Εντοπισµός θέσης Q 3 : = = = Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90)

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ Ο Πίνακας. δίνει την κατανοµή συχνότητας των µισθών σε χρηµατικές µονάδες τριάντα υπαλλήλων µιας δηµόσιας υπηρεσίας. Πίνακας. Μισθός (χρ. µον.) Αριθµός Υπαλλήλων ίνεται επίσης ότι η τυπική απόκλιση των µισθών τους είναι 0.5 χρ. µον. α. Να υπολογισθούν ο αριθµητικός µέσος και η τεταρτηµοριακή απόκλιση των µισθών. β. Αν υποθέσουµε ότι για την κατανοµή των µισθών 50 υπαλλήλων µιας άλλης δηµόσιας υπηρεσίας ο αριθµητικός µέσος και η τυπική απόκλιση είναι χ. µ. και 3.7 χ.µ. αντίστοιχα να εξετασθεί σε ποια από τις δύο οµάδες υπαλλήλων παρατηρείται µεγαλύτερη διασπορά των µισθών τόσο σε απόλυτους όσο και σε σχετικούς όρους. Μισθός (χ. µ.) Κεντρική Τιµή m Αριθµός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F f m ΣΥΝΟΛΑ α) x n f m n x n * 30 * 30 Εντοπισµός θέσης Q : Άρα το Q ανήκει στην η τάξη (διάστηµα 70 - < 80) n * 30 *3 90 Εντοπισµός θέσης Q 3 :. 5 Άρα το Q 3 ανήκει στην 3 η τάξη (διάστηµα 80 - < 90) Υπολογισµός τιµής Q :

2 Q Q fq Q ( 7.5 7) δ n* 0.5 Q L + F ( 0.036) Υπολογισµός τιµής Q 3 : Q3 ΠQ 3 fq 3 3 (,5 ) δ n* 5 Q3 L + F (0,3) Q 83 Υπολογισµός τεταρτηµοριακής απόκλισης: Q3 Q Q 6.3 Q 6.3 β) s 0.5 C *00 *00 C 3.5% x s 3.7 C *00 *00 V.0% x < : Άρα σε απόλυτες τιµές η αρχική οµάδα παρουσιάζει µικρότερη διασπορά. C > C : Άρα σε σχετικές τιµές η αρχική οµάδα παρουσιάζει µεγαλύτερη διασπορά. ΑΣΚΗΣΗ Τα ακόλουθα δεδοµένα εκφράζουν τον αριθµό των αυτοκινήτων που φτάνουν σε ένα σταθµό διοδίων σε 0 τυχαία επιλεγµένα χρονικά διαστήµατα 0 λεπτών. Να υπολογιστούν:. η διάµεσος. το εύρος το τρίτο τεταρτηµόριο των δεδοµένων Κατατάσσω τα δεδοµένα κατά αύξουσα τάξη: 5, 8, 0,, 4, 6, 7, 30, 33, 34

3 . M n n+ n + n + ( 6 4) 4 + * M 5. R max mn 34 5 R 9 n 5 + ( ) 6 5 Q 3 3( n+ ) 4 3* * Q ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια αλυσίδα καταστηµάτων έχει κατατάξει τα προϊόντα που διαθέτει σε 5 βασικές κατηγορίες. Ο παρακάτω Πίνακας παρουσιάζει την αξία των ετησίων πωλήσεων της εταιρείας ανά κατηγορία προϊόντων για το έτος 997 ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΑΞΙΑ ΠΩΛΗΣΕΩΝ (σε χ.µ.) Να υπολογιστεί ο βαθµός συγκέντρωσης και να σχολιαστεί. ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ () ΣΥΝΟΛΑ Θα χρησιµοποιήσω το συντελεστή Gn Hrschman ο οποίος εκφράζει το βαθµό συγκέντρωσης για δεδοµένα ταξινοµηµένα µε βάση κάποιο ποιοτικό χαρακτηριστικό. Η γενική του µορφή είναι : C 00 n

4 Στην προκειµένη περίπτωση: C C 00*0.57 C 57.0 Όπως είναι γνωστό ο συντελεστής C παίρνει γενικά τιµές στο διάστηµα: 00 [ : τέλεια ισοκατανοµή, 00: απόλυτη συγκέντρωση]. n Στη συγκεκριµένη περίπτωση ο συντελεστής C παίρνει τιµές στο διάστηµα: [ , 00]. 5 Συνεπώς συµπεραίνουµε ότι υπάρχει ελαφρά συγκέντρωση των ετησίων εξαγωγών της βιοµαχανίας. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ο Πίνακας 4. δίνει την κατανοµή συχνοτήτων των µηνιαίων υπερωριακών αποδοχών 00 εργαζοµένων µιας επιχείρησης. Μηνιαίες Αποδοχές (χ.µ.) Πίνακας 4. Αριθµός Εργαζοµένων 0-< < < <60 60-<70 70-<80 30 ι. Το Σωµατείο των εργαζοµένων της εταιρείας καταγγέλλει τη ιοίκηση για άνιση κατανοµή των υπερωριών µεταξύ των εργαζοµένων. Με βάση τα στοιχεία του Πίνακα 4. θα συµφωνούσατε ή όχι µε τις καταγγελίες του Σωµατείου; Αιτιολογείστε την απάντηση σας. ιι. Να προσδιοριστεί το διάστηµα το οποίο δεν περιλαµβάνει το 30% των µικρότερων παρατηρήσεων και το 5% των µεγαλυτέρων.

5 Μισθός (χ. µ.) Κεντρική Τιµή m Αριθµός Υπαλλήλων f Αθροιστική Συχνότητα F f m n F ( n F) F 0 < < < < < < ΣΥΝΟΛΑ () Για να διαπιστωθεί αν ευσταθούν οι καταγγελίες του Σωµατείου περί ανισοκατανοµής των αποδοχών θα πρέπει να υπολογισθεί ο Συντελεστής Gn, για δεδοµένα ταξινοµηµένα µε βάση κάποιο ποσοτικό χαρακτηριστικό. Η γενική του µορφή είναι: g d / x k δ F (d: µέση διαφορά Gn) n όπου d ( n F ) Στη προκειµένη περίπτωση: d k f m n *0 *0 * * *00 50 d Άρα g g (Γενικά: 0 g ) * Συνεπώς συµπεραίνουµε ότι η ανισοκατανοµή των αποδοχών είναι περίπου το 5% της µέγιστης δυνατής ανισοκατανοµής και κατά συνέπεια οι ισχυρισµοί του Σωµατείου ευσταθούν σε µεγάλο βαθµό. ) Εντοπισµός θέσης D 3 : n 00*3 30 Άρα το D3 ανήκει στην η τάξη 0 0 (διάστηµα 0-<30) Υπολογισµός τιµής D 3 : δ n* 0 30 D L + F 0 + ( 30 0) 0 + D D D3 3 fd Εντοπισµός θέσης Q 3 :

6 n * 4 00 * Άρα το Q 3 ανήκει στην 6 η τάξη (διάστηµα 60 - < 70) Υπολογισµός τιµής Q 3 : δ n* 0 50 Q L + F 70+ ( 75 70) Q3 Q3 fq 3 Q Άρα το ζητούµενο διάστηµα είναι (7.5, 7.67). ΑΣΚΗΣΗ 5 Τα ποσοστά κέρδους των 4 δραστηριοτήτων ( - 4 ) µιας εταιρείας για το 998 ήταν 4.%, 5.5%, 7.4%, και 0.% επί των εσόδων αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το µέσο ποσοστό κέρδους της εταιρείας αν γνωρίζουµε ότι τα έσοδα της από τις τέσσερις αυτές δραστηριότητες για το 998 ήταν 300, 00, 50 και 30 εκ. δρχ. αντίστοιχα. Προϊόν % Κέρδους (Χ ) Έσοδα Πωλήσεων (W ) W ΣΥΝΟΛΑ Θα χρησιµοποιήσω σταθµικό αριθµητικό µέσο: Άρα µ 5.9 µ 5.% 58 µ Ν N W W Ν 7. Σηµείωση: Ο (απλός) αριθµητικός µέσος δίνει µ µ 6.8%. N 4

7 ΑΣΚΗΣΗ 6 Τα ακόλουθα δεδοµένα εκφράζουν τα βάρη (σε κιλά) 6 τυχαία επιλεγµένων φοιτητών από αυτούς που είναι µέλη του αθλητικού τµήµατος της Σχολής τους. Να κατασκευαστεί το ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου των βαρών και να σχολιαστεί Κατατάσσω τα δεδοµένα κατά αύξουσα τάξη 57, 58, 64, 65, 68, 70, 7, 73, 80, 8, 8, 85, 85, 86, 88, , 8 6 4, 5, 8 7 0,, 3 8 0,,, 5, 5, 6, Το ιάγραµµα Μίσχου Φύλλου µας δείχνει ότι οι περισσότεροι από τους φοιτητές του Αθλητικού Τµήµατος έχουν βάρος µεταξύ 80 και 90 κιλά. ΑΣΚΗΣΗ 7 Ο Πίνακας 7. δίνει την κατανοµή συχνότητας του αριθµού εργατικών ατυχηµάτων ανά εργατοώρες σε ένα τυχαίο δείγµα 50 επιχειρήσεων ενός βιοµηχανικού κλάδου. Πίνακας 7. Ατυχήµατα ανά 000 εργατοώρες.45 -< < < < < < 3.5 Αριθµός Επιχειρήσεων Επιπλέον γνωρίζουµε ότι για τα δεδοµένα του Πίνακα η διάµεσος του αριθµού των εργατικών ατυχηµάτων ανά 000 εργατοώρες είναι.6. Με βάση τα παραπάνω:. Να υπολογισθεί η τεταρτηµοριακή απόκλιση του αριθµού των ατυχηµάτων.. Να διερευνηθεί η κατανοµή ως προς τη συµµετρία της και να σχολιασθεί.

8 Ατυχήµατα Ανά 000 εργατώρες Αριθµός επιχειρήσεων.45- < < < < < < ΣΥΝΟΛΑ 50 f F Τεταρτηµοριακή απόκλιση: Q 3 Q Q Εντοπισµός θέσης Q : n * 4 50*.5 4 Άρα το Q ανήκει στην η τάξη (διάστηµα.75 - <.05) Υπολογισµός τιµής Q : δ n 0.3 Q LQ +.75 (.5 3) FQ Q Εντοπισµός θέσης Q 3 : n * 4 3 * Άρα το Q 3 ανήκει στην 4 η τάξη (διάστηµα.35 - <.65) Υπολογισµός τιµής Q 3 : Q δ n * 0.3 LQ + Φ.35 + (37.5 9) ΠQ Q f Q 3

9 Άρα Q Q Q Q β) Συµµετρία (.63.6) (.6.98) ( Q M) ( M Q ) Q3 Q Όπως είναι γνωστό ο συντελεστής παίρνει γενικά τιµές στο διάστηµα [-: έντονη αρνητική ασυµµετρία, +: έντονη θετική ασυµµετρία]. Παρατηρούµε ότι υπάρχει ελαφρά θετική ασυµµετρία και συµπεραίνουµε ότι υπάρχουν οριακά περισσότερες επιχειρήσεις µε µικρό αριθµό εργατικών ατυχηµάτων. ΑΣΚΗΣΗ 8 Μια βιοµηχανία Β προµηθεύεται ανταλλακτικά για τις µηχανές της από δύο προµηθευτές Π και Π σε ποσοστό 65% και 35% αντίστοιχα. Η ποιότητα των ανταλλακτικών διαφέρει ανάµεσα στις δύο εταιρείες όπως διαπιστώνεται από τα ιστορικά στοιχεία που τηρούνται στο τµήµα Ποιοτικού Ελέγχου της βιοµηχανίας Β (Πίνακας 8.). Πίνακας 8. % Αποδεκτών % Ελαττωµατικών Ανταλλακτικών Ανταλλακτικών Προµηθευτής Π 98 Προµηθευτής Π 95 5 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία: α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β είναι αποδεκτό. β. Αν ένα τυχαίο επιλεγµένο ανταλλακτικό που φθάνει στη βιοµηχανία Β κριθεί ως ελαττωµατικό να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι προέρχεται από τον Προµηθευτή Π. Έστω Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Π το ενδεχόµενο προµήθειας από την εταιρεία Π Α το ενδεχόµενο αποδεκτού προϊόντος Ε το ενδεχόµενο ελαττωµατικού προϊόντος

10 ίνονται ότι: Ρ(Π )0,65, Ρ(Π )0,35 Ρ(Α/Π )0.8, Ρ(Ε/Π )0.0, Ρ(Α/Π )0.95,Ρ(Ε/Π )0.05 α) Ζητάµε Ρ(Α) Από το Θεώρηµα της Ολικής Πιθανότητας έχουµε: Ρ(Α) Ρ(Π )Ρ(Α/Π )+Ρ(Π )Ρ(Α/Π )(0.65)(0.98)+( 0.35)(0.95) Ρ(Α) Άρα Ρ(Ε) Ρ(Ε) β)ζητάµε Ρ(Π /Ε) Από το Θεώρηµα ayes έχουµε: Ρ( Π Ρ( Π Ρ( Π ) Ρ( Ε / Π / Ε) Ρ( Ε) / Ε) ) (0.35)(0.05) ΑΣΚΗΣΗ 9 Έρευνα σχετικά µε τα αίτια των τροχαίων ατυχηµάτων αποκάλυψε ότι: - 60% του συνόλου των ατυχηµάτων γίνονται τη νύκτα. - Από τα νυκτερινά ατυχήµατα 65% οφείλονται στο αλκοόλ ενώ από τα ατυχήµατα που γίνονται κατά τη διάρκεια της ηµέρας µόνο το 35% οφείλεται στο αλκοόλ. Να υπολογισθούν:. Το ποσοστό του συνόλου των ατυχηµάτων που οφείλονται στο αλκοόλ.. Από τα ατυχήµατα που οφείλονται στο αλκοόλ το ποσοστό εκείνων που γίνονται νύκτα. Ενδεχόµενα και αντίστοιχες πιθανότητες Ν: το ενδεχόµενο ατυχήµατος κατά τη διάρκεια της νύχτας Ν : το ενδεχόµενο ατυχήµατος κατά τη διάρκεια της ηµέρας Α: το ενδεχόµενο ατυχήµατος που οφείλεται στο αλκοόλ ίνεται ότι : P(/N) 0.65, P(/N ) 0.35, P(N) 0.6, P(N ) Ζητάµε P() Από το θεώρηµα ολικής πιθανότητας έχουµε: P() P(N) * P(/N) + P(N ) + Ρ(Α/Ν ) 0.6 * *0.35 P() P() 0.53 Άρα το ποσοστό των ατυχηµάτων που οφείλονται στο αλκοόλ είναι 53%.. Ζητάµε Ρ(Ν/Α) Από το θεώρηµ α του ayes έχουµε:

11 P( N) P(N/) ( I ) P( ) Πρέπει να υπολογίσω το P( N) P( / N) P( N) P( N) P( N) 0.39 P( N) P( / N) * P( N) 0.65* Από ( I ) P(N/) P ( n / ) Άρα από τα ατυχήµατα που οφείλονται στο αλκοόλ το ποσοστό εκείνων που γίνονται τη νύχτα είναι 74%. ΑΣΚΗΣΗ 0 α. Να υπολογισθεί το πλήθος των αριθµών κυκλοφορίας αυτοκινήτων που µπορούν να σχηµατισθούν από 3 γράµµατα του ελληνικού αλφαβήτου και ένα τετραψήφιο αριθµό. β. Ένα κουτί περιέχει 6 κόκκινους κύβους αριθµηµένους από 6 και 6 µαύρους κύβους επίσης αριθµηµένους από 6. Αν επιλεγούν τυχαία κύβοι να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι έχουν διαφορετικό χρώµα και αριθµό. γ. Πόσοι τετραψήφιοι αριθµοί µπορούν να σχηµατισθούν από τα ψηφία 0,,...,9 αν το τελευταίο ψηφίο του σχηµατιζόµενου αριθµού πρέπει να είναι πέντε και δεν επιτρέπονται επαναλήψεις του ίδιου ψηφίου µέσα σε έναν αριθµό α) υνατά γράµµατα:4 (Α-Ω) - υνατοί αριθµοί:0 (0-9) Η σειρά µας ενδιαφέρει (ΑΒΓ 34 ΑΓΒ34) Άρα θα χρησιµοποιήσουµε. ιατάξεις: Πλήθος αριθµών 4! 0! Ρ(4,3) * Ρ(0,4) * *3* 4*7*8*9* 0! 6! Πλήθος αριθµών β) Επιλέγουµε τυχαία κύβους Έστω Α το ενδεχόµενο να έχουν διαφορετικό χρώµα και αριθµό Ρ(Α) υνατοί Τρόποι επιλογής κύβων µε διαφορετικό χρώµα και αριθµό

12 υνατοί τρόποι επιλογής κύβων από τους 6! 5! * C(6,) * C(5,)!5!!!4! C(,)! 0! 6*5 * * Ρ( Α) 0, γ)χ Χ Χ Χ Ψηφίο (0-9, εκτός 0,5) Τρόπος επιλογής Ρ(8,)C(8,) ο Ψηφίο (0-9, εκτός ψηφίο,5)τρόπος επιλογής Ρ(8,)C(8,) 3 ο Ψηφίο (0-9, εκτός, ψηφίο,5) Τρόπος επιλογής Ρ(7,)C(7,) 4 ο Ψηφίο οπωσδήποτε 5. Τρόπος επιλογής Άρα οι δυνατοί τρόποι σχηµατισµού του 4ψήφιου αριθµού : Ρ(8,)*Ρ(8,)*Ρ(7,)* 8! 8! 7! * * * (8 )! (8 )! (7 )! ο 8! * 7! ο ο ο 8! 7! * 8*8*7 * 448 7! 6! ΑΣΚΗΣΗ Ένα πολυκατάστηµα έγινε κατά τους τελευταίους µήνες στόχος πολλών µικροκλοπών από υποτιθέµενους πελάτες. Η ιεύθυνση του καταστήµατος αύξησε τα µέτρα ασφαλείας και αυτό είχε σαν αποτέλεσµα να συλληφθούν επ αυτοφώρω οι δράστες 50 τέτοιων µικροκλοπών. Σύµφωνα µε τα στοιχεία της Υπηρεσίας Ασφάλειας του καταστήµατος 0 από τους συλληφθέντες είναι άντρες και 30 γυναίκες. Επιπλέον, από τους άνδρες 5 είναι κάτω των 0 ετών, 50 µεταξύ 0 και 40 ετών και 45 πάνω από 40 ετών. Οι αντίστοιχοι αριθµοί για τις γυναίκες είναι 30, 65 και 35. Με βάση τα στοιχεία αυτά να υπολογισθούν: α. β. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης είναι άνδρας. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης άνω των 40 ετών είναι γυναίκα. γ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος άνδρας δράστης είναι κάτω των 0 ετών. δ. Η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών.

13 Πινακοποιώντας τα δεδοµένα της άσκησης παίρνουµε τον ακόλουθο πίνακα. Κατανοµή δραστών κατά φύλο / ηλικία Ηλικία Κάτω των 0 ( 0 ) Φύλο Άνδρες 5 (Α) 0.0 Γυναίκες 30 (Γ) 0. Σύνολα Μεταξύ 0 και 40 (0 40) Άνω των 40 (40 + ) Σύνολα α) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι άνδρας )Ρ(Α) 0.48 β) Ρ(ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης πάνω από 40 να είναι γυναίκα ) Ρ( τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι Γ / 40 + ) Ρ( Γ / 40 + ) + P( Γ 40 ) P(40 ) 0.3 γ) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος άνδρας δράστης να είναι κάτω των 0 ετών ) Ρ( τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι 0 / Α ) Ρ'( 0 / Α ) P(0 Α) P( ) δ) Ρ( ένας τυχαία επιλεγµένος δράστης να είναι άνδρας ή κάτω των 0 ετών ) Ρ( Α ή 0 ) Ρ(Α 0 ) Ρ(Α)+ Ρ( 0 )-Ρ(Α 0 ) ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογισθούν πόσοι αριθµοί µικρότεροι από το 500 µπορούν να σχηµατισθούν χρησιµοποιώντας όλα ή ορισµένα από τα ψηφία 3,4,5,6 και. 7. Επανάληψη του ίδιου ψηφίου σ' έναν αριθµό δεν επιτρέπεται. Οι µικρότεροι από το 500 αριθµοί (Α) που µπορούν να σχηµατισθούν είναι:

14 Όλοι οι µονοψήφιοι Όλοι οι διψήφιοι Όλοι οι τριψήφιοι που αρχίζουν από 3 ή ( Μ) ( ) ( Τ) Οι µονοψήφιοι είναι 5 (όσα και τα ψηφία: 3, 4, 5, 6, 7) Μ 5 5! (ή Μ Ρ (5,) 5 4! 5! Οι διψήφιοι είναι: Ρ(5,) 5* 4 0 3! 5! 4! Ρ ) 4! 3! ( ή Ρ ( 5,)* ( 4,) * 5* 4 0 4! Οι τριψήφιοι είναι: Τ * Ρ(4,) * * 4 * 3 Τ 4! 4! 3! ( ή Τ *Ρ(4,)* Ρ(3,) * * *4*3 4) 3!! Άρα το σύνολο των αριθµών είναι Α Μ + + Τ Α 49 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σχετικές έρευνες έχουν δείξει ότι το 45% των τηλεθεατών που παρακολουθούν µια εκποµπή παρακολουθούν επίσης και τα διαφηµιστικά µηνύµατα που προηγούνται της εκποµπής. Με βάση τα αποτελέσµατα των ερευνών αυτών και χρησιµοποιώντας ένα τυχαίο δείγµα 3 τηλεθεατών που παρακολούθησαν µια τηλεοπτική εκποµπή να βρεθεί η κατανοµή πιθανότητας του αριθµού των ατόµων που παρακολούθησαν και τα διαφηµιστικά µηνύµατα που προηγήθηκαν και στη συνέχεια να υπολογισθούν ο αριθµητικός µέσος και η διακύµανση της. Κατανοµή Πιθανότητας Στοιχεία για τον υπολογισµό Ε(Χ), V() Αριθµός Τηλεθεατών Ρ(Χ ) P( ) P( ) Χ Σύνολα Αριθµητικός Μέσος: µ E x) P( ) (

15 ιακύµανση: σ P( ) µ V ( ) 0, (.35) ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας πωλητής επισκέπτεται καθηµερινά διάφορους υποψήφιους πελάτες για να πουλήσει τα δύο προϊόντα Π και Π που αντιπροσωπεύει. Από ιστορικά στατιστικά στοιχεία που έχει συγκεντρώσει ο πωλητής εκτιµά ότι σε κάθε του επίσκεψη. Η πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π είναι τριπλάσια από την πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π.. Η πιθανότητα πώλησης του προϊόντος Π είναι διπλάσια από την πιθανότητα πώλησης και των δύο προϊόντων.. Η πιθανότητα πώλησης και των δύο προϊόντων είναι ίση µε την πιθανότητα αποτυχίας ( µη πώλησης). Με βάση τα στοιχεία αυτά και δεδοµένου ότι το κέρδος από την πώληση του καθενός από τα προϊόντα Π και Π είναι 00 και 00 δραχµές αντίστοιχα, α Να βρεθεί η κατανοµή πιθανότητας του κέρδους του πωλητή ανά επίσκεψη και να υπολογισθεί ο αριθµητικός µέσος και η τυπική απόκλιση. β Να υπολογισθεί η πιθανότητα σε δύο τυχαία επιλεγµένες επισκέψεις ο πωλητής να έχει µηδενικό κέρδος στην πρώτη και κέρδος 300 δραχµών στη δεύτερη. Έστω Χ το κέρδος της επίσκεψης του πωλητή. Τα δυνατά ενδεχόµενα µιας τυχαίας επίσκεψης του πωλητή και τα αντίστοιχα κέρδη είναι τα ακόλουθα: Ενδεχόµενο Π : Πώληση προϊόντος Π Κέρδος 00δρχ. Ενδεχόµενο Π : Πώληση προϊόντος Π Κέρδος 00δρχ. Ενδεχόµενο Β: Πώληση προϊόντων Π και Π Κέρδος 300δρχ. Ενδεχόµενο Α: Αποτυχία επίσκεψης (Μη πώληση) Κέρδος 0δρχ. Σύµ φωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε: Ρ(Π ) 3Ρ(Π ) () Ρ(Π ) Ρ(Β) () Ρ(Β) Ρ(Α) (3) Άρα η σχέση Ρ(Π ) + Ρ(Π ) + Ρ(Β) + Ρ(Α) γίνεται:

16 3Ρ(Π ) + Ρ(Π ) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 3 * Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 6Ρ(Β) + Ρ(Β) + Ρ(Β) 0Ρ(Β ) Ρ(Β) /0 Συνεπώς: Από (3) Ρ(Α) Ρ(Β) /0 Ρ(Α) /0 Από () Ρ(Π ) Ρ(Β) * /0 Ρ(Π ) /0 Από () Ρ(Π ) 3Ρ(Π ) 3 * /0 Ρ(Π ) 6/0 Με βάση τα παραπάνω η κατανοµή πιθανότητας της µεταβλητής Χ δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί: Κατανοµή Πιθανότητας Στοιχεία για τον υπολογισµό Ε(Χ), V() Κέρδος Πιθανότητα Ενδεχόµενο Επ ίσκεψης Κέρδους Χ P( ) P( ) Επίσκεψης ( ρχ.) P() Χ Π 00 6/ *6/ *6/ Π 00 / */ */ Β 300 / */ */ Α 0 / Σύνολα x P x ) 30 x P( x ) 3000 ι Α ριθµητικός Μέσος: µ Ε 4 ( x ) P( ) 30 µ Ε( x) 30 Τ υπική Απόκλιση: σ 4 ι P ( ) µ σ 3000 ( 30) σ 6.00 σ V ( ) 78. β) Ζητάµε τη πιθανότητα Ρ(Μηδενικό Κέρδος στη η επίσκεψη και κέρδος 300δρχ. στη η ) Ρ(Α Β) Ρ(Α) * Ρ(Β) /0*/0 /00 0.0

17 ΑΣΚΗΣΗ 5 Σε έρευνα που έγινε από τη ιεύθυνση Μελετών της Τράπεζας Τ διαπιστώθηκε ότι το ύψος των λογαριασµών όψεως που τηρούνται σ αυτή ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 500 χ. µ. και τυπική απόκλιση 50 χ. µ. α. Να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι ένας τυχαία επιλεγµένος λογαριασµός έχει ύψος µεταξύ 300 και 700 χ. µ. β. Η Τράπεζα στο πλαίσιο της πολιτικής προσέλκυσης νέων πελατών προγραµµατίζει να προσφέρει υψηλότερο επιτόκιο σε πελάτες που το µέσο ύψος του λογαριασµού τους υπερβαίνει κάποιο µέσο Π. Αν το µέτρο αυτό δεν πρέπει να επεκταθεί σε περισσότερους από το 5% των πελατών της να υπολογισθεί ποιο θα πρέπει να είναι το ποσό Π. Έστω Χ το ύψος ενός τυχαίου λογαριασµού Χ ~ Ν (µ500, σ50) Γνωρίζουµε ότι το Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή. α) Ζητάµε: Ρ 37 µ µ 770 µ σ σ σ ( 37 < < 770) Ρ < < Ρ < Ζ < Ρ < Ζ < Ρ (. < Ζ <.80) Ρ( Ζ <.8) Ρ( Ζ <.) ( Ζ <.8) ( Ρ( Ζ <.) ) Ρ( Ζ <.8) + Ρ( Ζ <.) Ρ ( 37 < < 770) Ρ β) Έστω Π το ζητούµενο ποσό. Θέλουµε Ρ(Χ>Π) 0.0 Ρ( > Π) 0.0 Ρ( < Π) 0.99 µ Ρ < σ Π µ Π µ 0.99 Ρ Ζ < 0.99 σ σ Π µ.33 σ Π µ.33* σ Π µ +.33* σ Π *50 Π Π

18 ΑΣΚΗΣΗ 6 Μία στρατιωτική µονάδα θα δεχθεί την νεοσύλλεκτους για κατάταξη και πρέπει να προετοιµάσει τις στολές τους. Σύµφωνα µε τα υπάρχοντα ιστορικά στοιχεία για να καλυφθούν οι ενδυµατολογικές ανάγκες όλων των νεοσύλλεκτων οι στολές τους θα πρέπει να χωρισθούν στις παρακάτω τέσσερις κατηγορίες: α. Στολές για άνδρες ύψους µικρότερου των 65 εκ. β Στολές για άνδρες ύψους µεταξύ 65 εκ. και 7 εκ. γ Στολές για άνδρες ύψους µεταξύ 7 εκ. και 80 εκ. δ Στολές για άνδρες ύψους µεγαλυτέρου των 80 εκ. Αν από ιστορικά στοιχεία γνωρίζουµε επίσης ότι το ύψος των νεοσύλλεκτων ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέσο 68 εκ. και τυπική απόκλιση 5 εκ. να προσδιοριστεί ο αριθµός των στολών που θα χρειασθούν για τις κατηγορίες β και δ. Έστω Χ η τυχαία µεταβλητή η οποία εκφράζει το ύψος των νεοσύλλεκτων. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος Χ Ν (µ68cm, σ5cm) α) 65 µ µ 7 µ P(65 7) P Ρ Ζ σ σ σ Ρ Ζ Ρ( 0,6 Ζ 0,8) Ρ( Ζ 0,8) Ρ( Ζ 0,6) Ρ( Ζ 0,8) 5 5 Ρ( Ζ 0,8) + Ρ( Ζ 0,6) 0,788+ 0,757,538 Ρ(65 7) 0,538 [ Ρ( Ζ 0,6) ] Άρα θα χρειαστούν 0000*0, στολές για την κατηγορία β, δηλαδή για νεοσύλλεκτους ύψους µεταξύ 65 και 7 εκατοστών. β) µ 80 µ Ρ( > 80) Ρ( Χ 80) Ρ Ρ Ζ Ρ( Ζ,4) σ σ 5 0,998 0,008 Ρ( Χ > 80) 0,008 Άρα θα χρειαστούν 0000*0,00864 στολές για την κατηγορία δ, δηλαδή για νεοσύλλεκτους ύψους µεγαλύτερου των 80 εκατοστών

19 ΑΣΚΗΣΗ 7 Έρευνες έδειξαν ότι το 40% των επισκεπτών µουσείων αγοράζουν και κάποιο αναµνηστικό αντικείµενο. Να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι σε τυχαία επιλεγµένους επισκέπτες ενός µουσείου. το πολύ αγόρασαν κάποιο αναµνηστικό. τουλάχιστον 3 αγόρασαν κάποιο αναµνηστικό. Έστω Χ ο αριθµός των επισκεπτών που αγοράζουν κάποιο αναµνηστικό. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Χ ~ ιωνυµική Κατανοµή µε p P(x /n,p0.40) Ρ(x0/n,p0,40) + P(x/n,p0,40) + P(x/n,p0,40) 0,00+0,074+0, P(x 3/n, p0.40) P(x<3/n, p0.40) -[P(x0/n, p0.40)+ P(x/n, p0.40)+p(x/n, p0.40)] -[ ] ΑΣΚΗΣΗ 8 Μία νέα γραµµή παραγωγής παρουσιάζει µέσο όρο 7 βλαβών ανά βδοµάδα (5 εργασίµων ηµερών). Να υπολογιστεί η πιθανότητα: ) Σε µια τυχαία επιλεγµένη εβδοµάδα να παρουσιαστούν το πολύ τρεις βλάβες ) Ότι σε ένα τυχαία επιλεγµένο διήµερο θα παρουσιαστούν τουλάχιστον βλάβες Έστω Χ ο αριθµός βλαβών ανά εβδοµάδα Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Χ ~ Κατανοµή Posson µε λ 7. P(x 3/ λ7) P(x 0/ λ7)+ P(x/ λ7)+ P(x/ λ7)+ P(x3/ λ7) λ 7 βλάβες ανά εβδοµάδα 5 ηµερών λ. 4 βλάβες ανά ηµέρα 5 λ.4 *.8 βλάβες ανά διήµερο Έστω Υ ο αριθµός βλαβών ανά διήµερο Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης Υ ~ Κατανοµή Posson µε λ.8 P(x / λ.8) - P(x</ λ.8) -[ P(x0/ λ.8) + P(x/ λ.8)] -[ ]

20 ΑΣΚΗΣΗ 9 Ο καθηγητής Στατιστικής ενός Τµήµατος ιοίκησης Επιχειρήσεων θέλει να συγκρίνει τη διασπορά των βαθµολογιών των φοιτητών του Τµήµατος στα µαθήµατα Λογιστική και Κοινωνιολογία. Μελετώντας το θέµα διαπίστωσε ότι σε ένα τυχαίο δείγµα 6 φοιτητών που είχαν εξεταστεί στην Λογιστική η µέση βαθµολογία ( σε κλίµακα 0 00 ) ήταν 75 µονάδες και η τυπική απόκλιση 5 µονάδες. Αντίστοιχα σ ένα τυχαίο δείγµα 3 φοιτητών που είχαν εξεταστεί στην Κοινωνιολογία η µέση βαθµολογία ήταν 70 µονάδες και η διακύµανση 00 µονάδες. Με βάση τα στοιχεία αυτά και µε δεδοµένο ότι οι βαθµολογίες και στα δυο µαθήµατα ακολουθούν κανονική κατανοµή να κατασκευασθεί ένα 95% διάστηµ α εµπιστοσύνης για το λόγο των διακυµάνσεων των βαθµολογιών στα δύο µαθήµατα. Έστω Χ και Υ τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν τη βαθµολογία των φοιτητών στα µαθήµ ατα Λογιστική και Κοινωνιολογία αντίστοιχα. Οι µεταβλητές αυτές ακολουθούν κανονική κατανοµή και επιπλέον δίνεται ότι: Για τη Λογιστική n 6, 5, 75 και Για την Κοινωνιολογία: m3, 00, Y 70. Y Με βάση τα δεδοµένα αυτά θέλουµε να κατασκευάσουµε ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης για το λόγο διακυµάνσεων των βαθµολογιών. Γενικός τύπος : F a *, Fa, n, m y *, n, m y α Από τα δεδοµένα του προβλήµατος έχω: α α n 6 n- 5, m3 m-, x 5 5, 00, Y,5 y Y 5 00 Άρα ο γενικός τύπος γίνεται: [ F0. 975,5, *.5, F 0.05,5, *.5] *.5, *.5 F0.97 5,5, F 0.975,,5 F 0.975,5, *.5, F 0.975,,5 *.5 *.5, *.5 0.7, [ 6.66] Άρα το 95% ιάστηµα Εµπιστοσύνης των διακυµάν σεων της βαθµολογίας των φοιτητών στα δύο µ 0.7, 6.66 αθήµατα είναι: [ ]

21 ΑΣΚΗΣΗ 0 ύο φαρµακοβιοµηχανίες έχουν παράγει ανεξάρτητα δύο διαφορετικά φάρµακα Α και Β για την ανακούφιση ασθενών που πάσχουν από αρθριτικά. Πριν τα θέσουν σε κυκλοφορία θέλησαν να δοκιµάσουν την αποτελεσµατικότητα τους. Το φάρµακο Α δοκιµάστηκε σε 00 ασθενείς και έδωσε µέσο χρόνο ανακούφισης 8.9 ώρες µε τυπική απόκλιση. ώρες. Το φάρµακο Β δοκιµάστηκε σε 8 ασθενείς και έδωσε µέσο χρόνο ανακούφισης 7.9 ώρες µε τυπική απόκλιση.8 ώρες. α. Να διερευνηθεί σε επίπεδο σηµαντικότητας 0.05 αν ο χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Α είναι σηµαντικά µεγαλύτερος από αυτόν του Β. β. Σε περίπτωση που αποδειχθεί ότι ο χρόνος ανακούφισης του Α είναι πράγµατι µεγαλύτερος από αυτόν του Β να εξετασθεί ποιος θα έπρεπε να ήταν ο µέσος χρόνος ανακούφισης του δείγµατος στο οποίο χορηγήθηκε το φάρµακο Β ώστε να µην υπάρχει σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο φαρµάκων. α) Έστω Χ Α και Χ Β οι τυχαίες µεταβλητές που εκφράζουν το µέσο χρόνο ανακούφισης που δίνουν τα φάρµακα Α και Β αντίστοιχα. ίνεται ότι: Για το φάρµακο Α: n 00, 8,9, Α Για το φάρµακο Β: n 8, 7.9,,8 Β Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η µ µ 0( µ µ ) 0 Α Β Α Β έναντι της εναλλακτικής: ( ) Η : µ µ 0 µ µ Α Β > Α> Β σε επίπεδο σηµαντικότητας α0.05 Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Β ήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Από το σχετικό διάγραµµα έχουµε: σα,σ Β γνωστές; ΟΧΙ σ Α σ Β ΟΧΙ n Α 30 ΝΑΙ n 30 ΝΑΙ

22 Χ Α, Χ Β ~ Ν ΝΑΙ Άρα η Συνάρτηση Ελέγχου είναι: Z n n Το αντίστοιχο Κριτήριο Ελέγχου είναι: Αποδοχή της Η 0 αν Ζ 0 <Ζ -α, διαφορετικά Απόρριψη της Η 0 Β ήµα : Υπολογισµός των Ζ, Ζ -α n n 8 9 Z o + (0.) ( 0.0) Z o 3.45 Άρα α0.05 α 0.95 Ζ -α Ζ Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Ζο3.45>.64Ζ -α Άρα απορρίπτουµε την Η 0 και αποδεχόµαστε την Η. Με άλλα λόγια αποδεχόµαστε ότι ο χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Α είναι σηµαντικά µ εγαλύτερος από αυτόν του Β β)για να µην υπήρχε διαφορά µεταξύ των χρόνων ανακούφισης των δυο φαρµάκων θα έπρεπε Ζ 0 <.64 Z,64 <, <.64*0.9 <.64*0.9 0 < >.9.64* > > 8.64*0.9 > 8.43 Άρα θα έπρεπε ο µέσος χρόνος ανακούφισης του φαρµάκου Β να είναι µεγαλύτερος από 8.43 ΑΣΚΗΣΗ

23 Η εταιρεία Χ παρασκευάζει και συσκευάζει στιγµιαίο καφέ σε βάζα των οποίων η ετικέτα γρά φει «καθαρό βάρος 500 γραµµάρια». Για τη συσκευασία, η οποία γίνεται αυτόµατα, χρησιµοποιείται η µηχανή Κ η οποία σύµφωνα µε τις προδιαγραφές του κατασκευαστή της σε κάθε βάζο καφέ τοποθετεί κατά µέσο όρο 500 γραµµάρια. Πρόσφατα η εταιρεία δέχτηκε καταγγελίες πολλών καταναλωτών ότι το περιεχόµενο βάζων καφέ που αγόρασαν ήταν µ ικρότερο από το αναγραφόµενο. Προκειµένου να διερευνήσει τις καταγγελίες αυτές η εταιρεία χρησιµοποίησε δείγµα 5 βάζων και διαπίστωσε ότι το µέσο βάρος τους ήταν 480 γρα µµάρια και η δειγµατική απόκλιση 30 γραµµάρια. α. Με βάση τα στοιχεία αυτά και αν υποτεθεί ότι το περιεχόµενο των βάζων που συσκευάζει η µηχανή ακολουθεί κανονική κατανοµή να εξετασθεί αν ευσταθούν οι καταγγελίες των καταναλωτών σε επίπεδο σηµαντικότητας β. Σε περίπτωση που διαπιστωθεί ότι οι καταγγελίες των καταναλωτών ευσταθούν η εταιρεία έχει αποφασίσει να αλλάξει τις ετικέτες ώστε να συµφωνούν µε το πραγµατικό περιεχόµενο των βάζων. Πόσο είναι το νέο περιεχόµ ενο που θα πρέπει να αναγράφεται; Έστω Χ το περιεχόµενο που τοποθετεί η µηχανή στα βάζα του καφέ. Σύµφωνα µε τις προδιαγραφές της Χ ~ Ν (µ 500, σ ;) Παίρνουµε δείγµα n 5και βρίσκουµ ε ότι x 480, s 30. Με βάση τα δεδοµένα αυτά θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση Η 0 : µ 500 έναντι της εναλλακτικής Η : µ <500 Σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.05 Β ήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Από το σχετικό διάγραµµα έχουµε: σ γνωστή; ΟΧΙ n 30 ; ΟΧΙ Άρα: Συνάρτηση Ελέγχου Χ ~ Ν ; ΝΑΙ χ µ Τ, x ν n- Το αντίστοιχο Κριτήριο Ελέγχου είναι: Αποδοχή της Η 0 αν Τ tv, a, διαφορετικά Απόρριψη της Η 0.

24 Βήµα : Υπολογισµός των Τ ο, t v, -α s µ , Τ x x ο T n α α Άρα t v, -α t 4, x Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Τ < t v, -α Άρα απορρίπτουµε την Η 0 και δεχόµαστε την Η δηλαδή ευσταθούν οι καταγγελίες των καταναλωτών. β) Έστω Π το περιεχόµενο που θα πρέπει να αναγράφει η ετικέτα. Η τιµή του Π πρέπει να είναι τέτοια ώστε T. 7 Άρα: Π x.7 Π (.7) x Π.7* x Π +.7* x Π * 6 Π Π Άρα η ετικέτα θα πρέπει να αναγράφε ι Καθαρό Περιεχόµενο 490 γραµµάρια. ΑΣΚΗΣΗ Μια φαρµακευτική εταιρεία ισχυρίζεται ότι το φάρµακο Α όταν χορηγείται προληπτικά για ορισµένο χρόνο διάστηµα µπορεί να προλάβει τις ασθµατικές κρίσεις τουλάχιστον στο 90% των παιδιών που πάσχουν από την ασθένεια. Να ελεγχθεί η υπόθεση αυτή σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.05 αν, σε τυχαίο δείγµα n 95 παιδιών, εµφάνισαν κρίση τα 6 παρό λο που έπαιρναν πρ οληπτικά το φάρµακο. Έλεγχος Ποσοστού Έχουµε δείγµα n 95 παιδιών που παίρνουν το φάρµακο και βρίσκουµε ότι 6 από αυτ ά εµφανίζουν κρίση. Άρα Χ παιδιά δεν εµφανίζουν κρίση. Με βάση τα δεδοµένα αυτά:

25 H : P < 0.9 Στατιστική Α Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση: H 0 : P 0.9 Έναντι της εναλλακτικής H 0 : P 0.9 Σε επίπεδο σηµαντικότητητας α 0.05 Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Βήµα: Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Στατιστική Συνάρτηση Ελέγχου Κριτήρ ιο Ελέγχου Ζ p n pq n Απορρίπτουµε την Η 0 αν Ζ 0 <-Ζ -α, διαφορετικά Αποδεχόµαστε την Η 0 Βήµα : Υπολογισµός των Ζ ο, Ζ -α Z Z (0.9)(0.) ίνεται ότι: α0.05 α Ζ -α Ζ Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα Αφού Ζ ο <-Ζ -α απορρίπτω την Ηο και δέχοµαι τη Η. ηλαδή ο ισχυρισµός της φαρµακευτικής εταιρείας ότι το φάρµακο Α µπορεί να προλάβει τις ασθµατικές κρίσεις στο 90% των παιδιών που πάσχουν από την ασθένεια δεν ευσταθεί. ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια πρόσφατη έρευνα στο θέµα των αµοιβών των νέων πτυχιούχων Τµηµάτων ιοίκησης Επιχειρήσεων ΑΕΙ και ΤΕΙ, υποστηρίζει ότι σε ευρωπαϊκό επίπεδο οι ετήσιες αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ έχουν µεγαλύτερη διασπορά από αντίστοιχες αµοιβές των αποφοίτων ΤΕΙ. Προκειµένου να διερευνηθεί ο ισχυρισµός αυτός και για την Ελλάδα, οι αρµόδιες υπηρεσίες του Υπουργείου Εργασίας επιλέγουν τυχαία ένα δείγµα αποφοίτων ΑΕΙ και ένα δείγµα 5 αποφοίτων ΤΕΙ και υπολογίζουν ότι οι δειγµατικές τυπικές αποκλίσεις των ετήσιων αµοιβών

26 είναι 70 χ.µ. και 75 χ.µ. αντίστοιχα. Με βάση τα στοιχεία αυτά οι υπηρεσίες του Υπουργείου συµπεραίνουν ότι σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,0 πράγµατι οι ετήσιες αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ έχουν µεγαλύτερη διασπορά από τις αντίστοιχες των αποφοίτων ΤΕΙ.. Αιτιολογήστε το συµπέρασµα τους.. Με δεδοµένο ότι η δειγµατική τυπική απόκλιση των αµοιβών των αποφοίτων ΑΕΙ είναι 70 χιλ. δρχ., ποια θα έπρεπε να είναι η αντίστοιχη τυπική απόκλιση των αµοιβών των αποφοίτων ΤΕΙ, ώστε σε επίπεδο σηµαντικότητας 0,0 να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα. Έστω Χ, Χ οι τιµές που εκφράζουν τις αµοιβές φοιτητών ΑΕΙ και ΤΕΙ αντίστοιχα. ίνεται ότι: Για τους απόφοιτους ΑΕΙ:n, 70 Για τους απόφοιτους ΤΕΙ: n 5, 75. Με βάση τα δεδοµένα αυτά και σε επίπεδο σηµαντικότητας α 0.0:. Θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεση: σ σ σ σ Η 0 : ( ) Έναντι της εναλλακτικής σ > σ σ σ > Η : ( ) Για τον έλεγχο αυτό εργαζόµαστε ως εξής: Βήµα : Προσδιορισµός Συνάρτησης και Κριτηρίου Ελέγχου Συνάρτηση Ελέγχου: F Κριτήριο Ελέγχου : Αποδοχή της Η ο αν Βήµα. Υπολογισµός F ο και Fn, n, a F < F n, n, a διαφορετικά απόρριψη της Η 0. F ο ( ) ( 75) F F n, n, a F0, 4, Βήµα 3: Έλεγχος / Συµπέρασµα

27 Eπειδή F ο 5.4 >.74 F0, 4, απορρίπτουµε την Η ο και δεχόµαστε την Η που σηµαίνει ότι η διασπορά στις αµοιβές των αποφοίτων ΑΕΙ είναι σηµαντικά µεγαλύτερη από την αντίστοιχη διασπορά των αµοιβών των αποφοίτων ΤΕΙ (συµφωνία µε το συµπέρασµα της έρευνας).. Για να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα θα πρέπει να δεχτούµε την Η ο δηλαδή θα πρέπει το F ο να είναι τουλάχιστον ίσο (ή µικρότερο) από το F 0, 4, (70) F o.74, χ.µ. Άρα για να ανατραπεί το προηγούµενο συµπέρασµα δηλαδή για να ισχυριστούµε ότι δεν υπάρχει σηµαντική διαφορά στη διασπορά των ετησίων αποδοχών των αποφοίτων ΑΕΙ και ΤΕΙ θα πρέπει η δειγµατική απόκλιση των αποφοίτων να είναι τουλάχιστον 03 δρχ.