1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these"

Transcript

1 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these

2 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

3 2. If f is an even function and f 1 exists, then f 1 (e) + f 1 (-e) = 1] 0 2] 1 3] -1 4] e

4 2. Solution :Given that f is an even function then f (-x) = f (x) Diff. w.r.t x f 1 (-x)(-1) = f 1 (x) Substitute x = e f 1 (-e)(-1) = f 1 (e) f 1 (e) + f 1 (-e) =0 Answer 1] 0

5 3.If f (x) = e x g (x), g(0) = 2, g 1 (0) =1, then f 1 (0) is equal to 1]1 2] 3 3] 2 4] 0

6 3.Solution :Given that f (x) = e x g (x), g(0) = 2, g 1 (0) =1, Since f (x) = e x g (x), Diff. w.r.t x f 1 (x) = e x g 1 (x) + g(x) e x Substitute, x = 0 f 1 (0) = e 0 g 1 (0) + g(0) e 0 = 1(1) + 2 (1) = = 3 Answer : 2] 3

7 4. The derivative of an even function is always 1] an odd function 2] an even function 3] does not exist 4] none of these

8 4. Solution : The derivative of an even function is always an odd function Answer : 1] odd function

9 5. Let f and g be differentiable functions satisfying g 1 (a) =2,g(a) =b and fog = i (identity function).then f 1 (b) is equal to 1] ½ 2] 2 3] 2/3 4] -½

10 5. Solution : Given that Let f and g be differentiable functions satisfying g 1 (a) =2,g(a) =b and fog = i (identity function).then f 1 (b) is equal to Since : fog = I (fog ) x = x f [g(x)] = x Diff.w.r.t x f 1 [ g (x)]. g 1 (x) = 1 Substitute : x = a f 1 [g(a)]. g 1 (a) = 1 f 1 (b). 2 = 1 f 1 (b) = 1/2 Answer 1] 1/ 2

11 6.If y = Tan -1 4x + Tan x 1 + 5x 2 3 2x then dy/dxis equal to 1] 1 2] x x 2 3] 1 4] x 2

12 6.Solution : y =Tan -1 4x + Tan x 1 + 5x 2 3 2x Since: Tan -1 x ±Tan -1 y = Tan x ±y 1 + xy Y = Tan -1 5x + x + Tan -1 2/3 +x 1 5x.x 1 (2/3)x Y = Tan -1 5x Tan -1 x + Tan -1 2/3 + Tan -1 x

13 Y = Tan -1 5x +Tan -1 2/3 diff.w.r.t x dy/dx= x 2 Answer 2] x 2

14 (sin x).. 7. If y = (sinx) (sin x) then dy/dx= 1] y 2 2] y 2 sin x sinx(1-logy) 1 logy 3] y 2 cot x 4] y 2 tanx 1 -logy 1 logy

15 7. Solution: Given that y = (sinx) (sin x).. (sin x) Y = [f(x)] y then dy = y 2 f 1 (x) dx f(x) (1 log y ) Y = ( sin x ) y dy = y 2 cosx y 2 cot x dx (1 log y ) sin x 1 log y Answer : 3] y cot x 1-logy

16 8. If x y = e x y, then dy / dx is equal to 1] y 2] x (1 + log x) 2 (1 + logx) 2 3] log x 4] none of these ( 1 + logx ) 2

17 8. Solution : Given that : x y = e x y y log x = (x y) log e e y log x + y = x y ( 1 + log x ) = x y = x 1 + log x Diff. y w.r.t x dy log x dx (1 + logx) 2 Answer : 3] log x (1 + logx) 2

18 9. If 3 sin (xy) + 4 cos( xy) = 5, then dy/ dx 1] -y / x 2] 3 sin (xy) + 4 cos(xy) 3 cos(xy) 4 sin ( xy) 3] 3cos (xy) + 4 sin (xy) 4 cos(xy) 3 sin (xy) 4] none of these

19 9. Solution: Given that 3 sin (xy) + 4 cos( xy) = 5, Take xy= k Diff. w.r.t x x dy+ y = 0 dx dy = -y dx x Answer : 1] y/x

20 10. If f (x)=cos -1 1 ( log x ) 2,then f 1 (e) is 1 + ( log x ) 2 1] 1 / e 2] 1 3] 2 / e 4] 2e

21 10. (x)=cos -1 1 ( log x ) ( log x ) 2 cos -1 1 f 2 ( x ) 2 Tan -1 [f(x)] 1 + f 2 (x) f (x) = 2 Tan -1 ( log x) Diff. w.r.t x f 1 ( x ) = ( logx) 2 x

22 f 1 ( x ) = ( logx) 2 x Substitute : x = e f 1 (e) ( log e e) 2 e 2e e Answer : 1] 1 e

23 11. If 2x 2 + 4xy + 3y 2 = 0, then d 2 y / dx 2 = 1] 0 2] ½ 3] 1 4] ¾ (2x+y) 2

24 11. Solution :Given that 2x 2 + 4xy + 3y 2 = 0, ax 2 + 2hxy + by 2 = 0 then d 2 y = 0 dx 2 Answer : 1] 0

25 12. ltf (x + y) = f(x). f(y) for all x and y. suppose f(5) = 2, f 1 (0) =3, then f 1 (5)= 1] 3 2] 2 3] 6 4]-1

26 12. Solution:Given that f (x + y) = f(x). f(y) f(5) = 2, f 1 (0) =3, then f 1 (5)= consider f ( x + 5 ) = f (x) f (5) Diff. w.r.t x f 1 ( x + 5) = f 1 ( x) f (5) Sub x = 0 f 1 ( ) = f 1 (0) f (5) f 1 (5) = 3 (2) = 6 Answer : 3] 6

27 13. The differential co-efficient of f(sinx) w.r.tx where f (x) = logxis 1] tan x 2] cotx 3] (cosx) 4] 1/x

28 13. Solution: The differential co-efficient of f (sinx) w.r.tx where f (x) = logxis Diff. f (sinx) w.r.t x f 1 ( sinx) cosx since f (x) = log x 1 cosx = cot x f 1 (x) = 1 sinx x Answer: 2] cotx

29 14. If y = 1 + x + x to dy/ dx = [ x < ] 1] x/y 2] x 2 / y 2 3] -y 2 4] y 2

30 14. Solution : Given that : y = 1 + x + x to [ x < ] which represents a geometric series S = a, where r < 1 r y = 1 1 -x Diff. y.w.r.t x dy/dy = -1 (-1) = 1 (1-x) 2 (1-x) 2 = y 2 Answer : 4] y 2

31 15.If f (x) = ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) (1+x n ) then f 1 (o) = 1] 0 2] 1 3] -1 4] 2

32 15. Solution: Given that : f (x) = ( 1 + x ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x 3 ) (1+x n ) log f (x) = log ( 1+x) + log (1+x 2 ) + log (1+x n ) Diff. w.r.t x f 1 (x) = 1 2x n x n-1 f(x) 1 + x 1 + x x n f 1 (0) = 1 2(0) n(0) f(0) f 1 (0) = 1 Answer : 2] 1

33 16. If y = Tan -1 log (e/x 2 ) + Tan 4 +2logx log (ex 2 ) 1-8 logx then d 2 y/dx 2 = 1] 2 1] 2 2] 1 3] 0 4] -1

34 16.y = Tan -1 log (e/x 2 ) +Tan logx log (ex 2 ) 1-8 logx y = Tan logx + Tan log x log x 1 4(2 logx) Y= Tan -1 1-Tan -1 (2logx ) + Tan Tan -1 (2logx ) diff. w.r.t x dy/dx= 0 d 2 y = 0 Answer : 3] 0 dx 2 Answer : 3] 0

35 17.If y = (Tanx-x)+ (Tanx-x)+ (Tanx-x)+.to terms then dy/dx = 1] sec 2 x 2] sec 2 x 2y-1 1-2y 3] Tanx 4] Tan x 2y-1 2y-1

36 17. y = (Tanx-x)+ (Tanx-x)+ (Tanx-x)+.to y = f(x) + f(x) + to dy f 1 (x) dx 2y 1 dy sec 2 x -1 Tan x dx 2y-1 2y-1 Answer : 3] Tan x 2y-1

37 18. Let f be a function defined for all x Є.R If f is differentiable and f (x 3 ) = x 5 ( x 0 ) then the value of f 1 ( 27) is 1]15 2] 45 3] 0 4] 10

38 18. Solution: Given that f (x 3 ) = x 5 ( x 0 ) Diff. w.r.t x f 1 (x 3 ) 3x 2 = 5x 4 f 1 ( 3 3 ) = f 1 (27 ) = 5 (3) = 15 Answer: 1] 15

39 19. If log sinx y = cosx then dy/ dx= 1] [ cosx cotx sinxlog sinx] 2] y [ cosxcotx+ sin x log sinx] 3] [cosx cotx sinxlog sinx] 4] y [cosxcotx sinxlog sinx]

40 19. Solution: log sinx y = cosx then = Y = (sinx) cosx y = [f (x)] g(x) dy= [ f(x)] g(x) g (x) f 1 (x) + g 1 (x) log f (x) dx f(x) dy= ( sinx) cosx cosx cosx -sinx log sin x dx sinx = y [cosx cotx sinxlog sinx] Answer: 4] y [cosx cotx sinxlog sinx]

41 20. If y = sinx. Sin2x. sin3x.. Sinnx then dy/dx= n 1] y k cot kx 2] y k cot kx k=1 k=1 n 3] y k TAnkx 4] y k Tan kx k=1 k=1 n n

42 20. Solution : If y = sinx. Sin2x sin3x.. Sinnx log y = log sinx+ log sin 2x +. + log sinnx y 1 cosx 2 cos2x 3 cos3x +..+ n cosnx y sinx sin2x sin3x sinnx Y 1 = y [ cotx+ 2cot 2x +. + k cot k x] n Y 1 = y k cot kx K=1 Answer : 1] n y k cot k x K=1

43 21. If y = 1+ logx+ (logx) 2 + ( logx) ! terms then d 2 y /dx 2.. to 1] 1 / x 1] 1 / x 2] 2 / x 3] 1 4] 0

44 21. Solution: y = 1+ logx+ (logx) 2 + ( logx)3 +.. to 2 3! e x = 1 + x + x 2 + x 3 +. to 2! 3! y = e log x y = x dy/dx = 1 d 2 y dx 2 = 0 Answer: 4] 0

45 22. If y = sec x + Tanx and o < x < π. then dy secx Tanx dx 1] sec x [ secx Tanx ] 1] sec x [ secx Tanx ] 2] Tan x [ secx + tanx ] 3] secx [secx + Tanx] 4] Tan x [ secx Tanx]

46 22. Solution : If y = sec x + Tanx and o < x < π. secx Tanx y = (sec x + Tanx) 2 sec 2 x Tan 2 x y = secx + Tan x dy = secx Tan x + sec 2 x dx = secx [Tan x + secx] Answer: 3] secx [ Tan x + secx]

47 23. If g is the inverse function of f and f 1 (x) = 1 then g 1 (x) is equal to 1 + x n, 1] 1+(g (x)) n 2] 1 g (x) 3] 1 + g (x) 4] 1 (g(x)) n

48 23. Solution : Given that: g is the inverse function of f and f` (x) = x n, and also f = g -1 (fog) = I ( identity function) (fog) x = x f ( g (x)] = x diff. w.r.t x f 1 [g(x)] g 1 (x) = 1 1 g 1 (x) = 1 1+ (g(x) n g (x) = 1+ [g(x) n Answer 1] 1 + [ g (x)] n

49 24. If f (x) is an odd differentiable function defined on (-, ) such that f 1 (3) = 2, then f 1 (-3) equals : 1] 0 1] 0 2] 1 3] 2 4] 4

50 24. Solution : Given that f (x) is an odd differentiable function : f (-x) = -f (x) Diff w.r.t x f 1 (-x) (-1) = - f 1 (x) f 1 (-x) = f 1 (x) since f 1 (3) = 2 f 1 (-3) = f 1 (3) f 1 (-3) = 2 Answer: 3] 2

51 25.A differentiable function f(x) is such that f (1) = 7 and f 1 (1) = 1/7. If f -1 exists and f -1 = g, then 1] g 1 (7) = 1/7 2] g 1 (7) = 7 3] g 1 (1) = 1/7 4] g 1 (1) = 8

52 25.Solution : Given that : f -1 = g, f(1) = 7, and f 1 (1) = 1/7 go f = I ( gof) x = x g [ f (x)] = x g 1 [(f(x)]. f 1 (x) =1 g 1 [f(1)]. f 1 (1) = 1 g 1 (7). 1/7 = 1 g 1 (7) = 7 Answer 2] g (7) = 7

53 If x = e Tan [y x x] then dy/dx= 1] 2x [1 + Tan x (log x )] + x sec 2 ( logx) 2] 2 x [ 1 + Tan ( log x) ] + sec 2 ( log x ) 3] 2 x [ 1 + Tan ( logx) ] + x 2 sec 2 ( logx) 4] 2x [ 1 + tan ( logx) ] + sec 2 ( logx)

54 Solution : Given that x = e Tan [y x x ] Tan (logx) = y x 2 x 2 x 2 Tan (logx) = y x 2 Y = x 2 + x 2 Tan ( logx) dy/dx=2x + x 2 sec 2 (logx) + Tan ( logx) ( 2x) x Answer :3] 2 x [ 1 + Tan ( logx) ] + x 2 sec 2 ( logx)

55 . 27. If x = a [θ-sinθ], y = a[1-cosθ].then dy/dx = 1] cotθ/2 2] Tan θ/2 3] ½ coesec 2 θ/2 4] -½ cosec 2 θ/2

56 . 27. Solution : Given that If x = a [θ-sinθ], y = a[1-cosθ]. dy/dx = a [1-cosθ] a sinθ = 2sin 2 θ/2 2 sin θ/2 cosθ/2 =Tan θ/2 Answer 2] Tan θ/2

57 . 28. If log y = m tan -1 x, then 1] (1 +x 2 ) y 2 + (2x + m ) y 1 = 0 2] (1 +x 2 ) y 2 + (2x - m ) y 1 = 0 3] (1 +x 2 ) y 2 - (2x + m ) y 1 = 0 4] (1 +x 2 ) y 2 - (2x - m ) y 1 = 0

58 . 28. Solution : Given that log y = m tan -1 x, y 1 = m y 1+x 2 (1+x 2 ) y 1 = my (1 + x 2 ) y 2 + y 1 2x = my 1 ( 1 + x 2 ) y xy 1 my 1 = 0 ( 1 + x 2 ) y 2 + ( 2 x m ) y 1 = 0 Answer : 2] ( 1 + x) y + ( 2x m) y = 0

59 . 29. If y2 2x 2 = y, then dy/dxat (1, -1 ) is 1] -4/3 2] 4/3 3] ¾ 4] -3/4

60 . 29. Solution: Given that y 2-2x 2 - y = 0 dy/dx = - (diff. w.r.t x keeping y as constant) = - (-4x) (diff. w.r.t y keeping x as constant) (2y-1) dy/dx = 4x 2y-1 dy 4(1) (4) -4 dx (1,-1) 2(-1) Answer : 1] -4/3

61 . 30. Derivative of f (logx) w.r.t x where f (x) = e x 1] e x 2] log x 3] 1/x 4] 1

62 . 30. Solution :diff f (logx) w.r.t x = f 1 ( log x ) 1 f (x) = e x x f 1 (x) = e x = x 1 f 1 ( logx) = e logx = 1 x =x Answer: 4] 1

63 . 31. If f (x) = sin [π / 2 [x]-x 5 ], 1 <x<2, where[x] denotes the greatest integer.less than or equal to x, then f 1 (5π/2) = 1] 5 (π /2) 4/5 2] -5 (π /2) 4/5 3] 0 4] none of these

64 . 31. Solution : Given that f (x) = sin [π/2 [x]-x 5 ], 1 < x < 2, [x]=1 f (x) = sin [π/2 (1) x 5 ], f 1 (x) = cos [π/2 x 5 ]. [-5x 4 ] f 1 (5π/2) = cos [π/2 5π/2 ) 5 ].(-5)(5π/2 ) 4 = - 5 (π/2) 4/5 Answer 2] - 5 (π/2) 4/5

65 . 32. If y = cos -1 2cosx -3sinx then dy = 1] 2 2] -2 3] -1 4] 1 13 dx

66 . 32. Solution : y = cos -1 2cosx -3sinx 13 y = cos -1 2 cosx - 3 sinx cosα = 2/ 13 sinα3/ 13 y = cos -1 [cosα cosx sinα sinx] y = cos -1 [cos(α + x)] y = α + x dy/dx = 1 Answer: 4] 1

67 . 33. If y = cos 2 3x/2 sin 2 3x/2, then d 2 y/dx 2 is 1] 9y 2] -3 1 y 2 3] 3 1 y 2 4] -9y

68 . 33. Solution : Given that y = cos 2 3x/2 sin 2 3x/2 y= cos 3x dy/dx = - 3 sin 3x d 2 y/dx 2 = -9 cos 3x = -9y Answer: 4]-9y

69 . 34. If y = log 5 ( log 5 x ) then dy/dx = 1] 1 x log 5 x 2] 1 x log 5 x.log 5 x 3] 1 x log 5 x.(log5) 2 4] none of these

70 . 34. Solution : Given that: y = log 5 ( log 5 x ) dy 1 dx (log5) (log 5 x) x (log5) 1 = x (log 5 x) (log5) 2 Answer:3] 1 x (log 5 x) (log5) 2

71 . 35. If f (x ) =1+nx+ n (n-1) x 2 + n ( n-1) (n-2) x x n then f (1) = 1] n ( n-1 ) 2 n-1 2] (n-1)2 n-1 3] n (n-1)2 n-2 4] n (n-1)2 n

72 . 35. Solution : Given that: f (x ) = 1 + nx+ n (n-1) x+ n ( n-1) (n-2) x x n f (x) = ( 1+x) n f 1 (x) = x ( 1 + x ) n-1 f 11 (x) = n ( n-1) ( 1+x) n-2 f 11 (1) = n ( n-1) ( 1+1) n-2 = n ( n-1) 2 n (by binomial theorem) Answer : 3]n ( n-1) 2 n-2

73 36. If y = sec -1 x+1 + sin -1 x - 1, then dy = 1] x - 1 x + 1 ` 2] x + 1 3] 0 4] 1 x - 1 x-1 x+1 dx

74 . 36. Solution : Given that: y = sec -1 x+1 + sin -1 x - 1 x -1 x +1 y = cos -1 x sin -1 x - 1 y = π / 2 dy/dx = 0 x +1 x +1 Answer :3] 0

75 . 37.If y = tan -1 1+sinx+ 1 sinx, 0 <x< π/2 Then dy/dx = 1] ½ 2] -½ 3] x/2 4] x/2 1+sinx 1 sinx

76 . 37. Solution : Given that: y = tan -1 1+sinx+ 1 sinx 1+sinx 1 sinx 0 <x< π/2 0 <x/2< π/4 y = tan -1 Cos x/2 > sin x/2 cosx/2 + sin x/2+ cos x/2-sinx/2 cosx/2 + sin x/2- cos x/2+sinx/2 y = tan -1 [cotx/2] y = π/2 x/2 dy/dx = - ½ Answer :2] - ½

77 y = sin -1 (3x 4x 3 ), then dy/dx at x = 1/3, is 1] ] 9 2 3] ] 9/8

78 Solution : Given that: y = sin -1 (3x 4x 3 ) y = 3 sin -1 x dy/dx = x dy/dx = /9 8 4 Answer :3] 9 2 4

79 If y = tan tan tan x+x 2 x 2 +3x+3 x 2 +5x+7. to n terms then y 1 (0) = 1] -1/n ] n 2 /(n 2 +1) 1] -1/n ] n 2 /(n 2 +1) 3] n 2 /n ] n / n+1

80 If y = tan tan tan x+x 2 x 2 +3x+3 x 2 +5x to n terms y = tan -1 (x+1)-x tan -1 (x+2) (x+1) 1+ (x+1)x 1+ ( x+2) ( x + 1) tan -1 (x+n)-(x+n-1) 1 + ( x + n) ( x + n-1) Y= tan -1 (x+1)-tan 1 x + tan -1 (x+2) tan -1 (x+1).+ tan -1 (x+n) tan -1 (x+n-1) Y=tan -1 (x+n) tan -1 x y 1 = 1/1+(x+n) 2 1/1+x 2 y 1 (0)=1/(1+n 2 )-1 Answer: 2] n 2 /(n 2 +1)

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.3 Trigonometric Equations

Section 8.3 Trigonometric Equations 99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

CBC MATHEMATICS DIVISION MATH 2412-PreCalculus Exam Formula Sheets

CBC MATHEMATICS DIVISION MATH 2412-PreCalculus Exam Formula Sheets System of Equations and Matrices 3 Matrix Row Operations: MATH 41-PreCalculus Switch any two rows. Multiply any row by a nonzero constant. Add any constant-multiple row to another Even and Odd functions

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.7 Product-to-Sum and Sum-to-Product Formulas

Section 7.7 Product-to-Sum and Sum-to-Product Formulas Section 7.7 Product-to-Sum and Sum-to-Product Fmulas Objective 1: Express Products as Sums To derive the Product-to-Sum Fmulas will begin by writing down the difference and sum fmulas of the cosine function:

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y x 4 +y 2 J (x, y) (0, 0) 0 J (x, y) = (0, 0) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t 2 ), a ÑL<ÝÉ b, ½-? A? 2t 2 at t 4 +a 2 t 2 = lim

2x 2 y x 4 +y 2 J (x, y) (0, 0) 0 J (x, y) = (0, 0) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t 2 ), a ÑL<ÝÉ b, ½-? A? 2t 2 at t 4 +a 2 t 2 = lim 9çB$ø`çü5 (-ç ) Ch.Ch4 b. è. [a] #8ƒb f(x, y) = { x y x 4 +y J (x, y) (, ) J (x, y) = (, ) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t ), a ÑL

Διαβάστε περισσότερα

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i.

Solution Series 9. i=1 x i and i=1 x i. Lecturer: Prof. Dr. Mete SONER Coordinator: Yilin WANG Solution Series 9 Q1. Let α, β >, the p.d.f. of a beta distribution with parameters α and β is { Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) f(x α, β) xα 1 (1 x) β 1 for < x

Διαβάστε περισσότερα

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) =

Mock Exam 7. 1 Hong Kong Educational Publishing Company. Section A 1. Reference: HKDSE Math M Q2 (a) (1 + kx) n 1M + 1A = (1) = Mock Eam 7 Mock Eam 7 Section A. Reference: HKDSE Math M 0 Q (a) ( + k) n nn ( )( k) + nk ( ) + + nn ( ) k + nk + + + A nk... () nn ( ) k... () From (), k...() n Substituting () into (), nn ( ) n 76n 76n

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

Probability and Random Processes (Part II)

Probability and Random Processes (Part II) Probability and Random Processes (Part II) 1. If the variance σ x of d(n) = x(n) x(n 1) is one-tenth the variance σ x of a stationary zero-mean discrete-time signal x(n), then the normalized autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.6: Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.6:

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

Finite Field Problems: Solutions

Finite Field Problems: Solutions Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions

C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακρότατα συναρτήσεων μίας ή πολλών μεταβλητών Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS

SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS SPECIAL FUNCTIONS and POLYNOMIALS Gerard t Hooft Stefan Nobbenhuis Institute for Theoretical Physics Utrecht University, Leuvenlaan 4 3584 CC Utrecht, the Netherlands and Spinoza Institute Postbox 8.195

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f (x) = log x (5x + 3) + sin x. f (x) = (x + ) sin x 3. f 3 (x) = 3 sin

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES

CHAPTER 103 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES CHAPTER 3 EVEN AND ODD FUNCTIONS AND HALF-RANGE FOURIER SERIES EXERCISE 364 Page 76. Determie the Fourier series for the fuctio defied by: f(x), x, x, x which is periodic outside of this rage of period.

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7)

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7) Integrals in clindrical, spherical coordinates (Sect. 5.7 Integration in spherical coordinates. Review: Clindrical coordinates. Spherical coordinates in space. Triple integral in spherical coordinates.

Διαβάστε περισσότερα

On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University)

On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) 1 1 Introduction (E) {1+x 2 +β(x,y)}y u x (x,y)+{x+b(x,y)}y2 u y (x,y) +u(x,y)=f(x,y)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 2015-16. Λύσεις του τρίτου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Λύστε τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. Αν προκύψει αλγεβρική σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές x, y η οποία δεν λύνεται

Διαβάστε περισσότερα

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King

g-selberg integrals MV Conjecture An A 2 Selberg integral Summary Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics Long Live the King Ole Warnaar Department of Mathematics g-selberg integrals The Selberg integral corresponds to the following k-dimensional generalisation of the beta integral: D Here and k t α 1 i (1 t i ) β 1 1 i

Διαβάστε περισσότερα

ON NEGATIVE MOMENTS OF CERTAIN DISCRETE DISTRIBUTIONS

ON NEGATIVE MOMENTS OF CERTAIN DISCRETE DISTRIBUTIONS Pa J Statist 2009 Vol 25(2), 135-140 ON NEGTIVE MOMENTS OF CERTIN DISCRETE DISTRIBUTIONS Masood nwar 1 and Munir hmad 2 1 Department of Maematics, COMSTS Institute of Information Technology, Islamabad,

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS

1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS 1 GRAMMIKES DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERAS TAXHS Γραμμικές μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξης λέγονται οι εξισώσεις τύπου y + p(x)y + g(x)y = f(x) (1.1) Οταν f(x) = 0 η εξίσωση y + p(x)y +

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Problem 3.16 Given B = ˆx(z 3y) +ŷ(2x 3z) ẑ(x+y), find a unit vector parallel. Solution: At P = (1,0, 1), ˆb = B

Problem 3.16 Given B = ˆx(z 3y) +ŷ(2x 3z) ẑ(x+y), find a unit vector parallel. Solution: At P = (1,0, 1), ˆb = B Problem 3.6 Given B = ˆxz 3y) +ŷx 3z) ẑx+y), find a unit vector parallel to B at point P =,0, ). Solution: At P =,0, ), B = ˆx )+ŷ+3) ẑ) = ˆx+ŷ5 ẑ, ˆb = B B = ˆx+ŷ5 ẑ = ˆx+ŷ5 ẑ. +5+ 7 Problem 3.4 Convert

Διαβάστε περισσότερα

List MF20. List of Formulae and Statistical Tables. Cambridge Pre-U Mathematics (9794) and Further Mathematics (9795)

List MF20. List of Formulae and Statistical Tables. Cambridge Pre-U Mathematics (9794) and Further Mathematics (9795) List MF0 List of Formulae and Statistical Tables Cambridge Pre-U Mathematics (979) and Further Mathematics (979) For use from 07 in all aers for the above syllabuses. CST7 Mensuration Surface area of shere

Διαβάστε περισσότερα

Orbital angular momentum and the spherical harmonics

Orbital angular momentum and the spherical harmonics Orbital angular momentum and the spherical harmonics March 8, 03 Orbital angular momentum We compare our result on representations of rotations with our previous experience of angular momentum, defined

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 8 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 2 2.1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Β) Στην προηγούµενη διάλεξη µάθαµε ότι µπορούµε να χρησιµοποιούµε τη ρητή ή την αυτονόητη δήλωση µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1

Main source: Discrete-time systems and computer control by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 Main source: "Discrete-time systems and computer control" by Α. ΣΚΟΔΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 4 ΔΙΑΦΑΝΕΙΑ 1 A Brief History of Sampling Research 1915 - Edmund Taylor Whittaker (1873-1956) devised a

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

DIFFERENTIATION OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS

DIFFERENTIATION OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS Differentiation of Trigonometric Functions MODULE - V DIFFERENTIATION OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS Trigonometry is the branch of Mathematics that has mae itself inispensable for other branches of higher

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic

Lecture 2. Soundness and completeness of propositional logic Lecture 2 Soundness and completeness of propositional logic February 9, 2004 1 Overview Review of natural deduction. Soundness and completeness. Semantics of propositional formulas. Soundness proof. Completeness

Διαβάστε περισσότερα

Strain gauge and rosettes

Strain gauge and rosettes Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified

Διαβάστε περισσότερα

SOLUTIONS FOR HOMEWORK SET #10.3 FOR MATH 550

SOLUTIONS FOR HOMEWORK SET #10.3 FOR MATH 550 SOLUTIONS FOR HOMEWORK SET #10.3 FOR MATH 550 p159,#4: Verify the chain rule for, where hx,y fux,y,vx,y and fu,v u2 + v 2 u 2 v 2, ux,y e x y, vx,y e xy. Solution: First we will work out what the chain

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων

1.1 Βασικές Έννοιες των Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τις βασικές έννοιες και ορισμούς των Διαφορικών Εξισώσεων. Στο εδάφιο 1.1 παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines

Space Physics (I) [AP-3044] Lecture 1 by Ling-Hsiao Lyu Oct Lecture 1. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines Space Physics (I) [AP-344] Lectue by Ling-Hsiao Lyu Oct. 2 Lectue. Dipole Magnetic Field and Equations of Magnetic Field Lines.. Dipole Magnetic Field Since = we can define = A (.) whee A is called the

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Solution for take home exam: FYS3, Oct. 4, 3. Problem. Ĥ ɛ K K + ɛ K K + β K K + α K K For Ĥ Ĥ : ɛ ɛ, β α. The operator ˆT can be written

Διαβάστε περισσότερα

CORDIC Background (4A)

CORDIC Background (4A) CORDIC Background (4A Copyright (c 20-202 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version.2 or any later

Διαβάστε περισσότερα

16. 17. r t te 2t i t 1. 18 19 Find the derivative of the vector function. 19. r t e t cos t i e t sin t j ln t k. 31 33 Evaluate the integral.

16. 17. r t te 2t i t 1. 18 19 Find the derivative of the vector function. 19. r t e t cos t i e t sin t j ln t k. 31 33 Evaluate the integral. SECTION.7 VECTOR FUNCTIONS AND SPACE CURVES.7 VECTOR FUNCTIONS AND SPACE CURVES A Click here for answers. S Click here for soluions. Copyrigh Cengage Learning. All righs reserved.. Find he domain of he

Διαβάστε περισσότερα

Math 248 Homework 1. Edward Burkard. Exercise 1. Prove the following Fourier Transforms where a > 0 and c R: f (x) = b. f(x c) = e.

Math 248 Homework 1. Edward Burkard. Exercise 1. Prove the following Fourier Transforms where a > 0 and c R: f (x) = b. f(x c) = e. Math 48 Homework Ewar Burkar Exercise. Prove the following Fourier Transforms where a > an c : a. f(x) f(ξ) b. f(x c) e πicξ f(ξ) c. eπixc f(x) f(ξ c). f(ax) f(ξ) a e. f (x) πiξ f(ξ) f. xf(x) f(ξ) πi ξ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Αφου ο ϐαθµός του αριθµητή

Διαβάστε περισσότερα

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers

Q1a. HeavisideTheta x. Plot f, x, Pi, Pi. Simplify, n Integers 2 M2 Fourier Series answers in Mathematica Note the function HeavisideTheta is for x>0 and 0 for x

Διαβάστε περισσότερα

Finite difference method for 2-D heat equation

Finite difference method for 2-D heat equation Finite difference method for 2-D heat equation Praveen. C praveen@math.tifrbng.res.in Tata Institute of Fundamental Research Center for Applicable Mathematics Bangalore 560065 http://math.tifrbng.res.in/~praveen

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

Graded Refractive-Index

Graded Refractive-Index Graded Refractive-Index Common Devices Methodologies for Graded Refractive Index Methodologies: Ray Optics WKB Multilayer Modelling Solution requires: some knowledge of index profile n 2 x Ray Optics for

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Homomorphism and Cartesian Product on Fuzzy Translation and Fuzzy Multiplication of PS-algebras

Homomorphism and Cartesian Product on Fuzzy Translation and Fuzzy Multiplication of PS-algebras Annals of Pure and Applied athematics Vol. 8, No. 1, 2014, 93-104 ISSN: 2279-087X (P), 2279-0888(online) Published on 11 November 2014 www.researchmathsci.org Annals of Homomorphism and Cartesian Product

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS-593 Game Theory 1. For the game depicted below, find the mixed strategy

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

3.4. Click here for solutions. Click here for answers. CURVE SKETCHING. y cos x sin x. x 1 x 2. x 2 x 3 4 y 1 x 2. x 5 2

3.4. Click here for solutions. Click here for answers. CURVE SKETCHING. y cos x sin x. x 1 x 2. x 2 x 3 4 y 1 x 2. x 5 2 SECTION. CURVE SKETCHING. CURVE SKETCHING A Click here for answers. S Click here for solutions. 9. Use the guidelines of this section to sketch the curve. cos sin. 5. 6 8 7 0. cot, 0.. 9. cos sin. sin

Διαβάστε περισσότερα

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής. εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής. εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-112: Φυσική Ι Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Γ. Καφεντζής εύτερη Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Ασκηση 1. Από το ύψος και τη γωνία που µας δίνεται, έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

THE IMPLICIT FUNCTION THEOREM. g ( x 0 2,x 0 3,..., x 0 n)

THE IMPLICIT FUNCTION THEOREM. g ( x 0 2,x 0 3,..., x 0 n) THE IMPLICIT FUNCTION THEOREM 11 Statement of the theorem 1 A SIMPLE VERSION OF THE IMPLICIT FUNCTION THEOREM Theorem 1 (Simple Implicit Function Theorem) Suppose that φ is a real-valued functions defined

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 2013-2014

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 2013-2014 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας -4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : υο ευθείες [ɛ : y = m x + a,ɛ : y = m x + a ], τέµνονται και σχηµατίζουν γωνία θ (ϐλέπε Σχήµα). είξτε

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

STAT200C: Hypothesis Testing

STAT200C: Hypothesis Testing STAT200C: Hypothesis Testing Zhaoxia Yu Spring 2017 Some Definitions A hypothesis is a statement about a population parameter. The two complementary hypotheses in a hypothesis testing are the null hypothesis

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Homework for 1/27 Due 2/5

Homework for 1/27 Due 2/5 Name: ID: Homework for /7 Due /5. [ 8-3] I Example D of Sectio 8.4, the pdf of the populatio distributio is + αx x f(x α) =, α, otherwise ad the method of momets estimate was foud to be ˆα = 3X (where

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους. Υπολογιστές

Εισαγωγή στους. Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή γή στον επιστημονικό προγραμματισμό 2 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ E mail: leo@mail.ntua.gr URL: http://users.ntua.gr/leo Μελάς Ιωάννης Υποψήφιος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Α. Αργυρίου May 5, 205 Οι σημειώσεις αυτές περιέχουν λυμένες ασκήσεις από τις διάϕορες ενότητες του μαθήματος των Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων, ώστε να δώσουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms

A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms A Lambda Model Characterizing Computational Behaviours of Terms joint paper with Silvia Ghilezan RPC 01, Sendai, October 26, 2001 1 Plan of the talk normalization properties inverse limit model Stone dualities

Διαβάστε περισσότερα

Συνάρτηση Διαδικασία

Συνάρτηση Διαδικασία Συνάρτηση Διαδικασία Συνάρτηση (function) : είναι ένα υποπρόγραμμα που στόχο του έχει να υπολογίζει και να επιστρέφει μόνο μια τιμή με το όνομά της όπως οι γνωστές μαθηματικές συναρτήσεις, πρδ. SIN(X),

Διαβάστε περισσότερα

A General Note on δ-quasi Monotone and Increasing Sequence

A General Note on δ-quasi Monotone and Increasing Sequence International Mathematical Forum, 4, 2009, no. 3, 143-149 A General Note on δ-quasi Monotone and Increasing Sequence Santosh Kr. Saxena H. N. 419, Jawaharpuri, Badaun, U.P., India Presently working in

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα