Εντοπισµός θέσης Q 3 : = = = Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εντοπισµός θέσης Q 3 : = = = 22. 5 Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90)"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ Ο Πίνακας. δίνει την κατανοµή συχνότητας των µισθών σε χρηµατικές µονάδες τριάντα υπαλλήλων µιας δηµόσιας υπηρεσίας. Πίνακας. Μισθός (χρ. µον.) Αριθµός Υπαλλήλων ίνεται επίσης ότι η τυπική απόκλιση των µισθών τους είναι 0.5 χρ. µον. α. Να υπολογισθούν ο αριθµητικός µέσος και η τεταρτηµοριακή απόκλιση των µισθών. β. Αν υποθέσουµε ότι για την κατανοµή των µισθών 50 υπαλλήλων µιας άλλης δηµόσιας υπηρεσίας ο αριθµητικός µέσος και η τυπική απόκλιση είναι χ. µ. και 3.7 χ.µ. αντίστοιχα να εξετασθεί σε ποια από τις δύο οµάδες υπαλλήλων παρατηρείται µεγαλύτερη διασπορά των µισθών τόσο σε απόλυτους όσο και σε σχετικούς όρους. Μισθός (χ. µ.) Κεντρική Τιµή m Αριθµός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F f m ΣΥΝΟΛΑ α) x n f m n x n * 30 * 30 Εντοπισµός θέσης Q : Άρα το Q ανήκει στην η τάξη (διάστηµα 70 - < 80) n * 30 *3 90 Εντοπισµός θέσης Q 3 :. 5 Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90) Υπολογισµός τιµής Q :

2 Q Q fq Q ( 7.5 7) δ n* 0.5 Q L + F ( 0.036) Υπολογισµός τιµής Q 3 : Q3 ΠQ 3 fq 3 3 (,5 ) δ n* 5 Q3 L + F (0,3) Q 83 Υπολογισµός τεταρτηµοριακής απόκλισης: Q3 Q Q 6.3 Q 6.3 β) s 0.5 C *00 *00 C 3.5% x s 3.7 C *00 *00 V.0% x < : Άρα σε απόλυτες τιµές η αρχική οµάδα παρουσιάζει µικρότερη διασπορά. C > C : Άρα σε σχετικές τιµές η αρχική οµάδα παρουσιάζει µεγαλύτερη διασπορά. ΑΣΚΗΣΗ Τα ακόλουθα δεδοµένα εκφράζουν τον αριθµό των αυτοκινήτων που φτάνουν σε ένα σταθµό διοδίων σε 0 τυχαία επιλεγµένα χρονικά διαστήµατα 0 λεπτών. Να υπολογιστούν:. η διάµεσος. το εύρος το τρίτο τεταρτηµόριο των δεδοµένων Κατατάσσω τα δεδοµένα κατά αύξουσα τάξη: 5, 8, 0,, 4, 6, 7, 30, 33, 34

3 . M n n+ n + n + ( 6 4) 4 + * M 5. R max mn 34 5 R 9 n 5 + ( ) 6 5 Q 3 3( n+ ) 4 3* * Q ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια αλυσίδα καταστηµάτων έχει κατατάξει τα προϊόντα που διαθέτει σε 5 βασικές κατηγορίες. Ο παρακάτω Πίνακας παρουσιάζει την αξία των ετησίων πωλήσεων της εταιρείας ανά κατηγορία προϊόντων για το έτος 997 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΞΙΑ ΠΩΛΗΣΕΩΝ (σε χ.µ.) Να υπολογιστεί ο βαθµός συγκέντρωσης και να σχολιαστεί. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ () ΣΥΝΟΛΑ Θα χρησιµοποιήσω το συντελεστή Gn Hrschman ο οποίος εκφράζει το βαθµό συγκέντρωσης για δεδοµένα ταξινοµηµένα µε βάση κάποιο ποιοτικό χαρακτηριστικό. Η γενική του µορφή είναι : C 00 n

4 Στην προκειµένη περίπτωση: C C 00*0.57 C 57.0 Όπως είναι γνωστό ο συντελεστής C παίρνει γενικά τιµές στο διάστηµα: 00 [ : τέλεια ισοκατανοµή, 00: απόλυτη συγκέντρωση]. n Στη συγκεκριµένη περίπτωση ο συντελεστής C παίρνει τιµές στο διάστηµα: [ , 00]. 5 Συνεπώς συµπεραίνουµε ότι υπάρχει ελαφρά συγκέντρωση των ετησίων εξαγωγών της βιοµαχανίας. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ο Πίνακας 4. δίνει την κατανοµή συχνοτήτων των µηνιαίων υπερωριακών αποδοχών 00 εργαζοµένων µιας επιχείρησης. Μηνιαίες Αποδοχές (χ.µ.) Πίνακας 4. Αριθµός Εργαζοµένων 0-< < < <60 60-<70 70-<80 30 ι. Το Σωµατείο των εργαζοµένων της εταιρείας καταγγέλλει τη ιοίκηση για άνιση κατανοµή των υπερωριών µεταξύ των εργαζοµένων. Με βάση τα στοιχεία του Πίνακα 4. θα συµφωνούσατε ή όχι µε τις καταγγελίες του Σωµατείου; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. ιι. Να προσδιοριστεί το διάστηµα το οποίο δεν περιλαµβάνει το 30% των µικρότερων παρατηρήσεων και το 5% των µεγαλυτέρων.

5 Μισθός (χ. µ.) Κεντρική Τιµή m Αριθµός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F f m n F ( n F) F 0 < < < < < < ΣΥΝΟΛΑ () Για να διαπιστωθεί αν ευσταθούν οι καταγγελίες του Σωµατείου περί ανισοκατανοµής των αποδοχών θα πρέπει να υπολογισθεί ο Συντελεστής Gn, για δεδοµένα ταξινοµηµένα µε βάση κάποιο ποσοτικό χαρακτηριστικό. Η γενική του µορφή είναι: g d / x k δ F (d: µέση διαφορά Gn) n όπου d ( n F ) Στη προκειµένη περίπτωση: d k f m n *0 *0 * * *00 50 d Άρα g g (Γενικά: 0 g ) * Συνεπώς συµπεραίνουµε ότι η ανισοκατανοµή των αποδοχών είναι περίπου το 5% της µέγιστης δυνατής ανισοκατανοµής και κατά συνέπεια οι ισχυρισµοί του Σωµατείου ευσταθούν σε µεγάλο βαθµό. ) Εντοπισµός θέσης D 3 : n 00*3 30 Άρα το D3 ανήκει στην η τάξη 0 0 (διάστηµα 0-<30) Υπολογισµός τιµής D 3 : δ n* 0 30 D L + F 0 + ( 30 0) 0 + D D D3 3 fd Εντοπισµός θέσης Q 3 :

6 n * 4 00 * Άρα το Q 3 ανήκει στην 6 η τάξη (διάστηµα 60 - < 70) Υπολογισµός τιµής Q 3 : δ n* 0 50 Q L + F 70+ ( 75 70) Q3 Q3 fq 3 Q Άρα το ζητούµενο διάστηµα είναι (7.5, 7.67). ΑΣΚΗΣΗ 5 Τα ποσοστά κέρδους των 4 δραστηριοτήτων ( - 4 ) µιας εταιρείας για το 998 ήταν 4.%, 5.5%, 7.4%, και 0.% επί των εσόδων αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το µέσο ποσοστό κέρδους της εταιρείας αν γνωρίζουµε ότι τα έσοδα της από τις τέσσερις αυτές δραστηριότητες για το 998 ήταν 300, 00, 50 και 30 εκ. δρχ. αντίστοιχα. Προϊόν % Κέρδους (Χ ) Έσοδα Πωλήσεων (W ) W ΣΥΝΟΛΑ Θα χρησιµοποιήσω σταθµικό αριθµητικό µέσο: Άρα µ 5.9 µ 5.% 58 µ Ν N W W Ν 7. Σηµείωση: Ο (απλός) αριθµητικός µέσος δίνει µ µ 6.8%. N 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 6 Τα ακόλουθα δεδοµένα εκφράζουν τα βάρη (σε κιλά) 6 τυχαία επιλεγµένων φοιτητών από αυτούς που είναι µέλη του αθλητικού τµήµατος της Σχολής τους. Να κατασκευαστεί το ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου των βαρών και να σχολιαστεί Κατατάσσω τα δεδοµένα κατά αύξουσα τάξη 57, 58, 64, 65, 68, 70, 7, 73, 80, 8, 8, 85, 85, 86, 88, , 8 6 4, 5, 8 7 0,, 3 8 0,,, 5, 5, 6, Το ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου µας δείχνει ότι οι περισσότεροι από τους φοιτητές του Αθλητικού Τµήµατος έχουν βάρος µεταξύ 80 και 90 κιλά. ΑΣΚΗΣΗ 7 Ο Πίνακας 7. δίνει την κατανοµή συχνότητας του αριθµού εργατικών ατυχηµάτων ανά εργατοώρες σε ένα τυχαίο δείγµα 50 επιχειρήσεων ενός βιοµηχανικού κλάδου. Πίνακας 7. Ατυχήµατα ανά 000 εργατοώρες.45 -< < < < < < 3.5 Αριθµός Επιχειρήσεων Επιπλέον γνωρίζουµε ότι για τα δεδοµένα του Πίνακα η διάµεσος του αριθµού των εργατικών ατυχηµάτων ανά 000 εργατοώρες είναι.6. Με βάση τα παραπάνω:. Να υπολογισθεί η τεταρτηµοριακή απόκλιση του αριθµού των ατυχηµάτων.. Να διερευνηθεί η κατανοµή ως προς τη συµµετρία της και να σχολιασθεί.

8 Ατυχήµατα Ανά 000 εργατώρες Αριθµός επιχειρήσεων.45- < < < < < < ΣΥΝΟΛΑ 50 f F Τεταρτηµοριακή απόκλιση: Q 3 Q Q Εντοπισµός θέσης Q : n * 4 50*.5 4 Άρα το Q ανήκει στην η τάξη (διάστηµα.75 - <.05) Υπολογισµός τιµής Q : δ n 0.3 Q LQ +.75 (.5 3) FQ Q Εντοπισµός θέσης Q 3 : n * 4 3 * Άρα το Q 3 ανήκει στην 4 η τάξη (διάστηµα.35 - <.65) Υπολογισµός τιµής Q 3 : Q δ n * 0.3 LQ + Φ.35 + (37.5 9) ΠQ Q f Q 3

9 Άρα Q Q Q Q β) Συµµετρία (.63.6) (.6.98) ( Q M) ( M Q ) Q3 Q Όπως είναι γνωστό ο συντελεστής παίρνει γενικά τιµές στο διάστηµα [-: έντονη αρνητική ασυµµετρία, +: έντονη θετική ασυµµετρία]. Παρατηρούµε ότι υπάρχει ελαφρά θετική ασυµµετρία και συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν οριακά περισσότερες επιχειρήσεις µε µικρό αριθµό εργατικών ατυχηµάτων. ΑΣΚΗΣΗ 8 Μια βιοµηχανία Β προµηθεύεται ανταλλακτικά για τις µηχανές της από δύο προµηθευτές Π και Π σε ποσοστό 65% και 35% αντίστοιχα. Η ποιότητα των ανταλλακτικών διαφέρει ανάµεσα στις δύο εταιρείες όπως διαπιστώνεται από τα ιστορικά στοιχεία που τηρούνται στο τµήµα Ποιοτικού Ελέγχου της βιοµηχανίας Β (Πίνακας 8.). Πίνακας 8. % Αποδεκτών % Ελαττωµατικών Ανταλλακτικών Ανταλλακτικών Προµηθευτής Π 98 Προµηθευτής Π 95 5 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία: α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β είναι αποδεκτό. β. Αν ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β κριθεί ως ελαττωµατικό να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι προέρχεται από τον Προµηθευτή Π. Έστω Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Α το ενδεχόµενο αποδεκτού προϊόντος Ε το ενδεχόµενο ελαττωµατικού προϊόντος

10 ίνονται ότι: Ρ(Π )0,65, Ρ(Π )0,35 Ρ(Α/Π )0.8, Ρ(Ε/Π )0.0, Ρ(Α/Π )0.95,Ρ(Ε/Π )0.05 α) Ζητάµε Ρ(Α) Από το Θεώρηµα της Ολικής Πιθανότητας έχουµε: Ρ(Α) Ρ(Π )Ρ(Α/Π )+Ρ(Π )Ρ(Α/Π )(0.65)(0.98)+( 0.35)(0.95) Ρ(Α) Άρα Ρ(Ε) Ρ(Ε) β)ζητάµε Ρ(Π /Ε) Από το Θεώρηµα ayes έχουµε: Ρ( Π Ρ( Π Ρ( Π ) Ρ( Ε / Π / Ε) Ρ( Ε) / Ε) ) (0.35)(0.05) ΑΣΚΗΣΗ 9 Έρευνα σχετικά µε τα αίτια των τροχαίων ατυχηµάτων αποκάλυψε ότι: - 60% του συνόλου των ατυχηµάτων γίνονται τη νύκτα. - Από τα νυκτερινά ατυχήµατα 65% οφείλονται στο αλκοόλ ενώ από τα ατυχήµατα που γίνονται κατά τη διάρκεια της ηµέρας µόνο το 35% οφείλεται στο αλκοόλ. Να υπολογισθούν:. Το ποσοστό του συνόλου των ατυχηµάτων που οφείλονται στο αλκοόλ.. Από τα ατυχήµατα που οφείλονται στο αλκοόλ το ποσοστό εκείνων που γίνονται νύκτα. Ενδεχόµενα και αντίστοιχες πιθανότητες Ν: το ενδεχόµενο ατυχήµατος κατά τη διάρκεια της νύχτας Ν : το ενδεχόµενο ατυχήµατος κατά τη διάρκεια της ηµέρας Α: το ενδεχόµενο ατυχήµατος που οφείλεται στο αλκοόλ ίνεται ότι : P(/N) 0.65, P(/N ) 0.35, P(N) 0.6, P(N ) Ζητάµε P() Από το θεώρηµα ολικής πιθανότητας έχουµε: P() P(N) * P(/N) + P(N ) + Ρ(Α/Ν ) 0.6 * *0.35 P() P() 0.53 Άρα το ποσοστό των ατυχηµάτων που οφείλονται στο αλκοόλ είναι 53%.. Ζητάµε Ρ(Ν/Α) Από το θεώρηµ α του ayes έχουµε:

11 P( N) P(N/) ( I ) P( ) Πρέπει να υπολογίσω το P( N) P( / N) P( N) P( N) P( N) 0.39 P( N) P( / N) * P( N) 0.65* Από ( I ) P(N/) P ( n / ) Άρα από τα ατυχήµατα που οφείλονται στο αλκοόλ το ποσοστό εκείνων που γίνονται τη νύχτα είναι 74%. ΑΣΚΗΣΗ 0 α. Να υπολογισθεί το πλήθος των αριθµών κυκλοφορίας αυτοκινήτων που µπορούν να σχηµατισθούν από 3 γράµµατα του ελληνικού αλφαβήτου και ένα τετραψήφιο αριθµό. β. Ένα κουτί περιέχει 6 κόκκινους κύβους αριθµηµένους από 6 και 6 µαύρους κύβους επίσης αριθµηµένους από 6. Αν επιλεγούν τυχαία κύβοι να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι έχουν διαφορετικό χρώµα και αριθµό. γ. Πόσοι τετραψήφιοι αριθµοί µπορούν να σχηµατισθούν από τα ψηφία 0,,...,9 αν το τελευταίο ψηφίο του σχηµατιζόµενου αριθµού πρέπει να είναι πέντε και δεν επιτρέπονται επαναλήψεις του ίδιου ψηφίου µέσα σε έναν αριθµό α) υνατά γράµµατα:4 (Α-Ω) - υνατοί αριθµοί:0 (0-9) Η σειρά µας ενδιαφέρει (ΑΒΓ 34 ΑΓΒ34) Άρα θα χρησιµοποιήσουµε. ιατάξεις: Πλήθος αριθµών 4! 0! Ρ(4,3) * Ρ(0,4) * *3* 4*7*8*9* 0! 6! Πλήθος αριθµών β) Επιλέγουµε τυχαία κύβους Έστω Α το ενδεχόµενο να έχουν διαφορετικό χρώµα και αριθµό Ρ(Α) υνατοί Τρόποι επιλογής κύβων µε διαφορετικό χρώµα και αριθµό

12 υνατοί τρόποι επιλογής κύβων από τους 6! 5! * C(6,) * C(5,)!5!!!4! C(,)! 0! 6*5 * * Ρ( Α) 0, γ)χ Χ Χ Χ Ψηφίο (0-9, εκτός 0,5) Τρόπος επιλογής Ρ(8,)C(8,) ο Ψηφίο (0-9, εκτός ψηφίο,5)τρόπος επιλογής Ρ(8,)C(8,) 3 ο Ψηφίο (0-9, εκτός, ψηφίο,5) Τρόπος επιλογής Ρ(7,)C(7,) 4 ο Ψηφίο οπωσδήποτε 5. Τρόπος επιλογής Άρα οι δυνατοί τρόποι σχηµατισµού του 4ψήφιου αριθµού : Ρ(8,)*Ρ(8,)*Ρ(7,)* 8! 8! 7! * * * (8 )! (8 )! (7 )! ο 8! * 7! ο ο ο 8! 7! * 8*8*7 * 448 7! 6! ΑΣΚΗΣΗ Ένα πολυκατάστηµα έγινε κατά τους τελευταίους µήνες στόχος πολλών µικροκλοπών από υποτιθέµενους πελάτες. Η ιεύθυνση του καταστήµατος αύξησε τα µέτρα ασφαλείας και αυτό είχε σαν αποτέλεσµα να συλληφθούν επ αυτοφώρω οι δράστες 50 τέτοιων µικροκλοπών. Σύµφωνα µε τα στοιχεία της Υπηρεσίας Ασφάλειας του καταστήµατος 0 από τους συλληφθέντες είναι άντρες και 30 γυναίκες. Επιπλέον, από τους άνδρες 5 είναι κάτω των 0 ετών, 50 µεταξύ 0 και 40 ετών και 45 πάνω από 40 ετών. Οι αντίστοιχοι αριθµοί για τις γυναίκες είναι 30, 65 και 35. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθούν: α. β. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης είναι άνδρας. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης άνω των 40 ετών είναι γυναίκα. γ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος άνδρας δράστης είναι κάτω των 0 ετών. δ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών.

13 Πινακοποιώντας τα δεδοµένα της άσκησης παίρνουµε τον ακόλουθο πίνακα. Κατανοµή δραστών κατά φύλο / ηλικία Ηλικία Κάτω των 0 ( 0 ) Φύλο Άνδρες 5 (Α) 0.0 Γυναίκες 30 (Γ) 0. Σύνολα Μεταξύ 0 και 40 (0 40) Άνω των 40 (40 + ) Σύνολα α) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι άνδρας )Ρ(Α) 0.48 β) Ρ(ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης πάνω από 40 να είναι γυναίκα ) Ρ( τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι Γ / 40 + ) Ρ( Γ / 40 + ) + P( Γ 40 ) P(40 ) 0.3 γ) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος άνδρας δράστης να είναι κάτω των 0 ετών ) Ρ( τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι 0 / Α ) Ρ'( 0 / Α ) P(0 Α) P( ) δ) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών ) Ρ( Α ή 0 ) Ρ(Α 0 ) Ρ(Α)+ Ρ( 0 )-Ρ(Α 0 ) ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογισθούν πόσοι αριθµοί µικρότεροι από το 500 µπορούν να σχηµατισθούν χρησιµοποιώντας όλα ή ορισµένα από τα ψηφία 3,4,5,6 και. 7. Επανάληψη του ίδιου ψηφίου σ' έναν αριθµό δεν επιτρέπεται. Οι µικρότεροι από το 500 αριθµοί (Α) που µπορούν να σχηµατισθούν είναι:

14 Όλοι οι µονοψήφιοι Όλοι οι διψήφιοι Όλοι οι τριψήφιοι που αρχίζουν από 3 ή ( Μ) ( ) ( Τ) Οι µονοψήφιοι είναι 5 (όσα και τα ψηφία: 3, 4, 5, 6, 7) Μ 5 5! (ή Μ Ρ (5,) 5 4! 5! Οι διψήφιοι είναι: Ρ(5,) 5* 4 0 3! 5! 4! Ρ ) 4! 3! ( ή Ρ ( 5,)* ( 4,) * 5* 4 0 4! Οι τριψήφιοι είναι: Τ * Ρ(4,) * * 4 * 3 Τ 4! 4! 3! ( ή Τ *Ρ(4,)* Ρ(3,) * * *4*3 4) 3!! Άρα το σύνολο των αριθµών είναι Α Μ + + Τ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχετικές έρευνες έχουν δείξει ότι το 45% των τηλεθεατών που παρακολουθούν µια εκποµπή παρακολουθούν επίσης και τα διαφηµιστικά µηνύµατα που προηγούνται της εκποµπής. Με βάση τα αποτελέσµατα των ερευνών αυτών και χρησιµοποιώντας ένα τυχαίο δείγµα 3 τηλεθεατών που παρακολούθησαν µια τηλεοπτική εκποµπή να βρεθεί η κατανοµή πιθανότητας του αριθµού των ατόµων που παρακολούθησαν και τα διαφηµιστικά µηνύµατα που προηγήθηκαν και στη συνέχεια να υπολογισθούν ο αριθµητικός µέσος και η διακύµανση της. Κατανοµή Πιθανότητας Στοιχεία για τον υπολογισµό Ε(Χ), V() Αριθµός Τηλεθεατών Ρ(Χ ) P( ) P( ) Χ Σύνολα Αριθµητικός Μέσος: µ E x) P( ) (

15 ιακύµανση: σ P( ) µ V ( ) 0, (.35) ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας πωλητής επισκέπτεται καθηµερινά διάφορους υποψήφιους πελάτες για να πουλήσει τα δύο προϊόντα Π και Π που αντιπροσωπεύει. Από ιστορικά στατιστικά στοιχεία που έχει συγκεντρώσει ο πωλητής εκτιµά ότι σε κάθε του επίσκεψη. Η πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π είναι τριπλάσια από την πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π.. Η πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π είναι διπλάσια από την πιθανότητα πώλησης και των δύο προϊόντων.. Η πιθανότητα πώλησης και των δύο προϊόντων είναι ίση µε την πιθανότητα αποτυχίας ( µη πώλησης). Με βάση τα στοιχεία αυτά και δεδοµένου ότι το κέρδος από την πώληση του καθενός από τα προϊόντα Π και Π είναι 00 και 00 δραχµές αντίστοιχα, α Να βρεθεί η κατανοµή πιθανότητας του κέρδους του πωλητή ανά επίσκεψη και να υπολογισθεί ο αριθµητικός µέσος και η τυπική απόκλιση. β Να υπολογισθεί η πιθανότητα σε δύο τυχαία επιλεγµένες επισκέψεις ο πωλητής να έχει µηδενικό κέρδος στην πρώτη και κέρδος 300 δραχµών στη δεύτερη. Έστω Χ το κέρδος της επίσκεψης του πωλητή. Τα δυνατά ενδεχόµενα µιας τυχαίας επίσκεψης του πωλητή και τα αντίστοιχα κέρδη είναι τα ακόλουθα: Ενδεχόµενο Π : Πώληση προϊόντος Π Κέρδος 00δρχ. Ενδεχόµενο Π : Πώληση προϊόντος Π Κέρδος 00δρχ. Ενδεχόµενο Β: Πώληση προϊόντων Π και Π Κέρδος 300δρχ. Ενδεχόµενο Α: Αποτυχία επίσκεψης (Μη πώληση) Κέρδος 0δρχ. Σύµ φωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε: Ρ(Π ) 3Ρ(Π ) () Ρ(Π ) Ρ(Β) () Ρ(Β) Ρ(Α) (3) Άρα η σχέση Ρ(Π ) + Ρ(Π ) + Ρ(Β) + Ρ(Α) γίνεται:

16 3Ρ(Π ) + Ρ(Π ) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 3 * Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 6Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 0Ρ(Β ) Ρ(Β) /0 Συνεπώς: Από (3) Ρ(Α) Ρ(Β) /0 Ρ(Α) /0 Από () Ρ(Π ) Ρ(Β) * /0 Ρ(Π ) /0 Από () Ρ(Π ) 3Ρ(Π ) 3 * /0 Ρ(Π ) 6/0 Με βάση τα παραπάνω η κατανοµή πιθανότητας της µεταβλητής Χ δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί: Κατανοµή Πιθανότητας Στοιχεία για τον υπολογισµό Ε(Χ), V() Κέρδος Πιθανότητα Ενδεχόµενο Επ ίσκεψης Κέρδους Χ P( ) P( ) Επίσκεψης ( ρχ.) P() Χ Π 00 6/ *6/ *6/ Π 00 / */ */ Β 300 / */ */ Α 0 / Σύνολα x P x ) 30 x P( x ) 3000 ι Α ριθµητικός Μέσος: µ Ε 4 ( x ) P( ) 30 µ Ε( x) 30 Τ υπική Απόκλιση: σ 4 ι P ( ) µ σ 3000 ( 30) σ 6.00 σ V ( ) 78. β) Ζητάµε τη πιθανότητα Ρ(Μηδενικό Κέρδος στη η επίσκεψη και κέρδος 300δρχ. στη η ) Ρ(Α Β) Ρ(Α) * Ρ(Β) /0*/0 /00 0.0

17 ΑΣΚΗΣΗ 5 Σε έρευνα που έγινε από τη ιεύθυνση Μελετών της Τράπεζας Τ διαπιστώθηκε ότι το ύψος των λογαριασµών όψεως που τηρούνται σ αυτή ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 500 χ. µ. και τυπική απόκλιση 50 χ. µ. α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος λογαριασµός έχει ύψος µεταξύ 300 και 700 χ. µ. β. Η Τράπεζα στο πλαίσιο της πολιτικής προσέλκυσης νέων πελατών προγραµµατίζει να προσφέρει υψηλότερο επιτόκιο σε πελάτες που το µέσο ύψος του λογαριασµού τους υπερβαίνει κάποιο µέσο Π. Αν το µέτρο αυτό δεν πρέπει να επεκταθεί σε περισσότερους από το 5% των πελατών της να υπολογισθεί ποιο θα πρέπει να είναι το ποσό Π. Έστω Χ το ύψος ενός τυχαίου λογαριασµού Χ ~ Ν (µ500, σ50) Γνωρίζουµε ότι το Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή. α) Ζητάµε: Ρ 37 µ µ 770 µ σ σ σ ( 37 < < 770) Ρ < < Ρ < Ζ < Ρ < Ζ < Ρ (. < Ζ <.80) Ρ( Ζ <.8) Ρ( Ζ <.) ( Ζ <.8) ( Ρ( Ζ <.) ) Ρ( Ζ <.8) + Ρ( Ζ <.) Ρ ( 37 < < 770) Ρ β) Έστω Π το ζητούµενο ποσό. Θέλουµε Ρ(Χ>Π) 0.0 Ρ( > Π) 0.0 Ρ( < Π) 0.99 µ Ρ < σ Π µ Π µ 0.99 Ρ Ζ < 0.99 σ σ Π µ.33 σ Π µ.33* σ Π µ +.33* σ Π *50 Π Π

18 ΑΣΚΗΣΗ 6 Μία στρατιωτική µονάδα θα δεχθεί την νεοσύλλεκτους για κατάταξη και πρέπει να προετοιµάσει τις στολές τους. Σύµφωνα µε τα υπάρχοντα ιστορικά στοιχεία για να καλυφθούν οι ενδυµατολογικές ανάγκες όλων των νεοσύλλεκτων οι στολές τους θα πρέπει να χωρισθούν στις παρακάτω τέσσερις κατηγορίες: α. Στολές για άνδρες ύψους µικρότερου των 65 εκ. β Στολές για άνδρες ύψους µεταξύ 65 εκ. και 7 εκ. γ Στολές για άνδρες ύψους µεταξύ 7 εκ. και 80 εκ. δ Στολές για άνδρες ύψους µεγαλυτέρου των 80 εκ. Αν από ιστορικά στοιχεία γνωρίζουµε επίσης ότι το ύψος των νεοσύλλεκτων ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 68 εκ. και τυπική απόκλιση 5 εκ. να προσδιοριστεί ο αριθµός των στολών που θα χρειασθούν για τις κατηγορίες β και δ. Έστω Χ η τυχαία µεταβλητή η οποία εκφράζει το ύψος των νεοσύλλεκτων. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος Χ Ν (µ68cm, σ5cm) α) 65 µ µ 7 µ P(65 7) P Ρ Ζ σ σ σ Ρ Ζ Ρ( 0,6 Ζ 0,8) Ρ( Ζ 0,8) Ρ( Ζ 0,6) Ρ( Ζ 0,8) 5 5 Ρ( Ζ 0,8) + Ρ( Ζ 0,6) 0,788+ 0,757,538 Ρ(65 7) 0,538 [ Ρ( Ζ 0,6) ] Άρα θα χρειαστούν 0000*0, στολές για την κατηγορία β, δηλαδή για νεοσύλλεκτους ύψους µεταξύ 65 και 7 εκατοστών. β) µ 80 µ Ρ( > 80) Ρ( Χ 80) Ρ Ρ Ζ Ρ( Ζ,4) σ σ 5 0,998 0,008 Ρ( Χ > 80) 0,008 Άρα θα χρειαστούν 0000*0,00864 στολές για την κατηγορία δ, δηλαδή για νεοσύλλεκτους ύψους µεγαλύτερου των 80 εκατοστών

19 ΑΣΚΗΣΗ 7 Έρευνες έδειξαν ότι το 40% των επισκεπτών µουσείων αγοράζουν και κάποιο αναµνηστικό αντικείµενο. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι σε τυχαία επιλεγµένους επισκέπτες ενός µουσείου. το πολύ αγόρασαν κάποιο αναµνηστικό. τουλάχιστον 3 αγόρασαν κάποιο αναµνηστικό. Έστω Χ ο αριθµός των επισκεπτών που αγοράζουν κάποιο αναµνηστικό. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Χ ~ ιωνυµική Κατανοµή µε p P(x /n,p0.40) Ρ(x0/n,p0,40) + P(x/n,p0,40) + P(x/n,p0,40) 0,00+0,074+0, P(x 3/n, p0.40) P(x<3/n, p0.40) -[P(x0/n, p0.40)+ P(x/n, p0.40)+p(x/n, p0.40)] -[ ] ΑΣΚΗΣΗ 8 Μία νέα γραµµή παραγωγής παρουσιάζει µέσο όρο 7 βλαβών ανά βδοµάδα (5 εργασίµων ηµερών). Να υπολογιστεί η πιθανότητα: ) Σε µια τυχαία επιλεγµένη εβδοµάδα να παρουσιαστούν το πολύ τρεις βλάβες ) Ότι σε ένα τυχαία επιλεγµένο διήµερο θα παρουσιαστούν τουλάχιστον βλάβες Έστω Χ ο αριθµός βλαβών ανά εβδοµάδα Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Χ ~ Κατανοµή Posson µε λ 7. P(x 3/ λ7) P(x 0/ λ7)+ P(x/ λ7)+ P(x/ λ7)+ P(x3/ λ7) λ 7 βλάβες ανά εβδοµάδα 5 ηµερών λ. 4 βλάβες ανά ηµέρα 5 λ.4 *.8 βλάβες ανά διήµερο Έστω Υ ο αριθµός βλαβών ανά διήµερο Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Υ ~ Κατανοµή Posson µε λ.8 P(x / λ.8) - P(x</ λ.8) -[ P(x0/ λ.8) + P(x/ λ.8)] -[ ]

20 ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο καθηγητής Στατιστικής ενός Τµήµατος ιοίκησης Επιχειρήσεων θέλει να συγκρίνει τη διασπορά των βαθµολογιών των φοιτητών του Τµήµατος στα µαθήµατα Λογιστική και Κοινωνιολογία. Μελετώντας το θέµα διαπίστωσε ότι σε ένα τυχαίο δείγµα 6 φοιτητών που είχαν εξεταστεί στην Λογιστική η µέση βαθµολογία ( σε κλίµακα 0 00 ) ήταν 75 µονάδες και η τυπική απόκλιση 5 µονάδες. Αντίστοιχα σ ένα τυχαίο δείγµα 3 φοιτητών που είχαν εξεταστεί στην Κοινωνιολογία η µέση βαθµολογία ήταν 70 µονάδες και η διακύµανση 00 µονάδες. Με βάση τα στοιχεία αυτά και µε δεδοµένο ότι οι βαθµολογίες και στα δυο µαθήµατα ακολουθούν κανονική κατανοµή να κατασκευασθεί ένα 95% διάστηµ α εµπιστοσύνης για το λόγο των διακυµάνσεων των βαθµολογιών στα δύο µαθήµατα. Έστω Χ και Υ τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν τη βαθµολογία των φοιτητών στα µαθήµ ατα Λογιστική και Κοινωνιολογία αντίστοιχα. Οι µεταβλητές αυτές ακολουθούν κανονική κατανοµή και επιπλέον δίνεται ότι: Για τη Λογιστική n 6, 5, 75 και Για την Κοινωνιολογία: m3, 00, Y 70. Y Με βάση τα δεδοµένα αυτά θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λόγο διακυµάνσεων των βαθµολογιών. Γενικός τύπος : F a *, Fa, n, m y *, n, m y α Από τα δεδοµένα του προβλήµατος έχω: α α n 6 n- 5, m3 m-, x 5 5, 00, Y,5 y Y 5 00 Άρα ο γενικός τύπος γίνεται: [ F0. 975,5, *.5, F 0.05,5, *.5] *.5, *.5 F0.97 5,5, F 0.975,,5 F 0.975,5, *.5, F 0.975,,5 *.5 *.5, *.5 0.7, [ 6.66] Άρα το 95% ιάστηµα Εµπιστοσύνης των διακυµάν σεων της βαθµολογίας των φοιτητών στα δύο µ 0.7, 6.66 αθήµατα είναι: [ ]

21 ΑΣΚΗΣΗ 0 ύο φαρµακοβιοµηχανίες έχουν παράγει ανεξάρτητα δύο διαφορετικά φάρµακα Α και Β για την ανακούφιση ασθενών που πάσχουν από αρθριτικά. Πριν τα θέσουν σε κυκλοφορία θέλησαν να δοκιµάσουν την αποτελεσµατικότητα τους. Το φάρµακο Α δοκιµάστηκε σε 00 ασθενείς και έδωσε µέσο χρόνο ανακούφισης 8.9 ώρες µε τυπική απόκλιση. ώρες. Το φάρµακο Β δοκιµάστηκε σε 8 ασθενείς και έδωσε µέσο χρόνο ανακούφισης 7.9 ώρες µε τυπική απόκλιση.8 ώρες. α. Να διερευνηθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας 0.05 αν ο χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Α είναι σηµαντικά µεγαλύτερος από αυτόν του Β. β. Σε περίπτωση που αποδειχθεί ότι ο χρόνος ανακούφισης του Α είναι πράγµατι µεγαλύτερος από αυτόν του Β να εξετασθεί ποιος θα έπρεπε να ήταν ο µέσος χρόνος ανακούφισης του δείγµατος στο οποίο χορηγήθηκε το φάρµακο Β ώστε να µην υπάρχει σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο φαρµάκων. α) Έστω Χ Α και Χ Β οι τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν το µέσο χρόνο ανακούφισης που δίνουν τα φάρµακα Α και Β αντίστοιχα. ίνεται ότι: Για το φάρµακο Α: n 00, 8,9, Α Για το φάρµακο Β: n 8, 7.9,,8 Β Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η µ µ 0( µ µ ) 0 Α Β Α Β έναντι της εναλλακτικής: ( ) Η : µ µ 0 µ µ Α Β > Α> Β σε επίπεδο σηµαντικότητας α0.05 Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Β ήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Από το σχετικό διάγραµµα έχουµε: σα,σ Β γνωστές; ΟΧΙ σ Α σ Β ΟΧΙ n Α 30 ΝΑΙ n 30 ΝΑΙ

22 Χ Α, Χ Β ~ Ν ΝΑΙ Άρα η Συνάρτηση Ελέγχου είναι: Z n n Το αντίστοιχο Κριτήριο Ελέγχου είναι: Αποδοχή της Η 0 αν Ζ 0 <Ζ -α, διαφορετικά Απόρριψη της Η 0 Β ήµα : Υπολογισµός των Ζ, Ζ -α n n 8 9 Z o + (0.) ( 0.0) Z o 3.45 Άρα α0.05 α 0.95 Ζ -α Ζ Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Ζο3.45>.64Ζ -α Άρα απορρίπτουµε την Η 0 και αποδεχόµαστε την Η. Με άλλα λόγια αποδεχόµαστε ότι ο χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Α είναι σηµαντικά µ εγαλύτερος από αυτόν του Β β)για να µην υπήρχε διαφορά µεταξύ των χρόνων ανακούφισης των δυο φαρµάκων θα έπρεπε Ζ 0 <.64 Z,64 <, <.64*0.9 <.64*0.9 0 < >.9.64* > > 8.64*0.9 > 8.43 Άρα θα έπρεπε ο µέσος χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Β να είναι µεγαλύτερος από 8.43 ΑΣΚΗΣΗ

23 Η εταιρεία Χ παρασκευάζει και συσκευάζει στιγµιαίο καφέ σε βάζα των οποίων η ετικέτα γρά φει «καθαρό βάρος 500 γραµµάρια». Για τη συσκευασία, η οποία γίνεται αυτόµατα, χρησιµοποιείται η µηχανή Κ η οποία σύµφωνα µε τις προδιαγραφές του κατασκευαστή της σε κάθε βάζο καφέ τοποθετεί κατά µέσο όρο 500 γραµµάρια. Πρόσφατα η εταιρεία δέχτηκε καταγγελίες πολλών καταναλωτών ότι το περιεχόµενο βάζων καφέ που αγόρασαν ήταν µ ικρότερο από το αναγραφόµενο. Προκειµένου να διερευνήσει τις καταγγελίες αυτές η εταιρεία χρησιµοποίησε δείγµα 5 βάζων και διαπίστωσε ότι το µέσο βάρος τους ήταν 480 γρα µµάρια και η δειγµατική απόκλιση 30 γραµµάρια. α. Με βάση τα στοιχεία αυτά και αν υποτεθεί ότι το περιεχόµενο των βάζων που συσκευάζει η µηχανή ακολουθεί κανονική κατανοµή να εξετασθεί αν ευσταθούν οι καταγγελίες των καταναλωτών σε επίπεδο σηµαντικότητας β. Σε περίπτωση που διαπιστωθεί ότι οι καταγγελίες των καταναλωτών ευσταθούν η εταιρεία έχει αποφασίσει να αλλάξει τις ετικέτες ώστε να συµφωνούν µε το πραγµατικό περιεχόµενο των βάζων. Πόσο είναι το νέο περιεχόµ ενο που θα πρέπει να αναγράφεται; Έστω Χ το περιεχόµενο που τοποθετεί η µηχανή στα βάζα του καφέ. Σύµφωνα µε τις προδιαγραφές της Χ ~ Ν (µ 500, σ ;) Παίρνουµε δείγµα n 5και βρίσκουµ ε ότι x 480, s 30. Με βάση τα δεδοµένα αυτά θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η 0 : µ 500 έναντι της εναλλακτικής Η : µ <500 Σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.05 Β ήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Από το σχετικό διάγραµµα έχουµε: σ γνωστή; ΟΧΙ n 30 ; ΟΧΙ Άρα: Συνάρτηση Ελέγχου Χ ~ Ν ; ΝΑΙ χ µ Τ, x ν n- Το αντίστοιχο Κριτήριο Ελέγχου είναι: Αποδοχή της Η 0 αν Τ tv, a, διαφορετικά Απόρριψη της Η 0.

24 Βήµα : Υπολογισµός των Τ ο, t v, -α s µ , Τ x x ο T n α α Άρα t v, -α t 4, x Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Τ < t v, -α Άρα απορρίπτουµε την Η 0 και δεχόµαστε την Η δηλαδή ευσταθούν οι καταγγελίες των καταναλωτών. β) Έστω Π το περιεχόµενο που θα πρέπει να αναγράφει η ετικέτα. Η τιµή του Π πρέπει να είναι τέτοια ώστε T. 7 Άρα: Π x.7 Π (.7) x Π.7* x Π +.7* x Π * 6 Π Π Άρα η ετικέτα θα πρέπει να αναγράφε ι Καθαρό Περιεχόµενο 490 γραµµάρια. ΑΣΚΗΣΗ Μια φαρµακευτική εταιρεία ισχυρίζεται ότι το φάρµακο Α όταν χορηγείται προληπτικά για ορισµένο χρόνο διάστηµα µπορεί να προλάβει τις ασθµατικές κρίσεις τουλάχιστον στο 90% των παιδιών που πάσχουν από την ασθένεια. Να ελεγχθεί η υπόθεση αυτή σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.05 αν, σε τυχαίο δείγµα n 95 παιδιών, εµφάνισαν κρίση τα 6 παρό λο που έπαιρναν πρ οληπτικά το φάρµακο. Έλεγχος Ποσοστού Έχουµε δείγµα n 95 παιδιών που παίρνουν το φάρµακο και βρίσκουµε ότι 6 από αυτ ά εµφανίζουν κρίση. Άρα Χ παιδιά δεν εµφανίζουν κρίση. Με βάση τα δεδοµένα αυτά:

25 H : P < 0.9 Στατιστική Α Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση: H 0 : P 0.9 Έναντι της εναλλακτικής H 0 : P 0.9 Σε επίπεδο σηµαντικότητητας α 0.05 Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Βήµα: Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Στατιστική Συνάρτηση Ελέγχου Κριτήρ ιο Ελέγχου Ζ p n pq n Απορρίπτουµε την Η 0 αν Ζ 0 <-Ζ -α, διαφορετικά Αποδεχόµαστε την Η 0 Βήµα : Υπολογισµός των Ζ ο, Ζ -α Z Z (0.9)(0.) ίνεται ότι: α0.05 α Ζ -α Ζ Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Αφού Ζ ο <-Ζ -α απορρίπτω την Ηο και δέχοµαι τη Η. ηλαδή ο ισχυρισµός της φαρµακευτικής εταιρείας ότι το φάρµακο Α µπορεί να προλάβει τις ασθµατικές κρίσεις στο 90% των παιδιών που πάσχουν από την ασθένεια δεν ευσταθεί. ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια πρόσφατη έρευνα στο θέµα των αµοιβών των νέων πτυχιούχων Τµηµάτων ιοίκησης Επιχειρήσεων ΑΕΙ και ΤΕΙ, υποστηρίζει ότι σε ευρωπαϊκό επίπεδο οι ετήσιες αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ έχουν µεγαλύτερη διασπορά από αντίστοιχες αµοιβές των αποφοίτων ΤΕΙ. Προκειµένου να διερευνηθεί ο ισχυρισµός αυτός και για την Ελλάδα, οι αρµόδιες υπηρεσίες του Υπουργείου Εργασίας επιλέγουν τυχαία ένα δείγµα αποφοίτων ΑΕΙ και ένα δείγµα 5 αποφοίτων ΤΕΙ και υπολογίζουν ότι οι δειγµατικές τυπικές αποκλίσεις των ετήσιων αµοιβών

26 είναι 70 χ.µ. και 75 χ.µ. αντίστοιχα. Με βάση τα στοιχεία αυτά οι υπηρεσίες του Υπουργείου συµπεραίνουν ότι σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,0 πράγµατι οι ετήσιες αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ έχουν µεγαλύτερη διασπορά από τις αντίστοιχες των αποφοίτων ΤΕΙ.. Αιτιολογήστε το συµπέρασµα τους.. Με δεδοµένο ότι η δειγµατική τυπική απόκλιση των αµοιβών των αποφοίτων ΑΕΙ είναι 70 χιλ. δρχ., ποια θα έπρεπε να είναι η αντίστοιχη τυπική απόκλιση των αµοιβών των αποφοίτων ΤΕΙ, ώστε σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,0 να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα. Έστω Χ, Χ οι τιµές που εκφράζουν τις αµοιβές φοιτητών ΑΕΙ και ΤΕΙ αντίστοιχα. ίνεται ότι: Για τους απόφοιτους ΑΕΙ:n, 70 Για τους απόφοιτους ΤΕΙ: n 5, 75. Με βάση τα δεδοµένα αυτά και σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.0:. Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση: σ σ σ σ Η 0 : ( ) Έναντι της εναλλακτικής σ > σ σ σ > Η : ( ) Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Βήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Συνάρτηση Ελέγχου: F Κριτήριο Ελέγχου : Αποδοχή της Η ο αν Βήµα. Υπολογισµός F ο και Fn, n, a F < F n, n, a διαφορετικά απόρριψη της Η 0. F ο ( ) ( 75) F F n, n, a F0, 4, Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα

27 Eπειδή F ο 5.4 >.74 F0, 4, απορρίπτουµε την Η ο και δεχόµαστε την Η που σηµαίνει ότι η διασπορά στις αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από την αντίστοιχη διασπορά των αµοιβών των αποφοίτων ΤΕΙ (συµφωνία µε το συµπέρασµα της έρευνας).. Για να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα θα πρέπει να δεχτούµε την Η ο δηλαδή θα πρέπει το F ο να είναι τουλάχιστον ίσο (ή µικρότερο) από το F 0, 4, (70) F o.74, χ.µ. Άρα για να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα δηλαδή για να ισχυριστούµε ότι δεν υπάρχει σηµαντική διαφορά στη διασπορά των ετησίων αποδοχών των αποφοίτων ΑΕΙ και ΤΕΙ θα πρέπει η δειγµατική απόκλιση των αποφοίτων να είναι τουλάχιστον 03 δρχ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1. ο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει την κατανοµή των οικογενειών ενός χωριού σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών τους. 40 35 Αριθµός οικογενειών 30 25 20 15 10 5 0 0 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις

α) t-test µε ίσες διακυµάνσεις β) ανάλυση διακύµανσης µε έναν παράγοντα Έλεγχος t δύο δειγμάτων με υποτιθέμενες ίσες διακυμάνσεις ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΙΕΘΝΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ IΙ ΕΙΣΗΓΗΤΡΙΑ: ΣΑΒΒΑΣ ΠΑΠΑ ΟΠΟΥΛΟΣ ΠΑΛΑΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ********************************************************************

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15

Έγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15 Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 009 στη Στατιστική 9/06/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Ο χρόνος ζωής ενός εξαρτήµατος εργαστηριακού οργάνου σε εκατοντάδες ώρες περιγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. )

Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Στατιστική για Οικονομολόγους ΙΙ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ παλαιοτέρων ετών από «ανώνυμο φοιτητή» (Στις ΛΥΣΕΙΣ ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη. ) Πίνακας Περιεχομένων Εργασία η... Θέμα ο :... Θέμα ο :... 4 Θέμα 3 ο :...

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 14: Επαναληπτικά Θέματα Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί μετράμε την διασπορά;

Γιατί μετράμε την διασπορά; Γιατί μετράμε την διασπορά; Παράδειγμα Δίνεται το ετήσιο ποσοστό κέρδους δύο επιχειρήσεων για 6 χρόνια. Αν έπρεπε να επιλέξετε την μετοχή μιας εκ των 2 με κριτήριο το ποσοστό κέρδους αυτά τα 6 χρόνια.

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί).

, µπορεί να είναι η συνάρτηση. αλλού. πλησιάζουν προς την τιµή 1, η διασπορά της αυξάνεται ή ελαττώνεται; (Εξηγείστε γιατί). Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 009 στη Στατιστική 0/0/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. [0] Οι ακαθάριστες εβδοµαδιαίες εισπράξεις µιας κτηνοτροφικής µονάδας, από την πώληση

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΒΙΝΤΕΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Άσκηση 1: Μια τράπεζα ενδιαφέρεται να μελετήσει την αποταμιευτική συμπεριφορά των πελατών της. Θεωρείται ως δεδομένο ότι η ετήσια αποταμίευση των πελατών της

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται .1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών, στη Στατιστική στο τέλος του β τριµήνου. Πήραµε τις επόµενες βαθµολογίες: 15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17. Να βρείτε: α) Ποιος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 09-10 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Έλεγχοι υποθέσεων Βόλος, 2016-2017

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ www.frotstra-eap.gr e-mal: frotstra_eap@yahoo.gr Τηλ:10.93..50 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ () ΑΘΗΝΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 1 www.frotstra-eap.gr e-mal: frotstra_eap@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης

10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης 10.7 Λυμένες Ασκήσεις για Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διαστήματα εμπιστοσύνης για τον μέσο ενός πληθυσμού (Μικρά δείγματα) Άσκηση 10.7.1: Ο επόμενος πίνακας τιμών δείχνει την αύξηση σε ώρες ύπνου που είχαν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη)

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4

1 και Ρ(Β) = τότε η Ρ (Α Β) είναι ίση µε: 2 δ και Ρ(Α Β) = 4 ΘΕΜΑ ο Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8, Α.. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ασκήσεις 1 ου Κεφαλαίου 1. Σε ένα δείγµα 90 δοχείων ελαιολάδου το µέσο βάρος των δοχείων είναι 500 γραµµάρια. Από µετρήσεις έχει γίνει γνωστή η διακύµανση

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων

Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων Ποιό το πρόβλημα; Περιγραφή ενός πληθυσμού Σύγκριση δύο πληθυσμών Είδος δεδομένων; Είδος δεδομένων Ποσοτικά Ποιοτικά Ποσοτικά Ποιοτικά Ποιά παράμετρος; Z tet & δ.ε. του p Ποιά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β

Εργάτης Μηχάνηµα τύπου Α Μηχάνηµα τύπου Β Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεµβρίου 2009 στη Στατιστική 30/09/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ [20] Μια καπνοβιοµηχανία ισχυρίζεται ότι στα νέα τσιγάρα που διαφηµίζει, η ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (8,33% ΑΝΑ ΘΕΜΑ) ΘΕΜΑ A.1 Αν η συνάρτηση του οριακού κόστους μιας επιχείρησης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο

Οι παραγγελίες ακολουθούν την κατανομή Poisson. Σύμφωνα με τα δεδομένα ο ΘΕΜΑ 1 ο (ΜΟΝΑΔΕΣ 10) Μια βιοτεχνία καθαρισμού ρούχων λειτουργεί καθημερινά 8 ώρες. Η βιοτεχνία δέχεται κατά μέσο όρο 4 παραγγελίες την ημέρα για καθαρισμό ενδυμάτων. (ι). Να υπολογισθεί η πιθανότητα να

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα