καταγγελίες των καταναλωτών ευσταθούν η εταιρεία έχει αποφασίσει να αλλάξει τις ετικέτες ώστε να συµφωνούν µε το πραγµατικό περιεχόµενο των βάζων. Πόσο είναι το νέο περιεχόµ ενο που θα πρέπει να αναγράφεται; Έστω Χ το περιεχόµενο που τοποθετεί η µηχανή στα βάζα του καφέ. Σύµφωνα µε τις προδιαγραφές της Χ ~ Ν (µ 500, σ ;) Παίρνουµε δείγµα n 5και βρίσκουµ ε ότι x 480, s 30. Με βάση τα δεδοµένα αυτά θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η 0 : µ 500 έναντι της εναλλακτικής Η : µ <500 Σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.05 Β ήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Από το σχετικό διάγραµµα έχουµε: σ γνωστή; ΟΧΙ n 30 ; ΟΧΙ Άρα: Συνάρτηση Ελέγχου Χ ~ Ν ; ΝΑΙ χ µ Τ, x ν n- Το αντίστοιχο Κριτήριο Ελέγχου είναι: Αποδοχή της Η 0 αν Τ tv, a, διαφορετικά Απόρριψη της Η 0.

24 Βήµα : Υπολογισµός των Τ ο, t v, -α s µ , Τ x x ο T n α α Άρα t v, -α t 4, x Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Τ < t v, -α Άρα απορρίπτουµε την Η 0 και δεχόµαστε την Η δηλαδή ευσταθούν οι καταγγελίες των καταναλωτών. β) Έστω Π το περιεχόµενο που θα πρέπει να αναγράφει η ετικέτα. Η τιµή του Π πρέπει να είναι τέτοια ώστε T. 7 Άρα: Π x.7 Π (.7) x Π.7* x Π +.7* x Π * 6 Π Π Άρα η ετικέτα θα πρέπει να αναγράφε ι Καθαρό Περιεχόµενο 490 γραµµάρια. ΑΣΚΗΣΗ Μια φαρµακευτική εταιρεία ισχυρίζεται ότι το φάρµακο Α όταν χορηγείται προληπτικά για ορισµένο χρόνο διάστηµα µπορεί να προλάβει τις ασθµατικές κρίσεις τουλάχιστον στο 90% των παιδιών που πάσχουν από την ασθένεια. Να ελεγχθεί η υπόθεση αυτή σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.05 αν, σε τυχαίο δείγµα n 95 παιδιών, εµφάνισαν κρίση τα 6 παρό λο που έπαιρναν πρ οληπτικά το φάρµακο. Έλεγχος Ποσοστού Έχουµε δείγµα n 95 παιδιών που παίρνουν το φάρµακο και βρίσκουµε ότι 6 από αυτ ά εµφανίζουν κρίση. Άρα Χ παιδιά δεν εµφανίζουν κρίση. Με βάση τα δεδοµένα αυτά:

25 H : P < 0.9 Στατιστική Α Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση: H 0 : P 0.9 Έναντι της εναλλακτικής H 0 : P 0.9 Σε επίπεδο σηµαντικότητητας α 0.05 Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Βήµα: Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Στατιστική Συνάρτηση Ελέγχου Κριτήρ ιο Ελέγχου Ζ p n pq n Απορρίπτουµε την Η 0 αν Ζ 0 <-Ζ -α, διαφορετικά Αποδεχόµαστε την Η 0 Βήµα : Υπολογισµός των Ζ ο, Ζ -α Z Z (0.9)(0.) ίνεται ότι: α0.05 α Ζ -α Ζ Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Αφού Ζ ο <-Ζ -α απορρίπτω την Ηο και δέχοµαι τη Η. ηλαδή ο ισχυρισµός της φαρµακευτικής εταιρείας ότι το φάρµακο Α µπορεί να προλάβει τις ασθµατικές κρίσεις στο 90% των παιδιών που πάσχουν από την ασθένεια δεν ευσταθεί. ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια πρόσφατη έρευνα στο θέµα των αµοιβών των νέων πτυχιούχων Τµηµάτων ιοίκησης Επιχειρήσεων ΑΕΙ και ΤΕΙ, υποστηρίζει ότι σε ευρωπαϊκό επίπεδο οι ετήσιες αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ έχουν µεγαλύτερη διασπορά από αντίστοιχες αµοιβές των αποφοίτων ΤΕΙ. Προκειµένου να διερευνηθεί ο ισχυρισµός αυτός και για την Ελλάδα, οι αρµόδιες υπηρεσίες του Υπουργείου Εργασίας επιλέγουν τυχαία ένα δείγµα αποφοίτων ΑΕΙ και ένα δείγµα 5 αποφοίτων ΤΕΙ και υπολογίζουν ότι οι δειγµατικές τυπικές αποκλίσεις των ετήσιων αµοιβών

26 είναι 70 χ.µ. και 75 χ.µ. αντίστοιχα. Με βάση τα στοιχεία αυτά οι υπηρεσίες του Υπουργείου συµπεραίνουν ότι σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,0 πράγµατι οι ετήσιες αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ έχουν µεγαλύτερη διασπορά από τις αντίστοιχες των αποφοίτων ΤΕΙ.. Αιτιολογήστε το συµπέρασµα τους.. Με δεδοµένο ότι η δειγµατική τυπική απόκλιση των αµοιβών των αποφοίτων ΑΕΙ είναι 70 χιλ. δρχ., ποια θα έπρεπε να είναι η αντίστοιχη τυπική απόκλιση των αµοιβών των αποφοίτων ΤΕΙ, ώστε σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,0 να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα. Έστω Χ, Χ οι τιµές που εκφράζουν τις αµοιβές φοιτητών ΑΕΙ και ΤΕΙ αντίστοιχα. ίνεται ότι: Για τους απόφοιτους ΑΕΙ:n, 70 Για τους απόφοιτους ΤΕΙ: n 5, 75. Με βάση τα δεδοµένα αυτά και σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.0:. Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση: σ σ σ σ Η 0 : ( ) Έναντι της εναλλακτικής σ > σ σ σ > Η : ( ) Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Βήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Συνάρτηση Ελέγχου: F Κριτήριο Ελέγχου : Αποδοχή της Η ο αν Βήµα. Υπολογισµός F ο και Fn, n, a F < F n, n, a διαφορετικά απόρριψη της Η 0. F ο ( ) ( 75) F F n, n, a F0, 4, Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα

27 Eπειδή F ο 5.4 >.74 F0, 4, απορρίπτουµε την Η ο και δεχόµαστε την Η που σηµαίνει ότι η διασπορά στις αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από την αντίστοιχη διασπορά των αµοιβών των αποφοίτων ΤΕΙ (συµφωνία µε το συµπέρασµα της έρευνας).. Για να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα θα πρέπει να δεχτούµε την Η ο δηλαδή θα πρέπει το F ο να είναι τουλάχιστον ίσο (ή µικρότερο) από το F 0, 4, (70) F o.74, χ.µ. Άρα για να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα δηλαδή για να ισχυριστούµε ότι δεν υπάρχει σηµαντική διαφορά στη διασπορά των ετησίων αποδοχών των αποφοίτων ΑΕΙ και ΤΕΙ θα πρέπει η δειγµατική απόκλιση των αποφοίτων να είναι τουλάχιστον 03 δρχ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΠΟΣΟΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 3 υπολογίζονται και συγκρίνονται οι µέσες τιµές όλων των αριθµητικών µεταβλητών που είναι ο γραπτός µέσος όρος όλων των µαθηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, 4 Σ, Λ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 A-PDF Merger DEMO : Purchase from www.a-pdf.com to remove the watermark ΥΠΟΥΡΓΙΟ ΠΑΙΔΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΚΠΑΙΔΥΣΗΣ ΥΠΗΡΣΙΑ ΞΤΑΣΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΣ ΞΤΑΣΙΣ 007 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 008-009 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (Ημερομηνία, ώρα) Να απαντηθούν 5

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

κανένα από τα παραπάνω

κανένα από τα παραπάνω Το παρακάτω ερωτηµατολόγιο απευθύνεται σε προπτυχιακούς φοιτητές µη µαθηµατικών τµηµάτων και έχει ως στόχο να καταγράψει τις µαθηµατικές γνώσεις που απαιτούνται για την παρακολούθηση ενός εισαγωγικού µαθήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου

Εκτίµηση και Οµόλογα. Κεφάλαιο. 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου 1. Κεφάλαιο 6 Εκτίµηση και Οµόλογα 6.1 Εκτίµηση και Κόστος Ευκαιρίας Κεφαλαίου Είναι καµιά φορά δύσκολο να εξηγήσει κανείς τι σηµαίνει παρούσα αξία σε κάποιον που δεν το έχει µελετήσει. Αλλά, όπως έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α.

Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΡΗΣΤΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΙΝΟΣ. Υπεύθυνες Εκπόνησης Εργασίας ΟΝΟΜΑ: ΦΩΤΕΙΝΗ ΕΠΩΝΥΜΟ: ΛΙΟΣΗ Α. Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Κ Ρ Η Τ Η Σ Π Α Ι Δ Α Γ Ω Γ Ι Κ Ο Τ Μ Η Μ Α Δ Η Μ Ο Τ Ι Κ Η Σ Ε Κ Π Α Ι Δ Ε Υ Σ Η Σ Σ Ε Μ Ι Ν Α Ρ Ι Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ (Β06Σ03) ΤΙΤΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 17-06-2007, 13.30-17:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών Θεµατική Ενότητα ιοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισµών ΕΟ Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος 006-7 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (Κυριακή, 7-06-007,.0-7:00)

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Σύνολο νοµού Αργολίδας.. Γενικές παρατηρήσεις Γίνεται φανερό από την ανάλυση, που προηγήθηκε, πως η επίδοση των υποψηφίων του νοµού Αργολίδας, αλλά και η κατανοµή της βαθµολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ (4) Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Δευτέρα, 25/5/2015

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 015 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και

Διαβάστε περισσότερα

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes)

ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) ιαγράµµατα Ελέγχου Ιδιοτήτων (Control Charts for Attributes) Πολλά ΧΠ δεν µπορούν να αναπαρασταθούν αριθµητικά. Τα ΧΠ χαρακτηρίζονται συµµορφούµενα και µη-συµµορφούµενα. Τα ΧΠ τέτοιου είδους ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ

Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επαναληπτικέ ς Ασκη σέις ΑΕΠΠ Επιμέλεια: Σ. Ασημέλλης 1. Σε ένα ποδοσφαιρικό πρωτάθλημα μετέχουν 16 ομάδες. Κάθε ομάδα παίζει με όλες τις υπόλοιπες ως γηπεδούχος και ως φιλοξενούμενη. Νίκη μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ ΑΠΑΝΩΝ

ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ ΑΠΑΝΩΝ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΨΟΥΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΩΝ ΑΠΑΝΩΝ ΤΟΥΡΚΟΚΥΠΡΙΩΝ ΣΤΙΣ ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (2 η έρευνα, Ιούνιος 2005) 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κατά το 2004 καταγράφηκαν 2,152.469 διελεύσεις Τ/Κυπρίων προς τις ελεύθερες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ (ΡΑ ΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΣΧΟΛΗΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΤΟΥ Π.Μ.Σ.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική;

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 1 Τι είναι η Στατιστική; ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 31 www.frontistiria-eap.gr ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΔΕΟ 31 ΤΟΜΟΣ Β ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 01 1 ΤΟΜΟΣ ΚΑΘΑΡΑ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ Η καθαρή Παρούσα Αξία ισούται με το άθροισμα προεξοφλημένων καθαρών ταμειακών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα