On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University)"

Transcript

1 On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) 1

2 1 Introduction (E) {1+x 2 +β(x,y)}y u x (x,y)+{x+b(x,y)}y2 u y (x,y) +u(x,y)=f(x,y) x,y C β,b,f: holomorphic at (x,y) = (,) C 2 (1.1)! û(x,y) = u n (x)y n : n= Problem When is û(x, y) summable? β(x,) b(x,) formal solution of (E) divergent 2

3 2 Definition and fundamental result Definition 2.1 (1) R>, B(R) ={x C; x R} O[R]: ring of holomorphic functions on B(R) (2) O[R][[y]] = û(x,y) = u n (x)y n ; u n (x) O[R] (3) O[R][[y]] 2 = û(x,y) = n= u n (x)y n O[R][[y]]; C, K > s.t. n= max u n(x) CK n n! (n =,1,2,...) x R (4) θ R, κ>, <ρ + S(θ,κ,ρ) = y; arg(y) θ < κ 2, < y <ρ 3

4 (5) û(x,y) = ρ<+ ρe iθ κ 2 ρ = + θ θ u n (x)y n O[R][[y]] 2 isborelsummable inθ n= S(θ,κ,ρ) (κ>π) u(x,y): holomorphoic onb(r) S(θ,κ,ρ) (< r R) s.t. N 1 u(x,y) u n (x)y n C K N N! y N max x r n= y S(θ,κ,ρ), N = 1,2,... û: Borel summable inθ u: unique Borelsumofûinθ κ 2 4

5 Definition2.2 û(x,y) = n= u n (x)y n O[R][[y]] 2 ˆB[û](x, ) = u n (x) n : formalboreltransform ofû n! n= ˆB[û](x,): holomorphic at (x,) = (,) Theorem2.1 û(x,y) O[R][[y]] 2 û(x, y): Borel summable in θ (BS) ˆB[û](x,): continued analytically tob(r ) S(θ,κ,+) ( r, κ ) C, δ> s.t. max ˆB[û](x,) Ce δ, S(θ,κ,+) x r Borel sum ofûinθ: u(x,)= 1 y e iθ e /y ˆB[û](x,)d 5

6 3 Motivation (3.1) A(x,y) u x (x,y)+b(x,y) u y (x,y)+u(x,y)=f(x,y) A,B,f: holomorphic at (x,y) = (,) C 2 (3.2) (3.3) (3.4) A(x,) A y (,)= B(x,) B y (x,) Remark 3.1 (3.2), (3.3), (3.4) (A,B) (x, y) = (x,y)=(,) A y (,) (nilpotent type) 6

7 Theorem 3.1(1999) (3.2), (3.3), (3.4)! û(x,y) = u n (x)y n O[R][[y]] 2 ( R): formal solution of (3.1) Problem θ: given n= Whenisû(x,y)Borelsummable inθ? (When does ˆB[û](x, ) satisfy(bs)?) Remark 3.2 û(x, y): Borel summable Borel sum u(x, y): holomorphic solution 7

8 (3.1) is rewritten (3.5) {α(x)+β(x,y)}y u x (x,y)+{a(x)+b(x,y)}y2 u y (x,y) +u(x,y)=f(x,y) (3.6) (3.7) α,β,a,b,f: holomorphic at the origin α()= β(x,) b(x,) 26 α(x): general, a(x) a(constant) 28 α(x) α(constant), a(x): general 21 α(x)=α +α 1 x, a(x): general In this talk we consider the case (3.8) α(x)=1+x 2, a(x)=x 8

9 4 Mainresult (E) {1+x 2 +β(x,y)}y u x (x,y)+{x+b(x,y)}y2 u y (x,y) +u(x,y)=f(x,y) Assumptions We define the regionω θ,κ by Ω θ,κ = tan[arcsin(τ)]; τ S(θ,κ,+) In order to assure the well-definedness ofω θ,κ we assume (A1) θ=,π (A2) f(x,y): C, δ> s.t. x Ω θ,κ (4.1) continued analytically toω θ,κ {y C; y c} ( c>) max f(x,y) Cexp δ sin(arctanx) y c 9

10 (A3) β(x,y),b(x,y): continued analytically toω θ,κ {y C; y c} K, L>, p>1 s.t. x Ω θ,κ, m = 1, 2,... (4.2) (4.3) (4.4) 1 m β 1+x 2 y m(x,) KLm m! cos(arctanx) m x m β 1+x 2 y m(x,) m! cos(arctanx) m+1 KLm {1+ sin(arctanx) } p m b y m(x,) m! cos(arctanx) m+1 KLm {1+ sin(arctanx) } p Main theorem (A1), (A2), (A3) The formal solutionû(x,y) of (E) is Borel summable inθ 1

11 5 Proofof MainTheorem (easycase: f(x,y)=f(x),β(x,y) b(x,y) ) (E) (y+x 2 y) u x (x,y)+xy2 u y (x,y)+u(x,y)=f(x) û(x,y): formal solution of (E) ˆB[û](x,): formal Borel transform ofû ˆB[û](x,) =f tan arcsin sin(arctanx)+cos(arctanx) (A1)θ=,π; (A2)f(x) can be continued analytically to Ω θ,κ ={ tan[arcsin(τ)]; τ S(θ,κ,+)} with the estimate f(x) C exp δ sin(arctan x),x Ω θ,κ (BS) ˆB[û](x,) can be continued analytically to B(r ) S(θ,κ,+) ( r, κ ) and satisfies max ˆB[û](x,) C e δ, S(θ,κ,+) ( C, δ ) x r 11

12 6 Proofof MainTheorem For simplicity, we consider the caseβ(x,y) : (E) {1+x 2 }yd x u(x,y)+{x+b(x,y)}y 2 D y u(x,y) +u(x,y)=f(x,y) D x = x, D y= y û(x, y): formal solution of (E) v(x,) = ˆB[û](x,): formal Borel transform ofû It is sufficient to prove thatv(x,) satisfies (BS): (BS)v(x,) can be continued analytically tob(r ) S(θ,κ,+) ( r, κ ) and satisfies max v(x,) C e δ, S(θ,κ,+) ( C, δ ) x r 12

13 Step 1. Formal Borel transform of equation (E) formal Borel transform? A(x,y)yB(x,y) yd y C(x,y) D ˆB[C](x,) v(x, ) satisfies {1+x 2 } (6.1) + ˆB[A](x, t) ˆB[B](x,t)dt v x (x,t)dt+x t v (x,t)dt ˆB[b](x, t) t v (x,t)dt+v(x,) = ˆB[f](x,) (E) {1+x 2 }yd x u(x,y)+{x+b(x,y)}y 2 D y u(x,y) +u(x,y)=f(x,y) integration by parts (6.1) (6.2) 13

14 (6.2) {1+x 2 } + = ˆB[f](x,) v x (x,t)dt+x t v (x,t)dt ˆB[b] (x, t) t v(x,t)dt ˆB[b](x, t)v(x,t)dt+v(x,) (6.1) {1+x 2 } + v x (x,t)dt+x t v (x,t)dt ˆB[b](x, t) t v (x,t)dt+v(x,) = ˆB[f](x,) (6.2) D (6.3): 14

15 (6.3) {(1+x 2 )D x +(1+x)D }v(x,) = ˆB[b] (x,) v(x,) ˆB[b] (x, t) t v(x,t)dt + ˆB[b] (x, t)v(x,t)dt+ ˆB[f] (x,) v(x, ) = f(x, ) (integro-differential equation) (6.2) {1+x 2 } + = ˆB[f](x,) v x (x,t)dt+x t v (x,t)dt ˆB[b] (x, t) t v(x,t)dt ˆB[b](x, t)v(x,t)dt+v(x,) 15

16 (6.3) v(x,) = ˆB[b] (x,) v(x,) ˆB[b] (x, t) t v(x,t)dt + ˆB[b] (x, t)v(x,t)dt+g(x,) v(x, ) = f(x, ) (integro-differential equation) (6.4) = (1+x 2 )D x +(1+x)D g(x,) = ˆB[f] (x,) Does v(x, ) satisfy(bs)? 16

17 Step 2. Integro-differential equation Integral equation w(x,) =k(x,) (6.5) w(x,) = l tan (x,) + k w(x,) =l(x) tan (x, z), (x, z) z (x,) = arcsin sin(arctanx)+cos(arctanx) (x,) = cos(arctanx) cos( (x,)) (6.5) integration by substitution (6.3) (6.6) (x, z)dz 17

18 (6.6) v(x,) = f tan (x,), + + i=1 g tan (x, z), (x, z) z 3 I i v(x,) (integralequation) (x, z)dz I 1 v(x,) = (x, z) 2 z ˆB[b] tan (x, z), v tan (x, z), (x, z) z dz z I 2 v(x,) = (x, z) 3 ˆB[b] tan (x, z), (x, z) (z s) s v tan (x, z), (x, z) s dsdz z I 3 v(x,) = (x, z) 2 ˆB[b] tan (x, z), (x, z) (z s) v tan (x, z), (x, z) s dsdz Does asolutionv(x,) of(6.6) satisfy (BS)? 18

19 Step 3. Iteration v (x,) =f tan (x,), + g tan (x, z), (x, z) z (x, z)dz v n+1 (x,) =v (x,)+ 3 I i v n (x,) (n ) i=1 w (x,) =v (x,) w n (x,) =v n (x,) v n 1 (x,) (n 1) Lemma 6.1 w n (x,): continued analytically tob(r ) S(θ,κ,+) ( r, κ > ) C, δ, M > s.t. S(θ,κ,+) max w n (x,) C e δ M n 1+ 1 n n (6.7) x r p 1 n! 19

20 (A3) β(x,y),b(x,y): continued analytically toω θ,κ {y C; y c} K, L>, p>1 s.t. x Ω θ,κ, m = 1, 2,... (4.2) (4.3) (4.4) 1 m β 1+x 2 y m(x,) KLm m! cos(arctanx) m x m β 1+x 2 y m(x,) m! cos(arctanx) m+1 KLm {1+ sin(arctanx) } p m b y m(x,) m! cos(arctanx) m+1 KLm {1+ sin(arctanx) } p Main theorem (A1), (A2), (A3) The formal solutionû(x,y) of (E) is Borel summable inθ 1

21 Lemma 6.1 max x r n= w n (x,) C e δ n= M n 1+ 1 n n p 1 n! = C e δ1, S(θ,κ,+) δ 1 =δ +M 1+ 1 p 1 v(x,) = lim n v n(x,) = w n (x,): n= holomorphic solution of (6.6) onb(r ) S(θ,κ,+) max v(x,) C e δ1, S(θ,κ,+) x r 2

22 Proofof Lemma6.1 (A1)and(A2)= Lemma6.1forn= (A3)and analyticcontinuationpropertyforw n (x,) = analyticcontinuationpropertyfor w n+1 (x,) w n+1 (x,)=i 1 w n (x,)+i 2 w n (x,)+i 3 w n (x,) I 1 w n (x,) = (x, z) 2 z ˆB[b] tan (x, z), w n tan (x, z), (x, z) z dz z I 2 w n (x,) = (x, z) 3 ˆB[b] tan (x, z), (x, z) (z s) s w n tan (x, z), (x, z) s dsdz z I 3 w n (x,) = (x, z) 2 ˆB[b] tan (x, z), (x, z) (z s) w n tan (x, z), (x, z) s dsdz 21

23 On the estimate(6.7)? max w n (x,) C e δ M n 1+ 1 n n (6.7) x r p 1 n! A(x,y) = = m= A m (x)y m B[A](x, t)v(x,t)dt = m= A m (x) 1 m m= A m (x) m! ( t) m V(x,t)dt V(x, m+1 )d m+1 d 2 d 1 (6.8) w n+1 (x,)= 1 w n (x,)+ 2 w n (x,) 22

24 1w n (x,) =I 1 w n (x,)+i 2 w n (x,) = b m tan (x, 1 ) (x, 1 ) m+1 m=1 1 m 1 2w n (x,) =I 3 w n (x,) = b m tan m=1 1 m m w n tan (x, 1 ), (x, 1 ) m d m d 2 d 1 (x, 1 ) (x, 1 ) m+1 w n tan (x, 1 ), (x, 1 ) m+1 d m+1 d 2 d 1 b m (x)= 1 m b m! y m(x,) Estimate (6.7)forw n (x,), (4.4),(6.8) = Estimate (6.7)forw n+1 (x,) 23

25 (A3) β(x,y),b(x,y): continued analytically toω θ,κ {y C; y c} K, L>, p>1 s.t. x Ω θ,κ, m = 1, 2,... (4.2) (4.3) (4.4) 1 m β 1+x 2 y m(x,) KLm m! cos(arctanx) m x m β 1+x 2 y m(x,) m! cos(arctanx) m+1 KLm {1+ sin(arctanx) } p m b y m(x,) m! cos(arctanx) m+1 KLm {1+ sin(arctanx) } p Main theorem (A1), (A2), (A3) The formal solutionû(x,y) of (E) is Borel summable inθ 1

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος

Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No.

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No. 212 2 28 1 Pure and Applied Mathematics Feb. 212 Vol. 28 No. 1 P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]) (1) ( (), 364) (G, β, u),,, P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]),. ; ; O174.12 A 18-5513(212)1-99-1 1, [2]. 1965,

Διαβάστε περισσότερα

Problem 3.16 Given B = ˆx(z 3y) +ŷ(2x 3z) ẑ(x+y), find a unit vector parallel. Solution: At P = (1,0, 1), ˆb = B

Problem 3.16 Given B = ˆx(z 3y) +ŷ(2x 3z) ẑ(x+y), find a unit vector parallel. Solution: At P = (1,0, 1), ˆb = B Problem 3.6 Given B = ˆxz 3y) +ŷx 3z) ẑx+y), find a unit vector parallel to B at point P =,0, ). Solution: At P =,0, ), B = ˆx )+ŷ+3) ẑ) = ˆx+ŷ5 ẑ, ˆb = B B = ˆx+ŷ5 ẑ = ˆx+ŷ5 ẑ. +5+ 7 Problem 3.4 Convert

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

The Normal and Lognormal Distributions

The Normal and Lognormal Distributions The Normal and Lognormal Distributions John Norstad j-norstad@northwestern.edu http://www.norstad.org February, 999 Updated: November 3, Abstract The basic properties of the normal and lognormal distributions,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θέμα: Τεχνικές Ολοκλήρωσης Εισηγητής: Κων/νος Λ. Κωνσταντόπουλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ηράκλειο 7-8 Μαρτίου 014 ΠΕΚ A. Ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης Έστω μία ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S.

Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. y z = z y y, z S. Solutions to Selected Homework Problems 1.26 Claim: α : S S which is 1-1 but not onto β : S S which is onto but not 1-1. Proof. ( ) Since α is 1-1, β : S S such that β α = id S. Since β α = id S is onto,

Διαβάστε περισσότερα

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics

Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics Volume 31, 2004, 83 97 T. Tadumadze and L. Alkhazishvili FORMULAS OF VARIATION OF SOLUTION FOR NON-LINEAR CONTROLLED DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS

Διαβάστε περισσότερα

A METHOD OF SOLVING LAGRANGE S FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WHOSE COEFFICIENTS ARE LINEAR FUNCTIONS

A METHOD OF SOLVING LAGRANGE S FIRST-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WHOSE COEFFICIENTS ARE LINEAR FUNCTIONS International Journal of Differential Equations and Applications Volume 14 No. 2 2015, 65-79 ISSN: 1311-2872 url: http://www.ijpam.eu doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijdea.v14i2.2091 PA acadpubl.eu A METHOD

Διαβάστε περισσότερα

MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM

MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM English NUMERICAL MATHEMATICS Vol.14, No.2 Series A Journal of Chinese Universities May 2005 A STABILITY ANALYSIS OF THE (k) JACOBI MATRIX INVERSE EIGENVALUE PROBLEM Hou Wenyuan ( ΛΠ) Jiang Erxiong( Ξ)

Διαβάστε περισσότερα

AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS. Georgia Irina Oros. Abstract

AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS. Georgia Irina Oros. Abstract AN APPLICATION OF THE SUBORDINATION CHAINS Georgia Irina Oros Abstract The notion of differential superordination was introduced in [4] by S.S. Miller and P.T. Mocanu as a dual concept of differential

Διαβάστε περισσότερα

1. For each of the following power series, find the interval of convergence and the radius of convergence:

1. For each of the following power series, find the interval of convergence and the radius of convergence: Math 6 Practice Problems Solutios Power Series ad Taylor Series 1. For each of the followig power series, fid the iterval of covergece ad the radius of covergece: (a ( 1 x Notice that = ( 1 +1 ( x +1.

Διαβάστε περισσότερα

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms joint paper with Silvia Ghilezan RPC 01, Sendai, October 26, 2001 1 Plan of the talk normalization properties inverse limit model Stone dualities

Διαβάστε περισσότερα

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy Technical Appendix Thomas A. Lubik Department of Economics Johns Hopkins University Frank Schorfheide Department of Economics University

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής

Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Ενότητα 1η: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήματος Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS578- Speech Signal Processing Lecture 1: Discrete-Time

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Εξοικονόμηση Ενέργειας σε Εγκαταστάσεις Δρόμων, με Ρύθμιση (Dimming) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Εξοικονόμηση Ενέργειας σε Εγκαταστάσεις Δρόμων, με Ρύθμιση (Dimming) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Εξοικονόμηση Ενέργειας σε Εγκαταστάσεις Δρόμων, με Ρύθμιση (Dimming) ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Νικηφόρος

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS FOR HOMEWORK SET #10.3 FOR MATH 550

SOLUTIONS FOR HOMEWORK SET #10.3 FOR MATH 550 SOLUTIONS FOR HOMEWORK SET #10.3 FOR MATH 550 p159,#4: Verify the chain rule for, where hx,y fux,y,vx,y and fu,v u2 + v 2 u 2 v 2, ux,y e x y, vx,y e xy. Solution: First we will work out what the chain

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή

Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 220: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 2011-12 Εαρινό Εξάµηνο Ενδιάµεση Εξέταση 1 Παρασκευή 17 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη)

Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 2009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) Λύσεις στην Συναρτησιακή Ανάλυση Κανονική εξεταστική 009 (μπορεί να περιέχουν λάθη) (L) Θέμα 1 α) i Ένα σύνολο A X λέγεται γραμμικά ανεξάρτητο αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι γραμμικά ανεξάρτητο.

Διαβάστε περισσότερα

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog Lecture 12: Introduction to Analytical Mechanics of Continuous Systems Lagrangian Density for Continuous Systems The kinetic and potential energies as T = 1 2 i η2 i (1 and V = 1 2 i+1 η i 2, i (2 where

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων. Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 2015 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης εύτερη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Consder the gven expresson for R 1/2 : R 1/2

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16.

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. 1. Review: Spectral density 2. Examples 3. Spectral distribution function. 4. Autocovariance generating function and spectral density. 1 Review: Spectral

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

Homomorphism and Cartesian Product on Fuzzy Translation and Fuzzy Multiplication of PS-algebras

Homomorphism and Cartesian Product on Fuzzy Translation and Fuzzy Multiplication of PS-algebras Annals of Pure and Applied athematics Vol. 8, No. 1, 2014, 93-104 ISSN: 2279-087X (P), 2279-0888(online) Published on 11 November 2014 www.researchmathsci.org Annals of Homomorphism and Cartesian Product

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις VISCOUSLY DAMPED SDOF SYSTEM: RESPONSE TO HARMONIC EXCITATION Μονοβάθμιο Σύστημα με Ιξώδη Απόσβεση: Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση HARMONIC VIBRATION OF UNDAMPED

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΑΛΛΗΛΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ ΣΤΗΝ ΑΓΓΛΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Ενότητα 1: Elements of Syntactic Structure Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES CHAPTER 3 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES EXERCISE 364 Page 76. Determie the Fourier series for the fuctio defied by: f(x), x, x, x which is periodic outside of this rage of period.

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

arxiv: v3 [math.ca] 4 Jul 2013

arxiv: v3 [math.ca] 4 Jul 2013 POSITIVE SOLUTIONS OF NONLINEAR THREE-POINT INTEGRAL BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS arxiv:125.1844v3 [math.ca] 4 Jul 213 FAOUZI HADDOUCHI, SLIMANE BENAICHA Abstract. We

Διαβάστε περισσότερα

Derivation of Optical-Bloch Equations

Derivation of Optical-Bloch Equations Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ

Η ΨΥΧΙΑΤΡΙΚΗ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΟΓΝΩΜΟΣΥΝΗ ΣΤΗΝ ΠΟΙΝΙΚΗ ΔΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΝΟΜΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ Διπλωματική εργασία στο μάθημα «ΚΟΙΝΩΝΙΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΑΙΟΥ»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ, ΠΕΡΙΟΧΗ ΟΙΚΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Macromechanics of a Laminate Tetboo: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Figure 4.1 Fiber Direction θ z CHAPTER OJECTIVES Understand the code for laminate stacing sequence Develop relationships

Διαβάστε περισσότερα

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers 2 M2 Fourier Series answers in Mathematica Note the function HeavisideTheta is for x>0 and 0 for x

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων

Μέθοδοι μιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μέθοδοι μιγαδικής ανάλυσης στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων Διπλωματική εργασία για την απόκτηση Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS TO PROBLEMS ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA

SOLUTIONS TO PROBLEMS ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA SOLUTIONS TO PROBLEMS ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA K R MATTHEWS DEPARTMENT OF MATHEMATICS UNIVERSITY OF QUEENSLAND First Printing, 99 CONTENTS PROBLEMS 6 PROBLEMS 4 PROBLEMS 7 8 PROBLEMS 36 3 PROBLEMS 4 45

Διαβάστε περισσότερα

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

~ 1 ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ~ ~ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» β) Η συνάρτηση f ( ) γράφεται f x y + x + y x y + x + y xy ( ) ( ) ( ) ( ) Το πραγματικό και

Διαβάστε περισσότερα

arxiv: v2 [math.ap] 7 Jun 2016

arxiv: v2 [math.ap] 7 Jun 2016 VALIDITY AND REGULARIZATION OF CLASSICAL HALF-SPACE EQUATIONS QIN LI, JIANFENG LU, AND WEIRAN SUN arxiv:66.3v2 [math.ap] 7 Jun 26 Abstract. Recent result [] has shown that over the 2D unit disk, the classical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Οι παραστάσεις A(x), A(x) και γενικότερα η ν A(x) με ν>, ορίζονται, αν και μόνο αν Α(x) 0., όπου ν θετικός ακέραιος ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ A(x) = B(x) Για

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) University of Hertfordshire - IST Studies School of Computer Science COMPUTER SYSTEMS ARCHITECTURE 1

( ) ( ) University of Hertfordshire - IST Studies School of Computer Science COMPUTER SYSTEMS ARCHITECTURE 1 University of Hertfordshire - IST Studies School of omputer Science OMPUTER SYSTEMS RHITETURE 1 1. Simplify the function Y ( ) ( ) 2. Simplify the function Y (( 1) )( (0)) 3. Simplify the function Y 4.

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή

Ενημέρωση. Η διδασκαλία του μαθήματος, όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Mathematical model of a stock market

Mathematical model of a stock market Condensed Matter Physics, 2000, Vol. 3, No. 3(23), pp. 46 496 Mathematical model of a stock market N.S.Gonchar Bogolubov Institute for Theoretical Physics of the National Academy of Sciences of Ukraine,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΙΑ ΛΕΙΑΝΣΕΩΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΚΛΗΡΥΝΣΗΣ ΙΑ ΛΕΙΑΝΣΕΩΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ / ΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ: Καθηγητής Γ. ΧΡΥΣΟΛΟΥΡΗΣ Ι ΑΚΤΟΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης Ρ. Μπόρης ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρακάτω δουλειά απευθύνεται στα παιδιά της Γ λυκείου (και όχι μόνο) και σκοπό έχει να τονίσει τις γεωμετρικές ιδιότητες που έχει μια συνάρτηση ώστε να είναι κυρτή ή κοίλη. Χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρμογή του γνωστικού αντικειμένου «Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή» της ΣΤ Δημοτικού, για περιπτώσεις παιδιών με Ειδική Αναπτυξιακή Δυσλεξία.

Προσαρμογή του γνωστικού αντικειμένου «Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή» της ΣΤ Δημοτικού, για περιπτώσεις παιδιών με Ειδική Αναπτυξιακή Δυσλεξία. ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΟΘΕΡΑΠΕΙΑΣ Προσαρμογή του γνωστικού αντικειμένου «Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή» της ΣΤ Δημοτικού, για περιπτώσεις παιδιών με Ειδική Αναπτυξιακή Δυσλεξία. Όνομα Καθηγήτριας: Ζακοπούλου

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κεφάλαιο : Εισαγωγή. Στοιχεία συναρτησιακών χώρων Αρχίζουμε με κάποια προκαταρτικά στοιχεία συναρτησιακών χώρων τα οποία θα μας χρησιμεύσουν στη συνέχεια. Υποθέτουμε ότι όλες οι συναρτήσεις είναι πραγματικές...

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: 0 40 100 140558 z 2z 15

Διαβάστε περισσότερα